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偏导数与方向导数的计算与应用导数是微分学中的重要概念，它不仅可以对函数进行切线的斜率计算，还可以对多元函数进行求导运算。
在多元函数中，偏导数和方向导数是导数的两种常见形式。
本文将介绍偏导数和方向导数的计算方法，并讨论它们在实际应用中的作用。
一、偏导数的计算方法偏导数是多元函数在某个指定变量上的导数。
它的计算方法与普通函数的导数类似，只需将其他变量视为常数进行求导即可。
例如，对于二元函数f(x, y)，要计算其对x的偏导数∂f/∂x，可以视y为常数，将f(x, y)作为只与x有关的函数进行求导。
同样地，计算其对y的偏导数∂f/∂y时，将x视为常数进行求导。
对于多元函数而言，偏导数可以存在多个，每个偏导数都表示函数在不同变量上的变化率。
通过偏导数的计算，可以得到函数在各个方向上的斜率信息，进而分析函数对各个变量的依赖程度。
二、方向导数的计算方法方向导数是多元函数在某个指定方向上的导数。
它表示函数在该方向上的变化率。
设函数为f(x, y, z)，要计算在点P(x0, y0, z0)处沿着向量u=(a, b, c)的方向导数，可以按照以下步骤进行计算。
1. 求出点P的梯度向量∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)。
2. 计算向量u与梯度向量的内积，即求出u与∇f的点积：u·∇f =a(∂f/∂x) + b(∂f/∂y) + c(∂f/∂z)。
3. 将点积的结果与向量u的模长相乘，得到方向导数的值：Duf = u·∇f × ||u||，其中||u||表示向量u的模长。
通过计算方向导数，我们可以研究函数在某个特定方向上的变化情况。
方向导数的大小和正负表明了函数增长或减少的趋势，对于优化问题和梯度下降算法等有重要应用价值。
三、偏导数和方向导数的应用偏导数和方向导数在数学和物理学中有广泛的应用，以下是其中的几个典型例子：1. 函数极值的判定：通过计算偏导数，可以找到多元函数的极值点。
高中数学知识点总结导数的应用高中数学知识点总结_导数的应用导数的应用、复数1.用导数研究微分的单调性。
yf(x)在区间(a,b)内可导，若f"(x);0，则yf(x)在(a,b)上递增;若f"(x)[巩固2设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)三维空间的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）（07浙江理8）OA．xOB．xOC．xOD．xyyyy[巩固3]函数f(x)、g(x)在R上可导，且f(x);g(x),若a;b，则（）A．f(a);g(b)B．g(a)解析：f"(x)3x22axb0，∴f/(1)=2ab30①2f(1)1abaa4a3或10②由①②得：b3b11a3当时，f"(x)3x26x33(x1)20，此时函数f(x)无极值，舍去；b3当a4b11时f/(x)3x28x11，函数f(x)在x1处左减右增，有极小值；此时∴f(2)18。
注：在解决“已知函数的最大值点求参变量”的问题时，为避免“增根”，需将求出的参变量的值代入f/(x)检验其是否为完全平方式，若是则函数无极值（单调），否则有极值；也可以对f/(x)再次求导，看f为负则有极大值。
[巩固1]已知f(x)ax3bx2cx在区间[0,1]上是增函数,在区间(,0),(1,)上是减函数,又f()2132.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)若在区间[0,m](m＞0)上恒有f(x)≤x成立,//为0则无极值，为正则有极小值，(x0)的值，求m的取值范围.[举例2]设函数f(x)ax2blnx，其中ab0．证明：当ab0时，函数f(x)没有极值点；当ab0时，函数f(x)有且只有一个极值点，并求出极值．（07高考山东文21）3.求yf(x)在闭区间内所的最值的步骤：（1）求导数f"(x)（2）求导数方程f"(x)=0的根（3）检查f"(x)在根的左右值的符号，列表求得极值；也可通过可解不等式f"(x)≥0及再以确定函数的极值；最后将极值与f"(x)≤0确定函数yf(x)在给定区间内的单调情况，区间端点的函数值比较以确定最值。
引言极限是研究变量的变化趋势的基本工具。
在高等数学中许多基本概念和研究问题的方法都和极限密切相关，如函数的连续、导数、定积分和无穷级数等都是建立在极限的基本之上的。
极限的思想和方法产生某些实际问题的精确解，并且对数学在实际中的应用也有着重要的作用。
因此研究生考试往往把求极限问题作为考核的一个重点，而在不同的函数类型条件下所采用的求极限的技巧是各不相同的，因此大家要学会判断极限的类型，熟练和灵活的掌握各种技巧的应用。
本文主要介绍了导数在求极限中的基本应用，包括导数定义法，L' Hospital 法则，Taylor 展式法及微分中值定理在求极限中的应用。
旨在让大家掌握各种导数方法适用的函数类型，要注意的事项及它的一些推广结论。
达到能灵活运用导数方法去求解一些极限问题以使问题简单化的目的。
例1求极限limb -tanx b _sin X a -asin x解由于b-lanx b -sinxct -a b tanx b , b b-sinxta n x= -------------------------- r ------------------ sin x tan x sin x sin x所以, limx—0b -tanx b -sinxa _asin xb -tanx b b b -sinxa —a tan x.. □ -a二lim limx 0 tan x sin x x 2tan x sin x第1章导数在求极限中的基本应用1.1导数定义法这种极限求法主要针对所给的极限不易求，但是函数满足导数定义的形式且能够确定的变化趋向的极限易求出时，可以用此法比较方便的求出极限.定义若函数y = f (x)在其定义域中的一点X)处极限也y r f (X o+也X)- f(X o)lim lim - —u0 .)x 匸J-：x存在，则称在X o处可导，称此极限值为f (X)在X-处的导数，记为f(X o).显然，f(X) 在X o处的导数还有如下的等价定义形式：f（X）- f（X-）X — X-F面通过两个例子让大家逐步领悟导数定义法的内涵=：b l n 二心b l n「- 2-b l n〉.例2 (本题选自《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文.第二版.)设 f (0) = k，试证lim f(b)「f(a) = k.证明(希望把极限式写成导数定义中的形式)f(b) -f (a) b -a(拟合法思想：把要证的极限值 k 写成与此式相似的形式)0<f(b)-f(a) _k .：：： b |f(b)-f(O) b -a|b -a|| b -ka f(a)-f(O)b -a a因 a > 0-，a bb — a b — ab f(b)-f(0) a f(a)-f(O) b -a b b -a aab —a两式相减，可得又因f (0) =k ，故当a > 0 - b > 0 •时右端极限为零，原极限获证.1.2 L ' Hospital 法则本节主要总结了 L ' Hospital 法则在求未定式极限中的应用，需要注意的 问题，并深入分析了使用L ' Hospital 法则时实质是对无穷小或无穷大进行降阶 另外还指出L ' Hospital 法则与其他极限方法如无穷小的替换的结合.1. L ' Hospital 法则L ' Hospital 法则作为Cauchy 中值定理的重要应用，在计算未定式极限中扮 演了十分重要的角色，这是因为对于未定式极限来讲极限是否存在，等于多少是 不能用极限的四则运算法则解得的，而通过对分子分母求导再求极限能够很有效 的计算出未定式的极限. 关于未定式：在计算一个分式函数的极限时，常常会遇到分子分母都趋于零或都趋于无穷 大的情况，由于这是无法使用“商的极限等于极限的商”的法则，运算将遇到很 大的困难.事实上，这是极限可能存在也可能不存在.当极限存在时极限值也会旳有各种各样的可能.我们称这种类型的极限为-未定型或未定型.事实上，未°°b > 0 ■，所以有b 0 a ，nnJlim 二=lim 竺x x, e'X二limHim 半X .； ： ,-0 .求lim x )0x m 0x0 (1 -cost)dt3x例 3 求极限 lim.x'.xf^dt ，其中0，f (x)为闭区间1.0,11上的连续函数.定型除以上两种类型外还有0.：二_：：, 1：, 00, ::0等类型. L ' Hospital 法则： 定理和若函数f 和g 满足：① lim f (x) = lim g(x) = 0 ；^Xo^^0② 在点X 的某空心邻域u 0(x 。
导数的简单应用与定积分(理)本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)理解并掌握求导公式和求导法则及定积分的计算公式及性质．(2)熟练掌握利用导数研究曲线切线问题、函数的单调性、极(最)值问题的方法和规律． 预测2019年命题热点为：(1)根据曲线的切线的斜率大小、方程或切线的性质求参数的取值问题．(2)利用导数研究含有参数的高次式、分式、指数式(主要含e x )，对数式(主要含ln x )及三角式(主要含sin x ，cos x )函数的单调性、极(最)值问题．Z 知识整合hi shi zheng he1．基本初等函数的八个导数公式(1)[f(x)±g(x)]′＝f_′(x)±g′(x).(2)[f(x)·g(x)]′＝f_′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x).(3)[f xg x]′＝f x g x f x g x[g x](g(x)≠0)．(4)(理)若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝a·y′u.3．切线的斜率函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，因此曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f_′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f_′(x0)(x－x0).4．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f_′(x0)>0(f_′(x0)<0)，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增(单调递减)．5．函数的极值设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点x，都有f(x)<f(x0)，那么f(x0)是函数的一个极大值，记作y 极大值＝f (x 0)；如果对x 0附近的所有的点都有f (x )>f (x 0)，那么f (x 0)是函数的一个极小值，记作y 极小值＝f (x 0)．极大值与极小值统称为极值．6．函数的最值将函数y ＝f (x )在[a ，b ]内的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．7．(理)(1)定积分的性质 ①⎠⎜⎛a b kf(x)d x ＝k ⎠⎜⎛ab f(x)d x ；②⎠⎜⎛a b [f 1(x)±f 2(x)]d x ＝⎠⎜⎛a b f 1(x)d x ±⎠⎜⎛ab f 2(x)d x ；③⎠⎜⎛ab f(x)d x ⎠⎜⎛ac f(x)d x ＋⎠⎜⎛cb f(x)d x(其中a<c<b)．(2)微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a ，b]上的连续函数，并且f ′(x)＝f(x)，那么⎠⎜⎛ab f(x)d x ＝F(b)－F(a)．Y 易错警示i cuo jing shi1．判断极值的条件掌握不清：利用导数判断函数的极值时，忽视“导数等于零，并且两侧导数的符号相反”这两个条件同时成立．2．混淆在点P 处的切线和过点P 的切线：前者点P 为切点，后者点P 不一定为切点，求解时应先设出切点坐标．3．关注函数的定义域：求函数的单调区间及极(最)值应先求定义域． (理)4.对复合函数求导法则用错．1．(2018·全国卷Ⅰ，5)设函数f ()x ＝x 3＋()a －1x 2＋ax .若f ()x 为奇函数，则曲线y ＝f ()x 在点()0，0处的切线方程为( D )A．y＝－2x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝x[解析]因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(0)＝1，所以切线方程为y＝x.2．(2017·全国卷Ⅱ，11)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1的极值点，则f(x)的极小值是( A )A．－1 B．－2e－3C．5e－3D．1[解析]函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1则f′(x)＝(2x＋a)e x－1＋(x2＋ax－1)·e x－1＝e x－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]．由x＝－2是函数f(x)的极值点得f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，所以a＝－1.所以f(x)＝(x2－x－1)e x－1，f′(x)＝e x－1·(x2＋x－2)．由e x－1>0恒成立，得x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且x<－2时，f′(x)>0；－2<x<1时，f′(x)<0；x>1时，f′(x)>0.所以x＝1是函数f(x)的极小值点．所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.故选A．3．(2017·浙江卷，7)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( D )[解析] 观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增． 观察选项可知，排除A ，C ．如图所示，f ′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点，且x 2>0，故选项D 确，故选D ．4．(文)(2018·全国卷Ⅱ，13)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为y ＝2x －2. [解析] y ′＝2x ，k ＝21＝2，所以切线方程为y －0＝2(x －1)即y ＝2x －2.(理)(2018·全国卷Ⅱ，13)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x . [解析] y ′＝2x ＋1，k ＝20＋1＝2， 所以切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x .5．(2018·天津卷，10)已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为e. [解析] 因为f (x )＝e x ln x ，所以f ′(x )＝(e x ln x )′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ·ln x ＋e x ·1x，f ′(1)＝e 1·ln 1＋e 1·11＝e. 6．(2018·江苏卷，11)若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值的和为－3.[解析] 令f (x )＝2x 3－ax 2＋1＝0⇒a ＝2x ＋1x 2，令g (x )＝2x ＋1x 2，g ′(x )＝2－2x3>0⇒x >1⇒g (x )在(0,1)上单调减，在(1，＋∞)上单调增．因为有唯一零点，所以a ＝g (1)＝2＋1＝3⇒f (x )＝2x 3－3x 2＋1， 求导可知在[－1,1]上，f (x )min ＝f (－1)＝－4，f (x )max ＝f (0)＝1，所以f (x )min ＋f (x )max ＝－3.7．(文)(2018·北京卷，19)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求a ； (2)若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围． [解析] (1)因为f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ，f ′(2)＝(2a －1)e 2， 由题设知f ′(2)＝0，即(2a －1)e 2＝0，解得a ＝12.(2)方法一：由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x若a >1，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1时，f ′(x )<0.当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0,1)时，ax －1≤x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)． 方法二：f ′(x )＝(ax －1)(x －1)e x . ①当a ＝0时，令f ′(x )＝0得x ＝1.f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以f (x )在②当a >0时，令f ′(x )＝0得x 1＝1a，x 2＝1.(ⅰ)当x 1＝x 2，即a ＝1时，f ′(x )＝(x －1)2e x ≥0， 所以f (x )在R 上单调递增， 所以f (x )无极值，不合题意．(ⅱ)当x 1>x 2，即0<a <1时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：(ⅲ)当x 1<x 2，即a >1时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：③当a <0时，令f ′(x )＝0得x 1＝1a，x 2＝1.f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：综上所述，a 的取值范围为(1，＋∞)．(理)(2018·北京卷，18)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . (1)若曲线y ＝ f (x )在点(1，f (1))处的切线方程与x 轴平行，求a ； (2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围． [解析] (1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，所以f ′(x )＝[2ax －(4a ＋1)]e x ＋[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0，所以a 的值为1. (2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值． 若a ≤12，则当x ∈(0,2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是(12，＋∞)．8．(文)(2018·天津卷，20(1)(2))设函数f (x )＝(x －t 1)(x －t 2)(x －t 3)，其中t 1，t 2，t 3∈R ，且t 1，t 2，t 3是公差为d 的等差数列．(1)若t 2＝0，d ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)若d ＝3，求f (x )的极值．[解析] (1)由已知，可得f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＝x 3－x ，故f ′(x )＝3x 2－1，因此f (0)＝0，f ′(0)＝－1，又因为曲线y ＝f (x )在点(0, f (0))处的切线方程为y －f (0)＝f ′(0)(x －0)，故所求切线方程为x ＋y ＝0.(2)由已知可得f (x )＝(x －t 2＋3)( x －t 2) (x －t 2－3) ＝( x －t 2)3－9 ( x －t 2)＝x 3－3t 2x 2＋(3t 22－9)x － t 32＋9t 2. 故f ′(x )＝3x 2－6t 2x ＋3t 22－9. 令f ′(x )＝0，解得x ＝ t 2－3，或x ＝ t 2＋3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：＋3)＝(3)3－9×3＝－63.(理)(2018·天津卷，20(1)(2))已知函数f (x )＝a x ，g (x )＝log a x ，其中a >1. (1)求函数h (x )＝f (x )－x ln a 的单调区间；(2)若曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))处的切线与曲线y ＝g (x )在点(x 2，g (x 2))处的切线平行，证明x 1＋g (x 2)＝－2ln ln a ln a.[解析] (1)由已知，h (x )＝a x －x ln a ，有h ′(x )＝a x ln a －ln a . 令h ′(x )＝0，解得x ＝0.由a >1，可知当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如表：所以函数(2)由f′(x)＝a x ln a，可得曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线斜率为ax1ln a.由g′(x)＝1x ln a，可得曲线y＝g(x)在点(x2，g(x2))处的切线斜率为1x2ln a.因为这两条切线平行，故有ax1ln a＝1x2ln a，即x2ax1(ln a)2＝1.两边取以a为底的对数，得log a x2＋x1＋2log a(ln a)＝0，所以x1＋g(x2)＝－2ln ln aln a.。
导数的应用题型一 运用导数证明不等式问题例1 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.设f (x )＝ax＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ； (2)如果对任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围．题型二 利用导数研究恒成立问题 例2 已知函数f (x )＝ln x －a x.(1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求a 的值；(3)若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．已知函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对x ∈(0,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围是__________．题型三 生活中的优化问题例3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5 (0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．现需要对某旅游景点进一步改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x 万元之间满足：y ＝5150x －ax 2－ln x 10，x 2x －12∈[t ，＋∞)，其中t 为大于12的常数．当x ＝10时，y ＝9.2.(1)求y ＝f (x )的解析式和投入x 的取值范围；(2)求旅游增加值y 取得最大值时对应的x 值．题型四 导数与不等式的综合问题例4 设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤2x －2.变式训练4 已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若a ＝1，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(3)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图像在函数g (x )＝23x 3的图像的下方．1． 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)2． 曲线y ＝f (x )＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.94e 2 B ．2e 2C ．e 2D.e 223． 已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋ln x 是单调递增函数，则m 的取值范围是( )A ．m >－2 2B ．m ≥－2 2C ．m <2 2D ．m ≤2 24． 某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的年关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)，80 000 (x >400)，则总利润最大时，每年生产的产品是 ( )A ．100B ．150C ．200D ．300 5． 函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( )A.⎣⎡⎦⎤12，12e π2B.⎝⎛⎭⎫12，12e π2 C ．[1，e π2]D ．(1，e π2)6． 若函数f (x )＝x x 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为 ( )A.33B. 3C.3＋1D.3－17． 已知对任意x ∈R ，恒有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且当x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则当x <0时有 ( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0 8． 已知函数f (x )＝1－xax＋ln x ，若函数f (x )在[1，＋∞)上是增加的，则正实数a 的取值范围为________．9． 已知函数f (x )＝x 2(x －a )．若f (x )在(2,3)上单调，则实数a 的取值范围是____________________；若f (x )在(2,3)上不单调，则实数a 的取值范围是__________________________．.10. 如图，水波的半径以50 cm/s 的速度向外扩张，当半径为250 cm 时，水波面的圆面积的膨胀率是____________ cm 2/s.11． 若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为________．12． 若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________． 13． 若f (x )＝ln xx，0<a <b <e ，则f (a )、f (b )的大小关系为________．14． 从边长为10 cm ×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________．15． 设P 为曲线C ：y ＝f (x )＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是__________．16． 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________． 17．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数m 的取值范围．18．某汽运集团公司生产一种品牌汽车，上年度成本价为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5万辆．本年度公司为了进一步扩大市场占有量，计划降低成本，实行降价销售．设本年度成本价比上年度降低了x (0<x <1)，本年度出厂价比上年度降低了0.9x .(1)若本年度年销售量比上年度增加了0.6x 倍，问x 在什么取值范围时，本年度的年利润比上年度有所增加？(2)若本年度年销售量y 关于x 的函数为y ＝2 011·⎝⎛⎭⎫－x 2＋5934x ＋307289，则当x 为何值时，本年度年利润最大？19．已知a ∈R ，函数f (x )＝4x 3－2ax ＋a .(1)求f (x )的单调区间；(2)证明：当0≤x ≤1时，f (x )＋|2－a |>0.20．已知函数f (x )＝a x ＋x 2，g (x )＝x ln a ，a >1.(1)求证函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)若函数y ＝⎪⎪⎪⎪F (x )－b ＋1b －3有四个零点，求b 的取值范围； (3)若对于任意的x 1，x 2∈[－1,1]时，都有|F (x 2)－F (x 1)|≤e 2－2恒成立，求a 的取值范围．导数的应用1． 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )； (2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答． 2． 不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题． 题型一 运用导数证明不等式问题例1 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.思维启迪：证明不等式时要构造函数，利用函数的单调性来解题．(1)解 由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2， 于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2]，单调递增区间是[ln 2，＋∞)，f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )． (2)证明 设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ，于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . 由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )的最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 上是增加的．于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)．而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )>0. 即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.探究提高 利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h (x )>0，其中一个重要技巧就是找到函数h (x )在什么时候可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口．【训练3】 设f (x )＝ax＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ； (2)如果对任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围．解 (1)存在x 1，x 2∈[0,2]，使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于：[g (x 1)－g (x 2)]max ≥M ， g (x )＝x 3－x 2－3，g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x ⎝⎛⎭⎫x －23，由g ′(x )＝0，得x ＝0或23. 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表↘↗ 由上表可知：g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫23＝－8527，g (x )max ＝g (2)＝1，[g (x 1)－g (x 2)]max ＝g (x )max －g (x )min＝11227≥M ， 所以满足条件的最大整数M ＝4.(2)对任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立．等价于：在区间⎣⎡⎦⎤12，2上，函数f (x )的最小值不小于g (x )的最大值，由(1)知，在区间⎣⎡⎦⎤12，2上，g (x )的最大值为g (2)＝1.∴f (x )min ≥1.又∵f (1)＝a ，∴a ≥1. 下面证当a ≥1时，在区间⎣⎡⎦⎤12，2上，函数f (x )≥1恒成立．当a ≥1且x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f (x )＝a x ＋x ln x ≥1x ＋x ln x ，记h (x )＝1x ＋x ln x ，h ′(x )＝－1x 2＋ln x ＋1，h ′(1)＝0， 当x ∈⎣⎡⎭⎫12，1时，h ′(x )＝－1x 2＋ln x ＋1<0；当x ∈(1,2]时，h ′(x )＝－1x2＋ln x ＋1>0. 所以函数h (x )＝1x ＋x ln x 在区间⎣⎡⎭⎫12，1上递减，在区间(1,2]上递增，h (x )min ＝h (1)＝1，即h (x )≥1. 所以当a ≥1且x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f (x )≥1恒成立，即对任意s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2都有f (s )≥g (t ). 题型二 利用导数研究恒成立问题 例2 已知函数f (x )＝ln x －ax.(1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求a 的值；(3)若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．思维启迪：(1)求导数f ′(x )→判断f ′(x )>0或f ′(x )<0→确定单调性． (2)根据单调性→求f (x )在[1，e]上的最小值→列方程求解． (3)f (x )<x 2→a >x ln x －x 3→求x ln x －x 3的最大值．解 (1)由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax 2.∵a >0，∴f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上是增加的． (2)由(1)可知，f ′(x )＝x ＋ax2.①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上是增加的， ∴f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，∴a ＝－32(舍去)．②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上是减少的， ∴f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，∴a ＝－e2(舍去)．③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0得x ＝－a ，当1<x <－a 时，f ′(x )<0，∴f (x )在(1，－a )上是减少的； 当－a <x <e 时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－a ，e)上是增加的，∴f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32，∴a ＝－ e.综上所述，a ＝－ e.(3)∵f (x )<x 2，∴ln x －ax <x 2.又x >0，∴a >x ln x －x 3.令g (x )＝x ln x －x 3，h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2，h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x .∵x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0，∴h (x )在(1，＋∞)上是减少的．∴h (x )<h (1)＝－2<0，即g ′(x )<0，∴g (x )在(1，＋∞)上也是减少的．g (x )<g (1)＝－1， ∴当a ≥－1时，f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立．探究提高 (1)求函数的单调区间，直接求导，然后解不等式即可，注意函数的定义域．(2)参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的运用．已知函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对x ∈(0,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围是__________．答案 [4，＋∞)解析 当x ∈(0,1]时不等式ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x －1x 3，设g (x )＝3x －1x 3，x ∈(0,1]， g ′(x )＝3x 3－(3x －1)(3x 2)x 6＝－6⎝⎛⎭⎫x －12x 4，g ′(x )与g (x )随x 的变化情况如下表： 因此g (x )的最大值为4，则实数a 的取值范围是[4，＋∞)． 题型三 生活中的优化问题例3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5 (0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．思维启迪：(1)考虑求解C (x )＝k3x ＋5中的参数k 的值，注意C (0)＝8.(2)由导数求最值，注意考虑定义域．解 (1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年的能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5 (0≤x ≤10)．再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5(0≤x ≤10)．又建造费用为C 1(x )＝6x . 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2，令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6.解得x ＝5或x ＝－253(舍去)． 当0<x <5时，f ′(x )<0，当5<x <10时，f ′(x )>0，故x ＝5是f (x )的极小值点也是最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．现需要对某旅游景点进一步改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x 万元之间满足：y ＝5150x －ax 2－ln x 10，x 2x －12∈[t ，＋∞)，其中t 为大于12的常数．当x ＝10时，y ＝9.2.(1)求y ＝f (x )的解析式和投入x 的取值范围； (2)求旅游增加值y 取得最大值时对应的x 值．解 (1)∵当x ＝10时，y ＝9.2，即5150×10－a ×102－ln 1＝9.2，解得a ＝1100.∴f (x )＝5150x －x 2100－ln x 10.∵x 2x －12≥t 且t >12，∴6<x ≤12t 2t －1，即投入x 的取值范围是⎝⎛⎦⎤6，12t 2t －1. (2)对f (x )求导，得f ′(x )＝5150－x 50－1x ＝－x 2－51x ＋5050x ＝－(x －1)(x －50)50x .令f ′(x )＝0，得x ＝50或x ＝1(舍去)．当x ∈(6,50)时，f ′(x )>0，且f (x )在(6,50]上连续，因此，f (x )在(6,50]上是增加的；当x ∈(50，＋∞)时，f ′(x )<0，且f (x )在[50，＋∞)上连续，因此，f (x )在[50，＋∞)上是减少的． ∴x ＝50为极大值点．当12t2t －1≥50，即t ∈⎝⎛⎦⎤12，2544时，投入50万元改造时取得最大增加值； 当6<12t 2t －1<50，即t ∈⎝⎛⎭⎫2544，＋∞时，投入12t2t －1万元改造时取得最大增加值． 题型四 导数与不等式的综合问题例4 (12分)(2011·辽宁)设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤2x －2.考点分析 本题考查曲线的切线、导数的几何意义，考查函数在闭区间上的最值．解题策略 本题的关键点：P (1,0)点处切线斜率为2，可以列方程解出a ，b ；证明不等式时可以构造函数，利用函数的单调性来证明不等式．(1)解 f ′(x )＝1＋2ax ＋bx .[1分]由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0，f ′(1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.[4分](2)证明 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x .设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ，则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－(x －1)(2x ＋3)x .[8分]当0<x <1时，g ′(x )>0，当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上是增加的，在(1，＋∞)上是减少的．[10分] 而g (1)＝0，故当x >0时，g (x )≤0，即f (x )≤2x －2.[12分]解后反思 利用函数的导数研究不等式问题是一类重要的题型，其实质是求函数的最值问题，它体现了导数的工具性作用．将函数、不等式紧密结合起来，考查综合解决问题的能力，多为高考中较难的题目． 变式训练4 (12分)已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若a ＝1，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(3)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图像在函数g (x )＝23x 3的图像的下方．(1)解 由于函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x，[1分]令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－1(舍去)，[2分]当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，因此函数f (x )在(0,1)上是减少的，[3分] 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此函数f (x )在(1，＋∞)上是增加的，[4分] 所以f (x )在x ＝1处取得极小值为12.[5分](2)解 当a ＝1时，易知函数f (x )在[1，e]上是增加的，[6分]∴f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (e)＝12e 2＋1.[7分](3)证明 设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝(1－x )(1＋x ＋2x 2)x ，[9分]当x >1时，F ′(x )<0，故f (x )在区间[1，＋∞)上是减少的，又F (1)＝－16<0，∴在区间[1，＋∞)上，F (x )<0恒成立．即f (x )<g (x )恒成立．[11分]因此，当a ＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图像在函数g (x )图像的下方．[12分]温馨提醒 (1)导数法是求解函数单调性、极值、最值、参数等问题的有效方法，应用导数求单调区间关键是求解不等式的解集；最值问题关键在于比较极值与端点函数值的大小；参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的应用．(2)对于一些复杂问题，要善于将问题转化，转化成能用熟知的导数研究问题．1． 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)答案 B 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0.∴a >6或a <－3.2． 曲线y ＝f (x )＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.94e 2 B ．2e 2C ．e 2D.e 22答案 D 解析 ∵点(2，e 2)在曲线上，∴切线的斜率k ＝f ′(2)＝e 2，∴切线的方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即e 2x －y －e 2＝0.与两坐标轴的交点坐标为(0，－e 2)，(1,0)， ∴S △＝12×1×e 2＝e 22.3． 已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋ln x 是单调递增函数，则m 的取值范围是( )A ．m >－2 2B ．m ≥－2 2C ．m <2 2D ．m ≤2 2答案 B 解析 依题意知，x >0，f ′(x )＝2x 2＋mx ＋1x ，令g (x )＝2x 2＋mx ＋1，x ∈(0，＋∞)，当－m 4≤0时，g (0)＝1>0恒成立，∴m ≥0成立，当－m4>0时，则Δ＝m 2－8≤0，∴－22≤m <0，综上，m 的取值范围是m ≥－2 2.4． 某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的年关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)，80 000 (x >400)，则总利润最大时，每年生产的产品是 ( )A ．100B ．150C ．200D ．300答案 D 解析 由题意得，总成本函数为C ＝C (x )＝20 000＋100x ，总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000 (0≤x ≤400)，60 000－100x (x >400)，又P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x (0≤x ≤400)，－100 (x >400)，令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时，总利润P (x )最大． 5． 函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( )A.⎣⎡⎦⎤12，12e π2B.⎝⎛⎭⎫12，12e π2 C ．[1，e π2]D ．(1，e π2)答案 A 解析 f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e x cos x ，当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，且只有在x ＝π2时，f ′(x )＝0，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增加的， ∴f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝12e π2，f (x )的最小值为f (0)＝12.∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，12e π2. 6． 若函数f (x )＝x x 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为 ( )A.33B. 3C.3＋1D.3－1答案 D 解析 f ′(x )＝x 2＋a －2x 2(x 2＋a )2＝a －x 2(x 2＋a )2，当x >a 时，f ′(x )<0，因此f (x )在此区间上是减少的， 当－a <x <a 时，f ′(x )>0，因此f (x )在此区间上是增加的， 当x ＝a 时，令f (x )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意． ∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，a ＝3－1，故选D. 7． 已知对任意x ∈R ，恒有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且当x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则当x <0时有 ( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0 答案 B 解析 由f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，知f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．又x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0， 由奇、偶函数的性质知，当x <0时，f ′(x )>0，g ′(x )<0.8． 已知函数f (x )＝1－x ax＋ln x ，若函数f (x )在[1，＋∞)上是增加的，则正实数a 的取值范围为________．答案 [1，＋∞)解析 ∵f (x )＝1－x ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝ax －1ax 2(a >0)， ∵函数f (x )在[1，＋∞)上是增加的，∴f ′(x )＝ax －1ax 2≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立，∴ax －1≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立，即a ≥1x 对x ∈[1，＋∞)恒成立，∴a ≥1.9． 已知函数f (x )＝x 2(x －a )．若f (x )在(2,3)上单调，则实数a 的取值范围是____________________；若f (x )在(2,3)上不单调，则实数a 的取值范围是__________________________．答案 (－∞，3]∪⎣⎡⎭⎫92，＋∞ ⎝⎛⎭⎫3，92 解析 f ′(x )＝3x 2－2ax ，若f ′(x )在(2,3)上单调，则f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(2,3)上恒成立， ∴a ≤32x 或a ≥32x .∵x ∈(2,3)，∴a ≤3或a ≥92.10. 如图，水波的半径以50 cm/s 的速度向外扩张，当半径为250 cm 时，水波面的圆面积的膨胀率是____________ cm 2/s.答案 25 000π 解析 设时间t 时，水波圆的半径、面积分别为r 、s ，则r ＝50t ，S ＝πr 2＝π·(50t )2＝2 500πt 2，则S ′＝5 000πt ，而r ＝250时，t ＝5，故S ′(5)＝25 000π(cm 2/s)． 11． 若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为________．答案 [－1,1]解析 ∵f ′(x )＝1＋a cos x ，∴要使函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则1＋a cos x ≥0对任意实数x 都成立．∵－1≤cos x ≤1，①当a >0时，－a ≤a cos x ≤a ，∴－a ≥－1，∴0<a ≤1；②当a ＝0时适合；③当a <0时，a ≤a cos x ≤－a ，∴a ≥－1，∴－1≤a <0.综上，－1≤a ≤1. 12． 若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________．答案 (－2,2)解析 由于函数f (x )是连续的，故只需要两个极值异号即可．f ′(x )＝3x 2－3，令3x 2－3＝0， 得x ＝±1，只需f (－1)·f (1)<0，即(a ＋2)(a －2)<0，故a ∈(－2,2)． 13． 若f (x )＝ln xx，0<a <b <e ，则f (a )、f (b )的大小关系为________．答案 f (a )<f (b )解析 f ′(x )＝1－ln x x 2，∵0<a <b <e ，∴1－ln xx 2>0，即f ′(x )>0，∴f (x )为增函数，∴f (a )<f (b )． 14． 从边长为10 cm ×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________．答案 144 cm 3解析 设盒子容积为y cm 3，盒子的高为x cm.则y ＝(10－2x )(16－2x )x (0<x <5)＝4x 3－52x 2＋160x ， ∴y ′＝12x 2－104x ＋160.令y ′＝0，得x ＝2或203(舍去)，∴y max ＝6×12×2＝144(cm 3)．15． 设P 为曲线C ：y ＝f (x )＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是__________．答案 ⎣⎡⎦⎤34，3解析 设P (a ，a 2－a ＋1)，则f ′(x )＝2a －1∈[－1,3]，∴0≤a ≤2.而g (a )＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34， 当a ＝12时，g (a )min ＝34.当a ＝2时，g (a )max ＝3，故P 点纵坐标的取值范围是⎣⎡⎦⎤34，3. 16． 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________．答案 －13解析 对函数f (x )求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0， 即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在(－1,0)上是减少的，在(0,1)上是增加的，∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图像开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时， f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.17． (12分)(2013·温州五校联考)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意，f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b －3＝0，3a －2b －3＝0，解得a ＝1，b ＝0.∴f (x )＝x 3－3x . (2)由(1)知f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∵曲线方程为y ＝x 3－3x ，∴点A (1，m )(m ≠－2)不在曲线上．设切点为M (x 0，y 0)，则点M 的坐标满足y 0＝x 30－3x 0.∵f ′(x 0)＝3(x 20－1)，∴切线的斜率为3(x 20－1)＝x 30－3x 0－m x 0－1，整理得2x 30－3x 20＋m ＋3＝0.∵过点A (1，m )可作曲线的三条切线，∴关于x 0的方程2x 30－3x 20＋m ＋3＝0有三个实根． 设g (x 0)＝2x 30－3x 20＋m ＋3，则g ′(x 0)＝6x 20－6x 0，由g ′(x 0)＝0，得x 0＝0或1.∴g (x 0)在(－∞，0)和(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减．∴函数g (x 0)＝2x 30－3x 20＋m ＋3的极值点为x 0＝0和1.∴关于x 0的方程2x 30－3x 20＋m ＋3＝0有三个实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0，g (1)<0，解得－3<m <－2.故所求实数m 的取值范围是(－3，－2)．18． (12分)某汽运集团公司生产一种品牌汽车，上年度成本价为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5万辆．本年度公司为了进一步扩大市场占有量，计划降低成本，实行降价销售．设本年度成本价比上年度降低了x (0<x <1)，本年度出厂价比上年度降低了0.9x .(1)若本年度年销售量比上年度增加了0.6x 倍，问x 在什么取值范围时，本年度的年利润比上年度有所增加？(2)若本年度年销售量y 关于x 的函数为y ＝2 011·⎝⎛⎭⎫－x 2＋5934x ＋307289，则当x 为何值时，本年度年利润最大？ 解 (1)本年度年利润为[13(1－0.9x )－10(1－x )]×5×(1＋0.6x )＝5(3－1.7x )(1＋0.6x )． 要使本年度的年利润比上年度有所增加，则有5(3－1.7x )(1＋0.6x )>5×(13－10)．解得0<x <551.(2)本年度年利润为W (x )＝[13(1－0.9x )－10(1－x )]×2 011⎝⎛⎭⎫－x 2＋5934x ＋307289＝2 011⎝⎛⎭⎫1710x 3－11920x 2＋175x ＋921289. W ′(x )＝2 011⎝⎛⎭⎫5110x 2－11910x ＋175.令W ′(x )＝0，解得x 1＝13，x 2＝2.又0<x <1， 所以函数W (x )在⎝⎛⎦⎤0，13上为增函数，在⎣⎡⎭⎫13，1上为减函数． 故当x ＝13时，W (x )取得最大值，即当x ＝13时，本年度的年利润最大．19． (13分)(2012·浙江)已知a ∈R ，函数f (x )＝4x 3－2ax ＋a .(1)求f (x )的单调区间；(2)证明：当0≤x ≤1时，f (x )＋|2－a |>0.(1)解 由题意得f ′(x )＝12x 2－2a .当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 当a >0时，f ′(x )＝12⎝⎛⎭⎫x －a 6⎝⎛⎭⎫x ＋a 6，此时函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－a 6和⎣⎡⎭⎫a 6，＋∞， 单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－a6，a 6. (2)证明 由于0≤x ≤1，故当a ≤2时，f (x )＋|2－a |＝4x 3－2ax ＋2≥4x 3－4x ＋2. 当a >2时，f (x )＋|2－a |＝4x 3＋2a (1－x )－2≥4x 3＋4(1－x )－2＝4x 3－4x ＋2.设g (x )＝2x 3－2x ＋1,0≤x ≤1，则g ′(x )＝6x 2－2＝6⎝⎛⎭⎫x －33⎝⎛⎭⎫x ＋33， 于是g ′(x )，g (x )随x 的变化情况如下表：所以，g (x )min 4x ＋2>0.20．(13分)(2012·福州二模)已知函数f (x )＝a x ＋x 2，g (x )＝x ln a ，a >1.(1)求证函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)若函数y ＝⎪⎪⎪⎪F (x )－b ＋1b －3有四个零点，求b 的取值范围； (3)若对于任意的x 1，x 2∈[－1,1]时，都有|F (x 2)－F (x 1)|≤e 2－2恒成立，求a 的取值范围． (1)证明 ∵F (x )＝f (x )－g (x )＝a x ＋x 2－x ln a ，∴F ′(x )＝a x ·ln a ＋2x －ln a ＝(a x －1)ln a ＋2x . ∵a >1，x >0，∴a x －1>0，ln a >0,2x >0，∴当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )>0，即函数F (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．(2)解 由(1)知当x ∈(－∞，0)时，F ′(x )<0，∴F (x )在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． ∴F (x )取得最小值为F (0)＝1.由⎪⎪⎪⎪F (x )－b ＋1b －3＝0，得F (x )＝b －1b ＋3或F (x )＝b －1b －3， ∴要使函数y ＝⎪⎪⎪⎪F (x )－b ＋1b －3有四个零点，只需⎩⎨⎧b －1b＋3>1，b －1b－3>1，即b －1b >4，即b 2－4b －1b>0，解得b >2＋5或2－5<b <0.故b 的取值范围是(2－5，0)∪(2＋5，＋∞)．(3)解 ∵∀x 1，x 2∈[－1,1]，由(1)知F (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴F (x )min ＝F (0)＝1.从而再来比较F (－1)与F (1)的大小即可．F (－1)＝1a＋1＋ln a ，F (1)＝a ＋1－ln a ，∴F (1)－F (－1)＝a －1a －2ln a .令H (x )＝x －1x －2ln x (x >0)，则H ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝x 2－2x ＋1x 2＝(x －1)2x 2>0，∴H (x )在(0，＋∞)上单调递增．∵a >1，∴H (a )>H (1)＝0.∴F (1)>F (－1)．∴|F (x 2)－F (x 1)|的最大值为|F (1)－F (0)|＝a －ln a ，∴要使|F (x 2)－F (x 1)|≤e 2－2恒成立，只需a －ln a ≤e 2－2即可．令h (a )＝a －ln a (a >1)，h ′(a )＝1－1a >0，∴h (a )在(1，＋∞)上单调递增．∵h (e 2)＝e 2－2，∴只需h (a )≤h (e 2)，即1<a ≤e 2.故a 的取值范围是(1，e 2].。
