许昌市中考数学一轮基础复习：专题一 实数的有关概念及运算

实数初中数学知识点总结一、实数的定义与分类实数是数学中最基本的数系之一，包括有理数和无理数两大类。

有理数可以表示为两个整数的比值，形式为a/b，其中a和b为整数，b不为零。

无理数则不能表示为有理数的形式，例如圆周率π和黄金比例φ。

1.1 有理数有理数包括整数和分数。

整数包括正整数、负整数和零，分数则是整数的比值形式。

有理数可以表示为有限小数或无限循环小数。

1.2 无理数无理数是无限不循环小数，常见的无理数有圆周率π、自然对数的底数e等。

无理数不能表示为分数形式。

二、实数的性质实数具有以下性质：- 封闭性：实数的加法、减法、乘法和除法（除数不为零）都是封闭的。

- 有序性：实数集是一个有序集，任何两个实数都可以比较大小。

- 完备性：实数集中的任何有界数列都有一个极限，这个极限也是实数集中的数。

三、实数的运算3.1 加法实数的加法满足交换律和结合律。

两个实数相加，和的符号由绝对值大的数决定，同号相加取原来的符号，异号相加取绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

3.2 减法实数的减法可以转化为加法，即a - b = a + (-b)。

减法的顺序改变会改变结果的符号。

3.3 乘法实数的乘法满足交换律、结合律和分配律。

两个正实数相乘得正，两个负实数相乘得正，正实数与负实数相乘得负。

3.4 除法实数的除法可以转化为乘法，即a ÷ b = a × (1/b)。

除以一个非零实数，相当于乘以它的倒数。

四、实数的比较实数的大小比较遵循以下规则：- 正实数都大于零。

- 零大于所有的负实数。

- 负实数都小于零。

- 两个负实数比较大小，其绝对值大的反而小。

五、实数的平方根与立方根5.1 平方根实数a的平方根是一个数b，使得b² = a。

正实数有两个平方根，一个正数和一个负数；零的平方根是零；负数没有实数平方根。

5.2 立方根实数a的立方根是一个数b，使得b³ = a。

中考必考实数知识点总结一、实数的概念实数是指包括有理数和无理数在内的所有数的集合。

有理数是指可以用分数表示的数，而无理数则是指不能用分数表示的数。

这两种数的集合统称为实数集。

在实数集中，有理数和无理数的性质有所不同。

有理数具有如下性质：有理数的加法、减法、乘法、除法运算封闭；有理数的加法和乘法满足交换律、结合律、分配律；有理数有加法和乘法单位元；有理数的加法有逆元。

而无理数则没有这些性质，它们通常以无限循环小数或者无限不循环小数的形式表示，例如π、√2等。

实数集是一个非常大的集合，其中包含了所有的数，因此实数的概念是数学中的一个基本概念。

二、实数的性质1. 实数的大小比较实数有着天然的大小比较关系，可以通过大小比较运算符来进行比较。

实数的大小比较主要是通过大小关系符号（大于、小于、大于等于、小于等于）来进行。

对于任意的实数a和b，有以下性质：（1）反身性：a ≥ a，a ≤ a（2）反对称性：如果a ≤ b且b ≤ a，则a = b（3）传递性：如果a ≤ b且b ≤ c，则a ≤ c这些性质在实数的大小比较中起着重要的作用，为我们提供了判断实数大小关系的依据。

2. 实数的运算性质实数的运算性质主要包括加法、减法、乘法、除法的性质。

实数的加法和乘法满足交换律、结合律、分配律，实数的除法有着特殊的性质。

（1）加法交换律：对于任意的实数a和b，有a + b = b + a（2）加法结合律：对于任意的实数a、b和c，有(a + b) + c = a + (b + c)（3）乘法交换律：对于任意的实数a和b，有a * b = b * a（4）乘法结合律：对于任意的实数a、b和c，有(a * b) * c = a * (b * c)（5）分配律：对于任意的实数a、b和c，有a*(b+c) = a*b + a*c（6）实数的除法：对于任意的实数a和b，如果b≠0，则存在唯一的实数c，使得a = b * c实数的运算性质是我们进行实数运算的基础，了解这些性质有利于我们掌握实数的运算规则，从而正确进行实数的运算。

实数的相关概念中考考点梳理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：实数是数学中最基础的概念之一，它包括有理数和无理数两类。

在数学的学习中，实数的相关概念是非常重要的。

在中考中，实数相关的考点也是比较多的。

下面我们来看看实数相关概念中中考的考点梳理。

1. 实数的分类实数可以分为有理数和无理数两类。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和循环小数。

无理数是不能表示为有理数的数，如π和根号2等。

在中考中，同学们需要了解实数的分类，并能够判断一个数是有理数还是无理数。

2. 实数的运算实数的运算是中考数学的重要内容之一。

同学们需要掌握实数的加减乘除运算规则，包括有理数和无理数的运算。

在中考中，常见的考点有实数的加法、减法、乘法、除法运算，以及混合运算等。

3. 实数的大小比较在实数的概念中，同学们也需要学会对实数进行大小比较。

无论是有理数还是无理数，都可以通过大小比较符号进行比较，如大于等于、小于等于、大于、小于等等。

在中考中，通常会出现实数的大小比较题目，同学们需要根据实数的性质进行判断。

4. 实数的分数表示实数可以表示为分数的形式，分数是有理数的一种形式。

在中考中，同学们需要能够将实数表示为分数的形式，并且能够进行化简和计算。

分数的化简和运算是中考数学的常见考点之一，同学们需要多进行练习，掌握分数的性质和运算规则。

5. 实数的应用问题实数的概念在中考中不仅仅是为了考察同学们的概念掌握程度，还可以通过应用题目考察同学们对实数的应用能力。

实数在现实生活中有着广泛的应用，比如长度、重量、体积等问题都可以通过实数进行表示和计算。

在中考中，同学们可能会遇到一些实际问题，需要用实数进行求解，这就需要同学们将实数的概念运用到实际问题中去。

实数的相关概念在中考数学中占据着重要的地位，同学们需要充分理解实数的分类、运算、大小比较、分数表示以及应用问题等知识点。

通过不断的练习和巩固，可以帮助同学们提高实数相关概念的理解和运用能力，从而在中考中取得更好的成绩。

初三数学第一轮总复习第一讲实数的概念及实数的运算（一）：【知识梳理】 1. 实数的有关概念(1) 有理数 : （ 2）无理数：（ 3）实数：（ 4）实数和和 统称为有理数。

小数叫做无理数。

和 统称为实数。

的点一一对应。

（ 5） 实数的分类①按定义分:②按符号分 :( )(( )))实数 () 0；实数(( ) 0(() (( )))))((（ 6）相反数：只有不同的两个数互为相反数。

若a 、b 互为相反数，则 。

（ 7）数轴：规定了 、 和的直线叫做数轴。

（ 8）倒数：乘积的两个数互为倒数。

若 a （a ≠0）的倒数为 1.。

a（ 9）绝对值：a2. 科学记数法、近似数和有效数字（ 1）科学记数法：把一个数记成± a ×10 n 的形式（其中 1≤a<10， n 是整数） （ 2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。

取近似数的原则是“四舍五入”。

（ 3）有效数字：从左边第一个不是 0 的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数字的有效数字。

3. 实数的运算顺序：在同一个算式里，先 、，然后，最后．有括号先算里面，再算括号外。

同级运算从左到右，按顺序进行。

时，4. 实数的大小比较5. 零指数幂和负指数幂 : 当 a ≠0 时 a 0=____; 当 a ≠ 0 时且 n 为整数时 ,a -n= ( 1)na6. 三个重要的非负数： 二：【经典考题剖析】例 1 1 , 则 a 是 _______。

(3 － 2) 的倒数是 _______ ，相反数是 ______．① a 的相反数是 -5(a b)2a(ab)a0b②．数 a ， b 在数轴上的位置如图所示 : 化简.| a b |例 2 下列 数227、sin60 °、 、（2 ）0、3.14159 、 - 39、（-7 ）-2、8 中无理数有 （）3个 A ．1 B ． 2 C ． 3D ．41 11例 3 算： (1)(3 -1)-0.125 99( 5)2（ 1）1+3 ×8 -; (2)3 ( )cos3031 1（ 3） 8 4sin 45(3 )04（ 4） 122 sin 45 201004三：【 后 】11、一个数的倒数的相反数是15 , 个数是（）65 65A ．5B ． 6C ．- 5D ．－ 62、一个数的 等于 个数的相反数， 的数是（）A ．非 数B ．非正数C ． 数D ．正数3. 有一人患了流感， 两 染后共有100 人患了流感，那么每 染中，平均一个人 染的人数（ ）A ． 8 人B ． 9 人C ． 10 人D ． 11 人4. 若 a 的相反数是最大的 整数，b 是 最小的数，a ＋ b=___________．5. 已知x yy x ，x34, y 3 ，x y6. 光年是天文学中的距离 位， 1 光年大 是 9500000000000km ，用科学 数法表示(保留三个有效数字 )7. .已知 (x-2) 2+|y-4|+z 6 =0，求 xyz 的8. 回答下列 ：①数 上表示 2 和 5的两点之 的距离是 _____，数 上表示－ 2 和－ 5 的两点之 的距离是 ____，数上表示 1 和－3 的两点之 的距离是 ______.②数 上表示 x 和－1 的两点 A 和 B 之 的距离是 ________，若 |AB|=2 ，那么 x=_________ ． ③当代数式 |x+1|+|x－2| 取最小 ，相 的x 的取 范 是 _________.9．已知： 2+ 2=22× 2 ， 3+ 3=32× 3 ，4+4424 ,3 3 88151555 525 ，⋯，若10+ b=102× b符合前面式子的 律，a+b=________．2424aa10．近似数 0.030 万精确到 位，有 个有效数字，用科学 数法表示万11. 下列 法中，正确的是（）A ． |m| 与— m 互 相反数 B． 2 1与 2 1互 倒数C ． 1998．8 用科学 数法表示1． 9988×102D ． 0．4949 用四舍五入法保留两个有效数字的近似0． 502212．在2 、sin 45、0、 9、0.2020020002）、 、 七个数中，无理数有（273A ．1 个；B ． 2 个；C ． 3 个；D ．4 个13 下列命 中正确的是（）A ．有理数是有限小数B ．数 上的点与有理数一一C ．无限小数是无理数D ．数 上的点与 数一一13 当 0 ＜ x ＜ 1 ， x2, x,1的大小 序是（）xA ． 1＜ x ＜ x2 ； B ． 1＜ x 2 ＜ x ； C ． x 2 ＜ x＜ 1；D ． x ＜ x2＜1xxxx14. 定一种新的运算“※” ： a ※ b=a b ，如 3※2=32 =9，1※ 3 （）2A ． 1；B ． 8；C ． 1 ； D ．386215. 算(1) -32÷( －3) 2 +| －1| ×( － 6)+49 , （ 2) 3(2- 3 )× 38 -(- 2 ) 0+tan60 0- │ 3 -2 │6 272 10 01)2 2111 2 1 5（ 3）2（ 4）│ -12 │÷（ -+ --）( )(sin 45-3tan30(2001tan 30 )(2)16 2 12 34 6316.已知 x 、y是 数，3x 4 y 2 6y 9 0, 若 axy 3xy, 求实数 a 的值 .17. 已知 a 与 b 互 相反数， c 、d 互 倒数， x 的 是 2 的相反数的 倒数， y 不能作除数，求2(a b)20022(cd)20011y 2000 的 ．x18. 察下列等式： 9-1=8 ，16-4=12 ，25-9=16 ，36-16=20 ，⋯⋯ 些等式反映出自然数 的某种 律， n 表示自然数，用关于 n 的等式表示出来19*.已知非负数 a ，b ，c 满足条件 a ＋ b ＝7，c － a ＝5，设 S ＝a ＋ b ＋ c 的最大值为 m ，最小值为 n ，则 m －n ＝.20. a 、b 在数轴上的位置如图所示，且a ＞b ，化简 a a b b aab1+111 ggg 1n 表示） ,21 在数学活动中，小明为了求2 2 2 34n的值（结果用 22 2设计如图（ 1）所示的几何图形．（1）请你利用这个几何图形求 1+1 11122 232 4ggg n 的值为 _______ ．2 222. 如图，在直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AD 在 y 轴正半轴上，点 A 、C 的坐标分别为（ 0，1）、（ 2，4）．点 P 从点 A 出发，沿 A →B → C 以每秒 1 个单位的速度运动，到点 C 停止；点 Q 在 x 轴上，横坐标为点 P 的横、纵坐标之和． 抛物线 y1 x 2bx c 经过 A 、C 两点．过点 P 作 x 轴的垂线， 垂足为 M ，交抛物线于点 R ．设点 P 的运动时间为 4t （秒），△ PQR 的面积为 S （平方单位） ．（ 1）求抛物线对应的函数关系式． （ 2 分）（ 2）分别求 t= 1 和 t= 4 时，点 Q 的坐标．（ 3 分）（3）当 0＜ t ≤5 时，求 S 与 t 之间的函数关系式，并直接写出S 的最大值．（5 分）。