波函数及其统计解释

§1、 波函数及其统计解释 1. de Broglie 假说（1923）
先回忆Planck 的“光量子假说”： E h p h ν
λ
=⎧⎨
=⎩ 换写一下：
E ω= 2ωπν=是圆频率
p k =
k 是波矢量, 2k πλ=
是由波动性决定粒子性。

在Planck-Einstein 的光量子论以及Bohr 的原子的量子论的成功与失败的启发下，de Broglie 提出物质波假设。

de Broglie 假说：微观粒子也有波动性，满足关系式：
ω=E /,
k p =/,
注意到： 2ωπν=及2k π
λ=时，上面二式变形为：
E h ν= h p λ=
称为de Broglie 关系。

是由粒子性决定波动性。

它适用于自由粒子和平面波之间的关系。

平面波是()(){}
,exp r t A i t k r ψω=--⋅
，将de Broglie 关系代入得：
()(){},exp r t A i Et p r ψ=--⋅
，这称为de Broglie 波（是复数波）。

对质量为μ的非相对论粒子：
22 E p p μ=⇒=
所以
h p λ==≈≈
近似适用于电子，E 的单位是电子伏特（eV ），λ的单位是埃（Å，即10
10
-m ）。

数量级：E =150 eV 时，
λ=1 Å（晶格常数的量级）。

2. 电子衍射实验
波动性的体现就是衍射、干涉等等。

通过观察这些现象还可以测量波长。

戴维逊--革末 (Davisson and Germer, P.R. 30(27) 707)
当可变电子束（30-600eV ）照射到抛光的镍单晶上，发现在某角度ϕ(或πϕ-)方向有强的反射（即有较多电子被接收），而ϕ满足sin a nh p ϕ=。

若取h p λ=，则上式与Bragg 光栅衍射公式相同（sin a n ϕλ=）。

它证明了电子入射到晶体表面，发生散射，具有波动性而相应波长为h p λ=。

Davidsson-Germer 电子衍射实验（1927）的结果证实了电子确实有波动性，而且波长与de Broglie 的预言完全一致。

此后，各种不同形式的以及使用不同粒子（电子、原子、分子、原子核、核子等）的粒子波动性实验都证实了de Broglie 假说。

总之，实验证明了微观粒子也有波粒二象性。

3. 对波粒二象性的理解： 两种错误的理解： （1）、片面夸大波动性：
波函数代表粒子的结构，即看作三维空间中连续分布的某种物质波包，因而呈现出干涉与衍射等现象。

而波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。

（2）、片面夸大粒子性：
波动性是大量微粒分布于空间形成的疏密波，波函数代表大量粒子的运动。

正确的理解如下：
4. 几率波和多粒子体系的波函数 (1). 波函数
对于一般状态的微观粒子，应该用一般的时间和空间的复函数来描写：(),r t ψψ=
，它称为波函数。

波函数是微观粒子波粒二象性的表现。

(2). 波函数的统计解释(Born, 1926) 电子双缝干涉实验的例子。

电子的波动性是许多电子在同一实验中显示的统计结果, 或一个电子在多次相同实验中的统计结果。

波函数(),r t ψ 在某点r 的强度()2
,r t ψ
(绝对值的平方)与在该点找到粒子的几率密度成正比。

波函数
本身称为几率振幅。

由波函数还可以决定粒子的其它各种物理可观察量(以后讲)。

所以波函数完全描写了微观粒子(或一般地说，量子体系)的状态，这种描写在本质上具有统计的特征。

3. 波函数的归一
几率是相对量，所以将波函数乘以一个常数，它仍然描写量子体系的同一个状态。

设(),r t ϕϕ= 是某个波函数，按照几率解释，在点(),r t
附近的体积元d τ中发现粒子的几率：
()()2
,,dW r t C r t d ϕτ=
其中C 是一个正常数，或者说, 粒子的空间几率密度是：
()()()2
,,,w r t dW r t C r t τϕ== ，
因此在全空间发现粒子的几率是：
W w r t d C r t d ==∞
∞
⎰⎰
(,)(,). ττΦ2
一种方便的选择是：W = 1，这称为几率的“归一”。

重新选择波函数为
ψΦ(,)(,),
r t C r t =
并且让
w r t r t (,)(,), =ψ2
便有
W w r t d r t d ===∞
∞
⎰
⎰
(,)(,).
ττψ2
1
ψ(,)
r t 称为归一化的波函数。

说明：
(1)、即使要求波函数是归一化的，它仍然有一个位相因子不能确定。

(2)、有些波函数不能(有限地)归一。

例如平面波。

此时ψ(,)
r t 2
代表“相对几率密度”。

例：设()222x r Ae αψ-= ，α为常数，求归一化常数A.
解：由
()
2
1x dx ψ=⎰得
()22
22
2
22
21x
x
x dx A
e dx A e dx ααψ∞
∞
∞
---∞
-∞
====⎰⎰
⎰
即A =
例：设一个体系含有两个粒子，波函数用()12,r r ψ
表示，
（1）测得粒子1在空间111r r dr -+
中的几率：()2
3
3
1122,d r
r r d r ψ⎰
， （2）测得粒子2在空间222r r dr -+
中的几率：()2
3
3
2121,d r r r d r ψ⎰
；
（3）测得粒子1在空间111r r dr -+ 中，同时粒子2在空间222r r dr -+ 中的几率：()2
3
3
1212,r
r d r d r ψ。

对于N 个粒子组成的体系，它的波函数表示为()12,,,N r r r ψ ，其中12,,,N r r r
分别表示各粒子的空间位矢。

而()2
3
3
3
1212,,,N N r r r d r d r d r ψ
表示测得粒子1出现在空间111r r dr -+
中，同时粒子2出
现在空间222r r dr -+ 中， ，同时粒子N 出现在空间N N N r r dr -+
中的几率。

4. 动量分布几率
按照波函数()r ψ
的几率解释：在空间r 点找到粒子几率正比于()2r ψ ，若测量粒子的其他力学量，
其几率分布如何？
作平面波展开：()()
()332
1
2ip r r e
p d p ψϕπ⋅=
⎰
其中3x y z d p dp dp dp =
逆变换：
()()
()332
1
2ip r p e r d r ϕψπ-⋅=
⎰
，其中3d r dxdydz = ()2p ϕ 表示()r ψ 中含有平面波的成分，粒子动量为的几率应于()2p ϕ 成正比，即在动量p p dp
-+
范围内找到粒子的几率为()2
3
p d p ϕ。