小学奥数课本05-01(上)

1 / 76华罗庚学校数学课本华罗庚学校数学课本（（五年级五年级··修订版修订版））上 册 目 录第一讲第一讲 数的整除问题数的整除问题 一、基本概念和知识基本概念和知识 二、例题例题 习题一习题一 习题一解答习题一解答 第二讲第二讲 质数质数、、合数和分解质因数合数和分解质因数 一、基本概念和知识基本概念和知识 二、例题例题 习题二习题二 习题二解答习题二解答 第三讲第三讲 最大公约数和最小公倍数最大公约数和最小公倍数 一、基本概念和知识基本概念和知识 二、例题例题 习题三习题三 习题三解答习题三解答 第四讲第四讲 带余数的除法带余数的除法 习题四习题四 习题四解答习题四解答 第五讲第五讲 奇数与偶数及奇偶性的应用奇数与偶数及奇偶性的应用 一、基本概念和知识基本概念和知识 二、例题例题 习题五习题五 习题五解答习题五解答 第六讲第六讲 能被能被303030以下质数整除的数的特征以下质数整除的数的特征以下质数整除的数的特征 习题六习题六 习题六解答习题六解答 第七讲第七讲 行程问题行程问题 习题七习题七 习题七解答习题七解答 第八讲第八讲 流水行船问题流水行船问题 习题八习题八 习题八解答习题八解答 第九讲第九讲 “牛吃草牛吃草””问题问题2 / 76习题九习题九 习题九解答习题九解答 第十讲第十讲 列方程解应用题列方程解应用题 习题十习题十 习题十解答习题十解答 第十一讲第十一讲 简单的抽屉原理简单的抽屉原理 习题十一习题十一 习题十一解答习题十一解答 第十二讲第十二讲 抽屉原理的一般表述抽屉原理的一般表述 习题十二习题十二 习题十二解答习题十二解答 第十三讲第十三讲 染色中的抽屉原理染色中的抽屉原理 习题十三习题十三 习题十三解答习题十三解答 第十四讲第十四讲 面积计算面积计算 习题十四习题十四 习题十四解答习题十四解答 第十五讲第十五讲 综合题选讲综合题选讲 习题十五习题十五 习题十五解答习题十五解答第一讲第一讲 数的整除问题数的整除问题数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。

它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。

一、基本概念和知识基本概念和知识1.整除——约数和倍数 例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b （b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被能被b b 整除整除（（或者说者说b b 能整除能整除a a ）。

）。

记作记作记作b b ｜a.a.,,否则否则，，称为称为a a 不能被不能被b b 整除整除，（，（，（或或b 不能整除不能整除a a ），），记记作b a 。

如果整数如果整数a a 能被整数能被整数b b 整除整除，，a 就叫做就叫做b b 的倍数的倍数，，b 就叫做就叫做a a 的约数的约数。

例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。

2.数的整除性质性质性质11：如果如果a a 、b 都能被都能被c c 整除整除，，那么它们的和与差也能被那么它们的和与差也能被c c 整除整除。

即：如果如果c c ｜a ，c ｜b ，那么那么c c ｜（｜（a a ±b ）。

）。

3 / 76例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6）， 并且2｜（10—6）。

性质性质22：如果如果b b 与c 的积能整除的积能整除a a ，那么那么b b 与c 都能整除都能整除a.a.a.即即：如果如果bc bc bc｜｜a ，那么那么b b ｜a ，c ｜a 。

性质性质33：如果如果b b 、c 都能整除都能整除a a ，且b 和c 互质互质，，那么那么b b 与c 的积能整除的积能整除a a 。

即：如果如果b b ｜a ，c ｜a ，且（b ，c ）=1=1，，那么那么bc bc bc｜｜a 。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

性质性质44：如果如果c c 能整除能整除b b ，b 能整除能整除a a ，那么那么c c 能整除能整除a a 。

即：如果如果c c ｜b ，b ｜a ，那么那么c c ｜a 。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3.数的整除特征 ①能被能被22整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被能被55整除的数的特征：个位是0或5。

③能被能被33（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被能被44（或2525））整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除. ⑤能被能被88（或125125））整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。

⑥能被能被111111整除的数的特征整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

例如：判断123456789这九位数能否被11整除？ 解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为115，所以11123456789。

再例如：判断13574是否是11的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.因为0是任何整数的倍数，所以11｜0.因此13574是11的倍数。

⑦能被能被77（1111或或1313））整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

例如：判断1059282是否是7的倍数？ 解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7的倍数。

再例如：判断3546725能否被13整除？解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.二、例题解：∵45=5×9，∴根据整除“性质2”可知∴y可取0或5。

∴满足条件的六位数是519930或919935。

例2 李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□元.已知□处数字相同，请问每支钢笔多少元？解：∵9□.2□元=9□2□分28＝4×7，∴根据整除“性质2”可知4和7均能整除9□2□。

4｜2□可知□处能填0或4或8。

因为79020，79424，所以□处不能填0和4；因为7｜9828，所叫□处应该填8。

又∵9828分=98.28元98.28÷28＝3.51（元）答：每支钢笔3.51元。

个条件的整数。

∴根据能被11整除的数的特征可知：1+2+3+4+5的和与5a之差应是11的倍数，即11｜（15—5a）.或11｜（5a—15）。

但是15—5a=5（3—a），5a—15=5（a—3），又（5，11）=1，因此111（3—a）或11｜（a—3）。

又∵a是数位上的数字。

∴a只能取0～9。

所以只有a=3才能满足11｜（3—a）或11｜（a—3），4 / 76即当a=3时，11｜15—5a。

符合题意的整数只有1323334353。

互不相同），且它能被11整除，你能找到一个符合条件的整数吗？解：∵91=7×13，且（7，13）＝1。

根据一个数能被7或13整除的特征可知：因为（7，10）=1，（13，10）＝1，所以7，13也就是7，13，因此，用一次性质（特征），就去掉了两组；反复使用性质996次，最后转化成：原数能被7以及13整除，当且仅当能被7以及13整除又∵91的倍数中小于1000的只有91×4=364的百位数字是3，∴=364例5 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。

5整除，所以它应满足以下三个条件：第一，数字和（8+6＋5+a+b+c）是3的倍数。

第三，末位数字c是0或5。

又∵能被4整除的数的个位数不可能是5。

∴c只能取O.因而b只能取自O，2，4，6，8中之一。

∴a＋b除以3余2。

为满足题意“数值尽可能小”，只需取a=0，b=2。

∴要求的六位数是865020。

5 / 76分析 ∵26=2×13，∴y可能取0、2、4、5、6、8。

当y＝0时，＝7×13x+9x+13＋6∴根据整除“性质1”，有13｜9x+6，经试验可知只有当x＝8时，13｜9x＋6，∴当y=0时，符合题意的六位数是819910。

所以13整除9x＋6—2，即13｜9x+4。

经试验可知只有当x＝1时，13｜9x+4。

∴当y＝2时，符合题意的六位数是119912。

同理，当y＝4时，13｜9x＋6-4，即13｜9x+2，经试验可知当x＝7时，13｜9x+2。

∴当y=4时，符合题意的六位数是719914。

同理，当y＝6时，13｜9x＋6—6。

即13｜9x.∴当y=6时，找不到符合题意的六位数。

同理，当y＝8时，13｜9x+6-8，即13｜9x-2。

经试验只有当x＝6时，13｜9x-2。

∴当y=8时，符合题意的六位数是619918。

答：满足本题条件的六位数共有819910、119912、719914和619918四个。

习题一习题一6 / 767 / 76样的五位数。

4.将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个1993位数，试问：这个数能否被3整除？5.一本陈年老账上记着：72只桶，共□67.9□元.这里□处字迹已不清.请把□处数字补上，并求桶的单价。

6.证明：任意一个三位数连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定能同时被7、11、13整除.习题一解答习题一解答 1.39312。

2.8。

3.32250、32550、32850。

4.解：∵1＋2＋3＋…＋9=45，3｜45， 又∴1993除以9余4，∴这个1993位数的最末4位数字是1234。