第68课直线与平面平行

α
β
a
c
d
∴b是平面α和平面β 的交线.
若a//α，且过直线a的平面β与平面α的交线为b，则a//b.
b线面平行Leabharlann 性质定理若直线a与平面α平行，
且过直线a的平面β与平面α的交线为直线b，
则直线b与直线a平行.
①符号：
②本质：线面平行 线线平行
③Key：找平面，定交线
[例]空间四边形ABCD中，E,
F, G, H分别是AB, BC, CD, DA
上的点，EH∥FG. 则EH与BD
EH∥BD
的位置关系是________．
β
a
α
b
EH // FG
EH 平面BCD
FG 平面BCD
EH // 平面BCD
EH 平面ABD
面BCD 面ABD BD
EH // BD
线面平行的性质定理
[P143-7]如图，α∩β=CD，α∩γ=EF，β∩γ=AB，AB//α，
2
1
N是B1C1的中点, ND1 B1C1;
2
由棱柱性质知, B1C1 // BC , MD // NC1 , MD NC1 ,
四边形MNC1D为平行四边形, MN // C1D.
又C1D 平面AA1C1C , MN 平面AA1C1C ,
MN // 平面AA1C1C.
B
见多识广——线面平行的性质
证明:∵AB∥平面MNPQ，
AB⊂平面ABD，平面ABD∩平面MNPQ＝PQ，
∴AB∥PQ.
又AB⊂平面ABC，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，
∴AB∥MN，
∴MN ∥PQ.
练习4.四面体ABCD中，用 ∵CD∥平面MNPQ，同理可得CD∥MQ，CD∥NP，

典例2 如图所示，四棱锥的底面是直角梯形，, ，, 底面，过的平面交于点与不重合，交 于点.求证： .
解析 如图，在梯形中，， 平面， 平面 ，所以平面 ，
又 平面，平面 平面，所以 .
1. 判断或证明线面平行的常用方法（1）利用线面平行的定义（无公共点）.（2）利用线面平行的判定定理 .（3）利用面面平行的性质 .（4）利用面面平行的性质 .2. 应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅 助平面确定交线.
符号语言
， ，⑨__________， ，
， ，⑩__________
图形语言
相交
平行
1. 平行关系中的四个重要结论（1）若 ， ，则 .（2）若 ， ，则 .（3）若 ， ，则 .（4）若 ， ,则 .2. 三种平行关系的转化
题组1 走出误区
1. 判一判.（对的打“√”，错的打“×”）
（1）求证：平面 .
解析 如图1，连接并延长与的延长线交于点，连接 ，
因为四边形为正方形，所以，所以 ， 所以 ， 又因为，所以，所以 . 又 平面， 平面 ， 所以平面 .
（2）若是上的点，当为何值时，能使平面平面 ？请说明理由.
解析 当的值为时，平面平面 ，如图2所示.
理由如下：因为，所以，所以.所以 . 又 平面， 平面，所以平面 ， 又，平面，所以平面平面 .
4.（多选题）（人教A版必修②P143 · T4改编）如图，在长方体的六个面所在的平面中，与 平行的平面是( ).平面
解析 由于， 平面， 平面，所以 平面.同理，平面， 平面， 平面 .故选 .
5.（2023 · 天津卷改编）如图，在三棱台 中，若,,,分别是, 的中点,则与平面 的位置关系是______.（填“平行”或“相交”）

所以PPAB＝BADC，又 PA＝6，AC＝9，PB＝8，故 BD＝12.
课堂检测
5．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α. 求证：CD∥EF.
课堂检测
证明：因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD， 所以AB∥CD. 同理可证AB∥EF， 所以CD∥EF.

典型例题 类型2 面面平行性质定理的应用 例2 如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与 β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D. (1)求证：AC∥BD； (2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长.
典型例题
(1)证明：∵PB∩PD＝P， ∴直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ， 则 α∩γ＝AC，β∩γ＝BD. 又 α∥β，∴AC∥BD.
课堂检测 【解析】 由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不 垂直，则AE⊥CG不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A，E， G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边 形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直， 故四边形AEC1F是正方形错误；由于AE∥C1F，由线面平 行的判定定理，可得AE∥平面BC1F.故选D. 【答案】 D
跟踪训练
3．如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰 梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上 的点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.
证明：因为F为AB的中点，所以AB＝2AF. 又因为AB＝2CD，所以CD＝AF. 因为AB∥CD，所以CD∥AF， 所以AFCD为平行四边形． 所以FC∥AD. 又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1， 所以FC∥平面ADD1A1.

又PM∥AB∥QN，
∴PAMB ＝APEE＝QBDB＝QDNC，∴PAMB ＝QDNC.
又AB綉DC，∴PM綉QN，∴四边形PMNQ为平行四边形， ∴PQ∥MN.又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE， ∴PQ∥平面BCE. 法二 如图，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE交AB于点M， 连接QM. 则PM∥平面BCE， ∵PM∥BE，
BA.充分不必要条件
C.充分必要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 根据m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交 线平行即可得到m∥β； 反之，α∥β，m⊂α，所以m和β没有公共点，所以m∥β，即由α∥β能得到 m∥β. 所以“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.
行
图形表示
符ห้องสมุดไป่ตู้表示
a⊂β，b⊂β， a∩b＝P，a∥α， b∥α⇒α∥β
两个平面平行，则其中一 性质 个平面内的直线__平__行__于
另一个平面
两个平面平行，如果另一 性质 个平面与这两个平面_相__交__， 定理 那么两条__交__线__平行
α∥β， a⊂α⇒a∥β
α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b⇒a∥b
6.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截
面，则四边形EFGH的形状为__平__行__四___边__形___.
解析 ∵平面ABFE∥平面DCGH， 又平面EFGH∩平面ABFE＝EF， 平面EFGH∩平面DCGH＝HG， ∴EF∥HG.同理EH∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形.
5.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中
点，下列四个推断中正确的是( AC)