第85课时 正态分布

题组层级快练(八十五)1．(2017·甘肃河西五市联考)设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，若P(ξ>2)＝p ，即P(－2<ξ<0)＝( )A.12＋p B ．1－p C.12－p D ．1－2p答案 C解析 由对称性知P(ξ≤－2)＝p ，所以P(－2<ξ<0)＝1－2p 2＝12－p.2．(2017·广东佛山一模)已知随机变量X 服从正态分布N(3，1)，且P(2≤ξ≤4)＝0.682 6，则P(ξ>4)＝( ) A ．0.158 8 B ．0.158 7 C ．0.158 6 D ．0.158 5 答案 B解析 由正态曲线性质知，其图像关于直线x ＝3对称， ∴P (ξ>4)＝1－P （2≤ξ≤4）2＝0.5－12×0.682 6＝0.158 7，故选B.3．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P (ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( ) A ．0.954 B ．0.977 C ．0.488 D ．0.477 答案 A解析 P(－2≤ξ≤2)＝1－2P(ξ>2)＝0.954.4．(2017·南昌调研)某单位1 000名青年职员的体重x(单位：kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布的密度曲线如图所示，若体重在58.5～62.5 kg 属于正常，则这1 000名青年职员中体重属于正常的人数约是( )A ．683B ．841C ．341D ．667答案 A解析 ∵P(58.5<X<62.5)＝P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.683，∴体重正常的人数约为1 000×0.683＝683人．5．(2017·江西八所重点中学联考)在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80，120)内的概率为0.8，则落在(0，80)内的概率为( )A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.2答案 B解析 ∵ξ服从正态分布N(100，σ2)，∴曲线的对称轴是直线μ＝100，∵ξ在(80，120)内取值的概率为0.8，ξ在(0，100)内取值的概率为0.5， ∴ξ在(0，80)内取值的概率为0.5－0.4＝0.1.故选B.6．(2017·河南安阳专项训练)已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116，64)，则成绩在140分以上的考生所占的百分比为( ) A ．0.3% B ．0.23% C ．1.5% D ．0.15%答案 D解析 依题意，得μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝92，μ＋3σ＝140.而服从正态分布的随机变量在(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率约为0.997，所以成绩在区间(92，140)内的考生所占的百分比约为99.7%.从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为1－99.7%2＝0.15%.故选D.7．(2015·湖南，理)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )A ．2 386B ．2 718C ．3 413D ．4 772答案 C解析 由题意可得，P(0<x ≤1)＝12P(－1<x ≤1)＝0.341 3，设落入阴影部分的点的个数为n ，则P ＝S 阴影S 正方形＝0.341 31＝n10 000，则n ＝3 413，选C.8．若随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝( ) A ．0.025 B ．0.050 C ．0.950 D ．0.975 答案 C解析 由随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，得P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)，所以P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ<－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.9．如果随机变量X ～N(μ，σ2)，且E(X)＝3，D(X)＝1，则P(0<X<1)等于( ) A ．0.210 B ．0.003 C ．0.681 D ．0.021 5答案 D解析 X ～N(3，12)，因为0<X<1，所以P(0<X<1)＝0.997 4－0.954 42＝0.021 5.10．某中学组织了“自主招生数学选拔赛”，已知此次选拔赛的数学成绩X 服从正态分布N(75，121)(单位：分)，考生共有1 000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为(参考数据P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4)( ) A ．261 B ．341 C ．477 D ．683 答案 B解析 ∵X ～N(75，121)，∴μ＝75，σ＝11，因为P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6， 所以P(64<X<86)＝0.682 6，又μ＝75，所以P(75<X<86)＝12P(64<X<86)＝12×0.682 6＝0.341 3，所以0.341 3×1 000≈341.即数学成绩在75分到86分之间的人数约为341，故选B.11．(2015·山东，理)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74% 答案 B解析 由已知μ＝0，σ＝3.所以P(3<ξ<6)＝12[P(－6<ξ<6)－P(－3<ξ<3)]＝12(95.44%－68.26%)＝12×27.18%＝13.59%.故选B. 12．若随机变量ξ的密度函数为f(x)＝12πe －x 22，ξ在(－2，－1)和(1，2)内取值的概率分别为P 1，P 2，则P 1，P 2的关系为( ) A ．P 1>P 2 B ．P 1<P 2 C ．P 1＝P 2 D ．不确定 答案 C解析 由题意知，μ＝0，σ＝1，所以曲线关于x ＝0对称，根据正态曲线的对称性，可知P 1＝P 2.13.如图所示，随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ<0)＝0.3，则P(ξ<2)＝________．答案 0.7解析 由题意可知，正态分布的图像关于直线x ＝1对称，所以P(ξ<2)＝P(ξ<0)＋P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)，又P (0<ξ<1)＝P(1<ξ<2)＝0.2，所以P (ξ<2)＝0.7.14．(2017·河北唐山二模)商场经营的某种袋装大米质量(单位：kg)服从正态分布N(10，0.12)，任取一袋大米，质量不足9.8 kg 的概率为________．(精确到0.000 1) 注：P(μ－σ<x ≤μ＋σ)＝0.682 6， P (μ－2σ<x ≤μ＋2σ)＝0.954 4， P (μ－3σ<x ≤μ＋3σ)＝0.997 4 答案 0.022 8解析 因为袋装大米质量(单位：kg)服从正态分布N(10，0.12)，所以P(ξ<9.8)＝12[1－P(9.8<ξ<10.2)]＝12[1－P(10－2×0.1<ξ<10＋2×0.1)]＝12(1－0.954 4)＝0.022 8.15．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90，100)． (1)试求考试成绩ξ位于区间(70，110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80，100)间的考生大约有多少人？ 答案 (1)0.954 4 (2)约1 365人解析 ∵ξ～N(90，100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70，110)内的概率就是0.954 4.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内的取值的概率是0.682 6，所以考试成绩ξ位于区间(80，100)内的概率是0.682 6.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80，100)间的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．16．(2017·江西南昌一模)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X 服从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X<75)＝0.3，P(X ≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．(1)求抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[80，85)，[85，95)，[95，100]内各有1位同学的概率；(2)记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75，85]内的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)． 答案 (1)0.024 (2)E(ξ)＝1.2解析 (1)由题知，P(80≤X<85)＝12－P(X<75)＝0.2，P(85≤X<95)＝0.3－0.1＝0.2，所以所求概率P ＝A 33×0.2×0.2×0.1＝0.024. (2)P(75≤X ≤85) ＝1－2P(X<75)＝0.4，所以ξ服从二项分布B(3，0.4)， P (ξ＝0)＝0.63＝0.216，P (ξ＝1)＝3×0.4×0.62＝0.432， P (ξ＝2)＝3×0.42×0.6＝0.288，P (ξ＝3)＝0.43＝0.064. 所以随机变量ξ的分布列为E(ξ)＝3×0.4＝1.2.17．(2017·湖北武汉模拟)某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N(168，16)．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm 和184 cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160，164)，第2组[164，168)，…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)由频率分布直方图估计该校高三年级男生平均身高状况； (2)求这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人数；(3)在这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望． 参考数据： 若ξ～N(μ，σ2)，则 P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.682 6， P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4， P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.997 4. 答案 (1)168 cm (2)10人 (3)25解析 (1)由频率分布直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为(162×5100＋166×7100＋170×8100＋174×2100＋178×2100＋182×1100)×4＝168.72，高于全市的平均值168 cm.(2)由频率分布直方图知，后3组频率为(0.02＋0.02＋0.01)×4＝0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人数为10. (3)∵P(168－3×4<ξ≤168＋3×4)＝0.997 4， ∴P (ξ≥180)＝1－0.997 42＝0.001 3.∴0.001 3×100 000＝130.∴全市前130名男生的身高在180 cm 以上，这50人中180 cm 以上的有2人． 随机变量ξ可取0，1，2，于是P (ξ＝0)＝C 82C 102＝2845，P (ξ＝1)＝C 81C 21C 102＝1645，P (ξ＝2)＝C 22C 102＝145，∴E (ξ)＝0×2845＋1×1645＋2×145＝25.1．某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N(100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人． 答案 100解析 ∵数学考试成绩ξ～N(100，σ2)，作出正态分布图像，可以看出，图像关于直线x ＝100对称．显然P(80≤ξ≤100)＝P(100≤ξ≤120)＝13；∴P(ξ≤80)＝P(ξ≥120)．又∵P(ξ≤80)＋P(ξ≥120)＝1－P(80≤ξ≤100)－P(100≤ξ≤120)＝13，∴P (ξ≥120)＝12×13＝16，∴成绩不低于120分的学生约为600×16＝100(人)．2．下列函数是正态密度函数的是(μ、σ(σ＞0)都是实数)( )A ．f(x)＝12πσe （x －μ）22σ2B ．f(x)＝2π2πe －x 22C ．f(x)＝12 2πe －x －σ4D ．f(x)＝－12πe x 22答案 B解析 A 中的函数值不是随着|x|的增大而无限接近于零．而C 中的函数无对称轴，D 中的函数图像在x 轴下方，所以选B.3．设随机变量X ～N(μ，σ2)，则随着σ的增大，概率P(|x －μ|<3σ)将会( ) A ．单调增加 B ．单调减少 C ．保持不变 D ．增减不定答案 C解析 P(|x －μ|<3σ)＝P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.997 4是一个常数．4．灯泡厂生产的白炽灯寿命为X(单位：h)，已知X ～N(1 000，302)，要使灯泡的平均寿命为1 000 h 的概率为99.74%，问灯泡的最低使用寿命应控制在________h 以上． 答案 910解析 因为灯泡寿命X ～N(1 000，302)，故X 在(1 000－3×30，1 000＋3×30)内取值的概率为99.74%，即在(910，1090)内取值的概率约为99.74%，故灯泡的最低使用寿命应控制在910 h 以上．5．(2012·新课标全国Ⅰ)某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．答案 38解析 由题意知每个电子元件的使用寿命超过1 000小时的概率均为12，元件1或元件2正常工作的概率为1－12×12＝34，所以该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为12×34＝38.6．(2017·衡水调研卷)衡水市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为φμ，σ(x)＝12π·10e －（x －80）2200(x ∈R )，则下列命题不正确的是( )A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10 答案 B解析 由密度函数知，均值(期望)μ＝80，标准差σ＝10，又曲线关于直线x ＝80对称，故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同．所以B 项是错误的．7．(2017·山东青岛一模)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，若P(ξ>1)＝a ，a 为常数，则P(－1≤ξ≤0)＝________． 答案 12－a解析 由正态曲线的对称轴为ξ＝0，又P(ξ>1)＝a ，故P(ξ<－1)＝a.所以P(－1≤ξ≤0)＝1－2a2＝12－a ，即答案为12－a. 8．(2017·沧州七校联考)2015年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N(8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆． 答案 180思路 首先根据题意确定正态分布的对称轴，利用正态曲线的对称性即可求得ξ>9的概率，利用概率来估计样本中满足条件的汽车数量．解析 由题意可知ξ～N(8，σ2)，故正态分布曲线以μ＝8为对称轴．又因为P(7≤ξ≤9)＝0.7，故P(7≤ξ≤9)＝2P(8≤ξ≤9)＝0.7，所以P(8≤ξ≤9)＝0.35.而P(ξ≥8)＝0.5，所以P(ξ>9)＝0.15.故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15＝180辆．9．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为14 2π. (1)求该正态分布的概率密度函数的解析式； (2)求正态总体在(－4，4]内的概率．答案 (1)φμ，σ(x)＝14 2πe －x 232，x ∈(－∞，＋∞)(2)0.682 6解析 (1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图像关于y 轴对称，即μ＝0.由12πσ＝12π·4，得σ＝4.故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝14 2πe －x 232，x ∈(－∞，＋∞)． (2)P(－4＜ξ≤4)＝P(0－4＜ξ≤0＋4)＝P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6.10．已知某种零件的尺寸ξ(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝18 2π.(1)求概率密度函数；(2)估计尺寸在72 mm ～88 mm 间的零件大约占总数的百分之几？答案(1)φμ，σ(x)＝182πe－（x－80）2128(2)68.26%解析(1)由于正态曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值．因此得μ＝80，12π·σ＝182π，所以σ＝8.故密度函数解析式是φμ，σ(x)＝182πe－（x－80）2128.(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88.所以零件尺寸ξ位于区间(72，88)内的概率是0.682 6.因此尺寸在72 mm～88 mm间的零件大约占总数的68.26%.。