高二数学椭圆与双曲线的定义的应用

高二数学双曲线笔记
下面是关于高二数学双曲线的一些笔记：
一、双曲线的定义和特点：
1. 双曲线是平面上的一类曲线，其定义是两个焦点之间的距离差等于常数的点的轨迹。

2. 双曲线有两支，分别称为右支和左支。

3. 双曲线的直线称为渐近线，右支的渐近线与x轴夹角为正，左支的渐近线与x 轴夹角为负。

二、双曲线的标准方程：
1. 右支的标准方程：(x-h)²/a²- (y-k)²/b²= 1 ，其中(h, k)为中心点坐标，a为椭圆的横轴长度的一半，b为椭圆的纵轴长度的一半。

2. 左支的标准方程：(x-h)²/a²- (y-k)²/b²= -1。

三、双曲线的基本性质：
1. 焦点：双曲线的两个焦点的坐标为(h ±c, k)，其中c为双曲线的离心率，离心率e的计算公式为e = c/a。

2. 焦距：焦点与对应渐近线的距离称为焦距，焦距的计算公式为2a。

3. 长轴和短轴：右支的长轴长度为2a，短轴长度为2b；左支的长轴长度为-2a，短轴长度为2b。

4. 集中在中心点附近：双曲线的曲线在中心点附近最为集中。

四、双曲线的图形与方程的关系：
1. 由方程可以确定双曲线的中心点、长轴、短轴、焦点等参数。

2. 由图形可以确定双曲线的形状、方程的参数等。

以上是关于高二数学双曲线的一些基本笔记。

要理解和掌握更深入的知识，建议阅读相关教材、参考书籍，并进行大量的练习和实践。

巩固练习一： 1、双曲线 2kx2-ky2=1的一个焦点是F（0，4），则 K为（ A ） （A）-3/32 （B）3/32 （C）-3/16 （D）3/16
2、方程 x2 y2 1 所表示 的曲线是双曲线，则
9k 4k
它的焦点坐标是
（C ）
( A)13,0(B)0,13
(C)( 13,0)(D) 0, 13
表示焦点在
变形练习 1、若方程表示双曲线，求m的范围。
2、若表示焦点在x轴的椭圆时，求m的范围。
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写内容必须在话题范围之内，立意自定，文体自选，题目自拟，不少于800字，不得抄袭。 [写作提示]从话题形式上看，“命运与××”这是一道填空式关系型话题，“改变了环境，便能改变命运”告诉我们，这两个概念之间可以理解为因果关系，也可理解为 条件关系。 “××”是指什么？ 话题虽未明示，但由引导语可知，是指“环境”“选择”“机遇”。它还暗示我们进行联想和想象：“命运”与“个性”有关，命运的悲剧，往往是个性的悲剧；命运与时代有关，命运的悲剧往往也是时代的悲剧；命运与国家兴衰相关，国家兴亡，匹夫有责。 “命运与××”话题比较宽泛， 可用“添加法”，在话题前后添上相关词语，使题目内涵具体化，如“挑战命运与创造奇迹”等。 从选材上看，可选社会热点，也可选历史人物，可以是他人他事，也可以是亲身经历，只要与命运有关，是自己熟悉的能够展示自己才华的都可以写。 2. 阅读下面文字，根据要求作文。 2005 年10月12日17时29分，航天员费俊龙打开神舟六号返回舱与轨道舱之间的舱门，进入轨道舱开展空间科学实验。这个在距地面343公里太空中的小小动作，标志着中国载人航天迈出关键一步。 中国科学院院士胡文瑞说，人的参与使空间科学实验实现了质的飞跃，那小小动作实现了质的飞跃。

高二数学双曲线知识点及经典例题分析1. 双曲线第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。

这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。

2. 双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。

定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。

3. 双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上的：x a y b a b 2222100-=>>()，（2）焦点在y 轴上的：y a x ba b 2222100-=>>()，（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。

注：c 2＝a 2＋b 2线段A 1A 2叫双曲线的实轴，且|A 1A 2|＝2a ； 线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，且|B 1B 2|＝2b 。

<>=>41离心率：e ca e () e 越大，双曲线的开口就越开阔。

<>±5渐近线：y bax =<>=±62准线方程：x a c5．若双曲线的渐近线方程为：x ab y ±=则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成： )0(2222≠=-λλby a x【典型例题】 例1. 选择题。

121122.若方程表示双曲线，则的取值范围是（）x m y m m +-+=A mB m m ..-<<-<->-2121或C m mD m R ..≠-≠-∈21且2022.ab ax by c <+=时，方程表示双曲线的是（）A. 必要但不充分条件B. 充分但不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件322.sin sin cos 设是第二象限角，方程表示的曲线是（）ααααx y -=A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在y 轴上的双曲线D. 焦点在x 轴上的双曲线416913221212.双曲线上有一点，、是双曲线的焦点，且，x y P F F F PF -=∠=π 则△F 1PF 2的面积为（ ） A B C D (963)3393例2. ()已知：双曲线经过两点，，，，求双曲线的标准方程P P 12342945-⎛⎝ ⎫⎭⎪例3. 已知B （-5，0），C （5，0）是△ABC 的两个顶点，且sin sin sin B C A -=35，求顶点A 的轨迹方程。

椭圆与双曲线的异同 一、椭圆：
1）椭圆的定义： （大于||21F F ）的点的轨迹。

第二定义： 是常数)10(<<e e 的点的轨迹。

注意：||221F F a >表示 ；||221F F a =表示 ；||221F F a <没有轨迹；
2)椭圆的标准方程、图象及几何性质：
中心在原点，焦点在x 轴上
中心在原点，焦点在y 轴上
标准方程
)0(122
22>>=+b a b
y a x 图 形
范 围 顶 点
对称轴 x 轴，y 轴；短轴为b 2，长轴为a 2
焦 点
焦 距 离心率
准 线
二、双曲线：
1）双曲线的定义： （小于||21F F ）的点的 轨迹。

第二定义： 是常数)1(>e e 的点的轨迹。

注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。

||221F F a =表示 ；||221F F a >没有轨迹；a 2=0表示
(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质：
中心在原点，焦点在x 轴上
中心在原点，焦点在y 轴上
标准方程
图 形
范 围
顶 点
),0(),,0(21a B a B -
对称轴 x 轴，y 轴；虚轴为b 2，实轴为a 2
焦 点
焦 距 )0(2||21>=c c F F 222
b a c
+=
离心率
)1(>=
e a
c
e （离心率越大，开口越大） 准 线 渐近线。