运用函数思想解不等式的变量选择

利用函数思想认识和证明不等式摘要：函数思想是中学数学中最重要最基本的数学思想之一，它贯彻于中学课程的始终。

有的专家学者曾用三句话概括中学数学的基本观点：以函数为纲，以方程为网，数形结合。

中学数学中的很多内容如方程、不等式、数列等，若用函数的思想（观点）去认识，往往可以展露新的视角、开辟新的解题思路。

本文试着通过实例，就如何利用函数思想来认识和证明不等式这个问题，做一些探究。

关键词：函数；不等式中图分类号：o12 文献标识码：a 文章编号：1009-0118（2011）-05-0-01根据不等式的结构特点，分析其异同，把相同的量固定下来，把不同的量赋予其一个变量，便可构造一个可供利用的函数。

例1（高中数学必修五，第81页）：分析：设a和b分别表示住宅原来窗户的总面积和占地面积的值，m表示窗户和占地所增加的面积的值（面积单位都相同），由题意知：00。

教材中利用比较法证得：>这个实际问题的数学实质是：已知00，那么>。

现在我们用函数思想重新打量这个不等式：该式可以改写为 >，这样一来，不等式两边两个式子具有了相同的结构形式。

我们把相同的地方固定下来，把不同的地方赋予一个变量，就可构造出一个函数=，而与就是该函数的两个函数值和，要比较与的大小，只要考查该函数的单调性就可以了。

证明：考查函数=(0设0≤又∵m>0，∴>∴>利用函数f(x)的单调性，若m>n>0，则，由此得推论：推论1：0推论2：0例2（高中数学选修1—2，第38页）：求证-a-2≥1∵0,令，探求分界点，得>，∴>, ∴在(+∞)上单调递增，同理，在(0,)上单调递减,∴≥()而()=(-)2≥0 ∴≥0,即++≥可以看到，要构造辅助函数，就要寻找到一个合适的自变量。

该不等式中的三个字母a、b、c本来都是常量，且地位相同，我们让其中一个字母a“动”起来，看做一个变量，变成一个主元，则就找到了自变量，因而构造出了可供利用的函数。

函数思想在解决不等式问题中的应用河南省新乡市第一中学 吴 磊函数思想是贯穿于高中数学课程的一条主线，它是高考试题的主要内容.由于函数在某个区间上的正、负与不等式问题直接相关，故用函数的理论方法处理不等式问题大有用武之地.函数思想是用运动与变化的观点分析问题中的数量关系，通过函数形式把相关变量的数量关系表示出来加以研究，从而使问题得以解决的策略思想.函数思想在不等式中的应用大致分为以下几个方面：一、 函数的单调性证明不等式函数的单调性的应用之一就是由自变量的大小得出函数值的大小，利用这一性质即可证明某些不等式.例1、 求证：b a ba b ba a+++≥+++111 简析：由所证不等式构造函数x x x f +=1)(，易知)(x f 在[)+∞,0上为增函数，由b a b a +≥+，可知)()(b a f b a f +≥+，即b a ba b a ba +++≥+++11，所以只需证明b a b a b b aa+++≥+++111即可，接下来的工作可由放缩法解决， 即b a ba b a bb a a b ba a+++=+++++≥+++11111.二、用函数图象的相对位置解不等式例2设函数ax x x f -+=1)(2，其中a ＞0，解不等式1)(≤x f .解：1)(≤x f 等价于ax x +≤+112.设y x =+12，122=-∴x y （y ＞0） 设ax y +=1,则所研究的问题为直线ax y +=1位于双曲线122=-x y 上半支上方时x 的范围,如下图所示,(1) 当0＜a ＜1时,直线l 与双曲线c 有两个交点,横坐标分别为212,0a a x x -==,此时不等式的解为2120a a x -≤≤; (2) 当1≥a 时,直线与双曲线只有 一个(0,1)交点,故只要x ≥0,原不等式就成立,综合(1)、(2)可知，当0＜a ＜1时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤2120a a x x ； 当1≥a 时，原不等式的解集为{}0≥x x三、变量的取值范围，可考虑将一个变量表示为另一变量的函数处理 例3、若正数b a ,满足3++=b a ab ，求ab 的取值范围. 解：.13,3-+=∴++=b b a b a ab 又∵a ＞0,b ＞0,13-+∴b b ＞0,∴b ＞1. ()()()()951412514114414411443132=+--≥+-+-=-++=-++-=-+-+=-+=∴b b b b b b b b b b b b b b b ab 当且仅当141-=-b b ，即b =3时，等号成立， ∴ab 的取值范围是[)+∞,9四、 整体分析把不等式问题转化为函数问题解决例4、对于满足40≤≤p 的实数p ，不等式32++px x ＞p x +4恒成立，求x 的取值范围.简析：我们习惯于以x 为自变量构造函数()p x p x y -+-+=342，于是问题转化为当[]4,0∈p 时，y ＞0恒成立，求x 的范围，此时可用二次方程区间实根分布的问题解决，但过程相当繁杂；如果设)34()1()(2+-+-=x x p x p f ＞0 对一切[]4,0∈p 恒成立，则对于一次函数)(p f ，只需)0(f ＞0且)4(f ＞0即可，从而得出()()+∞⋃-∞-∈,31,x，所以用函数思想解题往往能起到“润物细无声”的效果.。

[全]高考数学解题技巧：函数与方程思想的八类应用（附例题详解）1．函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。

经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。

2．方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。

3．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a 属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。

4．函数方程思想的几种重要形式（1）函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。

函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点；（2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；（3）数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；（4）函数f(x)＝nbax)(（n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；（5）解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；（6）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。

不等式求解技巧大全不等式是数学中的一种重要的关系表达式，解不等式是我们在数学中常常会遇到的问题。

在解不等式时，我们常常需要使用一些技巧和方法来求解。

下面是一些常见的不等式求解技巧。

1.化简法：对于一些较为复杂的不等式，我们可以先进行化简，将不等式转化为一个简单的形式，再进行求解。

例如，对于不等式2(x-1)>3x+4，可以先将其化简为2x-2>3x+4，再继续求解。

2.移项法：不等式的基本思想是找到使不等式成立的数的范围。

在移项法中，我们可以将不等式中的变量项移到同一边，并用0替代不等式。

例如，对于不等式2x+3>5x+2，可以将其改写为0>3x-2，然后继续求解。

3.分情况讨论法：有时候，不等式的解集与变量的取值范围有关。

在这种情况下，我们可以将不等式根据变量的取值范围进行分情况讨论，然后求解每一个情况。

例如，对于不等式，x-1，>2，可以将其分为两个情况讨论：x-1>2或者x-1<-2，然后分别求解。

4.绝对值法：绝对值是求解不等式时常常会遇到的一个概念。

在解绝对值不等式时，我们可以将绝对值分成两部分，然后分别求解每一部分。

例如，对于不等式，2x-1，>3，可以将其分为两个不等式2x-1>3或者2x-1<-3，然后分别求解。

5.图像法：有些时候，我们可以利用图像来求解不等式。

例如，对于不等式x^2-4x+3>0，我们可以通过绘制函数y=x^2-4x+3的图像，找到使不等式成立的区间。

6.数列法：数列法是一种递归思想，如果不等式中的变量之间存在其中一种特殊关系，我们可以通过构造一个数列来求解不等式。

例如，对于不等式x^2-3x-4>0，我们可以构造数列{a_n}，其中a_n=a_{n-1}^2-3a_{n-1}-4，然后通过求解这个数列的极限值来求解不等式。

7.寻找最值：有时候，我们可以通过寻找不等式中的最值来求解不等式。