奥数：排队中的学问

√） 1．学习环境选择（打√，如□ √ （1）简易多媒体教室□
（2）交互式电子白板 □ （4）移动学习环境 □
（3）网络教室 2.板书设计
√ □
排队中的学问
方法： 列式 数数 画图
不遗漏 不重复
4+7+1=12 4+3+1=8 7+6-1=12 5+6-1-1=9
四、流程规划与活动设计 1．教学流程设计 简介教学环节规划及流程设计，说明每一环节中教师活动、学生活动以及媒体应用策略，推 荐使用图示加文本的方式描述。 ○ □ ☆ ○ △ ○ ☆ ○ ○ □ ☆ ○ 请问△的前面有 个图形，后面有 个图 形。一共有 个图形。 ↓ 小动物们举行动物运动会，在 长跑比赛中有 4 只动物跑在小 松鼠的前面，有 3 只动物跑在 小松鼠的后面，一共有几只动 物参加长跑比赛? ↓ 同学们排成一队做游戏，小欢的 位置从前面数起，她是第 7 个， 从后面数起，她是第 6 个，问有 多少个同学在做游戏？ ↓
说一说（几排第几个）
换说法
想一想
试一试
四道问题，我们一题一题来探究
做一做
找学问
来看看到底有什么学问？
归纳
五、评价方案设计
√） 1．评价形式与工具（打√，如□ √ （1）课堂提问 □ √ （2）书面练习 □
（3）制作作品
（4）测验
（5）其他
2．评价量表内容（测试题、作业描述等）
小朋友排成方队做操，小勇站在正中间，不管从前面数还是从后 面数，也不管是从左面数还是从右面数，小勇都站在第 3 个，这个方 队有多少人小朋友？
稀奇稀奇真稀奇，鸭子队里混只 鸡，顺着数来它第 5，倒着数来它 第 6，请你算一算，小鸭一共有几 只?

排队中的学问教学目标：知识与技能：1、通过教学，使学生学会解决求两数之间数字个数的问题。

2、体验解决问题方法的多样性和优化策略。

过程和方法：通过实际活动，使学生了解同一问题可以用不同的方法解决。

情感态度与价值观：经历数学知识的应用过程，感受自己身边的知识，体会学数学的乐趣。

教学重点：使学生学会解决求两数之间数字个数的问题。

教学难点：解决问题方法的多样性和优化策略。

课时安排：1课时。

教学过程：课前预热，师生齐唱拍手歌。

一、创设情境，引出课题。

1、出示若干数字，渗透铺垫“之间”的含义。

2、出示学校生活中各种排队情景照片，引出课题。

二、新课授受，教学例6探索情境图，交流数学信息（出示主题情境图）。

Step1:你知道了什么？“小丽排第10”、“小宇排第15”、“小丽和小宇之间有几人？”Step2：怎样解答？1、理解关键词“之间”的含义，游戏“看谁反应快”。

2、师生共同探讨问题解决的方法。

（“数一数”、“画一画”）数一数：学生独立思考后汇报，用手指边数边说。

画一画：学生独立完成后，小组讨论交流，进行讲解，与学生共同筛选出最简洁明了的示意图，请生对照进行修改。

Step3：解答正确吗？师：聪明的小朋友们，你们能想出什么好办法能知道答案是否正确呢？三、反馈练习，巩固新知1、主题图变式练习2、课本P79“做一做”3、拓展延伸：因为星期一有雨，所以运动会推迟3天再开，推迟后，运动会星期几开？四、梳理步骤，小结提升师：孩子们，上完了这节课你们有收获吗？（引导学生在遇到类似问题时，选择自己喜欢并且擅长的方法解决问题。

）板书设计：解决问题小丽排第10，知道了什么？小宇排第15小丽和小宇之间有几人？怎样解答？数一数、画一画解答正确吗？小丽和小宇之间有4人。

《奥赛天天练》第54讲《排队的学问》。

在这一讲中，要引导孩子学会有序排列，现阶段主要是教孩子运用一一列举的方法找出排列数，在脑中留下直观印象，这样在后续学习中就可以运用乘法原理推导排列数的求法了。

《奥赛天天练》第54讲，模仿训练，练习1【题目】：小华、小花、小马三个好朋友要在一起站成一排拍一张照片。

三个人争着要站在排头，无法拍照了。

后来照相师傅想了一个办法，说：“我给你们每人站在不同位置都拍一张，好不好？”这下大家同意了。

那么，照相师傅一共要给他们拍几张照片呢？【解析】：首先小华站在排头，共有两种站法：小华→小花→小马；小华→小马→小花同理，分别以小花、小马站在排头，也各有两种站法。

所以有3个两种站法，共有站法：3×2=6（种）《奥赛天天练》第54讲，巩固训练，习题1【题目】：二（1）班的小平、小宁、小刚、小超4人排了一个小块板，准备“六、一”演出。

在演出过程中，队形不断变化。

（都站成一排）算算看，他们在演出小快板过程中，一共有多少种队形变化形式？【解析】：上面一题是3人站成一排，这题是4人站成一排，我们可以运用上面一题的研究结果来解决这一题。

我们假设小平站在排头，在小平右边有3个人，根据上题可知，这3个人在右边的三个位置上共有6种不同的站法，如下图：小宁小刚小超↗小宁小超小刚小刚小宁小超小平→小刚小超小宁↘小超小刚小宁小超小宁小刚分别让小宁、小刚、小超站在排头，也各有6种不同的站法，共有4个6种。

因为排头的人不同，所以每组6种站法是不会有重复情况出现的。

因此，队形变化形式共有：4×6=24（种）。

以此类推，如果有5个人站一排有多少种站法呢？因为4人一排有24种不同站法，5人一排，任取一人站排头就要24种站法，共有5个24种站法，共：5×24=120（种）。

《奥赛天天练》第54讲，巩固训练，习题2【题目】：“69”顺倒过来看还是“69”，我们把这两个顺倒一样的数，称为一对数。

4+6+1=11(人) 答：这队小学生一共有11人。
5、15个同学排队做操，明明的右边有7个 人，他的左边有多少个人？。
15-7-1=6（人） 答：他的左边有6个人
6、小朋友排队，20人排成一行，从左向 右报数，老师要报到5~9号的下朋友向前 走一步。问原地不动的有多少人？
20-（9-5+1）=15（人） 答：原地不动的有15人。
方法一： 14+15+1=30（人） 方法二： 15+16-1=30（人）
答：这队一共有30人
1、同学们排队做操，王红前边有9个同 学，后边有5个同学，这队一共有多少 个同学?
9+5+1=15(个) 答：这队一共有15个同学.
2、一队小学生，李平前面有8个学生比他高,后 面5个学生比他矮，这队小学生共有多少人。
8+5+1=14（人） 答：这队一共有14人。
3、稀奇稀奇真稀奇，鸭子队里混只鸡，顺着数来它第5， 倒着数来它第8，请你算一算，小鸭一共有几只?
5+8-1=12(只) 12-1=11(只) 答：小鸭一共有11只
4、一队小学生，郭春前面有4个学生比他高，6个学 生比他矮，请问这队小学生一共有多少人?
再见，小朋友~
排队问题
在学校生活中经常需要排队,在这个过程中也 会有很多数学问题。我们于万不能筒单地看表面 的数字条件,而要根据实际情况进行分析,画图的 方法能帮助小朋友弄清楚问题的本质哦。
吃冰淇凌啦~
前
14人
第15个 第16个
后。。Βιβλιοθήκη 。。。。。15人从前往后数我排第15个，从后往前数我 排第16个，这个队伍一共有多少人呢

二年级《奥数天天练》第54讲《排队的学问》讲解_－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－《奥赛天天练》第54讲《排队的学问》。

在这一讲中，要引导孩子学会有序排列，现阶段主要是教孩子运用一一列举的方法找出排列数，在脑中留下直观印象，这样在后续学习中就可以运用乘法原理推导排列数的求法了。

《奥赛天天练》第54讲，模仿训练，练习1【题目】：小华、小花、小马三个好朋友要在一起站成一排拍一张照片。

三个人争着要站在排头，无法拍照了。

后来照相师傅想了一个办法，说：“我给你们每人站在不同位置都拍一张，好不好？”这下大家同意了。

那么，照相师傅一共要给他们拍几张照片呢？【解析】：首先小华站在排头，共有两种站法：小华→小花→小马；小华→小马→小花同理，分别以小花、小马站在排头，也各有两种站法。

所以有3个两种站法，共有站法：3×2=6（种）《奥赛天天练》第54讲，巩固训练，习题1【题目】：二（1）班的小平、小宁、小刚、小超4人排了一个小块板，准备“六、一”演出。

在演出过程中，队形不断变化。

（都站成一排）算算看，他们在演出小快板过程中，一共有多少种队形变化形式？【解析】：上面一题是3人站成一排，这题是4人站成一排，我们可以运用上面一题的研究结果来解决这一题。

我们假设小平站在排头，在小平右边有3个人，根据上题可知，这3个人在右边的三个位置上共有6种不同的站法，如下图：小宁小刚小超↗小宁小超小刚小刚小宁小超小平→ 小刚小超小宁↘ 小超小刚小宁小超小宁小刚分别让小宁、小刚、小超站在排头，也各有6种不同的站法，共有4个6种。

因为排头的人不同，所以每组6种站法是不会有重复情况出现的。

因此，队形变化形式共有：4×6=24（种）。

数学一上《排队中的学问》【教学目标】1.用画图方法解决求整体的特殊情况在依据信息画图过程中,试图以和文字表达建立起联系,建立正确的解决问题思路。

2.通过画图清晰地建立起数量关系,体验用画图解决问题简洁、直观的优势。

3.积累活动经验,感受数学与现实生活的密切联系。

【教学重点】解决两数中间间隔问题。

【教学难点】解决问题的多样性和优化策略。

【教法】情境演示法直观教学法【学法】合作探究法【教学准备】教学课件【教学过程】一、情景导入1.图中小朋友在干什么?(排队给熊猫照相)小丽排第几?(10)小宇排第几?(15)2.讨论“之间”是什么意思？之间:指两数中间间隔的数据。

这道题中不包括小丽和小宇。

二、探究新知分享解题方法方法一:数一数课件出示排队人数。

根据学生的回答老师板书:第10 第15小丽和小宇之间有几人?(4人)学生数图片中人数:10、11、12、13、14、15,来确定小丽和小宇之间有方法二:画一画（确定小丽和小宇的位置,画圆形确定位置）学生画出小丽和小宇之间缺少的圆形:10、11、12、13、14、15,确定小丽和小宇之间有4人。

方法三:算一算课件出示计算过程讲解两数中间间隔问题,不包括两端的小丽和小宇所以计算时两个人都要减去。

15-10-1=4（人）口答：小丽和小宇之间有4人。

三、巩固提升出示教材第79页的“做一做”图中小朋友在干什么?(排队玩滑梯)玲玲排第几?(4)东东排第几?(8)学生根据所学方法选择喜欢的方法完成。

四、课堂小结这节课你有什么收获？和大家说一说。

【作业布置】1.第80页练习十八，2.第5题、第6题、第7题。

【板书设计】排队中的学问数一数：画一画：算一算：15-10-1=4（人）口答：第十和第十五之间有4人。

课题排队中的学问教材第79页课型新授第（5）课时教学目标1.通过学习，学生学会解决求两数之间数字个数的问题。

2.体验解决问题方法的多样性和优化策略。

3.通过实际活动，学生了解同一问题可以用不同的方法解决。

4.经历数学知识的应用过程，感受自己生变得数学知识，体会数学的乐趣。

重点学生学会解决求两数之间数字各数的问题。

难点解决问题方法的多样性和优化策略。

板书设计排队中的学问方法一：１１、１２、１３、１４方法二：方法三：１５－１０－１＝４学习过程学习环节媒体运用学习活动修改意见一激趣导学复习铺垫小朋友们，放学的时候都要记得排着队伍走出教室门口哦！你们知道，在排队中也有很多的数学问题呢。

今天我们就来研究一下排队中的数学问题。

ppt课件学具1.看图体验，交流信息。

（1）认真观察情境图，（教师出示题目：小朋友们排队去动物园看熊猫，小丽排第10，小宇排第15，他们中间的人被树给遮住了，请问他们之间有几个人）看一看你发现了什么？（2）小组交流一下：图上的小朋友在干什么？从图上你知道了那些有用的信息？小丽排第几？小宇排第几？要解决的问题是什么？你有办法解决吗？和同组的同学一起说一说。

（引导学生发现数学信息：小朋友们排队去动物园看熊猫，小丽排第10，小宇排第15，求他们之间有几人？学生讨论说出可以通过列算式、数数荷花图来解决这个问题。

）2.动手操作，合作交流。

（1）独立操作：以小组位单位，“”表示小丽，“”表示小宇，其他同学用“”表示，动手排一排。

（2）小组交流：怎样排的？（3）小组汇报操作过程和结果。

教师提问：还有别的方法来解决这个问题？（数数的方法）请1.利用图形的直观性进行教学，让学生在观察后进行自主的学习。

2.让学生自己进行学习结果的演示，让学生自己上讲台进行表演排队后的效果，从自己的操作中学习知识。

格式要求：填写内容用五号宋体，单倍行行距，新课时另起一页。

二讲析研讨问用数数的方法时，重点是要注意什么？教师引导学生明确：数的时候不能数错，不能数10和15这两个数。

队列中的数学知识朋友们！今天咱们来聊聊一个生活中特别常见，但又蕴含着不少数学奥秘的东西——队列。

你可别小瞧了这普普通通的排队，这里面的数学知识那可是相当有趣呢！咱们先来说说队列最基本的特征——有序性。

就像咱们去超市结账、坐公交车、看电影排队买票一样，大家都得按照先来后到的顺序排好。

这其实就是一种简单的数学规则，它保证了公平性。

想象一下，如果没有这种顺序，那场面可就乱套啦，大家都挤在一起争着往前，那还不得打成一锅粥啊！从数学的角度看，这种有序性就像是给每个人都编了一个序号，按照序号依次进行操作，这就形成了一种稳定的秩序。

再说说队列的长度问题。

你有没有注意过，有时候排队的人特别多，队伍长得像一条长龙；而有时候呢，可能只有寥寥几个人。

这个队列的长度可是会随着时间不断变化的。

比如说，在商场做促销活动的时候，一开始可能只有几个人在排队等着领优惠券，但是随着越来越多的人知道了这个消息，队伍就会越来越长。

这就涉及到数学中的加减法啦！每来一个人，队伍的长度就加1；每走一个人，队伍长度就减1。

通过对队伍长度变化的观察和计算，商家或者工作人员就可以大概估算出需要准备多少优惠券、安排多少工作人员来维持秩序等。

还有啊，队列中的间隔也有数学学问。

大家排队的时候，一般都会保持一定的距离，既不会挤得太近让人不舒服，也不会隔得太远浪费空间。

这个间隔的大小其实也是经过人们潜意识里的“计算”的。

如果把每个人看作一个点，那么这些点之间的间隔就构成了一个有规律的排列。

从数学的角度讲，这有点像数轴上的点，每个点之间都有一定的距离。

合理的间隔能够保证队列的整齐和高效，就好比是在一条马路上，车辆之间保持适当的车距，这样才能保证交通的顺畅。

另外，队列还和时间有着密切的关系。

比如说，我们去银行办理业务，每个窗口办理业务的速度是不一样的。

有的窗口可能办事效率高，几分钟就能搞定一个客户；而有的窗口可能因为业务复杂，需要花费较长的时间。

这时候，排队的人就会根据各个窗口的办理速度来选择排队。

排队中的学问1、解析：企鹅排第15，说明前面有14只动物。

从企鹅接着往后数：16、17、18、19、数到小猴正好是第二十。

因为小猴是最后，所以一共有20只动物。

2、从前往后数，长颈鹿排第（），从后往前数长颈鹿排第（），一共有（）只动物。

解析：后长颈鹿前面有4只，那么从前往后数它就排第5长颈鹿后面有5只，那么从后往前数它就排第6要求一共有几只，就要把长颈鹿前面的4只长颈鹿长颈鹿后面的5只这三部分加起来：4+1+5=10（只）3、解析：要求大象后面有几只，就要从一共的10只里面先去掉大象前面的4只，再去掉大象，算式：10-4-1=5（只）大象前面的4只后面？只动物列算式时只能是10-4-1，不能10-5，因为题目的信息里没有出现5.二．之间问题（两头不算）1、解析：法一（之间：两头不数）10人法二 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1610人2.数字8到12之间有几个数？解析：8 9 10 11 123个3解析：1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 1314 15 16 17 18依依3人苹苹也可以从依依开始910 11 12 1314 15 16 17 18依依3人苹苹三、从…….到……..(两头都算)1.解析：第8棵开始到第17棵结束（两头都数）法一：第8 第1710棵法二：8 9 10 11 12 13 14 15 16 1710棵2.从数字9到13有几个数？解析：9 10 11 12 135个3.读书从第15读到第20页，也是这样做。

四．推迟问题（从今天开始推迟）1.解析：今天举行比赛（从今天开始推迟）法一：11 12 13 14 15星期六星期日星期一星期二星期三法二：11 12 13 14 15星期六星期天星期一星期二星期三1 2 3 4推迟4天是11月15日星期三2.，小红说三天后是我的生日。

小红的生日是星期几？解析：从今天开始往后数，第三天就是小红的生日法一：星期一星期二星期三星期四1 2 3小红的生日是星期四法二：星期一星期二星期三星期四小红的生日是星期四。

排队中的学问狄阳教学内容：教材第79页例6，完成“做一做”及练习十八第5、6题。

教学目标：知识与技能目标：1、通过教学，使学生学会解决求两数之间数字个数的问题。

2、体验解决问题方法的多样性和优化策略。

过程和方法目标：通过实际活动，使学生了解同一问题可以用不同的方法解决。

情感态度与价值观目标：经历数学知识的应用过程，感受自己身边的知识，体会学数学的乐趣。

教学重点：理解之间的含义，并会解决求两数之间数字个数的问题。

重点的依据是只有理解了“之间”的含义，才能理解和掌握求两数之间数字个数的应用问题教学难点：知道解决问题方法的多样性，重点强调画图法。

教学准备：教材79页例6教学过程：一、复习旧知，引入课题按顺序填数：（视机讲解“之间”，注意引导学生观察每两个数之间填了几个数。

）（夸讲学生真棒，激发孩子的学习欲望）提问：同学们上体育课时表现的好吗?(好)那你们站排站的棒不棒啊？（棒）其实啊，你们站排的时候就在运用好多的数学知识解决问题，那你们想不想和老师一起来研究一下排队中的学问呢？（想）板书课题：排队中的学问一、在活动中探索排队的问题教学例61、探索情境图，交流数学信息（出示主题情境图）。

（1）认真观察情境图，（师提示：小朋友们排队去动物园看熊猫，小丽排第10，小宇排第15，他们中间的人被树给遮挡住了，请问他们之间有几人）看一看你发现了什么？（2）同桌交流一下：图上的小朋友在干什么？从图上你知道了哪些有用的数学信息？小丽排第几？小宇排第几？要解决的问题是什么？你有办法解决吗？同桌互相说一说。

（引导学生发现数学信息：小朋友们排队去动物园看熊猫，小丽排第10，小宇排第15，求他们之间有几人？学生讨论说出可以通过列算式、数数和画图来解决这个问题。

）2、动手操作，合作交流。

（1）独立操作：以同桌为小组，“□”代表小丽，“∆”代表小宇，其他同学用“○”表示，动手排一排。

（2）小组交流：怎样排的？（3）小组汇报操作过程和结果。

完整版)二年级奥数(排队问题)第五讲排队问题在排队问题中，我们需要知道一个人在队伍中左边或右边有多少人，或者从左边或右边数他排在第几个。

但是，我们要注意不能重复计算一个人，也不能漏计。

例如，XXX从队伍的右边数起是第4个，从左边数起是第8个，这里XXX重复计算了两次，所以在计算总人数时要把重复的人数去掉。

典型例题：例1：操场上有一排小朋友，从左起报数XXX报8，从右起报数XXX也是报8，这一排一共有多少个小朋友？试一试：1、有一队小朋友，从左往右数XXX是第7个，从右往左数是第6个，你知道这一队小朋友一共有多少人吗？2、操场上有一排小朋友，从左起报数小雨报4，从右起报数小雨报8，这一排一共有多少个小朋友？例2：XXX坐在教室的第2小组，已经知道XXX前面有3人，后面也有3人，你知道第2小组共有多少人吗？试一试：1、体育课上正进行跑步比赛，XXX前面有1个小朋友，后面有3个小朋友，你知道一共有几个小朋友为一组赛跑的吗？2、20个小朋友排队，从左边数小花是第11个，从右边数小花是第几个？例3：25个小朋友排队，从左边数起XXX是第12个，从右边数起XXX是第9个，XXX和XXX之间隔着几个小朋友？试一试：1、同学们排队做操，第一排有18个小朋友，从前面数起XXX是第6个，从后面数起兰兰是第7个，XXX和兰兰中间有几个小朋友？2、有30个工人排成一行，其中有两个工人戴帽子，从左往右数，第7个戴红帽子，从右往左数，第8个是戴蓝帽子，戴帽子的两个工人中间有几个人？例4：12个小朋友排队，从左面数小军排在第4个，XXX排在小军右面第5个，那XXX从右往左数排第几个？试一试：1、10个小朋友排一队，从前面数XXX排在第2个，小王排在XXX后面第4个，那么小王排在从后往前数第几个？2、两位老师带40位同学去看电影，他们正好坐在同一排，从左边起XXX是第9个，XXX排在XXX右面20个，那么XXX从右往左数是第几个？例5：某小学（1）班人人都参加课外活动，有20人参加数学兴趣组，有25人参加合唱组，其中5人两项都参加，问二（1）班共有多少人？试一试：1、二（2）班同学人人都订阅报纸，订《数学报》的有38人，订《中国儿童报》的有30人，其中8人这两种都订，问二（2）班共有多少人？老师出了两组题给全班45名同学做，做对第一组的有38人，做对第二组的有42人，那么两组题全做对的有多少名同学呢？全班共45名同学，第一组题做对的有38人，第二组题做对的有42人。

练习1：
1、12 个小朋友排一队跳舞，从左往右数，小红是第8 个；从右往左数，小红是第几个？
2、12 个小朋友排队，从左往右数小东排在第4 个，小丽排在小东右边第3 个，那么从右往左数，小丽排在第几个？
练习2：
1、两位老师带着30 个学生去看电影，他们正好坐在同一排，从左边起第10 个是王老师，从右边起第15 个是陈老师。

王老师和陈老师中间坐着几个同学？
2、16 名同学排成一队,小小排在小亚的前面，从前往后数，小亚排在第9 个，从后往前数，小小排在第10 个，他们之间隔着几个人？
练习3：
1、一排18 个座位，其中有些座位已经有人，小明无论坐在哪一个座位上，旁边都有一个人与他相邻，那么原来至少有多少人已经就座？
2、一排15 个座位，其中有些座位已经有人，小明无论坐在哪一个座位上，旁边都有一个人与他相邻，那么原来至少有多少人已经就座？
练习4：
1、张老师出了两道思考题给兴趣组的同学做，每人至少做对一道题，其中做对第一题的有14 人，做对第2 题的有6 人，两题都做对的只有3 人，求兴趣组共有学生多少人？
练习5：
1、运动会开幕式上，同学们组成鲜花方队，无论是从前面数还是后面数，从左边数还
是右边数，小敏都排在第3 个，这个鲜花方队里一共有多少个小朋友？
2、一个长方形队伍，从前面数洋洋是第2 个，从后面数洋洋是第6 个，洋洋的左边有4 人，右边有3 人，这个队伍一共有多少人？
巩固练习：
1.少先队员排队去参加科技馆，从排头数起小明是第10 个；从排尾数起，小英是第13 个．小明的前面就是小英，这队少先队员共有__________人．
2. 羊村的村长为了防范灰太狼，在正方形的羊村周围安排小羊们站岗放哨。

要求每边有4 只小。

出题人：娅娅老师
本周学习的第12讲为“排队中的学问”，排队问题是小学低年级非常重要的应用题题型之一，在平常的考试中，以及一般的杯赛中都是常考的题型。

排队问题对于孩子的逻辑思维能力、常见的做题习惯（细心、耐心）都要求很高。

排队问题中学习了一种非常重要的数学方法——画图法，当遇到不好理解的题时，直接想不好想的时候，我们就可以画图帮助我们理解。

排队问题我们画的是示意图，画图是孩子下笔的困难之处，所以需要家长多多帮助孩子画图。

【强化巩固】
1、有25个小朋友排队，从左边数起小林在第12个，小刚的右边有17个小朋友，请问从小林数到小刚有几个小朋友？
2、小朋友们排成一个长方形的队伍做操，从前往后数，娅娅在第4个，从后往前数，娅娅在第3个； 从左往右数她在第8个，从右往左数她右边有4个小朋友。

请问一共有多少个小朋友在做操？
第
12
讲排队中的学问
【我敢挑战】☆☆☆☆☆
同学们排成一个正方形方队做游戏，从前数皮皮在第9个，从后数皮皮在第7个；皮
皮的正左边有5个小朋友，正右边有9个小朋友。

请问一共有多少个同学在做游戏？。