【状元之路】(新课标 通用版)2015届高考数学一轮复习 5-3三角函数的图像与性质检测试题(2)文

第三节 三角函数的图像与性质预习设计 基础备考知识梳理 1．“五点法”作图原理在确定正弦函数x y sin =在[O ，2π]上的图像形状时，起关键作用的五个点是 、 、 、 、2．三角函数的图像和性质3．函数),sin(ϕω+=x A y 或,0)(cos(>+=ωϕωx A y 且为常数）的周期=T ，函数,0)(tan >+<=ωϕωx A y 且为常数）的周期T=典题热身1．若直线a y =与函数x y sin =的图像相交，则相邻的两交点间的距离的最大值为 ( )2π⋅A π.B 23.πc π2.D答案 D2．（2011．课标全国卷）设函数++=)42sin()(πx x f ),42cos(π+x 则 ( ))2,0()(π在x f y A =⋅单调递增，其图像关于直线4π=x 对称)2,0()(π在x f y B =⋅单调递增，其图像关于直线2π=x 对称 )2,0()(π在x f y C =⋅单调递减，其图像关于直线4π=x 对称 )2,0()(π在x f y D =⋅单调递减，其图像关于直线2π=x 对称 答案 D3．(2011．山东高考)若函数)0(sin )(>=ωωx x f 在区间]3,0[π上单调递增，在区间]2,3[ππ上单调递减，则=ω ( )32.A 23.B 2.C 3.D 答案 B4．(2011．天津高考)已知函数,),sin(2)(R x x x f ∈+=φω其中..,0πϕπω<<->若)(x f 的最小正周期为6π，且当=x ,2时π)(x f 取得最大值，则 ( ) )(.x f A 在区间[一2π，O]上是增函数B ．)(x f 在区间[ -3π，—π]上是增函数C ．)(x f 在区间[3π，5π]上是减函数D ．)(x f 在区间[4π，6π]上是减函数 答案 A5．（2011．辽宁高考）已知函数)tan()(ϕω+=x A x f ,)2||,0(⋅<>πϕω)(x f y =的部分图像如图，则=)24(πf ( )32.+A 3.B 33.c 32.-D答案 B课堂设计 方法备考题型一 三角函数的定义域 【例1】求下列函数的定义域：);1sin 2lg()1(-=x y.16cos )2(x x y -+=题型二 三角函数的值域和最值【例2】已知函数.,1)cos (sin cos 2)(R x x x x x f ∈+-= (1)求函数)(x f 的值域； (2)求函数)(x f 在区间]43,8[ππ上的最小值和最大值．题型三 三角函数的单调性 【例3】求下列函数的单调区间：)4sin(2)1(π-=x y 的减区间；)23tan()2(x y -=π的减区间，题型四 三角函数的周期性和对称性【例4】(1)如果函数)2cos(3ϕ+=x y 的图像关于点)0,34(π中心对称，那么｜ϕ｜的最小值是 ( )6π⋅A 4π⋅B 3π⋅c 2π⋅D|sin |)2(x y =的最小正周期为]2,0[,cos 2)3(π∈=x x y 与2=y 围成封闭图形的面积为技法巧点1．函数)sin(ϕω+=x A y 的单调性的求法求函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的单调区间时，基本思路是把ϕω+x 看成一个整体，由≤+≤+-φωππx k 22)(22z k k ∈+ππ解出x 的范围是增区间，由≤+ππk 22ππφωk x 223+≤+ )z k ∈（解出x 的范围为减区间，求)0,0)(sin(>>+-=ωϕωA x A y 的单调区间，只需求)s i n (φω+=x A y 的相反区间即可，一般常用复合函数的单调性法则或数形结合求解，对于 )tan(),cos(φωφω+=+=x A y x A y 的单调性的讨论 同上2．三角函数值的大小比较利用三角函数的单调性比较大小时，往往是利用奇偶性、周期性或诱导公式转化为同一单调区间的两个同名函数值，再用单调性比较． 3．三角函数的值域或最值的求法求三角函数的值域或最值时，通常是把函数式恒等变形为一个角的一种三角函数的形式，如),sin(ϕω+=x A y 或者利用换元法转化为一元二次函数的最值问题，但都应特别注意z 的取值范围对三角函数值的限制，不能机械地套用三角函数的有界性．随堂反馈1．（2010．合肥联考）函数x x y cos sin 21-=的最小正周期为；（ )2π⋅A π.B π2.c π4.D2．设点P 是函数)0(sin )(=/=ωωx x f 的图像c 的一个对称中心，若点P 到图像C 的对称轴的距离的最小值是,4π则)(x f 的最小正周期是( ） π2.A π.B 2π⋅c ⋅⋅4πD3．函数)32sin(π+=x y 的图像（ ）A ．关于点)0,3(π对称 B ．关于直线4π=x 对称 C ．关于点)0,4(π对称， D ．关于直线3π=x 对称4．在下列函数中，同时满足以下三个条件的是 ( ) ①在)2,0(π上递减；②以2n 为周期；③是奇函数．x y A tan .= sx y B ∞=⋅ x y C sin -=⋅ x x y D cos sin =⋅5．已知函数),)(2sin()(R x x x f ∈-=π下面结论错误的是( )A ．函数)(x f 的最小正周期为2πB ．函数)(x f 的区间]2,0[π上是增函数C ．函数)(x f 的图像关于直线0=x 对称D ．函数)(x f 是奇函数高效作业 技能备考一、选择题1．（2011．纛兴模拟）已知在函数Rxx f πsin3)(=图像上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在222R y x =+上，则)(x f 的最小正周期为( )1.A2.B3.c4.D2．(2011．枣庄调研)已知函数3sinxy π=在区间[o ，t]上至少取得两次最大值，则正整数t 的最小值是( )6.A7.B8.c9.D3．函数)0(tan )(>=x x x f ω图像的相邻的两支截直线4π=y 所得线段为,4π则)4(πf 的值是( ) 0.A 1.B 1.-c 4π⋅D4．若函数x y ωcos 2=在区间]32,0[π上递减，且有最小值1，则w 的值可以是( ) 2.A 21.B 3.C 31.D5．函数x x x f cos 2sin )(2+=在区间],32[θπ-上的最大值为l ，则θ的值是( ) 0.A 3π⋅B 2π⋅c 2.π-D6．（2011．福建六校联考）若函数)(x f 同时满足下列三个性质：①最小正周期为丌；②图像关于直线3π=x 对称；③在区间]3,6[ππ-上是增函数．则)(x f y =的解析式可以是( ))62sin(π-=⋅x y A )62sin(π+=⋅x y B )62cos(π-=⋅x y C )32cos(π+=⋅x y D二、填空题 7．函数)34cos(π+=x y 的图像的两条相邻对称轴间的距离为8．（2011．青岛模拟）若函数)cos(3)(θω+=x x f 的对任意的x 都有),6()6(x f x f -=+ππ则)6(πf 等于9．（2011．绍兴月考）关于函数∈+=x x x f （)32sin(4)(π),R 有下列命题： ①由,0)()(21==x f x f 可得21x x -必是π的整数倍；)(x f y =②的表达式可改写为);62cos(4π-=x y)(x f y =③的图像关于点)0,6(π-对称；)(x f y =④的图像关于直线6π-=x 对称.其中正确的命题序号是 ．（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题10．(2011．怀化模拟)设函数),0)(2sin()(<<-+=ϕπϕx x f )(x f y =图像的一条对称轴是直线⋅=8πx (1)求ϕ；(2)求函数)(x f y =的单调增区间．11．已知函数a R a x a x x f ,cos 2sin )(2∈+=（为常数），且4π是函数)(x f y =的零点． (1)求a 的值，并求函数)(x f 的最小正周期； (2)若],2,0[π∈x 求函数)(x f 的值域，并写出)(x f 取得最大值时x 的值，12.已知a>0，函数,2)62sin(2)(b a x a x f +++-=π当]2,0[π∈x 时，.1)(5≤≤-x f (1)求常数a ，b 的值； (2)设),2()(π+=x f x g 且,0)](lg[>x g 求)(x g 的单调区间.。

开卷速查 规范特训课时作业 实效精炼开卷速查(25) 正弦定理和余弦定理一、选择题1．[2013·北京]在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B 等于( ) A.15 B.59 C.53 D ．1解析：根据正弦定理，a sin A ＝b sin B ，则sin B ＝b a sin A ＝53×13＝59，故选B 项．答案：B2．[2013·山东]△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．2 3B ．2 C. 2D ．1解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：1sin A ＝3sin B ， 又∵B ＝2A ，∴1sin A ＝3sin2A ＝32sin A cos A ， ∴cos A ＝32，∴∠A ＝30°， ∴∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴c ＝ 12＋(3)2＝2.答案：B3．已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为12，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3C.3＋33D ．2＋ 3解析：∵12ac sin B ＝12，∴ac ＝2，又2b ＝a ＋c ，∴a 2＋c 2＝4b 2－4，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b ＝3＋33.答案：C4．[2013·天津]在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A.1010B.105C.31010D.55解析：在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝2＋9－2×2×3×22＝5，即得AC ＝ 5.由正弦定理AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC ，即522＝3sin ∠BAC，所以sin ∠BAC ＝31010.答案：C5．[2013·辽宁]在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：根据正弦定理：a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b 等价于sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，即sin(A ＋C )＝12.又a ＞b ，∴∠A ＋∠C ＝5π6，∴∠B ＝π6.故选A 项． 答案：A6．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°解析：依题意由正弦定理得sin C ＝3sin A ，又B ＝30°，∴sin C ＝3sin(150°－C )＝32cos C ＋32sin C ，即－12sin C ＝32cos C ，∴tan C ＝－3，又0°＜C ＜180°，因此C ＝120°.答案：A7．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B ，则∠B 等于( )A.π6 B.π4 C.π3D.3π4解析：针对a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B 利用正弦定理边角互化可得 a 2＋c 2－2ac ＝b 2，即a 2＋c 2－b 2＝2ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22，∴B ＝π4. 答案：B8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3b sin A ，则△ABC 的面积等于( )A.12B.32 C ．1D.34解析：∵a ＝3b sin A ，∴由正弦定理得sin A ＝3sin B sin A ，∴sin B ＝13.∵ac ＝3，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×3×13＝12，故选A.答案：A9．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4解析：因为a ，b ，c 为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，可得a ＝c ＋2，b ＝c ＋1①.又因为3b ＝20a cos A ，由余弦定理可知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，则3b ＝20a ·b 2＋c 2－a 22bc ②，联立①②，化简可得7c 2－13c －60＝0，解得c ＝4或c ＝－157(舍去)，则a ＝6，b ＝5.又由正弦定理可得，sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.故选D.答案：D10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＋c ＝4，∠B ＝30°，则c 等于( )A.135 B.125 C ．3D.134解析：在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋(c ＋b )(c －b )2ac，∵a ＝3，b ＋c ＝4，∠B ＝30°，∴3＋4(c －b )23c ＝32，即3＋4(c －b )＝3c,3＋c ＝4b ，结合b ＋c ＝4解得c ＝135.∴选A.答案：A 二、填空题11．[2014·石家庄质检一]在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝ab ，则角C 的大小为__________．解析：∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝ab ， ∴(a ＋b )2－c 2＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12. 又∵0＜C ＜π，∴C ＝2π3. 答案：2π312．在△ABC 中，∠B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为__________．解析：由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos120°，即49＝25＋BC 2＋5BC ，解得BC ＝3.故S △ABC ＝12AB ·BC sin120°＝12×5×3×32＝1534.答案：153413．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝__________.解析：∵(a ＋b )2－c 2＝ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ＝120°.答案：120°14．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝__________.解析：因为cos A ＝35，cos B ＝513，所以sin A ＝45，sin B ＝1213，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得c ＝b sin C sin B ＝3×56651213＝145.答案：145 三、解答题15．[2013·课标全国Ⅱ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解析：(1)由已知及正弦定理得 sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B . 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C . 由①②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B ， 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1. 答案：(1)π4；(2)2＋1.16．[2013·江西]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解析：(1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0，即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0， 又cos B ≠0，所以tan B ＝3， 又0＜B ＜π，所以B ＝π3.(2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12， 有b 2＝3⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋14. 又0＜a ＜1，于是有14≤b 2＜1，即有12≤b ＜1. 答案：(1)π3；(2)12≤b ＜1.创新试题 教师备选教学积累 资源共享教师用书独具1．[2013·山东]设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．解析：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79， 所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429. 由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223. 因为a ＝c ，所以A 为锐角． 所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.2．[2013·浙江]在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．解析：(1)由2a sin B ＝3b 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得 sin A ＝32.因为A 是锐角，所以A ＝π3.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，得 b 2＋c 2－bc ＝36.又b ＋c ＝8，所以bc ＝283.由三角形面积公式S ＝12bc sin A ，得△ABC 的面积为733. 3．[2013·北京]在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ， (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解析：(1)∵a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ， ∴在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin2A . ∴2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知，cos A ＝63，∴sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又∵∠B ＝2∠A ，∴cos B ＝2cos 2A －1＝13.∴sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539. ∴c ＝a sin C sin A ＝5.4．[2013·天津]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3的值． 解析：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B ，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝3c sin B ，可得a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6.(2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，进而得cos2B ＝2cos 2B －1＝－19，sin2B ＝2sin B cos B ＝459.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＝sin2B cos π3－cos2B sin π3＝45＋318. 5．[2013·四川]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 解析：(1)由2cos2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35， 即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35. 则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35. (2)由cos A ＝－35，0＜A ＜π，得sin A ＝45， 由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，a 2由题知a ＞b ，则A ＞B ，故B ＝π4. 根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35， 解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.6．[2013·重庆]在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2.(1)求C ；(2)设cos A cos B ＝325，cos (α＋A )cos (α＋B )cos 2α＝25，求tan α的值． 解析：(1)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－22，故C ＝3π4.(2)由题意得(sin αsin A －cos αcos A )(sin αsin B －cos αcos B )cos 2α＝25. 因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )＝25，tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B ＝25， tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B ＝25.①因为C ＝3π4，A ＋B ＝π4，2因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ， 即325－sin A sin B ＝22，解得sin A sin B ＝325－22＝210.由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4.。

考题调研 成功体验最有价值 备考训练1．[2013·天津]函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22 C.22 D ．0解析：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，当2x －π4＝－π4，即x ＝0时，f (x )取得最小值－22.答案：B2．[2013·江西]函数y ＝sin2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为__________． 解析：∵y ＝sin2x ＋3(1－cos2x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3， ∴T ＝2π2＝π.答案：π3．[2013·课标全国Ⅰ]设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.解析：f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫15sin x －25cos x ， 令cos α＝15，sin α＝－25，则f (x )＝5sin(α＋x )， 当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )有最大值5，即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α＝－25＝－255. 答案：－2554．[2013·安徽]已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性． 解析：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx＝2(sin2ωx ＋cos2ωx )＋ 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上单调递减． 答案：(1)1；(2)f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上是减函数．5．[2013·天津]已知函数f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值． 解析：(1)f (x )＝－2sin2x ·cos π4－2cos2x ·sin π4＋3sin2x －cos2x ＝2sin2x－2cos2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2上是减函数，又f (0)＝－2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝22，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为22，最小值为－2.答案：(1)π；(2)最大值为22，最小值－2.。

【状元之路】（新课标，通用版）2015届高考数学一轮复习 9-4直线、平面平行的判定与性质检测试题（2）文一、选择题1．已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线解析：因为a与B确定一个平面，该平面与β的交线即为符合条件的直线．答案：D2．对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是( )A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n解析：A中n与α可能相交，B中n与α可能平行，D中m、n可能相交，C中m即m、n所在平面与α的交线．答案：C3．已知直线a、b和平面α、β，则在下列命题中，真命题为( )A．若a∥β，α∥β，则a∥αB．若α∥β，a⊂α，则a∥βC．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥bD．若a∥β，b∥α，α∥β，则a∥b解析：A中a可能在α内，C中a、b可能异面，D中a、b可能异面，B中α∥β，a⊂α，则a与β无公共点，∴a∥β.答案：B4．在空间，下列命题正确的是( )A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析：由于两条平行直线的平行投影可以平行也可以重合，因此A不对．平行于同一直线的两个平面可以平行也可以相交，故B 不对．垂直于同一平面的两个平面可以相交也可以平行，故C 不对．由于垂直于同一平面的两条直线平行，故D 正确.答案：D5．已知m 、n 是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面．下列命题中正确的是( )A ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB ．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC ．若m∥α，n∥α，则m∥nD ．若m∥α，m∥β，则α∥β解析：对于D 选项，m∥α，m∥β时，α、β可以平行，也可以相交，如m 平行于α、β的交线时，α、β便相交，∴D 错；对于C 选项，m∥α，n∥α时，m 、n 可以平行，也可以相交，也可以异面，∴C 错；对于A 选项，α⊥γ， β⊥γ时，α、β可以平行，也可以相交(也可以参照教室的一角)，∴A 错；对于B ，当m⊥α，n⊥α时，根据直线与平面垂直的性质定理知m∥n，故B 正确.答案：B6．设x 、y 、z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y 、z 均为直线；②x、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x、y 、z 均为平面，其中使“x⊥z 且y⊥z ⇒x∥y”为真命题的是( )A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②解析：根据空间中的直线、平面的位置关系的判断方法去筛选知②、③正确． 答案：C7．用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④解析：由平行公理可知①正确；②不正确，若三条直线在同一平面内，则a∥c；③不正确，a 与b 有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知④正确.答案：C8．已知m 、n 为直线，α、β为平面，给出下列命题：①⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αm⊥n ⇒n∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫m⊥βn⊥β⇒m∥n；③⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αm⊥β⇒α∥β；④⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂βα∥β⇒m∥n.其中正确命题的序号是( )A ．③④B ．②③C ．①②D ．①②③④解析：①不正确，n可能在α内．②正确，垂直于同一平面的两直线平行．③正确，垂直于同一直线的两平面平行．④不正确，m、n可能为异面直线．故选B.答案：B9．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是( )①②③④A．①② B．①④C．②③ D．③④解析：由线面平行的判定定理知图①②可得出AB∥平面MNP.答案：A10．[2014·某某质检一]设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若a⊥α且a⊥b，则b∥αB．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥βC．若a∥α且a∥β，则α∥βD．若γ∥α且γ∥β，则α∥β解析：对于A选项，若a⊥α且a⊥b，则b∥α或b⊂α，故A选项不正确；对于B选项，若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β或α与β相交，故B选项不正确；对于C选项，若a∥α且a∥β，则α∥β或α与β相交，故C选项不正确．排除A、B、C三选项，故选D.答案：D二、填空题11．在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是__________．解析：如图，连接AM 并延长交CD 于E ，连接BN 并延长交CD 于F 由重心性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN∥AB，因此，MN∥平面ABC 且MN∥平面ABD.答案：平面ABC 、平面ABD12．如图所示，ABCD­A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝__________.解析：∵平面ABCD∥平面A 1B 1C 1D 1， ∴MN∥PQ.∵M、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点，AP ＝a3，∴CQ＝a 3，从而DP ＝DQ ＝2a 3，∴PQ＝223 a.答案：223a13．如图所示，在正四棱柱ABCD­A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件__________时，有MN∥平面B 1BDD 1.解析：由题意，得HN∥面B 1BDD 1，FH∥面B 1BDD 1. ∵HN∩FH＝H ，∴面NHF∥面B 1BDD 1.∴当M 在线段HF 上运动时，有MN∥面B 1BDD 1. 答案：M∈线段HF14．已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D 且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为__________．解析：根据题意可得到以下如图两种情况：可求出BD 的长分别为245或24.答案：24或245三、解答题15．如图，已知平行四边形ABCD 中，BC ＝6，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．(1)求证：GH∥平面CDE ；(2)若CD ＝2，DB ＝42，求四棱锥F­ABCD 的体积． 解析：(1)证明：方法一：∵EF∥AD，AD∥BC， ∴EF∥BC.又EF ＝AD ＝BC ，∴四边形EFBC 是平行四边形， ∴H 为FC 的中点．又∵G 是FD 的中点，∴HG∥CD. ∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， ∴GH∥平面CDE.方法二：连接EA ，∵ADEF 是正方形，∴G 是AE 的中点． ∴在△E AB 中，GH∥AB. 又∵AB∥CD，∴GH∥CD. ∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， ∴GH∥平面CDE.(2)∵平面ADEF⊥平面ABCD ，交线为AD ， 且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD. ∵AD＝BC ＝6，∴FA＝AD ＝6.又∵CD＝2，DB ＝42，CD 2＋DB 2＝BC 2， ∴BD⊥CD.∵S ▱ABCD ＝CD·BD＝82， ∴V F­ABCD ＝13S ▱ABCD ·FA＝13×82×6＝16 2.答案：(1)证明略；(2)16 2.16．如图，四棱锥P­ABCD 中，PD⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD ＝DC ＝4，AD ＝2，E 为PC 的中点．(1)求三棱锥A­PDE 的体积；(2)AC 边上是否存在一点M ，使得PA∥平面EDM ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．解析：(1)∵PD⊥平面ABCD ， ∴PD⊥AD. 又∵ABCD 是矩形， ∴AD⊥CD. ∵PD∩CD＝D ， ∴AD⊥平面PCD ，∴AD 是三棱锥A­PDE 的高． ∵E 为PC 的中点，且PD ＝DC ＝4， ∴S △PDE ＝12S △PDC ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×4＝4. 又AD ＝2，∴V A －PDE ＝13AD·S △PDE ＝13×2×4＝83.(2)取AC 中点M ，连接EM ，DM ，∵E 为PC 的中点，M 是AC 的中点，∴EM∥PA. 又∵EM ⊂平面EDM ，PA ⊄平面EDM ， ∴PA∥平面EDM. ∴AM＝12AC ＝ 5.即在AC 边上存在一点M ，使得PA∥平面EDM ，AM 的长为 5. 答案：(1)83；(2)AM ＝5，理由略．创新试题 教师备选 教学积累 资源共享 教师用书独具1．如图，正方体ABCD­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，CC 1的中点， 在平面ADD 1A 1内且与平面D 1EF 平行的直线( )A ．不存在B ．有1条C ．有2条D ．有无数条解析：由题设知平面ADD 1A 1与平面D 1EF 有公共点D 1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l ，在平面ADD 1A 1内与l 平行的线有无数条，且它们都不在平面D 1EF 内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D 1EF 平行．答案：D2．[2014·某某四校联考]在空间内，设l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是( )A ．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，则l⊥γB ．l∥α，l∥β，α∩β＝m ，则l∥mC ．α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l∥m，则l∥nD ．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β解析：对于A ，∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，∴该命题是真命题；对于B ，∵如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，∴该命题是真命题；对于C ，∵如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，∴该命题是真命题；对于D ，当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，∴D 不正确．答案：D3．已知m 、n 、l 1、l 2表示直线，α、β表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则α∥β的一个充分条件是( )A ．m∥β且l 1∥αB ．m∥β且n∥βC ．m∥β且n∥l 2D ．m∥l 1且n∥l 2解析：由m∥l 1且n∥l 2可得α∥β，但α∥β不能得到m∥l 1且n∥l 2，故选D . 答案：D4．棱长为2的正方体ABCD­A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C 、M 、D 1作正方体的截面，则截面的面积是__________．解析：由面面平行的性质知截面与平面AB 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线，所以截面是梯形CD 1MN ，易求其面积为92.答案：925．[2014·某某模拟]如图，FD 垂直于矩形ABCD 所在平面，CE∥DF，∠DEF＝90°.(1)求证：BE∥平面ADF；(2)若矩形ABCD的一边AB＝3，EF＝23，则另一边BC的长为何值时，三棱锥F­BDE的体积为3？解析：(1)证明：过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM.∵CE∥DF，∴四边形CEMD是平行四边形．可得EM＝CD且EM∥CD，于是四边形BEMA也是平行四边形，∴有BE∥AM.而AM⊂平面ADF，BE⊄平面ADF，∴BE∥平面ADF.(2)由EF＝23，EM＝AB＝3，得FM＝3且∠MFE＝30°.由∠DEF＝90°可得FD＝4，从而得DE＝2.∵BC⊥CD，BC⊥FD，∴BC⊥平面CDFE.∴V F －BDE ＝V B －DEF ＝13S △DEF ×BC. ∵S △DEF ＝12DE×EF＝23，V F －BDE ＝3， ∴BC＝32. 综上当BC ＝32时，三棱锥F­BDE 的体积为 3. 答案：(1)证明略；(2)32.。

【状元之路】（新课标，通用版）2015届高考数学一轮复习 5-4函数y＝Asin(ωx ＋φ)的图像及应用检测试题（2）文一、选择题1．函数y ＝cos x (x ∈R )的图像向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图像，则g (x )的解析式应为( )A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x解析：由图像的平移得g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x .答案：A2．将函数y ＝cos2x 的图像向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝f (x )·sin x 的图像，则f (x )的表达式可以是( )A ．f (x )＝－2cos xB ．f (x )＝2cos xC ．f (x )＝22sin2x D ．f (x )＝22(sin2x ＋cos2x ) 解析：平移后的函数解析式是y ＝cos2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin2x ＝2sin x cos x ，故函数f (x )的表达式可以是f (x )＝2cos x .答案：B3．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( )A.13B ．1 C.53D ．2 解析：将函数f (x )＝sin ωx 的图像向右平移π4个单位长度，得到的图像对应的函数解析式为f (x )＝sin ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ4.又∵函数图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3ωπ4－ωπ4＝sin ωπ2＝0，∴ωπ2＝k π，即ω＝2k (k ∈Z )，∵ω>0，∴ω的最小值为2.答案：D4．函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，φ∈R )的部分图像如图所示，那么f (0)＝( )A ．－12B ．－32C ．－1D ．－ 3解析：由图可知，A ＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2， ∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝1，∴2π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )， ∴f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2k π＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.答案：C5．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图像如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，－π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，7π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12 解析：由函数的图像可得14T ＝2π3－5π12，∴T ＝π，则ω＝2，又图像过点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝2，∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D.答案：D6．[2013·某某]将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2的图像向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图像，若f (x )，g (x )的图像都经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，则φ的值可以是( ) A.5π3B.5π6 C.π2D.π6解析：∵f (x )的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴sin θ＝32. 又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴θ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由题知g (x )＝f (x －φ)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －φ＋π3，又图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32， ∴g (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2φ＋π3＝32. 当φ＝5π6时满足g (0)＝32，故选B.答案：B 二、填空题7．若将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6(ω＞0)的图像向右平移π3个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图像重合，则ω的最小值为__________．解析：依题意，将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6(ω＞0)的图像向右平移π3个单位长度后，所对应的函数是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6－π3ω(ω＞0)，它的图像与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图像重合，所以5π6－π3ω＝π4＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝74－6k (k ∈Z )．因为ω＞0，所以ωmin ＝74.答案：748．给出下列六种图像变换方法：(1)图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12；(2)图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍； (3)图像向右平移π3个单位；(4)图像向左平移π3个单位；(5)图像向右平移2π3个单位；(6)图像向左平移2π3个单位．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图像变换到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3的图像，那么这两种变换正确的标号是__________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．解析：y ＝sin x ――→4y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3――→2y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3，或y ＝sin x ――→2y ＝sin 12x ――→6y ＝sin 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3.答案：(4)(2)(或((2)(6)))9．将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像向右平移φ(φ＞0)个单位，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图像关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为__________．解析：函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像向右平移φ(φ＞0)个单位后变为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2φ，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的12倍后，得到f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4－2φ，其图像关于直线x ＝π4对称，则4×π4＋π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴φ＝3π8－k π2(k ∈Z )，当k ＝0时，φ的最小正值为38π.答案：38π10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)在x ＝π6取得最大值2，且函数f (x )的最小正周期为2π.现将函数y ＝f (x )图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再把函数图像向右平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，则g (x )＝__________.解析：由函数f (x )的最小正周期为2π且ω＞0，可得2π＝2πω，∴ω＝1.又函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)在x ＝π6取得最大值2，则A ＝2，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1，∴π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝π3.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.将函数y ＝f (x )图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，又把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π3个单位，得到g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3，∴g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 答案：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3三、解答题11．[2014·某某质检一]已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4.(1)求函数f (x )的最大值；(2)若直线x ＝m 是函数f (x )的对称轴，某某数m 的值． 解析：(1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－4x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－4x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4. ∴f (x )的最大值为2.(2)令4x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k π4＋π16(k ∈Z )．∵x ＝m 是函数f (x )的对称轴， ∴m ＝k π4＋π16(k ∈Z )． 答案：(1)2；(2)m ＝k π4＋π16(k ∈Z )． 12．[2014·某某五校联考二]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜π2.(1)若cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图像向左平移m 个单位所对应的函数是偶函数．解析：(1)由cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0得cos π4cos φ－sin π4sin φ＝0，即cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，又|φ|＜π2，∴φ＝π4.(2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4依题意，T 2＝π3，又T ＝2πω，故ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.函数f (x )的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋m ＋π4.g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π3＋π12(k ∈Z )，从而，最小正实数m ＝π12.答案：(1)π4 (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4π12创新试题 教师备选 教学积累 资源共享 教师用书独具1．[2012·某某]把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是( )A BC D解析：把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1＝cos x ＋1的图像；然后向左平移1个单位长度得到函数y ＝cos(x ＋1)＋1的图像；再向下平移1个单位长度得到函数y ＝cos(x ＋1)＋1－1＝cos(x ＋1)的图像；结合各选项中的图像可知其图像为选项A 中的图像，故应选A.答案：A2．[2014·某某调研]先将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的周期变为原来的2倍，再将所得函数的图像向右平移π6个单位，则所得函数图像的解析式为( )A ．f (x )＝2sin xB ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3C ．f (x )＝2sin4xD ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3 解析：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的周期变为原来的2倍，得到f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，再向右平移π6个单位，得到f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.答案：B3．[2014·潍坊三县检测]已知简谐振动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的振幅为32，图像上相邻最高点与最低点之间的距离为5，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，则该简谐振动的频率与初相分别为( )A.16，π6B.18，π6C.π4，π6D.16，π3解析：由题意知A ＝32，∵图像上相邻最高点与最低点之间的距离为5，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋32＝5，解得T ＝8，∴f ＝18，ω＝π4，由图像过点⎝⎛⎭⎪⎫0，34且|φ|＜π2，得φ＝π6，故选B.答案：B4．[2014·某某质检]以下关于函数f (x )＝sin2x －cos2x 的命题，正确的是( )A ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23π上单调递增 B ．直线x ＝π8是函数y ＝f (x )图像的一条对称轴C ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0是函数y ＝f (x )图像的一个对称中心 D ．将函数y ＝f (x )的图像向左平移π8个单位，可得到y ＝2sin2x 的图像解析：f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，将f (x )的图像向左平移π8个单位为y ＝2sin2x ，故选D.答案：D5．[2014·眉山诊断]若把函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋1的图像向右平移m (m ＞0)个单位长度，使点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1为其对称中心，则m 的最小值是( )A.π2B.π6 C.π3D ．π 解析：y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋1的图像向右平移m (m ＞0)个单位长度得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－m ＋1，∵⎝⎛⎭⎪⎫π3，1为其对称中心，∴π3＋π3－m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m 的最小值是π6. 答案：B6．[2014·某某调研]已知平面向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin θ，－cos θ)，其中0＜θ＜π，且函数f (x )＝(a·b )cos x ＋(b·c )sin x 的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1.(1)求θ的值；(2)将函数y ＝f (x )图像上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解析：(1)a·b ＝cos θcos x ＋sin θsin x ＝cos(θ－x )，b·c ＝cos x sin θ－sin x cos θ＝sin(θ－x )，∴f (x )＝(a·b )cos x ＋(b·c )sin x ＝cos(θ－x )cos x ＋sin(θ－x )sin x ＝cos(θ－x －x ) ＝cos(2x －θ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝1，而0＜θ＜π，∴θ＝π3.(2)由(1)得，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， ∴g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×12x －π3，即g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π3≤x －π3≤π6， ∴12≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3≤1， ∴当x ＝0时，g (x )取得最小值12，当x ＝π3时，g (x )取得最大值1.。