最新人教版高中数学选修1-1《导数》课前导引

3.3.3 函数的最大（小）值与导数一、教学目标 1．核心素养通过学习函数的最大（小）值与导数，形成基本的逻辑推理和数学运算能力，能围绕讨论问题的主题，观点明确，论述有理有据，并依据运算法则解决数学问题． 2．学习目标（1）借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值的概念。

（2）弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉)(x f 必有最大值和最小值的充分条件。

（3）掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤。

3．学习重点利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 4．学习难点函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1结合函数2)(x x f =在]2,1[-上的图像，想一想：函数2)(x x f =在]2,1[-上的极小值是多少？函数2)(x x f =在]2,1[-上的最大值、最小值分别是多少？ 任务2预习教材P96—P98，完成P98相应练习题，并找出疑惑之处.2．预习自测1．下列说法正确的是( )A ．函数的极大值就是函数的最大值B ．函数的极小值就是函数的最小值C ．函数的最值一定是极值D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值 解：D 最值是极值与闭区间端点处的函数值比较之后得到的．2．函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值是M ，最小值是m ，若M=m ，则)(x f '( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D ．以上都有可能 解：A 由题意知函数在闭区间上所有函数值相等,故其导数为0． 3．函数x xe y -=在]4,2[∈x 上的最小值为 ．解：44e xx x x e x e xe e y -=-='1)(2，当]4,2[∈x 时，0<'y ，即函数xxe y -=在]4,2[∈x 上单调递减，故当4=x 时，函数有最小值为44e． 4．设b ax ax x f +-=236)(在区间]2,1[-上的最大值为3，最小值为29-，且0>a ，求a ，b 的值 ． 解：2=a)4(3123)(2-=-='x ax ax ax x f ，令0)(='x f ，得0=x 或4=x ，则函数)(x f 在]2,1[-上的单调性及极值情况如下表所示： ∴3)0(==b f ，又∵3736)1(+-=+--=-a a a f ，3163248)2(+-=+-=a a a f)1(-<f ，∴29316)2(-=+-=a f ，∴2=a ．（二）课堂设计 1．知识回顾⑴常见函数的导数公式及导数的四则运算法则.⑵求函数极值的方法和求解步骤. 2．问题探究问题探究一 函数最大（小）值与导数 ●活动一观察与思考：极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小，观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象，你能找出函数)(x f y =在闭区间],[b a 上的最大值、最小值吗？一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：⑴如果在某一区间上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，则称函数()y f x =在这个区间上连续．⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； ⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，⑷函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件． ●活动二想一想：函数的极值与最值有怎样的关系？函数极值与最值的区别与联系：⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一．⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．（5）对于在闭区间上图像连续不断的函数，函数的最大（小）值必在极大（小）值点或区间端点处取得．问题探究二 函数的最大值与最小值的求解●活动一阅读教材P97的例5，根据例5及最值与极值的关系归纳出求函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的最值的步骤．利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．●活动二 初步运用 求函数的最值例 1 已知函数4431)(3+-=x x x f ，⑴求曲线)(x f y =在点)4,0(处的切线方程；⑵若]3,3[-∈x ，求函数)(x f 的最大值与最小值．【知识点：导数的几何意义、函数的最值；数学思想：数形结合】详解：⑴4)(2-='x x f ，所以曲线)(x f y =在点)4,0(处的切线的斜率4)0(-='=f k ，故曲线)(x f y =在点)4,0(处的切线方程为44+-=x y ．⑵令0)(='x f 得2=x 或2-，列表如下：3)2()(=-=f x f 极大值，3)2()(-==f x f 极小值，又7)3(=-f ，1)3(=f ，∴)(x f 在]3,3[-的最大值是328，最小值是34-．点拨：⑴求函数最值时，若函数)(x f 的定义域是闭区间，则需比较极值点处函数值与端点函数值的大小才能确定函数的最值．⑵若)(x f 的定义域是开区间且只有一个极值点，则该极值点就是最值点． ⑶若)(x f 为单调函数，则端点就是最值点． ●活动三 对比提升 由函数的最值求参数例2 已知函数()ln f x ax x =-，当(]0,e x ∈（e 为自然常数）,函数()f x 的最小值为3，求实数a 的值．【知识点：根据函数最值求参数值；数学思想：分类讨论】详解：由()ln f x ax x =-得()1f x a x '=-,因为(]0,e x ∈，所以当1ea ≤时，()f x 在(]0,e x ∈是减函数，最小值为()e e 10f a =-≤，不满足题意；当1a e >时， ()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦是减函数，1,e a ⎛⎤⎥⎝⎦是增函数，所以最小值为211ln 3e f a a a ⎛⎫=+=⇒= ⎪⎝⎭，∴实数a 的值为2e .问题探究三 利用最值解不等式恒成立问题函数恒成立问题是高中数学里非常具有探讨价值的问题，下列是一些常见结论：（1）不等式0)(≥x f 在定义域内恒成立⇔0)(min ≥x f ； （2）不等式0)(≤x f 在定义域内恒成立⇔0)(max ≤x f ；（3）不等式)()(x g x f >，),(b a x ∈恒成立⇔0)()()(>-=x g x f x F ，),(b a x ∈恒成立． ●活动一 初步运用例 3 已知函数x x x f ln )(=．⑴ 求()f x 的最小值；⑵若对所有1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围．【知识点：求函数的最小值、不等式恒成立；数学思想：转化与化归】详解：⑴)(x f 的定义域为),0(+∞，x x f ln 1)(+='，令0)(>'x f ，解得ex 1>；令0)(<'x f ，解得e x 10<<，从而)(x f 在)1,0(e 上单调递减，在),1(+∞e 上单调递增，∴当e x 1=时，)(x f 取得最小值e1-．⑵依题意，得1)(-≥ax x f 在),1[+∞上恒成立，即不等式xx a 1ln +≤对于),1[+∞∈x 恒成立．令x x x g 1ln )(+=，则)11(111)(2xx x x x g -=-='，当1>x 时，0)(>'x g ，故)(x g 在),1(+∞上是增函数，∴1)1()(min ==g x g ，∴实数a 的取值范围是]1,(-∞． ●活动二 对比提升例4 已知函数()()()()21ln ,22f x a x x g x f x ax a R ⎛⎫=-+=-∈ ⎪⎝⎭．（1）当0a =时，求()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）若对()()1,,0x g x ∀∈+∞<恒成立，求a 的取值范围．【知识点：求函数最值、不等式恒成立；数学思想：转化与化归、分类讨论】详解：（1）函数21()()ln 2f x a x x =-+的定义域为(0,)+∞，当0=a 时，21()ln 2f x x x =-+，211(1)(1)()x x x f x x x x x -+-+-'=-+==；当11<<x e时，有()0f x '>；当e x <<1时，有()0f x '<，∴()f x 在区间[1e ，1]上是增函数，在[1，e]上为减函数，又211()12f e e=--，2()12e f e =-，1(1),2f =- ∴2min ()()12e f x f e ==-，max 1()(1)2f x f ==-.（2）21()()2()2ln 2g x f x ax a x ax x =-=--+，则()g x 的定义域为(0,)+∞.21(21)21(1)[(21)1]()(21)2a x ax x a x g x a x a x x x --+---'=--+==. ①若12a >，令()0g x '=，得极值点11x =，2121x a =-，当211x x >=，即112a <<时，在)1,0(上有0)(>'x g ，在),1(2x 上有0)(<'x g ，在),(2+∞x 上有0)(>'x g ，此时)(x g 在区间),(2+∞x 上是增函数，并且在该区间上有),),(()(2+∞∈x g x g 不合题意；当112=≤x x ，即1≥a 时，同理可知，)(x g 在区间),1(+∞上，有()((1),),g x g ∈+∞也不合题意；②若12a ≤，则有012≤-a ，此时在区间),1(+∞上恒有0)(<'x g ，从而)(x g 在区间),1(+∞上是减函数；要使()0g x <在此区间上恒成立，只须满足1(1)02g a =--≤12a ⇒≥-，由此求得a 的范围是11[,]22-.综合①②可知，当11[,]22a ∈-时，对x ∀∈(1,)+∞，()0g x <恒成立.点拨：恒成立问题总是要化为求函数的最值问题来解决，常用分类讨论（求最值）法或分离参数法.在不等式或方程中，参数只出现一次，或在几个项中出现的参数只是一次的形式，可以对不等式或方程进行变形，把参数分离到一边去，而另一边则是x 的表达式. 3．课堂总结 【知识梳理】 数学知识：⑴最值的存在性定理． ⑵最值的求解步骤．一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ①求)(x f 在(,)a b 内的极值；②将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值． ⑶恒成立问题． 常见结论：（1）不等式0)(≥x f 在定义域内恒成立⇔0)(min ≥x f ； （2）不等式0)(≤x f 在定义域内恒成立⇔0)(max ≤x f ；（3）不等式)()(x g x f >，),(b a x ∈恒成立⇔0)()()(>-=x g x f x F ，),(b a x ∈恒成立． 数学思想：分类讨论、化归与转化等思想． 【重难点突破】 求函数最值的注意点（1）我们讨论的函数是在闭区间[]b a ,上图像连续不断，在开区间),(b a 上可导的函数．在闭区间[]b a ,上图像连续不断，保证函数有最大值和最小值；在开区间),(b a 上可导，才能用导数求解．（2）求函数的最大值和最小值需要先确定函数的极大值和极小值．因此，函数的极大值和极小值的判定是关键．（3）如果仅仅是求最值，可以将上面的方法简化，因为函数)(x f 在),(b a 内的全部极值，只能在)(x f 的导数为零的点或导数不存在的点处取得（以下称这两种点为可疑点），所以只要将这些可疑点求出来，然后将函数)(x f 在可疑点处的函数值与区间端点处的函数值进行比较，就能得到函数的最大值和最小值．（4）当图像连续不断的函数)(x f 在),(b a 内只有一个可疑点时，若在这一点处函数)(x f 有极大（小）值，则可以判定函数)(x f 在该点处取到最大（小）值，这里),(b a 也可以是无穷区间． （5）当图像连续不断的函数)(x f 在[]b a ,上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得． 4．随堂检测1．函数)(x f y =在],[b a 上（ ）A ．极大值一定比极小值大B ．极大值一定是最大值C ．最大值一定是极大值D ．最大值一定大于极小值 【知识点：极值与最值的关系】 解：D2．函数x x x f cos 2)(-=在),(+∞-∞上（ ）A ．无最值B ．有极值C ．有最大值D ．有最小值【知识点：单调函数的最值】 解：A3．函数343)(x x x f -=在]1,0[上的最大值是（ ）A ．1B ．21C ．0D ．1- 【知识点：函数的最大值】解：A4．函数x x y -=sin 在区间]2,0[π上的最小值为（ ） A ．π- B ．21π-C ．0D ．π2- 【知识点：函数的最小值】 解：D5．设5221)(23+--=x x x x f ，当]2,1[-∈x 时，m x f <)(恒成立，则实数m 的取值范围为 ．【知识点：不等式恒成立问题】 解：),7(+∞ （三）课后作业 基础型 自主突破1．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．1(0,)2【知识点：函数最值与极值的关系；数学思想：转化与化归】解：B ∵f '(x )＝3x 2－3a ，令f '(x )＝0，可得a ＝x 2，又∵x ∈(0,1)，∴0<a <1，故选B ． 2．函数ln xy x=的最大值为( ) A ．1-e B ．e C ．e 2 D ．103【知识点：函数最大值】 解：A 令22(ln )'ln '1ln 'x x x x xy x x ⋅-⋅-==＝0(x ＞0)．解得x ＝e ．当x >e 时，y ′<0；当0＜x <e时，y ′>0．y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e．3．函数241xy x =+在定义域内( )A ．有最大值2，无最小值B ．无最大值，有最小值－2C ．有最大值2，最小值－2D ．无最值 【知识点：函数的最值；数学思想：数形结合】解：C 令2222224(1)4244'(1)(1)x x x x y x x +-⋅-+==++＝0，得x ＝±1．2． 4．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________． 【知识点：函数最值与零点关系；数学思想：转化与化归】 解：(－∞，2ln2－2]函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，而g '(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x 在(－∞，ln 2)上递增，在(ln2，＋∞)上递减，因而g (x )＝2x －e x 的值域为(－∞，2ln2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可．5．函数y ＝x ＋2cos x 在区间[0,]2π上的最大值是________．【知识点：函数最大值】解：6π+y ′＝1－2sin x ＝0，x ＝6π，比较0，6π，2π处的函数值，得y max ＝6π+6．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求a 的值及f (x )在[－2,2]上的最大值．【知识点：函数的最值；数学思想：数形结合】 解：a ＝3；f (x )的最大值为3．f '(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，令f '(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，当x 变化时，f '(x )，f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝－2时，f (x )min ＝－40＋a ＝－37，得a ＝3． ∴当x ＝0时，f (x )的最大值为3． 能力型 师生共研7. 若函数3()3f x x x =-在区间2(,6)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A．( B．[ C ．[2,1)- D．(2]- 【知识点：函数的最值；数学思想：数形结合】解：C 由于函数()f x 在开区间2(,6)a a -有最小值，则函数()f x 的极小值点在2(,6)a a -内，且在2(,6)a a -内的单调性是先减再增. 2'()333(1)(1)f x x x x =-=+-,当11x -<<时，'()0f x <，当1x >，'()0f x >，所以()f x 得最小值为(1)f . ∴只需{216()(1)a a f a f <<-≥，得到21a -≤<，故选C.8. 设01a <≤，函数2(),()ln a f x x g x x x x =+=-，若对任意的[]12,1,x x e ∈，都有12()()f xg x ≥成立，则实数a 的取值范围是 ．【知识点：不等式恒成立、函数的最值；数学思想：转化与化归】解：]1,2[-e 22222()1a x a f x x x-'=-=，当01a <≤，且[]1,x e ∈时，()0f x '≥，∴()f x 在[]1,e 上是增函数，21min ()(1)1f x f a ==+，又1()1(0)g x x x'=->，∴()g x 在[]1,e 上是增函数，2max ()()1g x g e e ==-．由条件知只需1min 2max ()()f x g x ≥．即211a e +≥-．∴22a e ≥-．即1a ≤≤．9. 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )，求f (x )在区间[－1,0]上的最大值． 【知识点：函数的最大值；数学思想：分类讨论】解：3max31,243(),02720,0.a a f x a a a ⎧---⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪⎪⎩≤，＜＜，≥解析：令f '(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝23a ，①当2323a ≥0，即a ≥0时，f (x )在[－1,0]上单调递增，从而f (x )max ＝f (0)＝0；②当23a ≤－1，即a ≤－32时，f (x )在[－1,0]上单调递减，从而f (x )max ＝f (－1)＝－1－a ； ③当－1<23a <0，即－32<a <0时，f (x )在2[1,]3a -上单调递增；在2[,0]3a 上单调递减，则f (x )max ＝324()327f a a =-．综上所述：3max31,243(),02720,0.a a f x a a a ⎧---⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪⎪⎩≤，＜＜，≥10. 设函数12)(22-++=t x t tx x f (x ∈R ，t ＞0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )＜－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围．【知识点：不等式恒成立、函数的最值；数学思想：转化与化归、数形结合】 解：(1) h (t ) ＝－3t ＋t －1；(2) (1，＋∞) ．解析：(1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－3t ＋t －1(x ∈R ，t ＞0)，∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1，即h (t )＝－3t ＋t －1．(2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－3t ＋3t －1－m ，由g '(t )＝－3t 2＋3＝0得t ＝1，t ＝－1(不合题意，舍去)．当t 变化时g '(t )、g (t )的变化情况如下表：∴对t ∈(0,2)，当t ＝1时，g (t )max 恒成立，也就是g (t )<0，对t ∈(0,2)恒成立，只需g (t )max ＝1－m <0，∴m >1. 故实数m 的取值范围是(1，＋∞) ． 探究型 多维突破 11. 已知函数()()2ln 2=-∈a f x x x x a R . (Ⅰ)若不等式()0>f x 有解，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)研究函数的极值点个数情况.【知识点：不等式有解与函数的最值的关系、函数的极值；数学思想：转化与化归、分类讨论】 解：（Ⅰ）2<a e；(Ⅱ)()1,∈+∞a 时，有0个极值点；1a =时，有0个极值点；()0,1a ∈时，有两个极值点；(],0∈-∞a 时，有一个极值点解析：（Ⅰ）()0>f x 有解等价于2ln <x a x 有解，即max 2ln ⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x a x ，设()2ln =xg x x ，则()()22ln 1'-=x g x x ，当()0,∈x e 时，()'0>g x ；当(),∈+∞x e 时，()'0<g x ，所以当x e =时，()max 2=g x e ，即2<a e. (2)令()'0=f x 得到ln 10x ax +-=，得到ln 1x a x +=，()()2ln 1ln ,'+-==x xh x h x x x,当()0,1x ∈时，()'0>h x ；当()1,∈+∞x 时，()'0<h x ，又()()0,,,0→→-∞→+∞→x h x x h x ，所以()1,∈+∞a 时，ln 1+=x a x无解，有0个极值点； 1a =时，ln 1+=x a x有一解，但不是极值点；()0,1∈a 时，ln 1+=x a x 有二解，有两个极值点；(],0∈-∞a 时，ln 1+=x a x有一解，有一个极值点.12. 已知函数()ln 2x m f x e x -=-. （1）若1m =，求函数()f x 的极小值； （2）设2m ≤，证明：()ln 20f x +>.【知识点：函数的极值、不等式的证明、函数的最值；数学思想：转化与化归】 解：（1）()11ln 2f =-；（2）证明见解析.解析：（1）()11ln 2ln 2ln x x f x e x e x e -=-=⋅--，所以()1111x x f x e e e x x-'=⋅-=-，观察得()111101f e e '=⋅-=，而()1111x x f x e e e x x-'=⋅-=-在(0,)+∞上单调递增，所以当(0,1)x ∈时()0f x '<，当()1+∞，时()0f x '>；所以()f x 在()0,1单调递减，()f x 在()1+∞，单调递增，故()f x 有极小值()11ln 2f =-．证明：（2）因为2m ≤，所以()2ln 2ln 2x m x f x e x e x --=-≥-， 令221()ln 2ln 2ln x x g x e x e x e -=-=⋅--，则21()x g x e x-'=-，易知()g x '在(0,)+∞单调递增，1(1)10g e '=-<，1(2)102g '=->，所以设02001()0x g x e x -'=-=，则0(1,2)x ∈；当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>；所以()g x 在()00,x 上单调递减，()0,x +∞上单调递增， 所以02min 00()()ln 2x g x g x e x -==-，又因为02001()0x g x e x -'=-=，故0201x e x -=，所以02000001ln ln2ln 2ln x e x x x x x -=⇒-=-⇒-=，所以0022min 000()()ln 2ln 2ln x x g x g x e x e x --==-=--001ln 22x x =--+ 0012ln 2ln 2x x =+--≥-当且仅当001x x =，即01x =时等号成立，而0(1,2)x ∈，所以min ()ln 2g x >-，即()ln 2g x >-，所以()ln 2f x >-，即()ln 20f x +>． （四）自助餐1. 函数()ln f x x x =-在区间(0,e]（e 为自然对数的底）上的最大值为（ ） A.1- B.0 C.1 D.1e - 【知识点：函数的最大值】解：A ()()''1110x f x f x x x-=-=∴>得1x <，所以增区间为()0,1，减区间为()1,+∞，所以函数最大值为()11f =-． 2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值【知识点：函数的最值】解：D )(x f '＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，)(x f '<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D ． 3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1B ．π2－1 C ．π D ．π＋1 【知识点：函数的最大值】解：C 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，则函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π，故选C ．4．已知函数4)(23-+-=ax x x f 在2=x 处取得极值，若]1,1[,-∈n m ，则)()(n f m f '+的最小值是（ ）A ．13-B ．15-C ．10D ．15 【知识点：函数的极值、最小值】解：A 求导得ax x x f 23)(2+-='，由函数)(x f 在2=x 处取得极值知0)2(='f ，即02243=⨯+⨯-a ，∴3=a ．由此可得43)(23-+-=x x x f ，x x x f 63)(2+-='，已知)(x f 在)0,1(-上单调递减，在)1,0(上单调递增，∴当]1,1[-∈m 时，4)0()(min -==f m f ．又x x x f 63)(2+-='的图像开口向下，且对称轴为1=x ，∴当]1,1[-∈n 时，9)1()(min -=-'='f n f ，故)()(n f m f '+的最小值是13-．故选A ．5． 已知函数)(x f ，)(x g 均为],[b a 上连续且)()(x g x f '<'，则)()(x g x f -的最大值为（ ） A ．)()(a g a f - B ．)()(b g b f - C ．)()(b g a f - D ．)()(a g b f - 【知识点：单调函数的最大值】解：A ='-])()([x g x f 0)()(<'-'x g x f ，∴函数)()(x g x f -在],[b a 上单调递减，∴)()(x g x f -的最大值为)()(a g a f -．6．当]1,2[-∈x 时，不等式03423≥++-x x ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]3,5[--B ．]89,6[-- C ．]2,6[-- D ．]3,4[--【知识点：不等式恒成立；数学思想：转化与化归】解：C 当]1,0(∈x 时，得x x x a 1)1(4)1(323+--≥，令xt 1=，则),1[+∞∈t ，令t t t t g +--=2343)(，),1[+∞∈t ，则)19)(1(189)(2-+-=+--='t t t t t g ，显然在),1[+∞∈t 上，0)(<'t g ，)(t g 单调递减，∴6)1()(max -==g t g ，因此6-≥a ；同理，当)0,2[-∈x 时，的2-≤a ，当0=x 时对任意实数a 不等式也成立，故实数a 的取值范围是26-≤≤-a ． 7．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xax y +=22（a 为常数）过点1(-P ，)30-，则函数xax y +=22在区间]4,1[的最大值与最小值的和为________． 【知识点：函数的最值】解：64 曲线过点1(-P ，)30-，∴a -=-230，∴32=a ，∴xx y 3222+=，232324324xx x x y -=-='，令0='y 得2=x ，当1=x 时，34322=+=y ；当2=x 时，24168=+=y ；当4=x 时，40832=+=y ，∴最大值与最小值的和为64．8．函数x x x f cos sin )(+=在]2,2[ππ-∈x 时的最大、最小值分别是 ． 【知识点：函数的最值】解：2，1-． 0sin cos )(=-='x x x f ，即1tan =x ，)(4Z k k x ∈+=ππ．而]2,2[ππ-∈x ，当2π-＜x ＜4π时，0)(>'x f ，当4π＜x ＜2π时，)(x f '，∴)4(πf 是极小值．又)4(πf=，1)2(-=-πf ，∴1)2(=πf ．∴函数的最大值为2，最小值为1-．9．函数x exy =在[0，2]上的最大值为 ．【知识点：函数的最值】解：e 1． 函数x f y ==)(函数)(x f 单调递增；当x ∈（1，2]时，)(x f '＜0，此时函数)(x f 单调递减．∴当x =1时，函数)(x f 取得最大值，f )1(=10．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋a ，b ，c ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围． 【知识点：函数的极值、不等式恒成立；数学思想：转化与化归】解：(1)39a b =⎧⎨=-⎩；(2)(－∞，－18)∪(54，＋∞)．解析：(1)f '(x )＝3x 2－2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根．∴2133133a b⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，∴39a b =⎧⎨=-⎩．(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ，f '(x )＝3x 2－6x －9.当x 变化时，f '(x )，f (x )随x 的变化如下表：而f (－2)＝c －2，f (6)＝c ＋54，∴当x ∈[－2,6]时，f (x )的最大值为c ＋54，要使f (x )<2|c |恒成立，只要c ＋54<2|c |即可，当c ≥0时，c ＋54<2c ，∴c >54；当c <0时，c ＋54<－2c ，∴c <－18． ∴c ∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c 的取值范围．11．已知函数)(ln )(R a x ax x f ∈+=，(1)若2=a ，求曲线)(x f y =在1=x 处切线的斜率；(2)求)(x f 的单调区间；(3)设22)(2+-=x x x g ，若对任意∈1x (0，+∞)，均存在∈2x [0，1]，使得)()(21x g x f <，求a 的取值范围．【知识点：导数的几何意义、函数的单调性、不等式有解与最值的关系；数学思想：转化与化归、分类讨论】解：(1) 3；(2)当0≥a 时，)(x f 的单调递增区间为(0，+∞)；当0<a 时，函数)(x f 的单调递为3；的单调递增区间为(0，+∞)；(3)由题意知，转化为max max )()(x g x f < (其中∈1x (0，+∞)，∈2x [0，1])，由(2)知，当0≥a 时，12．已知函数()xf x e=（e 是自然对数的底数），()1ln h x x x x =--. （1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()h x 的最大值；（3）设()'()g x xf x =，其中'()f x 为()f x 的导函数.证明：对任意0x >，2()1g x e -<+. 【知识点：导数的几何意义、函数的最值、不等式证明；数学思想：转化与化归】解：（1）1y e=；（2）()h x 的最大值为22()1h e e --=+；（3）证明见解析．解析：（1）由ln 1()x x f x e +=，得1(1)f e =，1ln '()xx x xf x xe --=，所以'(1)0k f ==，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y e=.（2）()1ln h x x x x =--，(0,)x ∈+∞.所以'()ln 2h x x =--.令'()0h x =得，2x e -=.因此当2(0,)x e -∈时，'()0h x >，()h x 单调递增；当2(,)x e -∈+∞时，'()0h x <，()h x 单调递减.所以()h x 在2x e -=处取得极大值，也是最大值.()h x 的最大值为22()1h e e --=+. （3）证明：因为()'()g x xf x =，所以1ln ()xx x xg x e--=,0x >，2()1g x e -<+等价于21ln (1)x x x x e e ---<+.由（2）知()h x 的最大值为22()1h e e --=+，故21ln 1.x x x e ---≤+只需证明0x >时，1x e >成立，这显然成立.所以221ln 1(1)x x x x e e e ----≤+<+，因此对任意0x >，2()1g x e -<+.。

人教版高中选修1-1第三章导数及其应用课程设计一、课程背景本课程是人教版高中选修1-1第三章导数及其应用课程设计，主要面向高中一年级学生，介绍导数的概念、性质以及其在几何、物理等领域中的一些应用。

在基础知识的掌握上，重点突出了导函数的求法和利用导数解决问题的方法。

二、课程目标1.掌握导数的概念、性质，并能正确运用导数的基本公式求导；2.理解导函数的概念，在实际应用中能正确求解；3.能够应用导数的求法，解决几何、物理等相关问题；4.提高学生对数学的兴趣，增强数学思维能力。

三、教学内容1. 导数的概念与求法（1）导数的定义导数的定义、几何意义和物理意义。

（2）导数的求法应用导数的基本公式，如幂函数、指数函数、对数函数等的求导法则。

（3）导数的性质对导数的加法、减法、乘法、除法运算法则的学习。

2. 导函数的求法与应用（1）导函数的概念导函数的概念及其几何意义。

（2）导函数的求法应用导数的运算法则，求出函数的导函数。

（3）导函数的应用介绍导数在极值、凸性、函数图像研究、边界条件问题等方面的应用。

3. 积分与微积分基本定理（1）积分的概念积分的基本概念及其场景应用。

（2）微积分基本定理微积分基本定理的概述及其在求不定积分和定积分中的应用。

四、教学方法1. 探究式学习法利用问题导向的学习方法，启发学生思考，提高学生自主学习能力。

2. 教师引导法教师根据学生的基础与能力，引导学生进行分析、反思和总结。

3. 交互式教学法教师与学生之间进行交互式的教学模式，营造积极、健康的课堂气氛。

五、教学评估1. 平时评估平时成绩占全年总成绩30%；包括课堂表现、作业完成情况、参与课外活动等。

2. 期中期末考试期中考试占全年总成绩30%；期末考试占全年总成绩40%。

六、教学资源1. 学生教材人教版高中选修1-1教材。

2. 实验器材教师准备导数计算器、积分计算器、激光仪等。

七、教学反思通过教学实践，本教案把“探究式学习法”、“教师引导法”、“交互式教学法”等多种教学方法融合在一起，形成了自我启发、团队学习、交互参与等特点鲜明的“高中选修1-1导数及其应用”互动教学模式，活跃了课堂气氛，激发了学生学习的兴趣，提升了他们的学习成绩和自主学习能力。

人教版高中数学选修1-1教学讲义年级：上课次数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题课型授课日期及时段导数的计算□预习课□同步课■复习课□习题课教学内容导数的计算【学习目标】1．知识与技能（1）了解求基本初等函数导函数的基本方法和步骤，掌握计算一般函数y=f(x)在x处导数的步骤．0（2）熟练记忆8个基本初等函数的导数公式，并能应用公式求简单函数的导数．（3）了解两个函数的和、差、积、商的求导公式，会运用上述公式，求含有和差积商综合运算的函数的导数．（4）了解函数的复合过程，并能求复合函数的导数．2．过程与方法（1）通过求运动物体在某一时刻的速度，抽象概括出计算函数y=f(x)在x=x处的导数的步骤的过程以及由函数y=f(x)在x处导数与所给区间上导函数的过程，体会由特殊到一般的数学研究方法，领会它们之间的联0系与不同，体会算法思想在求导过程中的渗透．（2）经历由两个函数的和差积商的运算法则的求导过程，培养推理、演绎、归纳、抽象的数学思维形式；并通过对基本初等函数间进行四则运算和复合后所得函数求导数，培养学生的运算能力．3．情感、态度与价值观在本节的学习中，认识到数学推理的严谨细致，感受特殊与一般的数学逻辑的关系；提高对导数重要性的认识，利用导数解决与切线的有关问题，体会导数在解决问题中的强大作用．【要点梳理】第1页共18页⎝ x ⎭' '(tan x)'= ⎛sin x ⎫⎪ '=(cot x )'= ⎛ cos x ⎫⎪ '=要点一：基本初等函数的导数基本初等函数导数 特别地常数函数 y = c (c为常数)y ' = 0π ' = 0 ， e '=0幂函数 y = x n (n为有理数)y = n ⋅ x n -1 ⎛ 1 ⎫⎪' = 1 x 2 ， ( x )= 1 2 x指数函数 y = a xy ' = a x ⋅ ln a(e x) =ex对数函数 y = log xa正弦函数 y = sin x余弦函数 y = cos xy ' = 1x ⋅ ln ay ' = cos xy ' = - sin x(ln x )' = 1x 1⎝ cos x ⎭cos 2 x 1⎝ sin x ⎭ sin 2 x要点诠释：1．常数函数的导数为 0，即 c ' =0（ c 为常数）．其几何意义是曲线 f ( x ) = c （ c 为常数）在任意点处的切线平行于 x 轴．2．有理数幂函数的导数等于幂指数 n 与自变量的（ n －1）次幂的乘积，即 ( x n )' = nx n -1 (n ∈ Q ) ．3．在数学中，“ ln ”表示以 e (e=2.71828 K ) 为底数的对数；“ lg ”表示以 10 为底的常用对数． 4．基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．要点二：和、差、积、商的导数要点诠释：1． 上述法则也可以简记为：第2页共18页（ⅲ）商的导数： u ⎫ ' = ⎢ g ( x ) ⎥ g 2 ( x ) 当 f ( x) = 1 时， ⎢' ==- ( g ( x ) ≠ 0) ． ⎣ g ( x) ⎦g 2 ( x )g 2 ( x )（1）类比： (uv)' = u ' v + uv ' ， u ⎫ ' = （2）注意： ⎛ u ⎫ ⎪ ' ≠ 且 ⎪ ' ≠（ⅰ）和（或差）的导数： (u ± v)' = u '± v ' ，推广： (u ± u ± L ± u )' = u ' ± u ' ± L ± u ' ．1 2n12n（ⅱ）积的导数： (u ⋅ v)' = u ' v + uv ' ，特别地： (cu )' = cu ' （c 为常数）．⎝ v ⎭u ' v - uv ' v 2(v ≠ 0) ，两函数商的求导法则的特例⎡ f ( x ) ⎤ f '(x) g ( x ) - f ( x ) g '(x)' = ( g ( x ) ≠ 0) ，⎣ ⎦⎡ 1 ⎤ 1'⋅ g ( x ) - 1⋅ g '(x) g '(x)⎥这是一个函数倒数的求导法则．2．两函数积与商求导公式的说明⎝ v ⎭u ' v - uv ' v 2 （v≠0），注意差异，加以区分．⎝ v ⎭ v ' ⎝ v ⎭v 2 u ' ⎛ u ⎫ u ' v + uv '（v≠0）．3．求导运算的技巧在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．例如，要对函数y = (x + 2)(x 1)2求导，可先因式分解将该函数化为 y = x 3-3x +2 ，再利用加法和减法法则求导．要点三：复合函数的导数1．复合函数的概念对于函数 y = f [ϕ ( x )] ，令 u = ϕ ( x ) ，则 y = f (u ) 是中间变量 u 的函数， u = ϕ ( x ) 是自变量 x 的函数，则函数 y = f [ϕ ( x )] 是自变量 x 的复合函数．例如，函数 y=ln (sin x ) 是由 y=ln u 和 u=sin x 复合而成的．要点诠释： 常把 u = ϕ ( x ) 称为“内层”， y = f (u ) 称为“外层” ．2．复合函数的导数设函数 u = ϕ ( x ) 在点 x 处可导，u ' = ϕ '(x) ，函数 y = f (u ) 在点 x 的对应点 u 处也可导 y ' = f '(u ) ，则复x u第 3 页 共 18 页x 2+2log x ； 5 '+2(log x )' = x - 5 ⎪ '+2 (log x )' = x 5 + （1） y ' = ⎪ 5 x ln 3⎝ 5 x 2 ⎭ ⎝ ⎭⎛ 3 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 3 1⎝ ⎭ ⎝ x ⎭' '合函数 y = f [ϕ ( x )] 在点 x 处可导，并且 y ' = y ' ⋅ u ' ，或写作 f ' [ϕ ( x )] = f '(u) ⋅ϕ '(x) ．x uxx3．复合函数求导一般步骤（1）分层：将复合函数 y = f [ϕ ( x )] 分出内层、外层．（2）各层求导：对内层 u = ϕ ( x ) ，外层 y = f (u ) 分别求导．得到ϕ '(x), f '(u)（3）求积并回代：求出两导数的积： f '(u) ⋅ϕ '(x) ，然后将u 用ϕ ( x )替换 ，即可得到 y = f [ϕ ( x )] 的导数．要点诠释：1． 整个过程可简记为：分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程．若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量．2． 选择中间变量是复合函数求导的关键．求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏．求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．【典型例题】类型一：导数的计算例 1． 求下列各函数的导数：（1） y =13（2） y = 5 1x 3 + π ；x（3） f ( x ) = ( x 2 + 1)(2x - 3) ；（4） y = 1 - ln x．1 + ln x【思路点拨】先将各函数写出初等函数的和、差、积、商的形式，再利用求导法则展开，最后代入各初等函数的导数值．【解析】⎛ 1 ⎫ ⎛ 2 ⎫ 2 - 7 2 3 3．2 （2） y ' = x 5 ⎪ ' ⎪ '+ π '= x 5 + 5 x 2．（3）法一：去掉括号后求导．∵ f ( x )=( x 2 + 1)(2x - 3)=2 x 3 - 3x 2 + 2 x - 3 ，∴ f '(x) = 2 (x 3 ) - 3 (x 2 )+ 2 x '= - 36 x 2 - 6 x + 2 ．法二：利用两个函数乘积的求导法则第 4 页 共 18 页= x2 ==f '(x) = ( x 2 + 1)'⋅ (2 x - 3) + ( x 2 + 1)⋅ (2 x - 3)'= x(2 x －3) + (x 2 + 1)⨯ 2= 6 x 2－6 x + 2.（4） y '= (1 - ln x )'⨯ (1 + ln x ) (1 - ln x )⨯ (1 + ln x )'(1 + ln x )21 1- (1+ ln x) - (1- ln x)x (1+ ln x)2=-2．x(1+ ln x)2【总结升华】（1）求导数前的变形，目的在于简化运算；求导数后应对结果进行整理化简；（2）求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．（3）如果遇到求多个积的导数，可以逐层分组进行；举一反三：【变式 1】求下列函数的导数：（1） y = 2 x 3 - 3x 2 + 5x - 4 ；（2） y = (2 x 2 + 3)(3x - 2) ；（3） y =x + 3 x 2 + 3；（4） f ( x ) = tan x ．【答案】（1） y ' = (2 x 3 - 3x 2 + 5x - 4)' = (2 x 3 )' - (3x 2 )' + (5 x )' - 4' = 6 x 2 - 6 x + 5 ．（2）法一：直接求导（利用乘法法则）：y ' = (2 x 2 + 3)'g(3x - 2)+(2 x 2 + 3)g(3x - 2)'=4x g(3x - 2) + 3(2 x 2 + 3)= 18x 2 - 8x + 9 ．法二：展开后求导（利用加法和减法法则）：y = (2 x 2 + 3)(3x - 2) = 6 x 3 - 4 x 2 + 9 x - 6 ，∴ y ' = (6 x 3 - 4 x 2 + 9 x - 6)' = (6 x 3 )' - (4 x 2 )' + (9 x )' - 6' = 18 x 2 - 8 x + 9 ；( x + 3)'g( x 2 + 3) - ( x + 3)g( x 2 + 3)'( x 2 + 3) - ( x + 3) ⋅ 2 x- x 2 - 6 x + 3 （3） y ' =．( x 2 + 3)2( x 2 + 3)2( x 2 + 3)2第 5 页 共 18 页（4）f'(x)=(sin x（3）y=1（1）y'=(2x sin x)'+ cos x⎪'⎛-1⎫=x sin x+2x cos x+ ⎪cos x+(-sin x)⋅18-+4log x 4x3(2+log x)-8x3+4x3log x-lg ax ln a=ln a=x3．a2（3）∵y=1=(sin x)'⋅cos x-sin x⋅(cos x)'cos x⋅c os x-sin x(-sin x)1 )'===．cos x(cos x)2cos2x cos2x【变式2】求下列函数的导数：（1）y=2x sin x+1xcos x；x4（2）y=；2+log xa1+；1-x1+x（4）y=x gsin x gln x．【答案】⎛1⎫⎝x⎭1-2⎝x2⎭11=(x-2-x-1)sin x+(2x2-x-2)cos x．1 x（2）y'=a a12-2(1-x)'2+=，∴y'=．1-x1+x1-x(1-x)2(1-x)2（4）y'=(xsinx)'⋅lnx＋xsinx⋅(lnx)'=⎡⎣x'⋅sinx+x⋅(sinx)'⎤⎦lnx＋sinx=(sinx＋xcosx)lnx＋sinx．例2．求下列复合函数的导数：（1）y=ln(8x)；（2）y=5e2x+1；（3）y=sin2x－cos2x.【思路点拨】利用复合函数的求导步骤，按照分层——求导——回代的顺序逐步进行．【解析】（1）第一步：分层：令u=8x，则y=ln u．第6页共18页u 8x x法二：∵ y ＝ 2 sin(2 x － ) )，∴ y '＝ 2 cos(2x － ) ·2＝2 2sin(2x ＋ )．π( ) ，所以 =5e ⋅ ⎡(e 2)2)2= 10e 2x +1 ．因为 y =5e2x +1=5e ⋅ e 2'1 ⎣⎦第二步：求导： u ' = 8 ， y ' = x u 1 u．1 1 1第三步：回代： y '= y ' ⋅ u ' = 8 ⋅ = 8 ⋅ = ．u x （2） 第一步：分层：设 y ＝5e u ，u ＝2x ＋ ，第二步：求导： y ' ＝5e u ，u ' ＝2 ，ux第三步：回代： y '= y ' ⋅ u ' = 10e u =10e 2 x +1 ．ux（3）法一： y '＝(sin 2 x －cos2 x)'＝(sin 2 x )'－(cos2 x )'＝2cos2 x ＋2sin 2 x ＝2 2 sin(2 x ＋π) ．4ππ 444【思路点拨】（1）复合函数求导的本质是逐层求导，在求导的过程中把一部分量或式子暂时当作一个整体，即中间变量，求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．（2）通过恒等变换，将复合函数化简为初等函数和、差、积、商的形式，再通过四则运算求导法则计算导数，从而简化步骤，减少失误．比如，本题第（1）题的另一解法：x⎢ ⎥（3）在熟悉复合函数的求导步骤后，可省略中间步骤，如第（2）题，可写成如下形式：y '=5 [log (2x+1)]'= 2 5 10g(2 x + 1)'= ．(2 x + 1)ln 2 (2 x + 1)ln 2举一反三：【变式 1】求下列函数导数．（1） y = ln( x + 2) ；（2） y = e 2 x +1 ；（3） y = cos(2 x 2 + 1) ；第 7 页 共 18 页（4） y = ⎪ sin x ≠ 0 ）． （4）方法一： y ' = 2 ⎪ ' = ⋅ =- - =- - ()⎛ cos x ⎫2⎝ sin 2 x ⎭【答案】（1）令 y = ln u ， u = x + 2 ，∴ y ' = y ' ⋅ u ' = (ln u ) '⋅ ( x + 2)' = x u x1 1⋅1 =u x + 2（2）令 y = e u ， u = 2x +1 ，∴ y ' = y ' ⋅ u ' = (e u ) '⋅ (2 x + 1)' = 2e u = 2e 2 x +1xu x（3）令 y = cos u ， u = 2x 2 + 1 ，∴ y ' = y ' ⋅ u ' = (cos u ) '⋅ (2 x 2 + 1)' = -4 x sin u = -4 x sin(2 x 2 + 1) ．xu xcos x ⎛ cos x ⎫ 2cos x (cos x) 'sin 2 x - cos x(sin 2 x) '⋅sin 2 x ⎝ sin 2 x ⎭ sin 2 x sin 6 x2cos x(- sin 3 x - 2cos 2 x ⋅ s in x) 2cos x 4cos 3 x= ．sin 6 x sin 3 x sin 5 xcos 2 x方法二：∵ y = ，sin 4 x∴ y ' =(cos 2 x)'sin 4 x - cos 2 x(sin 4 x)'sin 8 x2cos x(- sin x)sin 4 x - cos 2 x ⋅ 4sin 3 x cos x 2cos x 4cos 3 x= ．sin 8 x sin 3 x sin 5 x【变式 2】求下列函数导数：（1） y = cos 2(2 x +π3 )；（2） f ( x ) = e - x (cos x + sin x) ；（3） y = ln x ＋ 1 + x 2．【答案】第 8 页 共 18 页y ' = ⎢cos 2 (2 x + ) ⎥ ' = 2cos(2 x + ) ⋅ ⎢cos(2 x + ) ' ⎦（1）设 y = μ 2， μ = cos v ， v = 2 x +π3，则y ' = y ' ⋅ μ ' ⋅ v ' = -2μ ⋅ sin v ⋅ 2xμV xπ π= -2cos(2 x + ) ⋅ s in(2 x + ) ⋅ 23 3 2π= -2sin(4 x + )3在熟练掌握复合函数求导以后，可省略中间步骤：⎡ ⎣ π ⎤ π ⎡ π ⎤ 3 ⎦ 3 ⎣ 3 ⎥π π π= -2cos(2 x + ) ⋅ s in(2 x + ) ⋅ (2 x + )'3 3 3 2= -2sin(4 x + π )3（2） f '(x) = e - x ⋅ (- x )'(cos x + sin x) + e - x ⋅ (cos x + sin x)'= -e - x (cos x + sin x) + e - x (- sin x + cos x)= e - x (- sin x + cos x - cos x - sin x)= e - x (-2sin x)= -2e - x ⋅ sin x ．（3） y ' =1 x + 1 + x2 ( x + 1 + x 2) ' = 1 x + 1 + x 2 (1+ x1 + x2 ) ＝ 11 + x 2【变式 3】函数 y = ( x + 1)2 ( x - 1) 在 x = 1 处的导数等于()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D法一： y ' = [( x + 1)2 ]'( x - 1) + ( x + 1)2 ( x - 1)'= 2( x + 1)⋅ ( x - 1) + ( x + 1)2 = 3x 2 + 2 x - 1∴ y '|x =1= 4 ．第 9 页 共 18 页例 3． 曲线 y = e2 在点 (4, e 2 ) 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（）1 1 x【解析】 y ' = (e 2)' = (( e ) x )' = ( e ) x ⋅ ln e = ( e ) x = e 2 ，2【总结升华】本题考查导数的知识以及切线方程的求法，关键是求切线的斜率，而 y = e 2 的导数采用将解析式 利用指数幂运算法则变形为 y ' = (e 2 )' = (( e ) x )' ，从而由导数公式求解．ex k 法二：∵ y = ( x + 1)2 ( x - 1) = ( x 2 - 1)(x + 1) = x 3 + x 2 - x - 1∴ y ' = ( x 3 )' + ( x 2 )' - x '- 1' = 3x 2 + 2 x - 1∴ y '|x =1= 4 ．类型二：曲线的切线问题1 xA ． 9 2e 2B ． 4e 2C ． 2e 2D ． e 2【思路点拨】通过求导，求出切线斜率，进而得到切线方程，再求切线方程与坐标轴的交点，即可求出三角形的面积．【答案】D1x 2 2曲线在点 (4, e 2 ) 处的切线斜率为 y ' x=4 1= e 2 ，2所以切线方程为 y - e 2 = 12e 2 ( x - 4) ，令 x = 0 得 y = -e 2 ；令 y = 0 得 x = 2 ，所以 S = 1⨯ 2e 2 = e 2 ．∆1 x1 x举一反三：【变式】已知直线 y = kx 是曲线 y = ln x 的切线，则 k 的值为（）A ． eB ．–C ． 1e【答案】CD ． - 1e【解析】设切点 P( x , y ) ， y = ln x 的导数为 y ' = (ln x)' = 0 0 1 x，∴ y ' x =x= 1 1= k , 显然 x > 0,∴ x = ，0 0x ⎪⎪ 2 2 ⎧a = 1,b 7 ⎩b = 3. x x x x2 x代入 y = kx 中得 y = 1 ，再代入 y = ln x 中得 ln x = 1 ，0 0∴ x = e ,∴ k = 10 01= ，故选 C ．e类型三：利用导数求解析式中的参数例 4． 设函数 f ( x ) = ax - b x，曲线 y = f ( x ) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 7 x - 4 y - 12 = 0 ，（1）求 f ( x ) 的解析式；（2）证明：曲线 y = f ( x ) 上任一点处的切线与直线 x = 0 和直线 y = x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【解析】（1）方程 7 x - 4 y - 12 = 0 可化为 y =7 4x - 3 ，当 x = 2 时， y = 1 2，又 f '(x) = a + b b 7，故 f '(2) = a + = ，x 2 4 4⎧b 1 2a - = , 所以 ⎨ ，解得 ⎨⎪a + = .⎪⎩ 4 4故 f ( x ) = x - 3.x（2）证明：设点 P( x , y ) 为曲线上任一点． 0 0由 f '(x) = 1 +3知，曲线 y = f ( x ) 在点 P( x , y ) 处的切线方程为：2y - y = (1+ 30 2 0 3 3)( x - x ) ，即 y - ( x - ) = (1+ )( x - x ) ，0 0 2 0 0 0令 x = 0 得 y = - 6 6，从而得切线与直线 x = 0 的交点坐标为 (0, - ) ．x x0 0令 y = x 得 y = x = 2 x ，从而得切线与直线 y = x 的交点坐标为 (2 x ,2 x ) ，0 01 6所以点 P( x , y ) 处的切线与直线 x = 0 、 y = x 所围成的三角形面积为 ⋅ -0 0 0⋅ 2 x = 6 ． 0故曲线 y = f ( x ) 上任一点处的切线与直线 x = 0 和直线 y = x 所围成的三角形面积为定值，此定值为 6 ．【总结升华】本题主要考查导数的几何意义，导数的运算法则以及方程思想．举一反三：A．－1B．－2C．2D．0【答案】B)＝4ax3＋2bx，若f'(1)＝2，【解析】由题意知f'(x)＝4a＋2b＝2，即f'(1故f'(－1)＝－4a－2b＝－2．【变式2】已知f(x)是关于x的多项式函数．（1）若f(x)=x2+2x f'(1)，求f'(0)；（2）若f'(x)=3x2-6x且f(0)=4，解不等式f(x)>0．【答案】（1）显然f'(1)是一个常数，所以f'(x)=2x+2f'(1)，所以f'(1)=2⨯1+2f'(1)，即f'(1)=-2，所以f'(0)=2⨯0+2f'(1)=-4．（2）∵f'(x)=3x2-6x，∴可设f(x)=x3-3x2+c，∵f(0)=c=4∴f(x)=x3-3x2+4=(x+1)(x-2)2，由f(x)>0，解得{x|x>-1且x≠2}．课后作业年级：上课次数：作业上交时间：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：作业内容作业得分作业内容【巩固练习】一、选择题3 4 43 m/sx =3=-8． ⎪ = ___________， ⎡⎣2 x sin (2 x + 5)⎤⎦ = ____________．1．下列运算中正确的是（）A ． (ax 2 + bx + c)' = a( x 2 )' + b ( x )'B ． (sin x - 2 x 2 )' = (sin x)' - 2'( x 2 )'C ． ( sin x (sin x)' - ( x 2 )')' =x 2 x 2D ． (cos x ⋅ s in x)' = (sin x)' c os x + (cos x)' c os x2．质点做直线运动的方程是 s = 4 t （位移单位：m 时间单位：s ），则质点在 t=3 时的速度是（）A ．14 4 3 m/s B ． 1 4 3 3 m/s C ． 1 2 3 3m/s D ． 13．下列结论：①若 y=cos x ，则 y ' = - sin x ；②若 y = - 1 1 1 2，则 y ' = ；③若 y = ，则 y ' | x 2 x x x 2 27中，正确的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知曲线 y = x 2 1- ln x( x > 0) 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ）4 2A ．3B ．2C ．1D ．1 25．函数 y = 5x 4 + 3x - 8的导数是（ ）A ．54 x 3 + 3B ． 5(4 x 3 + 3) 5(4 x 3 + 3)C ．0D ． -( x 4 + 3x - 8)2 ( x 4 + 3x - 8)26． 已知函数 f ( x ) =ax 2 - 1 且 f ' (1) = 2 ，则实数 a 的值为（）A ． a =1B ． a =2C ． a = 2D ． a > 07．设曲线 y = x + 1( x ≠ 1) 在点（3，2）处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直，则 a=（x - 11 1A ．2B ．C ．―D ．―22 2二、填空题⎛ x 3 - 1 ⎫' ' ⎝ sin x ⎭）9．曲线 y = sin x 在点,1⎪ 处的切线方程为________．⎛ π ⎫ ⎝ 2 ⎭10．在曲线 y ＝4 x 2上求一点 P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为 135°，则 P 点坐标为________．11． 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C ：y = x 3―10 x + 3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为________．三、解答题12．求函数的导数．（1） y = 1 1+1 - x 1 + x（2） y = x ⋅ tan x ；x 4（3） y = ．2 + log xa13．已知 f ( x ) = cos x ， g ( x ) = x ，求适合 f '(x) + g '(x) ≤ 0 的 x 的值．14． 求曲线 y = 1 1在点 (1, ) 处的切线方程．(3x + x 2 ) 2 16s＝s(t)＝5－25-9t2，求函数在t＝s时的导数，并解释它的实际意义．1-31-3115．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为715【答案与解析】1．【答案】A【解析】由求导的四则运算法则可以判断．2．【答案】A1【解析】s=4t=t4，则s'=t4，当t=3时，s'=⋅34=．4444333．【答案】D【解析】①②③正确．4．【答案】D【解析】由y=x+12=1+x-1x-12，求导得y'=-，(x-1)2所以切线斜率k=y'|1 x=3=-2，则直线ax+y+1=0的斜率为2，所以―a=2，即a=―2．5．【答案】D⎝ sin x ⎭【解析】⎪ =12． 【解析】（1）∵ y =1（2） y ' = ( x) 'tan x + x(tan x) ' = tan x + x ⋅⎪ '【解析】 y =5x 4 + 3x - 8，则 y ' = - 5(4 x 3 + 3) ( x 4 + 3x - 8)2 ．6．【答案】B【解析】 f '(x) =2ax2 ax 2 - 1=ax ax 2 - 1，af '(1)= = 2 ，所以 a=2 ．a - 17．【答案】D【解析】 由 y =x + 1 2= 1 +x - 1 x - 12 ，求导得 y ' = - ， ( x - 1)2所以切线斜率 k = y ' | 1x =3 =- 2 ，则直线 ax+y+1=0 的斜率为 2，所以―a=2，即 a=―2．3x 2 sin x - ( x 3 - 1)cos x8． 【答案】 ， 2sin(2 x + 5) + 4 x cos(2 x + 5)sin 2 x⎛ x 3- 1 ⎫' 3x 2sin x - ( x 3-1)cos xsin 2 x；⎡⎣2 x sin (2 x + 5)⎤⎦' = 2sin(2 x + 5) + 4 x cos(2 x + 5) ；9． 【答案】y=1【解析】 (sin x)' = cos x ， k = y ' |10． 【答案】(2，1)【解析】设 P (x 0，y 0)，x = π2= 0 ，从而切线方程为 y=1．y ′＝ ( 4x 2) ' ＝(4x －2)′＝－8x －3，∴tan135°＝－1＝－8 x -3 ．∴x 0＝2，y 0＝1．11．【答案】（―2，15）【解析】y ' = 3x 2 - 10 ，令 y ' = 2 ⇒ x 2 = 4 ，P 在第二象限 ⇒ x=―2 ⇒ P （―2，15）．12 -2(1- x)' 2 +=，∴ y ' ==1 - x 1 + x1 - x(1- x)2(1- x)2⎛ sin x ⎫⎝ cos x ⎭lg a2(k∈Z)．（3）y'=4x3(2+log x)-a(2+log x)2ax4x ln a= =8x3+4x3log x-a(2+log x)2a18-+4log xa(2+log x)2ax3ln ax3．13．【解析】f'(x)=-sin x，g'(x)=1，则-s in x+1≤0，sin x≥1，即sin x=1．∴x=2kπ+π14．【解析】y=(3x+x2)-2，则y'=-2⋅3+2x (3x+x2)3y'|x=1=-2⋅543=-532．15∴切线方程为y-=-(x-1)1632即5x+32y-7=0．15【解析】。

导数在证明恒等式中的应用一、预备知识定理1 若函数f(x)在区间I上可导，且x∈I，有f′(x)＝0，则x∈I，有f(x)＝c(常数)．证明在区间I上取定一点x 0及x∈I．显然，函数f(x)在[x0，x]或[x，x0]上满足拉格朗日定理，有f(x)－f(x0)＝f′(ξ)(x－x0)，ξ在x与x0之间．已知f′(ξ)＝0，从f(x)－f(x0)＝0 或f(x)＝f(x0)设f(x 0)＝c，即x∈I，有f(x)＝c．定理2 若x∈I(区间)，有f′(x)＝g′(x)，则x∈I，有f(x)＝g(x)＋c，其中c 是常数．二、应用例题证法f(x)＝arcsinx＋arccosx，在(－1，1)上是常值函数．证明设f(x)＝arcsinx＋arccosx，x∈(－1，1)，有f′(x)＝(arcsinx＋arccosx)′由定理1知，f(x)＝c，即arcsinx＋arccosx＝c其中c是常数．证明设f(x)＝arctanx＋arccotx，c∈R，有由定理1知，arctanx＋arccotx＝c，其中c是常数．例3证明：arccos(－x)＋arccosx＝π，x∈[－1，1]．证明设f(x)＝arccos(－x)＋arccosx，x∈[－1，1]，于是f′(x)＝(arccos(－x)＋arccosx)′由定理1知，arccos(－x)＋arccosx＝c，其中c是常数．令x＝1，则c＝arccos(－1)＋arccos1＝π，于是arccos(－x)＋arccosx＝π．x∈(1，＋∞)有例5证明：sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝0，x∈[－1，1]证明设f(x)＝sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)，则x∈[－1，1]，有f′(x)＝(sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx))′由定理1知，sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝c，其中c是常数．令x＝－1，则c＝sin(3arcsin(－1)＋cos(3arccos(－1))＝0于是，x∈[－1，1]，有sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝0．于是，x∈[0，1]，有证明x∈R，有即x∈R，有与g′(x)＝0．从而f′(x)＝g′(x)，由定理1知，f(x)＝g(x)＋c与g′(x)＝－1．从而，f′(x)＝g′(x)，由定理1知，f(x)＝g(x)＋c．从而，c＝0．于是，解设F(x)＝f1(x)－f2(x)由定理1知，x∈R(x≠±1)，有(2)x∈(－1，1)，令x＝0，则于是，例11求证：log a xy＝log a x＋log a y，其中x＞0，y＞0．证明将a，y看作固定常数，x看作变量，设f(x)＝log a xy－log a x－log a y，x∈(0，＋∞)．则x∈(0，＋∞)，有由定理1知，(x)＝c 或log a xy－log a x－log a y＝c．令x＝1，则c＝log a y－log a y ＝0，从而log a xy－log a x－log a y＝0，即log a xy＝log a x＋log a y．例12求x∈R，满足等式acosx－cos(ax＋b2)＝a－1－b2的所有实数对(a，b)全体，解设f(x)＝acosx－cos(ax＋b2)，x∈R，要使x∈R，有f(x)＝a－1－b2(常数)，则根据定理1，x∈R，应有f′(x)＝0，即f′(x)＝－asinx＋asin(ax＋b2)(1)a＝0，由题设等式知，－cosb2＝－1－b2或cosb2＝1＋b2．解得b＝0，所以求得符合要求的一个实数对为(0，0)．(a－1)x＋b2＝2kπ 或(a－1)x＝2kπ－b2，k∈Z解得a＝1，b2＝2kπ，并代入题设等式，有cosx－cos(x＋2kπ)＝－2kπ，并且仅当k＝0，上式才成立，从而b＝0，所以求得符合要求的实数对为(1，0)，(a＋1)x＋b2＝(2k＋1)π，k∈Z解得a＝－1，b2＝(2k＋1)π，并代入题设等式，有cosx＋cos[(2k＋1)π－x]＝2＋b2，即2＋b2＝0，显然，这样的b不存在．综上所述，所求实数对的集合为{(0，0)，(1，0)}．例14 证明：x，y∈R sin(x＋y)＝sinxcosy＋cosxsiny，cos(x＋y)＝cosxcosy －sinxsiny证明设f(x，y)＝sin(x＋y)－sinxcosy－cosxsiny，g(x，y)＝cos(x＋y)－cosxcosy＋sinxsiny．只须证明f(x，y)＝g(x，y)＝0即可．用反证法．假设f(x，y)≠0，由于f′x(x，y)＝cos(x＋y)－cosxcosy＋sinxsiny＝g(x，y)，f′y(x，y)＝cos(x＋y)＋sinxsiny－cosxcosy＝g(x，y)，则df(x，y)＝f′x(x，y)dx＋f′y(x，y)dy＝g(x，y)d(x＋y)，(3)同理，dg(x，y)＝－f(x，y)d(x＋y)．(4)由(3)与(4)，得或－g(x，y)dg(x，y)＝f(x，y)df(x，y)，从而f2(x，y)＋g2(x，y)＝c．由假设f(x，y)≠0，则c为不等零的常数．令x＝y＝0，代入上式，有f2(0，0)＋g2(0，0)＝0，这与c≠0矛盾．于是，f(x，y)＝0，由(3)式知，g(x，y)＝0．例15已知x≠2kπ，k∈Z．求证：证明已知对上式两端同时求导，有类似可证：已知x≠2kπ，k∈Z，求证：例16 证明：2sinxcosx＋4sin2xcos2x＋…＋2nsinnxcosnx＝证明已知对上式两端求导，得2sinxcosx＋4sin2xcos2x＋…＋2nsinnxcosnx注欲证等式的左端2sinxcosx＋4sin2xcos2x＋…＋2nsinnxcosnx恰为sin2x＋sin22x＋…＋sin2nx的导函数，所以证明开始应用了公式例17 已知证明对已知等式取自然对数，有对上式两端求导，有对上式两端求导，得令x＝1，则令x＝－1，则例19证明：若(a＋b＋c)2＝3(bc＋ca＋ab)，则a＝b＝c，其中a，b，c为常数．证明将a看作变量，b，c看作固定常量，等式两端同时对a求导，有由已知条件知，a、b、c为对称的，所以有将(2)代入(1)，化简得a＝c．同理a＝b，从而，a＝b＝c．11/ 11。

3.1.2 导数的概念课前预习学案预习目标：什么是瞬时速度，瞬时变化率。

怎样求瞬时变化率。

预习内容：1：气球的体积V与半径r之间的关系是()r V=V从0增加到1时，气球的平均膨胀率.2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间t的关系为：2=-++. 求在12h t t t() 4.9 6.510t≤≤这段时间里，运动员的平均速度.3：求2中当t=1时的瞬时速度.提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标1.会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念.2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．学习重难点：1、导数概念的理解；2、导数的求解方法和过程；3、导数符号的灵活运用二、学习过程合作探究探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是新知：1．瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度ts ∆∆当t ∆趋近于0时的 得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim lim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='即000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在(2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可以为0 (3)xy ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率(4)导数x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.小结：由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率.典型例题例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度（单位：0c ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.例2 已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，(1)当t =2，Δt =0.01时，求ts ∆∆. (2)当t =2，Δt =0.001时，求t s ∆∆. (3)求质点M 在t =2时的瞬时速度小结：利用导数的定义求导，步骤为：。

3.1.3 导数的几何意义
一览众山小
三维目标
1.理解导数的概念,能利用导数的定义求导数，掌握在某点处的导数的定义及几何意义.通过导数和相应函数的图象比较,加深对导数几何意义的理解.
2.在掌握用定义求导数的基础上.要借助图形去认识和理解导数的几何意义和物理意义，并会用导数的几何意义、物理意义去分析、解决实际问题.
3.感受导数在实际问题中的应用,初步认识导数的应用价值,树立学好数学的信心.
学法指导
在学习本节课时，首先回顾变化率与导数的关系，导数的概念和函数在某一点处的导数，然后回顾如何利用求导数的一般步骤求函数在某点处的导数.
本节课从导数的定义出发，考虑导数的几何意义和物理意义，在学习过程中，要应用运动变化的观点，和以曲代直的观点分析解决问题，不断培养自己的抽象概括能力.
诱学导入
材料：在爬山的过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘嘘嘘.
问题：怎样用数学反映山坡的平缓和陡峭程度呢？
导入：由于登山的路线是弯曲的，所以我们的想法是把山路分成许多小段，每一小段可近似地看作是直线，因此，此段山路的陡峭程度可用每一段的斜率来表示.。

高中数学全套教案新人教版选修一、第一章：导数及其应用1.1 导数的定义与计算学习目标：理解导数的定义，掌握基本的导数计算方法。

教学内容：引入导数的定义，讲解导数的计算规则，举例说明。

教学活动：讲解导数的定义，通过数学软件或板书演示导数的计算过程，学生跟随练习。

1.2 导数在函数中的应用学习目标：理解导数在函数中的应用，学会求函数的极值和单调性。

教学内容：讲解导数与函数的极值、单调性的关系，举例分析。

教学活动：通过例题讲解导数在函数中的应用，学生跟随练习，讨论解题方法。

二、第二章：积分及其应用2.1 积分的定义与计算学习目标：理解积分的定义，掌握基本的积分计算方法。

教学内容：引入积分的定义，讲解基本的积分计算规则，举例说明。

教学活动：讲解积分的定义，通过数学软件或板书演示积分的计算过程，学生跟随练习。

2.2 积分在几何中的应用学习目标：理解积分在几何中的应用，学会计算几何图形的面积和体积。

教学内容：讲解积分在几何中的应用，举例说明计算面积和体积的方法。

教学活动：通过例题讲解积分在几何中的应用，学生跟随练习，讨论解题方法。

三、第三章：概率与统计学习目标：理解概率的基本概念，学会计算事件的概率。

教学内容：讲解概率的基本定义，举例说明如何计算事件的概率。

教学活动：通过实例讲解概率的基本概念，学生跟随练习，讨论解题方法。

3.2 统计的基本概念学习目标：理解统计的基本概念，学会计算数据的均值、方差等统计量。

教学内容：讲解统计的基本定义，举例说明如何计算均值、方差等统计量。

教学活动：通过实例讲解统计的基本概念，学生跟随练习，讨论解题方法。

四、第四章：数列与级数4.1 数列的基本概念学习目标：理解数列的基本概念，学会计算数列的通项公式和求和公式。

教学内容：讲解数列的定义，举例说明如何求解数列的通项公式和求和公式。

教学活动：通过实例讲解数列的基本概念，学生跟随练习，讨论解题方法。

4.2 级数的基本概念学习目标：理解级数的基本概念，学会判断级数的收敛性。