2016-2017学年人教B版选修2-3第2章-2.3-2.3.1 离散型随机变量的数学期望 课件(47张)

《离散型随机变量的分布列的应用》教学设计喀左四高中王德江教材说明人教B版选修2-3第二章第二节课型习题课课时1课时学情分析学生对选修2-3第二章《离散型随机变量及其分布列》中的离散型随机变量的概念，如何求离散型随机变量分布列，二点分布的概念及其应用都有了一定程度的掌握，但对分布列的性质还不能很好的理解和应用，故拟定通过本课加强学生对离散型随机变量的分布列性质的掌握和应用教学内容分析一、教学主要内容在“离散型随机变量及其分布列”这一小节中，两点分布、超几何分布、二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位，因此本节内容的重点是离散型随机变量的分布列二、教材编写特点由于随机变量与离散型随机变量不同于从前学习函数时遇到的变量，所以教材的编写体现了知识形成的过程,按学生的现有知识和认识水平难以透彻理解，所以教学难点是建立随机变量与离散型随机变量的概念，以及对它们有正确的理解；关键是多考察实际例子，通过它们加深对随机试验、随机变量及离散型随机变量的认识，并熟悉它们的分布列三、教材内容的数学核心思想函数的思想,化归与转化的思想等教学目标知识与技能:能根据分布列求出某事件的概率；会求离散型随机变量的分布列；培养学生的收集信息、分析问题和解决问题的实际应用能力过程与方法:通过学生自主独立思考，解决一些较容易的问题；帮助学生在原有经验上对新知识主动建构，在交流合作中学习情感态度与价值观:优化学生的思维品质；通过自主探索、合作交流，增强学生对数学的情感体验，提高创新意识；充分体会数学生的应用意识教学重点与教学难点重点:1．通过分布列计算随机事件的概率；2．会求离散型随机变量的分布列难点:1．确定随机变量的取值范围；2．计算相关随机事件的概率教学策略选择与设计本节课根据内容特点尽量采用“过程完整化”教学模式，小结如何解离散型随机变量及其分布列问题，在选题方面以基础题为主，题的背景都是学生熟悉的生活情境，有助于基础较差学生的理解由于本节课是复习课，根据学生答题情况和教学目标，实施过程中以问题和任务为载体，以师生合作探究为主线，以思维训练为核心，以能力发展为目标，充分调动一切可利用的因素，激发学生的参与意识，使学生经历知识的理解、分析和升华的过程，在和谐、愉悦的氛围中获取知识，掌握解题思路和方法整个教学中既突出了学生的主体地位，又发挥了教师的指导作用教学资源与手段资源：多媒体课件，实物投影仪．手段：多媒体辅助教学，形象直观．教学过程设计。

2.3随机变量的数字特征2．3.1 离散型随机变量的数学期望[对应学生用书P34]设有12个西瓜，其中重5 kg 的有4个，重6 kg 的有3个，重7 kg 的有5个．问题1：任取一个西瓜，用X 表示这个西瓜的重量，试想X 可以取哪些值？ 提示：X ＝5,6,7.问题2：X 取上述值时对应的概率分别是多少？ 提示：13，14，512.问题3：试想每个西瓜的平均重量该如何求？ 提示：5×4＋6×3＋7×512＝5×13＋6×14＋7×512.1．离散型随机变量的均值或数学期望设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是x 1，x 2，…，x n ，这些值对应的概率是p 1，p 2，…，p n 则E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．2．超几何分布与二项分布的均值若离散型随机变量X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ；若离散型随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，则E (X )＝nMN.1．对离散型随机变量均值的理解：(1)离散型随机变量的均值E (X )是一个数值，是随机变量X 本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．(2)随机变量的分布相同，则它们的均值一定相同；有相同均值的两个分布未必相同；两个不同的分布也可以有相同的均值．2．离散型随机变量的均值和样本均值之间的区别随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本的不同而变化．[对应学生用书P34]求离散型随机变量的期望盒中装有5池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X 的分布列及期望．明确X 的取值，并计算出相应的概率，列出分布列后再计算期望． X 可取的值为1,2,3，则P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝25×34＝310，P (X ＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X 的分布列为X 1 2 3 P35310110E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝1.5.求离散型随机变量的均值的步骤：(1)根据随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值； (2)求X 取每个值的概率； (3)写出X 的分布列； (4)由期望的定义求出E (X )．1．从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数乘积的数学期望是________． 解析：从1,2,3,4,5中任取不同的两个数，其乘积X 的值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，取每个值的概率都是110，∴E (X )＝110×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)＝8.5.答案：8.52．(江西高考)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列和数学期望．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28种，X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1,0,1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为：X －2 －1 0 1 P1145142727E (X )＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×27＝－314.二项分布与超几何分布的均值和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X ，求X 的概率分布列及数学期望E (X )．(1)利用对立事件发生的概率去求；(2)X 服从二项分布，列出X 的值并求其概率，列出概率分布列，并求其数学期望． (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ， 那么P (C )＝1－P (C )＝1－110·p ＝4950.解得p ＝15.(2)由题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3.故P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫1103＝11 000， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫1102×⎝⎛⎭⎫1－110＝271 000， P (X ＝2)＝C 23110×⎝⎛⎭⎫1－1102＝2431 000， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫1－1103＝7291 000. 所以随机变量X 的概率分布列为X 0 1 2 3 P11 000271 0002431 0007291 000故随机变量X 的数学期望：E (X )＝0×11 000＋1×271 000＋2×2431 000＋3×7291 000＝2710.1．若题中离散型随机变量符合两点分布、二项分布、超几何分布，可直接代入公式求得期望．2．常见的三种分布的均值 设p 为一次试验中成功的概率，则 (1)两点分布E (X )＝p ； (2)二项分布E (X )＝np ；(3)超几何分布，即X ～H (n ，M ，N )，则E (X )＝nMN.3．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X 表示取到次品的个数，则E (X )等于( )A.35 B.815C.1415D ．1解析：法一：P (X ＝0)＝C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 17C 13C 210＝715，P (X ＝2)＝C 23C 210＝115.∴E (X )＝1×715＋2×115＝35.法二：由题意知X 服从N ＝10，M ＝3，n ＝2的超几何分布，则E (X )＝nM N ＝35.答案：A4．若将例1中的无放回改为有放回，并去掉条件“直到取到好电池为止”，求检验5次取到好电池次数X 的数学期望．解：每次检验取到好电池的概率均为35，故X ～B (5，35)，则E (X )＝5×35＝3.5．某运动员投篮命中率为p ＝0.6. (1)求投篮1次时命中次数X 的数学期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的数学期望． 解：(1)投篮1次，命中次数X 的分布列如下表：X 0 1 P0.40.6则E (X )＝p ＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)．则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3.离散型随机变量期望的实际应用 (12利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲 乙首次出现故障的时间x (年)0＜x ≤1 1＜x ≤2 x ＞2 0＜x ≤2 x ＞2 轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元)1231.82.9(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．对(1)、(2)根据表中的数据利用古典概型概率公式求概率和分布列．对(3)分别求出X 1、X 2的期望，比较大小作出判断．(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A )＝2＋350＝110.(2分)(2)依题意得，X 1的分布列为X 1 1 2 3 P125 350 910(4分)X 2的分布列为X 2 1.8 2.9 P110 910(6分)(3)由(2)得，E (X 1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．(8分)因为E (X 1)＞E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车． (12分)解答此类题目时，首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的数学期望，并根据期望的大小作出判断．6．某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹；②5发全部命中奖励40元，命中4发不奖励，也不必付款，命中3发或3发以下，应付款2元．现有一游客，其命中率为0.5.(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率； (2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值．解：(1)设5发子弹命中X (X ＝0,1,2,3,4,5)发，则由题意有P (X ＝5)＝C 550.55＝132. (2)X 的分布列为X 0 1 2 3 4 5 P13253210321032532132于是Y 的分布列为Y －2 0 40 P2632532132E (Y )＝(－2)×2632＋0×532＋40×132＝－0.375(元)．7．两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4、0.1、0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1、0.6、0.3，那么两名战士获胜希望较大的是谁？解：设这次射击比赛战士甲得X 1分，战士乙得X 2分，则分布列分别如下：X 1 1 2 3 P0.40.10.5X 2 1 2 3 P0.10.60.3根据均值公式，得E (X 1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1； E (X 2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2. E (X 2)>E (X 1)，故这次射击比赛战士乙得分的均值较大，所以乙获胜希望大．1．随机变量的期望反映的是离散型随机变量取值的平均水平．在实际问题的决策中，往往把期望最大的方案作为最佳方案进行选择．2．二项分布的数学期望是求期望的一种常见形式，在理解的基础上应熟练记住．对于二项分布的解答，如果采用E (X )＝np ，会大大减少运算量．[对应课时跟踪训练(十五)]1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X 的期望是( )A ．0.2B ．0.8C ．1D ．0解析：因为P (X ＝1)＝0.8，P (X ＝0)＝0.2， 所以E (X )＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 答案：B2．已知X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12，Y ～B ⎝⎛⎭⎫n ，13，且E (X )＝15，则E (Y )＝( ) A ．15 B ．20 C ．5D ．10解析：因为X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12，所以E (X )＝n2，又E (X )＝15，则n ＝30.由于Y ～B ⎝⎛⎭⎫n ，13，可得Y ～B ⎝⎛⎭⎫30，13，故E (Y )＝30×13＝10. 答案：D3．现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是( )A ．6B ．7.8C ．9D ．12解析：设此人的得奖金额为X ，则X 的所有可能取值为12,9,6.P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115，P (X＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，故E (X )＝7.8.答案：B4．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的期望为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4解析：X 的可能取值为3,2,1,0，P (X ＝3)＝0.6；P (X ＝2)＝0.4×0.6＝0.24；P (X ＝1)＝0.42×0.6＝0.096；P (X ＝0)＝0.43＝0.064.所以E (X )＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＝2.376.答案：C5．设随机变量X 等可能地取1,2,3，…，n ，若P (X <4)＝0.3，则E (X )等于________． 解析：根据题意，X 取1,2,3，…，n 的概率都是1n ，则P (X <4)＝3n ＝0.3，解得n ＝10，则E (X )＝1×110＋2×110＋…＋10×110＝5.5.答案：5.56．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.解析：因为P (X ＝0)＝112＝(1－p )2×13，所以p ＝12.随机变量X 的可能值为0,1,2,3，因此P (X ＝0)＝112，P (X ＝1)＝23×(12)2＋23×(12)2＝13，P (X ＝2)＝23×(12)2×2＋13×(12)2＝512，P (X ＝3)＝23×(12)2＝16，所以E (X )＝1×13＋2×512＋3×16＝53.答案：537．(浙江高考)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．(1)求X 的分布列； (2)求X 的数学期望E (X )． 解：(1)由题意得X 取3,4,5,6，且P (X ＝3)＝C 35C 39＝542，P (X ＝4)＝C 14·C 25C 39＝1021，P (X ＝5)＝C 24·C 15C 39＝514，P (X ＝6)＝C 34C 39＝121.所以X 的分布列为X 3 4 5 6 P5421021514121(2)由(1)知E (X )＝3·P (X ＝3)＋4·P (X ＝4)＋5·P (X ＝5)＋6·P (X ＝6)＝133. 8．小明家住C 区，他的学校在D 区，从家骑自行车到学校的路有L 1，L 2两条路线(如图)，L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为23；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走L 1路线，求至少遇到1次红灯的概率； (2)若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．解：(1)法一：设“走L 1路线至少遇到一次红灯”为事件A ， 则P (A )＝C 13×23×(13)2＋C 23×(23)2×13＋C 33×(23)3×(13)0＝2627， 所以走L 1路线，至少遇到一次红灯的概率为2627.法二：设“走L 1路线没有遇到一次红灯”为事件A ，则“走L 1路线至少遇到一次红灯”为事件A －，故P (A )＝(1－23)(1－23)(1－23)＝13×13×13＝127，所以P (A －)＝1－P (A )＝1－127＝2627，高中数学-打印版校对打印版 所以走L 1路线，至少遇到一次红灯的概率为2627. (2)依题意，X 的可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝(1－34)×(1－35)＝110， P (X ＝1)＝34×(1－35)＋(1－34)×35＝920， P (X ＝2)＝34×35＝920. 随机变量X 的分布列为所以E (X )＝110×0＋920×1＋920×2＝2720. (3)设选择L 1路线遇到红灯次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，Y ～B (3，23)，所以E (Y )＝3×23＝2>E (X )，所以应选择L 2路线．。

描述：例题：高中数学选修2-3(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列一、学习任务1. 了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；会求某些简单的离散型随机变量的分布列．2. 通过实例理解两点分布、超几何分布，理解其公式的推导过程，并能简单的运用．二、知识清单离散型随机变量的概念离散型随机变量的分布列三、知识讲解1.离散型随机变量的概念在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这种对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable）．随机变量常用字母 ，，，， 表示．如果随机变量 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称为离散型随机变量．X Y ξη⋯X 投掷均匀硬币一次，随机变量为（ ）A．出现正面的次数 B．出现正面或反面的次数C．掷硬币的次数 D．出现正、反面次数之和解：A掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述一个随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量 ， 的取值是 ，，故选 A．而 B 中的事件是必然事件，C 中掷硬币次数是 ，不是随机变量，D 中对应的事件是必然事件，故选 A．ξξ011下列所述：①某座大桥一天经过的车辆数 ；②某无线电寻呼台一天内收到寻呼次数 ；③一天之内的温度 ；④一位射手对目标进行射击，击中目标得 分，未击中目标得 分，用 表示该射手在一次射击中的得分．其中 是离散型随机变量的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④解：B根据离散型随机变量的定义，判断一个随机变量是不是离散型随机变量，就是看这一变量的所有可能的取值是否可以一一列出．①②④中的 可能取的值，可以一一列举出来，而③中的 可以取某一区间内的一切值，不可以一一列出．X X X 10X X X X。

3，4，5)，则 D(3ξ)＝( )
A．10
B．30
C．15
D．5
解析：由 ξ 的分布列知 ξ～B5，13＝190，
所以 D(ξ)＝5×131－13，所以 D(3ξ)＝9D(ξ)＝10.
答案：A
4. 已知随机变量 ξ，D(ξ)＝19，则 ξ 的标准差为 ________．
解析：ξ 的标准差 D（ξ）＝ 19＝13. 答案：13
A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4 C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1
解析：因为 ξ～B(n，p)，所以 Eξ＝2.4＝np，Dξ＝1.44 ＝np(1－p)，所以 1－p＝12.4.44＝0.6，所以 p＝0.4，n＝20..44 ＝6，故选 B.
答案：B
类型 3 方差的实际应用(规范解答)
3．求 ξ 取每个值的概率． 4．写出 ξ 的分布列，并利用分布列性质检验． 5．根据方差定义求 D(ξ)．
[变式训练] 抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，
反面向上得－1分，则得分X的均值与方差分别为( )
A．E(X)＝0，D(X)＝1 B．E(X)＝12，D(X)＝12
C．E(X)＝0，D(X)＝12 D．E(X)＝12，D(X)＝1
解析：(1)错，离散型随机变量的方差越大，随机变 量波动越大，越不稳定．
(2)对，因为 a 为常数，所以不会产生波动，其方差 为 0.
(3)对，由方差的概念知说法正确． 答案：(1)× (2)√ (3)√
2．已知随机变量 X＋Y＝8，若 X～B(10，0.6)，则 E(Y)，D(Y)分别是( )
5．牧场有 10 头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染， 已知该病的发病率为 0.02，设发病的牛的头数为 ξ，则 D(ξ)等于________．