2020高考数学一轮复习课时分层训练54几何概型文北师大版

【30份】2020版高考数学北师大版（理）一轮复习课时规范练目录课时规范练1集合的概念与运算 (2)课时规范练2不等关系及简单不等式的解法 (5)课时规范练3命题及其关系、充要条件 (11)课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 (15)课时规范练5函数及其表示 (20)课时规范练6函数的单调性与最值 (24)课时规范练7函数的奇偶性与周期性 (30)课时规范练8幂函数与二次函数 (35)课时规范练9指数与指数函数 (40)课时规范练10对数与对数函数 (45)课时规范练11函数的图像 (50)课时规范练12函数与方程 (55)课时规范练13函数模型及其应用 (61)课时规范练14导数的概念及运算 (68)课时规范练15导数与函数的小综合 (72)课时规范练16定积分与微积分基本定理 (78)课时规范练17任意角、弧度制及任意角的三角函数 (82)课时规范练18同角三角函数的基本关系及诱导公式 (88)课时规范练19三角函数的图像与性质 (94)课时规范练20函数y=A sin(ωx+φ)的图像及应用 (102)课时规范练21两角和与差的正弦、余弦与正切公式 (112)课时规范练22三角恒等变换 (121)课时规范练23解三角形 (129)课时规范练24平面向量的概念及线性运算 (137)课时规范练25平面向量基本定理及向量的坐标表示 (143)课时规范练26平面向量的数量积与平面向量的应用 (149)课时规范练27数系的扩充与复数的引入 (154)课时规范练28数列的概念与表示 (158)课时规范练29等差数列及其前n项和 (163)课时规范练30等比数列及其前n项和 (169)2019年5月课时规范练1集合的概念与运算基础巩固组1.(2018厦门外国语学校一模,2)已知集合A={x|y=lg(x-1)},B={x||x|<2},则A∩B=()A.(-2,0)B.(0,2)C.(1,2)D.(-2,2)2.已知全集U=R,集合A={x|x<-2或x>2},则?U A=()A.(-2,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.[-2,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)3.(2018百校联盟四月联考,1)设集合A={-1,0,1,2},B={y|y=2x,x∈A},则A∪B中元素的个数为()A.5B.6C.7D.84.设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=()A.[2,3]B.(-∞,2]∪[3,+∞)C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)5.(2018北京101中学3月模拟,1)已知集合A={x|x(x-2)<0},B={x|ln x>0},则A∩B是()A.{x|x>0}B.{x|x>2}C.{x|1<x<2}D.{x|0<x<2}6.设集合M={-4,-3,-2,-1,0,1},N={x∈R|x2+3x<0},则M∩N=()A.{-3,-2,-1,0}B.{-2,-1,0}C.{-3,-2,-1}D.{-2,-1}7.(2018山东济南二模,1)设全集U=R,集合A={x|x-1≤0},集合B={x|x2-x-6<0},则下图中阴影部分表示的集合为()A.{x|x<3}B.{x|-3<x≤1}C.{x|x<2}D.{x|-2<x≤1}8.已知全集U=R,A={0,1,2,3},B={y|y=2x,x∈A},则(?U A)∩B=()A.(-∞,0)∪(3,+∞)B.{x|x>3,x∈N}C.{4,8}D.[4,8]9.(2018湖南衡阳一模,1)已知集合A={x|(x+1)(x-3)<0},B={x|y=ln x},则A∩B=()A.{0,3}B.(0,3)C.(-1,3)D.{-1,3}10.已知集合A={x|x(x-4)<0},B={0,1,5},则A∩B=.11.已知集合A={x|log2x≤2},B={x|x<a},若A?B,则实数a的取值范围是.12.设A,B是全集I={1,2,3,4}的子集,A={1,2},则满足A?B的B的个数为.综合提升组13.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x<a},若A?B,则实数a的取值范围是()A.(-1,+∞)B.[-1,+∞)C.(3,+∞)D.[3,+∞)14.(2018河北衡水中学十模,1)已知全集U=Z,A={0,1,2,3},B={x|x2=2x},则A∩(?U B)=()A.{1,3}B.{0,2}C.{0,1,3}D.{2}15.已知全集U=R,集合A={x|x(x+2)<0},B={x||x|≤1},则如图阴影部分表示的集合是()A.(-2,1)B.[-1,0]∪[1,2)C.(-2,-1)∪[0,1]D.[0,1]16.已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A?B,则实数a-b的取值范围是.创新应用组17.已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且A∪(?R B)=R,则实数a的取值范围是()A.a≤1B.a<1C.a≥2D.a>218.若集合A={x|x2+4x+k=0,x∈R}中只有一个元素,则实数k的值为.参考答案课时规范练1集合的概念与运算1.C由题意,可知A={x|x>1},B={x|-2<x<2},∴A∩B={x|1<x<2},表示为区间即(1,2),故选C.2.C因为A={x|x<-2或x>2},所以?U A={x|-2≤x≤2}.故选C.3.B因为A={-1,0,1,2},B=,所以A∪B=-1,0,,1,2,4,A∪B中元素的个数为 6.4.D由(x-2)(x-3)≥0,解得x≥３或x≤2,所以S={x|x≤２或x≥3}.因为T={x|x>0},所以S∩T={x|0<x≤２或x≥3},故选D.5.C由题意,集合A={x|x(x-2)<0}={x|0<x<2},B={x|ln x>0}={x|x>1},所以A∩B={x|1<x<2}.故选C.6.D集合M={-4,-3,-2,-1,0,1},N={x∈R|x2+3x<0}={x|-3<x<0},∴M∩N={-2,-1}.故选D.7.D由题意可得:A={x|x≤1},B={x|-2<x<3},∴A∩B={x|-2<x≤1},故选 D.8.C∵全集U=R,A={0,1,2,3},B={y|y=2x,x∈A}={1,2,4,8},∴(?U A)∩B={4,8}.故选 C.9.B A={x|-1<x<3},B={x|x>0},所以A∩B=(0,3),故选 B.10.{1}A={x|x(x-4)<0}=(0,4),所以A∩B={1}.11.(4,+∞)由log2x≤2,得0<x≤4,即A={x|0<x≤4},而B={x|x<a},由于A?B,则a>4.12.4因为A={1,2}且A?B,所以B={1,2}或B={1,2,3}或B={1,2,4}或B={1,2,3,4}.13.C由题意,A=[-1,3],B=(-∞,a),∵A?B,∴a>3,∴a的取值范围是(3,+∞).14.A∵全集U=Z,A={0,1,2,3},B={x|x2=2x},∴?U B={x|x∈Z,且x≠0,且x≠2},∴A∩（?U B)={1,3}.故选 A.A∪B).15.C由题意可知阴影部分对应的集合为(?U(A∩B))∩（∵A={x|-2<x<0},B={x|-1≤x≤1},∴A∩B={x|-1≤x<0},A∪B={x|-2<x≤1},∵?U(A∩B)={x|x<-1或x≥0},∴(?U(A∩B))∩（A∪B)={x|0≤x≤１或-2<x<-1}.故选 C.16.(-∞,-2]集合A={x|4≤２x≤16}={x|22≤２x≤２4}={x|2≤x≤4}=[2,4].因为A?B,所以a≤2,b≥４.所以a-b≤２-4=-2.故实数a-b的取值范围是(-∞,-2].17.C∵A∪(?R B)=R,∴B?A,∴a≥2,故选C.18.4由题意x2+4x+k=0有两个相等的实根,∴Δ＝16-4k=0,解得k=4.2019年5月课时规范练2不等关系及简单不等式的解法基础巩固组1.已知a,b∈R,下列命题正确的是()A.若a>b,则|a|>|b|B.若a>b,则C.若|a|>b,则a2>b2D.若a>|b|,则a2>b22.函数f(x)=的定义域是()A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.(1,3)C.(-∞,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,3)3.已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系为()A.a<b≤cB.b≤c<aC.b<c<aD.b<a<c4.使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件是()A.x≥0B.x<0或x>2C.x∈{-1,3,5}D.x≤-或x≥35.若函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围为()A.[-4,0]B.[-4,0)C.(-4,0)D.(-∞,4]∪{0}。

教学资料范本2020高考数学一轮复习课时分层训练1集合理北师大版-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx最新高考数学一轮复习课时分层训练1集合理北师大版A组基础达标一、选择题1．(20xx·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )A．3 B．2C．1 D．0B [集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．结合图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.故选B.]2．设集合M＝{x|x2－2x－3＜0，x∈Z}，则集合M的真子集个数为( )【导学号：79140003】A．8 B．7C．4 D．3B [依题意，M＝{x|(x＋1)·(x－3)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}＝{0,1,2}，因此集合M的真子集个数为23－1＝7，故选B.]3．(20xx·重庆调研(二))已知集合A＝{a，a2}，B＝{1}，若B⊆A，则实数a＝( )A．－1 B．0C．1 D．2A [因为B⊆A，所以a＝1或a2＝1，且a≠a2，解得a＝－1，故选A.]4．(20xx·长春模拟(二))若集合M＝{1,3}，N＝{1,3,5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4D [由M∪X＝N得集合X中必有元素5，则X＝{5}或{1,5}或{3,5}或{1,3,5}，共4个，故选D.]5．已知全集U＝Z，P＝{－2，－1,1,2}，Q＝{x|x2－3x＋2＝0}，则图1­1­2中阴影部分表示的集合为( )图1­1­2B．{1,2}A．{－1，－2}D．{－1,2}C．{－2,1}A [因为Q＝{1,2}，所以P∩(∁UQ)＝{－1，－2}，故选A.] 6．(20xx·南昌一模)已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg x}，集合B ＝{y|y＝＋1}，那么A∩(∁UB)＝( )A．∅B．(0,1]C．(0,1) D．(1，＋∞)C [因为A＝(0，＋∞)，B＝[1，＋∞)，所以A∩(∁UB)＝(0,1)，故选C.]7．若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A．1 B．3C．7 D．31B [具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，.]二、填空题8．(20xx·江苏高考)已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B ＝{1}，则实数a的值为________．1 [∵A∩B＝{1}，A＝{1,2}，∴1∈B且2∉B.若a＝1，则a2＋3＝4，符合题意．又a2＋3≥3≠1，故a＝1.]9．已知集合A＝{x|x2－2x＋a＞0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________.【导学号：79140004】(－∞，1] [∵1∉{x|x2－2x＋a＞0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.]10．已知A＝{x|x2－3x＋2＜0}，B＝{x|1＜x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．[2，＋∞)[因为A＝{x|x2－3x＋2＜0}＝{x|1＜x＜2}⊆B，所以a≥2.]B组能力提升11．(20xx·辽宁五校模拟)已知集合P＝{x|x2－2x－8＞0}，Q＝{x|x≥a}，P∪Q＝R，则a的取值范围是( )A. (－2，＋∞)B．( 4，＋∞)C．(－∞，－2] D．(－∞，4]C [集合P＝{x|x2－2x－8＞0}＝{x|x＜－2或x＞4}，Q＝{x|x≥a}，若P∪Q＝R，则a≤－2，即a的取值范围是(－∞，－2]，故选C.]12．设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cos x，x∈R}，则图1­1­3中阴影部分表示的区间是( )图1­1­3A．[0,1]B．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C．[－1,2]D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D [A＝{x|x2－2x≤0}＝[0,2]，B＝{y|y＝cos x，x∈R}＝[－1,1]．图中阴影部分表示∁U(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．] 13．已知集合A＝{x|x2－3x＜0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是( )【导学号：79140005】A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)B [∵A∩B有4个子集，∴A∩B中有2个不同的元素，∴a∈A，∴a2－3a＜0，解得0＜a＜3且a≠1，即实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.]14．已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018＜0}，B＝{x|log2x＜m}，若A⊆B，则整数m的最小值是( )A．0 B．1C．11 D．12C [由x2－2 019x＋2 018＜0，解得1＜x＜2 018，故A＝{x|1＜x＜2 018}．由log2x＜m，解得0＜x＜2m，故B＝{x|0＜x＜2m}．由A⊆B，可得2m≥2 018，因为210＝1 024,211＝2 048，所以整数m的最小值为11.]15．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．6 [符合题意的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．]16．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________.【导学号：79140006】(－∞，－2] [集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．]。

听课手册第54讲几何概型1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称.2.几何概型的两个基本特点(1)无限性:在一次试验中可能出现的结果;(2)等可能性:每个试验结果的发生具有.3.几何概型的概率公式P(A)=构成事件的区域长度 面积或体积.试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积4.随机模拟方法(1)概念:使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出随机事件概率近似值的方法就是模拟方法.(2)随机模拟方法的基本步骤①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义;②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N;③计算频率f n(A)=作为所求概率的近似值.题组一常识题1.[教材改编]在长为6 m的木棒AB上任取一点P,则点P到木棒两端点的距离都大于2 m 的概率是.2.[教材改编]如图9-54-1所示,有四个游戏盘,将它们水平放稳后,分别在上面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分,则可中奖.在B图中,中奖的概率为;要想得到最大中奖机会,应选择的游戏盘是.图9-54-1图9-54-23.[教材改编]为了测算如图9-54-2所示阴影部分的面积,作一个边长为6的正方形将其包含在内,并向正方形内随机投掷800个点,已知恰有200个点落在阴影部分,据此,可估计阴影部分的面积是.4.[教材改编]设不等式组表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率为.题组二常错题◆索引:易混淆几何概型与古典概型;几何概型的测度选择不正确.5.在区间[-2,4]上随机地取一个整数x,则x满足|x|≤2的概率为;在区间[-2,4]上随机地取一个实数x,则x满足|x|≤2的概率为.6.若正方形ABCD的边长为2,E为边上任意一点,则AE的长度大于的概率为.7.如图9-54-3所示,在Rt△ABC中,A=30°,过直角顶点C作射线CM交线段AB于点M,则AM>AC的概率为;在线段AB上任取一点M,则AM>AC的概率为.图9-54-3[总结反思] 用随机模拟方法估算不规则图形A的面积的一般步骤:(1)利用几何概型得到点落在A内的概率P=,利用随机模拟方法得到点落在A内的频率f=;(2)由频率估计概率得到≈,进而估算出不规则图形A的面积S A.变式题[2018·大连二模]关于圆周率π 数学发展史上出现过许多很有创意的求法.我们可以通过设计下面的试验来估计π的值,试验步骤如下:①先请高二年级500名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x,y)(0<x<1,0<y<1);②若卡片上的(x,y)能与1构成锐角三角形,则将此卡片上交;③统计上交的卡片数,记为m;④根据统计数m估计π的值.假如本次试验的统计结果是m=113,那么可以估计π的值约为 ()A.B.C.D.探究点二与长度、角度有关的几何概型例2 (1)[2018·山东实验中学月考]《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”图9-54-5问题:“今有池方一丈, 葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是:“有一水池一丈见方,池中心生有一棵类似芦苇的植物,露出水面一尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐(如图9-54-5所示),问水有多深,该植物有多长?”其中一丈为十尺.若从该植物上随机取一点,则该点取自水下的概率为()A. B.C.D.(2)[2018·大连一模]已知半径为R的圆上有一定点A,在圆上等可能地任意取一点与点A 连接,则所得弦长小于R的概率为.[总结反思] 求与长度、角度有关的几何概型的概率的方法:(1)确认是否符合几何概型的特点;(2)分别求出全部事件Ω和所求事件对应的区域长度、角度;(3)利用几何概型概率计算公式正确计算概率.变式题(1)在长为8 cm的线段AB上任取一点C,作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于15 cm2的概率为()A. B. C. D.(2)[2018·合肥一模]某广播电台只在每小时的整点和半点开始播送新闻,时长均为5分钟,则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台,能听到新闻的概率是()A. B.C.D.探究点三与面积有关的几何概型例3 (1)[2018·山东枣庄二模]七巧板图9-54-6是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图9-54-6是一个用七巧板拼成的正方形,在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率是()A. B.C.D.(2)设点(a,b)为不等式组-表示的平面区域内的任意一点,则函数f(x)=ax2-2bx+3在区间上是增函数的概率为()A. B.C. D.[总结反思] 求与面积有关的几何概型的概率的常用处理方法:(1)判断是否为几何概型问题;(2)根据题意确定所求事件构成的区域图形,分别求出全部事件和所求事件对应的区域面积;(3)利用几何概型概率计算公式正确计算概率,需要注意计算的测度是否一致.图9-54-7变式题(1)[2018·湖南名校三联]已知以原点O为圆心,1为半径的圆以及函数y=x3的图像如图9-54-7所示,向圆内任意投掷一粒小米(视为质点),则该小米落入阴影部分的概率为()A.B.C.D.(2)某日,甲、乙两人随机选择早上6:00至7:00的某个时刻到达七星公园进行锻炼,则甲比乙提前到达超过20分钟的概率为()A. B. C. D.探究点四与体积有关的几何概型例4 如图9-54-8,图9-54-8正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在正方体内随机取点M,则使四棱锥M-ABCD的体积小于的概率为.[总结反思] 对于与体积有关的几何概型问题,求解的关键是计算问题的总体积(总空间)以及构成事件的区域的体积(事件空间),对于某些较复杂的事件也可利用其对立事件去求解.变式题正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,AC1,BD1相交于O,在正方体内(含正方体表面)随机取一点M,则OM≤1的概率为()A. B. C. D.完成课时作业(五十四)。

第三节 几何概型[考纲传真] 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义．(对应学生用书第153页)[基础知识填充]1．几何概型向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．2．几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．3．借助模拟方法可以估计随机事件发生的概率．(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数的个数N ；③计算频率f n (A )＝M N作为所求概率的近似值．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (2)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是110.( )(3)概率为0的事件一定是不可能事件．( )(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )A [P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．]3．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A ．710B ．58 C ．38D ．310B [如图，若该行人在时间段AB 的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB 长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B ．]4．(2018·石家庄模拟)如图10­3­1所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．图10­3­10．18 [由题意知，S 阴S 正＝1801 000＝0.18. ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.]5．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________. 【导学号：00090357】1－π4 [如图所示，区域D 为正方形OABC 及其内部，且区域D 的面积S ＝4.又阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积S 阴＝4－π， ∴所求事件的概率P ＝4－π4＝1－π4.](对应学生用书第154页)7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A ．13B ．12 C ．23D ．34图10­3­2(2)如图10­3­2所示，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．(3)(2017·江苏高考)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D ．在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．(1)B (2)13 (3)59 [(1)如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝12.故选B ．(2)以A 为圆心，以AD ＝1为半径作圆弧交AC ，AP ，AB 分别为C ′，P ′，B ′.依题意，点P ′在上任何位置是等可能的，且射线AP 与线段BC 有公共点，则事件“点P ′在上发生”．又在Rt△ABC 中，易求∠BAC ＝∠B ′AC ′＝π6.故所求事件的概率P ＝＝π6·1π2·1＝13. (3)由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5， ∴P ＝59.][规律方法] 1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置．2．(1)第(2)题易出现“以线段BD 为测度”计算几何概型的概率，导致错求P ＝12.(2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比．[变式训练1] (1)(2017·唐山质检)设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径2倍的概率是( ) 【导学号：00090358】 A ．34B ．12C ．13D ．35(2)(2016·山东高考)在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．(1)B (2)34[(1)作等腰直角△AOC 和△AMC ，B 为圆上任一点，则当点B 在上运动时，弦长|AB |＞2R ，∴P ＝＝12.(2)由直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交，得|5k |k 2＋1<3，即16k 2<9，解得－34<k <34.由几何概型的概率计算公式可知P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝34.]角度1 (2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A ．4nmB ．2nmC ．4m nD ．2m nC [因为x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n 都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )都在正方形OABC 内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC 内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC 内的数对有m 个．用随机模拟的方法可得S 扇形S 正方形＝m n ，即π4＝m n ，所以π＝4mn.] 角度2 与线性规划交汇问题(2018·长沙模拟)在区间[0,4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( ) A ．14B ．316C ．916D ．34D [由x ，y ∈[0,4]可知(x ，y )构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x ＋2y ≤8的区域为如图所示的阴影部分．易知A (4,2)，S 正方形＝16，S 阴影＝＋2＝12.故“使得x ＋2y ≤8”的概率P ＝S 阴影S 正方形＝34.] [规律方法] 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解． [变式训练2] (1)(2017·全国卷Ⅰ)如图10­3­3，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )【导学号：00090359】图10­3­3A ．14B ．π8C ．12D ．π4(2)(2018·莆田模拟)从区间(0,1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长不大于1的概率是( ) A ．π8B ．π4C ．12D ．34(1)B (2)B [(1)不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π22×2＝π8.故选B ．(2)任取的两个数记为x ，y ，所在区域是正方形OABC 内部，而符合题意的x ，y 位于阴影区域内(不包括x ，y 轴)，故所求概率P ＝14π×121×1＝π4.]1111ABCD ­A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A ．π12B ．1－π12C ．π6D ．1－π6B [设“点P 到点O 的距离大于1”为事件A ．则事件A 发生时，点P 位于以点O 为球心，以1为半径的半球的外部． ∴V 正方体＝23＝8，V 半球＝43π·13×12＝23π.∴P (A )＝23－23π23＝1－π12.] [规律方法] 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．[变式训练3] 如图10­3­4，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M ­ABCD 的体积小于16的概率为________．图10­3­412[设四棱锥M ­ABCD 的高为h ，由于V 正方体＝1. 且13·S ABCD ·h ＜16，又S ABCD ＝1，∴h ＜12，即点M 在正方体的下半部分， ∴所求概率P ＝12V 正方体V 正方体＝12.]。

课时规范练54二项分布、超几何分布、正态分布基础巩固组1.袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是()A.25B.35C.18125D.541252.已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X≤0)=0.2，则P(X≤2)=()A.0.2B.0.4C.0.6D.0.83.(2021河南驻马店模拟)已知X~B(20，p)，且EX=6，则DX=()A.1.8B.6C.2.1D.4.24.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)=()A.15B.25C.35D.455.(2021重庆三模)已知随机变量X服从正态分布N(6，σ2)(σ>0)，若P(X>3)=0.8，则P(3<X≤9)=()A.0.2B.0.4C.0.6D.0.86.一袋中装有5个红球和3个黑球(除颜色外无区别)，任取3球，记其中黑球数为X，则EX=()A.98B.78C.12D.62567.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高X(单位:cm)服从正态分布，其密度曲线函数为f(x)=10√2π-(x-100)2200，x∈(-∞，+∞)，则下列说法正确的是()A.该地水稻的平均株高为100 cmB.该地水稻株高的方差为10C.随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率小D.随机测量一株水稻，其株高在(80，90]和在(100，110](单位:cm)的概率一样大8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯是等可能的，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则EX= .9.(2021山东烟台一模)某企业加工了一批新零件，其综合质量指标值X服从正态分布N(80，σ2)，且P(X≤60)=0.2，现从中随机抽取该零件500个，估计综合质量指标值位于(60，100]的零件个数为.10.(2021广东普宁二中月考)某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下:(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取3个，求恰好有2个水果是礼品果的概率;(结果用分数表示)(2)用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取2个，若X表示抽到的精品果的数量，求X的分布列和期望.综合提升组11.某射手每次射击击中目标的概率固定，他准备进行n (n ∈N *)次射击，设击中目标的次数记为X ，已知P (X=1)=P (X=n-1)，且EX=4，则DX=( ) A.14B.12C.1D.212.掷一个质地不均匀的硬币6次，每次掷出正面的概率均为23，恰好出现k 次正面的概率记为P k ，则下列说法正确的是( ) A.P 1=P 5 B.P 1>P 5C.∑k=16P k =1D.P 0，P 1，P 2，…，P 6中最大值为P 413.(2021河北衡水第一中学高三月考)在某次大型联考中，所有学生的数学成绩X~N (100，225).若成绩不高于m+10的同学人数和不低于2m-20的同学人数相同，则整数m 的值为 . 14.(2021天津河北一模)袋子中有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个红球，2个黄球，从袋中一次性随机取出3个小球后，再将小球放回.则“取出的3个小球中有2个红球，1个黄球”的概率为 ，记“取出的3个小球中有2个红球，1个黄球”发生的次数为X ，若重复5次这样的实验，则X 的数学期望为 .15.(2021湖北恩施模拟)目前某市居民使用天然气实行阶梯价格制度，从该市随机抽取10户调查同一年的天然气使用情况，得到统计表如下:(1)现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望;(2)若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市居民中抽取10户，其中恰有k户年用气量不超过228立方米的概率为P(k)，求使P(k)取到最大值时，k的值.创新应用组16.《山东省高考改革试点方案》规定:从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科;2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91，100]、[81，90]、[71，80]、[61，70]、[51，60]、[41，50]、[31，40]、[21，30]八个分数区间，得到考生的等级成绩.某校高一年级共2 000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60，169).(1)估计物理原始成绩在区间(47，86]的人数;(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61，80]的人数，求X的分布列和数学期望.(附:若随机变量ξ~N(μ，σ2)，则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 6，P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 4，P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997 4)课时规范练54 二项分布、超几何分布、正态分布1.D 解析: ∵每次取到黄球的概率为35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率为C 32(35)2(1−35)=54125.2.D 解析: 因为P (X ≤0)=0.2，所以P (X ≤2)=1-P (X ≤0)=1-0.2=0.8.故选D .3.D 解析: 因为X 服从二项分布X~B (20，p )，所以EX=20p=6，得p=0.3，故DX=np (1-p )=20×0.3×0.7=4.2.故选D .4.D 解析: P (ξ≤1)=1-P (ξ=2)=1-C 41C 22C 63=45.5.C 解析: 因为X 服从正态分布N (6，σ2)(σ>0)，P (X>3)=0.8， 所以P (X>9)=P (X ≤3)=1-P (X>3)=0.2， 所以P (3<X ≤9)=1-P (X ≤3)-P (X>9)=0.6. 故选C .6.A 解析: 由题意可知，随机变量X 的可能取值有0，1，2，3， 则P (X=0)=C 53C 83=1056，P (X=1)=C 52C 31C 83=3056，P (X=2)=C 51C 32C 83=1556，P (X=3)=C 33C 83=156.故随机变量X 的数学期望为EX=0×1056+1×3056+2×1556+3×156=98. 故选A .7.A 解析: f (x )=10√2π-(x -100)2200，故μ=100，σ2=100，故A 正确，B 错误;P (X>120)=P (X ≤80)>P (X≤70)，故C 错误;根据正态分布的对称性知P (100<X ≤110)=P (90<X ≤100)>P (80<X ≤90)，故D 错误.故选A .8.53 解析: 由题意可知X~B (5,13)，故EX=5×13=53.9.300 解析: 由题意，这种产品的综合质量指标值X 服从正态分布N (80，σ2)，则正态分布的对称轴为x=80，根据正态分布的对称性，得P (60<X ≤100)=2(P (X ≤80)-P (X ≤60))=2×(0.5-0.2)=0.6.所以从中随机抽取该零件500个，估计综合质量指标值位于(60，100]的零件个数为500×0.6=300. 10.解(1)设从这100个水果中随机抽取1个是礼品果为事件A ，则P (A )=20100=15，现有放回地随机抽取3个，设抽到礼品果的个数为X ，则X~B (3,15)，故恰好有2个水果是礼品果的概率为P (X=2)=C 32(15)2×45=12125.(2)用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个，其中精品果有4个，非精品果有6个，再从中随机抽取2个，则精品果的数量X 服从超几何分布， 所有可能的取值为0，1，2，则P (X=0)=C 62C 102=13，P (X=1)=C 61C 41C 102=815，P (X=2)=C 42C 102=215. 故X 的分布列为所以EX=1×815+2×215=45.11.D 解析: 设某射手每次射击击中目标的概率为p (0<p<1)， 由题意可得击中目标的次数记为X~B (n ，p )， 因为P (X=1)=P (X=n-1)，所以C n 1p (1-p )n-1=C n n -1p n-1(1-p )，整理可得(1-p )n-2=p n-2， 即1-p=p ，解得p=12.因为EX=np=12n=4，解得n=8， 所以DX=np (1-p )=8×12×(1−12)=2. 故选D .12.D 解析: P 1=C 6123×(1−23)5=4243，P 5=C 65235×(1−23)1=64243，P 1<P 5，故A ，B 错误;∑k=06P k =1，故C 错误;由二项分布概率公式可得P 0=1729，P 1=4243，P 2=20243，P 3=160729，P 4=80243，P 5=64243，P 6=64729，最大值为P 4，D 正确.故选D .13.70 解析: 由题意P (X ≤m+10)=P (X ≥2m-20). 又X~N (100，225)，所以m+10+2m-20=200， 所以m=70.14.35 3 解析: 设事件A 为“取出3个球中有2个红球，1个黄球”，则P (A )=C 32C 21C 53=35.由题意可得，重复5次这样的实验，事件A 发生的次数X 服从二项分布，即X~B (5,35)， 则EX=5×35=3.15.解(1)由题知，10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户， 设抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为ξ，则ξ服从超几何分布，且ξ的可能取值为0，1，2，3，则P (ξ=0)=C 73C 103=724，P (ξ=1)=C 72C 31C 103=2140，P (ξ=2)=C 71C 32C 103=740，P (ξ=3)=C 33C 103=1120，故随机变量ξ的分布列为所以E ξ=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910.(2)由题意知，设从全市住户抽到的年用气量不超过228立方米的用户数为η，则η服从二项分布η~B (10,35)，且P (η=k )=C 10k(35)k (25)10−k(k=0，1，2，3，…，10)，由{C 10k (35)k (25)10−k≥C 10k+1(35)k+1(25)9−k,C 10k (35)k (25)10−k ≥C 10k -1(35)k -1(25)11−k ,解得285≤k ≤335，k ∈N *，所以k=6.故当P (k )取到最大值时，k=6. 16.解(1)因为物理原始成绩ξ~N (60，132)，所以P (47<ξ≤86)=P (47<ξ≤60)+P (60<ξ≤86)=12P (60-13<ξ≤60+13)+12P (60-2×13<ξ≤60+2×13)≈0.68262+0.95442=0.8185.所以物理原始成绩在(47，86]的人数约为2000×0.8185=1637(人).(2)由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61，80]内的概率为25.所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，且X~B (3,25)，所以P (X=0)=(35)3=27125，P (X=1)=C 31×25×(35)2=54125， P (X=2)=C 32×(25)2×35=36125，P (X=3)=(25)3=8125.所以X 的分布列为所以数学期望EX=3×25=65.。

产后抑郁症的生物心理社会模型产后抑郁症是一种在产后女性中较为常见的心理健康问题，它给新妈妈们带来了极大的痛苦和困扰，也对家庭和社会产生了不可忽视的影响。

为了更全面、深入地理解产后抑郁症，我们可以借助生物心理社会模型来进行分析。

从生物学的角度来看，产后女性体内的激素水平会发生显著变化。

在怀孕期间，女性体内的雌激素和孕激素水平升高，以支持胎儿的生长和发育。

而分娩后，这些激素水平迅速下降，这种急剧的变化可能会影响神经递质的平衡，如血清素、多巴胺等。

神经递质在调节情绪和心理状态方面起着关键作用，其失衡可能增加产后抑郁症的发生风险。

此外，遗传因素也在产后抑郁症的发病中发挥一定作用。

如果家族中有抑郁症的病史，那么产后女性患上抑郁症的可能性相对较高。

产后身体的疲劳、睡眠不足以及分娩过程中的创伤和疼痛等生理因素，同样会对女性的身心健康产生负面影响。

在心理层面，产后女性面临着巨大的心理调适需求。

新生命的诞生带来了角色的转变，从妻子转变为母亲，这意味着责任的增加和生活方式的重大改变。

许多新妈妈可能会感到焦虑和不安，担心自己无法胜任母亲的角色，对育儿的不确定性感到恐惧。

同时，产后女性的自我评价和自尊也可能受到影响。

如果在产后得不到足够的支持和肯定，她们可能会对自己的能力产生怀疑，进而陷入消极的情绪状态。

一些女性在产后可能会经历产后身材走样、容颜变化等，这也可能引发心理上的困扰和自卑感。

社会因素在产后抑郁症的形成中同样不容忽视。

首先，社会对母亲角色的过高期望和刻板印象给新妈妈们带来了无形的压力。

人们往往认为母亲应该天生就懂得如何照顾孩子，并且能够完美地处理一切育儿问题。

这种不切实际的期望使得新妈妈们在面对困难时更容易感到挫败和自责。

家庭环境和支持系统对产后女性的心理健康至关重要。

如果家庭成员之间关系紧张、缺乏沟通和理解，或者丈夫在育儿过程中参与度不足，新妈妈们可能会感到孤独和无助。

婆媳关系不和、家庭成员对育儿观念的分歧等，都可能成为引发产后抑郁症的导火索。

课时练54 极坐标方程与参数方程1.(2019江苏,21)在极坐标系中,已知两点A (3,π4),B (√2,π2),直线l 的方程为ρsin (θ+π4)=3. (1)求A ,B 两点间的距离; (2)求点B 到直线l 的距离.设极点为O.在△OAB 中,A (3,π4),B (√2,π2),由余弦定理,得AB=√32+(√2)2-2×3×√2×cos (π2-π4)=√5.(2)因为直线l 的方程为ρsin θ+π4=3,则直线l 过点(3√2,π2),倾斜角为3π4.又B (√2,π2),所以点B 到直线l 的距离为(3√2−√2)×sin (3π4-π2)=2.2.(2019山东潍坊一模,22)在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线C :{x =cosα,y =1+sinα(α为参数),在以坐标原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为√2ρcos (θ+π4)=-2. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程; (2)求曲线C 与直线l 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).曲线C 化为普通方程为x 2+(y-1)2=1,由√2ρcos (θ+π4)=-2,得ρcos θ-ρsin θ=-2,所以直线的直角坐标方程为x-y+2=0.(2)C 的普通方程为x 2+y 2-2y=0,联立{x -y +2=0,x 2+y 2-2y =0,解得{x =-1,y =1或{x =0,y =2,所以交点的极坐标为(√2,3π4),(2,π2).3.(2019陕西咸阳二模,22)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程是1ρ2=cos 2θ4+sin 2θ3. (1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)设过点P (1,0)且倾斜角为45° 的直线l 和曲线C 交于两点A ,B ,求|PA|+|PB|的值.将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入1ρ2=cos 2θ4+sin 2θ3,得曲线C 的直角坐标方程为x 24+y 23=1.即x 2+y 2=1为曲线C 的直角坐标方程. 由ρ2=124-cos 2θ得4ρ2-ρ2cos 2θ=12.(2)依题意得直线l :y=x-1,与椭圆x 24+y 23=1联立得3x 2+4(x-1)2=12, 即7x 2-8x-8=0,∴|PA|+|PB|=|AB|=√1+k 2|x 1-x 2|=√2·√(-8)2-4×7×(-8)7=247. 4.(2019福建漳州质检二,22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosα,y =4+2sinα(α为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程; (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosα,y =4+2sinα(α为参数),转换为直角坐标方程为(x-2)2+(y-4)2=4, 转换为极坐标方程为ρ2-4ρcos α-8ρsin α+16=0. (2)曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ. 转换为直角坐标方程为x 2+y 2-4y=0,所以{(x -2)2+(y -4)2=4,x 2+y 2-4y =0,整理出公共弦的直线方程为x+y-4=0,故{x 2+y 2-4y =0,x +y -4=0,解得{x =2,y =2,或{x =0,y =4,转换为极坐标为(2√2,π4)或(4,π2).5.(2019山东德州一模,22)在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为{x =2+t ,y =34kt (t 为参数),直线l 2的参数方程为{x =-2+m ,y =-m k (m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C. (1)写出C 的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l 3:ρsin (θ+π4)=√22,l 3与C 的交点为A ,B ,M为线段AB 的中点,求M 的极径.直线l 1的普通方程为y=34k (x-2),直线l 2的普通方程为y=-x+2,消去k 得x 2+y 2=1,即C 的普通方程为x 2+y 2=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),l 3化成普通方程为x+y=1.联立{x +y =1,x 24+y 23=1,得7x 2-8x-8=0,∴x 1+x 2=87,y 1+y 2=2-(x 1+x 2)=67,∴M (47,37),ρ2=(47)2+(37)2=(57)2,∴M 的极径为57.6.(2019安徽皖南八校联考三,22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =2cosα,y =sinα(α为参数).以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ+2sin θ)=2.(1)求曲线C 的普通方程;(2)若l 与曲线C 交于A ,B 两点,求以AB 为直径的圆的极坐标方程.由{x =2cosα,y =sinα(α为参数),得{x2=cosα,y =sinα(α为参数),故曲线C 的普通方程为x 24+y 2=1. (2)由ρ(cos θ+2sin θ)=2,得x+2y=2,联立{x 24+y 2=1,x +2y =2,得A (2,0),B (0,1),所以AB 中点坐标为(1,12),|AB|=√5,故以AB为直径的圆的直角坐标方程为(x-1)2+(y -12)2=54.即x 2+y 2-2x-y=0,将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入得ρ=2cos θ+sin θ.7.(2019山东菏泽一模,22)已知曲线C 的参数方程为{x =3+2cosα,y =1-2sinα(α为参数),以直角坐标系原点为极点,以x 轴正半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹;(2)若直线l 的极坐标方程为sin θ-2cos θ=1ρ,求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.由{x =3+2cosα,y =1-2sinα,得{x -3=2cosα,y -1=-2sinα,得(x-3)2+(y-1)2=4,所以曲线C 表示以(3,1)为圆心,2为半径的圆. 将{y =ρsinθ,x =ρcosθ代入圆的普通方程, 得(ρcos θ-3)2+(ρsin θ-1)2=4, 化简得ρ2-6ρcos θ-2ρsin θ+6=0,所以曲线C 的极坐标方程为ρ2-6ρcos θ-2ρsin θ+6=0.(2)由sin θ-2cos θ=1ρ,得ρsin θ-2ρcos θ=1,即2x-y+1=0,因为圆心C (3,1)到直线l :2x-y+1=0的距离d=√5=6√55, 所以曲线C 上的点到直线l 的最大距离为d+r=6√55+2.8.(2019河南示范高中1月联考,22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =2cosα,y =sinα(α为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin (π6-θ)=√32.(1)求曲线C 1,C 2的直角坐标方程;(2)判断曲线C 1,C 2是否相交,若相交,请求出交点间的距离;若不相交,请说明理由.将{x =2cosα,y =sinα,消去参数,得曲线C 1的直角坐标方程为x 24+y 2=1,将ρsin (π6-θ)=√32展开整理,得ρcos θ-√3ρsin θ=√3,因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以曲线C 2的直角坐标方程为x-√3y-√3=0. (2)相交.由(1)知曲线C 2是过定点(√3,0)的直线,因为点(√3,0)在曲线C 1的内部,所以曲线C 1与曲线C 2相交. 将x=√3y+√3代入x 2+y 2=1并整理,得7y 2+6y-1=0, 设曲线C 1,C 2的两交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=-67,y 1y 2=-17.故曲线C 1,C 2两交点间的距离|AB|=√1+(√3)2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=167.9.(2018全国1,理22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求C 2的直角坐标方程;(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点,求C 1的方程.由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x+1)2+y 2=4.(2)由(1)知C 2是圆心为A (-1,0),半径为2的圆.由题设知,C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为l 1,y 轴左边的射线为l 2,由于B 在圆C 2的外面,故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点.当l 1与C 2只有一个公共点时,A 到l 1所在直线的距离为2,所以√k +1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l 1与C 2没有公共点;当k=-43时,l 1与C 2只有一个公共点,l 2与C 2有两个公共点.当l 2与C 2只有一个公共点时,A 到l 2所在直线的距离为2,所以|k+2|√k +1=2,故k=0或k=43,经检验,当k=0时,l 1与C 2没有公共点;当k=43时,l 2与C 2没有公共点.综上,所求C 1的方程为y=-43|x|+2. 10.(2019安徽江南十校一模,22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =1+√10cosα,y =4+√10sinα(α为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ=5. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程;(2)点P (m ,n )为曲线C 2上一点,若曲线C 1上存在两点A ,B ,使得∠APB=90°,求n 的取值范围.由题意得C 1:{x -1=√10cosα,y -4=√10sinα,所以C 1:(x-1)2+(y-4)2=10, 曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ=5.又x=ρcos θ,则曲线C 2的直角坐标方程为x=5.(2)由(1)P (5,n ),过P 作曲线C 1的两条切线,切点分别记为M ,N ,如图所示.∵曲线C 1上存在两点A ,B ,使得∠APB=90°. ∴∠MPN ≥90°,∠MPC 1≥45°,即sin ∠MPC 1=|MC 1||PC 1|≥√22,即|PC 1|2≤2|MC 1|2,∴(5-1)2+(n-4)2≤2×10,n 2-8n+12≤0,2≤n ≤6.。

2020版高考文科数学（北师大版）一轮复习试题课时规范练55不等式选讲基础巩固组1.(2018河南最后一次模拟,23)已知函数f(x)=|2x+4|+|2x-a|.(1)当a=6时,求f(x)≥12的解集;(2)已知a>-2,g(x)=x2+2ax+,若对于x∈-1, ,都有f(x)≥g(x)成立,求a的取值范围.2.(2018湖南长沙模拟二,23)已知函数f(x)=|x-1|,关于x的不等式f(x)<3-|2x-1|的解集记为A.(1)求A;(2)已知a,b∈A,求证:f(ab)>f(a)-f(b).3.(2018安徽淮南二模,23)已知函数f(x)=|x-2|-|x+1|.(1)解不等式f(x)+x>0.(2)若关于x的不等式f(x)≤a2-2a的解集为R,求实数a的取值范围.4.(2018河北衡水中学三轮复习检测,23)已知函数f(x)=|ax-1|-(a-2)x.(1)当a=3时,求不等式f(x)>0的解集;(2)若函数f(x)的图像与x轴没有交点,求实数a的取值范围.综合提升组5.已知函数f(x)=|x-a|.(1)当a=-2时,解不等式f(x)≥16-|2x-1|;(2)若关于x的不等式f(x)≤1的解集为[0,2],求证:f(x)+f(x+2)≥2.6.(2018河南南阳模拟,23)已知函数f(x)=|x-2a+1|+|x+2|,g(x)=3x+1.(1)当a=1时,求不等式f(x)≤g(x)的解集;(2)x∈[-2,a),f(x)≥g(x),求a的取值范围.7.已知函数f(x)=|2x+1|,g(x)=|x+1|,不等式f(x)≤g(x)+1的解集为A.(1)求A;(2)证明:对于任意的a,b∈∁R A,都有g(ab)>g(a)- g(-b)成立.创新应用组8.已知函数f(x)=|x-2|-|x|+m(m∈R).(1)若m=0,解不等式f(x)≥x-1;(2)若方程f(x)=-x有三个不同的解,求实数m的取值范围.9.(2018安徽安庆热身考,23)若关于x的不等式|3x+2|+|3x-1|-t≥0的解集为R,记实数t的最大值为a.(1)求a的值;(2)若正实数m,n满足4m+5n=a,求y=的最小值.。

课时分层训练(五十四) 几何概型A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( ) A ．45B ．35C ．25D ．15B [在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1， 即－2≤X ≤1的概率为P ＝35.]2．(2018·广州市五校联考)四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( ) 【导学号：00090363】A ．π4B ．1－π4C ．π8D ．1－π8B [如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P ＝S 阴影S 长方形ABCD ＝2－π22＝1－π4.]3．(2018·榆林模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，0≤x ＜1，ln x ＋e ，1≤x ≤e 在区间[0，e]上随机取一个实数x ，则f (x )的值不小于常数e 的概率是( )A ．1eB ．1－1eC ．e 1＋eD ．11＋eB [当0≤x ＜1时，f (x )＜e ，当1≤x ≤e 时，e≤f (x )≤1＋e ，∵f (x )的值不小于常数e ，∴1≤x ≤e，∴所求概率为e －1e ＝1－1e，故选B ．]4．(2015·山东高考)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( ) A ．34B ．23C ．13D ．14A [不等式－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1可化为log 122≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤log 1212，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.]5．已知正三棱锥S ­ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P ­ABC ＜12V S ­ABC的概率是( ) A ．78B ．34C ．12D ．14A [当点P 到底面ABC 的距离小于32时，V P ­ABC ＜12V S ­ABC ．由几何概型知，所求概率为P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝78.]6．(2017·西安模拟)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )A ．34＋12πB ．12＋1πC ．12－1πD ．14－12πD [|z |＝x －12＋y 2≤1，即(x －1)2＋y 2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当|z |≤1时，y ≥x 表示的是图中阴影部分．∵S 圆＝π×12＝π，S 阴影＝π4－12×12＝π－24. 故所求事件的概率P ＝S 阴影S 圆＝π－24π＝14－12π.]二、填空题7．(2017·郑州模拟)在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.3 [由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m . 当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去． 当2＜m ＜4时，由题意得m －－26＝56，解得m ＝3.] 8．(2015·重庆高考)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________. 【导学号：00090364】 23[∵方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－43p －2≥0，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1x 2＝3p －2>0，解得23<p ≤1或p ≥2.故所求概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋5－25＝23.] 9．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．1316 [∵去看电影的概率P 1＝π·12－π·⎝ ⎛⎭⎪⎫122π·12＝34， 去打篮球的概率P 2＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫142π·12＝116， ∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.]10．一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________． π120[屋子的体积为5×4×3＝60米3， 捕蝇器能捕捉到的空间体积为18×43π×13×3＝π2米3，故苍蝇被捕捉的概率是π260＝π120.]B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2015·湖北高考)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<12B ．p 2<12<p 1C ．12<p 2<p 1D ．p 1<12<p 2D [如图，满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 内，其面积为1.事件“x ＋y ≤12”对应的图形为阴影△ODE (如图①)，其面积为12×12×12＝18，故p 1＝18<12，事件“xy ≤12”对应的图形为斜线表示部分(如图②)，其面积显然大于12，故p 2>12，则p 1<12<p 2，故选D ．]2．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( ) A ．16B ．13C ．12D ．23C [如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B ，E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C ，F 点)上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD为钝角三角形的概率为1＋26＝12.]3．(2018·南昌模拟)向面积为S 的平行四边形ABCD 中任投一点M ，则△MCD 的面积小于S3的概率为( )【导学号：00090365】A ．13B ．35C ．23D ．34C [设△MCD 的高为ME ，ME 的反向延长线交AB 于F ，当“△MCD 的面积等于S 3”时，12CD ·ME＝13CD ·EF ，即ME ＝23EF ，过M 作GH ∥AB ，则满足△MCD 的面积小于S3的点M 在▱CDGH 中，由几何概型的概率公式得到△MCD 的面积小于S3的概率为2S3S ＝23.故选C ．]4．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，则方程有实根的概率为________．23[设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥B ．试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }．所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.]。