本讲整理了八年级上学期的四个章节内容，重点是二次根式的混合运算、一元二次方程的求解及应用、正反比例函数的综合及几何证明，难点是二次根式的混合运算及几何证明中需要添加辅助线和直角三角形的性质及推论的综合运用，希望通过本节的练习，可以帮助大家把整本书的内容串联起来，融会贯通，更快更好的解决问题．
二次根式的
性质 解法
二次三项式的因式分解
配方法 平行向量
因式分解法
实际问题
应用
二次根式的加减
二次根式的乘除 混合运算
最简二次根式
有理化因式和分母有理化
同类二次根式
二次根式
二次根式的运
算
一元二次方程
开平方法
公式法 平行向量
根的判别式
根的情况
期末复习
内容分析
知识结构
【练习1】 下列二次根式中，最简二次根式是（
）
A ．1
5 B ．5
C ．0.5
D ．50
【难度】★ 【答案】 【解析】
函数的定义域和求
函数值
定义 依据
函数
勾股定理的逆定理
直角三角形的性质
演绎推理
几何证明
勾股定理
直角三角形全等的判定
线段的垂直平分线定理及逆定理 角的平分线定理及逆定理
正比例函数概念、
图像和性质
反比例函数概念、图像和性质 正反比例函数综合运用
命题
实际问题
变
量与
常
量 点的轨迹
函数的常用表示法：
解析法 列表法 图像法
公理 定理
逆命题 逆定理
选择题
【练习2】若一元二次方程2210
ax x
-+=有两个实数根，则a的取值范围正确的是（）
A．1
a≥B．1
a≤C．1
a≤且0
a≠D．01
a
<≤
【难度】★
【答案】
【解析】
【练习3】如果正比例函数图像与反比例函数图像的一个交点的坐标为(2，3)，那么另一个交点的坐标为（）．
A．（-3，-2）B．（3，2）C．（2，-3）D．（-2，-3）
【难度】★
【答案】
【解析】
【练习4】下列命题中，哪个是真命题（）
A．同位角相等
B．两边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等
C．等腰三角形的对称轴是底边上的高
D．若PA PB
=，则点P在线段AB的垂直平分线上
【难度】★
【答案】
【解析】
【练习5】以下说法中，错误的是（）
A．在△ABC中，∠C=∠A-∠B，则△ABC为直角三角形
B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=5:2:3，则△ABC为直角三角形
C．在△ABC中，若
34
55
a c
b c
==
，，则△ABC为直角三角形
D．在△ABC中，若::2:2:4
a b c=，则△ABC为直角三角形【难度】★
【答案】
【解析】
【练习6】关于x轴上有一点A到点B（-3，4）的距离是5，则点A的坐标是（）A．（-6，0）B．（0，0）
C．（-6，0）或（0，0）D．以上都不对
【难度】★
【答案】
【解析】
【练习7】）
A B C D
【难度】★★
【答案】
【解析】
【练习8】某同学做了以下四题，其中做错的有（）
2
=5a
4a
=；③=== A．1个B．2个C．3个D．4个
【难度】★★
【答案】
【解析】
【练习9】如果关于x的方程()()()()()()0
++++++++=（其中a、b、c
x a x b x b x c x c x a
均为正数）有两个相等的实数根，则以a、b、c为长的线段促成的是（）．A．等腰非等边三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．不能确定形状
【难度】★★
【答案】
【解析】
【练习10】 已知一直角三角形ABC 的三边为a 、b 、c ，∠B =90°，那么关于x 的方程
22(1)2(1)0a x cx b x --++=的根的情况是（
）．
A ．有两个相等的实数根
B ． 有两个不相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法确定
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【练习11】 多项式2481x x +-进行因式分解正确的是（ ）
A ．(x x
B ．(444x x +++-
C ．(222x x +++-
D ．4(x x 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【练习12】 已知函数()0y kx k =≠中y 随x 的增大而增大，那么它和函数()0k
y k x
=≠在
同一直角坐标系平面内的大致图像可能是（
）．
【难度】★★ 【答案】 【解析】
E
D
B
C
A
【练习13】 如图，A 、C 是函数1
y x
的图象上任意两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为B ，过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ，记AOB Rt △的面积为1S ，COD Rt △的面积为2S ，则1S 和2S 的大小关系是（ ）． A ．1S >2S B ．1S <2S
C ．1S =2S
D ．由A 、C 两点的位置确定
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【练习14】 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，现将直角边
AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）
A ．2cm
B ．3cm
C ．4cm
D ．5cm
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【练习15】 在△ABC 中，AB =15，AC =13，BC 边上的高AD =12，则△ABC 的周长 是（ ） A ．42
B ．32
C ．42或32
D ．37或33
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【练习16】 （1）若211()x x x y ---=+，则x -y 的值为_______；
（2）使(2)(1)21x x x x -+=-?+成立的条件是______； （3）二次根式m n +的有理化因式是__________．
【难度】★ 【答案】 【解析】
【练习17】 （1）方程240x -=的根是__________；
（2）已知关于x 的一元二次方程（m -2）x 2+3x +m 2-2=0的一个根为0，则m 的
值是__________． 【难度】★ 【答案】 【解析】
【练习18】 （1）已知正比例函数y =(2m -1)x 的图像上两点1122()()A x y B x y ，，，，当
12x x <时，12y y >那么m 的取值范围是______；
（2）反比例函数的图像经过直线y =-3x 上的点(-m ，m +2)，则m =____________， 反比例函数的解析式为____________． 【难度】★ 【答案】 【解析】
填空题
【练习19】 （1）定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是
____________________________________；
（2）命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是_____________________________． 【难度】★ 【答案】 【解析】
【练习20】 （1）已知直角坐标平面内两点 A (3，-1)和B (-1，2)，那么A 、B 两点间的距离
等于____________；
（2）已知直角坐标平面内的Rt ABC ?三个顶点的坐标分别为()43A ，、()12B ，、()34C -，，
则该直角三角形的直角顶点是________．
【难度】★ 【答案】 【解析】
【练习21】 （1）经过已知点A 、B 的圆的圆心的轨迹是______________________；
（2）到点A 的距离等于2厘米的点的轨迹_________________________． 【难度】★ 【答案】 【解析】
【练习22】 （1）某地2016年4月份的房价平均每平方米为96000元，该地2014年同期的
房价平均每平方米为76000元，假设这两年该地房价的平均增长率均为x ，则关于x 的方程为_______________；
（2）某厂计划今年的产值为a 比前年翻一番，且这两年的增长率相同，设它的增长率是x ，则连续三年的总产值是_____________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【练习23】 （1）在实数范围内分解因式：2361x x -+=________________；
（2）若一元二次方程2210mx x +-=在实数范围内有实数根，则m 的取值范围 是___________________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【练习24】 计算：113185044252??+-÷ ? ???
=____________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【练习25】 如图，Rt ABC ?中，9040ACB A D ∠=∠=o o ，，为AB 中点，CE AB ⊥，
则DCE ∠=_____ 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【练习26】 （1）如果正比例函数y = kx （k ≠0）的自变量取值增加7，函数值相应减少4，
那么当x =4时，y =_________；
（2）若x 与-3y 成反比例函数关系，y 与-4z 成反比例函数关系，则x 与z 成__________比例函数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
A B
C
D E
【练习27】 （1）如图，已知在△ABC 中，CD 平分∠ACD ，∠A =2∠B ，BC =a ，AD =b ，
则AC =________（用含a 、b 的代数式表示）；
（2）在△ABC ，AB =BC ，BD =DC ，BC =CE ，则图中一定相等的角（小于平角)
有______对． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【练习28】 （1）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90度，BC =24cm ，∠BAC 的平分线AD 交BC
于点D ，BD ：DC =5：3，则点D 到AB 的距离为_______cm ；
（2）等腰直角三角形ABC 的斜边BC =4，△DBC 为等边三角形，那么A 、D 两点的距离
是____________；
（3）在矩形ABCD 中，AB :AD =1:2，将点A 沿折痕DE 对折，使点A 落在BC 上的F 点，
则∠ADE =______度．
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【练习29】 一元二次方程()21230k x kx k -+++=有两个不相等的实数根，求k 的最大整
数值____________． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】
A
B
C
D
A B
C
D （1）
E
A
B
C D
（2）
【练习30】 方程2
20162015201710x x -?-=（）的较大根m ，方程22015201610x x -+=较
小根为n ，则m -n 的值_______________． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】
【练习31】 △AOC 与△DCE 均为等边三角形，点A 、D 均在双曲线3
(0)y x x
=
>上，点O 为坐标原点，点C 、E 在x 轴上，A 、D 的坐标分别是______________． 【难度】★★★ 【答案 【解析】
【练习32】 已知三角形ABC 为等腰直角三角形，且A （2，3），B 、C 分别在坐标轴上，
则点B 的坐标分别是______________． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】
【练习33】 （1）已知212
a =
-，求
22
4421
a a a a -+-+的值；
（2）已知：52321x x y -+-=+，求x y +的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
解答题
A
O
C
D
E
y
x
【练习34】 解方程：
（120x --=；
（2）()()2
22311x x x ---=+．
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【练习35】 证明：无论m n ，取任何实数时，方程()20mx m n x n +++=都有实数根． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【练习36】 某商店将进价为8元的商品每件按10元出售，每天可买出200件，现在采取
提高商品售价的办法来增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【练习37】 已知正比例函数()11y k x =+的图像经过()()242A B m -，
、，两点． （1）求m 的值；
（2）如果点B 在反比例函数()2
20k y k x
=
≠的图像上，求反比例函数的解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【练习38】 如图，在△ABC 中，∠C =90度，AC =BC ，AD 平分∠CAB ，AB =20cm ．
求AC +CD 的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【练习39】 如图：在四边形ABCD 中，∠C =90°，=3=412=13BC CD AD AB ，，，，求
四边形ABCD 的面积． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【练习40】 小智和小方沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路
程是4千米，小智骑自行车，小方步行，当小智从原路回到学校时，小方刚好到达图书馆，图中折现O ——A ——B ——C 和线段OD 分别表示两人离学校的路程y （千米）与所经过的时间x （分钟）之间的函数关系，请根据图像回答下列问题：
（1）小智在图书馆查阅资料的时间为_______分钟，小智返回学校的速度为_________千米/分钟；
（2）请你求出小方离开学校的路程y （千米）与所经过的时间x （分钟）之间的函数关系． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
A
B
C
D
A B
C D
x （分钟）
y （千米） 15
30
45
A
B
小智
O
小方
4
C
D
【练习41】 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，对角线AC 与BD 相交于点
O ，M 、N 分别是边AC 、BD 的中点． （1）求证：MN BD ⊥；
（2）当∠BCA =15°，AC =8cm ，OB =OM 时，求MN 的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【练习42】 已知：如图()a ，在等腰三角形ABC 中，∠C =90°，AD 是∠CAB 的平分线．
（1）求证：AB =AC +CD ；
（2）把原题中的“∠C =90°”改为“∠C =100°”，其余条件不变，如图()b ，请说出AB 、AD 、CD 之间的数量关系，并证明．
【难度】★★ 【答案】 【解析】
A
B
C
D
N
M O A B
C
D
a
A
B
C
D
b
【练习43】已知：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，M为AC的中点，联结DE，DM设Cα
∠=.
（1）当△ABC时锐角三角形时（如图），试用α表示∠EDM；
（2）当△ABC时钝角三角形时，请画出相应的图形，并用α表示∠EDM（可直接写出）．【难度】★★
【答案】
【解析】
【练习44】如图，在气象站台A的正西方向240千米的B处有一台风中心，该台风中心以每小时20千米的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心130千米内的地方都要受其影响．
（1）台风中心在移动的过程中，与气象台A的最短距离是多少?
（2）台风中心在移动的过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长?
【难度】★★
【答案】
【解析】
【练习45】如图，在平面直角坐标系中，已知第一象限内的点A的坐标为（1，m）OA=2，
正比例函数
3x
y
m
=和反比例函数
1
k
y
x
-
=的图像都经过点A，过点A作OA的垂线交
x轴于点B．
（1）求m和k的值；（2）求点B的坐标．
【难度】★★【答案】【解析】
A
B
O x
y
A
B
C
D
东
北
60.0°
A
B C
D
E
M
【练习46】 如图，细心观察，认真分析各式，如何解答问题：
211(1)122S +== 222(2)132S +== 233(3)142
S +==
．．．．．． ．．．．．．
（1） 用含有n （n 是正整数）的等式表述上述的变化规律； （2） 推算出10OA 的长；
（3） 求出222212310...S S S S ++++的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【练习47】 如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB 是等边三角形，点A 的坐标是
（0，3），点B 在第一象限，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，连接AP ，并把△AOP 绕着点A 按逆时针方向旋转，使边AO 与AB 重合，得到△ABD ． （1） 当点P 运动到点
30（，）时，求此时DP 的长及点D 的坐标； （2） 若△OPD 的面积等于3
4
，请求出符合条件的点P ．
【难度】★★★ 【答案】 【解析】
A 1
A 2
A 3
A 4
A 5
A 6
S 5
O
S 1
S 2
S 3
S 4
A
B
P D
O x
y
【练习48】 已知：在△ABC 中，AB =6，AC =5，∠A 为锐角，△ABC 的面积为9，点P 为
边AB 上动点，过点B 作BD ∥AC ,交CP 的延长线于点D ，∠ACP 的的平分线交AB 于点E ．
（1）如图1，当CD ⊥AB 时，求PE 的长；
（2）如图2，当点E 为AB 中点时，请猜想并证明：线段AC 、CD 、DB 的数量关系．
【难度】★★★ 【答案】 【解析】
【练习49】 如图，已知点()34A ，
，AB ⊥X 轴，垂足为点B ，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，得到''
AOB △．
（1）在图中画出''AOB △，并直接写出''A B 、的坐标；
（2）求'OA 的长；
（3）在y 轴上是否存在点C ，使得△'
AOC 为等腰三角形，如果存在，请求出所有符合
条件的点C 的坐标；如果不存在，请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】
x
y
A
B C A B
C
D
E
P 图1
P A
B
C
D
E
图2
【练习50】 已知：如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AC =3，点D 、E 、F 分别在边
BC 、AC 、AB 上（点E 、F 与△ABC 顶点不重合），AD 平分∠CAB ，EF ⊥AD ，垂足为H ． （1）求证：AE =AF ；
（2）设CE =x ，△BDF 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）当△DEF 是直角三角形时，求出BF 的长．
【难度】★★★ 【答案】 【解析】
A
B
C D E F
D A
B
C
【练习51】 已知，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC ⊥AB ，AB =AD ，连接BD 如图1所示，
点P 沿梯形的边，从A -B -C -D -A 移动，设点P 移动的距离是x ，BP =y ． （1）求证：∠A =2∠CBD ；
（2）当点P 从A 移动到点C 时，y 与x 的函数关系如图2中的折线MNQ 所示，求CD 的长；
（3）在（2）的情况下，点P 从点A -B -C -D -A 移动的过程中，△BDP 是否可能为等腰 三角形?若能，请求出所有能使△BDP 为等腰三角形的x 的值；若不能，请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】
O
8
5 M N 图2
x
y 图1
A
B C
D
八年级数学（上）期末考试卷 （时间100min ；满分100分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在平面直角坐标系中，点(2018,2017)A -在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 一次函数2y x m =+的图像上有两点123 (,)(2,)2 A y B y 、，则1y 与2y 的大小关系是（ ） A ．12y y > B. 12y y < C. 12y y = D. 无法确定 3. 第24届冬季奥运会，将于2022年由北京市和张家口市联合举办，下列四个图案是历届会徽图案的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若三角形三个内角度数之比为1:3:5，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 已知等腰ABC ?的两边长分别为2和5，则等腰ABC ?的周长为（ ） Ａ. 9 B. 12 C. 9或12 D. 无法确定 6. 如图，15DAE ADE ∠=∠=,//DE AB ,DF AB ⊥,若6AE =，则DF 等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 若1x = ，则31x = C. 两直线平行，同位角相等 D. 若0x = ，则20x = 第6题图 第8题图 第9题图 8. 如图，ABC ?中，DG 垂直平分AB 交AB 于点D ，交BC 于点M ，EF 垂直平分AC 交AC 于点E ，交BC 于点N ，且点M 在点N 的左侧，连接AM AN 、，若12BC cm =，则AMN ?的周长是（ ） A. 10cm B. 12cm C. 14cm D. 16cm
沪教版八年级数学上册知识点 第十一章平面直角坐标系 一、平面内点的坐标特征 1、各象限内点P（a ，b）的坐标特征： 第一象限：a>0，b>0；第二象限：a<0，b>0；第三象限：a<0，b<0；第四象限：a>0，b<0 2、坐标轴上点P（a ，b）的坐标特征： x轴上：a为任意实数，b=0；y轴上：b为任意实数，a=0；坐标原点：a=0，b=0 （说明：若P（a ，b）在坐标轴上，则ab=0；反之，若ab=0，则P（a ，b）在坐标轴上。） 3、两坐标轴夹角平分线上点P（a ，b）的坐标特征： 一、三象限：a=b；二、四象限：a=－b 二、对称点的坐标特征 点P（a ，b）关于x轴的对称点是（a ，－b）； 关于y轴的对称点是（－a ，b）； 关于原点的对称点是（－a ，－b） 三、点到坐标轴的距离 点P（x ，y）到x轴距离为∣y∣，到y轴的距离为∣x∣ 四、平行于坐标轴的直线 （1）横坐标相同的两点所在直线垂直于x轴，平行于y轴； （2）纵坐标相同的两点所在直线垂直于y轴，平行于x轴。 五、点的平移坐标变化规律 坐标平面内，点P（x ，y）向右（或左）平移a个单位后的对应点为（x＋a，y）或（x －a，y）；点P（x ，y）向上（或下）平移b个单位后的对应点为（x，y＋b）或（x，y－b）。（说明：左右平移，横变纵不变，向右平移，横坐标增加，向左平移，横坐标减小；上下平移，纵变横不变，向上平移，纵坐标增加，向下平移，纵坐标减小。简记为“右加左减，上加下减”） 第十二章一次函数 一、确定函数自变量的取值范围 1、自变量以整式形式出现，自变量的取值范围是全体实数； 2、自变量以分式形式出现，自变量的取值范围是使分母不为0的数； 3、自变量以偶次方根形式出现，自变量的取值范围是使被开方数大于或等于0（即被开方数≥0）的数； 自变量以奇次方根形式出现，自变量的取值范围是全体实数。 4、自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，自变量的取值范围是使底数不为0的数。（说明：（1）当一个函数解析式含有几种代数式时，自变量的取值范围是各个代数式中自变量取值范围的公共部分； （2）当函数解析式表示具有实际意义的函数时，自变量取值范围除应使函数解析式有意义外，还必须符合实际意义。） 二、一次函数 1、一般形式：y=k x＋b（k、b为常数，k≠0），当b=0时，y=k x（k≠0），此时y是x的正比例函数。
第十六章 二次根式 第一节 二次根式的概念和性质 16.1 二次根式 1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。 2． 二次根式的性质 ①???≤-≥==) 0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥?=b a b a ab ； ④ 16.2 最简二次根式与同类二次根式 1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式 16.3 二次根式的运算 1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． 2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根， 即 ).0,0(≥≥=?b a ab b a 3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． 4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 二次根式的运算法则： c c c ≥0) ).0,0(≥≥=?b a ab b a a a b b =a ≥0,b>0） ()n n a a =≥0) 第十七章 一元二次方程 17.1 一元二次方程的概念
1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 2．一般形式y=ax 2+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项 17.2 一元二次方程的解法 1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法 2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法 3．求根公式x =：12x x ==； △=2 4b ac -≥0 17.3 一元二次方程的判别式 1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠： △＞0时，方程有两个不相等的实数根 △＝0时，方程有两个相等的实数根 △＜0时，方程没有实数根 2．反过来说也是成立的 17.4 一元二次方程的应用 1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++ =12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根 2．把二次三项式分解因式时； 如果2 4b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式 如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式 3． 实际问题：设，列，解，答 第十八章 正比例函数和反比例函数 18.1．函数的概念 1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量 2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量 3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x = 4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内去顶的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值 18.2 正比例函数 1． 如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例 2．正比例函数:解析式形如y=kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，气质常数k 叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数
八年级数学第一学期期末测试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分） 1、已知a 是整数，点A(2a ＋1，2＋a)在第二象限，则a 的值是…………………………………（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 2、如果点A （2m －n ，5＋m ）和点B （2n －1，－m ＋n ）关于y 轴对称，则m 、n 的值为…………（ ） A ．m=－8，n=－5 B ．m=3，n=－5 C ．m=－1，n=3 D ．m=－3，n=1 3、下列函数中，自变量x 的取值范围选取错误的是………………………………………………（ ） A ．y=2x2中，x 取全体实数 B ．中，x 取x ≠－1的所有实数 C ．中，x 取x ≥2的所有实数 D ．中，x 取x ≥－3的所有实数 4、幸福村办工厂，今年前5个月生产某种产品的总量C （件）关于时间t （月）的函数图象如图1所示，则该厂对这种产品来说………………………………………………………………………（ ） A ．1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月每月生产总量逐月减少 B ．1月至3月每月生产总量逐月增加，4，5两月每月生产量与3月持平 C ．1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月停止生产 D ．1月至3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产 5、下图中表示一次函数y=ax ＋b 与正比例函数y=abx （a ，b 是常数，且ab ≠0）图象是……（ ） A ． B ． C ． D ． 6、设三角形三边之长分别为3，8，1－2a ，则a 的取值范围为……………………………………（ ） A ．－6
上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理 第十六章 二次根式 第一节 二次根式的概念和性质 二次根式 1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。 2． 二次根式的性质 ①???≤-≥==) 0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥?=b a b a ab ； ④)0,0(>≥=b a b a b a 最简二次根式与同类二次根式 1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式 二次根式的运算 1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． 2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根， 即 ).0,0(≥≥=?b a ab b a 3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． 4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 二次根式的运算法则： ≥0) =a ≥0,b>0） n ≥0) 第十七章 一元二次方程 一元二次方程的概念 1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 2．一般形式y=ax2+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项 一元二次方程的解法 1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法 2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法 3．求根公式2b x a -±=：1222b b x x a a -+-= , = ； △=24b ac -≥0 一元二次方程的判别式 1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠： △＞0时，方程有两个不相等的实数根
本讲整理了八年级上学期的四个章节内容，重点是二次根式的混合运算、一元二次方程的求解及应用、正反比例函数的综合及几何证明，难点是二次根式的混合运算及几何证明中需要添加辅助线和直角三角形的性质及推论的综合运用，希望通过本节的练习，可以帮助大家把整本书的内容串联起来，融会贯通，更快更好的解决问题． 二次根式的 性质 解法 二次三项式的因式分解 配方法 平行向量 因式分解法 实际问题 应用 二次根式的加减 二次根式的乘除 混合运算 最简二次根式 有理化因式和分母有理化 同类二次根式 二次根式 二次根式的运 算 一元二次方程 开平方法 公式法 平行向量 根的判别式 根的情况 期末复习 内容分析 知识结构
【练习1】 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A ．1 5 B ．5 C ．0.5 D ．50 【难度】★ 【答案】 【解析】 函数的定义域和求 函数值 定义 依据 函数 勾股定理的逆定理 直角三角形的性质 演绎推理 几何证明 勾股定理 直角三角形全等的判定 线段的垂直平分线定理及逆定理 角的平分线定理及逆定理 正比例函数概念、 图像和性质 反比例函数概念、图像和性质 正反比例函数综合运用 命题 实际问题 变 量与 常 量 点的轨迹 函数的常用表示法： 解析法 列表法 图像法 公理 定理 逆命题 逆定理 选择题
【练习2】若一元二次方程2210 ax x -+=有两个实数根，则a的取值范围正确的是（） A．1 a≥B．1 a≤C．1 a≤且0 a≠D．01 a <≤ 【难度】★ 【答案】 【解析】 【练习3】如果正比例函数图像与反比例函数图像的一个交点的坐标为(2，3)，那么另一个交点的坐标为（）． A．（-3，-2）B．（3，2）C．（2，-3）D．（-2，-3） 【难度】★ 【答案】 【解析】 【练习4】下列命题中，哪个是真命题（） A．同位角相等 B．两边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等 C．等腰三角形的对称轴是底边上的高 D．若PA PB =，则点P在线段AB的垂直平分线上 【难度】★ 【答案】 【解析】 【练习5】以下说法中，错误的是（） A．在△ABC中，∠C=∠A-∠B，则△ABC为直角三角形 B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=5:2:3，则△ABC为直角三角形 C．在△ABC中，若 34 55 a c b c == ，，则△ABC为直角三角形 D．在△ABC中，若::2:2:4 a b c=，则△ABC为直角三角形【难度】★ 【答案】 【解析】
沪科版 八年级上册数学练习 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1.若点P ), (413-a 关于x 轴的对称点是Q ),(32-b ，则点（a ，b ）在 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.下列图形中不是轴对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 3.如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为何（ ） A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 10 4.如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 是BC 的中点，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，连接DE 、AP 交于点F ，则图中共有（ ）对全等三角形。 A.3 B.4 C.5 D.6 5.下列命题的逆命题是真命题的是 （ A.对顶角相等 B.两直线平行，同位角相等 C.若00>>y x ,，则0>+y x D.全等三角形的面积相等 6.若△ABC 是等腰三角形，∠A=20最大角的度数是 （ A.20° B.140°C.80° D.80°或140° 7. 参加400米比赛，两人的路程s （米）与时间 t （秒）之间的函数关系的图象分别为 折线OABC 和线段OD ，下列说法正确的是（ A ． 乙比甲先到终点 B ． 乙测试的速度随时间增加而增大 C ． 比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快 D ． 第33秒时乙在甲的前面 8. 已知11-=x y 与b kx y +=221A.x>-2 B.x<1 C.-2
最新沪科版八年级数学上册期末试题及答案 期末测试卷 一、选择题(每题4分，共40分) 1．点A(－3，4)所在象限为() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列命题中，是假命题的是() A．三角形的外角大于任一内角 B．能被2整除的数，末位数字必是偶数 C．两直线平行，同旁内角互补 D．相反数等于它本身的数是0 3．小明同学用长分别为5，7，9，13(单位：厘米)的四根木棒摆三角形，用其中的三根首尾顺次相接，每摆好一个后，拆开再摆，这样可摆出不同的三角形的个数为() A．1个B．2个C．3个D．4个 4．如图，直线y＝kx＋b与x轴交于点(－4，0)，则y＞0时，x的取值范围是() A．x＞－4 B．x＞0 C．x＜－4 D．x＜0 (第4题) (第5题) (第6题)(第7题) 5．如图，在△ABC中，AB＝BC，顶点B在y轴上，顶点C的坐标为(2，0)，若一次函数y＝kx＋2的图象经过点A，则k的值为() A. 1 2B．－ 1 2C．1 D．－1 6．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，AC，BD相交于点O，则图中全等三角形共有() A．1对B．2对C．3对D．4对 7．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，DE垂直平分AC，∠A＝50°，则∠DCB
的度数是() A．15°B．30°C．50°D．65° 8．如图所示，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS＝AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QPS中，() A．全部正确B．仅①和②正确 C．仅①正确D．仅①和③正确 (第8题) (第9题) 9．如图所示的三角形中，若AB＝AC，则能被一条线段分成两个小等腰三角形的是() A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④10．有一个安装有进出水管的30升容器，水管单位时间内进出的水量是一定的，设从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，得到水量y(升)与时间x(分)之间的函数关系如图所示．根据图象信息给出下列说法： (第10题) ①每分钟进水5升；②当4≤x≤12时，容器中水量在减少； ③若12分钟后只放水，不进水，还要8分钟可以把水放完； ④若从一开始进出水管同时打开需要24分钟可以将容器灌满．
八年级数学（沪科版）（上）期末测试卷 考试时间：120分钟 满分150分 一、精心选一选（本大题共10小题,每小题4分,共40分）每小题给出的4个选项中只有一个符合题意,请将所选选项的字母代号写在题目后的括号内. 1、下列各条件中，能作出惟一的ABC ?的是 （ ） A 、AB=4,BC=5,AC=10 B 、AB=5,BC=4 40A ? ∠= C 、90A ? ∠=,AB=8 D 、60A ? ∠=,50B ? ∠= ,AB=5 2、在下列长度的四根木棒中，能与4cm 、9cm 长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）． A 、 4cm B 、 5cm C 、9cm D 、 13cm 3、李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，?中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y?（千米）与行进时间t （小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（ ） 4、下列语句不是命题的是………………………………………………（ ） A 、x 与y 的和等于0吗？ B 、不平行的两条直线有一个交点 C 、两点之间线段最短 D 、对顶角不相等。 5、在下图中，正确画出AC 边上高的是（ ）． （A ） （B ） （C ） （D ） 6、如果一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么（ ） A ．0k >，0b > B ．0k >，0 b < C ．0k <，0b > D ．0k <，0b < 7、在以下四个图形中。对称轴条数最多的一个图形是（ ）. 8、如图（8），已知在△ABC 中，AD 垂直平分BC ，AC=EC ，点B 、D 、C 、E 在同一直线上，则下列结论○1 AB=AC ○2∠CAE=∠E ○3AB+BD=DE ○4∠BAC=∠ACB A B C D
第11章平面直角坐标系 11.1 平面上点的坐标 第1课时平面上点的坐标(一) 教学目标 【知识与技能】 1.知道有序实数对的概念,认识平面直角坐标系的相关知识,如平面直角坐标系的构成:横轴、纵轴、原 点等. 2.理解坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系,能写出给定的平面直角坐标系中某一点的坐标.已知点的坐标,能在平面直角坐标系中描出点. 3.能在方格纸中建立适当的平面直角坐标系来描述点的位置. 【过程与方法】 1.结合现实生活中表示物体位置的例子,理解有序实数对和平面直角坐标系的作用. 2.学会用有序实数对和平面直角坐标系中的点来描述物体的位置. 【情感、态度与价值观】 通过引入有序实数对、平面直角坐标系让学生体会到现实生活中的问题的解决与数学的发展之间有联系,感受到数学的价值. 重点难点 【重点】 认识平面直角坐标系,写出坐标平面内点的坐标,已知坐标能在坐标平面内描出点. 【难点】 理解坐标系中的坐标与坐标轴上的数字之间的关系. 教学过程 一、创设情境、导入新知 师:如果让你描述自己在班级中的位置,你会怎么说? 生甲:我在第3排第5个座位. 生乙:我在第4行第7列. 师:很好!我们买的电影票上写着几排几号,是对应某一个座位,也就是这个座位可以用排号和列号两个 数字确定下来. 二、合作探究,获取新知 师:在以上几个问题中,我们根据一个物体在两个互相垂直的方向上的数量来表示这个物体的位置,这两 个数量我们可以用一个实数对来表示,但是,如果(5,3)表示5排3号的话,那么(3,5)表示什么呢? 生:3排5号. 师:对,它们对应的不是同一个位置,所以要求表示物体位置的这个实数对是有序的.谁来说说我们应该怎样表示一个物体的位置呢?
沪教版八年级上册数学期末考试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题（题型注释） 的解是______. 2.对于一次函数，当自变量的取值为时，相应的函数值的范围为，则该函数的解析式为。 3.a＝____． 4.如图所示：图象中所反映的过程是：小冬从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x轴表示时间，y轴表示小冬离家的距离．根据图象提供的信息，下列说法正确的有________. ①．体育场离小冬家2.5千米②．小冬在体育场锻炼了15分钟 ③．体育场离早餐店4千米④．小冬从早餐店回家的平均速度是3千米/小时 5.如果菱形的一个角为60°，边长为4cm，那么它的面积为____________ cm 6.如图，A、B是双曲线 k y x =上的点，分别过A、B两点作x轴、y轴的垂线段．S1，S2，S3 分别表示图中三个矩形的面积，若S3=1，且S1+S2=4，则k=_________． 7.如图，矩形OABC中，AB=1，AO=2，将矩形OABC绕点O按顺时针转90o，得到矩形OA，B，C，，则BB，=_______. 8.若点A（－1，a）在反比例函数y＝－3 x 的图像上，则a的值为_____________． 二、解答题（题型注释）（1）4x2－1＝0 （2）x2＋x－6＝0
10.计算：（1）()2 32312--?； （2）2111 a a a +-+-． 11.有这样一个问题：探究函数2=2x y x +的图象和性质.小奥根据学习函数的经验，对函数22x y x =+的图象和性质进行了探究.下面是小奥的探究过程，请补充完整： （1）函数22x y x =+的自变量x 的取值范围是 ； （2）下表是y 与x 的几组对应值： 求m 的值； （3）如下图，在平面直角坐标系xoy 中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象； （4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，2）.结合函数图象，写出该函数的其他性质（一条即可）： . 12.如图，在正方形ABCD 中，点E 是AD 上的点，点F 是BC 的延长线上一点，CF=DE ，连结BE 和EF ，EF 与CD 交于点G ，且∠FBE=∠FEB ． （1）过点F 作FH ⊥BE 于点H ，证明：； （2）猜想：BE 、AE 、EF 之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若DG=2，求AE 值．
2017学年第一学期八年级期中考试 数学试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并写在答题纸的相应位置上】 1. 二次根式1 53-+x x 中字母x 的取值范围是（ ） A.x<1 B.x ≤1 C.x ＞1 D.x ≥1 2. 下列二次根式中，属于最简根式的是（ ） A.2 19 B.79 C.20 D.5.0 3. 下列一元二次方程有实数根的是（ ） （利用判别式） A.x 2+1=0 B.x 2-x-1 C.x 2-x+1=0 D.x 2+x+1=0 4. 一元二次方程x2-2x+m 有实数根，那么实数m 的取值范围是（ ）（利用判别式） A.m ＞1 B.m ＝1 C.m ＜1 D.m ≤1 5. 下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ） A.85.0与 B.15,45 C.12,18 D.3 232， 6. 过正比例函数y=kx 的图像上一点A （3，m ）作x 轴的垂线，垂足为B ，如果S △AOB =7，则k 的值为（ ） A.±37 B.±314 C.±914 D.±9 7 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7.比较大小：56. 8.已知xy=21，那么y x y x y x += . 9.二次根式 b a +21的有理化因式是 . 10.不等式02210＜-x 的解集为 . 11.计算：3·26= . 12.已知正比例函数y=（3-k ）x （k 为常数，k ≠3），点() 23-2， 在这个函数的图像上，那么y 的值随x 的增大而 . （选填“增大”或“减小”） 13.如果正比例函数y=kx ，当x 增加的值为，则的值增加时，k y 2-323+ .
八年级上册数学期末试卷及答案沪教版 一、填空题(每小题2分，共20分) 1.已知空气的单位体积质量为0.00124g/cm3，将它用科学记数表示为g/cm3. 2.计算：(﹣)2015×[( )1007]2=. 3.分解因式：﹣x2+4xy﹣4y2=. 4.若等腰三角形两边长分别为8，10，则这个三角形的周长为. 5.三角形三内角的度数之比为1：2：3，边的长是8cm，则最小边的长是c 6.一个多边形内角和是一个四边形内角和的4倍，则这个多边形的边数是. 7.如图，在△abc中，∠c=90°，∠a=30°，ab的垂直平分线mn交ac于d，cd=1cm，连接bd，则ac的长为c 8.若a+b=7，ab=12，则a2+b2的值为. 9.如图，在△abc中，∠bac=120°，ad⊥bc于d，且ab+bd=dc，那么∠c=度. 10.已知：a+ =5，则=. 二、选择题：(每小题2分，共20分) 11.下列计算正确的是( ) a. x2+x3=x5 b. x2•x3=x6 c. (x2)3=x5 d. x5÷x3=x2 12.下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的是( ) a. ②③④ b. ①③④ c. ①②④ d. ①②③
13.已知点p(1，a)与q(b，2)关于x轴成轴对称，则a﹣b的值为( ) a. ﹣1 b. 1 c. ﹣3 d. 3 14.如图，△abc≌△a de，∠b=80°，∠c=30°，∠dac=35°，则∠eac 的度数为( ) a. 40° b. 35° c. 30° d. 25° 15.下列各式变形中，是因式分解的是( ) a. a2﹣2ab+b2﹣1=(a﹣b)2﹣1 b. 2x2+2x=2x2(1+ ) c. (x+2)(x﹣2)=x2﹣4 d. x4﹣1=(x2+1)(x+1)(x﹣1) 16.若分式的值为零，则x等于( ) a. ﹣1 b. 1 c. ﹣1或1 d. 1或2 17.等腰三角形的一个角是48°，它的一个底角的度数是( ) a. 48° b. 48°或42° c. 42°或66° d. 48°或66° 18.下列命题中，正确的是( ) a. 三角形的一个外角大于任何一个内角 b. 三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形 c. 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等 d. 三角形的三条高都在三角形内部 19.不能用尺规作出三角形的是( ) a. 已知两角和夹边 b. 已知两边和夹角 c. 已知两角和其中一角的对边 d. 已知两边和其中一边的对角 20.如图，△abc中，ab=ac，ab的垂直平分线交ac于p点，若ab=5cm，bc=3cm，则△pbc的周长等于( )
八年级数学 第十六章 二次根式 第一节 二次根式的概念和性质 二次根式 1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数 只能是正数或O ． 2． 二次根式的性质 ①? ??≤-≥==)0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥?=b a b a ab ； ④)0,0(>≥=b a b a b a 最简二次根式与同类二次根式 1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式 二次根式的运算 1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． 2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根， 即 ).0,0(≥≥=?b a ab b a
3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． 4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 二次根式的运算法则： c c c≥0) ?b a b a ab = ≥ ).0 ,0 (≥ a a =a≥0,b>0） b b =( a≥0) ()n n a a
第十七章 一元二次方程 一元二次方程的概念 1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 2．一般形式y=ax 2+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项 一元二次方程的解法 1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法 2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法 3．求根公式24b b ac x -±-=：221244b b ac b b ac x x -+----= , = ； △=24b ac -≥0 一元二次方程的判别式 1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠： △＞0时，方程有两个不相等的实数根 △＝0时，方程有两个相等的实数根 △＜0时，方程没有实数根 2．反过来说也是成立的 一元二次方程的应用 1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的
沪教版八年级数学上册复习要点 制作人：胡永 第十一章平面直角坐标系小结 一、平面内点的坐标特征 1、各象限内点P（a ，b）的坐标特征： 第一象限：a>0，b>0；第二象限：a<0，b>0；第三象限：a<0，b<0；第四象限：a>0，b<0 （说明：一、三象限，横、纵坐标符号相同，即ab>0；二、四象限，横、纵坐标符号相反即ab<0。）2、坐标轴上点P（a ，b）的坐标特征： x轴上：a为任意实数，b=0；y轴上：b为任意实数，a=0；坐标原点：a=0，b=0 （说明：若P（a ，b）在坐标轴上，则ab=0；反之，若ab=0，则P（a ，b）在坐标轴上。） 3、两坐标轴夹角平分线上点P（a ，b）的坐标特征： 一、三象限：a=b；二、四象限：a=－b 二、对称点的坐标特征 点P（a ，b）关于x轴的对称点是（a ，－b）； 关于y轴的对称点是（－a ，b）； 关于原点的对称点是（－a ，－b） 三、点到坐标轴的距离 点P（x ，y）到x轴距离为∣y∣，到y轴的距离为∣x∣ 四、（1）横坐标相同的两点所在直线垂直于x轴，平行于y轴； （2）纵坐标相同的两点所在直线垂直于y轴，平行于x轴。 五、点的平移坐标变化规律 坐标平面内，点P（x ，y）向右（或左）平移a个单位后的对应点为（x＋a，y）或（x－a，y）；点P（x ，y）向上（或下）平移b个单位后的对应点为（x，y＋b）或（x，y－b）。 （说明：左右平移，横变纵不变，向右平移，横坐标增加，向左平移，横坐标减小；上下平移，纵变横不变，向上平移，纵坐标增加，向下平移，纵坐标减小。简记为“右加左减，上加下减”） 第十二章一次函数 一、确定函数自变量的取值范围 1、自变量以整式形式出现，自变量的取值范围是全体实数； 2、自变量以分式形式出现，自变量的取值范围是使分母不为0的数； 3、自变量以偶次方根形式出现，自变量的取值范围是使被开方数大于或等于0（即被开方数≥0）的数； 自变量以奇次方根形式出现，自变量的取值范围是全体实数。
期末复习 内容分析 本讲整理了八年级上学期的四个章节内容，重点是二次根式的混合运算、一元二次方程的求解及应用、正反比例函数的综合及几何证明，难点是二次根式的混合运算及几何证明中需要添加辅助线和直角三角形的性质及推论的综合运用，希望通过本节的练习，可以帮助大家把整本书的内容串联起来，融会贯通，更快更好的解决问题． # 知识结构
二次根式的性质 解法 二次三项式的因式分解 — 因式分解法 实际问题 应用 二次根式的加减 二次根式的乘除 （ 最简二次根式 有理化因式和分母有理化 同类二次根式 二次根式 二次根式的运 算 一元二次 方程 开平方法 公式法 根的判别式 根的情况
【练习1】 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） { A ． 1 5 B ．5 C ．0.5 D ．50 【难度】★ 【答案】 函数的定义域和求 函数值 定义 依据 函数 勾股定理的逆定理 直角三角形的性质 《 演绎推理 几何证明 勾股定理 直角三角形全等的判定 线段的垂直平分线定理及逆定理 角的平分线定理及逆定理 正比例函数概念、图像和性质 反比例函数概念、图 像和性质 … 正反比例函数综合运用 命题 实际问题 变量 与 常 量 点的轨迹 函数的常用表示法： 解析法 列表法 【 图像法 公理 定理 逆命题 逆定理 %
【解析】 【练习2】￥ 【练习3】若一元二次方程2210 -+=有两个实数根，则a的取值范围正确的 ax x 是（） A．1 a≠D．01 <≤ a a≤且0 a≥B．1 a≤C．1 【难度】★ 【答案】 【解析】 【练习4】· 【练习5】如果正比例函数图像与反比例函数图像的一个交点的坐标为(2，3)，那么另一个交点的坐标为（）． A．（-3，-2）B．（3，2）C．（2，-3）D．（-2，-3） 【难度】★ 【答案】 【解析】 【练习6】下列命题中，哪个是真命题（）
沪科版八年级数学上册期末测试 一、选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 点,1(P )2-关于y 轴对称的点的坐标是( ) A. (1,2) B. (－1,2) C. (－1,－2) D. (－2,1) 2. 有一个角是的等腰三角形，其它两个角的度数是( ) A. 36°,108° B. 36°,72° C. 72°,72° D. 36°,108°或72°,°72° 3. 点P 在x 轴的下方，且距离x 轴3个单位长度，距离y 轴4个单位长度，则点P 的坐标 为( ) A. (4,－3) B. (3,－4) C. (－3,－4)或(3,－4) D. (－4,－3)或(4,－3) 4. 若三条线段中3=a ，5=b ，c 为奇数，那么由a 、b 、c 为边组成的三角形共有( ) A. 1个 B. 3个 C. 无数多个 D. 无法确定 5. 在同一直角坐标系中，若直线3+=kx y 与直线b x y +-=2平行，则( ) A.2-=k ，3≠b B.2-=k ，3=b C.2-≠k ,3≠b D.2-≠k ,3=b 6. 当0>k ,0
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，OP 是∠AOB 的平分线，点P 到OA 的距离为3，点 N 是OB 上的任意一点，则线段PN 的取值范围为( ) A. 3
四边形综合题 1、已知：在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在 矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2. （1）如图①，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积； （2）如图②，当四边形EFGH 为菱形，且BF = a 时，求△GFC 的面积.（用含a 的代数式） 2、已知点E 是正方形ABCD 外的一点，EA=ED ，线段BE 与对角线AC 相交于点F ， （1）如图1，当BF=EF 时，线段AF 与DE 之间有怎样的数量关系？并证明； （2）如图2，当△EAD 为等边三角形时，写出线段AF 、BF 、EF 之间的一个数量关系，并 证明． D C A B E (图1) F H G D C A B E (图2) F H G A B C D E F A B C D E F 图1 图2
3、如图，直线343y x =-+与x 轴相交于点A ，与直线3y x =相交于点P . (1) 求点P 的坐标. (2) 请判断△OPA 的形状并说明理由. (3) 动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿着O P A →→的路线向点A 匀速运 动（E 不与点O 、A 重合），过点E 分别作EF x ⊥轴于F ，EB y ⊥轴于B .设运动t 秒时，矩形EBOF 与△OPA 重叠部分的面积为S .求S 与t 之间的函数关系式. F B E P A O x y (备用图） P A O x y
4、如图，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，CB ∥OA ，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°,动点P 从点O 出发，在梯形OABC 的边上运动，路径为O →A →B →C ，到达点C 时停止．作直线CP. （1）求梯形OABC 的面积； （2）当直线CP 把梯形OABC 的面积分成相等的两部分时，求直线CP 的解析式； （3）当?OCP 是等腰三角形时，请写出点P 的坐标（不要求过程，只需写出结果） O A B C P x y
第十二章平面直角坐标系小结 一、平面内点的坐标特征 1、各象限内点P（a ，b）的坐标特征： 第一象限：a>0，b>0；第二象限：a<0，b>0；第三象限：a<0，b<0；第四象限：a>0，b<0 （说明：一、三象限，横、纵坐标符号相同，即ab>0；二、四象限，横、纵坐标符号相反即ab<0。） 2、坐标轴上点P（a ，b）的坐标特征： x轴上：a为任意实数，b=0；y轴上：b为任意实数，a=0；坐标原点：a=0，b=0 （说明：若P（a ，b）在坐标轴上，则ab=0；反之，若ab=0，则P（a ，b）在坐标轴上。） 3、两坐标轴夹角平分线上点P（a ，b）的坐标特征： 一、三象限：a=b；二、四象限：a=－b 二、对称点的坐标特征 点P（a ，b）关于x轴的对称点是（a ，－b）； 关于y轴的对称点是（－a ，b）； 关于原点的对称点是（－a ，－b） 三、点到坐标轴的距离 点P（x ，y）到x轴距离为∣y∣，到y轴的距离为∣x∣ 四、（1）横坐标相同的两点所在直线垂直于x轴，平行于y轴； （2）纵坐标相同的两点所在直线垂直于y轴，平行于x轴。 五、点的平移坐标变化规律 坐标平面内，点P（x ，y）向右（或左）平移a个单位后的对应点为（x＋a，y）或（x－a，y）；点P（x ，y）向上（或下）平移b个单位后的对应点为（x，y＋b）或（x，y－b）。 （说明：左右平移，横变纵不变，向右平移，横坐标增加，向左平移，横坐标减小；上下平移，纵变横不变，向上平移，纵坐标增加，向下平移，纵坐标减小。简记为“右加左减，上加下减”）
第十三章一次函数 一、确定函数自变量的取值范围 1、自变量以整式形式出现，自变量的取值范围是全体实数； 2、自变量以分式形式出现，自变量的取值范围是使分母不为0的数； 3、自变量以偶次方根形式出现，自变量的取值范围是使被开方数大于或等于0（即被开方 数≥0）的数； 自变量以奇次方根形式出现，自变量的取值范围是全体实数。 4、自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，自变量的取值范围是使底数不为0的数。 （说明：（1）当一个函数解析式含有几种代数式时，自变量的取值范围是各个代数式中自变 量取值范围的公共部分； （2）当函数解析式表示具有实际意义的函数时，自变量取值范围除应使函数解析式有意义 外，还必须符合实际意义。） 二、一次函数 1、一般形式：y=k x＋b（k、b为常数，k≠0），当b=0时，y=k x（k≠0），此时y是x的正 比例函数。 2、一次函数的图像与性质 y=kx＋b (k≠0) k>0k<0