1998年2月水 利 学 报SHU ILI XU EBAO第2期半空间饱和土中瑞利波特性*夏唐代 陈龙珠 吴世明(浙江大学土木系)朱少杰 丁狄刚(杭州市市政工程建设处)摘 要 通过对饱和土中波的运动方程及连续方程分析,推导了饱和土中瑞利波特征方程,讨论了半空间饱和土中瑞利波波速度的弥散特性,以及位移和孔压分布情况.关键词 饱和土,瑞利波,特征方程,弥散特性.面波法(即SASW 法)是利用面波(如Rayleigh 面波和Love 面波)的弥散特性通过分析现场测试结果来反演土层参数(如土层剪力波速度等)的一种方法,具有快速测试及费用低等优点,越来越被工程界重视.以往对面波法的研究一直停留在弹性单一介质情况[1],而对二相介质情况研究较少(如饱和土),文献[2]讨论了流体-固体介质中瑞利波特性,但每层结构仍为单一介质.文献[3、4]研究了饱和土中瑞利波特性,但在建立特征方程时压缩波势函数只考虑一种压缩波,从而势函数不是问题的通解,导致特征方程有误.本文将进一步讨论半空间饱和土中瑞利(Ralyeig h)波的弥散特性,根据饱和土中波动方程及连续方程来建立瑞利波特征方程,并对半空间饱和土中瑞利波特性进行讨论.1 饱和土的弹性波动方程文献[5、6]已对建立饱和土的弹性波动理论作了详细的研讨.本文将仅列出其不考虑固-液惯性藕合效应的波动方程组.波动方程所依据的主要假定有:(1)土骨架是理想的弹性多孔连续介质,其中土颗粒是不可压缩的;(2)孔隙水是可压缩的,它在土中的流动遵从Darcy 定律或自由流动;(3)土体具有统一各向同性且均匀,其中孔隙相互连通.据此,饱和土体的连续性条件和平衡条件可分别表示为[5]n div w #y +(1-n)div u #y -n E w¤P w =0,(1a )G ý2 u +(K +G )grad(div u )+grad P w =Q 1u &y+Q 2w &y,(1b )grad P w +b (u #y-w #y)=Q 2w &y,(1c )式中n 为孔隙度; w 和 u 分别表示孔隙水和土骨架的位移矢量;P w 和E w 分别为孔隙水压力和水的体变模量;G 和K 是土骨架的两个Lamb 常数;Q 1=(1-n )Q s ,Q 2=n Q X ,而Q s 和Q w 表示土颗粒和水的质量密度(Q =Q 1+Q 2,即饱和土的质量密度);b =n Q w gk ,g 是重力加速度, k 是土的渗透系数.引入势函数U 1、U 2和W 1、W 2,则位移u 和 w 可表示为)47)*本文于1996年元月16日收到,系国家自然科学基金资助项目.u x=5U15x+5W15z,u z=5U15z-5W15x,(2a)w x=5U25x+5W25z,w z=5U25z-5W25x,(2b)应力和水压力也可用势函数表示为R z=2G(52U15z-52W15z5x)+K(52U15x+52W15z),(2c)R x=2G(52U15x2+52W15x5z)+K(52U15x2+52W15z2),(2d)S xz=G(252U15x5z+52W15z2-52W15x2),(2e)P w=Q2&U+b(¤U2-¤U1),(2f)将式(2)代入式(1),并简化后可得相当的方程组[5].(ý2-1V2P525t2)U1=(-P w+Q2&U2)#1K+2G,(3a)ý2¤U1=n1-n (-ý2¤U2+1Ew¤P w),(3b)P w+b(¤U1-¤U2)-Q2&U2=0,(3c)(ý2-1V2S0525t2)W1=Q2G&W2,(3d)b(¤W1-¤W2)-Q2&W2=0,(3e)其中ý2为Laplace算符,V P0=K+2GQ1,V S0=GQ1.2饱和土中Rayleigh波弥散方程本文暂仅考虑匀质半空间饱和土体.为了求解方程(3)的平面波动解,令.U1=F1(z)exp[-i k(x-ct)],U2=F2(z)exp[-i k(x-ct)],(4a)W1=G1(z)exp[-i k(x-ct)],W2=G2(z)exp[-i k(x-ct)].(4b)式中k为波数,c为相速度(X=kc为角频率).将式(4a)和(3c)代入(3a)和(3b),经化简后得(d2d z2+k2s21)(d2d z2+k2s22)F1=0,(5a)F2=-K+2Gi b X[F d1-k2F1+X2V2PF1]+F1,(5b)式中s21=c2V21-1,s22=c2V22-1,(6a)1 V21#1V22=1E w(K+2G)#(Q1Q2-i Q Q X#b QwX),(6b)1 V21+1V22=1n(K+2G)(-i bX+Q1n-i b-Q2XX E w),(6c)V1和V2表示饱和土中的两压缩波速.由式(5a)可得F1的通解,并进一步得F2通解,最后有(无上行波)U1=[A1#exp(-ka1z)+A2#ex p(-ka2z)]#ex p[-i k(x-ct)],(7a) )48)U2=[A1#B1#exp(-ka1z)+A2#B2#ex p(-i ka2z)]#exp[-k(x-x t)],(7b)式中A1和A2为任意系数;B j=(K+2G)Xi b(1V2j-1V2P)+1,(j=1,2);a21=1-c2V21,a22=1-c2V22.式(7)表明膨胀势U1和U2由两种压缩波确定,而一般弹性土则由一种压缩波确定.同理将(4b)代入式(3d)和(3e)可得旋转势W1和W2(无上行波)W1=A3#ex p(-kb1z)#exp[-i k(x-ct)],(8a)W2=i bi b-Q2X#A3#exp(-kb1z)#ex p[-i k(x-ct)],(8b)式中A3为任意系数,b21=1-c2V2s,而V2S由下式确定1V2S=1V2S+i b Q2G(i b-Q2X).(9)饱和土中瑞利波边界条件有(1)表面透水情况:z=0处,S zx=0,R z+P w=0,P w=0.(10a) (2)表面不透水情况:z=0处,S zx=0,R z+P w=0,5P w5z=0.(10b)将势函数代入应力表达式(2c)~(2f),并进一步代入式(10),仿弹性土推导[7]可得饱和土中瑞利波弥散特征方程.表面透水时为:(K+2G)a21-K(K+2G)a22-K-2i b1G2i a12i a21+b21-B1Q2Xi b+(B1-1)-B2Q2Xi b+(B2-1)0=0.(11a)表面不透水时:(K+2G)a21-K(K+2G)a22-K-2i b1G+c2[-B1Q2+i bX(B1-1)]+c2[-B2Q2+i bX(B2-1)]2i a12i a21+b21a1[-B1Q2Xi b+(B1-1)]a2[-B2Q2Xi b+(B2-1)]0=0.(11b)由剪切波速V s(式(9))、压缩波速V1和V2(式(6b)和(6c))及系数B1和B2的表达式知,它们受频率和渗透系数影响可统一由参数Q w X/b来反映.若引用Ishihara理论中(见文献[8])的特征频率f c=ng/2Pk,则该参数可写成频率比形式f/f c(无量纲).进一步由式(11)瑞利波特征方程知,相速度c受频率和渗透系数影响可由参数f/f c来反映.由式(11)知,方程(11)中含频率X,这与弹性半空间地基不同,即半空间饱和土中瑞利波相速度c具有频散性.由式(11)可求出f/f c所对映的波速比值c/V s,得相速度c,进一步可求出式(11)的矢量(即A1、A2和A3之比值),代入式(2)可得饱和土中位移及应力.下面将进一步讨论两种极限情况下瑞利波特性.11孔隙流体可以自由流动的情况(相当于 k y]):)49)由 k y ],有b y 0,仿上述一般情况势函数的推导,可得 k y ]情况下瑞利波势函数如下U 1=A 1#ex p (-ka 1z )#ex p [-i k (x -ct)],(12a )U 2=[(1-n )V 22n (V 21-V 22)#A 1#ex p (-ka 1z )+A 2#ex p (-ka 2z )]#ex p[-i k (x -ct)],(12b )W 1=A 3#ex p (-kb 1z )#exp [-i k (x -ct)],(12c )W 2=0,(12d )式中V 1=E w Q 2,V 2=K +2GQ 1,V S 0=G /Q 1,将上式代入式(2c)~(2f ),及边界条件(10a )(表面透水),得瑞利波特征方程(1+b 21)[(K +2G )a 21-K ]=4a 1b 1G.(13)式(13)中无频率X ,即瑞利波速度c 无频散,式(13)的形式与弹性土相同,瑞利波由土骨架压缩波(V P 0)及剪切波(V S 0)干涉产生,与流体波无关.21孔隙流体无渗流时(相当于 k y 0):k y 0(如饱和粘土)时,b y ],仿上述推导,可得封闭系统情况下有一个P 波和一个S 波,V 1=E X /n +(K +2G )Q,V S =G Q,(14)瑞利波由这两种波干涉产生的,其特征方程的形式与式(13)相同,波速c 具有非频散性.3 算例分析这里将给出两个算例来讨论饱和土中瑞利波弥散特性,表1给出了饱和土的有关参数.表1 饱和土有关参数参数土骨架剪切模量G /M Pa 孔隙率n 土骨架质量密度Q S /(kg/m 3)水的质量密度Q X /(kg/m 3)水的体变模量E X /M Pa 算例1851001627001000210010算例219140137527001000210010311 算例1 图1给出了不同泊松比L 时剪切波速V S 和瑞利波速V R (即相速度c 见式(4))与频率比f /f c 的关系曲线.由图可见,当f /f c <011及f /f c >10时,V S 和V R 随f /f c 变化很小;且f /f c y 0时,V S 和V R 趋近封闭系统情况下剪切波速和瑞利波速(见式(14));f /f c y ]时V S 和V R 趋近土骨架剪切波速V S 0和瑞利波速(见式(13)),这相当于弹性地基情况;当011<f /f c <10时,V S 和V R 随f /f c 变化较大.图1 V S 、V R 与f /f c 关系曲线图2为不同泊松比L 时压缩波速V 1和V 2与f /f c 关系曲线.(a)、(b)分别给出了文献[5、6]两类模型的结果.计算表明两模型中V R 相差甚小(见表2),这是因为V R 主要反映剪切波速V S 而)50)受压缩波速影响很小,V S 又与上两模型无关.由图可知,第一压缩波在区域011<f /f c <10中随f /f c 变化大;而在区域f /f c <011和f /f c >10中随f /f c 变化小,当f /f c y 0时,V 1趋近于封闭系统情况下P 波速(见式(14)),当f /f c y ]时,V 1趋近于流体压缩波速(见式(12)).当f /f c <10时,第二压缩波速V 2实部逐渐减小至零,而虚部(图中没给出)则相应增大(衰减快),表明这种波此时很难激发;f /f c >10时,第二压缩波随f /f c 变化小,且f /f c y ]时,V 2趋近于土骨架压缩波速V P 0.图2 V 1和V 1与f /f c 关系图3a 为表面透水饱和土不同泊松比L 时V R /V S (取实部)与f /f c 的关系曲线,从图中知,L 和f /f c 对比值V R /V S 有影响.当f /f c <011时,V R /V S 受L 和f /f c 影响较小(可取为V R /V S U 01945),可以这样分析这种现象,f /f c y 0时,压缩波速V 1主要受E w 控制(E w 远比土骨架压缩模量大),而受L 影响很小(剪切波速V S 与L 无关),因此此时V R /V S 受L 影响很小.当011<f /f c <10时,V R /V S 受L 和f /f c 影响较大;当f /f c >10时,V R /V S 受f /f c 影响较小,而受L 影响较大,因为f /f c y ]时,产生瑞利波的压缩波速趋近于土骨架压缩波速,而土骨架压缩波速受土骨架泊松比L 影响.表2同时给出了文献[5、6]两模型结果,知两模型结果相差甚小,可以认为两者相同,满足工程精度.此外,由表2知,V R /V S 的虚部很小.(a )算例1(b )算例2图3 V R /V S 与L 、f /f c 关系曲线表2 表面透水时不同模型V R /V S 比值(L =0123)f /f c 文献[5]V R /V S文献[6]V R /V S f /f c 文献[5]V R /V S 文献[6]V R /V S010005(019527,010011)(019518,010011)019(019183,010057)(019183,010056)01005(019502,010035)(019494,010035)115(019172,010034)(019172,010034)0101(019487,010048)(019479,010047)219(019166,010016)(019166,010016)0105(019419,010095)(019419,010092)417(019163,010009)(019163,010009)011(019366,010117)(019363,010114)1012(019161,010004)(019161,010004)015(019210,010090)(019211,010089)图4为表面透水时与表面不透水时饱和土中V R /V S 与L 和f /f c 的关系.由图中可知,两种情况下V R /V S 都受L 和f /f c 影响,且比值也各不相同.但表面不透水时,当f /f c <011,V R /V S 随L 及f /f c 影响很小(可取为0195);当f /f c >011,V R /V S 随f /f c 变化大,且f /f c y ]时,V R /V S 比透水情况小.当然f /f c 增大,相当于渗透系数 k 增大,此时表面不透水一般与实际不相符合.)51)图4表面透水与不透水时V/V S与L及f/f c关系R图5为表面透水时,不同f/f c情况下土骨架及孔隙水的位移幅值分布,位移幅值采用表面质点竖直向土骨架及孔隙水位移的无量纲化,深度采用波长L的无量纲比.由图可知,f/f c小时,土骨架位移与水相位移相差很小,这与f/f c减小趋近于封闭系统相符(此时土骨架位移与水相相同),此时位移的虚部很小,与实部相差数个数量级;f/f c增大,土骨架位移与水相位移差异增大.土骨架及水相位移分布形态与弹性土相似[1],水平向位移在一定深度外变为负数,位移随深度衰减快,有效传播深度约115倍瑞利波波长.图5土骨架及水相位移分布图6为不同f/f c时,表面透水情况下孔隙水压力P w分布,P w采用最大孔隙水压力无量纲化,深度采用瑞利波长L无量纲化.由图可知,P w随深度衰减快.图6孔隙水压力分布312算例2本算例给出了不同孔隙率n及剪切模量G时V R/V S与L和f/f c关系,图3(b)为它们的关系曲线.由图3(b)知,比值V R/V S受L和f/f c影响,其规律与算例1相同.对于其它结论都与算例1相同.4结论本文通过对半空间饱和土瑞利波弥散特性研究,得出如下结论:(1)半空间饱和土中剪切波速)52)V S、压缩波速V1和V2及瑞利波速V R都具有弥散性.当f/f c<011和f/f c>10时,V S、V1、V2和V R受f/f c影响很小;f/f c y0时,V S、V1和V R趋于饱和封闭系统情况的剪切波速、压缩波速和瑞利波速,而V2趋于零;f/f c y]时,V S、V2和V R趋于土骨架的剪切波速、压缩波速和瑞利波速,而V1趋于水相压缩波速;011<f/f c<10时,V S、V1和V R受f/f c影响较大.(2)饱和土中表面透水与不透水时,比值V R/V S都受土骨架泊松比L和f/f c影响.当f/f c<011时,V R/V S 受L和f/f c影响较小;当011<f/f c<10时,V R/V S受L和f/f c影响较大;当f/f c>10时, V R/V S受f/f c影响较小,而受L影响较大.(3)饱和土中瑞利波沿深度衰减快,有效传播深度为115倍波长左右,土骨架位移和水相位移在f/f c小时相接近,f/f c增大差异相应增大.瑞利波引起的孔隙水压力P w沿深度衰减较快.参考文献1夏唐代.地基中表面波特性及其应用:[学位论文].杭州:浙江大学,1992.2夏唐代,吴世明.流体-固体介质中瑞利波特性.水利学报,1994,(1).3Jones J P.Rayleig h w ave in a porous elastic saturated so ild.J.A coust.Soc Am.,1961,l33:(959-962).4Chiang C M.Mostafa A F Wave-induced responses in a fluid-filled poro-elastic soild wit h a free surface boundary layer t heory.Geophys.J.R.Astr.Soc.,1981,l66:(597-631).5陈龙珠.饱和土中弹性波的传播速度及其应用:[学位论文].杭州:浙江大学,1987.6门福录.波在饱含流体的孔隙介质中的传播问题.地球物理学报,1981,24(1).7艾龙根A C,舒胡华E S.弹性动力学(第二卷).戈革译,北京:石油工业出版社,1984.8Ishihare K.A ppr oximate forms of w av e equations for w ater-saturated por ous materials and related dynamic moduli.Soils and F oundations,1970,14(10):10-38.Characteristics of Ralyeigh waves in a saturatedhalf-space soilXia T angdai Chen Longzhu Wu Shiming(Zh ej iang University)Zhu Shaojie Ding Digang(H a ngz hou City Construction Development)Abstr act T he secular equations of Rayleigh w aves in a poroelastic hal-f space soil are developed by analyzing dynamic equat ion and cont inuous equat ion of poroelastic soil.Ravleigh surface wave dispersion characteristics and its displacement as well as liquid pressure distribut ions in saturated hal-f space soil are discussed.Key words sat urated soil,Rayleigh wave,sec ular equat ion.))53。
