2.1 比较法 课件(人教A选修4-5)

法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对
差式进行分类讨论．
1．求证：a2＋b2≥2(a－b－1)； 证明：a2＋b2－2(a－b－1)
＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)． 2．已知a，b∈R＋，n∈N＋，
求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．
证明：∵(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1) ＝an＋1＋abn＋ban＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1
＝a(bn－an)＋b(an－bn)
＝(a－b)(bn－an)．
(1)若a>b>0时，bn－an<0，a－b＞0，
∴(a－b)(bn－an)<0. (2)若b>a>0时，bn－an>0，a－b<0. ∴(a－b)(bn－an)<0. (3)若a＝b>0时，(bn－an)(a－b)＝0.
方法二：a6＋b6－a4b2－a2b4
＝a4(a2－b2)＋b4(b2－a2) ＝(a2－b2)(a4－b4) ＝(a2－b2)2(a2＋b2) ∵a≠b，∴(a2－b2)2>0，a2＋b2>0.
∴(a2－b2)2(a2＋b2)>0.
∴a6＋b6>a4b2＋a2b4.
[例3]
甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，
应用不等式解决实际问题时， 关键是如何把 等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解 决．也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利
用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，
常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填 空题则可用特殊值加以判断．
5．某人乘出租车从A地到B地，有两种方案；第一种方案： 乘起步价为10元．每千米1.2元的出租车，第二种方案： 乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理 条例，在起步价内．不同型号的出租车行驶的路程是相 等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适？
1．作差比较法
(1)作差比较法的理论依据a－b>0⇔ a>b ，a－b<0⇔ a<b ， a－b＝0⇔ a＝b . (2)作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理， ③判定符号，④得出结论．
其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能
够直接判定差的符号 ，常用的手段有：因式分解，配方，通 分，分子或分母有理化等．
4．如果a，b都是正数，且a≠b，
求证a6＋b6>a4b2＋a2b4.
a6＋b6 证明：方法一：∵ 2 ab ＋a2b4 a2＋b2a4－a2b2＋b4 ＝ a2b2a2＋b2 a4＋b4－a2b2 ＝ a2b2 2a2b2－a2b2 > ＝1. a2b2 又 a6＋b6>0，a4b2＋a2b4>0 ∴a6＋b6>a4b2＋a2b4
2．作商比较法 (1)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质： a a >1 b<1 则 a<b； ①b>0，若 b ，则 a>b；若
a a >1 b b<1 则 a>b. ②b<0，若 则 a<b；若
(2)作商比较法解题的一般步骤：①判定 a，b 符号；② 作商；③变形整理；④判定 与1大小关系 ；⑤得出结论．
[例1]
设△ABC的三边长分别是a、b、c，求证：
4(ab＋bc＋ac)>(a＋b＋c)2. [思路点拨] 作差法证明，注意条件“在同一个三角形
中，任意两边之和大于第三边”的应用．
[证明] ∵a、b、c是△ABC的三边长．
∴a>0，b>0，c>0，且b＋c－a>0，c＋a－b>0，a＋b－c>0. ∴4(ab＋bc＋ac)－(a＋b＋c)2 ＝2(ab＋bc＋ac)－(a2＋b2＋c2) ＝(b＋c－a)a＋(c＋a－b)b＋(a＋b－c)c>0. ∴4(ab＋bc＋ac)>(a＋b＋c)2.
ab 2
>1.
ab 2
综上可知，对任意实数 a，b，都有 aabb≥(ab)
.
当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形 式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果 需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负， 且最后结果与1比较．
a2－b2 a－b 3．设 a>b>0，求证： 2 . 2> a ＋b a＋b
a2－b2 a－b 证明：法一： 2 － a ＋b2 a＋b a－b[a＋b2－a2＋b2] ＝ a2＋b2a＋b 2aba－b ＝ 2 2 >0， a ＋b a＋b 所以原不等式成立．
法二：∵a>b>0，故 a2>b2>0. 故左边>0，右边>0. 左边 a＋b2 2ab ∴ ＝ 2 2 ＝1＋ 2 2>1. 右边 a ＋b a ＋b ∴原不等式成立．程为a千米．
显然当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较便宜．
当m>a时，设m＝a＋x(x>0)，乘坐起步价为10元的出租车费用 为P(x)元．乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)＝
10＋1.2 x，
Q(x)＝8＋1.4x ∵P(x)－Q(x)＝2－0.2x＝0.2(10－x)
甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有
一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果
m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？ [思路点拨] 先用m、n表示甲、乙两人走完全程所用
时间，再进行比较．
[解]
设从出发地点至指定地点的路程为 s，甲、乙二人走
完这段路程所用的时间分别为 t1，t2 ，依题意有： t1 t1 m＋ n＝s， 2 2 s s ＋ ＝t . 2m 2n 2 sm＋n 2s ∴t1＝ ，t ＝ . 2mn m＋n 2 sm＋n 2s ∴t1－t2＝ － 2mn m＋n s[4mn－m＋n2] sm－n2 ＝ ＝－ . 2mnm＋n 2mnm＋n 其中 s，m，n 都是正数，且 m≠n， ∴t1－t2<0.即 t1<t2. 从而知甲比乙先到达指定地点．
∴当x>10时，P(x)<Q(x)此时选择起步价为10元的出租车较为
合适． 当x<10时，P(x)>Q(x)，此时选起步价为8元的出租车较为合适． 当x＝10时，P(x)＝Q(x)，两种出租车任选，费用相同．
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ab 2
>0，
ab 2
∴
(ab)
＝a
ab 2
· b
ab 2
a ＝(b)
.
a 当 a＝b 时，显然有(b)
ab 2
＝1；
a－b a 当 a>b>0 时，b>1， >0，所以由指数函数单调 2 a 性，有(b)
ab 2
>1；
a－b a 当 b>a>0 时，0<b<1， <0，所以由指数函数的 2 a 单调性，有(b)
(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的 目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多
少．
(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方， 可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．
(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”
的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形 式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方
综上(1)(2)(3)可知，对于a，b∈R＋，n∈N＋，都有(a＋b)
(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1).
[例 2]
设 a>0，b>0，求证：aabb≥(ab)
ab 2
.
[思路点拨]
不等式两端都是指数式，它们的值均为
正数，可考虑用求商比较法．
[证明]
a a bb
∵aabb>0，(ab)
ab 2