有限推力最优控制综述

I D (t )
≤ I D max
tf 0
（5） （6）
性能指标
J dt t f
最优控制问题为：在状态方程的约束下，寻求最优控制 I D (t )≤ I D max
，将 x (t f ) 转移到 x (0) ，使J 为极小。
最优控制问题的一般性提法为
f ( x,u, t ) 系统状态方程为 x
（6）
空间中任 空间
意取值，而必须受到某些物理限制，(例如，控制电压，控制 要满足某些约束条件，这时，在
中，把所有满足上式的点
的集合，记作：
（7）
这时，在
空间中，把所有满足上式的点
的集合，记作：
(8)
U称为控制集。把满足
（9）
的
称为容许控制。
3．明确初始条件 通常，初始时刻 给定的称 固定始端。 如果 是任意的，则称自由始端。 是给定的。如果初始状态 也是
什么是最优控制？
最优控制问题： 1969年，美国阿波罗11号---人类首次载人登月飞行 任务：要求登月舱在月球表面实现软着陆，并有足够的燃料返 回登月舱；求登月过程，发动机推力的最优控制 软着陆 月球表面速度为零 使燃料消耗最小 才有足够的燃料返回登月舱
发动机最大推力有限
u t
mt 登月舱质量
δ J [ x0 , δ x] 0
欧拉方程：
, t )dt J [ x] L( x, x 定理：设有如下泛函极值问题： min t x (t )
0
tf
, t ) 及 x(t ) 在 [t0 , t f ] 上连续可微， t 0 和 t f 给定， 其中， L( x, x
x(t f ) x f ，x(t ) Rn ，则极值轨线 x * (t ) 满足如下欧 已知 x(t0 ) x0， 拉方程

u cos ， v sin
xu
，Leabharlann y v把它们写成向量形式：
x(t ) f [ x(t ), (t )]
cos (t ) sin (t ) f [ x(t ), (t )] u (t ) v(t )

e
0
2
(t ) dt




达到最小来设计系统。式中e(t)表示误差。不难看出，这要比单 独用上升时间、最大过调量等，来评价系统的品质更全面些。这 就是最优控制思想的萌芽。 进一步，如果不仅对说差有限制，而且对误差变化率以及在 控制过程中消耗的能量也有限制，这就需要进一步发展积分评价 法的思想，把这些要求统一在一个评价函数中，以求得在总体上 达到最优。 把式上式改写 [e 2 (t ) qe 2 (t ) ru 2 (t )]dt
（0—14）
性能指标为
J x1 (t f ) u(t f )
（0—15） 对于上述问题而言，控制变量 (t ) 不受限制， 可以任意选 取。于是，最优推力方问角选择问题的提法是：在系统方程(0— 12)的约束下，寻找控制函数 (t ) ，使质点在t＝0时从零状态出 tf 发，在规定终端时刻 、到达规定高度，并且使水平速度达 u (t f ) 到最大。
式中
x1 (t ) u x (t ) v x(t ) 2 x3 (t ) x x 4 (t ) y
这个问题的初始条件是
，
x1 (0) u (0) 0 x ( 0) v ( 0) 0 2 x 3 ( 0) x ( 0 ) 0 x 4 ( 0) y ( 0) 0

11.1.1 最优控制问题的两个例子
[例1] 飞船的月球软着陆问题。 如图所示，飞船 靠其发动机产生一个与月球重力方向相反的推力 ， 使得飞船到月球表面时速度为零， 即实现软着陆。 要求设计推力函数 ，使得发动机燃料消耗最少。
月球
[解]
设飞船的质量为 ， 其高度和垂直速度分别为 和 ，月球的重力加速度为常数 ，飞船的自身 质量及所带燃料分别为 和 。
其中， 目标集 可表示为 性能指标 可表示为 其中 和 为连续可导的标量函数。
11.2 应用变分法求解无约束条件 的最优控制问题
11.2.1 泛函与变分
一. 泛函与泛函算子
所谓泛函，简单地说就是函数的函数，定义如下：
设
为给定的某类函数，如果对于这类函数中的
每一个函数，有某个数 与之相对应， 则称 为这类
哈工大现代控制理论基 础第十一章 最优控制
2020年4月24日星期五
11.1 最优控制问题的一般提法
最优控制研究的主要问题： 根据已建立的被控 对象的数学模型， 选择一个容许控制律， 使得被控 对象按照预定的规律运动，并使某一个性能指标达到 最大或最小。
从数学的观点来看， 最优控制问题是求解一类 带有约束条件的泛函极值问题， 属于变分学范畴。
经典的变分法只能解决控制无约束的问题， 即容许控制属于开集的一类最优控制问题。 然而， 工程中的控制常常是有约束的， 即容许控制是属于 闭集的。为了解决这个问题， 20世纪50年代，美国 学者贝尔曼和苏联科学院院士庞德里亚金分别独立 地拓展了经典变分法， 分别给出了动态规划方法和 极大值原理。 它们构成了最优控制的理论基础。
证明略
泛函变分的规则 泛函的变分是一种线性映射， 满足下列性质：
1 2 3 4

航天器有限推力轨道转移的轨迹优化方法王常虹;曲耀斌;陆智俊;安昊;夏红伟;马广程【摘要】为使小推力发动机航天器在航行中实现轨道快速机动并有效节省燃料,提出了基于拟谱法的航天器轨道转移轨迹优化方法.采用改进的赤道轨道根数,基于高斯动力学方程建立了航天器轨道转移过程的数学模型,克服了经典轨道根数当偏心率为0,或者轨道倾角为0°或90°时的奇异问题,给出了航天器轨道转移燃料最优性能指标函数以及终端约束和路径约束条件；采用拟谱法,将原始的连续最优控制问题转化为非线性规划问题；利用SNOPT(sparse nonlinear optimizer)算法求解最优轨迹,并提出了具体设计步骤和方法.仿真结果表明:与fmincon优化方法相比,发动机最大推力为20N时,本文的优化方法寻优时间减少61％,节省燃料18％.%In order to achieve the rapid maneuver and effective fuel saving of the spacecraft with finite thrust in flight,trajectory planning based on psedospectral method was studied.Orbit transfer was modeled mathematically with Gauss dynamics equations by using improved equatorial orbital elements.The model could overcome the singularity problems when the orbital eccentricity was 0° or the orbit inclination was 0° or 90°.Then,the fuel optimal performance index function,terminal constraint,and path constraint conditions were given; and the original continuous optimization problem was converted to the equivalent finite nonlinear planning problem by psedospectral method.Finally,the sparse nonlinear optimizer (SNOPT) algorithm was utilized to solve the trajectory planning problem,and the specific design steps and methods were pared with the optimization method using fmincon function,theproposed method can reduce the optimization time by 61％ and save the fuel consumption by 18％ when the maximum thrust is 20 N.【期刊名称】《西南交通大学学报》【年(卷),期】2013(048)002【总页数】5页(P390-394)【关键词】轨道转移;拟谱法;轨迹优化;有限推力【作者】王常虹;曲耀斌;陆智俊;安昊;夏红伟;马广程【作者单位】哈尔滨工业大学航天学院,黑龙江哈尔滨150001;哈尔滨工业大学航天学院,黑龙江哈尔滨150001;上海航天控制工程研究所,上海200233;上海航天控制工程研究所,上海200233;哈尔滨工业大学航天学院,黑龙江哈尔滨150001;哈尔滨工业大学航天学院,黑龙江哈尔滨150001;哈尔滨工业大学航天学院,黑龙江哈尔滨150001【正文语种】中文【中图分类】V448.21随着高比冲小推力发动机的出现，连续推力轨道转移问题成为航天领域的研究热点之一，针对连续低推力情形下最优转移轨迹，国内外学者得到了很多有价值的研究成果［1-3］.轨迹数值优化方法主要有间接法和直接法［4-6］.间接法的缺点是推导其一阶必要条件的过程较复杂，且协态变量的初值难以预测，导致寻优结果不易收敛［7-9］.直接法对初值依赖不大，无需求解最优必要条件，这些优点使得直接法在数值寻优方面的应用更广泛［10-12］，但直接法存在求解精度较差、所得解无法满足一阶最优必要条件等固有缺陷［13-14］.在此背景下，针对间接法求解复杂及直接法求解结果精度较低等缺点，本文基于拟谱法［8］研究采用小推力发动机航天器的轨道转移问题，首先采用改进的赤道轨道根数建立航天器的动力学方程，克服了经典轨道根数当偏心率为0以及轨道倾角为0°或90°时的奇异问题，实践证明该方法可以更准确地描述多圈轨道转移全过程.然后，基于拟谱法并考虑多重路径约束和终端约束条件，提出了轨迹优化问题的求解方法，针对不同的推力极限值，给出最优转移轨迹的变化情况，以及最优轨道转移时间与推力极限值之间的关系，这些研究对于实际的小推力轨道设计问题具有重要的参考价值.1 问题描述针对有限推力航天器轨道转移问题，本节给出其动力学方程、性能指标函数、终端约束以及各种路径约束条件的数学表达式.在此选择作为空间飞行器的状态变量，其中，p为轨道的半正焦弦，(ex，ey)为偏心率向量，(hx，hy)T为倾角向量，L为累计赤经.利用改进的赤道轨道根数描述的飞行器动力学方程为式中:Tmax为小推力发动机的推力极限值;ui(i=1，2，3)为作用在飞行器3个方向上的单位控制变量分量值，本文考虑有限推力情形，需满足路径约束条件≤1，即实际推力不能超过所能提供的推力极限值.为使飞行过程中不与地球发生碰撞，需满足路径约束P≥Pe.为保证最终质量大于0以及最优转移轨迹的形状，需满足在飞行器飞行过程中，质量的变化规律为其中:β为速度降低的比例系数.为使燃料最省，即剩余可用载荷质量最大，需满足性能指标J=－mf.本文要研究的问题是航天器在给定有限阀值推力作用下，通过调整推力的大小和方向，使其从初始椭圆轨道转移至目标轨道，并满足各种路径约束条件和终端约束条件，同时使性能指标最优.2 拟谱法寻优的求解过程针对以上轨迹优化过程的数学描述，可以选择间接法和直接法求取其数值最优轨迹，间接法求解此问题过程较为复杂且协态变量初值难于猜测，本文采用拟谱法进行求解.拟谱法利用Legendre多项式来近似状态变量与控制变量［14］，与直接法相比，具有收敛速度快、精度高的优点.在离散节点的选择、插值多项式的选取、动力学方程的近似等方面，拟谱法与直接法有显著区别［15］.拟谱法的步骤如下.(1)离散节点的选择拟谱法近似通常是在时间区间［－1，1］内展开，因此，需要先将原始时间区间映射至给定区间.将［－1，1］内的时间变量τ转换为在任意时间间隔［t0，tf］内的真实时刻 t，以Legendre拟谱法为例，采用Legendre-Gauss(LG)点作为离散节点，则有式中:(t)为N－1阶Legendre多项式的导数.由式(3)可知，全部离散点由－1、1和在区间(－1，1)内的(N－2)个LG点组成，其中LG点即为(t)在此区间内的根.(2)控制变量和状态变量的近似表示方法将上面LG点处的控制变量和状态变量值作为寻优参数变量，可将原始的连续性状态变量和控制变量插值近似表示为其中:Φj(t)为Lagrange插值多项式，(3)将动力学方程转化为代数方程将原始连续高斯动力学方程中状态变量的导数表示为各个节点状态变量的代数表达式，即可将动力学方程近似表示为代数方程，具体方法如下.先对式(4)求导:然后求出在LG点处的状态变量导数值:式中:DN=Dij为待求的拟谱法差分矩阵分量.通过推导Lagrange插值多项式的导数与Legendre多项式的关系，可得因此，状态方程˙x=f(x，u)可通过拟谱法差分近似表示为(4)约束条件与性能指标函数轨迹终端约束条件可以表示为对于终端节点处状态变量的约束，即路径约束可以描述为关于LG点处的约束，即性能指标约束可以用节点处的值表示，综上所述，通过将动力学方程以及路径约束、终端约束、性能指标函数离散后，可将原始轨迹优化问题所对应的连续最优控制问题转换为离散的非线性规划问题求解.利用 SNOPT(sparse nonlinear optimizer)算法对最终的非线性规划问题进行求解，得出最优的离散状态变量xtj和控制变量utj，最后通过Lagrange插值可得到对应的飞行器最优状态轨迹和连续控制变量.3 数值仿真对于地球同步轨道卫星的发射，在对转移时间要求较宽松的情况下，一种比较经济的方案是首先利用运载火箭将卫星运送至近地轨道，然后，再采用高比冲的轨道转移飞行器将卫星运送至地球同步轨道.为了验证上述研究成果的有效性，本节针对航天器从近地椭圆轨道向地球同步轨道转移的过程进行仿真设计，仿真中初始时刻和终止时刻的改进赤道轨道根数分别设置为常值系数为利用拟谱法对上述优化问题进行仿真时，离散节点数目越多，寻优结果的精度越高，但寻优时间也会增长.对Tmax=20 N轨道转移情况下不同离散节点数的问题分别进行求解，得出不同相邻节点数情况下状态变量累积赤经的最大误差，见表1.由表1可见，当离散节点数N=40个时，最大误差为0.0002 rad，满足精度要求.因此，选择节点数为40，并采用SNOPT算法求解转换后的非线性规划问题.运用Matlab中的fmincon函数，根据表2数据进行轨迹优化，结果如图1～图3所示.表1 节点数取不同值时的误差对比Tab.1 Error comparison when choosingdifferent nodes节点数10～11 20～21 40～41累积赤经最大误差指标/rad 0.5220 0.0540 0.0002寻优时间/s 13.53 15.36 30.56表2 结果对比Tab.2 Comparison of numerical resultsTmax/N tf/h m(tf)/kg L(tf)/rad 圈数20 95.4994 1391.51 20.69670 310 195.2915 1389.07 36.78554 55 367.2172 1395.71 45.95589 7图1 飞行器的三维转移轨迹(Tmax=20 N)Fig.1 3-D transfer trajectory of spacecraft(Tmax=20 N)图2 飞行器的三维转移轨迹(Tmax=10 N)Fig.2 3-D transfer trajectory of spacecraft(Tmax=10 N)图3 飞行器的三维转移轨迹(Tmax=5 N)Fig.3 3-D transfer trajectory of spacecraft(Tmax=5 N)对Tmax=20 N的轨道转移情况最优解与拟谱法的结果进行了比较，见表3.表3 两种寻优方法比较(Tmax=20 N)Tab.3 Comparison of two optimization methods(Tmax=20 N)30.56 37 1391.513 fmincon函数法/kg拟谱法方法寻优时间/s 迭代次数 m(tf)79.23 78 1367.348由图1～图3及表2和表3可以看出，采用拟谱法对连续小推力轨道转移问题进行轨迹优化，可求解出最优的转移轨迹，且使得初始状态与终端状态满足要求. Tmax=20 N时，轨道转移时间tf=95.4994 h，剩余质量为1391.513 kg，飞行器大约绕飞地球3圈;Tmax=10 N时，轨道转移时间tf=195.2915 h，剩余质量为1389.07 kg，飞行器大约绕飞地球5圈;Tmax=5 N时，轨道转移时间tf=367.2172 h，剩余质量为1395.71 kg，飞行器大约绕飞地球7圈.从表2可见，在不同Tmax情形下，飞行器剩余质量变化不大，而轨道转移时间和绕飞圈数随着Tmax的减少而增加，轨道转移时间大致与Tmax成反比关系.通过仿真可知，应用连续小推力实现从近地椭圆轨道向地球同步轨道转移时，应根据推力发动机性能以及任务对时间的要求，兼顾燃料消耗与转移时间两方面，设计轨道转移飞行器运行的不同轨迹.由表3可知，对于 Tmax=20 N的情形，与fmincon函数法相比，拟谱法寻优时间减少61%，迭代次数更少，且节省燃料18%.4 结束语以航天器有限推力轨道转移为例，研究了拟谱法的寻优过程，并运用SNOPT算法对拟谱法转化后的非线性规划问题进行了求解.在地球近地椭圆轨道向地球同步轨道转移问题的仿真结果中，得出了轨道转移时间、燃料消耗、转移圈数与推力阈值之间的关系.通过与fmincon函数法比较，验证了拟谱法的优点，这些优点对深空探测小推力轨道转移具有重要意义，在实际的轨道设计中具有重要的参考价值.参考文献:【相关文献】［1］GERGAUD J，HABERKORN T.Orbital transfer:some links between the low-thrust and impulse cases［J］.Acta Astronautica，2007，60(8):649-657.［2］BETTS J T.Survey of numerical methods for trajectory optimization［J］.AIAA Journal of Guidance，Control and Dynamics，1998，21(2):193-207.［3］YUE X，YANG Y，GENG Z.Indirect optimization for finite-thrust time-optimal orbital maneuver［J］.Journal of Guidance，Control and Dynamics，2010，33(2):628-634. ［4］GAO Y，KLUEVER C.An algorithm for computing near-optimal many revolutionearth-orbit transfers［J］.Advances in the Astronautical Sciences， 2006，123(3):861-880. ［5］HUNTINGTON G，RAO V.Optimal reconfiguration of spacecraft formations usingthe gauss pseudospectral method［J］. 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