高二数学双曲线测试题
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高二数学椭圆双曲线专项练习选择题:1、双曲线 x2-ay2= 1 的焦点坐标是()A .( 1 a , 0) , ( -1 a , 0)B. ( 1 a , 0), (-1 a , 0)C.(-a1a1D. (-a1,0),(a 1a, 0),(a, 0)a, 0)a2、设双曲线的焦点在x 轴上 ,两条渐近线为y 1)x ,则该双曲线的离心率为(2A .5B .5/2C.5D.5/43.椭圆x2y21的两个焦点为F1、F2,过 F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆订交,一个交点为P,则| PF2|= 4()A. 3 /2B.3C. 4了D. 7/24.过椭圆左焦点 F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于A, B 两点,若FA 2 FB ,则椭圆的离心率等于()A 2B2C1D2 3223 x2y2x 2y 25.已知椭圆3m25n2 和双曲线2m23n2= 1 有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是()A . x=±15 y B. y=±15 x C. x=± 3 y D. y=± 3 x22446.设 F1和 F2为双曲线x2y2= 1 的两个焦点,点P 在双曲线上,且知足∠F1PF2=90°,则△ F1PF2的面积4是() A.1 B .5C. 2D.5 27.已知 F1、 F2是两个定点,点 P 是以 F1和 F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,而且PF1⊥PF2,e1和e 分别是椭圆和双曲线的离心率,则有()2A .e1e22B .e12e224C.e1e2 2 2D.112 e12e228.已知方程x 2+y 2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是()| m | 2 m1A . m<2B .1<m<2C. m< - 1 或 1<m<2 D . m< - 1 或 1<m<32x 2y 2 x 2 y 29.已知双曲线 a 2-b 2=1和椭圆m 2 + b 2 =1( a>0,m> b>0) 的离心率互为倒数,那么以a 、b 、m 为边长的三角形是()A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .锐角或钝角三角形x 2 y 2 1 上有 n 个不一样的点 :P 1 2 n n1 的10.椭圆3 , P , , P , 椭圆的右焦点为 F. 数列{ |P F|}是公差大于1004等差数列 , 则 n 的最大值是() A . 198 B .199C . 200D .201一、填空题:11.对于曲线 C ∶x 2 y 2 C 不行能表示椭圆;②4 k=1 ,给出下边四个命题:①由线k 1当 1<k < 4 时,曲线 C 表示椭圆;③若曲线 C 表示双曲线,则 k < 1 或 k > 4;④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1< k <5此中全部正确命题的序号为_______ ______212.设圆过双曲线x 2 y 2 =1 的一个极点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心距离__916x 2 y 2 1 21 213.双曲线= 1 的两焦点为、,点 P 在双曲线上,若 PF ⊥ PF,则点 P 到 x 轴的距离 ____9 1614.若 A ( 1, 1),又 F 1 是 5x 2+ 9y 2=45 椭圆的左焦点,点P 是椭圆的动点,则 |PA|+|P F 1|的最小值 _______15、已知 B(-5 , 0) , C(5 , 0) 是△ ABC 的两个极点,且 sinB-sinC= 3sinA, 则极点 A 的轨迹方程是5二、解答题:16、设椭圆方程为x 2 y 2 =1,求点 M (0,1)的直线l 交椭圆于点 A 、 B , O 为坐标原点,点P 知足41 OB) ,当 l 绕点 M 旋转时,求动点 P 的轨迹方程 .OP(OA217、已知 F1、 F2为双曲线x 2y21(a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直a 2b2于 x 轴的直线交双曲线于点P,且∠ PF1F2= 30°.求双曲线的渐近线方程.图18、已知椭圆x2y21( a b 0) 的长、短轴端点分别为A、B,此后椭圆上一点 M 向 x 轴作垂线,恰巧a2b2经过椭圆的左焦点F1,向量 AB 与 OM 是共线向量.(1)求椭圆的离心率e;( 2)设 Q 是椭圆上随意一点,F1、 F2分别是左、右焦点,求∠F1QF2的取值范围;19、已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 (2,0),右极点为( 3,0)。
2.2 双曲线(1)A 级 基础巩固一、选择题1.已知M (-2,0)、N (2,0),|PM |-|PN |=4,则动点P 的轨迹是导学号 03624438( C )A .双曲线B .双曲线左支C .一条射线D .双曲线右支[解析]∵|PM |-|PN |=|MN |=4,∴动点P 的轨迹是一条射线. 2.双曲线3x 2-4y 2=-12的焦点坐标为导学号 03624439( D ) A .(±5,0) B .(0,±5) C .(±7,0)D .(0,±7)[解析] 双曲线3x 2-4y 2=-12化为标准方程为y 23-x 24=1,∴a 2=3,b 2=4,c 2=a 2+b 2=7,∴c =7,又∵焦点在y 轴上,故选D .3.已知方程x 21+k -y 21-k =1表示双曲线,则k 的取值X 围是导学号 03624440( A )A .-1<k <1B .k >0C .k ≥0D .k >1或k <-1[解析] 由题意得(1+k )(1-k )>0,∴(k -1)(k +1)<0,∴-1<k <1.4.(2016·某某某某高二检测)已知双曲线2mx 2-my =4的一个焦点为(0,6),则m 的值为导学号 03624441( B )A .1B .-1C .73D .-73[解析] 将双曲线方程化为x 22m-y 24m=1.因为一个焦点是(0,6),所以焦点在y 轴上,所以c =6,a 2=-4m ,b 2=-2m ,所以a 2+b 2=-4m -2m =-6k=c 2=6.所以m =-1.5.双曲线x 210-y 22=1的焦距为导学号 03624442( D )A .3 2B .4 2C .3 3D .4 3[解析] 由双曲线的标准方程,知a 2=10,b 2=2,则c 2=a 2+b 2=10+2=12,因此2c =43,故选D .6.(2015·某某理)若双曲线E :x 29-y 216=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在双曲线E 上,且|PF 1|=3,则|PF 2|等于导学号 03624443( B )A .11B .9C .5D .3[解析] 由题,|||PF 1|-|PF 2|=2a =6, 即||3-|PF 2|=2a =6,解得|PF 2|=9. 二、填空题7.已知双曲线C :x 29-y 216=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,P 为C 右支上的一点,且|PF 2|=|F 1F 2|,则△PF 1F 2的面积等于__48__.导学号 03624444[解析] 依题意得|PF 2|=|F 1F 2|=10,由双曲线的定义得|PF 1|-|PF 2|=6,∴|PF 1|=16.∴S △PF 1F 2=12×16×102-1622=48.8.已知双曲线x 225-y 29=1的两个焦点分别为F 1、F 2,若双曲线上的点P 到点F 1的距离为12,则点P 到点F 2的距离为__2或22__.导学号 03624445[解析] 设F 1为左焦点,F 2为右焦点,当点P 在双曲线左支上时,|PF 2|-|PF 1|=10,|PF 2|=22;当点P 在双曲线右支上时, |PF 1|-|PF 2|=10,|PF 2|=2. 三、解答题9.求满足下列条件的双曲线的标准方程.导学号 03624446 (1)焦点在x 轴上,c =6且经过点(-5,2); (2)过P (3,154)和Q (-163,5)两点.[解析] (1)设双曲线方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),由题意得⎩⎪⎨⎪⎧25a 2-4b2=1a 2+b 2=6,解之得a 2=5,b 2=1, 故所求双曲线方程为x 25-y 2=1.(2)设双曲线方程为Ax 2+By 2=1(AB <0),由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧9A +22516B =12569A +25B =1,解之得⎩⎪⎨⎪⎧A =-116B =19.∴所求双曲线方程为y 29-x 216=1.B 级 素养提升一、选择题1.已知双曲线中心在原点,一个焦点为F 1(-5,0),点P 在该双曲线上,线段PF 1的中点坐标为(0,2),则双曲线的方程是导学号 03624447( B )A .x 24-y 2=1B .x 2-y 24=1C .x 22-y 23=1D .x 23-y 22=1[解析] 由条件知P (5,4)在双曲线x 2a 2-y 2b2=1上,∴5a 2-16b2=1,又a2+b 2=5,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2=1b 2=4,故选B .2.(2017·全国Ⅰ文,5)已知F 是双曲线C :x 2-y 23=1的右焦点,P 是C 上一点,且PF与x 轴垂直,点A 的坐标是(1,3),则△APF 的面积为导学号 03624448( D )A .13B .12C .23D .32[解析] 因为F 是双曲线C :x 2-y 23=1的右焦点,所以F (2,0).因为PF ⊥x 轴,所以可设P 的坐标为(2,y P ). 因为P 是C 上一点,所以4-y 2P3=1,解得y P =±3,所以P (2,±3),|PF |=3.又因为A (1,3),所以点A 到直线PF 的距离为1, 所以S △APF =12×|PF |×1=12×3×1=32.故选D .3.已知m 、n 为两个不相等的非零实数,则方程mx -y +n =0与nx 2+my 2=mn 所表示的曲线可能是导学号 03624449( C )[解析] 把直线方程和曲线方程分别化为y =mx +n ,x 2m +y 2n=1.根据图形中直线的位置,判定斜率m 和截距n 的正负,从而断定曲线的形状.4.已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2,过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点,线段AB 的长为5,若2a =8,那么△ABF 2的周长是导学号 03624450( D )A .16B .18C .21D .26[解析] |AF 2|-|AF 1|=2a =8,|BF 2|-|BF 1|=2a =8, ∴|AF 2|+|BF 2|-(|AF 1|+|BF 1|)=16, ∴|AF 2|+|BF 2|=16+5=21,∴△ABF 2的周长为|AF 2|+|BF 2|+|AB |=21+5=26. 5.若方程x 2m -1+y 2m 2-4=3表示焦点在y 轴上的双曲线,则m 的取值X 围是导学号 03624451( C )A .(-∞,1)B .(2,+∞)C .(-∞,-2)D .(-2,1)[解析] 由题意,方程可化为y 2m 2-4-x 21-m=3,∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2-4>01-m >0,解得m <-2.故选C .二、填空题6.(2016·某某某某高二检测)设双曲线与椭圆x 227+y 236=1有共同的焦点,且与椭圆相交,有一个交点的坐标为(15,4),则此双曲线的方程为y 24-x 25=1 .导学号 03624452[解析] 解法一:椭圆x 227+y 236=1的焦点坐标是(0,±3),根据双曲线的定义,知2a=|152+12-152+72|=4,故a =2.又b 2=c 2-a 2=5,故所求双曲线的方程为y 24-x 25=1. 解法二:椭圆x 227+y 236=1的焦点坐标是(0,±3).设双曲线方程为y 2a 2-x 2b2=1(a >0,b >0),则a 2+b 2=9,16a 2-15b 2=1,解得a 2=4,b 2=5.故所求双曲线的方程为y 24-x 25=1.解法三:设双曲线方程为x 227-λ+y 236-λ=1(27<λ<36),由于双曲线过点(15,4),故1527-λ+1636-λ=1,解得λ1=32,λ2=0(舍去).故所求双曲线方程为y 24-x 25=1. 7.已知F 1、F 2为双曲线C :x 2-y 2=1的左、右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2=60°,则|PF 1|·|PF 2|等于__4__.导学号 03624453[解析] 在△PF 1F 2中,|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|·cos60°=(|PF 1|-|PF 2|)2+|PF 1|·|PF 2|, 即(22)2=22+|PF 1|·|PF 2|, 解得|PF 1|·|PF 2|=4. 三、解答题8.已知双曲线方程为2x 2-y 2=k ,焦距为6,求k 的值.导学号 03624454 [解析] 由题意知c =3,若焦点在x 轴上,则方程可化为x 2k 2-y 2k =1,∴k 2+k =32,即k =6.若焦点在y 轴上,则方程可化为y 2-k -x 2-k2=1.∴-k +(-k2)=32,即k =-6.综上,k 的值为6或-6.C 级 能力提高1.双曲线8kx 2-ky 2=8的一个焦点坐标为(0,3),则k 的值为__-1__.导学号 03624455[解析] 将双曲线的方程化为x 21k-y 28k=1,因为双曲线的一个焦点坐标是(0,3), 所以焦点在y 轴上,且c =3. 所以a 2=-8k ,b 2=-1k.所以-8k -1k=9,解得k =-1.2.当0°≤α≤180°时,方程x 2cos α+y 2sin α=1表示的曲线如何变化?导学号 03624456[解析] (1)当α=0°时,方程为x 2=1,它表示两条平行直线x =±1. (2)当0°<α<90°时,方程为x 21cos α+y 21sin α=1. ①当0°<α<45°时,0<1cos α<1sin α,它表示焦点在y 轴上的椭圆.②当α=45°时,它表示圆x 2+y 2= 2.③当45<α<90°时,1cos α>1sin α>0,它表示焦点在x 轴上的椭圆.(3)当α=90°时,方程为y 2=1,它表示两条平行直线y =±1. (4)当90°<α<180°时,方程为y 21sin α-x 21-cos α=1,它表示焦点在y 轴上的双曲线.(5)当α=180°时,方程为x 2=-1,它不表示任何曲线.。
椭圆双曲线测试----理科1、如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么该双曲线的离心率是 ( )A 、32 D 、2 2、若R ∈k ,则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的 ( ) A .充分不必要条件. B . 必要不充分条件. C . 充要条件 D .既不充分也不必要条件3、已知P 是双曲线19222=-y ax 上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F 1 、F 2分别是双曲线的左、右焦点,若|P F 1 |=3,则|P F 2|= ( )A . 6B .7C .5D .34、过点(2,-2)且与2212x y -=有公共渐进线的双曲线方程是 ( ) A 、22142x y -+= B 、22142x y += C 、22124x y -+= D 、22124x y -= 5、⎪⎭⎫ ⎝⎛π∈20,a 方程122=α+αcos y sin x 表示焦点在y 轴的椭圆,则α的范围是( A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛π40, B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛π40, C. ,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ24, 6、△ABC 一边的两个顶点为B (-3,0),C (3,0)另两边所在直线的斜率之积为2,则顶点A 的轨迹落在下列哪一种曲线上 ( )A 、圆B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线 7、斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于A ,B 两点,则|AB|的最大值为( )A 、2B D 8、⊿ABC 中,已知(4,0),(4,0)A B -,且s i n s i n A B -=1s i n 2C ,则C 的轨迹方程是( ) A 221412x y += B 221(2)412x y x -=<- C . 221124x y -= D . 221(1)124x y y -=≠ 9、椭圆C 的中心为坐标原点O ,焦点在y 轴上,离心率22=e ,椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e,则椭圆方程为____ ________.10、P 是双曲线22x y 1916=的右支上一点,M 、N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点,则||||PM PN -的最大值为 .二、解答题:11、已知双曲线的中心在原点,左右焦点分别为12,F F ,且过点(4,, 求此双曲线的标准方程;12、如图,椭圆以边长为1的正方形ABCD 的对角顶点A ,C 为焦点,且经过各边的中点,试建立适当的坐标系,求椭圆的方程;13、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦,使得弦被M 点平分,求此弦所在的直线方程;14、如图,线段MN 的两个端点M 、N 分别在x 轴、y 轴上滑动,5=MN ,点P 是线段MN 上一点,且23MP PN =,点P 随线段MN 的运动而变化.求点P 的轨迹。
高二数学双曲线试题答案及解析1.双曲线的渐近线方程是A.B.C.D.【答案】A【解析】因为双曲线的方程为,令,所以渐近线方程是.【考点】双曲线的渐近线方程.2.双曲线的虚轴长等于( )A.B.-2t C.D.4【答案】C【解析】由于双曲线,所以其虚轴长,故选C.【考点】双曲线的标准方程.3.在平面直角坐标系中,已知中心在坐标原点的双曲线经过点,且它的右焦点与抛物线的焦点相同,则该双曲线的标准方程为.【答案】.【解析】由于抛物线的焦点坐标为:,由已知得:双曲线C的右焦点F的坐标为,又因为双曲线C的中心在坐标原点,所以可设所求双曲线C的方程为:且,从而有:,故设所求双曲线C的方程为:.【考点】双曲线.4.已知、是双曲线(,)的左右两个焦点,过点作垂直于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于,两点,是锐角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B是锐【解析】根据题意,易得,由题设条件可知为等腰三角形,2角三角形,只要为锐角,即即可;所以有,即解出故选B【考点】双曲线的简单性质5.设P是双曲线上一点,该双曲线的一条渐近线方程是,分别是双曲线的左、右焦点,若,则等于()A.2B.18C.2或18D.16【答案】C【解析】整理准线方程得,∴,a=4,∴=2a=8或=2a=8,∴=2或18,故选C..【考点】双曲线的简单性质;双曲线的应用.6.双曲线的渐近线方程为( )A.B.C.D.【答案】C【解析】令,解得【考点】双曲线渐近线的求法.7.如图,动点到两定点、构成,且,设动点的轨迹为。
(1)求轨迹的方程;(2)设直线与轴交于点,与轨迹相交于点,且,求的取值范围。
【答案】(1)(2)【解析】(1)求动点轨迹方程,一般有四步.第一步,设所求动点的坐标,第二步,将条件转化为坐标表示,本题,两边取正切,转化为斜率关系,第三步,化简关系式为常见方程形式,第四步,根据方程表示图像,去掉不满足的部分.(2)研究取值范围,首先将表示为函数关系式.因为等于,所以先求出,从而有,利用直线与双曲线有两个交点这一限制条件,得到m>1,且m2,这作为所求函数定义域,求出值域即为的取值范围是试题解析:解(1)设M的坐标为(x,y),显然有x>0,.当∠MBA=90°时,点M的坐标为(2,, ±3)当∠MBA≠90°时;x≠2.由∠MBA=2∠MAB,有tan∠MBA=,即化简得:3x2-y2-3=0,而又经过(2,,±3)综上可知,轨迹C 的方程为3x2-y2-3=0(x>1) 5分 (2)由方程消去y ,可得。
专题9.4 双曲线1.(2021·江苏高考真题)已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线230x y -+=平行,则该双曲线的离心率是( )ABC .2D【答案】D 【分析】写出渐近线,再利用斜率相等,进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为b y x a =±,易知by x a=与直线230x y -+=平行,所以=2b e a ⇒==故选:D.2.(2021·北京高考真题)若双曲线2222:1x y C a b-=离心率为2,过点,则该双曲线的程为()A .2221x y -=B .2213y x -=C .22531x y -=D .22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得b =,再将点代入双曲线的方程,求出a 的值,即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a == ,则2c a =,b =,则双曲线的方程为222213x y a a-=,将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==,解得1a =,故b ,因此,双曲线的方程为2213y x -=.故选:B3.(2021·山东高考真题)已知1F 是双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的左焦点,点P 在双曲线上,直线1PF 与x 轴垂直,且1PF a =,那么双曲线的离心率是()练基础A B C .2D .3【答案】A 【分析】易得1F 的坐标为(),0c -,设P 点坐标为()0,c y -,求得20by a=,由1PF a =可得a b =,然后由a ,b ,c 的关系求得222c a =,最后求得离心率即可.【详解】1F 的坐标为(),0c -,设P 点坐标为()0,c y -,易得()22221c y a b--=,解得20b y a =,因为直线1PF 与x 轴垂直,且1PF a =,所以可得2b a a=,则22a b =,即a b =,所以22222c a b a =+=,离心率为e =故选:A .4.(2021·天津高考真题)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合,抛物线的准线交双曲线于A ,B 两点,交双曲线的渐近线于C 、D |AB .则双曲线的离心率为( )A B C .2D .3【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ,进而可得准线为x c =-,代入双曲线及渐近线方程,结合线段长度比值可得2212a c =,再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ,则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-,令x c =-,则22221c y a b -=,解得2b y a =±,所以22bAB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±,所以2bcCD a=,所以2bc a =c =,所以222212a c b c =-=,所以双曲线的离心率ce a==故选:A.5.(2019·北京高考真题(文))已知双曲线2221x y a-=(a >0)a =( )AB .4C .2D .12【答案】D 【解析】∵双曲线的离心率ce a==,c = ,=,解得12a = ,故选D.6.(全国高考真题(文))双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2,焦点到渐近线的,则C 的焦距等于( ).A.2B. C.4D.【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为2c ,双曲线的渐进线方程为,由条件可知,,又,解得,故答案选C .7.(2017·天津高考真题(文))已知双曲线的左焦点为,点在双曲线的渐近线上,是边长为2的等边三角形(为原点),则双曲线的方程为( )A. B. C. D.【答案】D 【解析】22221(0,0)x y a b a b -=>>F A OAF △O 221412x y -=221124x y -=2213x y -=2213y x -=由题意结合双曲线的渐近线方程可得:,解得:,双曲线方程为:.本题选择D选项.8.(2021·全国高考真题(理))已知双曲线22:1(0)xC y mm-=>的一条渐近线为my+=,则C的焦距为_________.【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式,得出,a b的关系,再结合双曲线中22,a b对应关系,联立求解m,再由关系式求得c,即可求解.【详解】my+=化简得y=,即ba,同时平方得2223ba m=,又双曲线中22,1a m b==,故231m m=,解得3,0m m==(舍去),2223142c a b c=+=+=⇒=,故焦距24c=.故答案为:4.9.(2019·江苏高考真题)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线2221(0)yx bb-=>经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y=.【解析】由已知得222431b-=,解得b=或b=,因为0b>,所以b=.因为1a=,所以双曲线的渐近线方程为y=.10.(2020·全国高考真题(文))设双曲线C:22221x ya b-= (a>0,b>0)的一条渐近线为y= 2222tan60cc a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩221,3a b==2213yx-=x ,则C 的离心率为_________.【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上,因为其一条渐近线为y =,所以b a =c e a ===1.(2018·全国高考真题(理))设,是双曲线()的左、右焦点,是坐标原点.过作的一条渐近线的垂线,垂足为.若则的离心率为( )ABC .D【答案】B 【解析】由题可知在中,在中,故选B.2.(2020·云南文山·高三其他(理))已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ,Q ,右顶点为A ,线段AP 的中点为E ,直线QE 交x 轴于(1,0)M ,则双曲线的离心1F 2F 2222:1x y C a b-=O 2F C P 1PF =C222,PF b OF c==PO a∴=2Rt POF V 222cos P O PF b F OF c∠==12PF F △22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==223bc a c=⇒=e ∴=练提升率为( )A B .C D 【答案】D 【解析】由已知得M 为APQ V 的重心,∴3||3a OM ==,又1b =,∴c ==,即c e a ==.故选:D.3.(2020·广东天河·华南师大附中高三月考(文))已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于P 、Q 两点,O 为坐标原点,若OPQ △为等边三角形,则双曲线C 的离心率为( )A .2B .C D 【答案】A 【解析】因为OPQ △为等边三角形,所以渐近线的倾斜角为3π,所以22,3,bb b a a=∴=∴=所以2222223,4,4,2c a a c a e e -=∴=∴=∴=.故选:A4.(2021·广东广州市·高三月考)已知1F ,2F 分别是双曲线C :2213xy -=的左、右焦点,点P 是其一条渐近线上一点,且以线段12F F 为直径的圆经过点P ,则点P 的横坐标为( )A .±1B .C .D .2±【答案】C 【分析】由题意可设00(,)P x ,根据圆的性质有120F P F P ⋅= ,利用向量垂直的坐标表示,列方程求0x 即可.【详解】由题设,渐近线为y =,可令00(,)P x x ,而1(2,0)F -,2(2,0)F ,∴100(2,)F P x x =+ ,200(2,)F P x =- ,又220120403x F P F P x ⋅=-+= ,∴0x =故选:C5.(2020·广西南宁三中其他(理))圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的距离为1,则该双曲线离心率的取值范围是( )A .B .55(,)32C .55(,42D .1)【答案】C 【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=,圆22:10160C x y y +-+=,圆心()0,5,半径3因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1,所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d <<即24<<,而222+=a b c 所以524a c <<,即5542e <<故选C 项.6.【多选题】(2021·湖南高三)已知双曲线2222:1x y C a b-=(0a >,0b >)的左,右焦点为1F ,2F ,右顶点为A ,则下列结论中,正确的有( )A .若a b =,则CB .若以1F 为圆心,b 为半径作圆1F ,则圆1F 与C 的渐近线相切C .若P 为C 上不与顶点重合的一点,则12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =D .若M 为直线2a x c=(c =0的一点,则当M 的纵坐标为2MAF V 外接圆的面积最小【答案】ABD 【分析】由a b =,得到222a c =,利用离心率的定义,可判定A 正确;由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式,可判定B 正确;由双曲线的定义和内心的性质,可判定C 不正确;由正弦定理得到2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠,得出2sin AMF ∠最大时,R 最小,只需2tan AMF ∠最大,设2,a M t c ⎛⎫⎪⎝⎭,得到22tan tan()AMF NMF NMA ∠=∠-∠,结合基本不等式,可判定D 正确.【详解】对于A 中,因为a b =,所以222a c =,故C 的离心率ce a==A 正确;对于B 中,因为()1,0F c -到渐近线0bx ay -=的距离为d b ==,所以B 正确;对于C 中,设内切圆与12PF F △的边1221,,FF F P FP 分别切于点1,,A B C ,设切点1A (,0)x ,当点P 在双曲线的右支上时,可得121212PF PF PC CF PB BF CF BF -=+--=-1112A F A F =-()()22c x c x x a =+--==,解得x a =,当点P 在双曲线的左支上时,可得x a =-,所以12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =±,所以C 不正确;对于D 中,由正弦定理,可知2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠,所以当2sin AMF ∠最大时,R 最小,因为2a a c<,所以2AMF ∠为锐角,故2sin AMF ∠最大,只需2tan AMF ∠最大.由对称性,不妨设2,a M t c ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0t >),设直线2a x c =与x 轴的交点为N ,在直角2NMF △中,可得222=tan a c NF c NM t NMF -∠=,在直角NMA △中,可得2=tan a a NA c NM tMA N -∠=,又由22222222tan tan tan tan()1tan tan 1NMF NMA AMF NMF NMA NMF NMAa a c a c ct t a a c a c c t t--∠-∠∠=∠-∠==+∠∠--⨯+-⋅22()c a ab c a t c t-=≤-+当且仅当()22ab c a t c t -=,即t =2tan AMF ∠取最大值,由双曲线的对称性可知,当t =2tan AMF ∠也取得最大值,所以D 正确.故选:ABD .7.【多选题】(2021·重庆巴蜀中学高三月考)已知点Q 是圆M :()2224x y ++=上一动点,点()2,0N ,若线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ,则下列结论正确的是( )A .点P 的轨迹是椭圆B .点P 的轨迹是双曲线C .当点P 满足PM PN ⊥时,PMN V 的面积3PMN S =△D .当点P 满足PM MN ⊥时,PMN V 的面积6PMN S =V 【答案】BCD 【分析】根据PM PN -的结果先判断出点P 的轨迹是双曲线,由此判断AB 选项;然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出PM PN ⋅的值,即可求解出PMN S △,据此可判断CD 选项.【详解】依题意,2MQ =,4MN =,因线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ,于是得PQ PN =,当点P 在线段MQ 的延长线上时,2PM PN PM PQ MQ -=-==,当点P 在线段QM 的延长线上时,2PN PM PQ PM MQ -=-==,从而得24PM PN MN -=<=,由双曲线的定义知,点M 的轨迹是双曲线,故A 错,B 对;选项C ,点P 的轨迹方程为2213y x -=,当PM PN ⊥时,2222616PM PN PM PN PM PN MN ⎧-=⎪⇒⋅=⎨+==⎪⎩,所以132PMN S PM PN ==△,故C 对;选项D ,当PM MN ⊥时,2222316PM PN PM PN PM MN ⎧-=-⎪⇒=⎨-==⎪⎩,所以162PMN S PM MN ==△,故D 对,故选:BCD.8.(2021·全国高二课时练习)双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4,且其渐近线与圆()222:21C x y -+=相切,则双曲线1C 的标准方程为______.【答案】2213x y -=【分析】根据焦距,可求得c 值,根据渐近线与圆2C 相切,可得圆心到直线的距离等于半径1,根据a ,b ,c 的关系,即可求得a ,b 值,即可得答案.【详解】因为双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4,所以2c =.由双曲线1C 的两条渐近线b y x a=±与圆()222:21C x y -+=相切,可得1=又224a b +=,所以1b =,a =所以双曲线1C 的标准方程为2213x y -=.故答案为:2213x y -=9.(2021·全国高二单元测试)已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为e ,若双曲线上一点P 使2160PF F ∠=︒,则221F P F F ⋅的值为______.【答案】3【分析】在12PF F △中,设2PF x =,则12PF x =+或12PF x =-.分别运用余弦定理可求得答案.【详解】解:由已知得2124F F c ==.在12PF F △中,设2PF x =,则12PF x =+或12PF x =-.当12PF x =+时,由余弦定理,得()222124242x x x +=+-⨯⨯,解得32x =,所以221314322F P F F ⋅=⨯⨯= .当12PF x =-时,由余弦定理,得()222124242x x x -=+-⨯⨯,无解.故2213F P F F ⋅=.故答案为:3.10.(2021·全国高二课时练习)如图,以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ,且//AB CD .若双曲线1C 以A ,B 为焦点,且过C ,D 两点,则当梯形的周长最大时,双曲线1C 的离心率为______.1【分析】连接AC ,设BAC θ∠=,将梯形的周长表示成关于θ的函数,求出当30θ=︒时,l 有最大值,即可得到答案;【详解】连接AC ,设BAC θ∠=,2AB R c R ==,,作CE AB ⊥于点E ,则||2sin BC R θ=,()2||||cos 902sin EB BC R θθ=︒-=,所以2||24sin CD R R θ=-,梯形的周长221||2||||24sin 24sin 4sin 52l AB BC CD R R R R R R θθθ⎛⎫=++=++-=--+ ⎪⎝⎭.当1sin 2θ=,即30θ=︒时,l 有最大值5R ,这时,||BC R =,||AC =,1(||||)2a AC BC =-=,1=c e a .1+1. (2021·全国高考真题(理))已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点,P 为C 上一点,且121260,3F PF PF PF ∠=︒=,则C 的离心率为( )ABCD【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件,表示出12,PF PF ,结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =,由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==,所以2PF a =,13PF a =;因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos 60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒,整理可得2247c a =,所以22274a c e ==,即e =故选:A2.(2020·浙江省高考真题)已知点O (0,0),A (–2,0),B (2,0).设点P 满足|PA |–|PB |=2,且P 为函数y=|OP |=( )ABCD【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<,所以点P 在以,A B 为焦点,实轴长为2,焦距为4的双曲线的右支上,由2,1c a ==可得,222413b c a=-=-=,即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>,而点P还在函数y =练真题由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩,解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即OP ==.故选:D.3.(2019·全国高考真题(理))设F 为双曲线C :22221x y a b-=(a >0,b >0)的右焦点,O为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点.若|PQ |=|OF |,则C 的离心率为( )ABC .2D【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ,由对称性可知PQ x ⊥轴,又||PQ OF c == ,||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径,A ∴为圆心||2c OA =.,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,又P 点在圆222x y a +=上,22244c c a ∴+=,即22222,22c c a e a=∴==.e ∴=,故选A .4.(2019·全国高考真题(理))双曲线C :2242x y -=1的右焦点为F ,点P 在C的一条渐近线上,O 为坐标原点,若=PO PF ,则△PFO 的面积为( )A B C .D .【答案】A 【解析】由2,,,a b c ====.,P PO PF x =∴=,又P 在C 的一条渐近线上,不妨设为在y x =上,1122PFO P S OF y ∴=⋅==△,故选A .5. (2021·全国高考真题(文))双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________.【分析】先求出右焦点坐标,再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知,3c ===,所以双曲线的右焦点为(3,0),所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.6.(2019·全国高考真题(理))已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若1F A AB = ,120F B F B ⋅=,则C 的离心率为____________.【答案】2.【解析】如图,由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线,即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =g ,得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠,又OA 与OB 都是渐近线,得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=,得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=.又渐近线OB 的斜率为0tan 60ba==,所以该双曲线的离心率为2c e a ====.。
高二数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同,则双曲线的渐近线方程是()A.B.C.D.【答案】C【解析】根据题意,由于双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同(),那么可知,则可知双曲线的渐近线方程是,故选C.【考点】双曲线的性质,抛物线点评:解决的关键是对于双曲线和抛物线性质的熟练表示,属于基础题。
2.若双曲线(b>0)的离心率为2,则实数b等于()A.1B.2C.D.3【答案】C【解析】由双曲线方程可知【考点】双曲线的性质离心率点评:本题涉及到的性质:3.过双曲线的左焦点作圆的切线,切点为E,延长FE交抛物线于点P,若E为线段FP的中点,则双曲线的离心率为( )A.B.C.D.【答案】D【解析】画图。
抛物线的焦点,准线。
连接和EO,则,即有,所以点P到准线的距离等于2a,所以点P的横坐标为,由点P在抛物线上,得点。
又OP=OF=c,所以,解得。
故选D。
【考点】抛物线的性质;两点距离公式;双曲线的性质。
点评:本题几何问题,画图是关键。
一向以来,圆锥曲线是个难点,这需要我们平时多做一些题目提高认识、掌握知识。
4.设双曲线的一个焦点为,虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐进线垂直,那么此双曲线的离心率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】设该双曲线方程为=1(a>0,b>0),可得它的渐近线方程为y=±x,焦点为F(c,0),点B(0,b)是虚轴的一个端点∴直线FB的斜率为k=FB∵直线FB与直线y=x互相垂直,∴-×=-1,得b2=ac∵b2=c2-a2,∴c2-a2=ac,两边都除以a2,整理得e2-e-1=0解此方程,得e=,∵双曲线的离心率e>1,∴e=,故选D。
【考点】本题主要考查双曲线的标准方程与简单几何性质等知识。
点评:本题给出双曲线的焦点与虚轴一端的连线与渐近线垂直,求它的离心率,着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于中档题.5.函数的图象与方程的曲线有着密切的联系,如把抛物线的图象绕原点沿逆时针方向旋转就得到函数的图象.若把双曲线绕原点按逆时针方向旋转一定角度后,能得到某一个函数的图象,则旋转角可以是()A.B.C.D.【答案】C【解析】确定双曲线的渐近线方程,求出倾斜角,即可得到结论.双曲线的渐近线方程为y=±x,其倾斜角为30°或150°。
3.2 双曲线——解答题专练(提升卷)1.已知双曲线C :22221x y a b-=(a > 0,b > 0 2. (1)求双曲线的焦点到渐近线的距离;(2)若直线y =x +m 被双曲线CC 截得的弦长为m 的值.2.已知双曲线E :()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2,点()2,3P 在E 上,F 为E 的右焦点. (1)求双曲线E 的方程;(2)设Q 为E 的左顶点,过点F 作直线l 交E 于,A B (,A B 不与Q 重合)两点,点M 是AB 的中点,求证:2AB MQ =.3.已知双曲线2222C:1x y a b-= (a>0,b>0)(1)求双曲线C 的渐近线方程.(2)当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C 交于不同的两点A,B,且线段AB 的中点在圆225x y +=上,求m 的值.4.已知曲线C :x 2-y 2=1和直线l :y =kx -1.(1)若l 与C 有两个不同的交点,求实数k 的取值范围;(2)若l 与C 交于A 、B 两点,O 是坐标原点,且△AOB k 的值.5.动点)(,M x y 与定点)(15,0F 的距离和M 到定直线9:5l x =的距离的比是常数53. (1)求动点M 的轨迹方程;(2)设)(25,0F -,点P 为M 轨迹上一点,且1260F PF ∠=︒,求12F PF △的面积.6.已知双曲线E :()222210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线所成的锐角为60︒且点()2,3是E 上一点. (1)求双曲线E 的标准方程;(2)若过点()1,1P 的直线l 与E 交于A ,B 两点,点P 能否为线段AB 的中点?并说明理由.7.已知双曲线1C 的焦点在x 轴上,焦距为4,且1C 的渐近线方程为0x ±=.(1)求双曲线1C 的方程;(2)若直线:l y kx =+与椭圆222:142x y C +=及双曲线1C 都有两个不同的交点,且l 与1C 的两个交点A 和B 满足6OA OB <(其中O 为原点),求2k 的取值范围.8.已知双曲线的焦点为1(4,0)F -,2(4,0)F ,且该双曲线过点(6P ,.(1)求双曲线的标准方程;(2)若双曲线上的点M 满足112MF F F ⊥,求△12MF F 的面积.9.已知双曲线的中心在原点,焦点F 1,F 2 (4,,点()3,M m 在双曲线上. (1)求双曲线的方程;(2)求证:1MF ·2MF =0;10.已知双曲线22:2C x y -=及直线:1l y kx =-.(1)若l 与C 有两个不同的交点,求实数k 的取值范围.(2)若l 与C 交于A ,B 两点,且线段AB 中点的横坐标为23-,求线段AB 的长.11.若直线:l y =22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点,且与双曲线的一条渐近线平行. (1)求双曲线的方程;(2)若过点(0,)B b 且与x 轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M ,N ,MN 的垂直平分线为m ,求直线m 与y 轴上的截距的取值范围.12.已知双曲线C 与椭圆22193x y +=有相同的焦点,P 是C 上一点. (1)求双曲线C 的方程;(2)记C 的右顶点为M ,与x 轴平行的直线l 与C 交于A ,B 两点,求证:以AB 为直径的圆过点M .13.已知双曲线C 的焦点F 0),双曲线C 上一点P 到F(1)求双曲线的标准方程和渐近线方程;(2)已知点(0,1)M ,设P 是双曲线C 上的点,Q 是点P 关于原点的对称点.设MP MQ λ=⋅,求λ的取值范围.14.已知1(2,0)F -,2(2,0)F ,点P 满足12||||2PF PF -=,记点P 的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程;(2)若直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点.()i 无论直线l 绕点2F 怎样转动,在x 轴上总存在定点(,0)M m ,使MP MQ ⊥恒成立,求实数m 的值. ()ii 在()i 的条件下,求MPQ ∆面积的最小值.15.已知P 是以21,F F 为焦点的双曲线C :)0,0(12222>>=b a b y a x 上的一点,且021=•PF PF ,||2||21PF PF =。
专题14:双曲线的定义与方程一、单选题1.点1F 、2F 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点,点P 在双曲线上,则12PF F ∆的内切圆半径r 的取值范围是A .(B .()0,2C .(D .()0,12.已知点P 是双曲线E :221169x y -=的右支上一点,1F 、2F 是双曲线E 的左、右焦点,12PF F △的面积为20,给出下列四个命题: ①点P 的横坐标为203 ①12PF F △的周长为803①12F PF ∠大于3π①12PF F △的内切圆半径为32其中所有正确命题的个数为( ) A .1B .2C .3D .43.已知双曲线()2222100x y a b a b-=>,>的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ,若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭,则此双曲线的标准方程可能为( ) A .x 2212y -=1B .22134x y -=C .221169x y -=D .221916x y -=4.已知1F ,2F 分别是双曲线C :22143x y -=的左,右焦点,动点A 在双曲线的左支上,点B 为圆E :()2231x y ++=上一动点,则2AB AF +的最小值为( ) A.7B .8C .6+D .35.设P 是双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>上一点,1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点,则以线段2PF 为直径的圆与双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是( ) A .内切B .外切C .内切或外切D .不相切6.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是,A B ,双曲线的右焦点F 为()2,0,点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上,当ABP ∆的外接圆面积达到最小时,点P 恰好在双曲线上,则该双曲线的方程为( )A .22122x y -=B .2213y x -=C .2213x y -=D .22144x y -=7.设F 为双曲线E :2222x y 1(a,b 0)a b-=>的右焦点,过E 的右顶点作x 轴的垂线与E 的渐近线相交于A ,B 两点,O 为坐标原点,四边形OAFB 为菱形,圆()222222x y c c a b +==+与E 在第一象限的交点是P ,且PF 1=,则双曲线E 的方程是( )A .22x y 162-=B .22x y 126-=C .22x y 13-=D .22y x 13-=8.设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,O 为坐标原点,过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ,与双曲线右支交于点P ,且满足()112OE OP OF =+,3OE = ,则双曲线的方程为A .221612x y -=B .22169x y -=C .22136x y -=D .221312x y -=9.已知双曲线中心在原点且一个焦点为,直线与其相交于M ,M 两点,中点的横坐标为,则此双曲线的方程是 A .B .C .D .10.已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点,1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点,l 为12PF F 的内心,若121213IPF IPF IF F S SS =+成立,则双曲线的渐近线方程为( ) A.0y ±= B .80x y ±=C 0y ±=D .30x y ±=11.已知双曲线22149x y -=,12F F 分别是双曲线的左右焦点,存在一点M ,M 点关于1F 点的对称点是A 点,M 点关于2F 点的对称点是B 点,线段MN 的中点在双曲线上,则NA NB -=A .4±B .4C .8±D .812.设双曲线C :221169x y -=的右焦点为F ,过F 作渐近线的垂线,垂足分别为M ,N ,若d 是双曲线上任一点P 到直线MN 的距离,则dPF 的值为 A .34B .45C .54D .无法确定13.过双曲线22115y x -=的右支上一点P ,分别向圆()221:44C x y ++=和圆()222:41C x y -+=作切线,切点分别为,M N ,则22PM PN -的最小值为 A .10B .13C .16D .1914.已知12,F F 分别是双曲线221916x y -=的左,右焦点,过1F 引圆229x y +=的切线1F P 交双曲线的右支于点P ,T 为切点,M 为线段1F P 的中点,O 为坐标原点,则MO MT -=A .1B .2C .3D .415.如图,已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2,|F 1F 2|=8,P 是双曲线右支上的一点,直线F 2P 与y 轴交于点A ,①APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ,若|PQ|=2,则该双曲线的离心率为AB C .2D .316.已知平面上两点(5,0)M -和(5,0)N ,若直线上存在点P 使6PM PN -=,则称该直线为“单曲型直线”,下列直线中是“单曲型直线”的是( )①1y x =+; ①2y =; ①43y x =; ①21y x =+.( ) A .①和① B .①和① C .①和① D .①和①二、填空题17.P 为双曲线22115y x -=右支上一点,,M N 分别是圆()2244x y ++=和()2241x y -+=上的点,则PM PN -的最大值是_________________.18.已知椭圆22:13x E y +=的左右顶点分别为1A ,2A ,且B ,C 为E上不同两点(B ,C 位于y 轴右侧),B ,C 关于x 的对称点分别为为1B ,1C ,直线1BA 、12B A 相交于点P ,直线1CA 、2CA 相交于点Q ,已知点()2,0M -,则||||||PM QM PQ +-的最小值为____________.19.已知平面内两个定点(3,0)M 和点(3,0)N -,P 是动点,且直线PM ,PN 的斜率乘积为常数(0)a a ≠,设点P 的轨迹为C .① 存在常数(0)a a ≠,使C 上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离之和为定值;① 存在常数(0)a a ≠,使C 上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离之和为定值;① 不存在常数(0)a a ≠,使C 上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离差的绝对值为定值;① 不存在常数(0)a a ≠,使C 上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离差的绝对值为定值.其中正确的命题是_______________.(填出所有正确命题的序号) 20.如图,圆()2224x y ++=的圆心为点B ,()2,0A ,P 是圆上任意一点,线段AP 的垂直平分线l 和直线BP 相交于点Q ,当点P 在圆上运动时,点Q 的轨迹方程为__________.参考答案1.A【解析】如图所示,设12PF F ∆的内切圆圆心为I ,内切圆与三边分别相切于点,,A B C ,根据圆的切线可知:PB PC =,11F A FC =,22F A F B =,又根据双曲线定义122PF PF a -= ,即()()122PC FC PB F B a +-+=,所以122FC F B a -=,即122F A F A a -=,又因为122F A F A c +=,所以1F A a c =+,2F A c a =-,所以A 点为右顶点,即圆心(),I a r ,考虑P 点在无穷远时,直线1PF 的斜率趋近于ba,此时1PF 方程为()by x c a =+r =,解得r b =,因此12PF F ∆内切圆半径()0,r b ∈,所以选择A.2.C【分析】设12F PF △的内心为I ,连接22IP IF IF 、、,设()P m n ,,利用12PF F △的面积为20,可求得P 点坐标;12PF F △的周长为1212|+||||P F P F F F +,借助P 点坐标,可得解;利用1PF k ,2PF k 可求得12tan F PF ,可研究12F PF ∠范围;()12121212PF F Sr PF PF F F =++可求得内切圆半径r . 【解析】设12F PF △的内心为I ,连接22IP IF IF 、、,双曲线E :221169x y -=中的4a =,3b =,5c =,不妨设()P m n ,,0m >,0n >,由12PF F △的面积为20,可得1215202F F n cn n ===,即4n =,由2161169m -=,可得203m =,故①符合题意;由2043P ⎛⎫⎪⎝⎭,,且()150F -,,()250F ,,则12371350333PF PF +==+=,则12PF F △的周长为50801033+=,故①符合题意; 可得11235PF k =,2125PF k =,则(121212360535tan 012123191535F PF -==∈⨯+⨯, 则123F PF π<∠,故①不符合题意;设12PF F △的内切圆半径为r ,可得()12121211422r PF PF F F F F ++=⋅⋅,可得80403r =,解得32r =,故①符合题意. 故选:C.【点评】关键【点评】本题关键借助P 点坐标利用弦长公式求得周长,利用斜率求得夹角,用等积法求得内切圆半径.【分析】由向量的加减运算和数量积的性质,可得221||||2AF F F c ==,由双曲线的定义可得1||22AF a c =+,再由三角形的余弦定理,可得35c a =,45c b =,即可判断出所求双曲线的可能方程.【解析】解:由题可知,1212F A F F F A →→→=-+,若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭,即为2221210F F F F A F F A →→→→⎛⎫+⋅ ⎛⎫-+⎪⎝ ⎭⎪⎭=⎝, 可得21222F AF F →→=,即有221||||2AF F F c ==,由双曲线的定义可知122AF AF a -=, 可得1||22AF a c =+, 由于过F 2的直线斜率为247, 所以在等腰三角形12AF F 中,2124tan 7AF F ∠=-, 则217cos 25AF F ∠=-, 由余弦定理得:22221744(22)cos 25222c c a c AF F c c+-+∠=-=,化简得:35c a =,即35a c =,45b c =, 可得:3:4a b =,22:9:16a b =,所以此双曲线的标准方程可能为:221916x y -=.故选:D .【点评】本题考查双曲线的定义和方程、性质,考查向量数量积的性质,以及三角形的余弦定理,考查运算能力,属于中档题.【分析】根据题意,利用双曲线的定义化简21124AF AF a AF =+=+,转化为不等式1AB AE BE AE ≥-=-,则有211413AB AF AF AE AF AE +≥++-=++当且仅当A 是线段1EF 与双曲线的交点时取等号,计算即可求解.【解析】双曲线22143x y -=中2a =,b =c ==()1F ,圆E 半径为1r =,()0,3E -,21124AF AF a AF ∴=+=+,1AB AE BE AE ≥-=-(当且仅当A ,E ,B 共线且B 在A ,E 之间时取等号.)2111413337AB AF AF AE AF AE EF ∴+≥++-=++≥+==当且仅当A 是线段1EF 与双曲线的交点时取等号.2AB AF ∴+的最小值是7. 故选:A.【点评】本题考查双曲线与直线相交的最值问题,考查几何法解决双曲线问题,考查转化与化归思想,综合性较强,有一定难度. 5.C【分析】利用双曲线的定义,通过圆心距判断出当点P 分别在左、右两支时,两圆相内切、外切.【解析】设以实轴12F F 为直径的圆的圆心为1O ,其半径1r a =, 线段2PF 为直径的圆的圆心为2O ,其半径为222PF r =,当P 在双曲线左支上时,1122O O PF =,21212122PF PF r O O a r -=-==,①两圆内切.当P 在双曲线右支上时,1122O O PF =,12122122PF PF a O r r O -=-==,1212O r r O ∴+=①两圆外切. 故选:C.【点评】本题考查直线和双曲线的位置关系,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,易错点是容易只考虑P 点在一个分支上而导致丢解,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答. 6.A【分析】点P 的坐标为()2,m ()0m >,()tan tan APB APF BPF ∠=∠-∠,展开利用均值不等式得到最值,将点代入双曲线计算得到答案. 【解析】不妨设点P 的坐标为()2,m ()0m >,由于AB 为定值,由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时,APB ∆的外接圆面积取得最小值,也等价于tan APB ∠取得最大值, 因为2tan a APF m +∠=,2tan aBPF m-∠=, 所以()2222tan tan 221a aa a m m APB APF BPF a ab b m m m m +--∠=∠-∠==≤=+-+⋅+, 当且仅当2b m m=()0m >,即当m b =时,等号成立,此时APB ∠最大,此时APB 的外接圆面积取最小值,点P 的坐标为()2,b ,代入22221x y a b -=可得a =b ==所以双曲线的方程为22122x y -=.故选:A【点评】本题考查了求双曲线方程,意在考查学生的计算能力和应用能力. 7.D【分析】根据题意可得c 2a =,ba=结合选项可知,只有D 满足,因为本题属于选择题,可以不用继续计算了,另外可以求出点P 的坐标,根据点与点的距离公式求a 的值,可得双曲线的方程.【解析】由题意,双曲线E :2222x y 1a b-=的渐近线方程为b y x a =±, 由过E 的右顶点作x 轴的垂线与E 的渐近线相交于A ,B 两点,且四边形OAFB 为菱形,则对角线互相平分,所以c 2a =,ba=D 满足,由22222222x y 1a b x y c 4a ⎧-=⎪⎨⎪+==⎩,解得x A =,3y a 2A =,因为PF 1=,所以22232a)(a)1)2-+=,解得a 1=,则b =故双曲线方程为22y x 13-=,故选D .【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质,以及菱形的性质和距离公式的应用,其中解答中合理应用菱形的性质,以及双曲线的几何性质是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于中档试题. 8.D【解析】分析:根据圆的半径得出a,根据中位线定理和勾股定理计算c ,从而得出b ,即可得出双曲线的方程.详解:①E 为圆222x y a +=上的点,()1132OE a OE OP OF ∴===+,,①E 是1PF 的中点,又O 是12F F 的中点,222PF OE a ∴=== 且2PF OE ,又12124PF PF a PF a -==∴== 1PF 是圆的切线,121OE PF PF PF ∴⊥∴⊥,, 又2222222121224601512F F c c PF PF c b c a ,,,.=∴=+=∴=∴=-=①双曲线方程为221312x y -=.故选D .【点评】本题考查了双曲线的性质,直线与圆的位置关系,双曲线标准方程的求法,属于中档题. 9.B【解析】设双曲线方程为,,将16m n '=代入双曲线方程,整理得,由韦达定理得,则.又,所以,所以双曲线的方程是.故选B.考点:双曲线的标准方程. 10.A【分析】设圆I 与12PF F 的三边12F F 、1PF 、2PF 分别相切于点,,E F G ,连接,,IE IF IG ,12IF F ,1IPF ,2IPF 可看作三个高均为圆I 半径r 的三角形.利用三角形面积公式,代入已知式121213IPF IPF IF F S SS =+,化简可得121213PF PF F F -=,再结合双曲线的定义与渐近线方程可得所求. 【解析】如图,设圆I 与12PF F 的三边12F F 、1PF 、2PF 分别相切于点,,E F G , 连接,,IE IF IG ,则12IE F F ⊥,1IF PF ⊥,2IG PF ⊥,它们分别是12IF F ,1IPF ,2IPF 的高,111122IPF rSPF IF PF ∴=⋅=, 222122IPF rSPF IG PF =⋅=, 121212122IF F rSF F IE F F =⋅=, 其中r 是12PF F 的内切圆的半径.121213IPF IPF IF F SSS =+,1212226r r rPF PF F F ∴=+, 两边约去2r得:121213PF PF F F =+,121213PF PF F F ∴-=, 根据双曲线定义,得122PF PF a -=,122F F c =,3a c ∴=,b =,ba=可得双曲线的渐近线方程为y =± ,即为0y ±=,故选A .【点评】本题主要考查双曲线的定义以及双曲线的渐近线,着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质,属于中档题.解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系. 11.C【分析】由题意画出图形,将其转化为三角形中位线,结合双曲线的定义求出结果【解析】如图所示,线段MN 的中点E 在双曲线的左支上,MNA ∆中,1EF 是中位线,12NA EF =,同理,MNB ∆中,2EF 是中位线,22NB EF =,结合双曲线的()12248NA NB EF EF a -=-=-=-.同理线段MN 中点E 在双曲线的右支上,8NA NB -=,则所求8=±,故选C.【点评】本题考查了结合双曲线定义求出线段的差值,题目中的条件需要进行转化为三角形的中位线,是解题的关键 12.B【解析】由题意,易得,直线MN 的方程为:16x 5=, 设P ()y x ,,则165d x =-PF ==544x =- ①16455544x d x PF -==- 故选B 13.B【解析】 由题可知,222212||(|4)(|1)PM PN PC PC -=---, 因此2222121212||||3()()3PM PN PC PC PC PC PC PC -=--=-+-12122()32313PC PC C C =+-≥-=,故选B .考点:圆锥曲线综合题. 14.A【解析】 由题意MO 是12PF F ∆中位线,所以MO21111,,22PF MT PF FT ==-又知15OF ==,1PF 是圆229x y +=的切线,所以3OT =,14FT ==, MO MT -=212PF 1112PF FT ⎛⎫-- ⎪⎝⎭1121()2FT PF PF =--41a =-=,故选A.【点评】本题主要考查双曲线的性质及定义和三角形中位线及圆的切线的性质,属于难题.本题考查知识点较多,综合性较强,同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”,解答这类问题首先不能慌乱,更不能因贪快而审题不清.本题首先根据中位线得MO212PF =,根据几何意义得111,2MT PF FT =-有勾股定理求出14FT =,最后可得MO MT -=1121()2FT PF PF --,进而利用双曲线的定义可求解. 15.C【解析】 如下图所示,1122QF MF PF ==+.又121222,222,2PF PF QF PF a a a -=+-=∴+==,所以离心率422c e a ===,选C.考点:双曲线与圆. 16.A【分析】根据双曲线的定义,可得点P 的轨迹是以M 、N 为焦点,26a =的双曲线,由此算出双曲线的方程为221916x y -=.再分别判断双曲线与四条直线的位置关系,可得只有①①的直线上存在点P 满足B 型直线的条件,由此可得答案.【解析】点(5,0)(5,0)M N -点P 使6PM PN -=,∴点P 的轨迹是以M 、N 为焦点,26a =的双曲线可得222225316b c a =-=-=,双曲线的方程为221916x y -=,双曲线的渐近线方程为43y x =±,∴直线43y x =与双曲线没有公共点, 直线21y x =+经过点()0,1斜率43k >,与双曲线也没有公共点而直线1y x =+与直线2y =都与双曲线221916x y-=有交点,因此,在1y x =+与2y =上存在点P 使6PM PN -=,满足B 型直线的条件 只有①①正确, 故选A.【点评】本题给出“B 型直线”的定义,判断几条直线是否为B 型直线,着重考查了双曲线的定义标准方程、直线与双曲线的位置关系等知识,属于基础题. 新定义题型的特点是:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决. 17.5【分析】先由已知条件知道双曲线的两个焦点为两个圆的圆心,再利用平面几何知识把||||PM PN -转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离即可求||||PM PN -的最大值.【解析】如图,双曲线的两个焦点为:12(4,0),(4,0)F F -为两个圆的圆心,半径分别为122,1r r ==max 1min 2||||2,||||1PM PF PN PF =+=-故||||PM PN -的最大值为:1212(||2||1)||||35PF PF PF PF +-+=-+= 故答案为:5【点评】本题考查了双曲线中的最值问题,考查了学生数形结合,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.18.【分析】根据题意,求得点P ,Q 的轨迹为双曲线2213x y -=的右支,进而根据双曲线的性质得解.【解析】设点(,)B m n ,则1:A B y x =+,21:A B y x , 则2222(3)3n y x m =--, 又2213m n +=,则22133n m =-, ∴点P 的轨迹方程为221(3)3y x =-,即221(0)3x y y -=>, 同理可得点Q 也在轨迹221(0)3x y y -=>上,注意到点(2,0)M -恰为双曲线2213x y -=的左焦点, 如图:设双曲线2213x y -=的右焦点为(2,0)N ,则由双曲线的定义可得||||||23||||||43PM QM PQ PN QN PQ +-=+-,||||||PM QM PQ ∴+-的最小值为故答案为:【点评】本题考查椭圆与双曲线的综合运用,考查化简求解能力及逻辑推理能力,属于中档题.19.①①【分析】由题意首先求得点P 的轨迹方程,然后结合双曲线方程的性质和椭圆方程的性质考查所给的说法是否正确即可.【解析】设点P 的坐标为:P (x ,y ), 依题意,有:33y y a x x ⨯=+-, 整理,得:22199x y a-=, 对于①,点的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆,且c =4,a <0,椭圆在x 轴上两顶点的距离为:6,焦点为:2×4=8,不符; 对于①,点的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆,且c =4, 椭圆方程为:22199y x a +=-,则9916a --=,解得:259a =-,符合; 对于①,当79a =时,22197x y -=,所以,存在满足题意的实数a ,①错误;对于①,点的轨迹为焦点在y 轴上的双曲线,即22199y x a +=-, 不可能成为焦点在y 轴上的双曲线,所以,不存在满足题意的实数a ,正确.所以,正确命题的序号是①①.【点评】本题主要考查轨迹方程的求解,双曲线方程的性质,椭圆方程的性质等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.2213y x -= 【解析】由题设可知||||QP QA =,又因为2QP QB BP QB =+=+,故2QA QB -=,由双曲线定义可知点Q 在以(2,0),(2,0)-B A 为焦点的双曲线上,由于221,2a a c =⇒==,所以222413b c a =-=-=,故点Q 的轨迹方程是2213y x -=,应填答案2213y x -=. 【点评】本题重在考查双曲线的定义及标准方程的求法,检查运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时借助垂直平分线上的点Q 所满足的条件||||QP QA =,进而依据线段之间的数量关系得到2QA QB -=,最后再依据双曲线的定义知道点Q 在以(2,0),(2,0)-B A 为焦点的双曲线上,从而求得双曲线的标准方程使得问题巧妙获解.。
高二数学双曲线试题答案及解析1.设是关于t的方程的两个不等实根,则过,两点的直线与双曲线的公共点的个数为A.3B.2C.1D.0【答案】D【解析】关于t的方程的不同的两根为0,,不妨取=0,=,直线AB 过原点,斜率为==,恰是双曲线的一条渐近线,故与该双曲线的公共点的个数为0,故选D.【考点】直线的方程,双曲线的渐近线,2.已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,点P为双曲线右支上的一点,满足,且,则该双曲线离心率为.【答案】.【解析】,在中,设,则,.【考点】双曲线的离心率.3.在平面直角坐标系中,已知中心在坐标原点的双曲线经过点,且它的右焦点与抛物线的焦点相同,则该双曲线的标准方程为.【答案】.【解析】由于抛物线的焦点坐标为:,由已知得:双曲线C的右焦点F的坐标为,又因为双曲线C的中心在坐标原点,所以可设所求双曲线C的方程为:且,从而有:,故设所求双曲线C的方程为:.【考点】双曲线.4.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于()A.B.C.1D.【答案】B.【解析】由题意可知双曲线的顶点坐标为,渐近线方程为,因此顶点到渐近线的距离为.【考点】双曲线的标准方程与渐近线方程.5.已知双曲线与抛物线有一个共同的焦点F, 点M是双曲线与抛物线的一个交点, 若, 则此双曲线的离心率等于( ).A.B.C.D.【答案】A【解析】:∵抛物线的焦点F(,0),∴由题意知双曲线的一个焦点为F(c,0),>a,(1)即p>2a.∴双曲线方程为,∵点M是双曲线与抛物线的一个交点, 若,∴p点横坐标x=,代入抛物线y2=8x得P,把P代入双曲线P,得,解得或因为p>2a.所以舍去,故(2)联立(1)(2)两式得c=2a,即e=2.故选A.【考点】抛物线的简单性质;双曲线的离心率的求法.6.已知双曲线的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率的值是.【答案】【解析】根据渐近线方程有,可知其渐近线的斜率的绝对值小于1,所以两条渐近线的倾斜角分别是与,则根据,得,根据双曲线中有则离心率为.【考点】双曲线渐近线,离心率.7.双曲线的离心率为()A.B.C.D.【答案】C【解析】依题意可得,所以,所以该双曲线的离心率,故选C.【考点】双曲线的标准方程及其几何性质.8.在平面直角坐标系xOy中,已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为x±2y=0,则该双曲线的离心率为.【答案】【解析】因为焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为,所以【考点】双曲线渐近线方程9.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的,则该双曲线的渐近线方程是()A.B.C.D.【答案】C【解析】因为双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为所以因此因为双曲线的渐近线方程为所以该双曲线的渐近线方程是.【考点】双曲线的渐近线方程10.设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点,满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为()A.B.C.D.【答案】C【解析】因为,所以三角形为等腰三角形,因此到直线的距离等于底边上的高线长,从而因此又所以该双曲线的渐近线方程为.【考点】双曲线的渐近线11.双曲线的离心率大于的充分必要条件是()A.B.C.D.【答案】C【解析】由题可知,,,因为,所以,故选C.【考点】双曲线的离心率.12.若双曲线的渐近线方程为,则它的离心率为.【答案】.【解析】由双曲线的渐近线方程为及性质可知,两边平方得,即.【考点】双曲线的几何性质.13.已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 .【答案】2【解析】由题意知抛物线的焦点为,∴;双曲线的焦点到其渐近线的距离.【考点】双曲线的定义、抛物线的定义.14.已知、为双曲线C:的左、右焦点,点在曲线上,∠=,则到轴的距离为()A.B.C.D.【答案】B【解析】题中唯一的条件是,为了充分利用此条件,我们设,且不妨设,则根据双曲线定义有,对利用余弦定理有,即,因此可求得,下面最简单的方法是利用面积法求得到轴的距离,,可得。
高二数学双曲线试题1.双曲线(,)的左、右焦点分别是,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点,若垂直于轴,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.【答案】B【解析】设,易求M坐标为,在三角形中,即,由得,答案选B.【考点】双曲线的性质2.已知双曲线的右焦点是抛物线的焦点,两曲线的一个公共点为,且,则双曲线的离心率为A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意可得:双曲线的焦点为,且两曲线的一个公共点为在y轴右侧,因为,因此可设点,所以,所以,所以双曲线的离心率为.【考点】双曲线、抛物线的定义及性质.3.与双曲线有共同的渐近线,并且过点A(6,8)的双曲线的标准方程为__________.【答案】【解析】设所求双曲线为,把点(6,8)代入,得,解得λ=-4,∴所求的双曲线的标准方程为.故答案为:.【考点】双曲线的性质和应用.4.已知集合P={x|1≤x≤8,x∈Z},直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1有且只有一个公共点,其中m、n∈P,则满足上述条件的双曲线共有__________________个.【答案】3【解析】依题意,将直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1的方程联立,消去y得:(m-4n)x2-4nx-n-1=0;分①直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1相切,②直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1相交,讨论,分利用判别式与直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1的一条渐近线y=x平行即可求得答案.【考点】直线与双曲线的位置关系.5.已知双曲线中心在原点,一个焦点为,点P在双曲线上,且线段的中点坐标为(0,2),则此双曲线的方程是________________.【答案】【解析】由题可得P(,4),∵,∴把P(,4)代入双曲线标准方程,解方程组即可.【考点】双曲线的标准方程.6.双曲线的焦距是10,则实数的值是()A.B.4C.16D.81【答案】C【解析】由双曲线的方程,可得,而,所以由可得,故选C.【考点】双曲线的定义及其标准方程.7.设P是双曲线上一点,该双曲线的一条渐近线方程是,分别是双曲线的左、右焦点,若,则等于 ( )A.2B.18C.2或18D.16【答案】C【解析】因为双曲线渐近线方程是,所以又因为,所以等于2或18【考点】双曲线定义,渐近线方程8.已知双曲线的右焦点为,若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】已知双曲线的右焦点为,若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率,∴,离心率=,∴,故选C.【考点】1、双曲线的性质;2、直线与圆锥曲线的位置关系.9.抛物线的准线与双曲线交于两点,点为抛物线的焦点,若△为直角三角形,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】先根据抛物线方程求得准线方程,代入双曲线方程求得,根据双曲线的对称性可知为等腰直角三角形,进而可求得或的纵坐标为,进而求得,利用和的关系求得,则双曲线的离心率可得. 解:依题意知抛物线的准线方程为,代入双曲线的方程得,不妨设,设准线与轴的交点为,∵是直角三角形,所以根据双曲线的对称性可知,为等腰直角三角形,所以即,解得,∴,所以离心率为,选D.【考点】双曲线的性质.10.若中心在原点,以坐标轴为对称轴的圆锥曲线,离心率为,且过点,则曲线的方程为________.【答案】【解析】离心率为的圆锥曲线是双曲线,而且是等轴双曲线,故可设基方程为,把点代入可求出.因此双曲线方程为.【考点】等轴双曲线的标准方程.11.过双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于______.【答案】2.【解析】本题MN实质上是双曲线的通径,(可令代入双曲线方程求出的坐标,从而得出通径长),根据题意应该有,.【考点】双曲线的通径与离心率.12.已知双曲线(a>0,b>0)的离心率,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离是.(Ⅰ)求双曲线的方程及渐近线方程;(Ⅱ)若直线y=kx+5 (k≠0)与双曲线交于不同的两点C、D,且两点都在以A为圆心的同一个圆上,求k的值.【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)=【解析】本题主要考察双曲线的标准方程、韦达定理等基础知识,考察学生运算能力、综合分析和解决问题的能力.(Ⅰ)离心率为,∴,∴①,直线的方程为即,利用点到直线的距离公式得到:②,两式联立,可求出,∴双曲线方程为,渐近线方程为:;(Ⅱ)两点在以为圆心的同一个圆上,的中垂线过点,将直线与双曲线联立,消去,可得,设,中点为,则∴,解得=,并检验是否满足(.试题解析:(Ⅰ)直线的方程为:即又原点到直线的距离由得 3分所求双曲线方程为 4分(注:也可由面积法求得)渐近线方程为: 5分(Ⅱ)方法1:由(1)可知(0,-1),设,由得: 7分∴3+3+=3+3+,整理得:=0,∵,∴,∴,又由-10+25-3=0 (),∴y+y=, 10分2=7, 11分由△=100-4(1-3)(25-3)>0=7满足此条件,满足题设的=. 12分方法2:设,中点为,由, 7分∵,的中垂线过点 9分∵∴ 11分整理得解得=.(满足 12分【考点】1、双曲线的标准方程;2、点到直线的距离公式和直线方程;3、韦达定理.13.双曲线的焦距为()A.B.C.D.【答案】D【解析】中,所以,双曲线的焦距为2c=,故选D。
一、选择题(每小题4分,共40分)
1. 到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是 ( ) A. 椭圆
B. 线段
C. 双曲线
D. 两条射线 2. 方程
1k
1y k 1x 22
=-++表示双曲线,则k 的取值范围是 ( ) A. 1k 1<<- B . 0k > C. 0k ≥
D. 1k >或1k -<
3. 双曲线
1m 4y 12
m x 2
222=--
+的焦距是 ( )
A. 4
B. 22
C. 8
D. 与m 有关
4.设P 是双曲线22a
x -9y 2
=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x -2y =0,F 1、F 2分
别是双曲线的左、右焦点.若|PF 1|=3,则|PF 2|等于
A. 1或5
B. 6
C. 7
D. 9
5. “ab<0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件
D. 既不充分又不必要条件
6. 焦点为()6,0,且与双曲线1y 2x 22
=-有相同的渐近线的双曲线方程是 ( ) A. 124y 12x 22=- B. 124x 12y 22=- C. 112x 24y 22=- D. 112
y 24x 2
2=- 7. 若a k 0<<,双曲线1k
b y k
a x 2222=+-
-与双曲线
1b y a x 2
22
2=-
有 ( )
A. 相同的虚轴
B. 相同的实轴
C. 相同的渐近线
D. 相同的焦点
8. 过双曲线
19
y 16x 2
2=-左焦点F 1的弦AB 长为6,则2ABF ∆(F 2为右焦点)的周长是( )
A. 28
B. 22
C. 14
D. 12
9. 已知双曲线方程为14
y x 2
2=-,过P (1,0)的直线L 与双曲线只有一个公共点,则L
的条数共有 ( )
A. 4条
B. 3条
C. 2条 D . 1条
10. 给出下列曲线:①4x+2y -1=0;②x 2
+y 2
=3;③1y 2x 2
2=+ ④1y 2
x 22=-,其中与直线y =-2x -3有交点的所有曲线是 ( )
A. ①③
B. ②④
C. ①②③
D. ②③④
11.双曲线的渐进线方程为230x y ±=,(0,5)F -为双曲线的一个焦点,则双曲线的方
程为( )
A .
22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 22
131********y x -= 12.设12,F F 是双曲线22221x y a b
-=的左、右焦点,若双曲线上存在点A ,使12
90F AF ︒
∠=且123AF AF =则双曲线的离心率为 ( )
A B. C. D 二、填空题(每小题5分,共20分)
13.若双曲线经过点(3,2),且渐近线方程是y =±1
3
x ,则这条双曲线的方程是______.
14. 过点A (0,2)可以作_________条直线与双曲线x 2
-4
y 2
=1有且只有一个公共点.
15. 直线1+=x y 与双曲线13
y 2x 2
2=-相交于B A ,两点,则AB =__________________.
16. 过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线1y 4
x 22
=-的弦所在直线的方程为 .
三、解答题(40分)
17.求以椭圆x 225+y 2
9
=1的长轴端点为焦点,且经过点P (42,3)的双曲线的标准方程.
18.已知定圆M :(x -2)2+y 2=8,动圆P 过点N (-2,0),且与定圆M 外切,求动圆P 的圆心的轨迹方。
19. (本题满分14分)、已知双曲线的方程是16x 2-9y 2=144. (1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程; (2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点,点P 在双曲线上,且|PF 1|²|PF 2|=32,求∠F 1PF 2
的大小.
20. (本题满分14分)、已知双曲线x 2
-2
y 2
=1与点P (1,2),过点P 作直线l 与双曲
线交于A 、B 两点,若P 为AB 中点.
(1)求直线AB 的方程; (2)若Q (1,1),证明不存在以Q 为中点的弦.
21.已知直线y =ax +1与双曲线3x 2-y 2=1交于A 、B 两点. (1)若以AB 为直径的圆过坐标原点,求实数a 的值,
(2)是否存在这样的实数a ,使A 、B 两点关于直线y =1
2x 对称?若存在,请求出a 的值;
若不存在,请说明理由.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13. _ y 2
-x 2
9
=1_ 14. 4 15. 64 16. 05y 4x 3=-+
三、解答题(40分)
17.[解析] 椭圆x 225+y 2
9=1长轴的顶点为A 1(-5,0),A 2(5,0),则双曲线的焦点为F 1(-
5,0),F 2(5,0),由双曲线的定义知,
|PF 1|-|PF 2|
=(42+5)2+(3-0)2-(42-5)2+(3-0)2 =(52+4)2-(52-4)2=8, 即2a =8,a =4,c =5,∴b 2=c 2-a 2=9. 所以双曲线的方程为x 216-y 2
9
=1.
18. 因为动圆P 过点N ,所以PN 是圆P 的半径,又因为动圆P 与圆M 外切,所以PM =PN +22,即PM -PN =22(小于4),
故点P 的轨迹是以M ,N 为焦点,实轴长为22的双曲线的左支. 因为实半轴长a =2,半焦距c =2,所以虚半轴长b =c 2-a 2= 2.
从而动圆P 的圆心的轨迹方程为x 22-y 2
2
=1(x ≤-2).
19解:(1)由16x 2
-9y 2
=144得9x 2-16
y 2
=1,…………2'
∴a =3,b =4,c =5.焦点坐标F 1(-5,0),F 2(5,0),…………4'
离心率e =
3
5
,…………6' 渐近线方程为y =±3
4
x.…………8'
(2)||PF 1|-|PF 2||=6,cos ∠F 1PF 2=|PF ||PF |2|F F ||PF ||PF |2
12
212221-+ …………10'
=|PF ||PF |2|F F ||PF ||PF |2|)PF ||PF (|2
12
2121221-+-=641006436-+ =0. …………12'
∴∠F 1PF 2=90°。
…………14'
20. (1)解:设过P (1,2)点的直线AB 方程为y -2=k (x -1),…………2' 代入双曲线方程得
(2-k 2)x 2+(2k 2-4k )x -(k 4-4k+6)=0. …………4'
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),
则有x 1+x 2=-2
2k 2k 4k 2--,…………6'
由已知
2
x x 2
1+=x P =1, ∴2
k k 4k 222--=2。
解得k =1。
…………8'
又k =1时,Δ=16>0,从而直线AB 方程为x -y+1=0. …………10' (2)证明:按同样方法求得k =2,…………12'
而当k =2时,Δ<0,所以这样的直线不存在. …………14'
21.[解析] (1)由⎩
⎪⎨⎪⎧
y =ax +1
3x 2-y 2=1消去y 得,
(3-a 2)x 2-2ax -2=0①
依题意⎩
⎪⎨⎪⎧
3-a 2
≠0Δ>0
即-6<a <6且a ≠±3② 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),
则⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
+x 2=2a
3-a 2
③x 1x 2
=-2
3-a 2
④
∵以AB 为直径的圆过原点,∴OA ⊥OB . ∴x 1x 2+y 1y 2=0,但y 1y 2=a 2x 1x 2+a (x 1+x 2)+1, 由③④知,x 1+x 2=
2a
3-a 2,x 1x 2=-23-a 2
. ∴(a 2+1)·-23-a 2+a ·2a
3-a 2+1=0.
解得a =±1且满足②.
(2)假设存在实数a ,使A 、B 关于y =12x 对称,则直线y =ax +1与y =1
2x 垂直,∴a =
-2.
直线l 的方程为y =-2x +1. 将a =-2代入③得x 1+x 2=4. ∴AB 中点横坐标为2, 纵坐标为y =-2³2+1=-3.
但AB 中点(2,-3)不在直线y =1
2x 上.
即不存在实数a ,使A 、B 关于直线y =1
2
x 对称.。