点到直线的距离公式、两条平行线之间的距离

平行线间
的距离公式
点到直线的距离公式 一般地，点 P(x0，y0) 到直线 l：Ax＋By＋C＝0
的距离 d 的公式是
d | Ax0 By0 C | A2 B2
在使用该公式前，须将直线方程化为一般 式A．=0或B=0时，此公式也成立．
求平行线 2x–7y＋8＝0 和 2x–7y–6＝0 的距离． 解：在直线 2x–7y–6＝0 上任取一点，如P(3，0) ，
求平行线 x＋3y–4＝0 和 2x＋6y–9＝0 的距离． 解：将两方程中 x、y的系数化成对应相等的形式，得
2x＋6y–8＝0 和 2x＋6y–9＝0 因此， d | 8 9 | 10 ．
22 62 20
求平行线 2x＋3y＋4＝0 和 4x＋6y–5＝0 的距离．
求与直线3x–4y–20＝0平行且距离为3的直线方程． 解：根据题意，可设所求直线方程为3x–4y+m＝0，
则两条平行线的距离就是
点 P(3，0) 到直线2x–7y＋8＝0的距离．
因此，
y
d | 23708| 22 (7)2
–4
14 53 ． 53ຫໍສະໝຸດ 2 1 O 12 3 x求平行线 2x＋3y＋4＝0 和 4x＋6y–5＝0 的距离．
y P l1 怎样求任意两条平行线的距离呢？
Q l2
Ax0 By0 C1
PQ C1 C2 A2 B2
两条平行线的距离公式 一般地，两条平行线l1：Ax＋By＋C1＝0 和l2：
Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d 的公式是
d | C1 C2 | A2 B2
用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数 化为对应相同的形式。
所以PP ′⊥l，点P和P ′到直线l 的距离相等.

2.3.3 点到直线的距离公式2.3.4 两条平行直线间的距离课标解读 课标要求素养要求1.会用向量推导点到直线的距离公式.2.探索并掌握点到直线的距离公式，能用点到直线的距离公式解决有关的距离问题.3.会求两条平行直线间的距离. 1.数学抽象——能理解点到直线的距离公式. 2.逻辑推理——能推导出点到直线的距离公式. 3.直观想象——能够直观想象几何中的距离问题.自主学习·必备知识教材研习教材原句1.点到直线的距离公式：点P 到直线l 的距离，就是从点P 到直线l 的垂线段PQ 的长度，其中Q 是垂足.因此，点P(x 0,y 0) 到直线l ：Ax +By +C =0 的距离d =00√A 2+B 2.2.两条平行直线间的距离：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.求两条平行直线间的距离可转化为求点到直线的距离. 自主思考1.点P(−3,2) 到直线x =52 的距离是多少？能用点到直线的距离公式求解吗？ 提示 如图，易知点P 到直线x =52 的距离为|52−(−3)|=112.能用，由已知得直线为2x −5=0 ，所以d =√22+02=112.2.找出下图中的公垂线段，并结合图形说明什么是公垂线段.提示PQ，公垂线段就是和两条平行直线都垂直、相交的线段.名师点睛1.用点到直线的距离公式时应注意以下两点（1）直线的方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式.（2）当点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用.2.几种点到特殊直线的距离（1）点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|；（2）点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|；（3）点P(x0,y0)到直线y=b(b≠0)的距离d=|y0−b|；（4）点P(x0,y0)到直线x=a(a≠0)的距离d=|x0−a|.3.求两条平行直线间的距离的两种思路（1）利用“化归”法将两条平行直线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离.（2）直接利用两条平行直线间的距离公式，当直线l1：y=kx+b1，l2：y=kx+b2，且b1≠b2时，d=12√k2+1；当直线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，且C1≠C2时，d=12√A2+B2.互动探究·关键能力探究点一求点到直线的距离精讲精练例（1）（2021广东佛山一中高二期中）已知M(3,2√3),N(−1,2√3),F(1,0)，则点M到直线NF的距离为( )A.√5B.2√3C.2√2D.3√3（2）（原创题）点P(0,−1)到直线x5+y12=1的距离为.思路分析（1）先利用题中所给的点N,F求出直线NF的方程，再利用点到直线的距离公式求得结果；（2）先把直线方程变为一般式，再根据点到直线的距离公式直接求解即可. 答案：（1）B（2）5解析：（1）易知直线NF的斜率k=−√3，故直线NF的方程为y=−√3(x−1)，即√3x+y−√3=0，所以点M到直线NF的距离为√3+2√3−√3|√(√3)2+12=2√3，故选B.（2）由已知得12x+5y−60=0，所以点P(0,−1)到直线x5+y12=1的距离为√122+52=5 .变式把本例（2）改为求点P(0,−1)到直线(m+2)x+(m−1)y+(m+2)=0的距离的最大值.答案：点P(0,−1)到直线(m+2)x+(m−1)y+(m+2)=0的距离d=√(m+2)2+(m−1)2=√2 m2+2m+5=√2(m+12)2+92≤√92=√2，所以当m =−12时，d max =√2 .故所求距离的最大值为√2 . 解题感悟点到直线距离的求解方法：（1）求点到直线的距离，首先要把直线方程化成一般式，然后利用点到直线的距离公式求解；（2）求距离的最值常用函数的性质或基本不等式求解. 迁移应用（2021黑龙江哈尔滨师大附中高二开学考）已知△ABC 的顶点为A(5,1) ，AB 边上的中线CM 所在直线的方程为2x −y −5=0 ，AC 边上的高BH 所在直线的方程为x −2y −5=0 .（1）求顶点B ，C 的坐标； （2）求△ABC 的面积.答案：（1）设点B （m,n ），则点M(m+52,n+12) ，由已知得{m −2n −5=0,2×m+52−n+12−5=0, ∴{m =−1,n =−3,故点B 的坐标为(-1,-3).设C(x 0,y 0) ，由已知得{2x 0−y 0−5=0,y 0−1x 0−5=−2,∴{x 0=4,y 0=3, 则点C 的坐标为(4,3). （2）由（1）知B(−1,−3) 、C(4,3) ， ∴|BC|=√(4+1)2+(3+3)2=√61 ， 且k BC =−3−3−1−4=65，∴ 直线BC 的方程为y +3=65(x +1) ，即6x −5y −9=0 ， ∴BC 边上的高ℎ=√62+(−5)2=√61， 故S △ABC =12|BC|⋅ℎ=12×√61√61=8 .探究点二 点到直线的距离公式的应用精讲精练类型1 求参数的值或取值范围例1（1）（2021山东德州夏津一中高二月考）已知点P(3,1)到直线l：x+ay−3=0的距离为12，则a= .（2）已知点P(4,a)到直线4x−3y−1=0的距离不大于3，则a的取值范围是.答案：（1）±√33（2）[0,10]解析：（1）由点到直线的距离公式得√1+a2=12，解得a=±√33.（2）点P到直线4x−3y−1=0的距离为|4×4−3×a−1|5=|15−3a|5.又|15−3a|5≤3，所以|15−3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0,10].解题感悟求参数的值或取值范围的方法：利用点到直线的距离公式建立关于参数的方程（组）或不等式，通过解方程（组）或不等式求解.类型2 求直线的方程例2（2021福建厦门二中高二月考）已知直线mx+y−2m−3=0恒过定点A.若直线l经过点A，且坐标原点到l的距离等于2，求l的方程.答案：易知直线mx+y−2m−3=0恒过定点A(2,3)，因为直线l经过点A，所以当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，又坐标原点到直线l的距离等于2，所以x=2成立.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y−3=k(x−2)，即kx−y−2k+3=0，则坐标原点(0,0)到直线l的距离d=√1+k2=2，解得k=512，所以直线l的方程为y−3=512(x−2)，即5x−12y+26=0 .综上，直线l的方程为x=2或5x−12y+26=0 .解题感悟求直线方程的问题，先巧设直线的方程，再利用点到直线的距离公式建立方程求解，但要注意讨论斜率是否存在.迁移应用1.点P(a,0)到直线3x+4y−6=0的距离大于3，则实数a的取值范围为( )A.a＞7B.a＜−3C.a＞7或a＜−3D.a＞7或−3＜a＜7答案：C解析：根据题意得√32+423，即|a−2|＞5，解得a＞7或a＜−3，故选C.2.过点M(−2,1)，且与点A(−1,0)，B(3,0)的距离相等的直线的方程是( )A.x+3y−1=0B.y=1C.x+3y−1=0或y=1D.x=−2或y=1答案：C解析：由题意得满足条件的直线的斜率存在，所以可设所求直线的方程为y=k(x+2)+1，即kx−y+2k+1=0，因为该直线与点A(−1,0)，B(3,0)的距离相等，所以√k2+1=√k2+1，所以|k+1|=|5k+1|，所以k=0或k=−13，所以所求直线的方程为y=1或x+3y−1=0.3.若点A(a,6)到直线3x−4y=2的距离等于4，则a的值为.答案：2或463解析：由题意得√32+(−4)2=4⇒|3a−26|=20⇒a=2或a=463.探究点三两条平行直线间的距离精讲精练例已知两条平行直线l1：x−y=1与直线l2：(m−3)x+my−8=0，求l1与l2间的距离.思路分析先根据两条直线平行求出l2的方程，再根据两平行直线间的距离公式求解，也可以转化为点到直线的距离求解.答案：解法一：因为l1∥l2，所以1×m=−1×(m−3)，解得m=32，所以l2的方程为3x−3y+16=0，根据题意把l1的方程化为3x−3y−3=0，所以l1与l2间的距离d=√32+(−3)2=19√26.解法二：由解法一知l2的方程为3x−3y+16=0，在直线l1：x−y=1上取点(1,0)，则l1与l2间的距离d=√32+(−3)2=19√26.解题感悟求两条平行直线间的距离的方法：（1）直接利用两条平行直线间的距离公式；（2）若转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，则取点一般要特殊化，如直线与坐标轴的交点，坐标为整点.迁移应用1.直线x−2y−1=0与直线x−2y−c=0的距离为2√5，则c的值为. 答案：-9或11解析：由两条平行直线间的距离公式得√12+(−2)2=2√5，解得c=−9或c=11 .2.（2021山东济南高二期末改编）已知动点P在直线l1：3x−4y+1=0上运动，动点Q 在直线l2：6x+my+4=0上运动，且l1∥l2，则|PQ|的最小值为 .答案：15解析：因为l1∥l2，所以63=m−4≠41，解得m=−8，所以l2：3x−4y+2=0，设l1,l2间的距离为d，则d=√32+(−4)2=15，由平行线的性质知|PQ|的最小值为15.评价检测·素养提升课堂检测1.点P(1,−1)到直线l：3y=2的距离是( )A.3B.53C.1D.√22答案：B解析：点P(1,−1)到直线l的距离d=√02+32=53，选B.2.直线4x−3y+5=0与直线8x−6y+5=0的距离为( )A.15B.14C.13D.12答案：D解析：8x−6y+5=0可变形为4x−3y+52=0，则两直线平行，∴两直线间的距离d=|5−52|√42+(−3)2=12.3.两直线3x+y−3=0和6x+my−1=0平行，则它们之间的距离为 .答案：√104解析：由题意得63=m1,∴m=2，将3x+y−3=0变形为6x+2y−6=0，由两条平行直线间的距离公式得距离d=√62+22=√40=√104.4.已知直线l在两坐标轴上的截距相等且不为零，点P(4,3)到直线l的距离为3√2，求直线l的方程.答案：设所求直线l的方程为x+y−a=0.由题意知√2=3√2，解得a=1或a=13，所以所求直线l的方程为x+y−1=0或x+y−13=0.素养演练直观想象、数学运算——在平面图形面积问题中的应用（2021四川成都石室中学高二月考）如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为3，宽为2，边AB,AD分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合.将该矩形折叠，使点A落在线段DC上，已知折痕EF所在直线的斜率为−12.（1）求折痕EF所在直线的方程；（2）若点P为BC的中点，求△PEF的面积.答案：（1）设折痕EF所在直线的方程为y=−12x+b，折叠后点A落在线段DC上的点G(a,2)处，其中0≤a≤3，连接AG交EF于点M，则M(a2,1)，∴{1=−12×a2+b,−12×2a=−1,解得{a=1,b=54,∴折痕EF所在直线的方程为y=−12x+54.（2）由（1）知，折痕EF所在直线的方程为y=−12x+54，∴E(52,0),F(0,54)，∴|EF|=√(52−0)2+(0−54)2=5√54.∵点P为BC的中点，∴P(3,1)，∴点P到折痕EF的距离d=|−12×3+54−1|√(−12)2+(−1)2=√52，∴△PEF的面积S=12|EF|⋅d=12×5√54×√52=2516.素养探究：（1）设折痕EF所在直线的方程，折叠后点A落在线段DC上的点G(a,2)处，其中0≤a≤3，由折痕垂直平分AG可列出关于a和b的方程组求解，渗透了直观想象、数学运算的素养.（2）由两点间的距离公式求得线段EF的长，再由点到直线的距离公式求得点P到折痕EF的距离d，最后代入面积公式S=12|EF|⋅d计算即可，渗透了数学运算的素养.迁移应用（2021北京八一学校高二期中）已知平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD交于点O(−1,1)，其中A(−2,0)，B(1,1).（1）求点D的坐标及AD所在直线的方程；（2）求平行四边形ABCD的面积.答案：（1）设D(x0,y0)，由题意可得O是BD的中点，∴{x0+12=−1,y0+12=1,解得x0=−3,y0=1，则点D的坐标为(−3,1),∴k AD=0−1−2+3=−1，∴AD所在直线的方程为y−0=−1×(x+2)，即x+y+2=0 .（2）由（1）及题意可得|AD|=√(−2+3)2+(0−1)2=√2，点B到直线AD的距离为√12+12=2√2，∴平行四边形ABCD的面积为√2×2√2=4.课时评价作业基础达标练1.（2021北京怀柔一中高二期中）两条平行直线l1：x+y−1=0与l2：x+y+1=0之间的距离为( )A.√2B.1C.2√2D.√3答案：A2.（2021北京怀柔一中高二期中）设点M(x,y)是直线x+y−2=0上的动点，O为原点，则|OM|的最小值是( )A.1B.√2C.2D.√3答案：B3.（2021河北张家口尚义一中高二期中）若点P(2,1)到直线l：ax+by=0的距离为2，则直线l的方程为( )A.x=0B.3x+4y=0C.x=0或3x+4y=0D.x=0或3x−4y=0答案：C4.（2021北京一零一中学高二期中）点(0,1)到直线y=kx−1的距离的最大值是( )A.1B.√2C.√3D.2答案：D5.（2020四川内江高二期末）已知点M(1,3)到直线l：mx+y−1=0的距离等于1，则实数m等于( )A.34B.43C.−43D.−34答案：D6.（2021四川南充阆中中学高二期中）若直线3x+4y−3=0与直线6x+my+2=0平行，则它们之间的距离为( )A.1B.12C.25D.45答案：D7.（2021安徽马鞍山二中高二段考）已知直线l：(2+m)x+(1−2m)y+4−3m=0(m∈R)过定点A，则点A到直线m：x+y=1的距离是( )A.4B.2√2C.2D.√2答案：B8.（2021江西南昌南铁一中高二期中）若两条平行直线l1：x+2y+20=0与l2：x+2y+ c=0间的距离为2√5，则c等于( )A.0或40B.10或30C.-20或10D.-20或40答案：B9.（2020山西大同平城一中高二期中）已知直线l：ax+y−1=0和点A(1,2)，B(3,6).若点A，B到直线l的距离相等，则实数a的值为.答案：-2或−32素养提升练10.（多选题）（2021山东滕州一中高二月考）已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P 使得|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是( )A.y=x+1B.y=2C.y=43x D.y=2x+1答案：B; C解析：点M(5,0)到直线y=x+1的距离d=√2=3√2＞4，故A中直线不是；点M(5,0)到直线y=2的距离d=3＜4，故B中直线是；点M(5,0)到直线y=43x的距离d=43×5√1+(43)2=4，故C中直线是；点M(5,0)到直线y=2x+1的距离d=√1+22=11√55＞4，故D中直线不是.故选BC.11.（2021安徽亳州高二月考）正方形ABCD的中心为点M(−1,0)，AB边所在直线的方程是x+3y−5=0，则CD边所在直线的方程为( )A.x+3y+7=0B.3x−y−3=0C.3x−y+9=0D.x+3y−27=0答案：A解析：点M(−1,0)到直线x+3y−5=0的距离d=√1+9=3√105，设与AB边平行的CD边所在直线的方程是x+3y+m=0(m≠−5)，则点M(−1,0)到直线x+3y+m=0的距离d=√1+9=3√105，解得m=−5（舍去）或m=7，所以CD边所在直线的方程是x+3y+7=0.12.（多选题）（2021江苏泰州姜堰二中高二期中）如图，直线l1,l2相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x,y分别表示点P到l1,l2的距离，则称(x,y)为点P的“距离坐标”，则下列说法正确的是( )A.距离坐标为(0,0)的点有1个B.距离坐标为(0,1)的点有2个C.距离坐标为(1,2)的点有4个D.距离坐标为(x,x)的点在一条直线上答案：A; B; C解析：若距离坐标为(0,0)，即P到两条直线的距离都为0，则P为两直线的交点，即距离坐标为(0,0)的点只有1个，故A中说法正确；若距离坐标为(0,1)，即P到直线l1的距离为0，到直线l2的距离为1，则点P在直线l1上，且到直线l2的距离为1，符合条件的点有2个，故B中说法正确；若距离坐标为(1,2)，即P到直线l1的距离为1，到直线l2的距离为2，则有4个符合条件的点，即与直线l1相距为1的两条平行直线和与直线l2相距为2的两条平行直线的交点，故C中说法正确；若距离坐标为(x,x)，即P到两条直线的距离相等，则距离坐标为(x,x)的点在2条相互垂直的直线上，故D中说法错误.13.已知在△ABC中，A(3,2)，B(−1,5)，点C在直线3x−y+3=0上，若△ABC的面积为10，则点C的坐标为.答案：(-1,0)或(53,8)解析：设点C到直线AB的距离为d，由题意知|AB|=√[3−(−1)]2+(2−5)2=5，∵S△ABC=12|AB|⋅d=12×5×d=10,∴d=4，易知直线AB的方程为y−25−2=x−3−1−3，即3x+4y−17=0 .∵点C在直线3x−y+3=0上，∴设C(x0,3x0+3)，∴d=00√32+42=|15x0−5|5=|3x0−1|=4，∴3x0−1=±4，∴x0=−1或x0=53，∴点C的坐标为(-1,0)或(53,8).14.（2021四川简阳阳安中学高二月考）如图所示，已知△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点A(1,4)，B(3,2)，点C在直线x−2y+6=0上.（1）求AB边上的高CE所在直线的方程；（2）设直线CD与y轴交于点D(0,3)，求△ACD的面积.答案：（1）因为△ABC是以AB为底边的等腰三角形，CE⊥AB，所以E为AB的中点，所以E(2,3)，因为k AB=−1，所以k CE=1，所以AB边上的高CE所在直线方程为y−3= x−2，即x−y+1=0.（2）联立得{x−y+1=0,x−2y+6=0,解得{x=4,y=5,所以C(4,5)，所以直线AC的方程为y−45−4=x−14−1，即x−3y+11=0，因为D(0,3)，所以点D到直线AC的距离d=√10=√105，又|AC|=√10，所以S△ACD=12|AC|×d=12×√10×√105=1.创新拓展练15.如图，已知点A(4,0)，B(0,2)，直线l过原点，且A、B两点位于直线l的两侧，过A、B 作直线l的垂线，分别交l于C、D两点.（1）当C、D重合时，求直线l的方程；（2）当|AC|=2√3|BD|时，求线段CD的长.命题分析本题考查了直线方程的求法，考查了直线与直线垂直的性质、点到直线的距离公式等基础知识以及方程思想和运算求解的能力.答题要领（1）求出直线AB的斜率，由AB⊥l可求得直线l的斜率，进而可求得直线l的方程.（2）设直线l的方程为kx−y=0,k＞0，利用点到直线的距离公式结合|AC|=2√3|BD|可求得k的值，进而可求得|AC|、|BD|的值，利用勾股定理可求得|OC|、|OD|的值，由此可求得|CD|.详细解析（1）当C、D重合时，AB⊥l，由题意得直线AB的斜率k AB=0−24−0=−12，∴直线l的斜率k=−1k AB=2，故直线l的方程为y=2x.（2）设直线l的方程为kx−y=0,k＞0，则|AC|=√1+k2，|BD|=√1+k2，由|AC|=2√3|BD|可得√1+k2=√3√1+k2，解得k=√3，∴|AC|=2√3,|BD|=1，由勾股定理可得|OC|=√|OA|2−|AC|2=2，|OD|=√|OB|2−|BD|2=√3，∴|CD|=|OC|−|OD|=2−√3.解题感悟解决此类问题时一般用数形结合求解.。

2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离【学习目标】1.会运用多种方法推导点到直线的距离公式,明确使用公式的前提条件.2.能根据给定的点与直线熟练运用公式求点到直线的距离.3.能将平行线间的距离转化为点到直线的距离,并会用点到直线的距离公式导出两条平行直线间的距离公式.4.能说明应用公式的前提条件,并能用公式求给定两平行线间的距离.◆ 知识点一 点到直线的距离公式点P (x 0,y 0)到直线l :Ax+By+C=0的距离d= . 证明点到直线的距离公式的方法 1.定义法根据定义,点P 到直线l 的距离,就是点P 到直线l 的垂线段的长度.如图,过点P (x 0,y 0)作直线l :Ax+By+C=0(A ≠0,B ≠0)的垂线l',垂足为Q ,由l'⊥l 可知l'的斜率为 ,∴l'的方程为y-y 0=B A(x-x 0),与l 的方程联立,得交点为Q (B 2x 0-ABy 0-AC A 2+B 2,A 2y 0-ABx 0-BCA 2+B 2),∴|PQ|=00√A +B .可以验证,当A=0,或B=0时,上述公式仍然成立.2.向量法如图,已知P (x 0,y 0),设与直线l :Ax+By+C=0的一个方向向量P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直的向量为n=(A ,B ),M (x ,y )为直线l 上任意一点,则PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-x 0,y-y 0),从而点P 到直线l 的距离d= =00√A +B ,∵点M 在直线l 上,∴Ax+By+C=0,从而d=00√A +B =00√A +B .【诊断分析】 1.已知点P(-1,0),直线l:x+y-4=0.(1)直线l的一个方向向量为n=,与直线l垂直的一个向量为m=;⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量m求得点P到直线l的距离为.(2)Q(1,3)是直线l上一点,利用PQ2.点P(x0,y0)到直线y=a的距离为.◆知识点二两条平行直线间的距离1.定义:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的的长.2.求法:转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.3.公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离d=.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)连接两平行直线上任意两点,即得两平行直线间的距离.( )(2)若直线l1:x+y-1=0上有A(1,0),B(0,1),C(-1,2)三点,则点A,B,C到直线l2:x+y+1=0的距离相等. ( )(3)已知直线l1:x=x1,l2:x=x2,则直线l1,l2间的距离为|x2-x1|.( ).( )(4)已知两平行直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则直线l1,l2间的距离为12√A1+B1◆探究点一点到直线的距离公式的应用例1 (1)点P0(-1,2)到直线2x+y-10=0的距离是.(2)点P(0,2)到直线y=3的距离是.(3)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则实数m的值为. 变式 (1)若直线l经过点P(1,2),且点A(2,3),B(0,-5)到它的距离相等,则l的方程为 ( )A.4x-y-2=0B.4x+y-6=0C.4x-y-2=0或x=1D.4x+y-6=0或x=1(2)已知直线l:y=k(x-2)+2,当k变化时,点P(-1,2)到直线l的距离的取值范围是( )A.[0,+∞)B.[0,2]C.[0,3]D.[0,3)[素养小结]点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时,先把直线方程化为一般式,再直接应用点到直线的距离公式求解即可.(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x=a或y=b,求点P(x0,y0)到它们的距离d时,既可以用点到直线的距离公式,也可以直接根据d=|x0-a|或d=|y0-b|求解.(3)已知点到直线的距离求参数时,根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.拓展已知定点P(-2,0)和直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0(λ∈R),则点P到直线l的距离的最大值为( )A.2√3B.√10C.√14D.2√15◆探究点二平行线间距离公式的应用例2 (1)已知直线l1:y=2x+1,直线l2:4x-2y+7=0,则l1与l2之间的距离为( )A.√52B.√54C.√102D.√104(2)若直线l1:2x+y+a=0与直线l2:ax-y-3=0平行,则直线l1与l2之间的距离为.(3)已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0之间的距离相等,则l的方程为. 变式 (1)已知点A(1,0),B(3,1),C为直线l:x-2y+4=0上的一个动点,则△ABC的面积为( )A.5B.√5C.√52D.52(2)若直线12x-5y+c=0与直线y=125x+1间的距离不小于3,则c的取值范围是.[素养小结]求两平行线间的距离一般有两种方法(1)转化法:将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.因为结果与点的选择无关,所以选点时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算.(2)公式法:直接利用公式d=12√A+B,但要注意两直线方程中x,y的系数对应相等.◆探究点三距离公式的综合应用例3已知直线l经过直线2x+y-5=0与直线x-2y=0的交点.(1)若点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.变式若点P到直线5x-12y+13=0的距离与到直线3x-4y+5=0的距离相等,则点P所在直线的方程是( )A.32x-56y+65=0或7x+4y=0B.x-4y+4=0或4x-8y+9=0C.7x+4y=0D.x-4y+4=0拓展已知直线l1 :x=0,l2:3x-4y=0,点A的坐标为(1,1),且过点A的直线l与l1,l2分别交于点M,N(M,N的纵坐标均为正数),设O为坐标原点,求△MON面积的最小值.。

1
5
2 2
5
2
2
A (1,3)
2
h
1
B (3,1)
C (-1,0)
-1
O
1
2
3 x
问题 比较上述推导点到直线距离公式的坐标法和向量法，它
们各有什么特点？
点到直线距离公式
代数方法
向量法
坐标法
坐标法
（求垂足坐标） （设而不求垂足坐标）
寻找所求量的坐标表示
问题 比较上述推导点到直线距离公式的坐标法和向量法，它
y
l
Q
P0 x0 , y0
O
x
间接法
求出点R的坐标
求出点S的坐标
求出|P0S|
求出 |P0R|
y
1
| P0 S || P0 R |
2

1
d | SR |
2
S ( x0,
Ax0 C
)
B
Q
利用勾股定理求出|RS|
等面积法求出 |P0Q|
l
P0 ( x0 , y0 )
O
R(
By0 C
应先化成一般式再用公式.
2 到直线 l : 3x 2 的距离．
例1: 求点P0 1，
解：直线l的方程可化为一般式：
3x 2 0
思考：还有其他解法吗？
对于直线的一般式方程：Ax+By+C=0，
当A=0或B=0时，直线方程为y=y1或x=x1的形式.
y
y
P (x0,y0)
(x1,y0)
点A到直线l2的距离等于l1与l2的距离
d
6 4 21 0 1
62 212

第十五页，共56页。
点P(2,3)关于直线x－y＋4＝0的对称点坐标(x0，y0)求法， 在方程中解出x＝y－4，∴x0＝3－4＝－1，在方程中解出y ＝x＋4，∴y0＝2＋4＝6.
曲线y＝x2关于直线x＋y－1＝0的对称曲线方程为：(1 －x)＝(1－y)2(∵x＝1－y，y＝1－x)．
第十六页，共56页。
[例2] 两平行直线3x＋4y－12＝0和6x＋8y＋11＝0的 距离为________．
[解析] 将直线方程3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0. 则所求两平行线间的距离为|－2642＋－8121|＝72. 故两平行线间的距离为72.故填72.
第二十三页，共56页。
[点评] 求两平行直线之间的距离，应用公式前，必 须将两直线方程中x、y的系数化成相同的情形，这是易错 的地方．
①设M(x，y)为直线l2上任一点，它关于l的对称点M′(x′， y′)在l1上，则由MM′⊥l及MM′中点在l上列出方程组解出x′， y′，由M′在l1上代入可得l2的方程．
②在l1上取异于P的另一点Q，求出Q关于直线l的对称 点Q′，则直线PQ′即为直线l2.
第十二页，共56页。
3．关于轴对称问题要牢记两点：一是对称的两点连线 与轴垂直．通过直线斜率来体现；二是对称的两点的中点 在轴上，由中点坐标代入轴的方程来表达．另外一些特殊 的轴对称问题也应注意．
第十七页，共56页。
[例 1] 求点 P(3，－2)到下列直线的距离： (1)y＝34x＋14；(2)y＝6；(3)x＝4. [解析] (1)把方程 y＝34x＋14写成 3x－4y＋1＝0 由点到直线的距离公式得 d＝|3×3－324＋×(－(－42)2)＋1|＝158. (2)因为直线y＝6平行于x轴，所以d＝|6－(－2)|＝8. (3)因为直线x＝4平行于y轴， 所以d＝|4－3|＝1.

讨 论：
两条平行直线间的距离怎样求？
平行直线间的距离 转 化 为
点到直线的距离
例1 已知直线 l1 : 2x 7y+8 0 和 l2 : 2x 7 y 6 0
l1 与l2 是否平行？若平行,求 l1与 l2的距离.
解： 在l2上任取一点，如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离
d | Ax0 By0 C | A2 B2
特别地，当A=0，B0时， 直线By+C=0
d
|
By0 C |B|
|
|
y0
C B
|
特别地，当B=0，A0时， 直线Ax+C=0
d
|
Ax0 | A|
C
|
|
x0
C A
|
高中数学人教A版必修2.点到直线的距 离公式 及两条 平行直 线间的 距离PP T课件
o
P l1
l2
Q x
两条平行直线间的距离：
已知两条平行直线方程为:
Ax By C1 0和Ax By C2 0
则它们之间的距离为:
d C1 - C2 A2 B2
2 13
例：两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是__13__.
例3. 若两条平行直线 l1：ax＋2y＋2＝0 l2：3x－y＋d＝0的距离为 10 ， 求a与d的值.
分析思路二：用直角三角形的面积间接求法
求出点R 的坐标 求出点S 的坐标
y
求出P0R
求出P0S
P0Q
P0S P0R SR
S
利用勾股定理求出SR 面积法求出P0Q
d
P0
Q
R
l

直线 AC 的方程为 y－(－1)＝3(x－0)，
即 3x－y－1＝0.
又因为|AC|＝ （2－0）2＋（5＋1）2＝2 10，
x＋3y－7＝0，
所以点 B 和点 D 的坐标满足
3|32＋x－（y－－11）| 2＝
10，
解得yx＝＝14，，或yx＝＝3－，2，
故顶点 B，D 的坐标分别为(4，1)，(－2，3)或(－2，3)，(4，1)．
探究题 3 已知正方形 ABCD 的相对顶点 A(0，－1)和 C(2，5)， 求顶点 B 和 D 的坐标. 解：线段 AC 的中点为 M(1，2)，直线 AC 的斜率 kAC＝5－2（－－01）＝3.
因为 AC⊥BD，所以 kBD＝－13， 所以直线 BD 的方程为 y－2＝－31(x－1)，即 x＋3y－7＝0.
题型三 距离公式的应用 探究题 1 已知直线 l 过点 P(0，2)，且点 A(1，1)，B(－3，1)到 直线 l 的距离相等，求直线 l 的方程.
解：方法一：由于点 A(1，1)与 B(－3，1)到 y 轴的距离相等， 所以直线 l 的斜率存在，设为 k.又直线 l 在 y 轴上的截距为 2， 则直线 l 的方程为 y＝kx＋2，即 kx－y＋2＝0. 由点 A(1，1)与 B(－3，1)到直线 l 的距离相等得 |k－k21＋＋12|＝|k×（－k32）＋－1 1＋2|， 解得 k＝0 或 k＝1，故直线 l 的方程是 y＝2 或 x－y＋2＝0.
所以点
M(－1，0)到
AD，AB，BC
的距离均为3
10 5.
由|3×（－112＋）3－2 0＋n|＝3 510， 得|n－3|＝6，解得 n＝9 或－3. 由|－1＋132＋×302＋m|＝3 510，得|m－1|＝6, 解得 m＝7 或－5(舍去), 所以其他三边所在的直线方程分别为 x＋3y＋7＝0，3x－y＋9＝0， 3x－y－3＝0.

• 当堂检测：学法大视野P49.
结束语
若有不当之处，请指正，谢谢！
Ｃ1
B(3, 1)
-1
3
x
例2、已知直线l1: 2x-7y-8=0 , l2: 6x21y-1=0， 直线l1与l2是否平行？若平 行，求出两直线间的距离。
1、点P0(x0, y0),到直线l ：Ax+By+C=0 (A，B
不同时为0)的距离为:
d| Ax0By0C| A2 B2
2、两平行直线l1: Ax+By+C1=0 , l2: Ax+By+C2=0 之间的距离为
不同时为0)的距离为:
d| Ax0By0C| A2 B2
自主学习
3. 两平行直线l1: Ax+By+C1=0 , l2: Ax+By+C2=0
之间的距离为
d | C1 C2 | A2 B2
例ห้องสมุดไป่ตู้、
已知点A(1, 3), B(3, 1), C(-1, 0), 求
ΔABC的面积。 y
3 A(1, 3)
d | C1 C2 | A2 B2
• 3、求点到直线的距离,直线方程不是一般 式时则应先把方程化为一般式，再利用距
离公式求距离。
• 4、（1）求两平行线间的距离可以转化 为点到直线的距离，也可以应用公式。
• （2）应用两平行线间的距离公式
d | C1 C2 | A2 B2
• 时，两直线方程必须是一般式，而且x,y 系数对应相等。
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
明确目标：
1、了解点到直线距离公式的推导方法； 2、掌握点到直线的距离公式； 3、能求两平行线间的距离。

行()1112222220A B CA B CA B CÛ=¹¹。

3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）轴时需要单独讨论） 3.相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。

相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。

1）斜截式：111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+相交12k k Û¹2）一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=相交1221A B A B Û¹ 3）对于特殊情况（如果一条直线有斜率，而另一条直线没有斜率，那么这两条直线相交）。

例1：已知直线()212:260,:110l ax y l x a y a ++=+-+-=，求适合下列条件的a的取值范围。

的取值范围。

1）1l 与2l 相交；相交； 2）12//l l ； 3）1l 与2l 重合。

重合。

两条直线位置关系以及点到直线距离公式两条直线位置关系以及点到直线距离公式一、两条直线相交、平行、重合条件一、两条直线相交、平行、重合条件1. 重合：如何两条直线重合，那么化简之后的重合：如何两条直线重合，那么化简之后的方程方程是相同的，具体为：是相同的，具体为：1） 斜截式：直线111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+重合1212,k k b b Û==。

2） 一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=重合()1112222220A B C A B C A B C Û==¹。

3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）。

2．平行：如果两条．平行：如果两条直线斜率直线斜率相同或垂直于x 轴，并且不重合，那么这两条直线就是平行的。

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【题后反思】 对变量问题要善于从函数的观点去思考，利用函 数的知识去解决，如本题之关键在于建立面积 S 与变量 m 之间 的函数关系式，转化为二次函数最值问题，同时在解题时又要 考虑到问题的实际意义 .
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【变式 3】 两条互相平行的直线分别过点 A(6,2)，B(－3，－1)， 并且各自绕着 A，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为 d. (1)求 d 的取值范围； (2)求当 d 取最大值时两直线的方程．
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解 设点 P 的坐标为(x,0)， 则根据点到直线的距离公式可得|3x－32＋4×－0＋462 |＝6， 解得 x＝8 或 x＝－12. 所以点 P 的坐标为(8,0)或(－12,0)．
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题型二 两条平行线间的距离 【例 2】 求两条平行直线 l1：6x＋8y＝20 与 l2：3x＋4y－15＝0 的距离． [思路探索] 首先将方程化为 x、y 项系数相等的一般式形式，然 后利用公式即可．
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试一试：两平行线间的距离可转化为其中一直线上的任意一点 到另一条直线的距离，这一点该如何选择？ 提示 这一点的选取具有任意性，一般选取计算较为简便的特 殊点．
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名师点睛 1．应用点到直线的距离公式应注意的问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再 用公式．例如求 P(x0，y0)到直线 y＝kx＋b 的距离， 应先把直 线方程化为 kx－y＋b＝0，得 d＝|kx0－k2y＋0＋1 b|. (2)点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用， 故应用公式时不必判定点 P 与直线 l 的位置关系． (3)直线方程 Ax＋By＋C＝0 中 A＝0 或 B＝0 时，公式也成立， 也可以用下列方法求点到直线的距离： ①P(x0，y0)到 x＝a 的距离 d＝|a－x0|； ②P(x0，y0)到 y＝b 的距离 d＝|b－y0|.

点与直线问题(1)点P （x 0,y 0）到直线Ax ＋By ＋C=0的距离(应用本公式要把直线方程变成一般式)（2）两条平行线之间的距离(应用此公式时要留意把两平行线方程 x.y 前面的系数变成雷同的)(3)点 P （x,y ）关于Q （a,b ）的对称点为P'（2a －x,2b －y ）(4)直线关于点对称:在已知直线上任取两点A.B,再分离求出A.B 关于P 点的对称点A′.B′,然后由两点式可得所求直线方程. (5)点关于直线的对称点,要抓住“垂直”和“等分”设 P （x 0,y 0）,l ：Ax ＋By ＋C=0（A 2＋B 2≠0）,若P 关于l 的对称点的坐标Q 为（x,y ）,则l 是PQ 的垂直等分线,即①PQ ⊥l;②PQ 的中点在l 上,解方程组可得 Q 点的坐标例1 求点P = (–1,2 )到直线3x = 2的距离 解：22|3(1)2|5330d ⨯--==+例2 已知点A (1,3),B (3,1),C (–1,0),求三角形ABC 的面积.解：设AB 边上的高为h ,则221||2||(31)(13)22ABC S AB h AB =⋅=-+-=AB 边上的高h 就是点C 到AB的距离. AB 边地点直线方程为311331y x --=--即x + y – 4 = 0.点C 到x + y – 4 = 0的距离为h2|104|5112h -+-==+,是以,122522S ABC =⨯= 例3 求两平行线l 1：2x + 3y – 8 = 0l 2：2x + 3y – 10 =0的距离. 解法一：在直线l 1上取一点P (4,0),因为l 1∥l 2,所以P 到l 2的距离等于l 1与l 2的距离,于是222131323d ==+解法二： 直接由公式2221323d ==+例 4.求直线3x －y －4=0关于点P （2,－1）对称的直线l 的方程解析： 设直线 l 上任一点为（x,y ）,关于P （2,1）对称点（4－x,－2－y ）在直线3x －y －4=0上.∴ 3(4－x)－(－2－y)－4=0∴ 3x －y －10=0 ∴ 所求直线 l 的方程3x －y －10=0例5. 等腰直角三角形ABC 的直角极点C 和极点B 都在直线2x + 3y – 6 = 0上,极点A 的坐标是(1,–2).求边AB .AC 地点直线方程.(AC 的直线方程为：3x – 2y – 7 = 0 AB 的直线方程为：x – 5y – 11 = 0或5x + y – 3 = 0.)1. 分离求点()2,3P -到下列直线l 的距离：（1）2390x y +-=; （2）7x =; （3）3y =;2. 若点(),3P a 到直线4310x y -+=的距离等于4,求a 的值;3. 若直线1:220l ax y ++=与直线2:320l x y --=平行,求两直线的距离;4. 已知ABC ∆中,()()3,2,1,5,A B C -点在直线330x y -+=上,若ABC ∆的面积为10,求点C 的坐标;5. 若直线l 经由过程直线75240x y +-=和直线0x y -=的交点,并且点()5,1到直线l,求直线l 的方程;6. 已知一个三角形的极点为()()()2,3,4,1,4,1A B C --,直线//l AB ,且l 将ABC ∆的面积分成相等的两部分,求l 的方程;7. 求点()4,0关于直线54210x y ++=的对称点的坐标;8.如图,一次函数7y x =-+与正比例函数43y x =的图象交于点A,且与x 轴交于点B. （1）求点A 和点B 的坐标;（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C,过点B 作直线l∥y 轴．动点P 从点O 动身,以每秒1个单位长的速度,沿O —C —A 的路线向点A 活动;同时直线l 从点B 动身,以雷同速度向左平移,在平移进程中,直线l 交x 轴于点R,交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时,点P 和直线l 都停滞活动．在活动进程中,设动点P 活动的时光为t 秒. ①当t 为何值时,以A.P.R 为极点的三角形的面积为8？②是否消失以A.P.Q 为极点的三角形是等腰三角形？若消失,求t 的值;若不消失,请解释来由.9.如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,点A 的坐标是（﹣4,0）,点B 的坐标是（0,b ）（b ＞0）．P 是直线AB 上的一个动点,作PC⊥x 轴,垂足为C ．记点P 关于y 轴的对称点为P´（点P´不在y 轴上）,衔接PP´,P´A,P´C．设点P 的横坐标为a ． （1）当b =3时,①求直线AB 的解析式;②若点P′的坐标是（﹣1,m ）,求m 的值;（2）若点P 在第一象限,记直线AB 与P´C 的交点为D ．当P´D：DC=1：3时,求a 的值;（3）是否同时消失a ,b ,使△P´CA 为等腰直角三角形？若消失,请求出所有知足请求的a ,b 的值;若不消失,请解释来由．【思绪点拨】（1）①应用待定系数法斟酌.②把（﹣1,m ）代入函数解析式即可.（2）证实△PP ′D ∽△ACD,依据类似三角形的对应边的比成比例求解.（3）分P 在第一,二,三象限,三种情况进行评论辩论.10.已知直线3+=kx y （k ＜0）分离交x 轴.y 轴于A.B 两点,线段OA 上有一动点P 由原点O 向点A 活动,速度为每秒1个单位长度,过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C,设活动时光为t 秒．（1）当1-=k 时,线段OA 上尚有一动点Q 由点A 向点O 活动,它与点P 以雷同速度 同时动身,当点P 到达点A 时两点同时停滞活动（如图1）． ① 直接写出t ＝1秒时C.Q 两点的坐标;② 若以Q.C.A 为极点的三角形与△AOB 类似,求t 的值．（2）当43-=k 时,设以C 为极点的抛物线nm x y ++=2)(与直线AB 的另一交点为D （如图2）, ① 求CD 的长;② 设△COD 的OC 边上的高为h ,当t 为何值时,h 的值最大？【思绪点拨】（1）②分两种情况评论辩论.（2）①过点D 作DE ⊥CP 于点E,证实△DEC ∽△AOB.②先求得三角形COD 的面积为定值,又由Rt △PCO ∽Rt △OAB,在比例线段中求出t 值为若干时,h 最大.。

两条平行直线间的距离
1．两条平行直线间的距离
【概念】
两平行线的距离就是指平行线上的点到另一条直线的最短距离，因为两直线平行，所以直线上的点到另一条平行线上的点的距离都相等，若设两条平行线的表达式为：ax+by+c＝0 和ax+by+d＝0，其中c≠d，那么这两条直线
的距离为：d =|푐―푑|푎2+푏2
【例题解析】
例：求曲线y＝ln（2x﹣1）上的点到直线 2x﹣y+3＝0 的最小距离
解：求导函数可得푦′=
2
2푥―1
令푦′=
2
2푥―1= 2，可得x＝1，∴y＝0
即曲线y＝ln（2x﹣1）在（1，0）处的切线与直线 2x﹣y+3＝0 平行，该点到直线 2x﹣y+3＝0 的距离最小，
最小为푑=5
5=5．
这个题其实是个数形结合的题，其过程是通过平移该直线，当这条直线与曲线相切时，就找到了曲线到直线的最小距离的点，原理是平行线上的点到另一条平行线上的点的距离相等．然后在套用距离公式求解即可．
【考点分析】
点到直线还是直线到直线的距离，考查的较多的是他们的原理，他们的应用，另外再是距离的计算，在这里需要点出复习时一定要注意他们的应用，特别是平行线的平移．
1/ 1。

一、两平行线之间的距离公式1.两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间上午公垂线段的长。

夹在两条平行直线间公垂线段的长处处相等。

设两条直线方程为Ax+By+C1=0Ax+By+C2=0则其距离公式为|C1C2|/√(A²+B²)2.推导：两平行直线间的距离就是从一条直线上任一点到另一条直线的距离，设点P(a，b)在直线Ax+By+C1=0上，则满足Aa+Bb+C1=0，即Aa+Bb=C1，由点到直线距离公式，P到直线Ax+By+C2=0距离为d=|Aa+Bb+C2|/√(A²+B²)=|C1+C2|/√(A²+B²)=|C1C2|/√(A²+B²)二、判断两条直线平行的方法1.同位角相等，两直线平行。

2.内错角相等，两直线平行。

3.同旁内角互补，两直线平行。

4.平面内永不相交的两直线平行。

5.平面内等距的两条直线平行。

6.在直角坐标系中，斜率相等或同时不存在的两直线平行。

三、两条直线相互垂直的条件两条直线在同一平面内1、如果斜率为k1和k2，那么这两条直线垂直的充要条件是k1·k2=－12、如果一直线不存在斜率，则两直线垂直时，一直线的斜率必然为零。

3、两直线垂直的充要条件是：A1A2+B1B2=0.如果是几何，那就证明两条线所形成的角是90度、勾股定理或是圆周角的性质。

不在同一平面内1、两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。

2、线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线，一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边。

3、三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

4、三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

四、对两条平行直线间的距离公式的理解：①两条平行直线间的距离，就是在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，该方法体现了化归思想，即由线线间的距离到点线间的距离的转化，当然点线间的距离也可以化归为点点间的距离来求解；②当利用两条平行直线间的距离公式d=时，一定要先将两直线的方程化为一般形式且x和y的系数对应相等；③如果两平行直线的方程用斜截式方程表示为那么两平行直线间的距离公式为。

时，利用 yx－ －yx00·－AB＝－1，
可以求点P′的坐标.
x0＋x y0＋y A· 2 ＋B· 2 ＋C＝0，
对称问题的解决，要充分利用对称的几何性质，同时还要注意运算的策
略和方法，所以说对称问题充分体现了直观想象和数学运算的数学核心
素养.
3 达标检测
PART THREE
1.已知原点O(0,0)，则点O到直线x＋y＋2＝0的距离等于
解 3y＝4可化为3y－4＝0， 则点 P(2，－3)到该直线的距离为|－30×2＋3－324|＝133. ③x＝3.
解 x＝3可化为x－3＝0， 则点 P(2，－3)到该直线的距离为|2－1 3|＝1.
(2)求过点M(－1,2)，且与点A(2,3)，B(－4,5)距离相等的直线l的方程.
反思
感悟 (1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题 ①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式. ②点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用. ③直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是 特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解. (2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意.
A.1
√B.2
C. 1 2
D.4
解析 由两条直线平行可得－34＝－m6 ，解得 m＝8.由两条平行线间的距离公式得 d＝ |－332＋－472|＝2.
(3)已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距 离最大时，直线l1的方程是__x_＋__2_y－__3_＝__0__.
解析 当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大. 因为A(1,1)，B(0，－1).

2.2.4 点到直线的距离学习目标 1.了解点到直线的距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离的公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.初步掌握解析法研究几何问题的方法．知识点一 点到直线的距离1．定义：平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度．2．图示：3．公式：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.知识点二 两条平行直线间的距离1．定义：两条平行线之间的距离等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．2．图示：3．求法：转化为点到直线的距离．4．公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2.(A ，B 不全为0，C 1≠C 2)1．点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( × )2．直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离．( √ )3．两平行线间的距离是一条直线上任意一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．( √ )4．直线x ＝x 1与直线x ＝x 2的距离为d ＝x 2－x 1.( × )一、点到直线的距离例1 (1)求点P (2，－3)到下列直线的距离． ①y ＝43x ＋13；②3y ＝4；③x ＝3.解 ①y ＝43x ＋13可化为4x －3y ＋1＝0，点P (2，－3)到该直线的距离为|4×2－3×(－3)＋1|42＋(－3)2＝185.②3y ＝4可化为3y －4＝0， 由点到直线的距离公式，得|－3×3－4|02＋32＝133. ③x ＝3可化为x －3＝0， 由点到直线的距离公式，得|2－3|1＝1. (2)求过点M (－1,2)，且与点A (2,3)，B (－4,5)距离相等的直线l 的方程． 解 方法一 当过点M (－1,2)的直线l 的斜率不存在时， 直线l 的方程为x ＝－1，恰好与A (2,3)，B (－4,5)两点的距离相等， 故x ＝－1满足题意．当过点M (－1,2)的直线l 的斜率存在时， 设l 的方程为y －2＝k (x ＋1)， 即kx －y ＋k ＋2＝0.由点A (2,3)与点B (－4,5)到直线l 的距离相等， 得|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，解得k＝－13，此时l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0. 方法二由题意，得l∥AB或l过AB的中点，当l∥AB时，设直线AB的斜率为k AB，直线l的斜率为k l，则k l＝k AB＝5－3－4－2＝－13，此时直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l过AB的中点(－1,4)时，直线l的方程为x＝－1.综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.反思感悟(1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．②当点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．③直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．(2)当用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意．跟踪训练1(1)若点P(3，a)到直线x＋3y－4＝0的距离为1，则a的值为()A. 3 B．－3 3C.33或－ 3 D.3或－33答案 D解析由题意得，|3＋3a－4|1＋(3)2＝1，即|3a －1|＝2，解得a ＝3或－33. (2)已知坐标平面内两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则实数m 的值为________． 答案 －6或12解析 由|3m ＋2＋3|m 2＋1＝|－m ＋4＋3|m 2＋1，得|3m ＋5|＝|m －7|，∴m ＝－6或m ＝12.二、两平行线间的距离例2 (1)已知两平行直线l 1：3x ＋5y ＋1＝0和l 2：6x ＋10y ＋5＝0，则l 1与l 2间的距离为________． 答案33468解析 l 2：6x ＋10y ＋5＝0可以化为3x ＋5y ＋52＝0，∴l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪52－132＋52＝3234＝33468.(2)已知直线l 与两直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程为________________． 答案 2x －y ＋1＝0解析 设直线l 的方程为2x －y ＋C ＝0， 由题意，得|3－C |22＋12＝|C ＋1|22＋12，解得C ＝1，∴直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.反思感悟 求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等．跟踪训练2 (1)两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为______．答案104解析 由题意，得63＝m 1≠－3－1，∴m ＝2，将直线3x ＋y －3＝0化为6x ＋2y －6＝0， 由两平行线间的距离公式，得|－1＋6|62＋22＝540＝104.(2)已知△ABC 的两顶点A ，B 在直线l 1：2x －y ＋3＝0上，点C 在直线l 2：2x －y －1＝0上，若△ABC 的面积为2，则AB 边的长为________． 答案5解析 点C 到AB 的距离即为l 1与l 2之间的距离， ∴d ＝|－1－3|22＋(－1)2＝45＝455，S △ABC ＝12|AB |·d ＝2，∴|AB |＝4÷455＝ 5.三、距离公式的应用例3 (1)已知实数x ，y 满足6x ＋8y －1＝0，则x 2＋y 2－2y ＋1的最小值为________． 答案710解析 ∵x 2＋y 2－2y ＋1＝(x －0)2＋(y －1)2，∴上式可看成是一个动点M (x ，y )到定点N (0,1)的距离， 即为点N 到直线l ：6x ＋8y －1＝0上任意一点M (x ，y )的距离， ∴S ＝|MN |的最小值应为点N 到直线l 的距离， 即|MN |min ＝d ＝|8－1|62＋82＝710. (2)两条互相平行的直线分别过点A (6,2)，B (－3，－1)，并且各自绕着点A ，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为d . ①求d 的取值范围；②求d 取最大值时，两条直线的方程． 解 ①设经过点A 和点B 的直线分别为l 1，l 2，显然当⎩⎨⎧l 1⊥AB ，l 2⊥AB 时，l 1和l 2的距离最大，且最大值为|AB |＝(－3－6)2＋(－1－2)2＝310，∴d 的取值范围为(0,310]． ②由(1)知，d max ＝310， 因为过点A ，B 直线的斜率为13，所以d 取最大值时两平行线的斜率k ＝－3， 两直线的方程分别为3x ＋y －20＝0或3x ＋y ＋10＝0. 反思感悟 (1)(x －a )2＋(y －b )2可表示为点(x ，y )与点(a ，b )之间的距离，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性解决问题．(2)两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值．跟踪训练3 (1)已知P ，Q 分别是直线3x ＋4y －5＝0与6x ＋8y ＋5＝0上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A ．3 B. 3 C.32D.32答案 D解析 两平行线间的距离就是|PQ |的最小值，3x ＋4y －5＝0可化为6x ＋8y －10＝0，则|PQ |＝|5－(－10)|62＋82＝32. (2)动点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，则|OP |最小时点P 的坐标为________． 答案 (2,2)解析 直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP 垂直于已知直线，则k OP ＝1，∴OP 所在的直线方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.∴点P 的坐标为(2,2)．1．已知原点O (0,0)，则点O 到直线x ＋y ＋2＝0的距离等于( ) A ．1 B ．2 C. 2 D.22答案 C解析 d ＝|0＋0＋2|12＋12＝ 2.2．已知点(a ,1)到直线x －y ＋1＝0的距离为1，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C. 2 D ．±2 答案 D解析 由题意知，|a －1＋1|12＋12＝1，即|a |＝2，∴a ＝±2.3．直线x －2y －1＝0与直线x －2y －C ＝0的距离为25，则C 的值为( ) A ．9 B ．11或－9 C ．－11 D ．9或－11答案 B解析 两平行线间的距离为d ＝|－1－(－C )|12＋(－2)2＝25， 解得C ＝－9或11.4．两平行直线3x ＋4y ＋5＝0与6x ＋ay ＋30＝0间的距离为d ，则a ＋d ＝________. 答案 10解析 由两直线平行知，a ＝8，d ＝|15－5|5＝2，∴a ＋d ＝10.5．直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是________________． 答案 (5，－3)解析 由题意知过点P 作直线3x －4y －27＝0的垂线， 设垂足为M (图略)，则|MP |为最小距离，直线MP 的方程为y －1＝－43(x －2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y －27＝0，y －1＝－43(x －2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－3 ∴所求点的坐标为(5，－3)．1．知识清单： (1)点到直线的距离． (2)两平行线之间的距离．2．方法归纳：公式法、分类讨论、数形结合．3．常见误区：求两条平行线之间的距离时，只需把两直线方程化成一般式，且x 与y 的系数对应相同．1．点(1，－1)到直线y ＝1的距离是( ) A. 2 B.22C ．3D ．2答案 D解析 d ＝|－1－1|1＋0＝2，故选D.2．已知点M (1,4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m 等于( ) A ．0 B.34 C ．3 D ．0或34答案 D解析 点M 到直线的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝3，∴m ＝0或34.3．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A ．1B ．2 C.12 D ．4答案 B解析 由两条直线平行可得36＝4m ≠－314，解得m ＝8.由两条平行线间的距离公式得d ＝|－3－7|32＋42＝2.4．直线l 1：2x ＋y －4＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0，则与直线l 1与l 2距离相等的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y ＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x －2y －1＝0答案 A解析 令所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0， 则|c －(－4)|22＋12＝|c －2|22＋12， 即|c ＋4|＝|c －2|，解得c ＝－1， 故所求直线方程为2x ＋y －1＝0.5．(多选)已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于( ) A.79 B ．－13C ．－79D.13答案 BC解析 由点到直线的距离公式可得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，化简得|3a ＋3|＝|6a ＋4|， 解得实数a ＝－79或－13.6．(多选)若点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( ) A ．(1,2) B ．(2,1) C ．(2，－1) D ．(－1,2) 答案 AC解析P在直线3x＋y－5＝0上，令P(x0，－3x0＋5)，∴|x0－(－3x0＋5)－1|12＋(－1)2＝2，即|2x0－3|＝1，解得x0＝1或x0＝2，∴点P坐标为(1,2)或(2，－1)．7．过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程为________________．答案x＋2y－5＝0解析由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，∵k OP＝2，∴所求直线方程为y－2＝－12(x－1)，即x＋2y－5＝0.8．经过点P(－3,4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为________________．答案x＝－3或7x＋24y－75＝0解析(1)当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x＝－3的距离等于3，满足题意；(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋4＝0.原点到直线l的距离d＝|3k＋4|k2＋(－1)2＝3，解得k＝－724.直线l的方程为7x＋24y－75＝0.综上可知，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0.9．已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P(4,3)到直线l的距离为32，求直线l的方程．解由题意知，若截距为0，可设直线l的方程为y＝kx.由题意知|4k －3|k 2＋1＝32，解得k ＝－12±3142. 若截距不为0，设所求直线l 的方程为x ＋y －a ＝0(a ≠0)．由题意知|4＋3－a |2＝32， 解得a ＝1或a ＝13.故所求直线l 的方程为y ＝－12＋3142x ， y ＝－12－3142x ，x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0. 10．已知正方形的中心为点M (－1,0)，一条边所在直线的方程是x ＋3y －5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．解 M 到x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|12＋32＝3105， 设与x ＋3y －5＝0平行的直线为x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－5)，∴|－1＋c |10＝3105， 解得c ＝7(舍c ＝－5)，∴直线方程为x ＋3y ＋7＝0.设另两条边所在直线方程为3x －y ＋m ＝0，∵|－3＋m |10＝3105， ∴|m －3|＝6，解得m ＝－3或m ＝9，故另两条边所在的直线方程为3x －y －3＝0或3x －y ＋9＝0.综上，其它三边所在的直线方程为x ＋3y ＋7＝0,3x －y －3＝0,3x －y ＋9＝0.11．点P (2,3)到直线l ：ax ＋y －2a ＝0的距离为d ，则d 的最大值为( )A ．3B ．4C ．5D ．7答案 A解析 d ＝|2a ＋3－2a |a 2＋1＝3a 2＋1≤3，当a ＝0时等号成立．12．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，则△ABC 的面积等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C 解析 设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h ，|AB |＝(3－1)2＋(1－3)2＝22，AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离，AB 边所在的直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y －4＝0.点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S △ABC ＝12×22×52＝5.13．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为() A ．2x ＋3y －18＝0B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0答案 D解析 当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝3，不合题意，故直线l 的斜率存在，设为k ，直线l 的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋4＝0，∴|－5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1， 即|－5k ＋2|＝|k ＋6|，解得k ＝2或k ＝－23，故选D. 14．与三条直线l 1：x －y ＋2＝0，l 2：x －y －3＝0，l 3：x ＋y －5＝0可围成正方形的直线方程为________________．答案 x ＋y ＝0或x ＋y －10＝0解析 l 1∥l 2且l 1与l 2之间的距离为d ＝|2－(－3)|2＝52＝522， 设正方形另一边所在直线方程为x ＋y ＋c ＝0(c ≠－5)，∴|c －(－5)|2＝522，即|c ＋5|＝5， 解得c ＝0或c ＝－10，故所求直线方程为x ＋y ＝0或x ＋y －10＝0.15．已知点M (a ，b )在直线4x －3y ＋c ＝0上，若(a －1)2＋(b －1)2的最小值为4，则实数c 的值为( )A ．－21或19B ．－11或9C ．－21或9D ．－11或19 答案 B解析 (a －1)2＋(b －1)2表示点M (a ，b )与点N (1,1)之间的距离的平方，即(a －1)2＋(b －1)2＝|MN |2，∴|MN |min ＝2.又点M (a ，b )在直线4x －3y ＋c ＝0上，∴点N (1,1)到直线4x －3y ＋c ＝0的距离为2，∴|c ＋1|42＋(－3)2＝2， 即|c ＋1|＝10，∴c ＝－11或c ＝9.16．已知入射光线在直线l 1：2x －y ＝3上，经过x 轴反射到直线l 2上，再经过y 轴反射到直线l 3上．若点P 是直线l 1上某一点，求点P 到直线l 3的距离．解 如图所示，结合图形可知，直线l 1∥l 3，则直线l 1上一点P 到直线l 3的距离即为l 1与l 3之间的距离．由题意知l 1与l 2关于x 轴对称，故l 2的方程为y ＝－2x ＋3，l 2与l 3关于y 轴对称，故l 3的方程为y ＝2x ＋3.由两平行线间的距离公式，得l 1与l 3间的距离d ＝|3－(－3)|12＋22＝655， 即点P 到直线l 3的距离为655.。

高中数学辅导讲义[解析版]知识图谱点到直线的距离知识精讲一．点到直线的距离公式1. 两点的距离公式已知平面内两点()()1122,,,A x y B x y ，则两点距离()()222121AB d x x y y =-+-2.点到直线距离公式（1）公式：点()00x y ，到直线22:0(0)l Ax By C A B ++=+≠的距离：0022Ax By Cd A B++=+（2）公式的证明：如图，已知点()00P x y ，，直线22:0(0)l Ax By C A B ++=+≠.过点P 作PQ l ⊥于()11,Q x y ， 则PQ 即为点P 到直线l 的距离. 由距离公式，只要列出关于10x x -，10y y -的方程，就可求出这两点的距离. 证明过程如下：证明：设()11,Q x y ，PQ 所在直线方程l '：'0Bx Ay C -+=，将,P Q 代入l '可得： 0011'0'0Bx Ay C Bx Ay C -+=⎧⎨-+=⎩，两式相减得：0101()()0 B x x A y y ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①. 将Q 点代入l ，得：110Ax By C ++=.()()101000110A x x B y y Ax By C Ax By C -+-+++=++=，l:Ax+By+C=0OQ x 1,y 1()P x 0,y 0()xy()()010100 A x x B y y Ax By C ∴-+-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅②①、②：()()010*******()()0B x x A y y A x x B y y Ax ByC ---=⎧⎪⎨-+-=++⎪⎩将①、②式平方相加：22222101000()[()()]()A B x x y y Ax By C +-+-=++，0022101022()()PQ Ax By Cd x x y y A B++∴=-+-=+二．平行直线间的距离1. 公式：两条平行线11:0l Ax By C ++=与22:0l Ax By C ++=之间的距离是：22d A B=+2. 证明：设一条垂直于12l l 、的直线与12l l 、分别交于P Q 、两点，()()1122,,,P x y Q x y .PQ 即为直线12l l 、间的距离.此时P Q 、两点满足，1110Ax By C ++=，0020Ax By C ++=，00122PQ Ax By C d A B++∴=+，002Ax By C +=-1222PQ d A B∴=+．三点剖析一．注意事项1．点到直线的距离点()00,P x y 到直线0Ax By C ++=的距离为0022Ax By Cd A B++=+．（1）如果给出的方程不是一般式，应先将方程化为一般式再进行求解． （2）若点P 在直线上，点P 到直线的距离为零，距离公式仍然成立. （3）点到几种特殊直线的距离：① 点()00,P x y 到x 轴的距离0d y =；② 点()00,P x y 到y 轴的距离0d x =； ③ 点()00,P x y 到直线x a =的距离0d x a =-； ④ 点()00,P x y 到直线y a =的距离0d y a =-. 2．两条平行直线间的距离两条平行直线11:0l Ax By C ++=与22:0l Ax By C ++=的距离为1222C C d A B-=+．使用公式时，两条直线均为一般式，且x y 、的系数分别相同，而不是对应成比例，因此当直线方程不满足此条件时，应先将方程变形．二．方法点拨点到直线的距离应用：在求角平分线方程、最值、证明问题的过程中通过解析几何法，构造点到直线的距离以及两点间的距离来求解.点到直线的距离例题1、 点到直线的距离为（）A. B. C. D.例题2、 过点()1,2A 且与原点相距为1的直线方程是_______例题3、 （2011北京高考文）已知点A （0，2），B （2，0）．若点C 在函数y=x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1随练1、 求经过直线1:30l x y +-=和直线2:280l x y -+=的交点，且点()1,3P 到它的距离 为53的直线l 的方程．平行直线间的距离例题1、 到直线3410x y --=的距离为2的直线方程是（ ） A.34110x y --=B.34110x y --=或3490x y -+=C.3490x y -+=D.34110x y -+= 或 3490x y --=例题2、 两平行线分别过()3,0A 和()0,4B ，它们之间的距离d 满足的条件是（ ） A.03d <≤ B.04d << C.05d <≤ D.35d ≤≤随练1、 两条平行线4310x y +-=与8630x y ++=之间的距离是（ ） A.25 B.45 C.15 D.12点到直线的距离的应用例题1、 中，求平分线所在直线的方程． 例题2、 设，求证：拓展1、 点到直线的距离为2、 已知直线l 与直线1:6850l x y --=平行，且它们间的距离是3，求l 的方程．3、 经过点(3,5)M 的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么．4、 （2011岳阳一中高一上期末文理）已知△ABC 中，A （1，1），B(m m ，C （4，2）其中（1＜m ＜4），求m 为何值时，△ABC 的面积最大；最大面积是多少？5、 已知过点且斜率为的直线与轴和轴分别交于点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，求四边形的面积的最小值．(1,2)P -86150x y -+=212172ABC ∆()()()3,32,27,1,A B C --、、A ∠AD ,a b R ∈222.22a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭(2,3)P -:1l x =()1,1A ()0m m ->l x y P Q 、P Q 、20x y +=,R S PRSQ答案解析点到直线的距离点到直线的距离例题1、 【答案】 B【解析】 由点到直线间的距离公式即可得． 例题2、【答案】 1x =或3450.x y -+=【解析】 （1）当过点()12A ，的直线与x 轴垂直时，则点()12A ，到原点的距离为1， 所以1x =为所求直线方程．（2）当过点()12A ，且与x 轴不垂直时，可设所求直线方程为()21,y k x -=- 即:20,kx y k --+=由题意有2211k k -+=+，解得3,4k =故所求的直线方程为()321,4y x -=-即3450.x y -+= 例题3、【答案】 A【解析】 设C （a ，a 2），由已知得直线AB 的方程为2x +2y=1，即：x+y -2=0点C 到直线AB 的距离为：d=22，有三角形ABC 的面积为2可得：S ABC =12|AB|d=12× 22×22=|a+a 2-2|=2得：a 2+a=0或a 2+a -4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x 2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C 1，C 2，C 3，C 4）使得△ABC 的面积为2（即图中的三角形△ABC 1，△ABC 2，△ABC 3，△ABC 4）． 故应选：A 随练1、【答案】 直线为3140y -=或2401171460x y +-= 【解析】 解法一： 由30,280.x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得直线1l 与2l 的交点坐标为514,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．显然直线l 的斜率存在， 设所求直线l 的方程为14533y k x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即335140.kx y k -++= 则()2231335145,393k k d k ⨯-⨯++==+-即2128085510,,39k k k k +=+==-将12,k k 代入得所求直线为3140y -=或2401171460x y +-=． 解法二：设所求直线方程为()()2830,x y x y λ-+++-=即()()()21830.x y λλλ++-+-= 点()1,3P 到l 的距离为53，()()()()222113835,321λλλλλ+⨯+-⨯+-=++-即241763160.2λλλ--=∴=-或15841λ=． 代入既得所求方程平行直线间的距离例题1、 【答案】 B【解析】 由题意可知两直线平行，故有1222222212,934C C C d C A B---===∴=++或211C =-，故直线方程为34110x y --=或3490x y -+= 例题2、 【答案】 C【解析】 两平行线重合时，距离最小0d =， 两点连线与平行线垂直时，距离最大22345d =+ 但两直线不能重合，故05d <≤ 随练1、 【答案】 D【解析】 由平行线间距离公式1222C C d A B -=+可知，223112243d --==+．点到直线的距离的应用例题1、【答案】【解析】 设为平分线上任意一点，由已知可求得边所在直线方程为，边所y x =(),M x y A ∠AD AC 5120x y -+=AB在直线方程为．由角平分线的定义，得或，即或，检验可知，不合题意．例题2、【答案】 见解析【解析】 证明：设为平面内任一点，则到直线的距离为点，即拓展1、【答案】【解析】2、【答案】 68350x y --=或68250x y -+= 【解析】 设直线l 的方程为225680,32568c x y cd c +-+===⇔=+或35c =-，故直线方程为68350x y --=或68250x y -+= 3、【答案】 35340x y +-=【解析】 过点(3,5)M 且垂直于OM 的直线为所求的直线，由直线OM 的斜率53k '= 则所求直线的斜率3,5k =-所求直线的方程为()3:535y x -=--； 化简得：35340x y +-= 4、【答案】 m=94，S max =18【解析】 本题考查点到直线距离公式的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．由22(41)(21)-+-10AC 的直线方程，利用点B 到直线AC 的距离是|32|10m m -+，S=12|AC|•d=12|m -m 12m 32)2-14|，由此能推导出当m=94时面积最大为S max =18．|AC|=22(41)(21)-+-10AC 的直线方程为x -3y+2=0，点B 到直线AC 的距离是|32|10m m -+，△S=12|AC|•d=12|m -m=12m 32)2-14| △1＜m ＜4，△1m 2，5120x y --=5125122626x y x y -+--=512512x y x y ∴-+=--512512x y x y -+=-++6y x =-+y x =6y x =-+(),M a b M y x =-2a b +M 22a b +22a b +2a b +222.22a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭121 1.d =-=△-1232＜12，32)2＜14，△S=12[14-32)2]，△32，即m=94时面积最大，最大面积为S max =18．5、【答案】【解析】 设直线的方程为，则，，从而可得直线和的方程分别为，，由∥，又四边形为直角梯形，又此时，，即四边形的面积最小值为3.6l ()11y m x -=--11,0P m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0,1Q m +PR QS 120m x y m +--=()2210x y m -++=PRQS 132m RS ++∴==22PR QS +==PRSQ 22123211191.25480PRSQ m S m m ⎛⎫+++ ⎪⎛⎫∴==++- ⎪⎝⎭12,m m +≥1m =21912 3.65480S ⎛⎫∴≥+-= ⎪⎝⎭PRSQ 3.6。