【免费下载】高中数学中的对称问题小结

数学对称问题数学对称问题对称问题是高中数学的重要内容之一，在高考数学试题中常出现一些构思新颖解法灵活的对称问题，为使对称问题的知识系统化，本文特作以下归纳。

一、点关于已知点或已知直线对称点问题1、设点P（x，y）关于点（a，b）对称点为P（x，y），x=2a-x由中点坐标公式可得：y=2b-y2、点P（x，y）关于直线L：Ax+By+C=O的对称点为x=x-（Ax+By+C）P（x，y）则y=y-（AX+BY+C）事实上：∵PPL及PP的中点在直线L上，可得：Ax+By=-Ax-By-2C解此方程组可得结论。

（-）=-1（B0）特别地，点P（x，y）关于1、x轴和y轴的对称点分别为（x，-y）和（-x，y）2、直线x=a和y=a的对标点分别为（2a-x，y）和（x，2a-y）3、直线y=x和y=-x的对称点分别为（y，x）和（-y，-x）例1光线从A（3，4）发出后经过直线x-2y=0反射，再经过y轴反射，反射光线经过点B（1，5），求射入y轴后的反射除此以外还有以下两个结论：对函数y=f（x）的图象而言，去掉y轴左边图象，保留y轴右边的图象，并作关于y轴的对称图象得到y=f（|x|）的图象；保留x轴上方图象，将x 轴下方图象翻折上去得到y=|f（x）|的图象。

例2（全国高考试题）设曲线C的方程是y=x3-x。

将C沿x 轴y轴正向分别平行移动t，s单位长度后得曲线C1：1）写出曲线C1的方程2）证明曲线C与C1关于点A（，）对称。

（1）解知C1的方程为y=（x-t）3-（x-t）+s（2）证明在曲线C上任取一点B（a，b），设B1（a1，b1）是B关于A的对称点，由a=t-a1，b=s-b1，代入C的方程得：s-b1=（t-a1）3-（t-a1）｀b1=（a1-t）3-（a1-t）+s｀B1（a1，b1）满足C1的方程｀B1在曲线C1上，反之易证在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上｀曲线C和C1关于a对称我们用前面的结论来证：点P（x，y）关于A的对称点为P1（t-x，s-y），为了求得C关于A的对称曲线我们将其坐标代入C的方程，得：s-y=（t-x）3-（t-x）｀y=（x-t）3-（x-t）+s此即为C1的方程，｀C关于A的对称曲线即为C1。

高中函数对称性总结新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。

尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。

以笔者的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是抽象函数的对称性判断。

所以这里我对高中阶段所涉及的函数对称性知识做一个粗略的总结。

一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)。

④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。

⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。

⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。

⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。

⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。

⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。

高一函数对称知识点总结函数是数学中一个重要的概念，它在数学和实际问题中都有着广泛的应用。

在高一阶段，函数的对称性是一个重要的知识点。

本文将对高一函数对称的相关知识点进行总结。

一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数图像关于y轴或者原点的对称性。

具体而言，我们可以通过函数的表达式来确定函数的奇偶性。

如果对于函数中的任意x，有f(-x) = f(x)，则函数是偶函数；如果对于函数中的任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数；如果函数既不是奇函数也不是偶函数，则函数是一个既非奇又非偶的函数。

二、函数图像的对称轴对于函数来说，其图像的对称轴是一个重要的概念。

对称轴可以是x轴或y轴，也可以是其他直线。

具体而言，如果函数的图像关于x轴对称，则称该函数关于x轴对称；如果函数的图像关于y轴对称，则称该函数关于y轴对称；如果函数的图像关于直线y=x对称，则称该函数关于直线y=x对称。

三、函数的周期性周期函数是指在一定区间上具有重复规律的函数。

如果存在一个正数T，使得对于函数中的任意x，有f(x+T) = f(x)，则称函数具有周期T。

具体而言，我们可以通过函数的图像或者函数的表达式来确定函数的周期性。

常见的周期函数有正弦函数和余弦函数等。

四、函数的点对称性在函数中，存在一类特殊的函数点对称性。

如果对于函数中的任意x，有f(-x) = -f(x)，则称函数具有点对称性。

点对称性使得函数图像关于原点对称。

常见的具有点对称性的函数有二次函数。

五、函数图像的轴对称点对于函数图像来说，存在一个或多个轴对称的点。

轴对称点是指函数图像上关于某一条直线对称的点。

具体而言，如果函数的图像关于点（a，b）对称，则称（a，b）是函数图像的轴对称点。

常见的具有轴对称点的函数有开口向上（或向下）的二次函数。

六、函数的变换对称性在函数的变换中，也存在一些对称性。

具体而言，平移、翻转和缩放等变换可能保持函数的对称性不变。

通过对函数进行适当的平移、翻转和缩放等变换，我们可以得到新的具有对称性的函数。

高中数学专题--- 对称问题基本方法：对称问题是解析几何中的一个重要问题，主要类型有：1. 点关于点成中心对称问题（即线段中点坐标公式的应用问题）设点()000,P x y ，对称中心为(),A a b ，则点()000,P x y 关于(),A a b 的对称点为()002,2P a x b y '--.2. 点关于直线成轴对称问题由轴对称定义可知，对称轴即为两对称点连线的垂直平分线，利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程，就可以求出对称点的坐标，一般情形如下：设点()000,P x y 关于直线y kx b =+的对称点为(),P x y '''，则有0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，可求得(),P x y '''.特殊情形：①点()000,P x y 关于直线x a =对称的点为()002,P a x y '-；②点()000,P x y 关于直线y b =对称的点为()00,2P x b y '-；③若对称轴的斜率为1±，则可把()000,P x y 直接代入对称轴方程求得对称点P '的坐标.一、典型例题1．已知椭圆C ：2214x y +=，A 为椭圆左顶点，设椭圆C 上不与A 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线AD ，AE 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长是定值．2．已知椭圆22143x y +=与直线y kx m =+相交于不同的两点,M N ，如果存在过点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l ,使得点M N ,关于l 对称，求实数m 的取值范围.二、课堂练习1．已知椭圆22184x y +=，上顶点为,P O 为坐标原点，设线段PO 的中点为M ，经过M 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，()3,0C -，若点A 关于x 轴的对称点在直线BC 上，求直线l 方程.2．已知椭圆22:194x y C +=. 点P 为圆22:13M x y +=上任意一点，O 为坐标原点.设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切，l 与圆M 相交于另一点A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，证明：直线PB 与椭圆C 相切.三、课后作业1．已知椭圆:Γ221106x y+=.ABC∆的顶点都在椭圆Γ上，其中,A B关于原点对称，试问ABC∆能否为正三角形？并说明理由.2．已知椭圆2212yx+=，记椭圆的右顶点为C，点(),D m n（0n≠）在椭圆上，直线CD交y轴于点M，点E与点D关于y轴对称，直线CE交y轴于点N．问：x轴上是否存在点Q，使得OQM ONQ∠=∠（O为坐标原点）？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由．3．已知椭圆22413yx+=，右顶点为A，设直线l：1x=-上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D. 若APD线AP 的方程.。

关于对称的所有知识点总结一、数学中的对称1. 定义对称是指一个对象在某种操作下保持不变的特性。

在数学中，通常是指一个图形、函数或方程在某种变换下保持不变的性质。

常见的对称变换包括平移、旋转、镜像等。

2. 对称轴对称轴是指能使图形或物体能够对称的轴线。

例如，一个圆的对称轴不存在，而一个矩形有两条对称轴。

3. 对称图形在平面几何中，对称图形是指能够以某个中心对称轴作为镜面对称的图形。

常见的对称图形有正方形、矩形、菱形、等边三角形等。

一般来说，对称图形的特点是能够重合在一起。

4. 对称性质对称有三种基本性质，即传递性、对偶性和自反性。

传递性是指如果a与b对称，b与c对称，则a也和c对称。

对偶性是指如果a与b对称，则b也和a对称。

自反性是指任何对象都与自身对称。

5. 对称函数在数学中，对称函数是指当自变量的取值变化时，函数值保持不变的函数。

对称函数通常包括关于原点对称、关于y轴对称和关于x轴对称三种情况。

6. 对称性的应用对称性在数学中有着广泛的应用，例如可以用来简化问题、证明性质、减少计算量等。

二、艺术中的对称1. 对称在艺术中的运用对称在艺术中是一种非常重要的构图原则，它能够使作品更加和谐、美观。

在绘画、雕塑、建筑等领域，对称构图是非常常见的。

2. 艺术作品中的对称形式在艺术作品中，对称形式通常包括轴对称和中心对称两种形式。

轴对称是指作品能够以某个轴线为镜面对称，而中心对称是指作品能够以某个点为中心对称。

3. 对称和美感对称在艺术作品的构图中能够使作品更加协调、美观，因此对称在人类美感中扮演着非常重要的角色。

许多古代建筑、雕塑和绘画作品都运用了对称构图，这种对称美感深深地吸引着观众的眼球。

4. 对称性在设计中的应用在设计领域，对称性也是一种非常重要的构图原则，能够使设计更加美观。

例如在服装设计中，经常运用了对称的图案；在建筑设计中，对称结构也是非常常见的。

三、科学中的对称1. 对称在自然科学中的应用自然界中存在着大量的对称现象，例如晶体的对称性、水分子的对称性、植物和动物身体的对称性等。

浅谈高中数学解析几何中的对称问题摘要：新课标改革开展后，我国的教育事业也在不断发展，其中高中数学也乘着改革开放的快车，发展迅猛。

在高中数学中，数学解析几何中的对称问题受到了广泛的关注与讨论。

研究对称问题不仅能增强我们解决问题的能力，同时可以培养发散思维，锻炼空间想象力等，而且还能提高在日常生活当中的审美能力，提高创新意识。

下面我将结合自己的学习理解，对高中数学解析几何中对称问题进行简要分析，希望能在这方面为同学们的学习提供一些帮助。

关键字：高中数学解析几何对称问题高中数学解析几何中的对称问题，是高中数学的一个重要内容，也是平时学习的难点，它的运用非常广泛，不仅体现在数学应用上，有时还会渗透到物理学科的应用方面。

在对称问题中，主要研究的问题有：点关于点对称、点关于直线对称、直线关于点对称、直线关于直线对称、曲线关于点对称、曲线关于直线对称等问题。

不过在对称问题中，最基础的问题为点关于点，点关于直线的对称问题，线（直线、曲线）关于点的对称问题可转化为点关于点对称。

线（直线、曲线）关于直线对称的问题可转化为点关于直线对称。

一、关于点的对称问题点与点之间的对称问题，在初步接触对称问题时，较为常见，也较为简单。

在关于点的对称问题中，也有不同的类型，包括了点与点之间的关系、点与点关于直线对称的关系，线与线关于直线对称的关系，每种不同的关系之间，解题思路既有相同点，也有不同的点，均需要答题者，认真思考，得出答案。

下面我将针对不同的种类进行分析。

（一）点关于定点对称问题这类问题，一般是知道一个点A，知道A点的坐标，给出另外一个中心点Q，告诉Q点的位置坐标，最后让大家求出A点关于Q点对称的点B。

这类题的求解办法较为单一统一。

例如：已知点A(x1,y1)，已知中心点Q(x0,y0)，求出A点关于Q点对称的点B，在坐标中，这三个点的横纵坐标，应该满足怎么样的条件呢？根据条件可知，Q点为A、B点的中点，于是得2x0=x1+x2，2y0=y1+y2，由此可以得到x2，y2的值，得到B点位置坐标。

关于对称知识点总结一、对称的定义对称是指一个物体的一部分关于某个中心或轴旋转、翻转等操作后，与另一部分完全重合的性质。

简单地说，就是一个物体可以通过某种变换保持不变。

在几何学中，对称通常涉及到轴对称和中心对称两种类型。

1. 轴对称：轴对称是指存在一个直线，使得图形绕这条直线旋转180度后，图形仍然不变。

这条直线就被称为轴线，而关于轴线的对称变换就被称为轴对称变换。

轴对称的图形通常具有左右对称或上下对称的性质。

2. 中心对称：中心对称是指存在一个点，使得图形绕这个点旋转180度后，图形仍然不变。

这个点就被称为中心，而关于中心的对称变换就被称为中心对称变换。

中心对称的图形通常具有圆形或椭圆形的性质。

二、对称的性质对称具有许多重要的性质，在数学中，这些性质对于解题和证明都具有重要的作用。

下面我们来介绍一些常见的对称性质：1. 对称性质：对称性是物体的一种基本性质。

一个图形如果关于某个中心或轴对称，那么它的两部分互为镜像，即完全重合。

这种性质在几何学中有很广泛的应用，比如在证明定理、计算面积等方面。

2. 对称轴：对称轴是指一个图形能够关于其上的直线旋转180度后仍保持不变的直线。

对称轴通常具有一些特殊的性质，比如在研究多边形的对称性质时，我们常常需要找到多边形的对称轴来简化问题。

3. 对称中心：对称中心是指一个图形能够关于其上的点旋转180度后仍保持不变的点。

对称中心通常具有一些特殊的性质，比如在研究圆的对称性质时，我们常常需要找到圆的对称中心来简化问题。

4. 对称图形：对称图形是指具有轴对称或中心对称性质的图形。

对称图形通常具有美观性和稳定性，因此在设计建筑、家具等方面都得到了广泛的应用。

三、对称的分类在数学中，对称的分类通常以轴对称和中心对称为基础进行划分。

不同类型的对称性质具有不同的特点和应用，下面我们来介绍一些常见的对称类型：1. 轴对称图形：轴对称图形是指具有轴对称性质的图形。

轴对称图形通常都具有左右对称或上下对称的性质，比如矩形、正方形、等腰三角形等都是轴对称图形。

高中数学函数对称性和周期性小结一、函数对称性：1.fa+x = fa-x ==> fx 关于x=a对称2.fa+x = fb-x ==> fx 关于x=a+b/2 对称3.fa+x = -fa-x ==> fx 关于点a,0对称4.fa+x = -fa-x + 2b ==> fx 关于点a,b对称5.fa+x = -fb-x + c ==> fx 关于点a+b/2 ,c/2 对称6.y = fx 与y = f-x 关于x=0 对称7.y = fx 与y = -fx 关于y=0 对称8.y =fx 与y= -f-x 关于点0,0 对称例1：证明函数y = fa+x 与y = fb-x 关于x=b-a/2 对称;解析求两个不同函数的对称轴,用设点和对称原理作解;证明：假设任意一点Pm,n在函数y = fa+x 上,令关于x=t 的对称点Q2t – m,n, 那么n =fa+m = f b – 2t – m∴b – 2t =a , ==> t = b-a/2 ,即证得对称轴为x=b-a/2 .例2：证明函数y = fa - x 与y = fx – b 关于x=a + b/2 对称;证明：假设任意一点Pm,n在函数y = fa - x 上,令关于x=t 的对称点Q2t – m,n, 那么n =fa-m = f 2t – m – b∴2t - b =a , ==> t = a + b/2 ,即证得对称轴为x=a + b/2 .二、函数的周期性令a , b 均不为零,若：1.函数y = fx 存在fx=fx + a ==> 函数最小正周期T=|a|2.函数y = fx 存在fa + x = fb + x ==> 函数最小正周期T=|b-a|3.函数y = fx 存在fx = -fx + a ==> 函数最小正周期T=|2a|4.函数y = fx 存在fx + a =1/fx ==> 函数最小正周期T=|2a|5.函数y = fx 存在fx + a = fx + 1/1 – fx ==> 函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析;第2点解析：令X=x+a ,fa +x –a = fb +x – a∴fx = fx + b – a ==> T=b – a第3点解析：同理,fx + a = -fx + 2a ……①fx = -fx + a ……②∴由①和②解得fx = fx+2a∴函数最小正周期T=|2a|第4点解析:fx + 2a =1/fx + a ==> fx + a =1/fx + 2a又∵fx + a =1/fx∴fx = fx + 2a∴函数最小正周期T=|2a|第5点解析:∵fx + a = {2 – 1 – fx}/1 – fx = 2/1 – fx – 1∴1 – fx = 2/fx + 1移项得fx = 1 – 2/fx + a + 1那么fx - a = 1 – 2/fx +1,等式右边通分得fx - a = fx – 1/1 + fx ∴1/fx - a = 1 + fx/fx – 1 ,即- 1/fx - a = 1 + fx/1 - fx∴- 1/fx - a = fx + a ,- 1/fx – 2a = fx ==> - 1/fx = fx - 2a ①, 又∵- 1/fx = fx + 2a ②,由①②得fx + 2a = fx - 2a ==> fx = fx + 4a∴函数最小正周期T=|4a|。

对称数学知识点总结一、几何对称1.轴对称几何中的轴对称是指平面图形相对于一条直线对称，即对称图形在这条直线上的每个点，有一个在对称图形上的对应点，且这个对应点和原来的点与对称轴的距离相等。

轴对称的特点是对称图形和原图形通过对称轴重合。

轴对称的应用非常广泛，常见的有：几何图形的性质，如矩形、正方形等都是轴对称的；轴对称图形的图案设计，如对称的图案具有美感，常用在各种装饰、服装等设计中。

2.中心对称几何中的中心对称是指平面图形相对于一个点对称，即对称图形在这个点上的每个点，有一个在对称图形上的对应点，且这个对应点和原来的点与对称中心的连线的长度相等。

中心对称的特点是对称图形和原图形通过对称中心重合。

中心对称也是几何中的基本概念，常见的有：各种圆、正多边形等都是中心对称的。

中心对称也有着许多实际应用，如在建筑设计、雕塑制作、工艺品制作等方面都有中心对称的应用。

二、函数对称1.奇偶函数在数学中，函数对称有奇偶性的概念。

奇数函数的图象在原点对称，即f（-x）=-f（x）；偶数函数的图象在y轴对称，即f（-x）=f（x）。

奇偶性是一种对称性，它是函数关于y轴的对称性。

奇偶函数的对称性不仅仅是数学概念，它还能帮助我们更好的理解函数的性质。

奇偶函数的性质在微积分、数学分析等领域有着广泛的应用，奇偶函数的图像对称性也是数学研究中的一个重要方面。

2.周期函数周期函数是指满足f（x+T）=f（x）的函数。

在周期函数中，周期T是函数的一个重要性质，它决定了函数在不同区间内的值的关系。

周期函数的图像在每个周期内都有着相似的形状，是一种特殊的对称性。

周期函数在信号处理、电路设计、波动现象等领域有着重要的应用，在理论研究中周期函数的对称性也是重要的研究对象。

三、代数对称1.对称多项式在代数学中，对称多项式是指多元函数的一种特殊形式，它在变量的排列中保持不变。

对称多项式是求和和乘积中的一个重要概念，它包含了一元多项式的对称性和多元函数的对称性。

有关对称问题的求法小结河南省周口市淮阳县第一高级中学数学组张明选摘要：对称问题是高中数学的一个重要知识点，部分题目还会涉及光线反射等一些实际的应用，有关对称问题的求解，除了初中时期学习的数形结合的方法外，高中学习过直线方程后，更明了了其理论基础，本文，我从对称的理论原理出发探讨对称问题的具体求解方法。

关键词：中点坐标；斜率；交点坐标；对称对称问题是高中数学的一个重要知识点，是学生的学习难点，也是不少教师的教学难点。

高中数学中所涉及到的对称问题主要包括：点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于直线的对称。

这里我就这三种对称关系的求法给以总结，以便我们能够系统理解有关对称问题的具体求法。

一、点关于点的对称大家应该很熟悉平面直角坐标系中的一个点关于原点对称的点的坐标写法，即将点的横纵坐标都变为他们的相反数即可。

这种做法在初中的时候很多老师就要求学生记忆过，但是其理论基础是高中学习的中点坐标公式，我们也正是利用中点坐标公式来解决任意两点（不单单是关于原点）的对称问题。

例1设点，求点关于点对称的点的坐标.分析：当点是坐标原点时，我们可以直接写出点的坐标为，但是对于任意的点我们就不能直接写出对称点的坐标，而必须利用中点坐标公式.解：设点的坐标是，由于与关于点对称，因此点是与两点的中点，所以有解得对称点的坐标是.二、点关于直线的对称根据数形结合的思想，我们知道点关于坐标轴对称的求法，甚至我们知道一个点关于一特殊的直线的对称的点坐标的写法，给定一个点，则它关于直线对称的点的坐标是.但是当这一特殊的直线（坐标轴和直线）变为一般的直线时，点关于直线的坐标的求法就要利用高中阶段学习的两直线垂直时的斜率关系式，以及点与直线的位置关系方程.其实这也正是点关于特殊直线对称的理论基础.我们假设已知点的坐标是，已知直线方程（非坐标轴直线）是，求点关于已知直线的对称点的坐标. 设对称点，我们只需求出和的值即可.点与点关于直线对称，那么直线必垂直平分线段，所以有以下两点：线段的中点在直线上；所在的直线与直线相互垂直。