高一数学复习训练：《对 数》苏教版必修

高中学生学科素质训练—对数与对数函数一、选择题： 1．3log 9log 28的值是 （ ）A ．32 B ．1 C ．23 D ．22．若log 2)](log [log log )](log [log log )](log [log 55153313221z y x ===0，则x 、y 、z 的大小关系是（ ）A ．z ＜x ＜yB ．x ＜y ＜zC ．y ＜z ＜xD ．z ＜y ＜x 3．已知x =2+1,则lo g 4(x 3－x －6)等于（ ）A.23 B.45 C.0D.214．已知lg2=a ，lg3=b ，则15lg 12lg 等于（ ）A ．ba ba +++12B ．ba ba +++12C ．ba ba +-+12D ．ba ba +-+125．已知2 lg(x －2y )=lg x ＋lg y ，则y x 的值为（ ）A ．1B ．4C ．1或4D ．4 或 6.函数y =)12(log 21-x 的定义域为（ ）A ．(21，＋∞) B ．［1，＋∞)C ．(21，1] D ．(－∞，1)7．已知函数y =log 21 (ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．a ＞ 1B ．0≤a ＜ 1C ．0＜a ＜1D ．0≤a ≤18.已知f (e x)=x ，则f (5)等于 （ ）A ．e 5B ．5eC ．ln5D ．log 5e9．若1()log (01),(2)1,()a f x x a a f f x -=>≠<且且则的图像是 （ ）A B C D10．若22log ()y x ax a =---在区间(,1-∞上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．[2-B ．)22⎡-⎣C ．(22⎤-⎦D ．()22-11．设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于 （ ）A ．}1|{>x xB ．}0|{>x xC ．}1|{-<x xD ．}11|{>-<x x x 或12．函数),1(,11ln+∞∈-+=x x x y 的反函数为（ ）A ．),0(,11+∞∈+-=x e e y xx B ．),0(,11+∞∈-+=x e e y xx C ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y xx D ．)0,(,11-∞∈-+=x e e y xx 二、填空题：13．计算：log 2.56.25＋lg1001＋ln e ＋3log 122+= ． 14．函数y =log 4(x －1)2(x ＜1＝的反函数为___ _______． 15．已知m ＞1，试比较(lg m )0.9与(lg m )0.8的大小 ． 16．函数y =(log 41x )2－log 41x 2＋5 在 2≤x ≤4时的值域为_____ _ ．三、解答题：17．已知y =log a (2－ax )在区间{0，1}上是x 的减函数，求a 的取值范围．18．已知函数f (x )=lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．19．已知f(x)=x2＋(lg a＋2)x＋lg b，f(－1)=－2，当x∈R时f(x)≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f(x)的最小值？20．设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|log a(1－x)|与|log a(1＋x)|的大小．21．已知函数f(x)=log a(a－a x)且a＞1，（1）求函数的定义域和值域；（2）讨论f(x)在其定义域上的单调性；（3）证明函数图象关于y=x对称．22．在对数函数y=log2x的图象上(如图)，有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a、a＋1、a＋2，其中a≥1，求△ABC面积的最大值．参考答案一、选择题： ADBCB CDCBA AB 二、填空题：13.213，14.y =1－2x (x ∈R )， 15. (lg m )0.9≤(lg m )0.8，16.8425≤≤y 三、解答题：17.解析：先求函数定义域：由2－ax ＞0，得ax ＜2又a 是对数的底数，∴a ＞0且a ≠1，∴x ＜a2 由递减区间[0，1]应在定义域内可得a2＞1，∴a ＜2 又2－ax 在x ∈[0，1]是减函数∴y =log a (2－ax )在区间[0，1]也是减函数，由复合函数单调性可知：a ＞1 ∴1＜a ＜218、解：依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1＞0对一切x ∈R 恒成立．当a 2－1≠0时，其充要条件是：⎪⎩⎪⎨⎧<--+=∆>-0)1(4)1(01222a a a 解得a ＜－1或a ＞35 又a =－1，f (x )=0满足题意，a =1，不合题意． 所以a 的取值范围是：(－∞，－1]∪(35，＋∞) 19、解析：由f (－1)=－2 ，得：f (－1)=1－(lg a ＋2)＋lg b =－2，解之lg a －lg b =1，∴ba=10，a =10b ． 又由x ∈R ，f (x )≥2x 恒成立．知：x 2＋(lg a ＋2)x ＋lg b ≥2x ，即x 2＋x lg a ＋lg b ≥0，对x ∈R 恒成立，由Δ=lg 2a －4lg b ≤0，整理得(1＋lg b )2－4lg b ≤0 即(lg b －1)2≤0，只有lg b =1，不等式成立． 即b =10，∴a =100．∴f (x )=x 2＋4x ＋1=(2＋x )2－3 当x =－2时，f (x ) min =－3． 20.解法一：作差法|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|=|a x lg )1lg(- |－|a x lg )1lg(+|=|lg |1a (|lg(1－x )|－|lg(1＋x )|) ∵0＜x ＜1，∴0＜1－x ＜1＜1＋x ∴上式=－|lg |1a [(lg(1－x )＋lg(1＋x )]=－|lg |1a ·lg(1－x 2)由0＜x ＜1，得，lg(1－x 2)＜0，∴－|lg |1a ·lg(1－x 2)＞0， ∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )| 解法二：作商法|)1(log ||)1(log |x x a a -+=|log (1－x )(1＋x )|∵0＜x ＜1，∴0＜1－x ＜1＋x ，∴|log (1－x )(1＋x )|=－log (1－x )(1＋x )=log (1－x )x+11 由0＜x ＜1，∴1＋x ＞1，0＜1－x 2＜1 ∴0＜(1－x )(1＋x )＜1，∴x+11＞1－x ＞0 ∴0＜log (1－x )x+11＜log (1－x )(1－x )=1 ∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )| 解法三：平方后比较大小∵log a 2(1－x )－log a 2(1＋x )=[log a (1－x )＋log a (1＋x )][log a (1－x )－log a (1＋x )] =log a (1－x 2)·log ax x +-11=|lg |12a ·lg(1－x 2)·lg x x +-11 ∵0＜x ＜1，∴0＜1－x 2＜1，0＜xx +-11＜1 ∴lg(1－x 2)＜0，lgxx+-11＜0 ∴log a 2(1－x )＞log a 2(1＋x )，即|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )| 解法四：分类讨论去掉绝对值当a ＞1时，|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|=－log a (1－x )－log a (1＋x )=－log a (1－x 2) ∵0＜1－x ＜1＜1＋x ，∴0＜1－x 2＜1 ∴log a (1－x 2)＜0，∴－log a (1－x 2)＞0当0＜a ＜1时，由0＜x ＜1，则有log a (1－x )＞0，log a (1＋x )＜0 ∴|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|=|log a (1－x )＋log a (1＋x )|=log a (1－x 2)＞0 ∴当a ＞0且a ≠1时，总有|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )| 21.解析：(1)定义域为(－∞，1)，值域为(－∞，1)(2)设1＞x 2＞x 1∵a ＞1，∴12x x a a>，于是a －2x a ＜a －1x a则log a (a －a 2x a )＜log a (a －1xa ) 即f (x 2)＜f (x 1)∴f (x )在定义域(－∞，1)上是减函数(3)证明：令y =log a (a －a x )(x ＜1)，则a －a x =a y ，x =log a (a －a y ) ∴f －1(x )=log a (a －a x )(x ＜1)故f (x )的反函数是其自身，得函数f (x )=log a (a －a x )(x ＜1＝图象关于y =x 对称． 22.解析：根据已知条件，A 、B 、C 三点坐标分别为(a ，log 2a )，(a ＋1，log 2(a ＋1))，(a ＋2，log 2(a ＋2))，则△ABC 的面积S=)]2(log [log 2)]2(log )1([log 2)]1(log [log 222222++-++++++a a a a a a222)]2([)1)(2(log 21+++=a a a a a )2()1(log 2122++=a a a aa a a 212log 21222+++=)211(log 2122a a ++= 因为1≥a ,所以34log 21)311(log 2122max =+=S友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编辑，期待您的好评与关注！。

高一数学对数函数练习【同步达纲练习】一、选择题1.函数y=(0.2)-x+1的反函数是( )A.y=log5x+1B.y=klog x5+1C.y=log5(x-1)D.y=log5x-12.函数y=log0.5(1-x)(x＜1＝的反函数是( ).A.y=1+2-x(x∈R)B.y=1-2-x(x∈R)C.y=1+2x(x∈R)D.y=1-2x(x∈R)3.当a＞1时，函数y=log a x和y=(1-a)x的图像只可能是( )4.函数f(x)=lg(x2-3x+2)的定义域为F，函数g(x)=lg(x-1)+lg(x-2)定义域为G，那么( )A.F∩G=B.F=GC.FGD.GF5.已知0＜a＜1,b＞1，且ab＞1，则下列不等式中成立的是( )A.log b＜log a b＜log aB.log a b＜log b＜log aC.log a b＜log a＜log bD.log b＜log a＜log a b6.函数f(x)=2logx的值域是［-1，1］，则函数f-1(x)的值域是( )A.［，］B.［-1，1］C.［，2］D.(-∞， )∪，+∞)7.函数f(x)=log (5-4x-x2)的单调减区间为( )A.(-∞，-2)B.［-2，+∞］C.(-5，-2)D.［-2，1］8.a=log0.50.6，b=log0.5，c=log，则( )A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.a＜c＜bD.c＜a＜b二、填空题1.将()0，，log2,log0.5由小到大排顺序：2.已知函数f(x)=(logx)2-logx+5,x∈［2，4］，则当x= ，f(x)有最大值；当x= 时，f(x)有最小值 .3.函数y=的定义域为，值域为 .4.函数y=log2x+logx的单调递减区间是 .三、解答题1.求函数y=log(x2-x-2)的单调递减区间.2.求函数f(x)=log a(a x+1)(a＞1且a≠1)的反函数.3.求函数f(x)=log2 +log2(x-1)+log2(p-x)的值域.【素质优化训练】1.已知正实数x、y、z满足3x=4y=6z(1)求证：-=；(2)比较3x,4y,6z的大小2.已知log m5＞log n5，试确定m和n的大小关系.3.设常数a＞1＞b＞0，则当a,b满足什么关系时，lg(a x-b x)＞0的解集为｛x｜x＞1｝.【生活实际运用】美国的物价从1939年的100增加到40年后1979年的500.如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几?(注意：自然对数lnx是以e=2.718…为底的对数.本题中增长率x＜0.1，可用自然对数的近似公式：ln(1+x)≈x,取lg2=0.3，ln10=2.3来计算＝【知识探究学习】某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数x(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年).解：(1)1年后该城市人口总数y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)2年后该城市人口总数为y =100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)2同理，3年后该市人口总数为y＝100×(1+1.2%)3.x年后该城市人口总数为y＝100×(1+1.2%)x；(2)10年后该城市人口总数为y＝100×(1+1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100×(1+1.2%)x=120,x=log1.012 =log1.0121.20≈15(年)【同步达纲练习】一、1.C 2.B 3.B 4.D 5.B 6.A 7.C 8.B二、1.log0.5＜(log2)＜()0＜ 2.4，7，2， 3.( ，1)∪［-1，-］，［0，+∞］ 4.(0，)三、1.( ，+∞) 2.(i)当a＞1时，由a x-1＞0x＞0；log a(a x+1)的反函数为f-1(x)=log a(a x-1)，x＞0；当0＜a＜1时，f-1(x)=log a(a x-1)，x＜0. 3.(-∞，2log2(p+1)-2］.【素质优化训练】1.解：(1) -=log t6-log t3=log t2=log t4= (2)3x＜4y＜6z.2.得n＞m＞1，或0＜m ＜n＜1，或0＜n＜1＜m.3.a=b+1【生活实际运用】美国物价每年增长约百分之四.。

课后训练千里之行 始于足下 1．如果lg2＝a ，lg3＝b ，则lg12lg15等于________． 2．下列结论中，正确的序号是________． ①lg2·lg3＝lg5；②lg 23＝lg9；③5115log 22=；④若log a M ＋N ＝b ，则M ＋N ＝a b （a >0且a ≠1）；⑤若log 2M ＋log 3N ＝log 2N ＋log 3M ，则M ＝N .3．（1）已知log a 2＝m ，log a 3＝n （a >0且a ≠1）则a 2m －n ＝________；（2）若a >0，2349a =，则23log a =________； （3）若5lg x ＝25，则x ＝________.4．已知lg （log 2x ）＝0，7312log [log (log )]0y =，则log x y ＝________.5．已知log 7log 56m m a =，log n 8＝b log n 56（m 、n >0且m ≠1，n ≠1），则a ＋b ＝________，17a=________.6．（1）已知11.2a ＝1 000,0.011 2b ＝1 000，则11a b-=________. （2）若2a ＝5b ＝10，则11a b+=________. 7．求下列各式的值：（1）2log 525＋log 264－2 011log π1； （2）log 155·log 1545＋（log 153）2；（3）375111log log 258149log ⋅⋅； （4）lg20lg0.717()2⨯；（5）2lg 5lg8000(lg lg 0.06lg 6⋅++-；（6）28393(log 3log 9)(log 4log 8log 2)+++．8．2010年我国国民生产总值为a 亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值是2010年的2倍？（lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1，lg1.08≈0.033 4，精确到1年）百尺竿头 更进一步（1）已知log 189＝a,18b ＝5，用a ，b 表示log 3645.（2）已知a >0且a ≠1，若log 2a ＋log a 8＝4，则①判断函数f （x ）＝x a ＋3的奇偶性；②计算3log 27log 64a 的值；③判断函数g （x ）＝a x 的单调性．参考答案与解析千里之行 1.21a bb a++- 解析：∵lg2＝a ，lg3＝b ，∴lg12lg3lg 4lg32lg 22.lg15lg3lg5lg31lg 21a bb a+++===++-+- 2．③⑤ 解析：由对数的运算性质知①②错；由对数恒等式知③正确；当log a （M ＋N ）＝b 时，有M ＋N ＝a b ，∴④错；由log 2M ＋log 3N ＝log 2N ＋log 3M ，得log 2M －log 2N ＝log 3M －log 3N ，即23log log M M N N =，上式只有当1MN=，即M ＝N 时成立，∴⑤正确．3．（1）43（2）3 （3）100 解析：（1）∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3. ∴()22224.33m m nna aa -=== （2）法一：∵a >0，2349a =，∴42log .93a = ∴222log .33a=，即21log .33a =，∴231log 3.2log 3a a ==法二：∵a >0，22342.93a ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴22322332log log 23a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴23log 2a = ∴23log 3a =（3）∵5lg x ＝25＝52.∴lg x ＝2，x ＝102＝100.4．－3 解析：∵lg （log 2x ）＝0，∴log 2x ＝1，∴x ＝2，又∵7312log log log 0y ⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴312log log 1y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴12log 3y =，∴31128y ⎛⎫== ⎪⎝⎭.∴3221log log log 238x y -===-. 5．1 56 解析：由换底公式得56log 7log 7log 56m m a ==.56log 8log 8log 56m m b ==，∴a ＋b ＝log 567＋log 568＝log 5656＝1. ∵log 567＝a ，∴71log 56a=. ∴7177log 5656a==. 6．（1）1 （2）1 解析：（1）法一：用指数解：由已知得111.21000a=.10.01121000b =，两式相除得：1111.2100010000.0112a b-==，∴111a b-=. 法二：用对数解．由题意，得a ×lg11.2＝3， b ×lg0.011 2＝3，∴()111lg11.2lg 0.011213a b -=-=. 法三：综合法解．∵11.2a ＝1 000,0.011 2b ＝1 000，∴a ＝log 11.21 000，b ＝log 0.011 21 000.∴100010001000100011.20.0112111111.2log 11.2log 0.0112log log 10001log 1000log 10000.0112a b -=-=-=== （2）法一：由2a ＝5b ＝10，得a ＝log 210，b ＝log 510， ∴251111lg 2lg 5lg101log 10log 10a b -=-=+==. 法二：对已知条件的各边取常用对数，得a lg2＝b lg5＝1，∴1lg 2a =，1lg5b=，∴11lg 2lg5lg101a b+=+==. 7．解：（1）原式＝2log 552＋log 226－2011×0＝4＋6－0＝10.（2）原式＝log 155（1＋log 153）＋（log 153）2＝log 155＋log 153（log 155＋log 153）＝log 155＋log 153＝log 1515＝1.[或原式＝（1－log 153）（1＋log 153）＋（log 153）2＝1－（log 153）2＋（log 153）2＝1]（3）原式111lglg lg2lg54lg32lg 7258149lg3lg 7lg5lg3lg 7lg5---=⋅⋅=⋅⋅＝（－2）×（－4）×（－2）＝－16.（4）设lg0.7lg20172x ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，则1lg lg 20lg 7lg 0.7lg 2x =⋅+⋅＝（1＋lg2）lg7＋（lg7－1）（－lg2）＝lg7＋lg2＝lg14.∴x ＝14，即lg0.7lg2017142⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.（5）原式＝（1－lg2）（3＋3lg2）＋3lg 22＋lg6－2－lg6＝3（1－lg2）（1＋lg2）＋3lg 22－2＝3（1－lg 22）＋3lg 22－2＝3－2＝1.（6）原式2233323235915log 3log 32log 2log 2log 2log 3log 232322⎛⎫⎛⎫=+++=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 8．解：设经过x 年后国民生产总值是2010年的2倍．经过1年，总产值为a （1＋8%），经过2年，总产值为a （1＋8%）2，……经过x 年，总产值为a （1＋8%）x .由题意得a （1＋8%）x ＝2a ，即1.08x ＝2.方法一：两边取常用对数，得lg1.08x ＝lg2，即()lg 20.30109lg1.080.0334x =≈≈年．方法二：用换底公式．∵1.08x ＝2，∴ ()1.08lg 2log 29lg1.08x ==≈年．答：约经过9年，国民生产总值是2010的两倍． 百尺竿头 解：（1）∵18b ＝5，∴log 185＝b ，又∵log 189＝a ，∴log 182＝1－log 189＝1－a . ∴18181836181818log 45log 5log 9log 45log 36log 18log 2112a b a ba a+++====++--.2）∵log a 8＋log 2a ＝4，∴3log a 2＋log 2a ＝4，∴222log 4log 30a a -+=，∴（log 2a －1）（log 2a －3）＝0，即log 2a ＝1或log 2a ＝3，∴a ＝2或a ＝8.①当a ＝2时，f （x ）＝x 2＋3是偶函数；当a ＝8时，f （x ）＝x 8＋3也是偶函数． ∴f （x ）是偶函数．②当a ＝2时，原式23lg 27lg 643lg36lg 2log 27log 6418lg 2lg3lg 2lg3=⋅=⨯=⨯=；当a ＝8时，原式83lg27lg643lg36lg8log27log646lg8lg3lg8lg3=⋅=⨯=⨯=.③∵g（x）＝2x或g（x）＝8x，且2与8都大于1，∴g（x）＝a x在R上是单调增函数．。

对数的运算性质练习1．下列四个命题中，是真命题的有__________．①lg 2lg 3＝lg 5；②lg23＝lg 9；③若log a M＋N＝b，则M＋N＝a b；④若log2M＋log3N＝log2N＋log3M，则M＝N.2．对于a＞0，a≠1，下列说法中正确的是__________．①若M＝N，则log a M＝log a N；②若log a M＝log a N，则M＝N；③若log a M2＝log a N2，则M ＝N；④若M＝N，则log a M2＝log a N2.3．已知f(x5)＝lg x，则f(2)＝__________.4．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36＝__________.5．已知log b x－log b y＝a，则log b5x3－log b5y3＝______.6．设a＞0，234=9a，则23log a＝__________.7．已知11.2a＝1 000,1.12b＝1 000，则11a b-＝____.8．已知函数f(x)满足：当x≥4时，1()=2xf x⎛⎫⎪⎝⎭；当x＜4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝__________.9．若函数y＝x2＋(log2N)x＋log2N有最小值54-，求正数N.10．设p，q满足log9p＝log12q＝log16(p＋q)，求qp的值．11．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出声压级y与声压P的函数关系式．(2)某地声压P＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区，声音环境是否优良？(3)假设某会场内掌声的声压级为90分贝，求声压P.参考答案1．解析：本题易错选①或②或③.主要原因是对对数函数的运算性质不清，在对数运算的性质中，与①类似的一个错误的等式是lg 2＋lg 3＝lg 5；②中的lg 23表示(lg 3)2，它与lg 32＝lg 9意义不同；③中的log a M ＋N 表示(log a M )＋N ，它与log a (M ＋N )意义不同；④中等式可化为log 2M －log 2N ＝log 3M －log 3N ，即23log log M MN N=，所以M ＝N . 答案：④2．解析：在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立． 在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M ＞0，N ＞0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立．在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N ，例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立．所以只有②正确．答案：②3．解析：令x 5＝t ，则15x t ==.所以151()=lg =lg 5f t t t ．则f (2)＝15lg 2. 答案：15lg 2 4．解析：log 36＝lg6lg2+lg3==lg3lg3a b b+. 答案：a b b+ 5．解析：原式＝(log b 5＋log b x 3)－(log b 5＋log b y 3)＝3log b x －3log b y ＝3a . 答案：3a6．解析：由条件得33242==93a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以23log =3a答案：37．解析：由条件得a ＝log 11.21 000＝3lg11.2，b ＝log 1.121 000＝3lg1.12，从而11a b -＝lg11.2lg1.121=333-. 答案：138．解析：∵3＜2＋log 23＜4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23+log 312⎛⎫⎪⎝⎭＝23log 31122⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝111=8324⨯.答案：1249．解：y ＝x 2＋(log 2N )x ＋log 2N ＝(x ＋12log 2N )2－14(log 2N )2＋log 2N .所以x ＝－12log 2N 时，y m in ＝log 2N －14(log 2N )2， 即log 2N －14(log 2N )2＝54-.所以(log 2N ＋1)(log 2N －5)＝0.所以log 2N ＝－1或log 2N ＝5. 从而N ＝12或N ＝32. 10．分析：题目中的已知条件是对数式等式，欲求结论是qp的值，因此需要中间量把对数式化为指数式，得关于q p 的一元二次方程，再由求根公式求得qp的值．解：设log 9p ＝log 12q ＝log 16(p ＋q )＝k ，∴p ＝9k ，q ＝12k ，p ＋q ＝16k .∴16k ＝12k ＋9k.∴169k ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1＋129k ⎛⎫ ⎪⎝⎭.∴243k ⎛⎫ ⎪⎝⎭－43k⎛⎫⎪⎝⎭－1＝0. 设43k⎛⎫ ⎪⎝⎭＝x ，x ＞0，则x 2－x －1＝0，解得1=2x ±.∵x ＞0，∴1=2x .又∵124==93kk k q p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴1=2q p +.11．分析：(1)由已知条件即可写出声压级y 与声压P 之间的函数关系式；(2)由函数关系式求得当P ＝0.002帕时，声压级y 的值，由此可判断所在区的声音环境；(3)实际上是已知y 的值求P 的值，代入函数关系式，解对数方程可得声压．解：(1)由已知得020l P y gP =(其中P 0＝2×10－5)． (2)当P ＝0.002帕时，50.00220l 210y g -=⨯＝20lg 102＝40(分贝)． 由已知条件知40分贝小于60分贝，所以此地为无害区，环境优良． (3)由题意，得90＝20lg0P P ，则0P P ＝104.5， 所以P ＝104.5P 0＝104.5×2×10－5＝2×10－0.5≈0.63(帕)．。

最新教学资料·苏教版数学2.3 对数函数2．3.1 对数1．下列指数式与对数式的互化中，正确的个数是__________． ①100＝1与lg1＝0 ②27－13＝13与log 2713＝－13③log 39＝2与912＝3④log 55＝1与51＝5 ⑤lnx ＝2与x 2＝e2．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④3log 3(－5)＝－5成立．其中正确的个数为__________．3．(1)已知log x 116＝－4，则x ＝__________；(2)若5lgx ＝25，则x ＝__________.4．式子log a na ＋log a 1a n ＋log a 1na (a ＞0且a ≠1)的化简结果是__________．5．方程9x －6·3x －7＝0的解是__________．6．(1)4log 23＝__________；(2)log 3264＝__________.7．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ， x>0，3x ， x ≤0，则f(f(19))的值是__________．8．下列结论中，正确的序号是__________．①lg2·lg3＝lg5 ②lg 23＝lg9 ③5log 512＝12④若log a M ＋N ＝b ，则M ＋N ＝a b (a>0且a ≠1) ⑤若log 2M ＋log 3N ＝log 2N ＋log 3M ，则M ＝N9．(1)已知log 23＝a ，log 25＝b ，则log 295＝__________(用a ，b 表示)；(2)已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 1456＝__________(用a ，b 表示)． 10．若a ＞0，a 23＝49，则log 23a ＝__________.11．(易错题)对于a>0且a ≠1，下列说法中，正确的序号为__________．①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 212．求下列各式的值： (1)log 26－log 23； (2)lg5＋lg2； (3)log 23·log 27125·log 58.13．求下列各式的值： (1)log 2748＋log 212－12log 242； (2)813－log 23；(3)(lg2)3＋(lg5)3＋3lg2×lg5.14．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，求lg 45的值．15．有以下四个结论： ①lg(lg10)＝0； ②ln(lne)＝0；③若10＝lgx ，则x ＝100； ④若e ＝lnx ，则x ＝e 2.其中正确的序号是__________．16．已知a>0且a ≠1，则下列等式中正确的个数是__________． ①log a (M ＋N)＝log a M ＋log a N(M>0，N>0) ②log a (M －N)＝log a M －log a N(M>0，N>0) ③log a M log a N ＝log a MN(M>0，N>0) ④logaM －log a N ＝log a MN(M>0，N>0)17．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ∈(0，＋∞)，x 2，x ∈(－1，0]，－2x ＋3，x ∈(－∞，－1]，则f{f[f(－2－3)]}＝__________.18．(1)若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x ＝__________；(2)设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ， x ∈(－∞，1]，log 81x ， x ∈(1，＋∞)，则满足f(x)＝14的x 值为__________．19．已知11.2a ＝1 000,0.011 2b ＝1 000，那么1a －1b＝__________.20.已知log 12(log 2x)＝log 13(log 3y)＝1，则x ，y 的大小关系是__________．21．(1)已知log a 2＝m ，log a 3＝n(a>0且a ≠1)，则a 2m －n ＝__________；(2)已知f(x 6)＝log 2x ，那么f(8)的值为__________．22．已知log m 7log m 56＝a ，log n 8＝blog n 56(m 、n ＞0且m ≠1，n ≠1)，则a ＋b ＝__________，71a＝__________. 23．已知f(3x )＝4xlog 23＋233，则f(2444)的值等于__________． 24．(1)式子2(1＋12log 25)的值为__________．(2)lg5·lg8 000＋(lg23)2＋lg0.06－lg6＝________. (3)若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b ＝__________.(4)lg4＋lg9＋2(lg6)2－2lg6＋1＝________.(5)2lg5＋23lg8＋lg5·lg20＋lg 22＝__________.(6)log 2125·log 38·log 1527＝__________.25．已知二次函数f(x)＝(lga)x 2＋2x ＋4lga 的最大值是3，求a 的值．26．(易错题)(1)已知log89＝a，log25＝b，试用a，b表示lg3；(2)已知log32＝a,3b＝5，用a、b表示log330；(3)已知log189＝a,18b＝5，则用a、b表示log3645.27．2009年我国国民生产总值为a亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值是2009年的2倍？(lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1，lg1.08≈0.033 4，精确到1年)28．已知常数a(a>0且a≠1)，变量x，y之间有关系：log a x＋3log x a－log x y＝3，若y 有最小值8，求a的值．29．已知a>0且a≠1，若log2a＋log a8＝4，则(1)判断函数f(x)＝x a＋3的奇偶性；(2)计算log a27·log364的值；(3)判断函数g(x)＝a x的单调性．答案与解析基础巩固1．3 ∵log 39＝232＝9,912＝3log 93＝12，∴③不正确；∵lnx ＝2e 2＝x ，x 2＝e log x e ＝2，∴⑤不正确； ①②④都正确．2．2 ①③正确；②错误，如(－1)2＝1，不能写成对数式；④错误，因为log 3(－5)无意义．3．(1)2 (2)100 (1)将已知化为指数式得x －4＝116，∴x 4＝16＝24.又x ＞0且x ≠1，∴x ＝2. (2)∵5lgx ＝25＝52，∴lgx ＝2.∴x ＝102＝100.4．－n 原式＝log a a 1n ＋log a a －n ＋log a a －1n ＝1n log a a －nlog a a －1n log a a ＝1n －n －1n ＝－n.5．log 37 9x －6·3x －7＝(3x )2－6·3x －7＝0，令t ＝3x ＞0，则有t 2－6t －7＝0，解得t＝7(t ＝－1＜0舍去)，∴3x ＝7.∴x ＝log 37为原方程的解．6．(1)9 (2)65 (1)4log 23＝22log 23＝2log 232＝32＝9.(或4log 23＝4log 2232＝4log 49＝9)(2)log 3264＝log 264log 232＝65(或log 3264＝lg64lg32＝6lg25lg2＝65)．7.19 ∵19＞0， ∴f(19)＝log 319＝log 33－2＝－2，∵－2＜0，∴f(－2)＝3－2＝19.∴f(f(19))＝f(－2)＝19.8．③⑤ 由对数的运算性质知①②错；由对数恒等式知③正确； 当log a (M ＋N)＝b 时，有M ＋N ＝a b ，∴④错；由log 2M ＋log 3N ＝log 2N ＋log 3M ，得log 2M －log 2N ＝log 3M －log 3N ， 即log 2M N ＝log 3M N ，上式只有当MN ＝1，即M ＝N 时成立，∴⑤正确．9．(1)2a －b (2)3＋ab 1＋ab (1)log 295＝log 29－log 25＝log 232－log 25＝2a －b.(2)方法一：由log 23＝a ，log 37＝b ，得log 23·log 37＝ab ， ∴lg3lg2·lg7lg3＝lg7lg2＝log 27＝ab. ∴log 1456＝log 256log 214＝log 2(7×8)log 2(2×7)＝log 27＋log 28log 27＋log 22＝ab ＋3ab ＋1.方法二：∵log 23＝a ， ∴log 32＝1log 23＝1a .又log 37＝b ，∴log 1456＝log 356log 314＝log 37＋log 38log 37＋log 32＝b ＋31a b ＋1a＝ab ＋3ab ＋1.10.3 方法一：∵a ＞0，a 23＝49，∴log a 49＝23.∵log a 49＝log a (23)2＝2log a 23＝23，∴log a 23＝13.∴log 23a ＝1log a23＝3.方法二：∵a 23＝49＝(23)2，∴log 23a 23＝log 23(23)2＝2.∴23log 23a ＝2.∴log 23a ＝3. 11．② 在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立；在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M>0，N>0，且M ＝N ，∴M ＝N 成立；在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M|＝|N|，但未必有M ＝N ，例如M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N ；在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立．∴只有②正确．点评：应用对数的定义及性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，所以在用公式前要特别注意它成立的前提条件，如lgMN ＝lgM ＋lgN ，只有当M>0，N>0时成立，若M<0，N<0，则MN>0，此时lgMN 有意义，但lgM 与lgN 均无意义，∴lgMN ＝lgM ＋lgN 就不成立．此类题看起来简单，其实做好不易，因为只有每小题都判断准确，才能做对答案，若稍微马虎就会出错，因此要切实打牢基础，把知识学透学好．12．解：(1)log 26－log 23＝log 263＝log 22＝1；(2)lg5＋lg2＝lg(5×2)＝lg10＝1； (3)log 23·log 27125·log 58 ＝lg3lg2×lg125lg27×lg8lg5 ＝lg3lg2×3lg53lg3×3lg2lg5＝3. 13．解：(1)方法一：原式＝12(log 27－log 248)＋log 24＋log 23－12log 26－12log 27＝－12log 2(16×3)＋2＋log 23－12log 2(2×3)＝－12log 216－12log 23＋2＋log 23－12－12log 23＝－12×4＋2－12＝－12. 方法二：原式＝log 2(748×12×142) ＝log 27×12×143×7×6＝log 212＝log 22－12＝－12.(2)原式＝(23)(13－log 23)＝21－3log 23＝21－log 227＝22log 227＝227.(3)方法一：(运用立方和公式)原式＝(lg2＋lg5)(lg 22－lg2×lg5＋lg 25)＋3lg2×lg5＝lg 22－lg2×lg5＋lg 25＋3lg2×lg5＝(lg2＋lg5)2＝1.方法二：(由lg2＋lg5＝1，得lg2＝1－lg5，再用两数差的立方公式)原式＝(1－lg5)3＋(lg5)3＋3(1－lg5)lg5＝1－3lg5＋3lg 25－lg 35＋lg 35＋3lg5－3lg 25＝1.14．解：方法一：lg 45＝12lg45＝12lg 902＝12(lg9＋lg10－lg2)＝12(2lg3＋1－lg2)＝lg3＋12－12lg2 ＝0.477 1＋0.5－12×0.301 0＝0.826 6.方法二：lg 45＝12lg45＝12(lg5＋lg9)＝12(2lg3＋1－lg2)＝lg3＋12－12lg2＝0.826 6.法三：设lg 45＝x ，即12lg45＝x ，∴lg45＝2x. ∴102x ＝45.∵lg2＝1－lg5＝0.301 0， ∴lg5＝0.699 0. ∴100.699 0＝5.① 又lg3＝0.477 1， ∴100.477 1＝3.∴(100.477 1)2＝32＝9.②由①×②得100.699 0×102×0.477 1＝5×9＝45＝102x ， ∴0.699 0＋2×0.477 1＝2x. ∴x ＝0.826 6.能力提升15．①② ①lg(lg10)＝lg1＝0，②ln(lne)＝ln1＝0，∴①②正确； ∵10＝lgx ，∴x ＝1010，∴③不正确； ∵lnx ＝e ，∴x ＝e e .∴④不正确．16．1 对比对数的运算性质知①②③错，④正确． 17．－4 f(－2－3)＝－2－2－3＋3＝－2－2＝－14，f(－14)＝(－14)2＝116，f(116)＝log 2116＝－4.18．(1)125 (2)3 (1)∵log 513·log 36·log 6x ＝lg13lg5×lg6lg3×lgx lg6＝2，即－lgxlg5＝2，∴lgx ＝－2lg5＝lg5－2＝lg 125.∴x ＝125.(或由－lgxlg5＝2，得－log 5x ＝2，即log 5x ＝－2，∴x ＝5－2＝125)． (2)当x ≤1时，f(x)＝2－x ＝14＝2－2，∴x ＝2与x ≤1矛盾(舍去)；当x ＞1时，f(x)＝log 81x ＝14，∴x ＝8114＝(34)14＝3，符合x ＞1，∴x ＝3.19．1 方法一：用指数解．由题意11.2＝1 0001a ，0.011 2＝1 0001b ，∴两式相除得1 0001a －1b＝11.20.011 2＝1 000. ∴1a －1b＝1. 方法二：用对数解．由题意，得a ×lg11.2＝3， b ×lg0.011 2＝3，∴1a －1b ＝13(lg11.2－lg0.011 2)＝1.方法三：综合法解．∵11.2a ＝1 000,0.011 2b ＝1 000， ∴a ＝log 11.21 000，b ＝log 0.011 21 000. ∴1a －1b ＝1log 11.21 000－1log 0.011 21 000＝log 1 00011.2－log 1 0000.011 2 ＝log 1 00011.20.011 2＝log 1 0001 000＝1.20．x<y ∵log 12(log 2x)＝1，∴log 2x ＝12，x ＝ 2.又log 13(log 3y)＝1，∴log 3y ＝13.∴y ＝33.∵2＝623＝68<69＝632＝33， ∴x<y.21．(1)43 (2)12 (1)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3. ∴a2m －n＝a 2m a n ＝(a m )2a n ＝223＝43. (2)方法一：设t ＝x 6，则x ＝t 16，∴f(t)＝log 2t 16.∴f(8)＝log 2816＝log 2212＝12.方法二：∵8＝23＝(2)6，∴f(8)＝f((2)6)＝log 22＝12(即令已知中的x ＝2)．22．1 56 由换底公式得log m 7log m 56＝log 567＝a ，b ＝log n 8log n 56＝log 568，∴a ＋b ＝log 567＋log 568＝log 5656＝1. ∵log 567＝a ，∴1a ＝log 756.∴71a＝7log 756＝56.23．2 009 ∵f(3x )＝4xlog 23＋233. ∴f(3x )＝4log 23x ＋233， ∴f(x)＝4log 2x ＋233.∴f(2n )＝4log 22n ＋233＝4n ＋233，令n ＝444，则f(2444)＝4×444＋233＝2 009. 24．(1)25 (2)1 (3)1 (4)2 (5)3 (6)18(1)方法一：原式＝21＋log 25＝2log 22＋log 25＝2log 225＝2 5. 方法二：原式＝21·212log 25＝2·2log 25＝2 5.(2)原式＝(1－lg2)(3＋3lg2)＋3lg 22＋lg6－2－lg6＝3(1－lg2)(1＋lg2)＋3lg 22－2＝3(1－lg 22)＋3lg 22－2＝3－2＝1.(3)方法一：由2a ＝5b ＝10，得a ＝log 210，b ＝log 510，∴1a ＋1b ＝1log 210＋1log 510＝lg2＋lg5＝lg10＝1. 方法二：对已知条件的各边取常用对数，得alg2＝blg5＝1， ∴1a ＝lg2，1b＝lg5. ∴1a ＋1b＝lg2＋lg5＝lg10＝1. (4)原式＝2lg2＋2lg3＋2(lg6－1)2＝2(lg2＋lg3)＋2(1－lg6)＝2lg6＋2－2lg6＝2. (5)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋lg 22 ＝lg 25＋2lg5·lg2＋lg 22＋2(lg5＋lg2)＝(lg5＋lg2)2＋2lg10＝lg 210＋2×1 ＝1＋2＝3.(6)原式＝lg125lg2×lg8lg3×lg27lg 15＝2lg15lg2×3lg2lg3×3lg3lg 15＝18. 25．解：∵二次函数f(x)有最大值， ∴lga<0.又当x ＝－1lga 时，f(x)有最大值，且f(x)max ＝16lg 2a －44lga ＝4lga －1lga＝3，∴4lg 2a －3lga －1＝0.令t ＝lga ，则方程为4t 2－3t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－14，即lga ＝1或lga ＝－14.∵lga<0，∴lga ＝－14. ∴a ＝10－14. 26．解：(1)方法一：∵log 89＝log 2332＝23log 23＝a ，∴log 23＝32a. ∴lg3＝log 23log 210＝log 231＋log 25＝32a 1＋b ＝3a 2(b ＋1). 方法二：∵log 89＝lg9lg8＝lg32lg23＝2lg33lg2＝a ， ∴lg3＝32alg2.① 又∵log 25＝lg5lg2＝1－lg2lg2＝b ， ∴lg2＝1b ＋1，代入①式得lg3＝32a·1b ＋1＝3a 2(b ＋1). (2)∵3b ＝5，∴b ＝log 35.又∵log 32＝a ，∴log 330＝12log 3(2×3×5) ＝12(log 32＋log 33＋log 35) ＝12(a ＋b ＋1)． (3)∵18b ＝5，∴log 185＝b.又log 189＝a ，∴log 182＝1－log 1819＝1－a ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(18×2)＝log 185＋log 1891＋log 182＝a ＋b 1＋1－a ＝a ＋b 2－a. 点评：(1)题中已知与未知底数不同，所以为了求出未知，就要利用换底公式，将未知换成已知的底数(如方法一)，或都换成常用对数(如方法二)，以利于问题的解决．(2)用已知对数表示新的未知对数，一般方法是运用对数的运算法则及有关公式，将所求对数式转化为含有已知对数式的代数和的形式．只有将未知对数式的真数分解成已知对数的真数的积、商、幂的形式，才好利用运算性质，但要注意运算性质只有在同底的情况下才能运用，当底数不同时，要用换底公式，一般要换成已知对数的底数(如第(3)小题)．27．解：设经过x 年后国民生产总值是2009年的两倍．经过1年，总产值为a(1＋8%)，经过2年，总产值为a(1＋8%)2，……经过x 年，总产值为a(1＋8%)x .由题意得a(1＋8%)x ＝2a ，即1.08x ＝2.两边取常用对数，得lg1.08x ＝lg2，即x ＝lg2lg1.08≈0.301 00.033 4≈9(年)． (可由换底公式，得x ＝log 1.082＝lg2lg1.08.) 答：约经过9年，国民生产总值是2009年的2倍．拓展探究28．解：log a x ＋3log x a －log x y ＝3，∴log a x ＋3log a x －log a y log a x＝3，log a y ＝log 2a x －3log a x ＋3. ∴y ＝a[(log a x)2－3log a x ＋3]＝a[(log a x －32)2＋34]． 当log a x ＝32时，(log a x －32)2＋34有最小值34，∴当y 有最小值时，a>1.从而y min ＝a 34＝8. ∴a ＝843＝24＝16. 29．解：∵log a 8＋log 2a ＝4，∴3log a 2＋log 2a ＝4.∴log 22a －4log 2a ＋3＝0.(log 2a －1)(log 2a －3)＝0，即log 2a ＝1或log 2a ＝3.∴a ＝2或a ＝8.(1)当a ＝2时，f(x)＝x 2＋3是偶函数；当a ＝8时，f(x)＝x 8＋3也是偶函数．∴f(x)＝x a ＋3为偶函数．(2)当a ＝2时，原式＝log 227×log 364＝lg27lg2×lg64lg3＝3lg3lg2×6lg2lg3＝18； 当a ＝8时，原式＝log 827×log 364＝lg27lg8×lg64lg3＝3lg3lg8×2lg8lg3＝6. (3)∵g(x)＝2x 或g(x)＝8x ，且2与8都大于1，∴g(x)＝a x 在R 上是增函数．。

对数函数．对数．下列指数式与对数式的互化中，正确的个数是．①＝与＝②－＝与＝－③＝与＝④＝与＝⑤＝与＝．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以为底的对数叫做常用对数；④(－)＝－成立．其中正确的个数为．．()已知＝－，则＝；()若＝，则＝.．式子＋＋(＞且≠)的化简结果是．．方程－·－＝的解是．．()＝；()＝.．已知函数()＝(\\(，>，，≤，))则(())的值是．．下列结论中，正确的序号是．①·＝②＝③＝④若＋＝，则＋＝(>且≠)⑤若＋＝＋，则＝．()已知＝，＝，则＝(用，表示)；()已知＝，＝，则＝(用，表示)．．若＞，＝，则＝.．(易错题)对于>且≠，下列说法中，正确的序号为．①若＝，则＝②若＝，则＝③若＝，则＝④若＝，则＝．求下列各式的值：()－；()＋；()··.．求下列各式的值：()＋－；()－；()()＋()＋×.．已知＝，＝，求的值．．有以下四个结论：①()＝；②()＝；③若＝，则＝；④若＝，则＝.其中正确的序号是．．已知>且≠，则下列等式中正确的个数是．①(＋)＝＋(>，>)②(－)＝－(>，>)③＝(>，>)④－＝(>，>)．已知()＝(\\(，∈(，＋∞(，，∈(－，]，,－＋()，∈(－∞，－]，))则{[(－－)]}＝.。

3.2.1 对数(二)一、基础过关1．计算：log 916·log 881的值为________．2．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x ＝________. 3．已知3a ＝5b ＝A ，若1a ＋1b＝2，则A ＝________. 4．已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3＝________(用a 、b 表示)．5．若log a 2＝m ，log a 5＝n ，则a 3m ＋n ＝________.6．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.7．(1)计算：lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34； (2)已知3a ＝4b ＝36，求2a ＋1b的值． 8．计算下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. 二、能力提升9．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg a b)2的值为________． 10．log 327＋lg 25＋lg 4＋7log 72＋(－9.8)0＝________.11．2log 510＋log 50.25＋(325－125)÷425＝________.12．若a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．三、探究与拓展13．20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0.其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅(使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1)．答案1.832.1253.154.3a 2(b ＋1)5．406．17．解 (1)方法一 lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34 ＝lg(12×85×12.5)－2lg 33lg 2·2lg 2lg 3＝1－43＝－13. 方法二 lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34 ＝lg 12－lg 58＋lg 252－lg 9lg 8·lg 4lg 3＝－lg 2－lg 5＋3lg 2＋2lg 5－lg 2－2lg 33lg 2·2lg 2lg 3＝(lg 2＋lg 5)－43＝1－43＝－13. (2)方法一 由3a ＝4b ＝36得：a ＝log 336，b ＝log 436，所以2a ＋1b＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝1. 方法二 因为3a ＝4b ＝36，所以361a ＝3,361b＝4， 所以(361a )2·361b＝32×4， 即362a ＋1b ＝36，故2a ＋1b＝1. 8．解 (1)方法一 原式＝12(lg 25－lg 72)－43lg 232＋lg(72×5)12＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg5＝12lg 2＋12lg 5 ＝12(lg 2＋lg 5)＝12. 方法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg 7 5 ＝lg 42×757×4＝lg(2×5)＝12. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. 9．210.13211.65－312．解 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0.设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0，∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12. 又∵a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，∴t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12. ∴lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )·(lg b lg a ＋lg a lg b) ＝(lg a ＋lg b )·(lg b )2＋(lg a )2lg a ·lg b＝(lg a ＋lg b )·(lg a ＋lg b )2－2lg a ·lg b lg a ·lg b＝2×22－2×1212＝12，即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.13．解 (1)M ＝lg 20－lg 0.001＝lg 200.001＝lg 20 000＝lg 2＋lg 104≈4.3. 因此，这是一次约为里氏4.3级的地震．(2)由M ＝lg A －lg A 0可得M ＝lg A A 0⇔A A 0＝10M ⇔A ＝A 0·10M . 当M ＝7.6时，地震的最大振幅为A 1＝A 0·107.6，当M ＝5时，地震的最大振幅为A 2＝A 0·105.所以，两次地震的最大振幅之比是A 1A 2＝A 0·107.6A 0·105＝107.6－5＝102.6≈398. 答 7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍．。

1．如果a x＝N (a ＞0，a ≠1)，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数．记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．对数式的书写格式：例如：将指数式化为对数式： ①42＝16，log 416＝2； ②102＝100，log 10100＝2； ③412＝2，log 42＝12；④10－2＝0.01，log 100.01＝－2．(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把常用对数log 10N 简记为lg N ；(2)以无理数e ＝2.718 28…为底的对数，叫自然对数，并把自然对数log e N 简记为ln N . 例如：lg 5 ，lg 3.5是常用对数；ln 10，ln 3是自然对数．2．指数与对数的关系：设a ＞0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝x . 对数式与指数式的互化如下表：log a N ＝x ⇔a x ＝N 对数式⇔指数式 对数底数←a →幂底数对数←x →指数 真数←N →幂数3.对数的性质．(1)在指数式中N >0，故零和负数没有对数，即式子log a N 中N 必须大于0； (2)设a ＞0，a ≠1，则有a 0＝1，∴log a 1＝0，即1的对数为0； (3)设a ＞0，a ≠1，则有a 1＝a ，∴log a a ＝1，即底数的对数为1. 4．对数恒等式．(1)如果把a b ＝N 中的 b 写成log a N ，则有：a log a N ＝N ； (2)如果把x ＝log a N 中的N 写成a x ，则有：log a a x ＝x . 5．设a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ，简记为：积的对数＝对数的和．(2)log a MN＝log a M －log a N ，简记为：商的对数＝对数的差．(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．例如：①lg(3×5)＝lg_3＋lg_5；②lg 5＋lg 2＝1；③ln e 2＝2． 6．几点注意：(1)对数的真数是多项式时，需将真数部分加括号，如lg(x ＋y )与lg x ＋y 的含义不同． (2)(lg M )n 与lg M n 的含义不同．(3)log 2[(－3)×(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)是不成立的． (4)log 10(－10)2＝2log 10(－10)是不成立的．(5)当心记忆错误：log a (MN )≠log a M ·log a N ；log a (M ±N )≠log a M ±log a N .7．对数的换底公式log a b ＝log c blog c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．换底公式的意义是把一个对数式的底数改变，可将不同底问题化为同底，便于使用运算法则．例如：log 35＝log a 5log a 3，其中a ＞0，且a ≠1.8．关于对数换底公式的证明方法有很多，可借助指数式证明对数换底公式． 例如：设a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0.求证：log a b ＝log c blog c a.证明：设log a b ＝x ，则b ＝a x .于是log c b ＝log c a x ，即x log c a ＝log c b .∴x ＝log c b log c a .∴log a b ＝log c blog c a.9．设a ＞0，b ＞0，且均不为1，由换底公式可加以求证： (1)log a b ·log b a ＝1；(2)log am b n ＝nmlog a b .例如：①log 23·log 32＝______________； ②log 89＝______________ .证明：(1)log a b ·log b a ＝lg b lg a ·lg alg b＝1.(2)log am b n＝lg b n lg a m ＝n lg b m lg a ＝n m log a b .①1 ②23log 23一、对数的概念指数式a b ＝N 与对数式log a N ＝b 中，a 、b 、N 三者间的关系实质如下(a >0且a ≠1)： 项目 式子 a b N 意 义指数式 a b ＝N 底数 指数 幂a 的b 次幂等于N 对数式 log a N ＝b 底数 对数 真数 以a 为底N 的对数等于b 根式 a ＝b N方根数 根指数 被开方数 N 的b 次方根等 于a得到解决，求某些对数值就可以把它转化为指数问题．二、对数的运算性质(1)对于同底的对数的化简常用方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．(2)对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题． (3)对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值． (4)在计算真数是“ ± ”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”． (5)另外注意性质log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N 及log a N ＝log an N n (n ≠0，a >0，a ≠1，N >0)的应用．注意容易出错的几种现象：(1)对性质成立的条件把握不住．如log 2[(－4)×(－3)]是存在的，但log 2(－4)与log 2(－3)均不存在，故log 2[(－4)×(－3)]不能写成log 2[(－4)×(－3)]＝log 2(－4)＋log 2(－3)．(2)对数的运算性质特征要记牢，不要犯以下错误： log a (M ±N )＝log a M ±log a N ； log a (MN )＝log a M ·log a N ；log a MN＝log a M ÷log a N ；log a (M n )＝(log a M )n .基础巩固1．(2013·浙江卷)已知x 、y 为正实数，则(D )A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg y C ．2lg x lg y ＝2lg x ＋2lg y D ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y 2．(log 29)·(log 34)＝(D) A.14 B.12C ．2D ．4 解析：原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4.3．log (2＋1)(3－22)＝(C)A ．2B ．4C ．－2D ．－4解析：∵3－22＝(2－1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＝(2＋1)－2，∴原式＝－2. 4．设log 83＝p ，log 35＝q ，则lg 5为(C )A ．p 2＋q 2 B.15(3p ＋2q )C.3pq 1＋3pqD ．pq 解析：由题知lg 3lg 8＝p ，∴p ＝lg 33lg 2，q ＝lg 5lg 3.∴lg 5＝q lg 3＝q (3p lg 2)＝3pq lg 105＝3pq (1－lg 5)，即：lg 5＝3pq －3pq lg 5，∴lg 5＝3pq1＋3pq.5．若y ＝log 56×log 67×log 78×log 89×log 910，则y ＝(B ) A ．1＋log 25 B ．1＋log 52C ．1－log 25D ．1－log 52解析：由题知y ＝lg 6lg 5·lg 7lg 6·lg 8lg 7·lg 9lg 8·lg 10lg 9＝lg 10lg 5＝log 510＝1＋log 52.6．若a >0且a ≠1，x >y >0，n ∈N ＋，则下列各式中恒成立的有2个． ①(log a x )n ＝n log a x ②(log a x )n ＝log a x n③log a x ＝－log a 1x ④log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －y7．已知0<a <1，0<b <1，如果a log b (x －2)<1，则x 的取值范围是________． 解析：由0<a <1得log b (x －2)>0，由0<b <1得0<x －2<1⇒2<x <3. ★答案★：(2，3)8．x ＝log 23，4y ＝83，则x ＋2y 的值为________．解析：∵4y ＝83，∴22y ＝83.∴2y ＝log 283.∴x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3.★答案★：39．若f (x )＝ax －12，且f (lg a )＝10，求a 的值．解析：由f (lg a )＝10得a lg a －12＝10，两边取常用对数得(lg a )2－12lg a ＝lg 10，即2(lg a )2－lg a －1＝0.∴lg a ＝1或lg a ＝－12.故a ＝10或1010.能力提升10．(lg 5)2＋lg 2lg 50＝(A) A ．1 B ．2 C ．5 D ．10解析：原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 2＋2lg 5)＝(lg 5)2＋2lg 2lg 5＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.11．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根，则⎝⎛⎭⎫lg a b 2＝(D )A.14B.12C ．1D ．2 解析：由韦达定理，lg a ＋lg b ＝2，lg a lg b ＝12，∴⎝⎛⎭⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a lg b ＝22－4×12＝2.12．设a 、b 、c 都是正数，且3a ＝4b ＝6c ，则(B ) A.1c ＝1a ＋1b B.2c ＝2a ＋1b C.1c ＝2a ＋2b D.2c ＝1a ＋2b解析：设3a ＝4b ＝6c ＝t ，则a ＝log 3t ，b ＝log 4t ，c ＝log 6t . ∴1a ＝log t 3，1b ＝log t 4，1c ＝log t 6. ∴2a ＋1b ＝log t 9＋log t 4＝2log t 6＝2c. 13．若2m ＝3n ＝36，则1m ＋1n＝________．解析：∵2m ＝3n＝36，∴m ＝log 236，n ＝log 336.从而：1m ＋1n ＝log 362＋log 363＝log 366＝12.★答案★：1214．(2013·上海卷)方程33x －1＋13＝3x －1的实数解为________．解析：去分母整理得32x －2·3x －8＝0⇒3x ＝4， ∴x ＝log 34.★答案★：log 3415．已知log 5[log 4(log 3x )]＝0，则x ＝________． ★答案★：8116．计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64.解析：原式＝1－2log 63＋（log 63）2＋log 663·log 6（6×3）log 64＝1－2log 63＋（log 63）2＋（1－log 63）（1＋log 63）log 64＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 64＝2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.17．甲、乙两人解关于x 的方程：log 2x ＋b ＋c log x 2＝0，甲写错了常数b ，得到根14、18；乙写错了常数c ，得到根12、64.求原方程的根．解析：原方程可变形为log 22x ＋b log 2x ＋c ＝0.由于甲写错了常数b ，得到的根为14和18，∴c ＝log 214·log 218＝6.由于乙写错了常数c ，得到的根为12和64，∴b ＝－⎝⎛⎭⎫log 212＋log 264＝－5. 故原方程为log 22x －5log 2x ＋6＝0.因式分解得(log 2x －2)(log 2x －3)＝0. ∴log 2x ＝2或log 2x ＝3， 即x ＝4或x ＝8.点评：此题取材与学生生活密切相关，将对数与一元二次方程结合．本题在解答时，利用了一元二次方程根与系数的关系，即⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－ba，x 1·x 2＝ca.已知二次项系数为1方程的根为x 1、x 2时，方程可写成(x －x 1)(x －x 2)＝x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0.18．已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求lg 2xy的值．解析：由lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )得xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，化为⎝⎛⎭⎫x y 2－5·x y＋4＝0，解得x y ＝4或x y ＝1.又∵x >0，y >0，x －2y >0，∴x y >2.故x y ＝4.∴log 2xy＝log 24＝log 2(2)4＝4.。