专题一：一元二次方程

一元二次方程专题复习（一）直接开平方法→配方法要点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程x 2-7x-1＝0．【答案与解析】将方程变形为x 2-7x ＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x 2-7x+＝1+，所以有＝1+．直接开平方，得x-＝或x-＝-．所以原方程的根为x ＝+或x ＝-．【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行： (1)把形如ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的方程中二次项的系数化为1； (2)把常数项移到方程的右边；2222()a ab b a b ±+=±(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n ≥0)的方程； (4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2＝0； (2)x 2+6x+8＝0.要点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，一定要学好．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式，，则的值（ ）A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.221078Ma b a =+-+2251N a b a =+++M N -22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>3．用配方法说明：代数式x2+8x+17的值总大于0.【答案与解析】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.举一反三：【变式】求代数式 x2+8x+17的最小值4．（2014春•滦平县期末）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求（x+y）2013的值．【思路点拨】采用配方法求出x、y的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：x2+y2﹣4x+6y+13＝0，x2﹣4x+4+y2﹣+6y+9＝0，（x﹣2）2+（y+3）2＝0∴x﹣2＝0，y+3＝0，解得，x＝2，y＝﹣3，（x+y）2013＝﹣1．【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.20 (0)ax bx c a ++=≠2224()24b b ac x a a -+=240b ac ∆=->1,22b x a-±=240b ac ∆=-=1,22b x a=-240b ac ∆=-<5． 用公式法解下列方程．(1)； (2)．【总结升华】 用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程6．用公式法解下列方程：(1)； (2) ．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．23310x x --=2241x x =-24b ac -24b ac -2341x x =+2100x -+=(1)(1)x x +-=240b ac -≥举一反三：【变式】（2014秋•泽州县校级期中）用公式法解方程：5x 2﹣4x ﹣12＝0．【巩固练习】 一、选择题1.已知关于x 的一元二次方程，用配方法解此方程，配方后的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．化为B ．化为C ．化为D ．化为3．（2015春•张家港市校级期中）若M=2x 2﹣12x+15，N=x 2﹣8x+11，则M 与N 的大小关系为（ ） A ．M ≥N B ． M ＞N C ． M ≤N D ． M ＜N 4．不论x 、y 为何实数，代数式的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（ ）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-x+ =（ ）2； （2）x 2+px+ =（ ）2. 220x x m --=2(1)1x m -=+2(1)1x m +=+22(1)1x m -=+22(1)1x m +=+22990x x --=2(1)100x -=22740t t --=2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2890x x ++=2(4)25x +=23420x x --=221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22247x y x y ++-+438．已知，则的值为 ． 9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，∴所以方程的根为_________． 11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．（2015春•重庆校级期中）a 2+b 2﹣4a+2b+5=0，则b a 的值为 ．三、解答题 13. 用配方法解方程.(1) 3x 2-4x-2=0； (2)x 2-4x+6=0．14. 用公式法解下列方程：（2） ．15．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．16．已知在⊿ABC 中,三边长a 、b 、c ,满足等式a 2-16b 2-c 2+6ab+10bc=0，求证:a+c=2b223730216b a a b -+-+=a -2(1)210x ax --=；22222(1)()ab x a x b x a b +=+>一元二次方程专题复习（二）温故知新:1.直接开平方法2.配方法3.公式法一、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

一元二次方程典型例题整理版一元二次方程专题一：一元二次方程的定义典例分析：1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）2.若方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（）3.关于x的一元二次方程（a-1）x²+x+a²-l=0的一个根是。

则a的值为( )4.若方程(m-1)x²+m·x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是。

5.关于x的方程(a+a-2)x+a·x+b=0是一元二次方程的条件是（）专题二：一元二次方程的解典例分析：1.关于x的一元二次方程(a-2)x²+x+a²-4=0的一个根为-2，则a的值为。

2.已知方程x²+kx-10=0的一根是2，则k为-5，另一根是-8.3.已知a是x²-3x+1=0的根，则2a²-6a+3=0.4.若方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，a,b,c满足a+b+c=0和a-b+c=0，则方程的根是1和-1.5.方程(a-b)x²+(b-c)x+c-a=0的一个根为1，则另一个根为-b/c。

课堂练：1.已知一元二次方程x²+3x+m=0的一个根为-1，则另一个根为-2-m。

2.已知x=1是一元二次方程x²+bx+5=0的一个解，则b=-6，另一个根为-5.3.已知2y²+y-3=2，则4y²+2y+1=11/2，xy=-3/2.4.已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=(a≠0)的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为1.专题三：一元二次方程的求解方法典例分析：1.直接开平方法：(1-x)²-9=0，解得x=-2或4.2.配方法：x²-2x+3>0，解得x∈(-∞,1)∪(3,+∞)。

难度训练：1.如果二次三项式x²-(2m+1)x+16是一个完全平方式，那么m的值是1.2.试用配方法说明x²-2x+3的XXX大于2.3.已知x²+y²+4x-6y+13=0，x、y为实数，求xy的值。

专题一：一元二次方程知识要点扫描归纳一 基本概念二、一元二次方程的解法 1．直接开方法（1）用直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.如果一个一元二次方程，左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，就可以用直接开平方法求解. 2．配方法（1）用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解题方法.是中学数学中常用的数学方法.（2）配方的关键步骤是：在方程两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方.理论根据是：222)(2b a b ab a ±=+±（3）配方的结果是使方程的一边化为一个完全平方式，另一边为非负实数，再利用直接开平方法求解. 3．公式法（1）用求根公式解一元二次方程的方法叫求根公式法.（2）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 求根公式是：aac b b x 242-±-=（3）在解一元二次方程时，先把方程化为一般开式，确定c b a ,,的值，在042≥-ac b 的情况下：代入求根公式即可求解. 4.因式分解法1． 对于在一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法来解这个方程。

2． 理论依据：两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零。

例如：如果0)5)(1(=+-x x ，那么x －1=0或x ＋5=0。

因式分解法简便易行，是解一元二次方程的最常用的方法。

3． 因式分解法解一元二次方程的一般步骤 （1）将方程的右边化为零；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积； （3）令每个因式分别为零，得两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

4．形如()002≠=+a bx ax 的方程，可用提公因式法求方程的根：()0021≠-==a abx x ，。

5．形如()()022=+-+n bx m ax )(22b a ≠的方程，可用平方差公式把左边分解。

一元二次方程专题培优训练精选专题一利用一元二次方程的定义确定字母的取值1.已知(m-3)x^2+m+2x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A.m≠3.B.m≥3.C.m≥-2.D。

m≥-2且m≠3已知(m-3)x^2+m+2x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A。

m≠3.B。

m≥3.C。

m≥-2.D。

m≥-2且m≠32.已知关于x的方程(m+1)x^m+1+(m-2)x^-1=，问：1）m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；2）m取何值时，它是一元一次方程？已知关于x的方程(m+1)x^m+1+(m-2)x^-1=，问：1）m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；2）m取何值时，它是一元一次方程？3.若一元二次方程ax^2+bx+c=0中，a-b+c=0，则此方程必有一个根为.a^2+1若一元二次方程ax^2+bx+c=0中，a-b+c=0，则此方程必有一个根为.a^2+14.已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，求代数式a-2012a-的值.2013^2已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，求代数式a-2012a-的值.2013^2方法技巧：1.ax+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会.方法技巧：1.ax+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会.专题二利用配方法求字母的取值或者求代数式的极值21.若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A.-9或11.B.-7或8.C.-8或9.C.-8或9 若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A。

-9或11.B。

-7或8.C。

专题：一元二次方程的八种解法方法1 形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)时，用直接开平方法求解用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤：(1)看：看是否符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式；(2)化：对于不符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式；(3)求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为两个一元一次方程求解.1．用直接开平方法解下列方程：(1)x2－25＝0; (2)4x2＝1；(3)81x2－25＝0； (4)(2y－3)2－64＝0；(5)3(x＋1)2＝13； (6)(3x＋2)2＝25；(7)(x＋1)2－4＝0; (8)(2－x)2－9＝0.方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解用配方法解一元二次方程的“五步法”(1)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项.(2)化1：当方程的二次项系数不为1时，在方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.(3)配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x＋n)2＝p的形式.(4)开方：若p≥0，则两边直接开平方得到一元一次方程；若p＜0，则原方程无解.(5)求解：解所得到的一元一次方程，求出原方程的解.2．用配方法解下列方程：(1)x2－2x－2＝0； (2)x2-10x+29=0;（3）x2+2x=2; (4)x2－6x＋1＝2x－15；3.用配方法解下列方程：(1)3x 2＋6x －5＝0; (2)12x 2－6x －7＝0.(3)x 2＋16x －13＝0； (4)2x 2－3x －6＝0；方法3 能化成形如（x+a ）（x+b ）=0时，用因式分解法求解用因式分解法解一元二次方程的“四步法”（“右化零，左分解，两因式，各求解”）4.用因式分解法解下列方程：(1)x 2－8x ＝0； (2)5x 2＋20x ＋20＝0；。

2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题01 一元二次方程考试时间：120分钟 试卷满分：100分姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一二三总分得分评卷人 得 分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021九上·遂宁期末）已知 a b ， 是关于 x 的方程 2320090x x +-= 的两根，则24a a b -- 的值是（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．20212．（2分）（2021九上·内江期末）已知方程 2202110x x -+= 的两根分别为m 、n ，则 22021m n- 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．2021D ．2021-3．（2分）（2021九上·讷河期末）若关于x 的一元二次方程为()23500ax bx a --=≠有一个根为2x =，那么46a b -的值是（ ）A ．4B ．5C ．8D ．104．（2分）（2021九上·南海期末）已知12是一元二次方程20x x m -+=的一个根，则方程的另外一根为（ ）A B C D 5．（2分）（2020九上·惠城期末）已知m ，n 是方程x 2+2x ﹣5＝0的两个实数根，则下列选项不正确的是（ ）A ．m+n ＝﹣2B ．mn ＝﹣5C ．m 2+2m ﹣5＝0 D ．m 2+2n ﹣5＝06．（2分）（2021九上·岳阳期末）下列命题A ．已知：线段 1a cm = ， 2b cm = ， 3c cm = ， 4d cm = ，则a ，b ，c ，d 是比例线段B ．已知关于x 的方程 ()22130m x +-= 是一元二次方程C ．已知点 ()11A y -， 、 ()22B y -， 是函数 5y x=- 图象上的两点，则 21y y > D ．位似图形一定是相似图形，相似图形也一定是位似图形7．（2分）（2021九上·南沙期末）定义新运算“a ⊗b ”：对于任意实数a ，b ，都有a ⊗b ＝（a ﹣b ）2﹣b ，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3⊗2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x ⊗k ＝0（k 为实数）是关于x 的方程，且x ＝2是这个方程的一个根，则k 的值是（ ） A ．4B ．﹣1或4C ．0或4D ．1或48．（2分）（2020九上·齐齐哈尔月考）对于一元二次方程 ()200,ax bx c a ++=≠ 下列说法：①当 b a c =+ 时，则方程 20ax bx c ++= 一定有一根为 1x =- ；②若 00ab bc ><，，则方程 20ax bx c ++= 一定有两个不相等的实数根；③若c 是方程 20ax bx c ++= 的一个根，则一定有c 10a b ++= ；④若 23b a c =+ ，则方程 20ax bx c ++= 有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ） A ．①②B ．①③C ．①②④D ．②③④9．（2分）（2020九上·丹徒期中）已知x=m 是一元二次方程x 2+2x+n-3=0的一个根，则m+n 的最大值等于（ ） A ．134B ．4C ．154-D ．134-10．（2分）有两个一元二次方程M ：ax 2＋bx ＋c=0，N ：cx 2＋bx ＋a ＝0，其中a·c≠0，a≠c，下列四个结论：① 如果M 有两个相等的实数根，那么N 也有两个相等实数根；② 如果M 与N 有实数根，则M 有一个根与N 的一个根互为倒数；③ 如果M 与N 有实数根，且有一根相同，那么这个根必是1；④ 如果M 的两根符号相同，那么N 的两根符号也相同；其中正确的是（ ） A ．①②③ B ．①②④C ．②③④D ．①③④评卷人 得 分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022八下·南浔期末）已知ｘ＝1是关于ｘ的一元二次方程ｘ2＋ｍｘ－3＝0的一个解，则ｍ12．（2分）（2022八下·香坊期末）已知1x =是方程2320x x m -+=的一个根．则m 的值是 ．13．（2分）（2022·连云港）若关于 x 的一元二次方程 ()2100mx nx m +-=≠ 的一个解是 1x = ，则 m n + 的值是 .14．（2分）（2022·临淄模拟）若实数 a b ≠ ，且a 、b 满足 2530a a -+= ， 2530b b -+= ，则代数式 ()26a b a b --- 的值为 ．15．（2分）（2022·德城模拟）若直角三角形的两边长分别是一元二次方程x 2－7x ＋12＝0的两个实数根，则该直角三角形的面积是 ．16．（2分）（2020九上·达拉特旗月考）等腰三角形的三边的长是a 、b 、4，其中a 、b 是方程x 2-6x+c=0两个根，则此三角形的三边长是 ．17．（2分）设m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2018＝0的两个实数根，则m 2＋3m ＋n ＝ . 18．（2分）（2018·河南模拟）若关于x 的三个方程x 2+4mx+4m 2+2m+3=0，x 2+（2m+1）x+m 2=0，（m ﹣1）x 2+2mx+m ﹣1=0中至少有一个方程有实根，则m 的取值范围是 ．19．（2分）（2021九上·郑州期末）已知实数a 是一元二次方程x 2﹣2016x+1＝0的根，求代数式a 2﹣2015a ﹣ 212016a + 的值为 .20．（2分）（2021九上·大石桥期末）若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣4x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ． 评卷人 得 分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（5分）（2022九下·鄂州月考）化简求值：已知a 是方程 x 2＋3x －2＝0的一个根，求代数式2352632a a a a a -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭的值.22．（5分）（2021九上·揭西期末）等腰三角形的三边长分别为a 、b 、c ，若6a =，b 与c 是方程22(31)220x m x m m -+++=的两根，求此三角形的周长．23．（5分）（2021九上·临江期末） 已知关于x 的方程x 2﹣2016x+m 2﹣3m ＝0的一个根与关于x 的方程x 2+2016x ﹣m 2+3m ＝0的一个根互为相反数，求m 的值 24．（5分）（2021九上·阆中期中）先化简，再求值： 2221(1)211a a a a a a --÷--+++ ，其中a 是方程x 2+x ﹣3=0的解.25．（8分）（2022九下·内江开学考）已知关于x 的方程x 2﹣（m+2）x+（2m ﹣1）＝0. （1）（4分）求证：方程恒有两个不相等的实数根.（2）（4分）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积.26．（10分）（2021九上·三水期末）已知关于x 的方程x 2+ax+a ﹣2＝0． （1）（5分）若该方程的一个根为1，求a 的值； （2）（5分）若a 的值为3时，请解这个方程．27．（10分）（2021九上·南沙期末）已知关于x 的方程ax 2﹣（2a+1）x+a ﹣2＝0． （1）（3分）若方程有两个实数根，求a 的取值范围． （2）（3分）若x ＝2是方程的一个根，求另一个根．（3）（4分）在（1）的条件下，试判断直线y ＝（2a ﹣3）x ﹣a+5能否过点A （﹣1，3），并说明理由． 28．（12分）（2021九上·高港月考）如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程x 2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”.（1）（3分）若一元二次方程x 2﹣3x+c ＝0是“倍根方程”，求c 的值；（2）（3分）若（x ﹣2）（mx ﹣n ）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m 2﹣5mn+n 2的值； （3）（3分）若点（p ，q ）在反比例函数y ＝ 2x的图象上，请说明关于x 的方程px 2+3x+q ＝0是“倍根方程”；（4）（3分）若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）是“倍根方程”，请说明2b 2＝9ac.2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题01 一元二次方程考试时间：120分钟 试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021九上·遂宁期末）已知 a b ， 是关于 x 的方程 2320090x x +-= 的两根，则24a a b -- 的值是（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021【答案】D【完整解答】解：∵a b ， 是关于 x 的方程 2320090x x +-= 的两根， ∴23200903a a a b +-=+=-， ， ∴220093a a =- ， ∴24a a b --= 200934a a b --- = 20094()a b -+ =2009+12 =2021 故答案为：D.【思路引导】根据一元二次方程根的概念可得a 2=2009-3a ，根据根与系数的关系可得a+b=-3，然后代入待求式中计算即可.2．（2分）（2021九上·内江期末）已知方程 2202110x x -+= 的两根分别为m 、n ，则 22021m n- 的值为（ ） A ．1 B ．1-C ．2021D ．2021-【答案】B【完整解答】解：∵方程x 2﹣2021x+1＝0的两根分别为m ，n ， ∴mn＝1，m 2﹣2021m+1＝0， ∴m 2＝2021m-1， 1m n=∴m 2﹣ 2021n ＝2021m-1-2021m=-1.故答案为：B.【思路引导】根据一元二次方程根的概念可得m 2-021m+1＝0，根据根与系数的关系可得mn=1，则m 2＝2021m-1，m=1n，接下来代入待求式中计算即可. 3．（2分）（2021九上·讷河期末）若关于x 的一元二次方程为()23500ax bx a --=≠有一个根为2x =，那么46a b -的值是（ ）A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】B【完整解答】把2x =代入方程2350ax bx --=46a b --5=0 即46a b -=5故答案为B【思路引导】将x=2代入()23500ax bx a --=≠可得46a b --5=0，再化简即可得到46a b -=5。

完整版)一元二次方程(知识点考点题型总结)一元二次方程专题复考点一、概念一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。

一般表达式为ax^2+bx+c=0，其中a不等于0.关于“未知数的最高次数是2”，需要注意以下三点：一是该项系数不为0；二是未知数指数为2；三是若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）：A。

2x^2+11x-2=0B。

ax^2+bx+c=DC。

2x=x+1变式：当k时，关于x的方程kx+2x=x+3是一元二次方程。

例2、方程m+2xm+1=0是关于x的一元一次方程，求m 的值，并写出关于x的一元一次方程。

针对练：1.方程8x^2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为多少？2.若方程m-2x=0是关于x的一元一次方程，求m的值，并写出关于x的一元一次方程。

3.若方程(m-1)x+m·x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是多少？4.若方程nx+x-2x=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）：A。

m=n=2B。

m=2.n=1C。

n=2.m=1D。

m=n=1考点二、方程的解方程的解是指使方程两边相等的未知数的值。

根的概念可用于求代数式的值。

典型例题：例1、已知2y+y^2-3的值为2，则4y+2y^2+1的值为多少？例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+a-4=0的一个根为2，求a的值。

例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为多少？例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为多少？针对练：1.已知方程x+kx-10=0的一根是2，则k为多少？另一根是多少？2.已知关于x的方程x^2+kx-2=0的一个解与方程(x+1)/(x-1)=3的解相同，求k的值，并求方程的另一个解。

专题1.13 解一元二次方程（精选100题）（全章专项练习）1．用适当的方法解下列方程．(1)()2224x x +=+(2)2314x x-=2．解下列方程：(1)267x x -=；(2)23520x x -+=．3．解方程：(1)2430x x ++=；(2)()()()21332x x x --+=．4．解方程：(1)()()628x x x -=-(2)()()221230x x +--=5．解方程：(1)()22250x +-=(2)2420x x --=6．解方程：(1)2340x x -=；(2)2313162x x -=--．7．解下列方程：(1)231x x =-；(2)2430x x -+=．8．解方程：(1)2680x x ++=；(2)3(1)22x x x -=-．9．解方程：(1)2412x x =(2)22430x x +-=10．解方程：(1)2360x x -=(2)2420y y ++=11．（1）解方程：()()439239x x x +=+．（2）解分式方程：26124x x x -=--；12．（1）解方程：()230x x -=；（2）用配方法解方程：2240x x --=．13．解方程：(1)2410x x -=+(2)()()221230x x +--=14．解方程：(1)()294x x x -+=；(2)226x x +=．15．解方程：(1)22410x x -+=；(2)()()3424x x x +=+．16．选择合适的方法解方程．(1)2572x x=-(2)()()3121x x x -=-17．解方程：(1)2210x x --=；(2)()()()23213x x x -+=-．18．解方程(1)()220x x x -+-=(2)2213x x +=19．解方程：(1)2410x x -+=(2)2(3)2(3)0x x x -+-=20．解方程：(1)20x x -=．(2)22350x x --=．21．用配方法解下列方程：(1)2440x x ++=；(2)22320x x -+=．22．解方程(1)2240x x --=(2)()()2232x x -=-．23．解方程(1)()428x x x-=-(2)23210x x --=24．解方程：(1)22530x x +-=（用配方法）(2)22390x x --=25．解方程：(1)2220x x +-=；（配方法）(2)()236x x x -=-．26．解下列方程：(1)280x x +=；(2)22460x x --=．27．解方程：(1)(41)3(41)x x x -=-；(2)24120x x --=．28．解方程：(1)()()2233x x x +=+；(2)2521x x +=29．解方程：(1)22350x x --=；(2)()2326x x +=+．30．解方程：(1)2430x x -+=；(2)()()()3111x x x +=-+．31．解下列方程：(1)20x -=(2)257311x x x ++=+32．解方程：(1)2280x -=；(2)24320x x --=．33．解下列方程：(1)()220x x x -+-=(2)2430x x -+=34．解下列方程：(1)250x x +=(2)2240x x --=35．解下列方程．(1)()()3121x x x -=-(2)22610x x -+=36．解一元二次方程：(1)()2214x -=；(2)2410x x --=．37．用适当的方法解方程：(1)2250x x --=(2)()()23492230x x ---=38．解下列方程(1)22125x x -+=；(2)2100x ++=39．解一元二次方程：(1)()5133x x x +=+(2)23640x x +-=40．解方程：(1)()()135x x ++=；(2)2267x x +=．41．用适当的方法解下列方程．(1)223x +=；(2)()()22132120y y ++++=．42．解方程：(1)4(3)3-=-x x x ；(2)22860x x -+=（配方法）．43．（1）解方程：2230x x --=；（2）解方程：228122-=--x x x x．44．解下列一元二次方程：(1)2470x x --=(2)2531x x x -=+45．解方程(1)()220x x x -+-=(2)2178x x-=46．用适当的方法解下列方程：(1)2410x x -+=(2)(1)(2)2(2)x x x -+=+47．解方程：(1)260x x -=；(2)1(3)623x x x -=-．48．用适当的方法解方程(1)()2516x -=(2)2510x x --=49．解方程：(1)220x x -=；(2)2720x x -+=．50．解方程：(1)2280x -=(2)()2240x x -+=1．(1)10x =，22x =-(2)1x =2x =【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）()2224x x +=+24424x x x ++=+220x x +=()20x x +=∴0x =或20x +=解得10x =，22x =-；（2）2314x x-=23410x x --=3a =，4b =-，1c =-()()22Δ44431280b ac =-=--´´-=>∴x ==解得x ，．2．(1)127,1x x ==-(2)1221,3x x ==【分析】本题考查了解一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．（1）运用因式分解法解方程即可；（2）运用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：267x x -=2670x x --=()()710x x -+=70x -=或10x +=\127,1x x ==-；（2）解：23520x x -+=()()1320x x --=10x -=或320x -=\1221,3x x ==．3．(1)1213x x =-=-，(2)12121x x =-=，【分析】本题考查了解一元二次方法，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵2430x x ++=，()()130x x \++=，∴10x +=或30x +=，∴1213x x =-=-，；（2）()()()23=213x x x --+，整理得：211120x x +-=，∴()()1210x x +-=，120x \+=或10x -=，12121x x =-\=，．4．(1)124x x ==；(2)12243x x ==，．【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法．（1）整理成一般式，再利用公式法将方程的左边因式分解后求解可得；（2）利用公式法将方程的左边因式分解后求解可得．【详解】（1）解：()()628x x x -=-Q ，26216x x x \-=-，则28160x x -+=，即2(4)0x -=，124x x \==；（2）解：∵()()221230x x +--=．∴()()1231230x x x x ++-+-+=，∴1230x x ++-=或1230x x +-+= ∴12243x x ==，．5．(1)13x =，27x =-(2)1222x x =+=【分析】本题考查一元二次方程的解法．（1）先移项，然后直接开平方即可；（2）利用配方法解此方程，即可求解．【详解】（1）解：()22250x +-=，()2225x \+=，25x \+=±，25x \+=或25x +=-，13x \=，27x =-；（2）2420x x --=，242x x \-=，24424x x \-+=+，()226x \-=，2x \-=1222x x \==．6．(1)10x =，243x =(2)分式方程的根为0.5x =【分析】（1）用因式分解法解二元一元方程．（2）按照解分式方程的步骤解方程即可．【详解】（1）解：∵2340x x -=，∴()340x x -=，则0x =或340x -=，解得10x =，243x =；（2）2313162x x -=--两边都乘以()231x -，得：()42313x --=，解得：0.5x =，检验：当0.5x =时，()2310x -¹，∴x =7．(1)1x =2x =(2)13x =，21x =【分析】本题主要考查解一元二次方程．（1）利用公式法解一元二次方程即可．（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：231x x =-整理得：2310x x -+=2D ，x =，∴1x （2）2430x x -+=()3(1)0x x --=，30x -=或10x -=，解得：13x =，21x =．8．(1)12x =-，24x =-；(2)11x =，223x =-．【分析】本题考查了一元二次方程的解法-因式分解法，利用因式分解法解一元二次方程时，首先将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．（1）利用十字相乘法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：2680x x ++=，()()240x x ++=，20,40x x \+=+=，12x \=-，24x =-．（2）解：3(1)22x x x -=-，3(1)2(1)0x x x -+-=，(1)(32)0x x -+=，10x \-=或320x +=，11x \=，223x =-．9．(1)10x =，23x =(2)1x =2x =【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）2412x x=24120x x -=()430x x -=∴40x =或30x -=解得10x =，23x =；（2）22430x x +-=2a =，4b =，3c =-()2244423400b ac D =-=-´´-=>∴x =∴1x 10．(1)10x =，22x =(2)12y =-22y =-【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用配方法解一元二次方程即可．【详解】（1）2360x x -=()320x x -=∴30x =或20x -=解得10x =，22x =；（2）2420y y ++=2442y y ++=()222y +=2y +=解得12y =-22y =-11．（1）12x =，23x =-；（2）1x =【分析】本题主要考查解一元二次方程，分式方程，熟练掌握一元二次方程和分式方程的解法是解题的关键，（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．【详解】解：（1）()()439239x x x +=+()()4392390x x x +-+=(()42)390x x -+=∴420x -=或390x +=，解得：12x =，23x =-．（2）26124x x x -=--去分母得，()()()2226x x x x +-+-=解得1x =检验：将1x =代入()()220x x +-¹∴原方程的解为1x =．12．（1）10x =，23x =；（2）11x =21x =-【分析】本题考查了解一元二次方程的因式分解法和配方法，熟练其解法是解题的关键．（1）由()230x x -=得，20x =或30x -=，即可求解；（2）将2240x x --=，配方得2215x x -+=，即()215x -=，开方后即可求解；【详解】解：（1）()230x x -=，20x \=或30x -=，解得：10x =，23x =；（2）2240x x --=，配方得：2215x x -+=，即()215x -=，开方得：1x -=，解得：11x =21x =-13．(1)12x =，22x =(2)123x =，24x =【分析】本题考查了用配方法与因式分解法解一元二次方程；根据方程的特点灵活选用合适的方法是解题的关键．（1）利用配方法求解即可；（2）利用平方差公式进行因式分解即可求解．【详解】（1）解：配方得：2445x x ++=，即()225x +=，两边开平方得：2x +=即12x =-，22x =；（2）解：分解因式得：()()3240x x --+=，即320x -=或40x -+=，故123x =，24x =．14．(1)123x x ==(2)11=-x 21=-x ．【分析】本题主要考查了用直接开平方法和公式法解一元二次方程．（1）用直接开平方法，即可求解；（2）利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：()294x x x -+=，整理得：2690x x -+=，即()230x -=，∴123x x ==．（2）226x x +=整理得：2260x x +-=，()24446280b ac D =-=-´-=>，∴x ==∴11=-+x 21=-x ．15．(1)11x =21x =(2)14x =-，223x =【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适方法解一元二次方程是解题的关键．（1）利用配方法或公式法解一元二次方程即可；（2）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：22410x x -+=，移项，得：2122x x -=-，配方，得：212112x x -+=-+，即()2112x -=，开方，得1x -=，∴11x =21x =；（2）()()3424x x x +=+，移项，得：()()34240x x x +-+=，因式分解，得()()4320x x +-=，∴40x +=或320x -=，∴14x =-，223x =．16．(1)12715x x =-=(2)12213x x =-=，【分析】本题考查了因式分解解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先移项，再进行因式分解，得()()5710x x +-=，令每个因式为0，进行计算，即可作答．（2）先移项，提公因式得()()3210x x +-=，令每个因式为0，进行计算，即可作答．【详解】（1）解：2572x x=-25270x x +-=()()5710x x +-=解得12715x x =-=，（2）解：()()3121x x x -=-()()31210x x x ---=()()31210x x x -+-=()()3210x x +-=解得12213x x =-=，17．(1)1211x x ==(2)1234x x ==-，【分析】本题考查了解一元二次方程；（1）根据配方法解一元二次方程，即可求解；（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：2210x x --=，∴221x x -=，∴22111x x -+=+，∴2(1)2x -=，∴1x -=解得：1211x x ==；（2）()()()23213x x x -+=-，∴20()3)((21)3x x x -+--=，∴0(3213)()x x x -+-+=，∴(3)(4)0x x -+=，∴30x -=或40x +=，解得：1234x x ==-，18．(1)121,2x x =-=(2)121,0.5x x ==【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．（1）用因式分解法求解即可；（2）先移项，再用因式分解法求解．【详解】（1）∵()220x x x -+-=∴()()210x x -+=∴20x -=或10x +=∴121,2x x =-=（2）∵2213x x+=∴22310x x -+=∴()()2110x x --=∴10x -=或210x -=∴121,0.5x x ==19．(1)12x =22x =(2)13x =，21x =【分析】（1）根据配方法得到2(2)3x -=，再开平方即可解答；（2）根据因式分解法得到(3)(32)0x x x --+=，进而可得30x -=或320x x -+=即可解答．本题考查一元二次方程，熟练运用一元二次方程的解法是解题的关键．【详解】（1）解：∵2410x x -+=，∴241x x -=-，∴2443x x -+=，∴2(2)3x -=，∴2=x∴12x =22x =（2）解：∵2(3)2(3)0x x x -+-=，∴(3)(32)0x x x --+=，∴30x -=或320x x -+=，∴13x =，21x =．20．(1)10x =，21x =(2)152x =，21x =-【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握利用因式分解法、公式法解一元二次方程是解题的关键．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：20x x -=，∴()10x x -=，∴0x =或10x -=，解得：10x =，21x =；（2）解：22350x x --=，则2a =，3b =-，5c =-，∴()()23425490D =--´´-=>，∴x 解得：152x =，21x =-．21．(1)122x x ==-(2)原方程无实数根【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解方程是解题的关键；（1）由题意易得244x x +=-，然后进行配方即可求解；（2）由题意易得2232x x -=-，则有2312x x -=-，然后进行配方即可求解【详解】（1）解：移项，得244x x +=-，配方，得2224242x x ++=-+，即2(2)0x +=，122x x \==-．（2）解：移项，得2232x x -=-．二次项系数化为1，得2312x x -=-．配方，得2223331244x x æöæö-+-=-+-ç÷ç÷èøèø，即237416x æö-=-ç÷èø．因为任何实数的平方都不会是负数，所以原方程无实数根．22．(1)1211x x ==(2)122,5x x ==【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（2）利用因式分解法求解可得．【详解】（1）解：224x x -=Q ，22141x x \-+=+，即2(1)5x -=，则1x -=，1x \=±\1211x x =+=；（2）解：2(2)3(2)0x x ---=Q ，()()2230x x \---=，(2)(5)0x x \--=，则20x -=或50x -=，\122,5x x ==．23．(1)1222x x =-+=-(2)12113x x =-=，【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）先去括号，再把含未知数的项移到方程左边，然后利用配方法解方程即可；、（2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可．【详解】（1）解：∵()428x x x -=-，∴2482x x x -+=，∴242x x +=，∴2446x x ++=，∴()226x +=，∴2x +=，解得1222x x =-=-（2）解：∵23210x x --=，∴()()3110x x +-=，∴310x +=或10x -=，解得12113x x =-=，．24．(1)21132x x ==-，(2)12332x x =-=，【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，最后解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵22530x x +-=，∴2253x x +=，∴25322x x +=，∴25254921616x x ++=，∴2549416x æö+=ç÷èø，∴5744x +=±，解得21132x x ==-；（2）解；∵22390x x --=，∴()()2330x x +-=，∴230x +=或30x -=，解得1x =25．(1)1x 2x =(2)1232x x ==，【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，最后解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：2220x x +-=，222x x \+=，2112x x \+=，2111121616x x \++=+，2117416x æö\+=ç÷èø，x \，1x \， 2x =（2）解：()236x x x -=-，()()232x x x \-=-，()()2320x x x \---=，()()230x x \--=，2030x x \-=-=，，1232x x \==，．26．(1)10x =，28x =-(2)11x =-，23x =【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵280x x +=，∴()80x x +=，∴0x =或80+=x ，解得10x =，28x =-；（2）解：∵22460x x --=，∴2230x x --=，∴()()310x x -+=，∴30x -=或10x +=，解得11x =-，23x =．27．(1)1213,4x x ==(2)126,2x x ==-【分析】本题考查了因式分解来解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先移项，再提公因式，然后令每个因式为0，进行计算，即可作答．（2）运用十字相乘法进行因式分解，然后令每个因式为0，进行计算，即可作答．【详解】（1）解：(41)3(41)x x x -=-(41)3(41)0x x x ---=方程可化为()()3410x x --=，30x \-=或410x -=，解得1213,4x x ==．（2）解：24120x x --=，得()()620x x -+=，60x \-=或20x +=，解得126,2x x ==-．28．(1)13x =-，26x =-(2)1x =2x =【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据一元二次方程的特点选取适当的方法是解题的关键．（1）利用因式分解法解一元二方程即可；（2）利用公式法直接解方程即可 ．【详解】（1）解：()()2233x x x +=+，∴()()3260x x x ++-=，∴()()360x x ++=，则30x +=或60x +=，∴13x =-，26x =-；（2）解：2521x x +=，原方程可变为25210x x +-=，这里5a =，2b =，1c =-．∵()2242451240b ac -=-´´-=>，∴x 即1x 29．(1)17x =，25x =-(2)13x =-，21x =-【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】（1）解：22350x x --=，因式分解得()()750x x -+=，即70x -=或50x +=，解得17x =，25x =-．（2）解：()2326x x +=+，移项得()()23230x x +-+=，因式分解得()()3320x x ++-=，即30x +=或320x +-=，解得13x =-，21x =-．30．(1)13x =，21x =(2)11x =-，24x =【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：2430x x -+=，∴()()310x x --=，∴30x -=或10x -=，∴13x =，21x =；（2）解：()()()3111x x x +=-+，∴()()()31110x x x +--+=，∴()()1310x x +-+=，∴()()140x x +-=，∴10x +=或40x -=，∴11x =-，24x =．31．(1)10x =，2x =(2)11x =，21x =-【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用配方法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：(0x x -=10x =，2x =（2）解：整理得：224x x +=22141x x ++=+()215x +=1x +=11x =，21x =32．(1)122,2x x ==-(2)124,8x x =-=【分析】此题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和直接开方法是解题的关键．（1）将方程的常数项移到右边，方程两边同时除以2，开方后即可得到方程的解；（2）利用因式分解法解答即可．【详解】（1）解：2280x -=移项得，228x =，系数化为1得，24x =，直接开平方得，2x =±，122,2x x \==-；（2）24320x x --=()()480x x +-=，40x +=或80x -=，\124,8x x =-=．33．(1)12x =，21x =-；(2)121,3x x ==【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．（1）用因式分解法求解即可；（2）用因式分解法求解即可．【详解】（1）解： ()220x x x -+-=(2)(1)0x x -+=，20x -=或10x +=，12x \=，21x =-；（2）解：2430x x -+=，()()130x x --=，121,3x x \==．34．(1)1250x x =-=，(2)1211x x ==+【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用配方法解方程即可．【详解】（1）解：∵250x x +=，∴()50x x +=，∴0x =或50x +=，解得1250x x =-=，；（2）解：∵2240x x --=，∴224x x -=，∴2215x x -+=，∴()215x -=，∴1x -=，解得1211x x ==+35．(1)11x =，2x =(2)1x =2x 【分析】此题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法和公式法解一元二次方程是解题关键．（1（2）根据求根公式x =即可求解．【详解】（1）解：()()3121x x x -=-()()31210x x x ---=，∴()()1320x x --=，解得11x =，223x =；（2）解：22610x x -+=∴2a =，6b =-，1c =，∴()224642128b ac -=--´´=，∵x =∴x =，解得36．(1)1231,22x x ==-(2)1222x x ==【分析】本题考查了解一元二次方程的方法：配方法、直接开平方法．（1）运用直接开平方即可求得x 的值；（2）运用配方法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：()2214x -=212x -=或212x -=-，解得1231,22x x ==-；（2）解：2410x x --=24414x x -+=+()225x -=2x -=2x -=37．(1)11x =21x =；(2)132x =，276x =-；【分析】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法和因式分解法是解题的关键.（1）用公式法解方程即可；（2）用因式分解法解方程即可.【详解】（1）2250x x --=由题意得，1,2,5a b c ==-=-，则()()22Δ4241524b ac =-=--´´-=，∴1x ===即11x =21x =；（2）()()23492230x x ---=则()()()323232230x x x +---=∴()()2332320x x éù-+-=ëû()()23670x x -+=∴230x -=或670x +=∴132x =，276x =-38．(1)16x =，24x =-(2)原方程无解．【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）首先计算判别式得到(2244110200b ac D =-=-´´=-<，进而得到原方程无解．【详解】（1）22125x x -+=()2125x -=15x -=±解得16x =，24x =-；（2）2100x ++=1a =，b =10c =(2244110200b ac D =-=-´´=-<∴原方程无解．39．(1)11x =-，235x =(2)1x =2x =【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）利用公式法解答，即可求解．【详解】（1）解：()5133x x x +=+()()51310x x x +-+=，∴()()5310x x -+=，∴530,10x x -=+=，解得：11x =-，235x =；（2）解：23640x x +-=，∵3,6,4a b c ===-，∴()2246434840b ac D =-=-´´-=>，∴x =，2x =40．(1)12x =-+22x =-(2)12x =，232x =．【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键．（1）利用公式法即可求解；（2）利用因式分解法即可求解；【详解】（1）解：将原方程化简可得：2420x x +-=，∴()2441224D =-´´-=∴1222x x ==-==-（2）解：移项可得：22760x x -+=，∴()()2320x x --=∴12x =，2x41．(1)1x =2x =(2)11y =-，2 1.5y =-【分析】本题主要考查了用适当的方法解一元二次方程．（1）用公式法解一元二次方程即可．（2）设21y x +=，则原式变形为：2320x x ++=，用因式分解法解出11x =-，22x =-，再把11x =-，22x =-代入21y x +=，解两个一元一次方程即可得到原方程的解．【详解】（1）解：原方程化为：2230x +-=，2a =，b =3c =-，()224423270b ac D =-=-´´-=>，x ==即（2）解：设21y x +=，则原式变形为：2320x x ++=，分解因式得：()()120x x ++=，解得：11x =-，22x =-，当211y +=-时，11y =-，当212y +=-时，2 1.5y =-，∴原方程的解为：11y =-，2 1.5y =-．42．(1)114x =，23x =(2)13x =，21x =【分析】本题考查解一元二次方程：（1）先移项，再用因式分解法求解；（2）先变形、移项，得到243x x -=-，再通过配方求解．【详解】（1）解：()433x x x -=-4(3)(3)0x x x ---=()()4130x x --=，410x -=或30x -=，114x \=，23x =；（2）解：（2）22860x x -+=方程变形得：243x x -=-，配方得：2441x x -+=，即2(2)1x -=，解得：13x =，21x =．43．（1）11x =-，23x =；（2）4x =-【分析】题目主要考查解一元二次方程及分式方程．（1）利用因式分解法求解即可；（2）先去分母，然后解一元二次方程，最后进行检验即可．【详解】解：（1）2230x x --=()()130x x +-=10x +=，30x -=，∴11x =-，23x =；（2）解：2812(2)x x x x -=--228(2)x x x -=-，2280x x +-=，解得124,2=-=x x ，经检验，2x =是增根，应舍去．故原方程的解为4x =-．44．(1)12x =，22x =(2)115x =-，21x =【分析】本题考查解一元二次方程：（1）利用公式法求解；（2）先化成一般形式，再利用因式分解法求解．【详解】（1）解：2470x x --=，Q 1a =，4b =-，7c =-，\()()224441744b ac D =-=--´´-=，\2x ==±，\12x =+，22x =；（2）解：2531x x x -=+，25410x x --=，()()5110x x +-=，510x +=或10x -=，解得115x =-，21x =．45．(1)1221x x ==-，(2)1244x x ==【分析】本题考查了因式分解法或公式法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先提公因式，再令每个因式为0，进行计算，即可作答．（2）先化为一般式，再运用公式法解方程，即可作答．【详解】（1）解：()220x x x -+-=()()210x x -+=∴2010x x -=+=，解得1221x x ==-，（2）解：2178x x-=∴28170x x --=则()246441176468132b ac D =-=-´´-=+=∴4x ===±1244x x ==46．(1)1222x x ==(2)122,3x x =-=【分析】本题考查解一元二次方程；（1）根据配方法解一元二次方程；（2）先将方程整理成右边为0的等式，再结合因式分解法解题．【详解】（1）解：2410x x -+=，∴2443x x -+=，∴()223x -=，∴2x -=解得：1222x x ==；（2）解：(1)(2)2(2)x x x -+=+，∴()()()12220x x x -+-+=，∴()()2120x x +--=，∴20x +=或30x -=，解得：122,3x x =-=．47．(1)10x =，26x =；(2)13x =，26x =-．【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法．（1）提公因式分解因式解方程即可（2）移项后，提公因式，利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：260x x -=，(6)0x x -=，0x \=或60x -=，∴10x =，26x =；（2）解：1(3)623x x x -=-，(3)6(3)x x x -=--，(3)(6)0x x -+=，30x \-=或60x +=，∴13x =，26x =-．48．(1)19x =，21x =；(2)1x 2x =【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的解法：直接开平方法和公式法是解题的关键．（1）根据平方根的定义可得54x -=±，解方程就可以解决问题；（2）先求得290D =>，再利用公式法求出方程的解即可．【详解】（1）解：()2516x -=，∴54x -=±，∴19x =，21x =；（2）解：2510x x --=，1a =，=5b -，1c =-，()()2Δ5411290=--´´-=>，∴x =，∴1x 2x 49．(1)10x =，212x =(2)1x =，2x 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，对于（1），根据因式分解法求出解；对于（2），根据公式法即可得出方程的解．【详解】（1）220x x -=，解：因式分解，得(21)0x x -=，即0x =或210x -=，∴10x =，212x =；（2）2720x x -+=，解：由1a =，7b =-，2c =，则()2247412410b ac -=--´´=>，∴x =，∴1x ，2x 50．(1)122,2x x =-=(2)124,2x x ==-【分析】本题考查了解一元二次方程；（1）根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解；（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：2280x -=∴228x =∴24x =解得：122,2x x =-=（2）解：()2240x x -+=∴228=0x x --∴()()420x x -+=解得：124,2x x ==-，。

专题-一元二次方程一元二次方程专题一．解答题（共15小题）1．已知：关于x 的方程x 2+2mx+m2﹣1=0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m 的值．2．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．3．已知：关于x 的方程mx 2+（m ﹣3）x ﹣3=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果m 为正整数，且方程的两个根均为整数，求m 的值．4．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．5．已知关于x 的方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是正整数）．△ABC的三边a 、b 、c 满足，m 2+a2m ﹣8a=0，m 2+b2m ﹣8b=0．求：（1）m 的值；（2）△ABC的面积．6．关于x 的方程有两个不相等的实数根（1）求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．7．已知：关于x 的方程x 2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：的值；（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？8．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m （0＜m ＜1）元．（1）零售单价下降m 元后，该店平均每天可卖出只粽子，利润为元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？9．某地区2019年投入教育经费2500万元，2019年投入教育经费3025万元．（1）求2019年至2019年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2019年该地区将投入教育经费多少万元．10．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？11．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（x ＞40），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品x 应定为多少元．12．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P 、Q 同时由A 、B 两点出发分别沿AC 、BC 向点C 匀速移动，它们的速度都是1米/秒，问：几秒后△PCQ的面积为R t△ACB面积的一半？13．如图所示，甲、乙两人开车分别从正方形广场ABCD 的顶点B 、C 两点同时出发，甲由C 向D 运动，乙由B 向C 运动，甲的速度为1km/min，乙的速度为2km/min；若正方形广场的周长为40km ，问几分钟后，两人相距2km ？14．如图，四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a ，b ，c 是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知这时我们把关于x 的形如请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x 的“勾系一元二次方程”（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”面积．必有实数根；的一个根，且四边形ACDE 的周长是6的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．，，求△ABC15．如果一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根x 1、x 2均为正数，且满足程有“邻近根”．（1）判断方程是否有“邻近根”，并说明理由；（其中x 1＞x 2），那么称这个方（2）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m ﹣1）x ﹣1=0有“邻近根”，求m 的取值范围．参考答案与试题解析一．解答题（共15小题）1．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法．【专题】证明题．【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m 的值．【解答】（1）证明：△=（m+2）2﹣8m=m2﹣4m+4=（m ﹣2）2，∵不论m 为何值时，（m ﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解：解方程得，x=x 1=，x 2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是解题的关键．2．已知：关于x 的方程x 2+2mx+m2﹣1=0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m 的值．【考点】根的判别式；一元二次方程的解．【分析】（1）找出方程a ，b 及c 的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；（2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m 的新方程，通过解新方程即可求得m 的值．，【解答】解：（1）由题意得，a=1，b=2m，c=m2﹣1，∵△=b2﹣4ac=（2m ）2﹣4〓1〓（m 2﹣1）=4＞0，∴方程x 2+2mx+m2﹣1=0有两个不相等的实数根；（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3，∴32+2m〓3+m2﹣1=0，解得，m=﹣4或m=﹣2．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．3．某地区2019年投入教育经费2500万元，2019年投入教育经费3025万元．（1）求2019年至2019年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2019年该地区将投入教育经费多少万元．【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量〓（1+增长率），2019年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2019年的基础上再增长x ，就是2019年的教育经费数额，即可列出方程求解．（2）利用（1）中求得的增长率来求2019年该地区将投入教育经费．【解答】解：设增长率为x ，根据题意2019年为2500（1+x）万元，2019年为2500（1+x）2万元．则2500（1+x）2=3025，解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．（2）3025〓（1+10%）=3327.5（万元）．故根据（1）所得的年平均增长率，预计2019年该地区将投入教育经费3327.5万元．【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量〓（1+年平均增长率）年数=增长后的量．4．已知：关于x 的方程x 2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？【考点】根与系数的关系；根的判别式．的值；【分析】（1）由方程x 2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出k 的取值范围；（2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．的值就为一定值．（3）只要满足△＞0（或用k 的取值范围表示）【解答】解：（1）△=4+4k，∵方程有两个不等实根，∴△＞0，即4+4k＞0∴k＞﹣1（2）由根与系数关系可知α+β=﹣2，αβ=﹣k ，∴（3）由（1）可知，k ＞﹣1时，的值与k 无关． =，【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．关于x 的方程有两个不相等的实数根（1）求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【考点】根的判别式；根与系数的关系．【分析】（1）利用方程有两根不相等的实数根可以得到，解得m 的取值范围即可；（2）假设存在，然后利用根的判别式求得m 的值，根据m 的值是否能使得一元二次方程有实数根作出判断即可．【解答】解：（1）由又∵m≠0∴m的取值范围为m ＞﹣1且m≠0；（5分）（2）不存在符合条件的实数m ．（6分），得m ＞﹣1设方程两根为x 1，x 2则，解得m=﹣2，此时△＜0．∴原方程无解，故不存在．（12分）【点评】本题考查了根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是利用方程的根的情况得到m 的取值范围．6．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】此题属于经营问题，若设每件衬衫应降价x 元，则每件所得利润为（40﹣x ）元，但每天多售出2x 件即售出件数为（20+2x）件，因此每天赢利为（40﹣x ）（20+2x）元，进而可根据题意列出方程求解．【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x 元，根据题意得（40﹣x ）（20+2x）=1200，整理得2x 2﹣60x+400=0解得x 1=20，x 2=10．因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降20元．答：每件衬衫应降价20元．（2）设商场平均每天赢利y 元，则y=（20+2x）（40﹣x ）=﹣2x 2+60x+800=﹣2（x 2﹣30x ﹣400）=﹣2[（x ﹣15）2﹣625]=﹣2（x ﹣15）2+1250．∴当x=15时，y 取最大值，最大值为1250．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．【点评】（1）当降价20元和10元时，每天都赢利1200元，但降价10元不满足“尽量减少库存”，所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件；（2）要用配方法将代数式变形，转化为一个完全平方式与一个常数和或差的形式．7．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（x ＞40），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品x 应定为多少元．【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y=600﹣（x ﹣40）〓10=1000﹣10x ，利润=（1000﹣10x ）（x ﹣30）=﹣10x 2+1300x﹣30000；（2）令﹣10x 2+1300x﹣30000=10000，求出x 的值即可；（2）﹣10x 2+1300x﹣30000=10000，解之得：x1=50 x 2=80，答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是得出W 与x 的函数关系．8．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P 、Q 同时由A 、B 两点出发分别沿AC 、BC 向点C 匀速移动，它们的速度都是1米/秒，问：几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何动点问题．【分析】根据题意∠C=90°，可以得出△ABC面积为〓6〓8，△PCQ的面积为（8﹣x ）（6﹣x ），设出t 秒后满足要求，则根据△PCQ的面积是△ABC面积的一半列出等量关系求出t 的值即可．【解答】解：设经过x 秒后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半，则：=12，解得x 1=12（舍去），x 2=2．答：经2秒△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半．【点评】本题考查了三角形面积的计算方法，找到等量关系式，列出方程求解即可．要注意结合图形找到等量关系．9．创新题：如图所示，甲、乙两人开车分别从正方形广场ABCD 的顶点B 、C 两点同时出发，甲由C 向D 运动，乙由B 向C 运动，甲的速度为1km/min，乙的速度为2km/min；若正方形广场的周长为40km ，问几分钟后，两人相距2km ？【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何动点问题．【分析】本题可设时间为x 分钟，依题意得CF=x，BE=2x，周长为40km ，边长为10km ，CE=10﹣2x ，利用勾股定理列方程求解．【解答】解：设x 分钟后两车相距2km ，此时甲运动到F 点，乙运动到E 点，可知：FC=x，EC=10﹣2x在Rt△ECF中，x 2+（10﹣2X ）2=（2解得：x 1=2，x 2=6 ）2，当x=2时，FC=2，EC=10﹣4=6＜10符合题意当x=6时，FC=6，EC=10﹣12=﹣2＜0不符合题意，舍去答：2分钟后，两车相距2km ．【点评】根据路程=速度〓时间，表示线段的长度，将问题转化到三角形中，利用勾股定理或者面积关系建立等量关系，是解应用题常用的方法．10．已知：关于x 的方程mx 2+（m ﹣3）x ﹣3=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果m 为正整数，且方程的两个根均为整数，求m 的值．【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】（1）先计算判别式得到△=（m ﹣3）2﹣4m•（﹣3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x 1=，x 2=﹣1，然后利用整除性即可得到m 的值．【解答】（1）证明：∵m≠0，∴方程mx 2+（m ﹣3）x ﹣3=0（m≠0）是关于x 的一元二次方程，∴△=（m ﹣3）2﹣4m•（﹣3）=（m+3）2，∵（m+3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x=∴x1=，x 2=﹣1，∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m=1或3．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．11．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m （0＜m ＜1）元．（1）零售单价下降m 元后，该店平均每天可卖出 300+100〓只粽子，利润为（1﹣m ）（300+100〓），元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题；压轴题．【分析】（1）每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可；利润等于销售量乘以单价即可得到；（2）利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解．【解答】解：（1）300+100〓（1﹣m ）（300+100〓）．，（2）令（1﹣m ）（300+100〓化简得，100m 2﹣70m+12=0．即，m 2﹣0.7m+0.12=0．）=420．解得m=0.4或m=0.3．可得，当m=0.4时卖出的粽子更多．答：当m 定为0.4时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润的计算方法，并用相关的量表示出来．12．如图，四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a ，b ，c 是Rt△ABC 和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x 的形如请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．（2）求证：关于x 的“勾系一元二次方程”（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”面积．必有实数根；的一个根，且四边形ACDE 的周长是6，求△ABC【考点】一元二次方程的应用；勾股定理的证明．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c 的值，根据完全平方公式求得ab 的值，从而可求得面积．【解答】（1）解：当a=3，b=4，c=5时勾系一元二次方程为3x 2+5（2）证明：根据题意，得△=（c ）2﹣4ab=2c2﹣4ab x+4=0；∵a2+b2=c2∴2c2﹣4ab=2（a 2+b2）﹣4ab=2（a ﹣b ）2≥0即△≥0 ∴勾系一元二次方程必有实数根；（3）解：当x=﹣1时，有a ﹣c+b=0，即a+b=∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6 ∴3c=6∴c=2∴a2+b2=c2=4，a+b=2∵（a+b）2=a2+b2+2ab∴ab=2∴S△ABC=ab=1． c 【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．13．如果一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根x 1、x 2均为正数，且满足程有“邻近根”．（1）判断方程是否有“邻近根”，并说明理由；（其中x 1＞x 2），那么称这个方（2）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m ﹣1）x ﹣1=0有“邻近根”，求m 的取值范围．【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法；正比例函数的性质；反比例函数的性质．【分析】（1）先解方程有“邻近根”；得到x 1=，x 2=1，则满足，所以可判断方程（2）根据判别式的意义得到m≠0且△=（m ﹣1）2﹣4m〓（﹣1）=（m+1）2＞0，利用求根公式解得x 1=1，或若x 1=1，，x 2=1，则m ＜0，然后讨论：，则，是关于m 的正比例函数，根据正比例函数性质得到﹣2＜m ＜﹣1；若，x 2=1，则，是关于m 的反比例函数，根据反比例函数性质得，最后综合得到m 的取值范围．【解答】解：（1）方程∵∴（x ﹣1）（x ﹣∵x1＞x 2，∴x1=，x 2=1，，）=0，，有“邻近根”．理由如下：这时x 1＞0，x 2＞0，且∵∴满足∴方程，，有“邻近根”；（2）由已知m≠0且△=（m ﹣1）2﹣4m〓（﹣1）=（m+1）2＞0，∴∴当m ＞﹣1时，x 1=1，当m ＜﹣1时，，x 2=1，∵一元二次方程ax 2+bx+c=0有“邻近根”，∴x1、x 2均为正数，∴m＜0若x 1=1，∵﹣1＜0，∴随m 的增大而减小．，则，是关于m 的正比例函数，当1＜﹣m ＜2时，∴﹣2＜m ＜﹣1；若，x 2=1，则，是关于m 的反比例函数，∵﹣1＜0，∴在第二象限，当∴随m 的增大而增大．时，．…（9分）．综上，m 的取值范围是﹣2＜m ＜﹣1或【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程和正比例与反比例函数性质．14．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．【考点】根的判别式；一元二次方程的解；解一元二次方程-公式法．【专题】计算题．【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可得到k 的范围；（2）找出k 范围中的整数解确定出k 的值，经检验即可得到满足题意k 的值．【解答】解：（1）根据题意得：△=4﹣4（2k ﹣4）=20﹣8k ＞0，解得：k ＜；（2）由k 为正整数，得到k=1或2，利用求根公式表示出方程的解为x=﹣1〒，∵方程的解为整数，∴5﹣2k 为完全平方数，则k 的值为2．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清题意是解本题的关键．15．已知关于x 的方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是正整数）．△ABC的三边a 、b 、c 满足，m 2+a2m ﹣8a=0，m 2+b2m ﹣8b=0．求：（1）m 的值；（2）△ABC的面积．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的定义；一元二次方程的解；解一元二次方程-因式分解法；等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．【专题】应用题；压轴题；分类讨论；方程思想．【分析】（1）本题可先求出方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m 的值．（2）由（1）得出的m 的值，然后将m 2+a2m ﹣8a=0，m 2+b2m ﹣8b=0．进行化简，得出a ，b 的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a ，b 的值，进而得出三角形的面积．【解答】解：（1）∵关于x 的方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是整数）．∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，∴b2﹣4ac=（9m ﹣3）2﹣72（m 2﹣1）=9（m ﹣3）2≥0，设x 1，x 2是此方程的两个根，∴x1•x2==，∴也是正整数，即m 2﹣1=1或2或3或6或9或18，又m 为正整数，∴m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a 2﹣4a+2=0，b 2﹣4b+2=0当a=b时，当a≠b时，a 、b 是方程x 2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a ＞0、b ＞0．①a≠b，时，由于a 2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2．，故不能构成三角形，不合题意，舍去．，故能构成三角形．故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S △ABC=②a=b=2﹣③a=b=2+，c=2，c=2）〓时，因时，因=．＜＞S △ABC=〓（2综上，△ABC的面积为1或【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a ，b 的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．。