成才之路·人教B版数学·必修5 1-1-4

D典例透析 S随堂演练
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题型一
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题型三
题型四
1
1

2
1
(2)解:由(1)知 -1= · -1 =
1
即

1
=
2
1
+1,则

设 Tn= +
2


3
=
1
22
2
2
2
2
1
+
2
2
+…+
3
=
2

1
1-
2
1
12
1
=1-
2
−
−
2
1
2
1
2
22
,
+n.

2
+

2 +1
1
,②
−
+…+
2

2 +1
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,
所以-8q=-24,q=3.
1 (1- )
所以数列{bn}的前 n 项和公式 Sn=
1-
=4(1-3n).
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IANLITOUXI
1
2
3
UITANGLIANXI
4
1等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1的值为
题型四
等比数列的基本运算
【例1】 (1)已知Sn为等比数列{an}的前n项和,Sn=93,an=48,公比

• A．α，a，b • C．a，b，γ • [答案] C
B．α，β，a D．α，β，b
• [解析] 根据实际情况，α、β都是不易测量 的数据，而a、b可以测得，角γ也可以测得， 根据余弦定理AB2＝a2＋b2－2abcosγ能直接求 出AB的长，故选C．
• 3.如图所示，客轮以速率2v由A至B再到C匀速 航行，货轮从AC的中点D出发，以速率v沿直 线匀速航行，将货物送达客轮，已知AB⊥BC， 且AB＝BC＝50n mile，若两船同时出发，则 两船相遇之处M距C点________n mile.
• 如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两 点A、B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝ 45°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，求河的宽 度．
• [解析] 如图，
在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°， ∴∠ACB＝60°. 由正弦定理，得AC＝ABsi·nsi∠n∠ACCBBA＝12s0insi6n07°5° ＝20(3 2＋ 6)． 设C到AB的距离为CD， 则CD＝ACsin∠CAB＝ 22AC＝20(3＋ 3)． 答：河的宽度为20( 3＋3)m.
∴(vt)2＝(25 2)2＋x2－2×25 2×x×cos45°， 即34x2＝1250，∴3x2＝4×1250，
∴x＝503
6 n
mile.
• 4．在相距2km的A、B两点处测量目标点C， 若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点 之[答间案的] 距6离为________km.
• [解析] 如图所示，由题意知∠C＝45°，
• (2)如图，作PD⊥a，垂足为D．在Rt△PDA
中，
PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB ＝x·3x＋5x32＝3×13752＋32≈17.71(km)． 答：静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71 km.

∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平
面内),求两目标A,B之间的距离.
分析:要求出A,B之间的距离,可在△ABC(或△ADB)中去找关系,
但不管在哪个三角形中,AC,BC这些量都是未知的,需要在三角形中
找出合适的关系式,求出它们的值,然后解斜三角形即可.
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HISHISHULI
HONGNANJUJIAO

,
,

∴a=CD=BC-BD=tan ∠ − tan ∠ .
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HISHISHULI
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HONGNANJUJIAO
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∴a=CD=BC-BD=tan ∠ − tan ∠ .
∵AC=BC,
∴∠A=∠ABC=
180°-80°
2
=50°.
∴∠ABG=180°-∠CBH-∠CBA=180°-120°-50°=10°.故选B.
答案:B
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2.三角形中的有关公式和结论
(1)直角三角形中各元素间的关系.
在△ABC中,若∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,则有:
HISHISHULI
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(2)斜三角形中各元素间的关系.
在△ABC中,若∠A,∠B,∠C为其内角,a,b,c分别表示∠A, ∠B,

反思感悟 在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等 式表示的区域，再取它们的公共部分即可.其步骤：①画线；②定侧；③求 “交”；④表示.但要注意是否包含边界.
跟踪训练3 画出|x|＋|y|≤1表示的平面区域.
解 当x≥0且y≥0时，|x|＋|y|≤1，即x＋y≤1.
x≥0， 由y≥0，
3 达标检测
PART THREE
1.不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是
A.(0，0) C.(0，2)
B.(1，1)
√D.(2，0)
解析 将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2，0)代入后不等式不成立， 故此点不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内，故选D.
1234
2.已知点(－1，2)和点(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是
解析 在平面直角坐标系中画出直线x－2y＋6＝0， 视察图象(图略)知原点在直线的右下方， 将原点(0,0)代入x－2y＋6，得0－0＋6＝6>0， 所以原点(0,0)在不等式x－2y＋6>0表示的平面区域内，故选B.
命题角度2 给不等式组画平面区域
例3 画出下列不等式组所表示的平面区域.
x－2y≤3，
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
数形结合的魅力
典例 我们可以验证点(1,2)是不等式x－y＜6的一个解.怎么证明直线
x－y＝6左上方半平面(不包括边界)上所有点均是x－y＜6的解？
证明 设点A(x0，y0)位于直线x－y＝6左上方区域，
则过点A作直线AB∥y轴，交直线x－y＝6于点 B. 设B(x0，y1)，则有y0＞y1. ∵B在直线x－y＝6上，

C． tanA>tanB
D ． sinA<sin B
[答案 ] B
[解析 ] ∵ A>B，∴ a>b， 由正弦定理，得 sinA>sinB，故选 B ．
2
b
3．△ ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，asinAsinB＋ bcos A＝ 2a，则 a
＝( )
A．2 3
B．2 2
α＋
B
＝
52，求
tan α的值．
[解析 ] (1) 因为 a2＋ b2＋ 2ab＝ c2，
由余弦定理有
cosC
＝
a2＋
b2－
c2 ＝
－
2ab ＝－
2，
2ab
2ab
2
故
C
＝
3π 4.
(2)由题意得
sinαsinA－ cosαcosA sinαsinB－cosαcosB cos2α
＝
52，
因此 (tanαsinA－ cosA)(tanαsinB－ cosB)＝ 52，
A．2 6
B．3 6
C． 2 2
D．3 2
[答案 ] C
[解析 ] 设所求边长为 x，由正弦定理得，
x sin30
＝°sin445
，°∴ x＝ 2
2，故选
C．
2．在△ ABC 中，角 A、 B、C 所对的边分别为 a、 b、c，且 A>B，则一定有 ( )
A ． cosA>cosB
B ． sinA>sinB
A ．无解
B ．有一解
C．有两解
D ．不能确定
[答案 ] A
[解析 ] 4× sin60 ＝°2 3＝ 12，

∴bn＝－34·23n－1。 ∴an2－1＝－34·23n－1。 ∴an2＝1－43·32n－1。 又 a1＝12>0，an·an＋1<0，
∴an＝(－1)n－1
1－34·23n－1。
对应训练 3 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝52－a1n，bn＝an－1 2(n∈ N*)，则数列{bn}的通项公式 bn＝____－__13_×__4_n－_1_－__32___。
【规律·方法】 利用恒等式 an＝a1·aa21·aa32…aan－n1(an≠0)求通项公式的方 法称为累乘法。累乘法是求型如 an＋1＝g(n)an 的递推数列通项公式的基 本方法，其中 g(n)可求前 n 项积。
对应训练 2 设{an}是首项为 1 的正项数列，且(n＋1)an2＋1－nan2＋ 1
考点二 累乘法求通项公式
【例 2】
若
a1＝1，Sn＝n＋3 2an(n∈N*)，则通项
nn＋1 an＝____2____。
【解析】 由题设知，a1＝1。 当 n>1 时，an＝Sn－Sn－1＝n＋3 2an－n＋3 1an－1，∴aan－n 1＝nn＋－11。 ∴aan－n 1＝nn＋－11，…，aa34＝35，aa23＝24，aa12＝3。 以上 n－1 个式子的等号两端分别相乘， 得到aan1＝nn＋2 1，又∵a1＝1，∴an＝nn＋2 1。
数列 求和
学习目标
• 1．掌握等差数列、等比数列的前n项和公式． • 2．掌握一般数列求和的几种常见的方法．
知识梳理
• 一、公式法 • 1．直接利用等差数列、等比数列的前n项公式求和
• (1)等差数列的前n项和公式Sn＝__n_（__a_12＋__a_n_）__ • ＝__n_a_1＋__n_（__n_－2__1）d． (其中a1为首项，d为公差) • (2)等比数列的前n项和公式

方程时，可以据后三个成等比用a、q表示四个数，也可以据前
三个成等差，用a、d表示四个数，由于中间两数之积为16，将
中间两个数设为
a q
，aq这样既可使未知量减少，同时解方程也
较为方便．
(2)注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为x，则第
二个数为
16 x
，则第一个数为
32 x
－x，最后一个数为
x3 16
[解析] ∵a7＝a3q4，∴q4＝aa73＝2， ∴a11＝a7·q4＝6×2＝12.
6．(2015·北京文，16)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10， a4－a3＝2.
(1)求{an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7.问：b6与数列{an}的 第几项相等？
[解析] 由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d ＋a＋a＋d＝6，∴a＝2，
这三个数可表示为2－d,2,2＋d， ①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝ 6，或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8. ②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝ －6，或d＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4. ③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)， ∴d＝0(舍去)． 综上可知此三数为－4,2,8.
易错疑难辨析
三个正数能构成等比数列，它们的积是27，平 方和为91，则这三个数为________．
[错解] 1,3,9或－1,3，－9 设三数为aq，a，aq，则
aq·a·aq＝27
①
aq2＋a2＋a2q2＝91
②
由①得a＝3代入②中得q＝±3或q＝±13. ∴当q＝3时，三数为1,3,9；当q＝－3时，三数为－1，3， －9；当q＝13时三数为9,3,1；当q＝－13时，三数为－9,3，－1. 综上可知此三数为1,3,9或－1,3，－9.

D．△ A1B1C1 是锐角三角形，△ A2B2C2 是钝角三角形
[答案 ] D
[解析 ] 由条件知，△ A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 假设△ A2B2C2 是锐角三角形，由
0，则△ A1B1C1 是锐角三角形，
π sin A2＝ cosA1＝ sin 2－A1
π
sin B2 ＝cosB1＝ sin
A ． 一定是锐角三角形
B．一定是钝角三角形
)在△ ABC 中， a、 b、 c 分别为角 A、 B、
C．一定是斜三角形 D ．一定是直角三角形
[答案 ] D
[解析 ] 解法一：∵ ccosA＝ b， ∴sin CcosA＝ sinB＝ sin(A＋C)
＝sin AcosC＋ cosAsinC，
∴sin AcosC＝ 0，
A．2 3
B．2 2
C． 3
D． 2
[答案 ] D [解析 ] ∵ asinAsinB＋ bcos2A＝ 2a， ∴由正弦定理，得 sin2AsinB＋ sinBcos2A＝ 2sinA， ∴sin B(sin2A＋ cos2A)＝ 2sinA， ∴sin B＝ 2sinA，
∴sin B＝ 2. sinA
∵sin A≠0，∴ cosC＝ 0，又 0<c<π，
∴C＝ π，故选 D． 2
解法二：由余弦定理，得
b2＋ c2－ c· 2bc
a
2
＝
b
，
∴ b 2＋ c2－ a 2＝ 2 b 2，
即 a2＋ b2＝ c2，故△ ABC 是直角三角形．
5．从 A 处望 B 处的仰角为 α，从 B 处望 A 处的俯角为 β，则 α、 β的关系为 ( )
第一章综合素质检测

第三章 3.2 第2课时一、选择题1．a 、b 、c 是互不相等的正数，且a2＋c2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是( )A ．a>b>cB ．c>a>bC ．b>a>cD ．a>c>b[答案] C[解析] ∵a 、c 均为正数，且a≠c ，∴a2＋c2>2ac ，又∵a2＋c2＝2bc ，∴2bc>2ac ，∵c>0，∴b>a ，排除A 、B 、D ，故选C ．2．设{an}是正数等差数列，{bn}是正数等比数列，且a1＝b1，a21＝b21，则( )A ．a11＝b11B ．a11>b11C ．a11<b11D ．a11≥b11[答案] D[解析] ∵an>0，bn>0，a1＝b1，a21＝b21，∴a11＝a1＋a212＝b1＋b212≥b1b21＝b11，等号成立时，b1＝b21，即此时{an}、{bn}均为常数列，故选D ．3．若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．245B ．285C ．5D ．6[答案] C[解析] 本题考查了均值不等式的应用．由x ＋3y ＝5xy 得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y)·(15y ＋35x )＝3x 5y ＋12y 5x ＋95＋45≥23x 5y ·12y 5x ＋135＝125＋135＝5， 当且仅当3x 5y ＝12y 5x 时，得到最小值5.4．已知R1、R2是阻值不同的两个电阻，现分别按图①、②连接，设相应的总阻值分别为RA 、RB ，则RA 与RB 的大小关系是( )A ．RA>RB B ．RA ＝RBC ．RA<RBD ．不确定[答案] A[解析] RA ＝R1＋R22，RB ＝2R1R2R1＋R2， RA －RB ＝R1＋R22－2R1R2R1＋R2＝＋－4R1R2＋＝－＋>0，所以RA>RB ．5．已知a>1，b>1，且lga ＋lgb ＝6，则lga·lgb 的最大值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18[答案] B[解析] ∵a>1，b>1，∴lga>0，lgb>0，又lga ＋lgb ＝6，∴lga·lgb≤(lga ＋lgb 2)2＝(62)2＝9，故选B ．6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件[答案] B[解析] 由题意知仓储x 件需要的仓储费为x28元，所以平均费用为y ＝x 8＋800x ≥2x 8×800x ＝20，当且仅当x ＝80等号成立．二、填空题7．已知2x ＋3y ＝2(x>0，y>0)，则xy 的最小值是________．[答案] 6[解析] 2x ＋3y ≥26xy ，∴26xy ≤2，∴xy≥6. 8．若实数x 、y 满足x2＋y2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． [答案]233 [解析] ∵x2＋y2＋xy ＝1，∴(x ＋y)2＝xy ＋1.又∵xy≤(x ＋y 2)2，∴(x ＋y)2≤(x ＋y 2)2＋1，即34(x ＋y)2≤1.∴(x ＋y)2≤43.∴－233≤x ＋y≤233.∴x ＋y 的最大值为233.三、解答题9．已知a 、b 、c ∈R ，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a ＋b ＋c)．[解析] ∵a ＋b 2≤a2＋b22，∴a2＋b2≥a ＋b 2＝22(a ＋b)(a ，b ∈R 等号在a ＝b 时成立)．同理b2＋c2≥22(b ＋c)(等号在b ＝c 时成立)．a2＋c2≥22(a ＋c)(等号在a ＝c 时成立)． 三式相加得a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥22(a ＋b)＋22(b ＋c)＋22(a ＋c)＝2(a ＋b ＋c)(等号在a ＝b ＝c 时成立).一、选择题1．若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy·b x ＋dy ，则有() A ．P ＝Q B ．P≥QC ．P≤QD ．P>Q[答案] C [解析] Q ＝ax ＋cy·b x ＋dy ＝ab ＋cd ＋adx y ＋bcy x ≥ab ＋cd ＋2abcd＝ab ＋cd ＝P .2．已知x≥52，则f(x)＝x2－4x ＋52x －4有( ) A ．最大值54 B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1[答案] D[解析] ∵x≥52，∴x －2＞0， 则f(x)＝x2－4x ＋52x －4＝12⎣⎡⎦⎤－＋1－≥1，等号在x －2＝1x －2即x ＝3时成立．3．已知y>x>0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x<x ＋y 2<y<2xyB ．2xy<x<x ＋y 2<yC ．x<x ＋y 2<2xy<yD ．x<2xy<x ＋y 2<y[答案] D[解析] ∵y>x>0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38.∴x<2xy<x ＋y 2<y.故选D ．4．设a 、b 是正实数，给出以下不等式： ①ab>2ab a ＋b；②a>|a －b|－b ；③a2＋b2>4ab －3b2；④ab ＋2ab >2，其中恒成立的序号为( ) A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④[答案] D[解析] ∵a 、b ∈R ＋时，a ＋b≥2ab ，∴2ab a ＋b ≤1， ∴2ab a ＋b≤ab ，∴①不恒成立，排除A 、B ； ∵ab ＋2ab ≥22>2恒成立，故选D ．二、填空题5．建造一个容积为8 m3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元．[答案] 1 760[解析] 设水池池底的一边长为 x m ，则另一边长为4x m ，则总造价为：y ＝480＋80×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x ×2＝480＋320⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥480＋320×2x×4x ＝1 760.当且仅当x ＝4x 即x ＝2时，y 取最小值1 760.所以水池的最低总造价为1 760元．6．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是________．[答案] 3[解析] 以C 为原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴建立直角坐标系，设P(x ，y)，则AB 方程为x 3＋y 4＝1，∵x ，y ∈R ＋，∴1＝x 3＋y 4≥2xy12，∴xy≤3.三、解答题7．若x>0，y>0，x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )·(1＋1y )≥9.[解析] 证法一：左边＝(1＋1x )(1＋1y )＝1＋1x ＋1y ＋1xy ＝1＋x ＋y xy ＋1xy＝1＋2xy ≥1＋2x ＋y 2＝9＝右边．当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．证法二：∵x ＋y ＝1，∴左边＝(1＋1x )(1＋1y )＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y )＝(2＋y x )(2＋xy )＝5＋2(y x ＋xy )≥5＋4＝9＝右边．当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．8．已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：a2b ＋b2c ＋c2a ≥a ＋b ＋C ．[解析] ∵a 、b 、c ∈R ＋，a2b ，b2c ，c2a 均大于0， 又a2b ＋b≥2a2b ·b ＝2a ，b2c ＋c≥2b2c ·c ＝2b ，c2a ＋a≥2c2a ·a ＝2c ， 三式相加得a2b ＋b ＋b2c ＋c ＋c2a ＋a≥2a ＋2b ＋2c ， ∴a2b ＋b2c ＋c2a ≥a ＋b ＋C ．。

基 础 巩 固一、选择题1．在等比数列{a n }中，a 4＋a 5＝10，a 6＋a 7＝20，则a 8＋a 9等于( )A ．90B ．30C ．70D ．40[答案] D[解析] ∵q 2＝a 6＋a 7a 4＋a 5＝2，∴a 8＋a 9＝(a 6＋a 7)q 2＝20q 2＝40.2．在等比数列{a n }中，a 2 010＝8a 2 007，则公比q 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8[答案] A[解析] ∵a 2 010＝8a 2 007，∴q 3＝a 2 010a 2 007＝8，∴q ＝2.3．等比数列{a n }各项为正数，且3是a 5和a 6的等比中项，则a 1·a 2·…·a 10＝( )A ．39B ．310C ．311D ．312[答案] B[解析] 由已知，得a 5a 6＝9，∴a 1·a 10＝a 2·a 9＝a 3·a 8＝a 4·a 7＝a 5·a 6＝9， ∴a 1·a 2·…·a 10＝95＝310.4．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] a 3a 5a 7a 9a 11＝a 51q 30＝243，∴a 29a 11＝(a 1q 8)2a 1q 10＝a 1q 6＝5243＝3. 5．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( )A ．2B ．4C ．8D ．16[答案] C[解析] ∵a 3a 11＝a 27＝4a 7，∵a 7≠0， ∴a 7＝4，∴b 7＝4，∵{b n }为等差数列， ∴b 5＋b 9＝2b 7＝8.6．在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 6a 16等于( )A.32B.23C.16D ．6[答案] A [解析]∵⎩⎨⎧a 7·a 11＝a 4·a 14＝6a 4＋a 14＝5，解得⎩⎨⎧a 4＝3a 14＝2或⎩⎨⎧a 4＝2a 14＝3.又∵a n >a n ＋1，∴a 4＝3，a 14＝2.∴a 6a 16＝a 4a 14＝32.二、填空题7．等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5等于________．[答案] 27[解析] 由题意，得a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝(a 1＋a 2)q 2＝9， ∴q 2＝9，又a n >0，∴q ＝3. 故a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝9×3＝27.8．已知等比数列{a n }的公比q ＝－13，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8等于________．[答案] －3[解析] a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＋a 7q＝1q ＝－3. 三、解答题9．已知数列{a n }为等比数列．(1)若a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝216，求a n ； (2)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q . [解析] (1)∵a 1a 2a 3＝216，∴a 2＝6， ∴a 1a 3＝36.又∵a 1＋a 3＝21－a 2＝15，∴a 1，a 3是方程x 2－15x ＋36＝0的两根3和12. 当a 1＝3时，q ＝a 2a 1＝2，a n ＝3·2n －1；当a 1＝12时，q ＝12，a n ＝12·(12)n －1. (2)∵a 4a 8＝a 3q ·a 5q 3＝a 3a 5q 4＝18q 4＝72， ∴q 4＝4，∴q ＝±2.能 力 提 升一、选择题1．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A ．210B ．220C ．216D ．215[答案] B[解析] 设A ＝a 1a 4a 7…a 28，B ＝a 2a 5a 8…a 29， C ＝a 3a 6a 9…a 30，则A 、B 、C 成等比数列， 公比为q 10＝210，由条件得A ·B ·C ＝230，∴B ＝210， ∴C ＝B ·210＝220.2．如果数列{a n }是等比数列，那么( ) A ．数列{a 2n }是等比数列 B ．数列{2a n }是等比数列 C ．数列{lg a n }是等比数列 D ．数列{na n }是等比数列 [答案] A[解析] 设b n ＝a 2n ，则b n ＋1b n ＝a 2n ＋1a 2n ＝(a n ＋1a n)2＝q 2，∴{b n }成等比数列；2a n ＋12a n ＝2a n ＋1－a n ≠常数；当a n <0时lg a n 无意义；设c n ＝na n ， 则c n ＋1c n＝(n ＋1)a n ＋1na n ＝(n ＋1)q n ≠常数． 3．在等比数列{a n }中，a 5a 7＝6，a 2＋a 10＝5，则a 18a 10等于( )A ．－23或－32 B.23 C.32 D.23或32[答案] D[解析] a 2a 10＝a 5a 7＝6.由⎩⎨⎧a 2a 10＝6a 2＋a 10＝5，得⎩⎨⎧a 2＝2a 10＝3或⎩⎨⎧a 2＝3a 10＝2.∴a 18a 10＝a 10a 2＝32或23.故选D. 4．已知2a ＝3,2b ＝6,2c ＝12，则a ，b ，c ( )A ．成等差数列不成等比数列B ．成等比数列不成等差数列C ．成等差数列又成等比数列D ．既不成等差数列又不成等比数列 [答案] A[解析] 解法一：a ＝log 23，b ＝log 26＝log 2 3＋1， c ＝log 2 12＝log 2 3＋2. ∴b －a ＝c －b .解法二：∵2a ·2c ＝36＝(2b )2，∴a ＋c ＝2b ，∴选A. 二、填空题5．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.[答案] 16[解析] ∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27 ＝4a 7－a 27＝0，∵b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4.∴b 6b 8＝b 27＝16.6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是__________．[答案] 3或27 [解析]设此三数为3、a 、b ，则⎩⎨⎧2a ＝3＋b(a －6)2＝3b，解得⎩⎨⎧a ＝3b ＝3或⎩⎨⎧a ＝15b ＝27.∴这个未知数为3或27. 三、解答题7．{a n }为等比数列，且a 1a 9＝64，a 3＋a 7＝20，求a 11. [解析] ∵{a n }为等比数列， ∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64，又a 3＋a 7＝20， ∴a 3，a 7是方程t 2－20t ＋64＝0的两个根． ∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4， 当a 3＝4时，a 3＋a 7＝a 3＋a 3q 4＝20， ∴1＋q 4＝5，∴q 4＝4.当a 3＝16时，a 3＋a 7＝a 3(1＋q 4)＝20， ∴1＋q 4＝54，∴q 4＝14.∴a 11＝a 1q 10＝a 3q 8＝64或1.8．设{a n }是各项均为正数的等比数列，b n ＝log 2a n ，若b 1＋b 2＋b 3＝3，b 1·b 2·b 3＝－3，求此等比数列的通项公式a n .[解析] 由b 1＋b 2＋b 3＝3， 得log 2(a 1· a 2·a 3)＝3， ∴a 1·a 2·a 3＝23＝8，∵a 22＝a 1·a 3，∴a 2＝2，又b 1·b 2·b 3＝－3，设等比数列{a n }的公比为q ，得log 2(2q )·log 2(2q )＝－3. 解得q ＝4或14，∴所求等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝a 2·q n －2＝22n －3或a n ＝25－2n .9．(2013·全国大纲理，17)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．[解析] 设{a n }的公差为d .由S 3＝a 22，得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得S 22＝S 1S 4.又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ， 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意； 若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1.。

2020最新人教版高三数学必修5(B 版)电子课本课件【全册】目录
0002页 0018页 0060页 0102页 0178页 0209页 0254页 0317页 0319页 0389页 0405页 0441页 0521页 0.2 余弦定理
本章小结
第二章 数列
2.1.2 数列的递推公式（选学）
2020最新人教版高三数学必修5(B 版)电子课本课件【全册】
2.2.2 等差数列的前n项和
2.3.2 等比数列的前n项和
阅读与欣赏
级数趣题
第三章 不等式
3.1.2 不等式的性质
3.3 一元二次不等式及其解法
3.5 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
本章小结
后记
第一章 解三角形
2020最新人教版高三数学必修5(B 版)电子课本课件【全册】
1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理

得 Sn-Sn-1+2SnSn-1=0.即
1
1
1
-1
−
1

+2=0,
∴ − =2.

∴数列
-1
1

是公差为 2 的等差数列.
1
1
2
1
又 S1=a1= ,∴ =2.
1
1
∴ =2+(n-1)×2=2n,Sn=2 ,

1
1
-1
∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2 − 2(-1) = 2(-1).
+
当 p+q 为偶数时,n=
,Sn 最大;
2
+-1
++1
2
2
当 p+q 为奇数时,n=
或 n=
,Sn 最大.
②若a1<0,且Sp=Sq(p≠q),则
+
当 p+q 为偶数时,n=
,Sn 最小;
当 p+q 为奇数时,n=
或 n=
2
+-1
++1
2
2
,Sn 最小.
目标导航
题型一
4
(+2)
1
2
1
d=3n+
2
1
(-1)
1
1 1
2

1 1
-
2 4
1
1
-
4(+1)(+2)
.
+2
2
,
+…+
2 +1 +2
2+3
2(+1)(+2)

[解析]
2
2 2 (1)设数列{an}的公比为 q， 由 a3 ＝9a2a6 得 a2 3＝9a4，
1 1 所以 q ＝ .由条件可知 q>0，故 q＝ . 9 3 1 由 2a1＋3a2＝1 得 2a1＋3a1q＝1，所以 a1＝3. 1 故数列{an}的通项公式为 an＝3n.
第二章
2.5 第2课时
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(2)bn＝log3a1＋log3a2＋„＋log3an＝－(1＋2＋„＋n)＝－ nn＋1 1 2 1 1 .故 ＝－ ＝－2( － )， 2 bn n n＋ 1 nn＋1 1 1 1 b1＋b2＋„＋bn 1 1 1 1 1 2n ＝－2[(1－2)＋(2－3)＋„＋(n－ )]＝－ . n＋1 n＋1 1 2n 所以数列{ }的前 n 项和为－ . bn n＋1
第二章
2.5 第2课时
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建模应用引路
错位相减求和
(2012· 浙江)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn， 且 Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足 an＝4log2bn＋3，n∈N*. (1)求 an，bn； (2)求数列{an· bn}的前 n 项和 Tn.
第二章
2.5 第2课时
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自 主 预 习
1.分组转化求和法 如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各 独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前 n 项和可考虑拆 项后利用公式求解．
第二章
2.5 第2课时
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第三章 章末归纳总结
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(5)方程f(x)＝0在区间(k1，k2)内有两个不等的实根，则有
Δ>0
k1<－2ba<k2
.
fk1>0，且fk2>0
(6)方程f(x)＝0在区间(k1，k2)外有两个不等的实根，则有
Δ>0 fk1<0 . fk2<0
不妨设a>1，则f(
x1＋x2 2
)是曲线上横坐标为
x1＋x2 2
的点C的
纵坐标，
fx1＋fx2 2
是线段AB的中点D的纵坐标．显然
f(
x1＋x2 2
)<
fx1＋fx2 2
.同理，当0<a<1时，结果相同．故
f(x1＋2 x2)<fx1＋2 fx2.
第三章 章末归纳总结
第三章 章末归纳总结
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专题四 数形结合的思想 数形结合的思想在本章中的应用非常广泛，如理解一元 二次不等式的解集，感悟“三个二次”的关系，解决线性规 划问题，几何法证明均值不等式等．
第三章 章末归纳总结
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第三章 章末归纳总结
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[点评] 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)对应的二次 函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)．结合图象可得：
(1)方程f(x)＝0在区间(－∞，k)内有两个不等的实根，则
Δ>0 有－2ba<k

15．不等式 (k＋ 1)x2－ (3k＋ 1)x＋ 2>0 对于任意的 x∈R 都成立，则 k 的取值范围是 ________．
7 [答案 ] － 9<k<1
[解析 ] 当 k＋ 1＝0 即 k＝－ 1 时，不等式为 x＋ 1>0，不符合题意； k＋ 1>0，
当 k＋ 1≠ 0 时，由题意得 Δ<0，
)
A ． { x|x<－ 2}
B ． { x|x>3}
C． { x|－1< x<2}
D ． { x|2<x<3}
[答案 ] C
[解析 ] M ＝{ x|－ 2<x<2} ，N＝ { x|－ 1<x<3} ，借助数轴进行运算， 得 M ∩ N＝ { x|－ 1<x<2} ．
4．已知
p
＝
a
＋
1 a－
(a 2
13．在 R 上定义运算⊙； a⊙ b＝ ab＋2a＋ b，则满足 x⊙ (x－ 2)<0 的实数 x 的取值范围为
________．
[答案 ] (－2,1)
[解析 ] 由定义得 x(x－ 2)＋ 2x＋ x－ 2<0， 即 x2＋ x－ 2<0 ，∴－ 2< x<1. 即 x∈ (－ 2,1)．
14．已知在各项均为正数的数列 { an} 中， a1＝ 1， a2＝ 2， log 2an＋1＋ log 2an＝ n(n∈ N ＋) ，则 a1＋ a2＋…＋ a2 013－ 21 008＝ ________.
B ． 100× 2100 D ．200
[答案 ] A
[解析 ] 由已知，得 log 2xn＋1－ log 2xn ＝ 1，

第三章 3.3 第1课时
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汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一 段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距 离是分析事故的一个重要因素，在一个限速40km/h以内的弯 道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但 还是相碰了．事后现场测得甲车的刹车略超过12m，乙车的刹 车略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速 x(km/h)之间有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋ 0.005x2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？
第三章 3.3 第1课时
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(5)∵Δ＝(－4)2－4×2×7＝－40<0， ∴不等式2x2－4x＋7<0的解集为∅.
第三章 3.3 第1课时
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(1)不等式9x2－6x＋1＞0的解集为________； (2)不等式x2－4x＋5＜0的解集为________． [答案] (1){x∈R|x≠13} (2)∅
第三章 3.3 第1课时
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[解析] 要分清谁是应付主要责任者，就需分析行车速 度，要弄清速度问题，就要利用刹车距离函数与实测数据，构 建数学模型，由题意列出不等式
甲：0.1x＋0.01x2＞12， 乙：0.05x＋0.005x2＞10， ∵x＞0，∴解得x甲＞30 km/h，x乙＞40 km/h，经比较知乙 车超过限速，应付主要责任.
第三章 3.3 第1课时
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必修⑤
第1章
1.2
第1课时
第1章
解三角形
由正弦定理，得 BC· sin∠ ABC 20× sin30° AC＝ ＝ ＝ 10 2(km)． sinA sin45° 答：货轮到达 C 点时与灯塔 A 的距离是 10 2km.
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第1章
1.2
第1课时
第1章
解三角形
[点评]
(1)求解三角形中的基本元素，应由确定三
角形的条件个数，选择合适的三角形求解，如本题选择 的是△ BCD 和△ABC. (2)本题是测量都不能到达的两点间的距离，它是测 量学中应用非常广泛的三角网测量方法的原理， 其中 AB 可视为基线．
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1.2
第1课时
第1章
解三角形
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解三角形
1.2
应用举例
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解三角形
第1 课时
距离问题
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解三角形
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第1章
1.2
第1课时
第1章
解三角形
1 ．测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之 间的距离问题
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第1章
1.2
第1课时
第1章
解三角形
1．解三角形应用题的基本思路 (1)建模思想 解三角形应用问题时，通常都要根据题意，从实际问 题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形， 得出三角形边角的大小，从而得出实际问题的解．这种数 学建模思想，从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化 为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学 模型的解，再还原成实际问题的解，用流程图可表示为：