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高中数学（ B 版）必修一第一章集合1．1集合与集合的表示方法1．2集合之间的关系与运算第二章函数2．1函数2．2一次函数和二次函数2．3函数的应用（Ⅰ）2．4函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1指数与指数函数3．2对数与对数函数3．3幂函数3．4函数的应用（Ⅱ）高中数学（ B 版）必修二第一章立体几何初步1．1空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程2．3圆的方程2．4 空间直角坐标系高中数学（ B 版）必修三第一章算法初步1．1算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1随机抽样 2．2用样本估计总体 2．3 变量的相关性第三章概率3．1随机现象3．2古典概型3．3随机数的含义与应用3． 4概率的应用高中数学（ B 版）必修四第一章基本初等函 (Ⅱ)1．1任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数1．3三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1向量的线性运算2．2向量的分解与向量的坐标运算2．3平面向量的数量积2．4向量的应用第三章三角恒等变换3．1和角公式3．2倍角公式和半角公式3．3三角函数的积化和差与和差化积高中数学（ B 版）必修五第一章解直角三角形1．1正弦定理和余弦定理1．2应用举例第二章数列2．1数列2．2等差数列2．3等比数列第三章不等式3．1不等关系与不等式3．2均值不等式3．3一元二次不等式及其解法3．4不等式的实际应用3．5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题高中数学（ B 版）选修 1－ 1第一章常用逻辑用语1．1命题与量词1．2基本逻辑联结词1．3充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1椭圆2．2双曲线第三章导数及其应用3．1导数3．2导数的运算高中数学（ B 版）选修3．31－ 2导数的应用第一章第三章统计案例数系的扩充与复数的引入第二章第四章推理与证明框图高中数学（ B 版）选修 2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词 1.2基本逻辑联结词1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程 2.2椭圆 2.3双曲线2.4抛物线 2.5直线与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算 3.2空间向量在立体几何中的应用高中数学（ B 版）选修 2-2第一章导数及其应用1.1导数 1.2导数的运算1.3导数的应用 1.4定积分与微积分基本定理第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念 3.2 复数的运算高中数学（ B 版）选修 2-3第一章计数原理1.1 基本计数原理 1.2 排列与组合1.3 二项式定理第二章概率2.1 离散型随机变量及其分布列2.3 随机变量的数字特征2.2 条件概率与事件的独立性2.4 正态分布第三章统计案例3.1 独立性检验 3.2 回归分析高中数学（ B 版）选修 4－4第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的压缩变换 2 极坐标系1.3曲线的极坐标方程 1.4圆的极坐标方程1.5柱坐标系和球坐标系第二章参数方程2.1 曲线的参数方程 2.2 直线和圆的参数方程2.3 圆锥曲线的参数方程高中数学（ B 版）选修 4－ 5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法式1．3绝对值不等式的解法1．41．2 基本不等绝对值的三角不等式1．5不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2排序不等式2．3平均值不等式(选学)2．4最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1 数学归纳法原理 3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。
2．2 一元二次不等式的应用知识点一 简单的分式不等式的解法[填一填][答一答]1．请写出分式不等式ax ＋b cx ＋d ≥0，ax ＋bcx ＋d≤0的同解不等式．提示：⎩⎪⎨⎪⎧(ax ＋b )(cx ＋d )≥0，cx ＋d ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧(ax ＋b )(cx ＋d )≤0，cx ＋d ≠0.知识点二用穿针引线法解简单的一元高次不等式f(x)>0的步骤[填一填](1)将f(x)最高次项的系数化为正数；(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；(3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．[答一答]2．“穿针引线法”解不等式所用的数学思想是什么？提示：数形结合的思想方法．解一般分式不等式的方法解分式不等式的关键是先把不等式的右边化为零，再通分把它化成f(x)g(x)>0(或≥0或<0或≤0)的形式，最后通过符号的运算法则，把它转化成整式不等式求解，其中：f(x) g(x)>0⇔f(x)·g(x)>0，f(x)g(x)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)>0g(x)>0或⎩⎪⎨⎪⎧f(x)<0g(x)<0，f(x) g(x)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)·g(x)≥0g(x)≠0⇔f(x)g(x)>0或f(x)＝0，f(x) g(x)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)≥0g(x)>0或⎩⎪⎨⎪⎧f(x)≤0g(x)<0.一般地，解分式不等式的过程，体现了分式不等式与整式不等式之间的转化，这种转化必须保证不等式前后的等价性．类型一 根的分布问题【例1】 已知关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0有两实根． (1)如果两实根都大于1，求实数m 的取值范围； (2)如果两实根都在区间(1,3)内，求实数m 的取值范围； (3)如果一个根大于2，另一个根小于2，求实数m 的取值范围．【思路探究】 本题属于一元二次方程根的分布问题，一元二次方程的根就是相应的二次函数的零点，即二次函数与x 轴交点的横坐标．根据方程根的分布情况可知二次函数图像的大致情况，从而转化成不等式(组)的形式，求解即可．【解】 (1)方法一：设函数f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7，作其草图，如右图． 若两实根均大于1，则⎩⎨⎧Δ＝[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，f (1)＝2>0，m －116>1，即⎩⎨⎧m ≥25或m ≤9，m ∈R ，m >17.所以m ≥25.方法二：设方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝m －18，x 1x 2＝m －78，因为两根均大于1，所以x 1－1>0，x 2－1>0，故有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，(x 1－1)＋(x 2－1)>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，m －18－2>0，m －78－m －18＋1>0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m >17，m ∈R .所以m ≥25.(2)设函数f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7.若方程的两根x 1，x 2∈(1,3)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f (1)>0，f (3)>0，1<m －116<3，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m ∈R ，m <34，17<m <49.所以25≤m <34.(3)若一根大于2，另一根小于2，则f (2)<0， 即27－m <0，解得m >27.规律方法 一元二次方程根的分布问题的处理方法1．若可转化为根的不等关系，则可直接运用根与系数的关系求解． 2．借助相应的二次函数图像，运用数形结合的思想求解，步骤如下： (1)根据题意画出符合条件的二次函数图像，标清交点所在区间； (2)运用判别式、对称轴及区间端点处的函数值的符号来确定图像的位置；(3)解不等式组，即得变量的取值范围．已知关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0.(1)若方程的一个根大于2、一个根小于2，求实数m 的取值范围； (2)若方程的两个根都在(0,2)内，求实数m 的取值范围．解：(1)令f (x )＝x 2＋(m －3)x ＋m ，因为关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的一个根大于2、一个根小于2，所以f (2)＝4＋(m －3)·2＋m <0，解得m <23.(2)若关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两个根都在(0,2)内，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，0<3－m2<2，f (0)＝m >0，f (2)＝3m －2>0，解得23<m ≤1.类型二 高次不等式的解法【例2】 解下列不等式． (1)x 3－2x 2＋3<0； (2)(x ＋1)(1－x )(x －2)>0； (3)x (x －1)2(x ＋1)3(x ＋2)≥0.【思路探究】 通过因式分解，把高次不等式化为一元一次不等式或一元二次不等式的积问题，然后再依据相关性质解答．【解】 (1)原不等式可化为(x ＋1)(x 2－3x ＋3)<0，而对任意实数x ，恒有x 2－3x ＋3>0(∵Δ＝(－3)2－12<0)．∴原不等式等价于x ＋1<0， ∴原不等式的解集为{x |x <－1}．(2)原不等式等价于(x －1)(x －2)(x ＋1)<0，令y ＝(x －1)(x －2)(x ＋1)，当y ＝0时，各因式的根分别为1,2，－1，如图所示．可得不等式的解集为{x|x<－1或1<x<2}．(3)∵方程x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)＝0的根依次为0,1，－1，－2，其中1为双重根，－1为三重根(即1为偶次根，－1为奇次根)，如图所示，由“穿针引线法”可得不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或x≥0}．规律方法解高次不等式用穿针引线法简捷明了，使用此法时一定要注意：①所标出的区间是否是所求解的范围，可取特值检验，以防不慎造成失误；②是否有多余的点，多余的点应去掉；③总结规律，“遇奇次方根一穿而过，遇偶次方根只穿，但不过”．解不等式(x＋4)(x＋5)2(2－x)3<0.解：原不等式等价于(x＋4)(x＋5)2(x－2)3>0.在数轴上标出－5，－4,2表示的点，如图所示，由图可知原不等式的解集为{x|x<－5或－5<x<－4或x>2}．类型三分式不等式的解法【例3】解不等式x2－4x＋13x2－7x＋2<1.【思路探究】解分式不等式一般首先要化为f(x)g(x)>0(或<0)的标准形式，再等价转化为整式不等式或化为一次因式积的形式来用“穿针引线法”，借助于数轴得解．【解】 解法一：原不等式可化为2x 2－3x ＋13x 2－7x ＋2>0⇔(2x 2－3x ＋1)(3x 2－7x ＋2)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－3x ＋1>0，3x 2－7x ＋2>0或⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x ＋1<0，3x 2－7x ＋2<0.解得原不等式的解集为{x |x <13或12<x <1或x >2}．解法二：原不等式移项，并因式分解得(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)>0⇔(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)>0，在数轴上标出(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)＝0的根，并画出示意图，如图所示．可得原不等式的解集为{x |x <13或12<x <1或x >2}．规律方法 解分式不等式的思路方法是等价转化为整式不等式，本题的两种解法在等价变形中主要运用了符号法则，故在求解分式不等式时，首先应将一边化为零，再行解决．解不等式x 2－6x ＋512＋4x －x 2<0.解：原不等式化为(x －1)(x －5)(x ＋2)(x －6)>0.画数轴，找因式根，分区间，定符号． 在各个区间内，(x －1)(x －5)(x ＋2)(x －6)的符号如下：∴原不等式解集是{x |x <－2或1<x <5或x >6}．类型四 一元二次不等式的应用【例4】 当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解是全体实数．【思路探究】 利用函数与不等式之间的关系，问题可转化为函数y ＝(a 2－1)x 2－(a －1)x －1的图像恒在x 轴下方．【解】 ①当a 2－1≠0，即a ≠±1时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝[－(a －1)]2＋4(a 2－1)<0， 解得－35<a <1.②当a 2－1＝0，即a ＝±1时，若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立． 若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0， 即x <12，不符合题目要求，舍去．综上所述，当－35<a ≤1时，原不等式的解为全体实数．规律方法 此类问题主要考查二次函数与二次不等式之间关系的应用，可以借助二次函数图像的开口方向以及与x 轴的交点情况解决，一般地有如下结论：(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c >0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a >0Δ<0；不等式ax 2＋bx ＋c <0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b＝0，c <0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a <0Δ<0.类似地，还有f (x )≤a 恒成立⇔[f (x )]max ≤a .f (x )≥a 恒成立⇔[f (x )]min ≥a .(2)讨论形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式恒成立问题必须对a ＝0或a ≠0分类讨论，否则会造成漏解，切记！已知关于x 的一元二次不等式ax 2＋ax ＋a －1<0的解集为R ，求a 的取值范围． 解：关于x 的一元二次不等式ax 2＋ax ＋a －1<0的解集为R ，所以有⎩⎨⎧a <0a 2－4a (a －1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0a >43或a <0，所以a <0.【例5】 有纯农药液一桶，倒出8 L 后用水补满，然后又倒出4 L 后再用水补满，此时桶中农药液的浓度不超过28%，则桶的容积最大为多少？【思路探究】 如果桶的容积为x L ，那么第一次倒出8 L 纯农药液，桶内还有(x －8) L 纯农药液，用水补满后，桶中农药液的浓度为x －8x ×100%.第二次又倒出4 L 农药液，则倒出的纯农药液为4(x －8)x L ，此时桶内有纯农药液⎣⎡⎦⎤(x －8)－4(x －8)x L.【解】 设桶的容积为x L. 依题意，得(x －8)－4(x －8)x≤28%·x .∵x >0，∴原不等式可化简为9x 2－150x ＋400≤0， 即(3x －10)(3x －40)≤0，∴103≤x ≤403，又x >8，∴8<x ≤403，∴桶的最大容积为403L.规律方法 对于一元二次不等式的实际应用问题，先要读懂题意，找出与实际问题对应的数学模型，转化为数学问题解决．同时，必须注意其定义域要有实际意义．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，如图，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解：设花卉带宽度为x m，则草坪的长为(800－2x) m，宽为(600－2x) m，根据题意，得(800－2x)(600－2x)≥12×800×600，整理，得x2－700x＋60 000≥0，解得x≥600(舍去)或x≤100，由题意知x>0，所以0<x≤100.即当花卉带的宽度在(0,100]内取值时，草坪的面积不小于总面积的一半.——易错警示系列——解不等式时同解变形出错解不等式的关键是利用不等式的性质进行同解变形，需要注意两个方面：一是注意不等式中所含式子有意义的条件，如解分式不等式、无理不等式、对数不等式时应该注意分母不为零、开偶次方根时被开方数非负、对数的真数大于零，这是转化为整式不等式的过程中进行同解变形容易忽视的问题；二是在解一次不等式的过程中要准确利用不等式的性质进行同解变形，主要是系数化为1的过程中，不等式两边要同时乘以或同时除以同一个数，要注意该数的符号对不等式符号的影响，如果是正数，不等号的方向不变，如果是负数，不等号的方向要改变．【例6】解不等式3x－5x2＋2x－3≥2.【错解】 原不等式化为3x －5≥2(x 2＋2x －3)，∴2x 2＋x －1≤0，∴－1≤x ≤12. 【错解分析】 错用不等式性质，直接将不等式化为3x －5≥2(x 2＋2x －3)，没有等价转化导致错误．【正解】 原不等式化为3x －5x 2＋2x －3－2≥0， 即－2x 2－x ＋1x 2＋2x －3≥0. 整理得(2x －1)(x ＋1)(x －1)(x ＋3)≤0， 不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(x ＋1)(x －1)(x ＋3)≤0，(x －1)(x ＋3)≠0， 解得－3<x ≤－1或12≤x <1. 所以原不等式的解集为{x |－3<x ≤－1或12≤x <1}．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是{x |－12≤x ≤3，且x ≠1}．一、选择题1．不等式x x －1<2的解集是( D ) A ．{x |x >1}B ．{x |x <2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2}解析：原不等式可化为x x －1－2<0，即x －2x －1>0，等价于(x －1)(x －2)>0，∴x >2或x <1. 2．不等式1x ＋1(x －1)(x －2)2(x －3)<0的解集是( B ) A ．(－1,1)∪(2,3)B ．(－∞，－1)∪(1,2)∪(2,3)C ．(－∞，－1)∪(1,3)D ．R解析：利用“穿针引线法”，如图所示．∴不等式的解集是(－∞，－1)∪(1,2)∪(2,3)．二、填空题3．方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，则实数m 的取值范围是－12<m <1. 解析：因为方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，所以判别式大于零，同时两根之积小于零， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋1≠0，4m 2－4(2m ＋1)(m －1)>0，m －12m ＋1<0，解得－12<m <1. 4．不等式2－x x ＋4>0的解集是(－4,2)． 解析：不等式2－x x ＋4>0等价于(x －2)(x ＋4)<0， ∴－4<x <2.5．不等式(x －1)(x ＋2)(x ＋3)<0的解集是{x |x <－3或－2<x <1}．解析：画出数轴，如图，其解集为{x |x <－3或－2<x <1}．。
3.4不等式的实际应用一、选择题(每题5分，共20分)1．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处【解析】 设仓库建在离车站x km 处，则土地费用y 1＝k 1x，运输费用y 2＝k 2x 把x ＝10，y 1＝2代入得k 1＝20，把x ＝10，y 2＝8代入得k 2＝45， 故总费用y ＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8， 当且仅当20x ＝45x 即x ＝5时等号成立． 【答案】 A2．银行计划将某资金给项目M 和N 投资一年，其中40%的资金给项目M,60%的资金给项目N ，项目M 能获得10%的年利润，项目N 能获得35%的年利润，年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户，为了使银行年利润不小于给M 、N 总投资的10%而又不大于总投资的15%，则给储户的回扣率最小值为( )A ．5%B ．10%C ．15%D ．20% 【解析】 设给储户的回扣率为x ，由题意：⎩⎪⎨⎪⎧0.4×0.1＋0.6×0.35－x ≥0.10.4×0.1＋0.6×0.35－x ≤0.15， 解得0.1≤x ≤0.15，故x 的最小值是0.1＝10%.【答案】 B3．天文台用3.2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元(n ∈N *)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的日平均耗资最少)为止，一共使用了( )A ．600天B ．800天C ．1 000天D ．1 200天【解析】 日平均耗资为3 2000＋n ·12·⎝⎛⎭⎫5＋n ＋4910n＝3 2000n ＋n 20＋9920≥2 3 2000n ·n 20＋9920＝80＋9920，当且仅当3 2000n ＝n 20，即n ＝800时取等号． 【答案】 B4．用长度分别为2、3、4、5、6(单位：cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为( )A ．85 cm 2B ．610 cm 2C ．355 cm 2D ．20 cm 2【解析】 设三角形各边长为x 、y 、z ，且x 、y 、z ∈N ＋，则x ＋y ＋z ＝20.由于在周长一定的三角形中，各边长越接近的三角形面积越大，于是当三边长为7 cm 、7 cm 、6 cm 时面积最大，则S △＝12×6×72－32＝610(cm 2)，故选B.【答案】 B二、填空题(每题5分，共10分)5．建造一个容积为8 m 2，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．【解析】 设池底长x m ，则宽4xm ， 总造价y ＝(4x ＋16x)×80＋4×120 ≥24x ·16x×80＋480＝1 760， 当且仅当4x ＝16x即x ＝2时等号成立． 【答案】 1 7606．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价格24 000元，为了减少耕地损失，决定以每年损失耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，则t 的取值范围是____． 【解析】 由题意得(20－52t )×2 4000×t %≥9 000， 化简得t 2－8t ＋15≤0解得3≤t ≤5.【答案】 3≤t ≤5三、解答题(每题10分，共20分)7．某工厂建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1 200元/m 2，房屋侧面的造价为800元/m 2，屋顶的造价为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用，则建造此小房的最低总造价是多少元？【解析】 设房子的长为x m ，宽为y m ，总造价为t 元，则xy ＝12.t ＝3x ·1 200＋3y ·800·2＋5 800＝1 200(3x ＋4y )＋5 800≥1 200·212xy ＋5 800＝34600(当且仅当3x ＝4y 时取等号)．故最低总造价是34 600元．8．一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于(v 20)2 km ，那么这批物资全部安全到达灾区，最少需要多少小时？ 【解析】 第一辆汽车到达用400v h ，由题意每隔(v 20)2v h 到达一辆汽车， ∴400v ＋25×(v 20)2v ＝400v ＋v 16≥2400v ×v 16＝10(h)， 当且仅当400v ＝v 16，v ＝80 km/h 时取等号． ∴每辆汽车以80 km/h 的速度行驶，最少需10 h 这批物资全部安全到达灾区．9．(10分)工厂对某种原料的全年需要量是Q 吨．为保证生产，又节省开支，打算全年分若干次等量订购，且每次用完后可立即购买．已知每次订购费用是a 元．又年保管费用率是p ，它与每次购进的数量(x 吨)及全年保管费(S 元)之间的关系是S ＝12px .问全年订购多少次才能使订购费与保管费用之和最少？并求这个最少费用的和(为简便计算，不必讨论订购次数是否为整数)．【解析】 设每次购进的数量为x 吨，则全年定购费用＝a ·Q x ，全年保管费S ＝12px ， 定购费与保管费之和y ＝a ·Q x ＋12px . 由于a ·Q x ＋12px ≥212paQ ＝2paQ ， 当且仅当a ·Q x ＝12px ，即x ＝2aQp p时取等号， 即最优批量订购数为x 0＝2aQp p(吨)， 最小费用数为y min ＝2paQ (元)，全年最佳定购次数n ＝Q x 0＝2paQ 2a(次)． 故全年订购2paQ 2a次，才能使全年的订购费用与保管费用之和最少，最少费用为2paQ 元．高$考じ试(题╬库。
一元二次不等式的解法一元二次不等式的应用基础过关练题组一一元二次不等式的解法1.(2019山东菏泽高二期末)不等式-x2-5x+6≥0的解集为()A.{x|-6≤x≤1}B.{x|2≤x≤3}C.{x|x≥3或x≤2}D.{x|x≥1或x≤-6}2.函数y=√x2+x-12的定义域是()A.{x|x<-4或x>3}B.{x|-4<x<3}C.{x|x≤-4或x≥3}D.{x|-4≤x≤3}3.(2020山东菏泽二十三校高一上期末联考)已知集合M={x|-3≤x<4},N={x|x2-2x-8≤0},则()A.M∪N=RB.M∪N={x|-3≤x<4}C.M∩N={x|-2≤x≤4}D.M∩N={x|-2≤x<4}4.设集合A={x|(x-1)2<3x+7,x∈R},则集合A∩Z中元素的个数是()A.4B.5C.6D.75.已知A={x|x2-x-6≤0},B={x|x-a>0},A∩B=⌀,则a的取值范围是()A.a=3B.a≥3C.a<3D.a≤36.解下列不等式:(1)x2-2x+3>0;(2)2+3x-2x2>0;(3)x(3-x)≤x(x+2)-1;(4)-1<x2+2x-1≤2.题组二含有参数的一元二次不等式7.若0<t<1,则不等式(x-t)(x-1x)<0的解集是()A.{x|1x <x<x} B.{x|x>1x或x<x}C.{x|x<1x 或x>x} D.{x|x<x<1x}8.若函数f(x)=√2xx的定义域为R,则常数k的取值范围是()A.(0,4)B.[0,4]C.[0,4)D.(0,4]9.不等式x2-ax-12a2<0(其中a<0)的解集为()A.(3a,-4a)B.(4a,-3a)C.(-3a,a)D.(6a,2a)10.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0.题组三三个“二次”之间的关系11.若不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|1<x<2},则a+b的值为()A.3B.1C.-3D.-112.如果ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},那么对于函数f(x)=ax2+bx+c,应有()A.f(5)<f(2)<f(-1)B.f(2)<f(5)<f(-1)C.f(-1)<f(2)<f(5)D.f(2)<f(-1)<f(5)13.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,则m的最大值为()A.1B.-1C.-3D.314.已知不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b的值;(2)解不等式ax2-(a+b)x+b<0.题组四 简单的分式不等式或高次不等式 15.(2020山东潍坊诸城高二上期中)不等式x -2x +3<0的解集为 ( )A.{x |-2<x <3}B.{x |x <-3}C.{x |-3<x <2}D.{x |x >2} 16.不等式x +24x +1≥13的解集为 ( )A.{x |-14≤x ≤5} B.{x |x ≤-14或x >5}C.{x |x <-14或x >5}D.{x |-14<x ≤5}17.若集合A ={x |xx -1≤0},B ={x |x 2<2x },则A ∩B =( )A.{x |0<x <1}B.{x |0≤x <1}C.{x |0<x ≤1}D.{x |0≤x ≤1} 18.不等式-1<1x <1的解集为 ( )A.{x |x <-1或x >1}B.{x |-1<x <0或0<x <1}C.{x |x <0或x >1}D.{x |x >1}19.不等式x -1x 2-4>0的解集是 ( )A.(-2,1)B.(2,+∞)C.(-2,1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)20.不等式x2-2x-2x2+x+1<2的解集为()A.{x|x≠-2}B.RC.⌀D.{x|x<-2或x>2}题组五一元二次不等式的实际应用21.某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份增长x%,八月份销售额比七月份增长x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7000万元,求x的最小值.22.一个小服装厂生产某种风衣,月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160-2x,生产x件的成本R=(500+30x)元.(1)当该厂的月产量为多少时,月获得的利润不少于1300元?(2)当该厂的月产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少元?能力提升练一、选择题1.(2021山西运城高一上联考,)设集合A={x|x-1x-3<0},B={x|2x-3>0},则A∪B=()A.{x|-3<x<32} B.{x|x<-3或x>32}C.{x|1<x<32} D.{x|x>1}2.()在R 上定义运算☉:a ☉b =ab +2a +b ,则满足x ☉(x -2)<0的实数x 的取值范围为 ( )A.(0,2)B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-1,2) 3.()二次函数f (x )的图像如图所示,则f (x -1)>0的解集为 ( )A.(-2,1)B.(0,3)C.(1,2]D.(-∞,0)∪(3,+∞) 4.()若不等式(a -2)x 2+2(a -2)x -4<0对任意实数x 均成立,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-2,2]B.[-2,2]C.(2,+∞)D.(-∞,2] 5.(2019山东菏泽高二期末,)已知关于x 的不等式ax +b >0的解集是(-∞,-1),则关于x 的不等式(ax -b )(x -2)>0的解集是 ( )A.(1,2)B.(-1,2)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(2,+∞) 6.()设函数g (x )=x 2-2(x ∈R),f (x )={x (x )+x +4,x <x (x ),x (x )-x ,x ≥x (x ),则f (x )的值域是( )A.[-94,0]∪(1,+∞) B.[0,+∞) C.[-94,+∞)D.[-94,0]∪(2,+∞) 二、填空题 7.()若关于x 的不等式x -xx +1>0的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),则实数a = . 8.()已知集合A ={x |3x -2-x 2<0},B ={x |x -a <0},且B ⊆A ,则a 的取值范围为 . 9.()若不等式a ·4x -2x+1>0对一切x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是 .10.()若函数y =√xx 2-6xx +(x +8)(k 为常数)的定义域为R,则k 的取值范围是 . 11.()已知0<b <1+a ,若关于x 的不等式(x -b )2>(ax )2的解集中的整数解恰有3个,则a 的取值范围为 . 三、解答题12.(2021湖南长沙一中高一上段考,)已知不等式mx 2+3x -2>0的解集为{x |n <x <2}.(1)求m ,n 的值,并求不等式nx 2+mx +2>0的解集; (2)解关于x 的不等式ax 2-(n +a )x -m >0(a ∈R,且a <1).13.(2019北京西城高二期末,)已知函数f(x)=x2-2ax,a∈R.(1)当a=1时,求满足f(x)<0的x的取值范围;(2)解关于x的不等式f(x)<3a2;(3)若对于任意的x∈(2,+∞),f(x)>0均成立,求a的取值范围.答案全解全析§2一元二次不等式2.1一元二次不等式的解法2.2一元二次不等式的应用基础过关练1.A 不等式-x 2-5x +6≥0可化为x 2+5x -6≤0,即(x +6)(x -1)≤0, 解得-6≤x ≤1,∴不等式的解集为{x |-6≤x ≤1}. 故选A.2.C 由x 2+x -12≥0得(x +4)(x -3)≥0,解不等式得x ≤-4或x ≥3,所以函数的定义域是{x |x ≤-4或x ≥3},故选C .3.D ∵集合M ={x |-3≤x <4},N ={x |x 2-2x -8≤0}={x |-2≤x ≤4},∴M ∪N ={x |-3≤x ≤4},M ∩N ={x |-2≤x <4}. 4.C 由(x -1)2<3x +7,得x 2-5x -6<0,解不等式得-1<x <6,∴集合A ={x |-1<x <6}, ∴A ∩Z 中的元素有0,1,2,3,4,5,共6个.5.B 由x 2-x -6≤0得(x -3)(x +2)≤0,解不等式得-2≤x ≤3, 所以A ={x |-2≤x ≤3}. 由已知可得B ={x |x >a }, 因为A ∩B =⌀,所以a ≥3,故选B .6.解析 (1)因为Δ=(-2)2-4×3=-8<0,所以原不等式的解集是R .(2)原不等式可化为2x 2-3x -2<0,即(2x +1)(x -2)<0,故原不等式的解集是{x |-12<x <2}.(3)原不等式可化为2x 2-x -1≥0,即(2x +1)(x -1)≥0,故原不等式的解集是{x |x ≤-12或x ≥1}.(4)原不等式等价于{x 2+2x -1>-1,x 2+2x -1≤2,即{x 2+2x >0①,x 2+2x -3≤0②.由①得x (x +2)>0,所以x <-2或x >0; 由②得(x +3)(x -1)≤0,所以-3≤x ≤1.所以原不等式的解集是{x |-3≤x <-2或0<x ≤1}. 7.D 方程(x -t )(x -1x )=0的两根为x 1=t ,x 2=1x .因为0<t <1,所以1x >1>t ,所以(x -t )(x -1x )<0的解集是{x |x <x <1x }. 8.C ∵函数f (x )=√2xx 的定义域为R,∴kx 2+kx +1>0对x ∈R 恒成立.当k >0时,Δ=k 2-4k <0,解得0<k <4;当k =0时,kx 2+kx +1=1>0恒成立;当k <0时,不符合条件.故0≤k <4.故选C .9.B ∵x 2-ax -12a 2=(x -4a )(x +3a ),其中a <0,∴-3a >4a ,∴不等式的解集为(4a ,-3a ).10.解析 方程x 2+(1-a )x -a =0的两根为x 1=-1,x 2=a. ∵函数y =x 2+(1-a )x -a 的图像是开口向上的抛物线, ∴当a <-1时,原不等式的解集为{x |a <x <-1}; 当a =-1时,原不等式的解集为⌀; 当a >-1时,原不等式的解集为{x |-1<x <a }.11.A 不等式(x -a )(x -b )<0可化为x 2-(a +b )x +ab <0,由其解集为{x |1<x <2},可得x 1=1,x 2=2是方程x 2-(a +b )x +ab =0的两根,所以x 1+x 2=3=a +b ,即a +b =3,故选A .12.D 由不等式的解集为{x |x <-2或x >4},得x 1=-2,x 2=4是函数f (x )=ax 2+bx +c 的图像与x 轴交点的横坐标,故f (x )的图像的对称轴为直线x =-2+42=1,且其图像开口向上.结合图像(图略)可得f (2)<f (-1)<f (5).13.C 令f (x )=x 2-4x -m ,则f (x )在(0,1]上是减函数,所以f (x )min =f (1)=-3-m ,所以-3-m ≥0,即m ≤-3. 故m 的最大值为-3.14.解析 (1)由题意得x 1=1,x 2=b 是方程ax 2-3x +2=0的两根,且a >0,则{1+x =3x ,1·x =2x ,解得{x =1,x =2.(2)由a =1,b =2得所求不等式为x 2-3x +2<0,即(x -1)(x -2)<0,解得1<x <2. 故所求不等式的解集为(1,2). 15.Cx -2x +3<0等价于(x -2)(x +3)<0,解得-3<x <2,故不等式的解集为{x |-3<x <2}.16.D 由x +24x +1≥13得x +24x +1-13≥0, 则-x +53(4x +1)≥0,即x -53(4x +1)≤0,可转化为{3(x -5)(4x +1)≤0,4x +1≠0,解得-14<x ≤5.所以原不等式的解集为{x |-14<x ≤5}.17.A 由集合A 可得{x (x -1)≤0,x -1≠0,解得0≤x <1,所以A ={x |0≤x <1}.由集合B 可得x 2-2x <0,解得0<x <2,所以B ={x |0<x <2}.所以A ∩B ={x |0<x <1}.18.A -1<1x <1⇔{1x >-1,1x <1⇔{x +1x>0,1-x x <0⇔{x (x +1)>0,x (x -1)>0,解得{x <-1或x >0,x <0或x >1,∴x <-1或x >1. 19.Cx -1x 2-4>0⇔(x -1)(x 2-4)>0⇔(x -1)(x -2)(x +2)>0,设f (x )=(x -1)(x -2)(x +2),则f (x )的三个零点是-2,1,2.结合图形(如图),可得原不等式的解集为{x |-2<x <1或x >2}.故选C . 20.A 易知x 2+x +1>0恒成立,∴原不等式⇔x 2-2x -2<2x 2+2x +2⇔x 2+4x +4>0⇔(x +2)2>0,解得x ≠-2,∴原不等式的解集为{x |x ≠-2}. 21.解析 由题意,得3860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7000,化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去),所以x ≥20,故x 的最小值是20.22.解析 (1)设该厂月获利为y 元,依题意得y =(160-2x )x -(500+30x )=-2x 2+130x -500, 由y ≥1300知-2x 2+130x -500≥1300, ∴x 2-65x +900≤0,解得20≤x ≤45.∴当月产量在20件至45件之间(含20件和45件)时,月获利不少于1300元. (2)由(1)知y =-2x 2+130x -500=-2·(x -652)2+1612.5. ∵x 为正整数,∴当x 的值为32或33时,y 取得最大值,最大值为1612,∴当月产量为32件或33件时,可获得最大利润,最大利润是1612元.能力提升练一、选择题1.D A ={x |x -1x -3<0}={x |1<x <3},B ={x |2x -3>0}={x |x >32},故A ∪B ={x |x >1}.2.B 由a ☉b =ab +2a +b ,得x ☉(x -2)=x (x -2)+2x +x -2=x 2+x -2=(x +2)(x -1)<0,所以-2<x <1.3.B 由题图知f (x )>0的解集为(-1,2).把f (x )的图像向右平移1个单位长度即得f (x -1)的图像,所以f (x -1)>0的解集为(0,3).4.A 当a -2=0,即a =2时,符合题意;当a -2≠0,即a ≠2时,需满足a -2<0且Δ=4(a -2)2+4·(a -2)·4<0,解得-2<a <2.综上可得,-2<a ≤2.故选A .5.A ∵关于x 的不等式ax +b >0的解集是(-∞,-1),∴{x <0,-x x=-1,∴b =a <0,∴关于x 的不等式(ax -b )(x -2)>0可化为(x -1)(x -2)<0,解得1<x <2, ∴不等式的解集是(1,2).故选A .6.D 由x <g (x ),得x <x 2-2,解不等式得x <-1或x >2;同理,由x ≥g (x ),得-1≤x ≤2. 所以f (x )={x 2+x +2,x <-1或x >2,x 2-x -2,-1≤x ≤2,即f (x )={(x +12)2+74,x <-1或x >2,(x -12)2-94,-1≤x ≤2.因为当x <-1时,f (x )>2;当x >2时,f (x )>8,所以当x ∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,函数f (x )的值域为(2,+∞).又因为当-1≤x ≤2时,-94≤f (x )≤0,所以当x ∈[-1,2]时,函数f (x )的值域为[-94,0]. 综上可知,函数f (x )的值域是-94,0∪(2,+∞). 二、填空题 7.答案 4 解析 不等式x -xx +1>0等价于{x +1≠0,(x -x )(x +1)>0,又不等式的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),所以当x =4时,(x -a )(x +1)=0,解得a =4. 8.答案 (-∞,1]解析 A ={x |3x -2-x 2<0}={x |x 2-3x +2>0}={x |x <1或x >2},B ={x |x -a <0}={x |x <a }.若B ⊆A ,则a ≤1. 9.答案 (14,+∞)解析 原不等式可变形为a >2x -14x=(12)x -(14)x ,设y =(12)x -(14)x ,令(12)x =t ,则t >0,所以y =(12)x -(14)x=t -t 2=-(x -12)2+14,因此当t =12时,y 取得最大值14,故实数a 的取值范围是(14,+∞). 10.答案 [0,1]解析 函数y =√xx 2-6xx +(x +8)的定义域为R,即kx 2-6kx +(k +8)≥0对一切x ∈R 恒成立.当k =0时,显然8>0恒成立;当k ≠0时,k 需满足{x >0,x =36x 2-4x (x +8)≤0,解得0<k ≤1.综上可得,k 的取值范围是[0,1]. 11.答案 (1,3)解析 原不等式可转化为[(1-a )x -b ]·[(1+a )x -b ]>0.①当a ≤1时,结合不等式解集形式知,不符合题意;②当a >1时,x 1-x <x <x x +1,由题意知0<x x +1<1,所以要使原不等式解集中的整数解恰有3个,则需-3≤x1-x <-2,整理得2a -2<b ≤3a -3.结合已知b <1+a ,可得2a -2<1+a ,所以a <3,从而有1<a <3.综上可得,a ∈(1,3). 三、解答题12.解析 (1)由题意知m <0,x 1=n ,x 2=2是方程mx 2+3x -2=0的实数根,11 故由根与系数的关系得{x +2=-3x ,2x =-2x ,解得{x =-1,x =1.则nx 2+mx +2=x 2-x +2=(x -12)2+74>0,即nx 2+mx +2>0的解集为R .(2)由(1)得ax 2-(1+a )x +1=(ax -1)(x -1)>0.当a <0时,原不等式等价于(-ax +1)(x -1)<0,解得1x <x <1;当a =0时,原不等式等价于-(x -1)>0,解得x <1;当0<a <1时,1x >1,解得x <1或x >1x .综上所述,当a <0时,不等式的解集为{x |1x <x <1};当a =0时,不等式的解集为{x |x <1};当0<a <1时,不等式的解集为{x |x <1或x >1x }.13.解析 (1)根据题意,当a =1时,f (x )=x 2-2x.由f (x )<0,得x 2-2x <0,解得0<x <2,所以f (x )<0的解集为(0,2).(2)由f (x )<3a 2,得x 2-2ax -3a 2<0,所以(x -3a )(x +a )<0.当a >0时,解集为(-a ,3a );当a =0时,解集为⌀;当a <0时,解集为(3a ,-a ).(3)由f (x )=x 2-2ax >0,可得2ax <x 2,又x ∈(2,+∞),∴a <x 2在x ∈(2,+∞)上恒成立.令g (x )=x 2(x >2),∵g (x )在(2,+∞)上单调递增,∴g (x )>1,∴a ≤1,即a 的取值范围是(-∞,1].。
3.2 函数与方程、不等式之间的关系最新课程标准：运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法.知识点一函数的零点1．零点的定义一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y ＝f(x)的零点．2．方程的根与函数零点的关系状元随笔函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．知识点二二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系函数零点存在定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的，并且f (a )f (b )<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )中至少有一个零点，即∃x 0∈[a ，b ]，f (x 0)＝0.状元随笔 定理要求具备两条：①函数在区间[a ，b]上的图像是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.[基础自测]1．函数y ＝3x －2的图像与x 轴的交点坐标及其零点分别是( ) A.23；23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0；23 C ．－23；－23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0；－23 解析：令3x －2＝0，则x ＝23，∴函数y ＝3x －2的图像与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，函数零点为23.答案：B2．函数f (x )＝3x －x 2的定义域为( ) A ．[0,3] B ．(0,3)C ．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：要使函数f (x )＝3x －x 2有意义，则3x －x 2≥0，即x 2－3x ≤0，解得0≤x ≤3. 答案：A3．函数f (x )＝x 3－x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：f (x )＝x (x －1)(x ＋1)，令x (x －1)(x ＋1)＝0，解得x ＝0，x ＝1，x ＝－1，即函数的零点为－1,0,1，共3个．答案：D4．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧22－2a －b ＝0，32－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－6∴g (x )＝－6x 2－5x －1的零点是－12，－13.答案：－12，－13题型一 函数零点的概念及求法例1 (1)下列图像表示的函数中没有零点的是( )(2)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．【解析】 (1)由图观察，A 中图像与x 轴没有交点，所以A 中函数没有零点． (2)由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得：－4<x <1， 所以不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为(－4,1)． 【答案】 (1)A (2)(－4,1)状元随笔 1.由函数图像判断函数是否有零点是看函数的图像与x 轴是否有交点． 2．求函数对应方程的根即为函数的零点． 方法归纳函数零点的求法求函数y ＝f (x )的零点通常有两种方法：其一是令f (x )＝0，根据解方程f (x )＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y ＝f (x )的图像，图像与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．跟踪训练1 若函数f (x )＝x 2＋x －a 的一个零点是－3，求实数a 的值，并求函数f (x )其余的零点．解析：由题意知f (－3)＝0，即(－3)2－3－a ＝0，a ＝6.所以f (x )＝x 2＋x －6. 解方程x 2＋x －6＝0，得x ＝－3或2. 所以函数f (x )其余的零点是2.由函数f(x)的零点是－3，得f(－3)＝0，求a. 题型二 确定函数零点的个数[教材P 111例6]例2 求证：函数f(x)＝x3－2x＋2至少有一个零点．【证明】因为f(0)＝2>0，f(－2)＝－8＋4＋2＝－2<0，所以f(－2)f(0)<0，因此∃x0∈[－2,0]，f(x0)＝0，即结论成立.教材反思判断函数零点个数的三种方法(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．(2)图像法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图像．根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数．(3)定理法：函数y＝f(x)的图像在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)＜0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．跟踪训练2 (1)函数f(x)＝x－x－2的零点个数为( )A．0 B．1C．2 D．3(2)判断函数f(x)＝x－3＋ln x的零点个数．解析：(1)令f(x)＝0得x－x－2＝0，设t＝x(t≥0)，则t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1(舍)．故x＝2即x＝4，因此方程f(x)＝0有一个根4，所以函数f(x)有一个零点．(2)令f(x)＝x－3＋ln x＝0，则ln x＝－x＋3，在同一平面直角坐标系内画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的图像，如图所示：由图可知函数y＝ln x，y＝－x＋3的图像只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋ln x只有一个零点．答案：(1)B (2)一个状元随笔思路一：解方程求零点，方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数；思路二：画出函数图像，依据图像与x轴的交点的个数来判断函数的零点个数．题型三 判断函数的零点所在的大致区间例3 设x 0是函数f (x )＝ln x ＋x －4的零点，则x 0所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【解析】 因为f (2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3－1＞ln e －1＝0，f (2)·f (3)＜0.由零点存在性定理，得x 0所在的区间为(2,3)．【答案】 C状元随笔 根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图像分析．方法归纳判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．跟踪训练3 函数f (x )＝2x －1＋x －5的零点所在的区间为( )A.(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 解析：f (2)＝22－1＋2－5＜0，f (3)＝23－1＋3－5＞0，故f (2)·f (3)＜0，又f (x )在定义域内是增函数，则函数f (x )＝2x －1＋x －5只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)．答案：C利用f(a)·f(b)＜0求零点区间． 题型四 函数零点的应用[经典例题]例4 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________． 【解析】 作出f (x )的图像如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2， ∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.【答案】(3，＋∞)方法归纳已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围．(2)方法：常利用数形结合法．跟踪训练4 已知关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝0有三个不相等的实数根，则实数a的值是________．解析：如图，由图像知直线y＝1与y＝|x2－4x＋3|的图像有三个交点，则方程|x2－4x＋3|＝1有三个不相等的实数根，因此a＝1.答案：1状元随笔求解这类问题可先将原式变形为f(x)＝g(x)，则方程f(x)＝g(x)的不同解的个数等于函数f(x)与g(x)图像交点的个数，分别画出两个函数的图像，利用数形结合的思想使问题得解．课时作业 19一、选择题1．下列函数不存在零点的是( )A ．y ＝x －1xB ．y ＝2x 2－x －1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x ≤0)，x －1 (x ＞0) D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x ≥0)，x －1 (x ＜0)解析：令y ＝0，得A 中函数的零点为1，－1；B 中函数的零点为－12，1；C 中函数的零点为1，－1；只有D 中函数无零点．答案：D2．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0,2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12解析：∵2a ＋b ＝0，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)． ∴零点为0和－12.答案：C3．用二分法研究函数f (x )＝x 5＋8x 3－1的零点时，第一次经过计算得f (0)<0，f (0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )A ．(0,0.5)，f (0.125)B ．(0.5,1)，f (0.875)C ．(0.5,1)，f (0.75)D ．(0,0.5)，f (0.25) 解析：∵f (x )＝x 5＋8x 3－1，f (0)<0，f (0.5)>0， ∴f (0)·f (0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0,0.5)， 第二次应计算的函数值应为f (0.25)，故选D. 答案：D4．已知函数f (x )＝|x |＋1，g (x )＝k (x ＋2)．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2，＋∞)解析：作出f (x )，g (x )图像，如图．因为A (0,1)，B (－2,0)，k AB ＝1－00－(－2)＝12，要使方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则函数f (x )与g (x )的图像有两个不同的交点，由图可知，12＜k ＜1.答案：B 二、填空题5．函数f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点． 解析：方法一 ∵f (1)＝12－3×1－18＝－20＜0，f (8)＝82－3×8－18＝22＞0，∴f (1)·f (8)＜0，又 f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上的图像是连续的， 故f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点． 方法二 令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0， ∴(x －6)(x ＋3)＝0.∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]，∴f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点． 答案：存在6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 x >0x 2－x －2 x ≤0的零点为________．解析：f (x )＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0x －1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2－x －2＝0，∴x ＝1，x ＝－1，x ＝2(舍) 答案：1，－17．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ＜0)在区间(0,1)上有零点，则a 的取值范围为________． 解析：由题意函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上单调递增，函数f (x )在(0,1)上有零点，可得：f (1)·f (0)＜0.∴a (2＋a )＜0.∴－2＜a ＜0. 答案：(－2,0) 三、解答题8．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝x ＋3x； (2)f (x )＝x 2＋2x ＋4. 解析：(1)令x ＋3x＝0，解得x ＝－3， 所以函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3. (2)令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，所以方程x 2＋2x ＋4＝0无解，所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点.9．已知函数f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的零点是1和2，求函数y ＝nx 2＋mx ＋3的零点个数． 解析：由题可知，f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的两个零点为1和2. 则1和2是方程x 2＋3(m ＋1)x ＋n ＝0的两根．可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－3(m ＋1)，1×2＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝2.∴y ＝2x 2－2x ＋3∵Δ＝4－4×2×3＝－20<0 ∴无零点．[尖子生题库]10．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4，在下列条件下，求实数a 的取值范围．(1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．解析：(1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧(－2a )2－16≥0，f (1)＝5－2a ＞0，a ＞1，解得2≤a ＜52.即a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52. (2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f (1)＝5－2a ＜0，解得a ＞52.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. (3)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝4＞0，f (1)＝5－2a ＜0，f (6)＝40－12a ＜0，f (8)＝68－16a ＞0，解得 103＜a ＜174.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫103，174.。
1 3.4 不等式的实际应用
1．能把现实世界和日常生活中的不等关系转化为不等式问题，能运用不等式的知识和
方法解决常见的实际问题(如比较大小，确定范围，求最值等)．
2．了解如何建立数学模型，体会数学知识和客观实践之间的相互关系，培养良好的数
学意识和情感态度．
1．例题中的结论
若b ＞a ＞0，m ＞0，则a ＋m b ＋m >a b
． 另外，若a >b >0，m >0时，则有
a ＋m
b ＋m <a b 成立． 【做一做】 已知a ，b 是正数，试比较21a ＋1b 与ab 的大小． 解：∵a >0，b >0，
∴1a ＋1b ≥21
ab >0． ∴21a ＋1b ≤22
1ab ＝ab ． 即2
1a ＋1
b
≤ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)． 2．不等式解决实际问题的步骤
(1)设未知数：用字母表示题中的未知数．
(2)列不等式(组)：找出题中的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)．
(3)解不等式(组)：运用不等式知识求解不等式，同时要注意未知数在实际问题中的取值范围．
(4)答：规范地写出答案．
归纳总结：
在解决实际应用问题时，首先要学会正确地梳理数据，从而为寻找数据之间的关系奠定良好的基础，进而建立起相应的能反映问题实质的数学结构，构建数学模型，再利用不等式求解，即解实际应用题的思路为：。
