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一元二次方程的解法一元二次方程的解法一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础，应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m± .例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5∴3x+1=±(注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为x1=,x2=（2）解：9x2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=当b2-4ac≥0时，x+ =±∴x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2= .3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
一元二次方程的解法一元二次方程（Quadratic Equation）是指只含有一个未知量的二次方程，通常具有如下一般形式：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c为实数且a不等于0，x为未知数。
解一元二次方程的过程被称为解方程或求根，下面将介绍三种常见的解法。
一、因式分解法如果一元二次方程可被因式分解为两个一次因式的乘积形式，即方程左边可以被写成两个因式的乘积，那么可以通过令每个因式等于零并求解来得到方程的解。
具体步骤如下：1. 将方程写成标准形式：ax^2 + bx + c = 0。
2. 对方程左侧进行因式分解：(px + q)(rx + s) = 0，其中p、q、r、s 为实数。
3. 令每个因式等于零进行求解：px + q = 0 以及 rx + s = 0。
4. 求解得到每个因式的解：x = -q/p 以及 x = -s/r。
通过以上步骤，我们可以得到方程的解。
二、配方法有些一元二次方程无法直接进行因式分解，但可通过配方法（Completing the Square）将其转化为完全平方形式来求解。
具体步骤如下：1. 将方程写成标准形式：ax^2 + bx + c = 0。
2. 将方程左侧组成一个完全平方形式：(x + d)^2 = e，其中d为实数，e为某个表达式。
3. 展开完全平方形式，得到新的方程形式：x^2 + 2dx + d^2 = e。
4. 对比原方程与新方程，列出两边的对应系数，解出d和e。
5. 将新方程移到原方程中，得到ax^2 + bx + c = 0形式的新方程。
6. 利用一次项系数可配出的完全平方形式，将新方程化简为(a'(x +d')^2 = e')形式。
7. 可得到方程的解：x = (-d' ± √e') / a'，其中±表示两个解。
通过配方法，我们可以将一元二次方程转化为完全平方形式，进而求得方程的解。
第四章 一元二次方程4.2 一元二次方程的解法（3）【学习目标】:1、会用配方法二次项系数不为1的一元二次方程2、经历探究将一般一元二次方程化成（)0()2≥=+n n m x 形式的过程，进一步理解配方法的意义3、在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想。
【重点和难点】：重点：掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程难点：把一元二次方程转化为的（x ＋m ）2= n （n ≥0）形式【知识回顾】1、用配方法解下列方程：(1)x 2-6x-16=0； (2)x 2+3x-2=0；2、方程x 2-25x+1=0与方程2x 2-5x+2=0有什么关系？【预习指导】如何解方程2x 2-5x+2=0？点拨：对于二次项系数不为1的一元二次议程，我们可以先将两边同时除以二次项系数，再利用配方法求解【典型例题】例1、解方程：01832=++x x例2、-01432=++x x例3、一个小球竖直上抛的过程中，它离上抛点的距离h （m ）与抛出后小球运动的时间t （s ）有如下关系：h=24t-52t 。
经过多少时间后，小球在上抛点的距离是16m ？【知识梳理】用配方法解一元二次方程的步骤是：【课堂练习】1、填空：(1)x 2-31x+ =(x- )2, (2)2x 2-3x+ =2(x- )2.（3）a 2+b 2+2a-4b+5=(a+ )2+(b- )22、用配方法解一元二次方程2x 2-5x-8=0的步骤中第一步是 。
3、方程2(x+4)2-10=0的根是 .4、用配方法解方程2x 2-4x+3=0，配方正确的是（ ）A.2x 2-4x+4=3+4B. 2x 2-4x+4=-3+4C.x 2-2x+1=23+1D. x 2-2x+1=-23+1 5、用配方法解下列方程：（1）04722=--t t ； （2）x x 6132=-（3）x x 10152=+ （4） 3y 2-y-2=06、已知(a+b)2=17，ab=3.求(a-b)2的值.【课外练习】解下列方程：（1）22x -8x+1=0； （2）212x +2x-1=0；（3）22x +3x=0； （4）32x -1=6x（编写人：赵雯君）。
4.2一元二次方程的解法（因式分解法）教学目标：1．应用因式分解法解一些一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．教学重点：应用因式分解法解一元二次方程．教学过程：复习： 把下列各式因式分解（1）x x -22 （2）2216y x -（3）162492+-a a （4）16)2(2--x （5）2310x x +- （6）23103x x -+例题讲评：例1．用因式分解法解一元二次方程（1）x x 42-= （2）0)3(3=+-+x x x（3）0)12(22=--x x （4）291240y y -+=(5)01242=-+x x (6)271360x x -+=能用因式分解法解的一元二次方程须满足这样的条件： 例2.解下列一元二次方程（1）09)1(6)1(2=+---x x （2）()22932x x -=-(3)2(1)0()x a x a a -++=为常数 (4) ()()5412=-+x x例3．小明解方程)2(4)2(2+=+x x 时，在方程的两边都除以（x +2），的x +2=4，解得x =2，你认为对吗？为什么？用因式分解法解一元二次方程的步骤是（1）通过移项，将方程右边化为零；（2）将方程左边分解成两个__________次因式之积；（3）分别令每个因式等于零，得到两个一元一次方程；（4）分别解这两个__________，求得方程的解．课堂练习：1.方程x （x +1）=3（x +1）的解的情况是 （ ）A ．x =-1B ．x =3C ．3,121=-=x xD ．以上答案都不对2.已知322--=x x y ，当x = 时，y 的值是-3．3．解下列一元二次方程（1）0)3)(12(=++y y （2）032=-x x（3）01272=+-x x （4）)12(3)12(4-=-x x x（5）0502022=+-x x （6）0)1(922=--t t（7）()()04323322=-+-+x x (8) 025)5(4=+-y y(9)()()02123122=++++y y （10）02222=-++b a ax x (a 、b 为常数)课后练习： 姓名：1．方程x 2 = x 的根是2．（1）已知最简二次根式62+x 与x 5是同类二次根式，则x=（2）已知最简二次根式x x 32+与x +15是同类二次根式，则x=3．方程（x －1）（x －2）=0的两根为x 1，x 2且x 1＞x 2，则x 1－2x 2=4．已知实数x 满足4x 2－4x +1=0，则代数式2x +x 21的值为5．要使分式2544x x x -+-的值为0，则x 应该等于6．方程2x (5x －3)+2 (3－5x )=0的解是x 1=_________，x 2=_________7．当x = 时，代数式562++x x 的值与1-x 的值相等8．下列说法正确的是 （） A ．解方程t 2 = t ，得t =1 B ．由（x +1）（x －3）=3，可得x +1=3或x －3=3C ．方程2(21)3(21)0x x +++=，两边都除以2x +1，解得x 1=x 2=－2D ．方程2690x x -+=的根是x 1=x 2=39．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是 （） A ．(2x －2)(3x －4)=0 ∴2－2x =0或3x －4=0B ．(x +3)(x －1)=1 ∴x +3=0或x －1=1C ．(x －2)(x －3)=2×3 ∴x －2=2或x －3=3D ．x (x +2)=0 ∴x +2=010．方程ax (x －b )+(b －x )=0的根是 （）A ．x 1=b , x 2=aB ．x 1=b , x 2=a 1C ．x 1=a , x 2=b 1D ．x 1=a 2, x 2=b 211．用因式分解法解下列方程（1）022=+x x （2）2(1)2(1)0y y y -+-=（3） 2491210x -= （4）229124(32)x x x -+=-（5）05522=+-x x （6）2(2)4(2)30x x +-++=（7）0122=-+x x(8)2)2(3-=-x x x（9）04)1(2=--x (10)01)2(2)2(2=+---x x（11）024102=-+x x （12） 03232=--x x12．用适当的方法解下列方程（1）（x +3）（x －1）= 5 （2）0)12(1622=+-x x（3）2(21)3(21)x x -=+ （4） 0142=--x x13．已知()()0622222=-+-+b a b a ，求22b a +的值．14.已知关于x 的一元二次方程0)1()1(232=+-+++k k k x kx 的一个根为0，求k 的值．。
一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知识讲解（提高）责编：常春芳【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,2x =② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1．解关于x 的方程2()(42)50m n x m n x n m ++-+-=．【答案与解析】(1)当m+n ＝0且m≠0，n≠0时，原方程可化为(42)50m m x m m +--=．∵ m≠0，解得x ＝1．(2)当m+n≠0时，∵ a m n =+，42b m n =-，5c n m =-，∴ 2224(42)4()(5)360b ac m n m n n m m -=--+-=≥，∴ 24|6|2()n m m x m n -±==+，∴ 11x =，25n m x m n-=+．【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论．举一反三：【高清ID 号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用公式法解含有字母系数的一元二次方程---例2练习】【变式】解关于x 的方程2223(1)x mx mx x m ++=+≠；【答案】原方程可化为2(1)(3)20,m x m x -+-+= ∵1,3,2,a mb mc =-=-= ∴ 2224(3)8(1)(1)0b ac m m m -=---=+≥，∴ 3(1),2(1)m m x m -±+==- ∴ 122, 1.1x x m==-2． 用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m ；【答案与解析】方程整理为224214540m m m m m --++--=，∴ 22130m m --=，∴ a ＝1，b ＝-2，c ＝-13，∴ 224(2)41(13)56b ac -=--⨯⨯-=，∴ m ==1==，∴ 11m =+21m =．【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解.举一反三：【高清ID 号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用因式分解法解含字母系数的一元二次方程---例5（3）】【变式】用公式法解下列方程：【答案】∵21,3,2,a b m c m ==-= ∴22224(3)4120b ac m m m -=--⨯⨯=≥∴32m m x ±==∴122,.x m x m ==类型二、因式分解法解一元二次方程3．（2015•东西湖区校级模拟）解方程：x 2﹣1=2（x+1）．【答案与解析】解：∵x 2﹣1=2（x+1），∴（x+1）（x ﹣1）=2（x+1），∴（x+1）（x ﹣3）=0，∴x 1=﹣1，x 2=3．【总结升华】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，左边先平方差公式分解，然后提取公因式（x+1），注意不要两边同除（x+1），这样会漏解.举一反三：【变式】解方程（2015·茂名校级一模）（1）x 2-2x-3=0； （2）（x-1）2+2x(x-1)=0．【答案】解：（1）分解因式得：（x-3）（x+1）=0∴x-3=0，x+1=0∴x 1=3,x 2=-1.（2）分解因式得：（x-1）（x-1+2x ）=0∴x-1=0，3x-1=0∴x 1=1,x 2=.134．如果2222()(2)3x y x y ++-=，请你求出22x y +的值．【答案与解析】设22x y z +=，∴ z(z-2)＝3．整理得：2230z z --=，∴ (z-3)(z+1)＝0．∴ z 1＝3，z 2＝-1．∵ 220z x y =+>，∴ z ＝-1(不合题意，舍去)∴ z ＝3．即22x y +的值为3．【总结升华】如果把22x y +视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x 、y 的值，然后计算22x y +，但实际上如果把22x y +看成一个整体，那么原方程便可化简求解。
一元二次方程的解法(三).•公式法，因式分解法一巩固练习(提高)【巩固练习】一、选择题1 .方程(x —3)(x+2)=l 的解为().A.x=3B.x=-2C.%=3,X 2=-2D.以上结论都不对2 .整式x+1与整式x-4的积为x'-3x-4,则一元二次方程--3*-4=0的根是（）. A•Xi=-1,X2=—4B.Xi=11,X2=4C.Xi=L X 2=4D.Xi=LX2=-43 .如果x2+x-l=0,那么代数式d+2/—7的值为（） A.6B.8C.-6D.-84 .若关于x 的一元二次方程(mT )x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0,则m 的值等于()A.1B.2C.1或2D.06.(2015•广安)一个等腰三角形的两条边长分别是方程X 2-7X +10=0的两根，则该等腰三角形周长是().A.12B.9C.13D.12或9二、填空题7 .已知实数x 满足4X 2-4X +1=0,则代数式2x+4-的值为. 2x8 .已知y=x 2+x-6,当x= __________ 时,y 的值是24.9 .若方程/+如+〃可以分解成(x-3)与(x+4)的积的形式，则m=,n=10 .若规定两数a 、b 通过“※”运算，得到4ab,B|Ja^b=4ab,例如2X6=4X2X6=48.(1)则3X5的值为；(2)则xXx+2Xx-2X4=0中x 的值为；(3)若无论x 是什么数，总有aXx=x,则a 的值为.11 .(2014秋•王益区校级期中)阅读下面的材料，回答问题：解方程X4-5x2+4=。
，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x 2=y,那么x4二y2,于是原方程可变为y 2-5y+4=0①，解得yi=l,y2=4.当y=l 时,x 2=l,x=±l ； 当y=4时,X 2=4,/.X =+2；原方程有四个根:xi=l,X2=-1,X3=2,X4=-2.(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用—法达到—的目的，体现了数学的转化思想.(2)方程(x 2+x)2-4(x 2+x)-12=0的解为.12 .若方程(2012x)2-2011X2013x-1=0的较大根为a,方程--2012*-2013=0的较小根为b,5.若代数式 （X — 2）（% — 1）的值为零，则X 的取值是(）- A. x= 2 或 x = lC. x=2 B. x= 2 且 x = lD. x=-l则(Q+。
