成都七中2019—2020学年度下期高二文科数学半期考试含答案

四川省成都市2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两个部分。

2. 本堂考试120分钟，满分150分。

3．答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、考号、座位号填写在答题卷的密封线内。

4．考试结束后，将所有答题卷和机读卡交回。

第Ⅰ卷（60分）一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1. 不等式的解集是（）A. （，-1）B. （,1）C. （-1，3）D.【答案】C【解析】，故不等式的解集是，故选.2. 用反证法证明命题“若整系数一元二次方程有有理根，那么,,中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A. 假设不都是偶数B. 假设至多有两个是偶数C. 假设至多有一个是偶数D. 假设都不是偶数【答案】D【解析】试题分析：“中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况，其否定应为不存在偶数，即“假设都不是偶数”，故选D.考点：命题的否定.3. 过椭圆的左焦点作直线交椭圆于两点，是椭圆右焦点，则的周长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为椭圆为，所以椭圆的半长轴，由椭圆的定义可得，且，的周长为，故选A.4. 函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，所以当时；当时；又当时，选选B.点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.5. 已知向量，，且与互相垂直，则的值为（）A. 2B. 0C. -1D. 1【答案】B【解析】因为向量，与互相垂直，，解得，故选B.6. 已知与之间的一组数据（如下表）：0 1 2 31 3 5 7则对的线性回归方程必过点（）A. (2,2)B. (1,2)C. (1.5,0)D. (1.5,4)【答案】D【解析】的平均数：，的平均数：，所以样本中心点的坐标是，样本中心点在回归方程上，故选D.学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...7. 已知函数则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,令，则，故选A.8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，由焦半径得，，化简得在双曲线的右支上，，，即双曲线离心率的最大值为，故选B.9. 已知正数满足，则曲线在点处的切线的倾斜角的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】设曲线在点处的切线的倾斜角为，则，故．故选C.10. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，则，则在递减，由，得，故，解得，故选C.【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.11. 已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知得，设圆心为，因为圆，抛物线上一动点，为抛物线的焦点的最短距离为，，则当的直线经过点时，最小，则，故选A.【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题是将到准线的距离转化为到焦点的距离，再根据几何意义解题的.12. 已知函数，若存在实数使得不等式成立，求实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，求导，当时，，则，，则，，则，令，解得，当，解得，当，解得，所以当时，取极小值，极小值为的最小值为，由，则，则，解得或，所以实数的取值范围，故选D.第Ⅱ卷（90分）二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷上的相应位置) 13. 函数的单调递减区间为________．【答案】【解析】函数的开口向上，对称轴为，函数的单调递减区间为，故答案为.14. 空间直角坐标系中，已知，则直线AB与AC的夹角为__________．【答案】【解析】空间直角坐标系中，，，，，所以向量的夹角为，即直线与的夹角为，故答案为.15. 已知方程是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中的单位是cm，的单位是kg，那么针对某个体（160,53）的残差是________．【答案】-0.29【解析】试题分析：因为回归方程为，所以当x=160时，y=0.85×160-82.71=53.29，所以针对某个体（160，53）的随机误差是53-53.29=-0.29考点：线性回归方程16. 点是焦点为的双曲线上的动点，若点满足,则点的横坐标为____________【答案】【解析】由点满足，，则为焦点三角形的内心，设双曲线的焦点三角形的内切圆且三边于点，双曲线的两个顶点为，则，，由，，在双曲线上，由在上，是双曲线与轴的交点，即，由，则所以点的横坐标为，故答案为. 【方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及简单的几何性质、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解. 三．解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）17. 已知,分别求,,的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.【答案】详见解析.【解析】试题分析：将代入，即可求得的值；观察，根据上一步的结果可以归纳出一般的结论：自变量的和为，则函数值的和为，根据结论的形式将代入并化简求值即可完成证明.试题解析：由，得,,.归纳猜想一般性结论为证明如下：【方法点睛】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查函数的解析式及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.18. 如图，在三棱锥中，，，，平面平面，，分别为，中点．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积．【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3) .【解析】试题分析：（1）根据三角形的中位线定理，证出，再由线面平行判定定理可证出平面；（2）连结，由等腰三角形的三线合一，证出，结合，由此可得出；（3）由面面垂直性质定理，证出平面，得是三棱锥的高，结合题中已知条件，即可得到三棱锥的体积.试题解析：（1）∵，分别为，的中点，∴，又平面，平面，∴平面．（2）连接，∵，又，∴，又，为中点，∴，∴平面，∴．（3）∵平面平面，，∴平面，∴．考点：1.线面平行的判定及性质；2.线面垂直的判定及性质；3.棱锥的体积.19. 已知函数，其中为常数．（1）当时，求的极值；（2）若是区间内的单调递减函数，求实数的取值范围．【答案】(1)详见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）当时，在区间内单调递减，在内单调递增有极小值，无极大值；（2）易知在区间内单调递增或的取值范围是.试题解析：（1）当时，，所以在区间内单调递减，在内单调递增，于是有极小值，无极大值.（2）易知在区间内单调递增，所以由题意可得在区间内无解即或，解得实数的取值范围是.考点：1、函数的单调性；2、函数的极值.20. 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于、两点，且，求证：的面积为定值并求出定值.【答案】(1) ;(2) 详见解析.【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率等于，原点到直线的距离等于及隐含条件联立方程组求解的值，则椭圆的标准方程可求；（2）联立直线方程和椭圆方程，消去后利用根与系数关系得到两点的横坐标的和与积，由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形的面积公式证得答案.试题解析：（1）由题意得椭圆的方程为.（2）设，则A,B的坐标满足消去y化简得，，得，=，即即=O到直线的距离===为定值【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21. 已知函数（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）设，若函数在定义域内存在两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，，根据导数的几何意义求出切线的斜率，即可求得切线方程；（Ⅱ）函数在定义域内存在两个零点，整理可得在有两个零点，构造函数，讨论其单调性，求得其极值，列出不等式即得实数的取值范围．试题解析：（Ⅰ）的定义域为，∵，∴，∴，∴，所以函数在点处的切线方程为（Ⅱ）在定义域内存在两个零点，即在有两个零点．令ⅰ．当时，,∴在上单调递增由零点存在定理，在至多一个零点，与题设发生矛盾．ⅱ．当时，则因为，当，，所以要使在内有两个零点，则即可，得，又因为，所以考点：导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性、极值，函数的零点.【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性、极值，函数的零点问题，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题.求函数图象在某点的切线关键是把握好函数在某点的导数就是切线的斜率，要研究函数零点的个数，往往需要研究函数的单调性和极值，本题中通过讨论导函数的零点与区间的关系，确定函数的单调性，求出极值，列出满足条件的不等式，解不等式即得的范围.22. 已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，且，求证：.【答案】(1) ;(2)4.【解析】试题分析：（1）通过讨论的范围，得到关于的不等式组，解出求并集即可的结果；（2），然后根据基本不等式的性质证明即可.试题解析：（Ⅰ）当时，不等式化为，即或或，解得或或，∴不等式的解集为；（Ⅱ）当且仅当，即时“”成立，所以.【易错点晴】本题主要考查绝对值不等式的解法及利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.。

成都七中2019—2020学年度下期高2018级半期考试高二数学试卷(文科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知复数12z i =-，则=z （ ）（A（B ）1+2i （C ）12+55i （D ）1255i - 2．在空间直角坐标系O xyz -中，点()2,1,3A -关于yOz 平面对称的点的坐标是（ ） （A ）()2,1,3 （B ） ()2,1,3-- （C ）()2,1,3- （D ）()2,1,3--3.在极坐标系中，过点2,2π⎛⎫⎪⎝⎭且与极轴平行的直线方程是（ ） （A ）2ρ= （B ）2θπ=（C ）cos 2ρθ= （D ）sin =2ρθ 4.如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象， 则下面判断正确的是（ ） （A ）在区间()2,1-上()f x 是增函数 （B ）在区间()1,3上()f x 是减函数（C ）在区间()4,5上()f x 是增函数 （D ）当2x =时，()f x 取到极小值5.函数()2cos f x x x =+在 ） （A ）0 （B ）6π （C ）3π （D ）2π 6.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2＝6.705，则所得到的统计学结论是：有________的把握认为“学生性别与支持该活动有关系” （ ）（A ）1%（B ）0.1%（C ）99% （D ）99.9%7.成都七中某社团小组需要自制实验器材，要把一段长为12cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）（A 2 （B ）24cm （C ）2 （D ）2 8.若3211()232f x x x ax =-++在(1,)+∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是（ ） （A ）(,0]-∞ （B）(,0)-∞ （C ）[0,)+∞ （D）(0,)+∞9.两动直线1y kx =+与21y x k=--的交点轨迹是（ ） （A ）椭圆的一部分 （B ）双曲线的一部分 （C ） 抛物线的一部分（D ） 圆的一部分10.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与L ”即代表无限次重复，但原式却是个定值x x =确定=2x ，则11+=11+1+L是（ ）（A ）2 （B ）12 （C ）12 （D ）12- 11.已知函数()f x 的导数()f x '满足()()()10f x x f x '++>对x R ∈恒成立，且实数,x y 满足()()()()110x f x y f y +-+>，则下列关系式恒成立的是（ ）（A ）331111x y <++ （B ）x ye e< （C ）x yx y e e < （D ）sin sin x y x y ->- 12.已知函数()ln 2f x m x x =-，若不等式()12x f x mx e +>-在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）2m ≥ （B ）2m ≤ （C ）0m ≤ （D ）02m ≤≤ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.112z i =+（i 为虚数单位）的虚部是 . 14.已知[]0,2x ∈，则函数()x f x x e =+的值域是 .15.已知曲线2cos :(0x C y y θθθ=⎧⎪≥⎨⎪=⎩为参数且）.若点P 在曲线C 上运动，点Q 为直线:260l x y +-=上的动点，则PQ 的最小值为 .16.已知函数()211,0,2ln ,0.x e x x x ef x x x x ⎧--+≤⎪=⎨⎪>⎩若方程()0f x m -=恰有两个实根，则实数m 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18—22题每小题12分 17.（本小题满分10分）已知函数311()32f x x =+．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点51,6P ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（Ⅱ）求过点12,2A ⎛⎫⎪⎝⎭作曲线()y f x =的切线方程．18.（本小题满分12分）如图，五面体11A BCC B -中，41=AB ．底面是正三角形ABC ，2=AB .四边形11BCC B 是矩形，二面角1A BC C --是直二面角.（Ⅰ）点D 在AC 上运动，当点D 在何处时，有//1AB 平面1BDC ； （Ⅱ）求点B 到平面11AB C 的距离.19.（本小题满分12分）已知直线l 的参数方程为()1cos 0sin x t t y t ααπα=+⎧≤<⎨=⎩为参数，，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为212cos 4sin ρρθρθ+=+．（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 相交于A B 、两点，且AB =求α的值．C 1B 1D C B20.（本小题满分12分）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：表1为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t ＝x －2 014，z ＝y －5得到下表2：表2（Ⅰ）求z 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出y 关于x 的回归方程；（III ）用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？(附：对于线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑ni ＝1x i y i －nx －·y－∑ni ＝1x 2i －nx－2，a ^＝y －－b ^x －)21.（本小题满分12分）已知椭圆P 的中心O 在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点A (0，23)，离心率为12.（Ⅰ）求椭圆P 的方程；（Ⅱ）是否存在过点E (0，－4)的直线l 交椭圆P 于点R ，T ，且满足OR →·OT →＝167？ 若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()()ln f x ax x a R =-∈．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：12112ln ln x x +>．。

2019-2020学年四川省成都市高二第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0＜x＜1}2．复数z＝（i是虚数单位）在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知函数f（x）＝，则f（f（））＝（）A．0B．1C．e﹣1D．24．为了加强全民爱眼意识，提高民族健康素质，1996年，卫生部，教育部，团中央等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”．某校高二（1）班有40名学生，学号为01到40，现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日”宣传活动．已知随机数表中第6行至第7行的各数如下：16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 2096 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 3350 25 83 92 12 06 76若从随机数表第6行第9列的数开始向右读，则抽取的第5名学生的学号是（）A．17B．23C．35D．375．记函数f（x）的导函数是f'（x）．若f（x）＝﹣cos x，则f'（）＝（）A．﹣B．C．D．6．已知条件，条件q：直线y＝kx+2与圆x2+y2＝1相切，则p是q的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件7．已知离心率为2的双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与椭圆+＝1有公共焦点，则双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．x2﹣＝1D．﹣y2＝18．执行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．﹣1B．C．0D．﹣1﹣9．如图是某几何体的三视图．若三视图中的圆的半径均为2，则该几何体的表面积为（）A．14πB．16πC．18πD．20π10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝k（x+1）与曲线C：（θ为参数）在第一象限恰有两个不同的交点，则实数k的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，）C．[，1）D．[，）11．已知函数f（x）＝﹣x2+2|x|+3．若a＝f（ln2），b＝f（﹣ln3），c＝f（e），则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b12．设k，b∈R，若关于x的不等式kx+b+1≥lnx在（0，+∞）上恒成立，则的最小值是（）A．﹣e2B．﹣C．﹣D．﹣e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．已知呈线性相关的变量x，y之间的关系如表：x1234y1346由表中数据得到的回归直线方程为＝1.6x+．则当x＝8时，的值为．14．函数f（x）＝﹣2e x+3的图象在点（0，f（0））处的切线方程为．15．已知甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋．甲说：“我会”；乙说：“我不会”；丙说：“甲不会”．如果这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是．16．已知点P在椭圆+＝1（a＞b＞0）上，F1是椭圆的左焦点，线段PF1的中点在圆x2+y2＝a2﹣b2上．记直线PF1的斜率为k，若k≥1，则椭圆离心率的最小值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．2019年12月，《生活垃圾分类标志》新标准发布并正式实施．为进一步普及生活垃圾分类知识，了解居民生活垃圾分类情况，某社区开展了一次关于垃圾分类的问卷调查活动，并对随机抽取的1000人的年龄进行了统计，得到如下的各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图：各年龄段频数分布表组数分组频数第一组[25，30）200第二组[30，35）300第三组[35，40）m第四组[40，45）150第五组[45，50）n第六组[50，55]50合计1000（Ⅰ）请补全各年龄段人数频率分布直方图，并求出各年龄段频数分布表中m，n的值；（Ⅱ）现从年龄在[30，40）段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动．应社区要求，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，求选取的2名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中的概率．18．已知函数f（x）＝x3+2ax2+bx+a﹣1在x＝﹣1处取得极值0，其中a，b∈R．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最大值．19．如图①，在菱形ABCD中，∠A＝60°且AB＝2，E为AD的中点，将△ABE沿BE 折起使AD＝，得到如图②所示的四棱锥A﹣BCDE．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ABC；（Ⅱ）若P为AC的中点，求三棱锥P﹣ABD的体积．20．在同一平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2＝4经过伸缩变换φ：后，得到曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设曲线C与x轴和y轴的正半轴分别相交于A，B两点，P是曲线C位于第二象限上的一点，且直线PA与y轴相交于点M，直线PB与x轴相交于点N．求△ABM与△BMN的面积之和．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx．（Ⅰ）判断f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝﹣ax2+（a﹣1）x+1，a∈R当x∈[，e2]时，讨论函数f（x）与g（x）图象的公共点个数．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0），若直线l与曲线C相交于A，B两点，求+的值．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有--项是符合题目要求的.1．设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0＜x＜1}【分析】利用交集定义直接求解．解：全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，∴A∩B＝{x|1≤x＜2}．故选：A．2．复数z＝（i是虚数单位）在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，看出复数的对应的点的坐标，得到点的位置．解：，对应的点是（﹣2，1），故选：B．3．已知函数f（x）＝，则f（f（））＝（）A．0B．1C．e﹣1D．2【分析】由分段函数f（x）＝，由内向外依次求函数值即可．解：∵f（x）＝，∴f（）＝ln＝﹣1，故选：D．4．为了加强全民爱眼意识，提高民族健康素质，1996年，卫生部，教育部，团中央等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”．某校高二（1）班有40名学生，学号为01到40，现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日”宣传活动．已知随机数表中第6行至第7行的各数如下：16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 2096 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 3350 25 83 92 12 06 76若从随机数表第6行第9列的数开始向右读，则抽取的第5名学生的学号是（）A．17B．23C．35D．37【分析】根据随机数表直接求解即可．解：第6行第9列的数开始向右读，依次为39，17，37，23，35，则第5个编号是35．故选：C．5．记函数f（x）的导函数是f'（x）．若f（x）＝﹣cos x，则f'（）＝（）A．﹣B．C．D．【分析】可以求出导函数，然后将x换上即可得出的值．解：∵，∴．故选：B．6．已知条件，条件q：直线y＝kx+2与圆x2+y2＝1相切，则p是q的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件【分析】直线与圆相切，求出k的值，再判断pq的充要条件关系．解：由q：直线y＝kx+2与圆x2+y2＝1相切，∴1+k2＝4，∴k＝±，显然p⇒q；q得不出p故选：A．7．已知离心率为2的双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与椭圆+＝1有公共焦点，则双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．x2﹣＝1D．﹣y2＝1【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的离心率，求解a，b，即可得到双曲线方程．解：椭圆+＝1的焦点（±5，0），所以双曲线﹣＝4（a＞0，b＞0）的焦点坐标（±2，0），双曲线﹣＝1离心率为2，所以，可得a＝1，则b＝＝＝．故选：C．8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．﹣1B．C．0D．﹣1﹣【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：由已知的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S．当n＝10时，满足退出循环的条件，＝0++0+（﹣）+（﹣1）+（﹣）+0++1+＝．故选：B．9．如图是某几何体的三视图．若三视图中的圆的半径均为2，则该几何体的表面积为（）A．14πB．16πC．18πD．20π【分析】由三视图知，该几何体是一个球切除两个八分之一几何体的剩余部分，再根据球的半径即可求得表面积．解：由三视图，该几何体是球体切除两个八分之一几何体的剩余部分，球的半径为2．切除部分：O﹣PAB；O﹣PCD，如图：即原几何体的表面积为S＝×4π×27+×π×24＝18π．故选：C．10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝k（x+1）与曲线C：（θ为参数）在第一象限恰有两个不同的交点，则实数k的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，）C．[，1）D．[，）【分析】将曲线C的参数方程，求得其普通方程，并求得其取值范围，利用直线与抛物线的位置关系，即可求得实数k的取值范围．解：对于曲线C：x＝1+sin2θ＝（sinθ+cosθ）2＝y2，因为0≤4+sin2θ≤2，，联立方程组，消去x，整理得ky2﹣y+k＝6，由题意，该方程在上有两个不同的解，有y1+y2＝∈，y＝k（x+1）恒过点（﹣1，6），它与点之间连线的斜率是，因此，，故选：D．11．已知函数f（x）＝﹣x2+2|x|+3．若a＝f（ln2），b＝f（﹣ln3），c＝f（e），则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b【分析】由定义判断函数为偶函数且在（0，+∞）上为减函数，结合单调性及偶函数的定义即可比较大小．解：由f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+2|﹣x|+3＝﹣x2+2|x|+7＝f（x）可得f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x+3在（0，1）递增，（1，+∞）上单调减，又ln5﹣1＝ln，1﹣ln2＝ln，且，所以f（ln3）＞f（ln2）＞f（e），故选：A．12．设k，b∈R，若关于x的不等式kx+b+1≥lnx在（0，+∞）上恒成立，则的最小值是（）A．﹣e2B．﹣C．﹣D．﹣e【分析】运用参数分离和构造函数，求得导数和单调性、最值，可得所求最值．解：kx+b+1≥lnx在（0，+∞）上恒成立，即为lnx﹣kx﹣1≤b在（0，+∞）上恒成立，若k≤0，则f′（x）＞4，可得f（x）在（0，+∞）递增，故k＞0，当＝k时，f（x）取得最大值f（x）max＝f（）＝ln﹣2＝﹣lnk﹣3，则≥﹣﹣，k＞0，g′（k）＝﹣＝，则的最小值是﹣e．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．已知呈线性相关的变量x，y之间的关系如表：x1234y1346由表中数据得到的回归直线方程为＝1.6x+．则当x＝8时，的值为12.3．【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求出，然后代入x＝8，求解即可．解：由题意可得＝＝3.5，＝＝3.5，可得＝﹣0.5．当x＝8时，＝1.7×8﹣0.5＝12.3．故答案为：12.3．14．函数f（x）＝﹣2e x+3的图象在点（0，f（0））处的切线方程为2x+y﹣1＝0．【分析】求出切点坐标和切点处的导数，然后利用点斜式写出切线的方程．解：易知f（0）＝1，切点为（0，1）．f′（x）＝﹣4e x，所以k＝f′（0）＝﹣2．即2x+y﹣1＝5．故答案为：2x+y﹣1＝0．15．已知甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋．甲说：“我会”；乙说：“我不会”；丙说：“甲不会”．如果这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是乙．【分析】根据题意，假设结论，根据他们说的话推出与题意不符的即为错误结论，从而得出答案．解：假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意不符，所以甲不会；假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的真话，符合题意；综上可得：会中国象棋的是乙，故答案为：乙．16．已知点P在椭圆+＝1（a＞b＞0）上，F1是椭圆的左焦点，线段PF1的中点在圆x2+y2＝a2﹣b2上．记直线PF1的斜率为k，若k≥1，则椭圆离心率的最小值为．【分析】根据题意，|OQ|＝c．设∠PF1F2＝θ，则，在△PF1F2中，利用余弦定理，即可求得椭圆的离心率的取值范围．解：记PF1的中点为Q，连接OQ，因为Q在x2+y2＝a2﹣b2＝c2，所以|OQ|＝c．所以|PF2|＝2c，|PF3|＝2a﹣2c，在△PF1F2中，由余弦定理可得＝＝，所以0＜（a﹣c）2≤（a﹣c）c，由e＜1，所以e≥1﹣e，所以＝，故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．2019年12月，《生活垃圾分类标志》新标准发布并正式实施．为进一步普及生活垃圾分类知识，了解居民生活垃圾分类情况，某社区开展了一次关于垃圾分类的问卷调查活动，并对随机抽取的1000人的年龄进行了统计，得到如下的各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图：各年龄段频数分布表组数分组频数第一组[25，30）200第二组[30，35）300第三组[35，40）m第四组[40，45）150第五组[45，50）n第六组[50，55]50合计1000（Ⅰ）请补全各年龄段人数频率分布直方图，并求出各年龄段频数分布表中m，n的值；（Ⅱ）现从年龄在[30，40）段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动．应社区要求，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，求选取的2名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中的概率．【分析】（Ⅰ）由各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图列出方程组，能求出m，n，由此能补全各年龄段人数频率分布直方图；（Ⅱ）根据条件从年龄在[30，35）段选取3人，从年龄在[35，40）段选取2人，然后求出从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，基本事件总数n和选取的2名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中包含的基本事件个数m，再求出选取的2名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中的概率．解：（Ⅰ）由各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图得：，补全各年龄段人数频率分布直方图如下：（Ⅱ）从年龄在[30，40）段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，选取的2名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中包含的基本事件个数m＝＝6，∴选取的7名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中的概率p＝＝＝．18．已知函数f（x）＝x3+2ax2+bx+a﹣1在x＝﹣1处取得极值0，其中a，b∈R．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最大值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；（Ⅱ）求出函数的单调区间，求出函数的最值即可．解：（Ⅰ）f′（x）＝3x2+4ax+b，由f′（﹣1）＝0，f（﹣1）＝0，解得：；则f′（x）＝3x2+4x+1＝（3x+1）（x+1），故f（x）在[﹣1，﹣）递减，在（﹣，1]递增，而f（﹣5）＝0，f（1）＝4，故当x∈[﹣1，1]时，f（x）的最大值是4．19．如图①，在菱形ABCD中，∠A＝60°且AB＝2，E为AD的中点，将△ABE沿BE 折起使AD＝，得到如图②所示的四棱锥A﹣BCDE．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ABC；（Ⅱ）若P为AC的中点，求三棱锥P﹣ABD的体积．【分析】（Ⅰ）由已知证明AE⊥底面BCDE，可得BC⊥AE，再由BC⊥BE，得到BC ⊥平面ABE，进一步可得平面ABE⊥平面ABC；（Ⅱ）利用V P﹣ABD＝V A﹣BCD﹣V P﹣BCD求解．【解答】证明：（Ⅰ）在图①中，由AB＝2，AE＝1，∠A＝60°，得BE2＝AB2+AE5﹣2AB•AE•cos60°＝．在图②中，有AE⊥BE，∵BE∩ED＝E，∴AE⊥平面BCDE，得AE⊥BC，∴平面ABE⊥平面ABC；∵P为AC的中点，∴P到平面BCD的距离为．∴V P﹣ABD＝V A﹣BCD﹣V P﹣BCD＝＝．故三棱锥P﹣ABD的体积为．20．在同一平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2＝4经过伸缩变换φ：后，得到曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设曲线C与x轴和y轴的正半轴分别相交于A，B两点，P是曲线C位于第二象限上的一点，且直线PA与y轴相交于点M，直线PB与x轴相交于点N．求△ABM与△BMN的面积之和．【分析】（Ⅰ）反解x，y，根据（x，y）满足圆方程，即可求得曲线C的方程；（Ⅱ）设出点P的坐标（m，n），用m，n表示出M，N两点的坐标，再求三角形面积，即可得到结果．解：（Ⅰ）圆x2+y2＝4经过伸缩变换φ：，即，即曲线C的方程为．故可得m2+4n6＝4，故直线PB方程为：，令y＝4，同理直线PA方程为：，令x＝0，故M点坐标为，＝＝故△ABM与△BMN的面积之和为2．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx．（Ⅰ）判断f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝﹣ax2+（a﹣1）x+1，a∈R当x∈[，e2]时，讨论函数f（x）与g（x）图象的公共点个数．【分析】（Ⅰ）对函数f（x）两次求导，由导数与单调性的关系即可求解；（Ⅱ）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝（x﹣1）（lnx+ax+1），x∈[，e2]，将问题转化为函数h（x）的零点个数问题，显然x＝1是函数h（x）的一个零点，当x≠1时，求方程lnx+ax+1＝0根的个数，常数分离，构造t（x）＝﹣，x∈[，e2]，利用导数判断函数t（x）的单调性与最值，即可a的取值范围，进而判断零点个数．解：（Ⅰ）函数f（x）＝（x﹣1）lnx的定义域为（0，+∞）．f’（x）＝lnx+1﹣，f″（x）＝+＞0，f’（1）＝0，所以f（x）（6，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．则函数f（x）与g（x）图象的公共点个数即为函数h（x）的零点个数．当x≠1时，lnx+ax+1＝0，即a＝﹣，则t′（x）＝，故t（x）在[，1）上单调递减，在（3，e2]上单调递增，又t（）＝e8，t（e2）＝﹣，综上可得﹣1＜a≤﹣时，函数f（x）与g（x）图象的公共点个数为3；a≤﹣1或a＞e2时，函数f（x）与g（x）图象的公共点个数为1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0），若直线l与曲线C相交于A，B两点，求+的值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把直线的参数方程转换为普通方程，进一步把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x﹣y ﹣5＝0．曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ，根据，整理得ρ2＝6ρcosθ，（Ⅱ）把直线的参数方程，代入x2+y6＝6x，所以，t1t2＝﹣5，所以+＝＝．。

2019-2020学年四川省成都市第七中学高二下学期期中数学试题一、单选题1.设集合A = [-1,2], 3 = {＞，卜=疋,"4},则AC\B=( )A. [1,4]B. [1.2]C. [-1,0]D. [0,2]【答案】D【分析】根据题意，求得B = [0,4],结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合A = [-1,2],可得B = {y|y*,“A} = [0,4],所以ADB = [0,2]故选:D2.设复数z满足(l-/)z = 2/,则"()A. -1+iB. -1-iC. 1+iD. 1-i【答案】A【分析】(l—j)z = 2i【详解】由(1-/)Z = 2/ 得ZhMnid+Oh—l+i,故选A.1 —I【考点泄位】本小题主要考查复数的四则运算，复数在髙考中主要以小题形式出现，属容易题，主要考查复数的概念、几何意义与四则运算是基础内容.3.sin 20 cos 10 -cos 160 sin 10 =( )12【答案】B【分析】利用诱导公式cosl60 =—cos20‘•再利用两角和的正弦公式即可求解. 【详解】sin 20 cos 10 -cos 160 sin 10=sin20 cos 10 -cos(180 -20 JsinlO=sin 20 cos 10 +cos 20 sin 10 = sin（20 +10 ）1=sin 30 =—故选：B4.抛物线y2= 8x的焦点到宜线V3A->-=0的距离是（）A. VJB. 2>/3 C・ 2 D. 1【答案】A【解析】y2 = 8x的焦点为（2,0）,由点到直线的距离可得：（1 = 半=屯,故选A. 2 5.如图是某校高三某班甲、乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，若甲、乙两人的平均成绩分别是A、石，则下列判断正确的是（）甲乙5 1 11 28 3 12 6 7 46 13 2 53 14A.Xj > x2 ,甲比乙成绩稳定B.斤<£,乙比甲成绩稳定C.斤=£，甲比乙成绩稳定D.斤=£,乙比甲成绩稳定【答案】D【分析】由茎叶图分别求出斤卫，从而得到£ = 由茎叶图知甲的数据较分散，乙的数据较集中，从而得到乙比甲成绩稳泄.【详解】由茎叶图知：一111 + 115 + 123 + 128 + 136+143 ―x = ----------------------------- = 1266—112 + 126 + 127 + 124 + 132 + 135左= ------------------------------- =126- 6所以X]=兀2由茎叶图知甲的数据较分散，乙的数据较集中所以乙比甲成绩稳泄 故选:D【点睹】本题考查的是茎叶图的知识，较简单.6. 已知/(x) = 2sin ；2x + ^j,若将它的图象向右平移｛个单位，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)图象的一条对称轴的方程为( )【答案】A【详解】/(A-) = 2sin| 2x + ^],若将它的图象向右平移£个单位,I 6丿 6令2x-— = k7r + — , keZ > 求得x = — + — (k eZ),6 22 3v 7故函数的图象的一条对称轴的方程为兀=故选A.7. 宜线忑x + y-2* =()截圆x 2+ /= 4所得的劣弧所对圆心角为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C【解析】圆心(0,0)到直线V3A +V -2^ = 0的距离为洋=羽,又圆半径为2,所 以直线J 齐+ .v-2>/3= 0截圆疋+ y 2= 4所得的弦长为2J 百 =2,可知两半径与 弦用成等边三角形，所以所得的劣弧所对圆心角为60。

成都七中2019—2020学年度下期高2018级半期考试高二数学试卷(文科)考试时间：120分钟 满分：150分 命题人: 审题人：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知复数12z i =-，则=z （ ）（A（B ）1+2i （C ）12+55i （D ）1255i - 2．在空间直角坐标系O xyz -中，点()2,1,3A -关于yOz 平面对称的点的坐标是（ ） （A ）()2,1,3 （B ） ()2,1,3-- （C ）()2,1,3- （D ）()2,1,3--3.在极坐标系中，过点2,2π⎛⎫⎪⎝⎭且与极轴平行的直线方程是（ ） （A ）2ρ= （B ）2θπ= （C ）cos 2ρθ= （D ）sin =2ρθ 4.如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，则下面判断正确的是（ ） （A ）在区间()2,1-上()f x 是增函数 （B ）在区间()1,3上()f x 是减函数 （C ）在区间()4,5上()f x 是增函数 （D ）当2x =时，()f x 取到极小值 5.函数()2cos f x x x =+在 ） （A ）0 （B ）6π （C ）3π （D ）2π 6.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2＝6.705，则所得到的统计学结论是：有________的把握认为“学生性别与支持该活动有关系” （ ）（A ）1%（B ）0.1% （C ）99% （D ）99.9%7.成都七中某社团小组需要自制实验器材，要把一段长为12cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）（A 2 （B ）24cm （C ）2 （D ）2 8.若3211()232f x x x ax =-++在(1,)+∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是（ ） （A ）(,0]-∞ （B ）(,0)-∞ （C ）[0,)+∞ （D）(0,)+∞9.两动直线1y kx =+与21y x k=--的交点轨迹是（ ） （A ）椭圆的一部分（B ）双曲线的一部分 （C ） 抛物线的一部分 （D） 圆的一部分 10.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比L ”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过x =确定=2x ，则11+=11+1+L是（ ）（A （B （C （D 11.已知函数()f x 的导数()f x '满足()()()10f x x f x '++>对x R ∈恒成立，且实数,x y 满足()()()()110x f x y f y +-+>，则下列关系式恒成立的是（ ）（A ）331111x y <++ （B ）x ye e < （C ）x yx y e e < （D ）sin sin x y x y ->-12.已知函数()ln 2f x m x x =-，若不等式()12x f x mx e +>-在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）2m ≥ （B ）2m ≤ （C ）0m ≤ （D ）02m ≤≤二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.112z i =+（i 为虚数单位）的虚部是 . 14.已知[]0,2x ∈，则函数()x f x x e =+的值域是 .15.已知曲线2cos :(0x C y y θθθ=⎧⎪≥⎨⎪=⎩为参数且）.若点P 在曲线C 上运动，点Q 为直线:260l x y +-=上的动点，则PQ 的最小值为 .16.已知函数()211,0,2ln ,0.x e x x x ef x x x x ⎧--+≤⎪=⎨⎪>⎩若方程()0f x m -=恰有两个实根，则实数m 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18—22题每小题12分 17.（本小题满分10分）已知函数311()32f x x =+． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点51,6P ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （Ⅱ）求过点12,2A ⎛⎫⎪⎝⎭作曲线()y f x =的切线方程．18.（本小题满分12分）如图，五面体11A BCC B -中，41=AB ．底面是正三角形ABC ，2=AB .四边形11BCC B是矩形，二面角1A BC C --是直二面角. （Ⅰ）点D 在AC 上运动，当点D 在何处时， 有//1AB 平面1BDC ；（Ⅱ）求点B 到平面11AB C 的距离.C 1B 1D CB19.（本小题满分12分）已知直线l 的参数方程为()1cos 0sin x t t y t ααπα=+⎧≤<⎨=⎩为参数，，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为212cos 4sin ρρθρθ+=+．（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 相交于A B 、两点，且AB =求α的值．20.（本小题满分12分）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：表1为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t ＝x －2 014，z ＝y －5得到下表2：表2（Ⅰ）求z 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出y 关于x 的回归方程；（III ）用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？(附：对于线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑ni ＝1x i y i －nx －·y－∑ni ＝1x 2i －nx－2，a ^＝y －－b ^x －)21.（本小题满分12分）已知椭圆P 的中心O 在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点A (0，23)，离心率为12.（Ⅰ）求椭圆P 的方程；（Ⅱ）是否存在过点E (0，－4)的直线l 交椭圆P 于点R ，T ，且满足OR →·OT →＝167？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()()ln f x ax x a R =-∈． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：12112ln ln x x +>．成都七中2019～2020学年度下期2021届高二半期考试数学试卷（文科）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．12.解：由()ln 2f x m x x =-，故()2x x f e mx e =-由不等式()12x f x mx e +>-在()0,x ∈+∞上恒成立，则()()1x f x f e +>在()0,x ∈+∞上恒成立.11x x e <+<Q ()ln 2f x m x x ∴=-在()1,x ∈+∞上单调递减()20m f x x'∴=-≤对()1,x ∈+∞恒成立 2m x ∴≤对()1,x ∈+∞恒成立 2m ∴≤二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.12 14.21,2e ⎡⎤+⎣⎦说明：不写为集合的形式扣2分 15. 16． (]1,0e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭16.解：数形结合时注意渐近线三、解答题：（本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18—22题每小题12分） 17.解：（Ⅰ）由函数311()32f x x =+，则2()f x x '=． 曲线()y f x =在点51,6P ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线斜率()11,k f '== 故切线方程为51,6610.6y x x y -=-∴--= 故所求三角形的面积1111.26672S =⨯⨯= ………5分（Ⅱ）由点12,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭及311()32f x x =+，则811(2)322f =+≠， 不妨设切点为()00,P x y ，则()()20000300000003111193222122k f x x x x y x y y y k x ⎧'⎪====⎧⎧⎪⎪⎪⎪=+⇒⎨⎨⎨==⎪⎪⎪⎩⎩⎪-=-⎪⎩或 …………8分故切线方程为1182350.2y x y =--=或 …………10分（漏解扣2分）18. 解：（Ⅰ）当D 为AC 中点时,有//1AB 平面1BDC ………2分 连结1B C 交1BC 于O ,连结DO∵四边形11BCC B 是矩形 ∴O 为1B C 中点又D 为AC 中点,从而1//DO AB ………3分 ∵1AB ⊄平面1BDC ,DO ⊂平面1BDC∴//1AB 平面1BDC ………6分 （Ⅱ）设点B 到平面11AB C 的距离为d ，则由1111B AB C A BB C V V --=知1111223232d ⨯⨯=⨯⨯⨯d =. …………12分19.解：（Ⅰ）由圆C 的极坐标方程为212cos 4sin ρρθρθ+=+，知圆C 的直角坐标方程为222410x y x y +--+=． ……………………4分 （Ⅱ）解法1：将直线l 的参数方程代入到圆C 的直角坐标方程222410x y x y +--+=中，有24sin 0t t α-=．设A B 、两点对应的参数分别为12,t t ，则12124sin 0t t t t α+=⎧⎨=⎩． ……………………8分由12124sin AB t t t t α=-==+==得2sin .233ππααα=⇒==或 ……………………12分 解法2：化为直角坐标方程求解．20.解 （Ⅰ）t －＝3，z －＝2.2，∑5i ＝1t i z i ＝45，∑5i ＝1t 2i ＝55，b ^＝45－5×3×2.255－5×9＝1.2，a ^＝z －－b ^t －＝2.2－3×1.2＝－1.4，所以z ^＝1.2t －1.4. …………4分 （Ⅱ）将t ＝x －2 014，z ＝y －5，代入z ^＝1.2t －1.4，得y －5＝1.2(x －2 014)－1.4，即y ^＝1.2x －2 413.2. …………8分 （III ）因为y ^＝1.2×2 022－2 413.2＝13.2，所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达13.2千亿元. …………12分21.解 （Ⅰ）设椭圆P 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得b ＝23，e ＝c a ＝12，∴a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，∴c ＝2，a ＝4，∴椭圆P 的方程为x 216＋y 212＝1. …………4分（Ⅱ）假设存在满足题意的直线l ，易知当直线l 的斜率不存在时，OR →·OT →<0，不满足题意.故可设直线l 的方程为y ＝kx －4，R (x 1，y 1)，T (x 2，y 2). ∵OR →·OT →＝167，∴x 1x 2＋y 1y 2＝167.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，x 216＋y 212＝1得(3＋4k 2)x 2－32kx ＋16＝0， 由Δ>0得(－32k )2－64(3＋4k 2)>0，解得k 2>14.①（没考虑的扣1分）…………6分∴x 1＋x 2＝32k 3＋4k 2，x 1x 2＝163＋4k 2， ∴y 1y 2＝(kx 1－4)(kx 2－4)＝k 2x 1x 2－4k (x 1＋x 2)＋16，故x 1x 2＋y 1y 2＝163＋4k 2＋16k 23＋4k 2－128k 23＋4k2＋16＝167， 解得k 2＝1.② …………10分 由①②解得k ＝±1，∴直线l 的方程为y ＝±x －4.故存在直线l ：x ＋y ＋4＝0或x －y －4＝0满足题意. …………12分22.解：（Ⅰ）由已知得()()110ax f x a x x x-'=-=>， ①当0a ≤时，()0f x '<， ()f x ∴在()0,+∞上单调递减． ………1分②当0a >时，令()=0f x '，则1x a=()10,0x f x a ⎛⎫'∴∈< ⎪⎝⎭当时，()f x ∴在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；()1,0x f x a ⎛⎫'∴∈+∞> ⎪⎝⎭当时，()f x ∴在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． ………4分综上所述，①当0a ≤时，函数()f x 的单调递减区间是()0,+∞，无单调递增区间； ②当0a >时，函数()f x 的单调递减区间是10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. ………5分 （Ⅱ）证明:由函数()f x 有两个零点12,x x ， 不妨设12x x <,则11ln 0,x ax -=22ln 0,x ax -=()2121ln ln ,x x a x x -=- ………6分要证12112ln ln x x +>，只需证12112a x x +>，即证1212+,2x x a x x >只需证12211221+ln ln ,2x x x x x x x x ->- ………7分 只需证22212121ln ,2x x xx x x ->只需证2211121ln ,2x x x x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭令211x t x =>，即证11ln ,2t t t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭设()11ln ,12t t t t t ϕ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭， 则()()2222121022t t t t t tϕ----'==< ………10分即函数()t ϕ在()1,+∞上单调递减，则()()10t ϕϕ<=，即得12112ln ln x x +>成立. ……12分。

四川成都七中2019届高三文科数学下学期入学考试试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，若2+i=z（1-i），则z的共轭复数z−对应的点在复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设集合A={y|y=3x，x∈R}，B={y|y=√4−x2，x∈R}，则A∩B=（）A. [0,2]B. (0,+∞)C. (0,2]D. [0,2)3.函数f（x）=e|x|的大致图象是（）x2−3A. B.C. D.4.执行如图所示的程序框图，则输出的k值为（）A. 7B. 9C. 11D. 13⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（）5.已知等边△ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则BD第2页，共18页A. 23BA ⃗⃗⃗⃗⃗+16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 43BA ⃗⃗⃗⃗⃗−16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. −23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +56BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23BA ⃗⃗⃗⃗⃗+13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 6. 某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为（ ）A. 8−2π3 B. 8−2π C. 8−83π D. 8−8π7. 若函数f （x ）=log a （2x 2+x ）（a ＞0且a ≠1）在区间（0，12）内恒有f （x ）＞0，则f （x ）的单调递增区间为（ ）A. (−∞,14)B. (−14,+∞)C. (0,+∞)D. (−∞,−12)8. 如图，边长为a 的正六边形内有六个半径相同的小圆，这六个小圆分别与正六边形的一边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，则在正六边形内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（ ）A. 9−√3π18 B. 9−4√3π18 C. 9−√3π27 D. 9−4√3π279. 如图，点A 为双曲线x 2a2-y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点，P 为双曲线上一点，作PB ⊥x 轴，垂足为B ，若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则C 的离心率为（ ）A. √2B. √3C. 2D. √510. 已知cos （3π2-α）=2sin （α+π3），则tan （α+π6）=（ ）A. −√33B. −√39C. √33D. √3911.如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB=√2，D为直角边BC上的一点，将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD上的射影H在线段AB上，设AH=x，则x的取值范围是（）A. (1,√2)B. (√22,1) C. (12,√2) D. (0,1)12.设M，N是抛物线y2=x上的两个不同的点，O是坐标原点，若直线OM与ON的斜率之积为-12，则（）A. |OM|+|ON|≥4√2B. MN为直径的圆的面积大于4πC. 直线MN过抛物线y2=x的焦点D. O到直线MN的距离不大于2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x，y满足约束条件{x−2y+3≥0x−y+1≥0y≥1，则z=-3x+4y的最大值为______．14.在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx-y-2m-1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆截y轴所得弦长为______．15.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白．与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从偶，开平方得积”，若把这段文字写成公式，即S=√14[c2a2−(c2+a2−b22)2]，已知△ABC满足（sin A-sin B）（sin A+sin B）=sin A sin C-sin2C，且AB=2BC=2√2，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为______．16.已知函数f(x)={x−2lnx,x>e−x2+6x+e2−5e−2,x≤e（其中e为自然对数的底数，且e≈2.718）若f （6-a2）＞f（a），则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，2（a n+a n+2）=5a n+1，数列{b n}的前n项和为S n，b1=1，b n≠0，b n b n+1=4S n-1．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．18.为发挥体育在核心素养时代的独特育人价值，越来越多的中学已将某些体育项目纳入到学生的必修课程，甚至关系到是否能拿到毕业证，某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究性学习小组随机从该校高一年级第4页，共18页学生中抽取100人进行调查，其中男生60人，且抽取的男生中对游泳有兴趣的占56，而抽取的女生中有15人表示对游泳没有兴趣．（Ⅰ）试完成下面的2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为“对游泳是否有兴趣与性别有关”？有兴趣 没兴趣 合计男生 女生 合计（Ⅱ）已知在被抽取的女生中有6名高一（1）班的学生，其中3名对游泳有兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳有兴趣的概率． K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥PC ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且PC =BC =2AD =2CD =2√2，PA =2． （Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得BM ∥平面AMC ，求PMPD 的值．20. 已知椭圆Γ：x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （1，0），上顶点为A ．过F 且垂直于x 轴的直线l 交椭圆F 于B 、C 两点，若S △FOA S△COB =√22（1）求椭圆Γ的方程；（2）动直线m 与椭圆Γ有且只有一个公共点，且分别交直线1和直线x =2于M 、N 两点，试求|MF||NF|的值21. 已知a ∈R ，函数f （x ）=x -ae x +1有两个零点x 1，x 2（x 1＜x 2）．（Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）证明：e x 1+e x 2＞2．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =−12ty =2+√32t（t 为参数），以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=√1+3sin 2θ， （Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M （0，2），曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求|MA |•|MB |的值．23. 已知函数f （x ）=|2x +1|-|x -2|．（1）画出函数f （x ）的图象；（2）若关于x 的不等式x +2m +1≥f （x ）有解，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由2+i=z（1-i），得z=，∴，则z的共轭复数z对应的点的坐标为（），在复平面的第四象限．故选：D．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由y=3x，x∈R，得y＞0，即A=（0，+∞），由y=，x∈R，得：0≤y≤2，即B=[0，2]，即A∩B=（0，2]，故选：C．分别求y=3x，x∈R，y=，x∈R的值域，得：A=（0，+∞），B=[0，2]，再求交集即可．本题考查了求函数值域及交集的运算，属简单题．3.【答案】A【解析】解：f（-x）===f（x），则函数f（x）为偶函数，故排除CD，当x=1时，f（1）=＜0，故排除B，故选：A．先判断函数偶函数，再求出f（1）即可判断第6页，共18页本题考查了函数图形的识别，关键掌握函数的奇偶性，和函数值，属于基础题4.【答案】C【解析】解：由题意，模拟执行程序框图，可得S=0，k=1满足条件S＞-1，S=lg，k=3满足条件S＞-1，S=lg+lg，k=5满足条件S＞-1，S=lg+lg+lg，k=7满足条件S＞-1，S=lg+lg+lg+lg，k=9满足条件S＞-1，S=lg+lg+lg+lg+lg=lg（××××）=lg=-lg11，k=11不满足条件S＞-1，退出循环，输出k的值为11．故选：C．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5.【答案】A【解析】解：如图所示设BC中点为E，则=+=+=+（+）=-+•=+．故选：A．根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算写出用、的表达式即可．本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题．6.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图：该几何体是由一个边长为2正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥构成的不规则的几何体．所以：v=，=．故选：A．直接利用三视图，整理出几何体的构成，进一步利用几何体的体积公式求出结果．本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.【答案】D【解析】解：当x∈（0，）时，2x2+x∈（0，1），∴0＜a＜1，∵函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=log a t和t=2x2+x复合而成，0＜a＜1时，f（x）=log a t在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间．t=2x2+x＞0的单调递减区间为（-∞，-），∴f（x）的单调增区间为（-∞，-），故选：D．先求出2x2+x，（0，）的范围，再由条件f（x）＞0判断出a的范围，再根据复合函数“同增异减”原则求f（x）单调区间．第8页，共18页本题考查复合函数的单调区间问题，复合函数的单调区间复合“同增异减”原则，在解题中勿忘真数大于0条件．8.【答案】C【解析】解：如图所示，边长为a的正六边形，则OA=OB=AB=a，设小圆的圆心为O'，则O'C⊥OA，∴OC=a，∴O'C=a，OO'=a，∴OD=a，∴S阴影=12[×a•a-π•（a）2]=（-）a2，S正六边形=a2，∴点恰好取自阴影部分的概率P===，故选：C．分别求出正六边形和阴影部分的面积，作商即可．本题考查了几何概型问题，考查特殊图形面积的求法，是一道常规题．9.【答案】A【解析】解：由题意可得A（a，0），A为线段OB的中点，可得B（2a，0），令x=2a，代入双曲线的方程可得y=±b，可设P（2a，-b），由题意结合图形可得圆A经过双曲线的左顶点（-a，0），即|AP|=2a，即有2a=，可得a=b，e===，故选：A．设A的坐标（a，0），求得B的坐标，考虑x=2a，代入双曲线的方程可得P的坐标，再由圆A经过双曲线的左顶点，结合两点的距离公式可得a=b，进而得到双曲线的离心率．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：∵cos （-α）=2sin（α+），∴-sinα=2sinαcos +2cosαsin，则即-2sinα= cosα，∴tanα=-，∴tan（α+）===-，故选：B．由题意利用诱导公式、两角和正弦角公式求得tanα，再利用两角和正切公式求得结果．本题主要考查两角和差的三角公式、诱导公式的应用，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：∵在等腰Rt△ABC中，斜边AB=，D为直角边BC上的一点，∴AC=BC=1，∠ACB=90°，将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD上的射影H在线段AB上，设AH=x，∴AC1=AC=1，CD=C1D∈（0，1），∠AC1D=90°，CH⊥平面ABC，∴AH＜AC1=1，故排除选项A和选项C；当CD=1时，B与D重合，AH=，当CD＜1时，AH ＞=，第10页，共18页∵D为直角边BC上的一点，∴CD∈（0，1），∴x的取值范围是（，1）．故选：B．推导出AC=BC=1，∠ACB=90°，AC1=AC=1，CD=C1D∈（0，1），∠AC1D=90°，CH⊥平面ABC，从而AH＜AC1=1，当CD=1时，B与D重合，AH=，当CD ＜1时，AH＞=，由此能求出x的取值范围．本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】D【解析】解：当直线MN的斜率不存在时，设M（，y0），N（，-y0），由斜率之积为，可得，即，∴MN的直线方程为x=2；当直线的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，联立，可得ky2-y+m=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，即m=-2k．∴直线方程为y=kx-2k=k（x-2）．则直线MN过定点（2，0）．则O到直线MN的距离不大于2．故选：D．由已知分类求得MN所在直线过定点（2，0），结合选项得答案．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与篇文章位置关系的应用，是中档题．13.【答案】5【解析】解：作出x，y满足约束条件，所示的平面区域，如图：作直线-3x+4y=0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点A时z最大，由可得A（1，2），此时z=5．故答案为：5．先画出约束条件的可行域，利用目标函数z=-3x+4y的几何意义，求解目标函数的最大值．本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是：明确目标函数的几何意义．14.【答案】2【解析】解：圆心到直线的距离d==∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x-1）2+y2=2．∴此时截y轴所得弦长为2故答案为：2．求出圆心到直线的距离d的最大值，求出所求圆的标准方程，即可求出半径最大的圆截y轴所得弦长．本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．15.【答案】√3【解析】第12页，共18页解：∵AB=2BC=2，∴由题意可得：c=2a=2，a=，∵（sinA-sinB）（sinA+sinB）=sinAsinC-sin2C，∴由正弦定理可得：（a-b）（a+b）=ac-c2，可得：a2+c2-b2=ac，∴S===ac==．故答案为：．由题意可得：c=2a=2，a=，利用正弦定理化简已知等式可得a2+c2-b2=ac，根据题意利用三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】-3＜a＜2【解析】解：∵∴当x≤e时y=-（x-3）2+e2-5e+7∴x≤e时函数单调递增当x＞e时y'=1-＞0恒成立，故x＞e时函数单调递增，∵f（e）=e-2=e-2lne∴函数在R上为增函数．∴由f（6-a2）＞f（a）得6-a2＞a，解得-3＜a＜2故答案为-3＜a＜2利用二次函数的单调性，及导数工具，先探讨函数的单调性，然后利用条件列出不等式，即可解得a的范围．本题考查了函数单调性的性质及利用导数研究函数的单调性，在探讨分段函数的性质时注意分段研究．本题是个中档题．17.【答案】解：（1）设公比为q等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，首项为a1，则：a1q4⋅a1⋅q4=a1⋅q9，解得：a1=q，2（a n+a n+2）=5a n+1，所以：2q2-5q+2=0，第14页，共18页解得：q =2或12，由于数列为单调递增数列， 故：q =2，所以：a n =a 1⋅q n−1=2n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，b 1=1，b n ≠0，b n b n +1=4S n -1①． 当n ≥2时，b n -1b n =4S n -1-1②， 整理得：b n -b n -1=2（常数），对n 分偶数和奇数进行分类讨论， 整理得：b n =2n -1故：c n =a n b n =（2n -1）•2n ，则：T n =1⋅21+3⋅22+⋯+(2n −1)⋅2n ①， 2T n =1⋅22+3⋅23+⋯+(2n −1)⋅2n+1②， ①-②得：-T n =2⋅2(2n −1)2−1−(2n −1)⋅2n+1−2，解得：T n =(2n −3)⋅2n+1+6． 【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）2×2列联表如下，依题意，男生60人，故女生有100-60=40人， 对游泳感兴趣的男生有60×56=50人，则对游泳不感兴趣的男生有60-50=10人， 对游泳不感兴趣的女生有15人，故对游泳感兴趣的女生有40-15=25人，K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(50×15−25×10)275×25×40×60≈5.556＜6.635，故没有99%的把握认为对游泳是否有兴趣与性别有关（Ⅱ）设A ={6人抽取3人，至少有2人对游泳感兴趣}，则P （A ）=13C 32C+C 33C 63=1020=12．【解析】（Ⅰ）分别求出男女生感兴趣和不感兴趣的人数，填入表中即可．（Ⅱ）6人中有3人对游泳感兴趣，三人不感兴趣，用计数原理算出所有的抽取方法，计算出至少2人对游泳感兴趣的概率p 即可． 本题考查了独立性检验，古典概型的概率求法，属基础题．19.【答案】证明：（Ⅰ）∵在底面ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且BC =2AD =2CD =2√2， ∴AB =AC =2，BC =2√2， ∴AB ⊥AC ，又∵AB ⊥PC ，AC ∩PC =C ，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，∴AB ⊥平面PAC ， ∴AB ⊥PA ，∵PA =AC =2，PC =2√2， ∴PA ⊥AC ，又∵PA ⊥AB ，AB ∩AC =A ，AB ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥平面ABCD ．解：（2）以A 为原点，AB ，AC ，AP 所成角分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0），P （0，0，2），D （-1，1，0），设M （a ，b ，c ），PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0，1]， 则（a ，b ，c -2）=（-λ，λ，-2λ），∴M （-λ，λ，2-2λ），BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-λ-2，λ，2-2λ），AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-λ，λ，2-2λ），AC⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，0）， 设平面AMC 的法向量n⃗ =（x ，y ，z ）， 则{n ⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−λx +λy +(2−2λ)z =0n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0，取x =1，得n ⃗ =（1，0，λ2−2λ）， ∵BM ∥平面AMC ，∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =-λ-2+（2-2λ）•λ2−2λ=0，方程无解，∴在线段PD 上，不存在一点M ，使得BM ∥平面AMC ．【解析】（Ⅰ）推导出AB ⊥AC ，AB ⊥PC ，从而AB ⊥平面PAC ，进而AB ⊥PA ，再求出PA ⊥AC ，PA ⊥AB ，由此能证明PA ⊥平面ABCD ．（2）以A 为原点，AB ，AC ，AP 所成角分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段PD 上，不存在一点M ，使得BM ∥平面AMC ． 本题考查面面垂直的证明，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理推论证能力、运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）易知，|BC|=2b 2a ，S △FOAS △COB=b2b 2a=a2b =√22，∴a =√2b ，c =√a 2−b 2=b ，所以，b =1，a =√2，第16页，共18页因此，椭圆Γ的方程为x 22+y 2=1；（2）设直线m 与椭圆Γ的切点为点P （x 0，y 0），则直线m 的方程为x 0x 2+y 0y =1，且有x 022+y 02=1，可得y 02=1−x 022，直线m 与直线l ：x =1交于点M(1，2−x 02y 0)，直线m 交直线x =2于点N(2，1−x 0y 0)．所以，|MF|=|2−x 02y 0|，|NF|=√(2−1)2+(1−x0y 0)2=√1+x 02−2x 0+1y 02=√x 02−2x 0+1+1−x 022y 02=√x 022−2x 0+2y 02=√12(x 02−4x 0+4)y 02=√22⋅|2−x 0y 0|，因此，|MF||NF|=|2−x 0y 0|√22|2−x 0y 0|=√2．【解析】（1）由通径公式得出，结合已知条件得出，再由c=1，可求出a 、b 的值，从而得出椭圆的方程；（2）设切点为（x 0，y 0），从而可写出切线m 的方程为，进而求出点M 、N 的坐标，将切点坐标代入椭圆方程得出x 0与y 0之间的关系，最后利用两点间的距离公式可求出答案．本题考查直线与椭圆的综合，考查计算能力与推理能力，属于中等题． 21.【答案】解：（Ⅰ）f ′（x ）=1-ae x ，①a ≤0时，f ′（x ）＞0，f （x ）在R 上递增，不合题意，舍去，②当a ＞0时，令f ′（x ）＞0，解得x ＜-ln a ；令f ′（x ）＜0，解得x ＞-ln a ； 故f （x ）在（-∞，-ln a ）单调递增，在（-ln a ，+∞）上单调递减，由函数y =f （x ）有两个零点x 1，x 2（x 1＜x 2），其必要条件为：a ＞0且f （-ln a ）=-ln a ＞0，即0＜a ＜1，此时，-1＜-ln a ＜2-2ln a ，且f （-1）=-1-ae +1=-ae ＜0，令F （a ）=f （2-2ln a ）=2-2ln a -e 2a+1=3-2ln a -e 2a，（0＜a ＜1），则F ′（a ）=-2a +e 2a2=e 2−2aa 2＞0，F （a ）在（0，1）上单调递增，所以，F （a ）＜F （1）=3-e 2＜0，即f （2-2ln a ）＜0， 故a 的取值范围是（0，1）． （Ⅱ）令f （x ）=0⇒a =x+1e x ，令g （x ）=x+1e x ，g ′（x ）=-xe -x ，则g （x ）在（-∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减，由（Ⅰ）知0＜a ＜1，故有-1＜x 1＜0＜x 2， 令h （x ）=g （-x ）-g （x ），（-1＜x ＜0），h （x ）=（1-x ）e x -（1+x ）e -x ，（-1＜x ＜0），h ′（x ）=-xe x +xe -x =x （e -x -e x ）＜0， 所以，h （x ）在（-1，0）单调递减，故h （x ）＞h （0）=0， 故当-1＜x ＜0时，g （-x ）-g （x ）＞0，所以g （-x 1）＞g （x 1），而g （x 1）=g （x 2）=a ，故g （-x 1）＞g （x 2）， 又g （x ）在（0，+∞）单调递减，-x 1＞0，x 2＞0， 所以-x 1＜x 2，即x 1+x 2＞0， 故ex 1+ex 2≥2√e x 1+x 2=2ex 1+x 22＞2．【解析】（Ⅰ）利用导数研究单调性得f （x ） 的最大值为f （-lna ）＞0解得a 即可； （Ⅱ）先通过构造函数证明x 1+x 2＞0，在用基本不等式可证． 本题考查了函数零点的判定定理，属难题．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C 1的参数方程为{x =−12ty =2+√32t （t 为参数）， 由代入法消去参数t ，可得曲线C 1的普通方程为y =-√3x +2； 曲线C 2的极坐标方程为ρ=√1+3sin 2θ， 得ρ2=41+3sin 2θ，即为ρ2+3ρ2sin 2θ=4， 整理可得曲线C 2的直角坐标方程为x 24+y 2=1；（Ⅱ）将{x =−12ty =2+√32t （t 为参数）， 代入曲线C 2的直角坐标方程x 24+y 2=1得13t 2+32√3t +48=0，利用韦达定理可得t 1•t 2=4813， 所以|MA |•|MB |=4813． 【解析】（Ⅰ）运用代入法，消去t ，可得曲线C 1的普通方程；由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入极坐标方程，即可得到所求直角坐标方程；第18页，共18页（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线C 2的直角坐标方程，运用参数的几何意义，由韦达定理可得所求之积．本题考查参数方程和普通方程的互化，极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程的运用，以及韦达定理的运用，属于基础题． 23.【答案】解：（1）f （x ）=|2x +1|-|x -2|={−x −3，x ≤−123x −1，−12＜x ＜2x +3，x ≥2，画出y =f （x ）的图象，如右图：（2）关于x 的不等式x +2m +1≥f （x ）有解，即为2m +1≥f （x ）-x ， 由x ≥2时，y =f （x ）-x =3；当-12＜x ＜2时，y =f （x ）-x =2x -1∈（-2，3）；当x ≤-12时，y =f （x ）-x =-2x -3∈[-2，+∞）， 可得y =f （x ）-x 的最小值为-2， 则2m +1≥-2， 解得m ≥-32． 【解析】（1）写出f （x ）的分段函数式，画出图象；（2）由题意可得2m+1≥f （x ）-x 的最小值，对x 讨论去绝对值，结合一次函数的单调性可得最小值，即可得到所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式有解的条件，注意运用分类讨论思想方法和分离参数法，考查单调性的运用：求最值，属于中档题．。