第二章 杆件的内力.截面法(第1、2、3节)

FN1 5P 8P 4P P 0
FN1 2 P
同理，求得AB、 BC、CD段内力分
FN2
B PB FN3
C PC C PC
D PD D PD D PD
别为：
FN2= –3P
FN3= 5P FN4= P
FN4
轴力图如右图
FN 2P +
5P
+ P x
–
3P
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 轴力(图)的简便求法： 自左向右: 遇到向左的P， 轴力FN 增量为正； 遇到向右的P ， 轴力FN 增量为负。 8kN
为非对称弯曲。
平面弯曲：梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相 重合，这种弯曲称为平面弯曲。 对称弯曲必定是平面弯曲，而平面弯曲不一定是对称弯曲。
二、梁的计算简图
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。 集中力(concentrated force) 2. 载荷简化 集中力偶(concentrated moment) 分布载荷(distributed load)
的平面内作用一对大小相 等，方向相反的外力偶。
2．变形特征：横截面形状大小未变，只
是绕轴线发生相对转动。 轴：以扭转为主要变形的构件称为轴
Me Me
主轴 主轴
计算简图：
Me Me
二、外力偶矩的计算
已知：P—传递的功率,（kw） n—转速,（r/min） 求：外力偶矩Me ( N· m)
解：P M
1.剪力符号 使dx 微段有左端向上而右端向下的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为正.或使dx微段
+
m
FS
FS
m
有顺时针转动趋势的剪力为正.
dx
使dx微段有左端向下而右端向上的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为负.或使dx微 段有逆时针转动趋势的剪力为负.
m
FS
m dx
2.弯矩符号
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
设一等直杆在两端轴向拉力 F 的作用下处于平衡,
欲求杆件 横截面 mm 上的内力.
1.截面法(Method of sections) （1）截 F 在求内力的截面m-m 处, 假想地将杆截为两部分. m m F
（2）取 取左部分部分作为研 究对象. （3）代 弃去部分对研究对象 的作用以截开面上的内力 F m F
n
B C D
P2 150 m2 m3 9.549 9.549 4.77 (kN m) n 300 P4 200 m4 9.549 9.545 6.37 (kN m) n 300
②求扭矩（扭矩按正方向设）
mC 0 , T1 m2 0
T1 m2 4.77kN m
注意 1、用截面法求轴力时，在切开的截面上建议假设正 的轴力，由平衡方程得出的FN值为正，说明轴力为
正（拉力）； FN值为负，说明轴力为负（压力）。
2、在画轴力图时，填充为下画线或无填充，不要画剖
面线形式；并注上 符号 或
。
§2-2 扭转的概念.扭矩与扭矩图
一、扭转的概念
1．受力特征：在杆件两端垂直于杆轴线
§2-1 轴向拉伸或压缩的概念.轴力与轴力图
一、轴向拉伸或压缩的概念
活塞杆
受力特点：力或合外力沿轴线方向 变形特点：沿轴向伸长或缩短 ——直杆的轴向拉伸或压缩 计算简图：
F 轴向拉伸 (axial tension) F F F
拉杆
轴向压缩
(axial compression) 压杆
二、求内力－截面法 m F F
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
-
m
m
（受压）
剪力与弯矩的符号规定：
若外力对截面形心取矩为顺 时针力矩，则该力在截面上 产生正的剪力，反之为负的 剪力（顺为正，逆为负）。
固定截面，若外力或外力偶 使梁产生上挑的变形，则该 力或力偶在截面上产生正的 弯矩，反之为负的弯矩（上 挑为正，下压为负）。
剪力 弯曲构件内力 弯矩 1. 剪力(Shear force) FS 构件受弯时，与横截面相切的分 布内力系的合力。 2.弯矩(Bending moment) M 构件受弯时，与横截面垂直的分 布内力系的合力偶矩。 FRAy
x
求内力——截面法
m
F
B
m
FRB
FS M
C
FRAy M
C
F
FS
FRB
内力的符号规定
Mechanics of Materials
§2-1 轴向拉伸或压缩的概念.轴力与轴力图 §2-2 扭转的概念.扭矩与扭矩图 §2-3 弯曲的概念.剪力与弯矩 §2-4 剪力方程与弯矩方程.剪力图和弯矩图 §2-5 载荷集度、剪力与弯矩之间的关系 *§2-6 按叠加原理和数值法计算弯矩
§2-7 平面刚架与平面曲杆的弯矩内力 §2-8 杆件内力的普遍情况
对称弯曲：工程中最常见的梁，其横截面一般至少有一根对称 轴，因而整个杆件有一个包含轴线的纵向对称面。
若所有外力都作用在该纵向对称面内时，梁弯曲变 形后的轴线将是位于该平面内的一条曲线，这种弯 曲形式称为对称弯曲。
纵向对称面
轴线
变形后的轴线
非对称弯曲 ：梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内这种弯曲称
三、弯曲内力
a
F
B l
[例4] 如图示简支梁，已知F，a， A l， 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
Fx 0 ,
FRAx 0
FRAxA
F
B
FRAy Fa m A 0 , FRB l F (l a ) Fy 0 , FRAy l
ห้องสมุดไป่ตู้
FRB
F (l a ) Fy 0 , FS FRAy l FRAxA mC 0 , M FRAy x
5kN 5kN +
3kN
8kN –
3kN
[例2] 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出 杆的轴力图。 解：x 坐标向右为正，坐标原点在 自由端。
q(x)
L x q O
取左侧x 段为对象，内力FN(x)为：
q(x) x qL x
x
FNx
FN O –
kL2 2
1 2 FN ( x) kx dx kx 0 2 1 2 FN ( x) max kL 2
(tensile force) （2）若轴力的指向截面，
则规定为负的,称为压力 (compressive force) FN
m
F
m
三、轴力图(Axial force diagram)
用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线
的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截面位 置关系的图线，称为轴力图 . 将正的轴力画在x轴上侧，负的画
[例5] 求图（a）所示悬臂梁1－1、2－2截面处的内力。
qL
2
1 1 a 2
q
解：截面法求内力。 1－1截面处截取的分离体
b
如图（b）示。
y qL
x
A
图（a）
F
y
qL FS1 0
FS1 qL
M1 x FS1 图（b）
mA ( Fi ) qLx M 1 0 M 1 qLx
M M — 集中力偶
悬臂梁 (cantilever beam)
q(x) — 分布力
外伸梁(overhanging beam) q — 均布力 P — 集中力
5. 静定梁与超静定梁
静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。 超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。 跨：梁在两支座之间的部分称为跨，其长度称为梁的跨长。
扭矩画在 x 轴上方，负的扭矩画在 x 轴下方.
x
[例3]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩
图。
解：①计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
P 500 1 m1 9.549 9.549 n 300 A 15.9(kN m)
3. 支座简化
A
FRAy
固定铰支座 (pin support)
A A
FRAx A
A
可动铰支座 (roller support)
A
A
FRA
A
固定端
M
FRy
(clamped support or fixed end)
FRx
4. 梁的三种基本形式 简支梁 (simply supported beam)
2－2截面处截取的分离体如图（c） qL
2 1
q
F
y
qL FS2 q( x a) 0
y qL
1 a
x
2
b
FS2 q( x a L)
mB ( Fi ) 0 , 1 qLx M 2 q( x a) 2 0 2
图（a） B M2 x FS2
m2
1
m3
2
m1
3
m4
T2 m2 m3 0 ,
A
1
B
2
C