山东理工大学复变试题

一．填空（每空3分，共36分）1.i i= = .2.设函数 )3()3()(3223y x y x y i x z f -+-=为解析函数, 则=)('z f .3．积分2||5(2cos )z z z e z dz =++=⎰，积分=⎰=1||s i nz z d zz .4．设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=sinπζζζ3-⎰zd C，其中|z|<2，则(1)f '= .5. 0=z 是ez z12的 类型孤立奇点，2Re (,0)ze s z-= .6．幂级数∑∞=1n n 3n z n2 的收敛半径是 .7. 映射 3()f z z =在i z =处的伸缩率为 ，转动角为 . 8.)(2)(2t e t f t j δ-=的付氏变换是 .二．计算22||4(1)zz e dz z z =-⎰. (10分)三. 把函数1()(1)(2)f z z z =--分别在圆环域（1）1||0<<z ；（2）011z <-<内展为洛朗级数. (12分)四. 计算积分 dx x xx⎰+∞∞-++54cos 2.(10分)五. 求将上半平面映射成单位圆1<ω且满足条件2)(arg ,0)(π='=i f i f 的分式线性映射.(10分)六. (,)(cos sin )x v x y e y y x y x y =+++已知为调和函数，求一解析函数(), (0)0.f z u iv f =+=使(12分) 七.求微分方程：1)0(,0)0(32='==-'+''-y y y y y e t满足初始条件的解 .(10分)一.填空题（每小题3分，共36分）1. 设i Z --=1 ， 则=ArgZ ,Z 的三角表示为 .2. =-32i e π ; 已知2ln iz π=,则=z .3.=-⎰=dz z zz 1||2)3(cos .4. ⎰=izdz π0sin . 5.幂级数z n nn n∑⎪⎭⎫⎝⎛+∞=1112的收敛半径为 .6.已知)2(23)(2++=z z z z f ，则=]0),([Re z f s .7.)1(1)(i e z f z+-=的全部孤立奇点为 . 8.分式线性映射iz iz z f +-=)(在i z =处的旋转角为 ，伸缩率为 .9.函数t e t u t f 42)(3)(-=的Laplace 变换=)(s F . 二.设)(2323cxy x i y bx ay +++ 为解析函数，求c b a ,,的值。

(6分) 三. 将)1(1)(2-+=z z z z f 分别在圆环域（1）1||0<<z ；（2）+∞<<||1z 内展为洛朗级数.（8分）四. 求将单位圆1||=z 映成单位圆1||=ϖ，且使i z +=1,1分别映为∞=,1ϖ的分式线性映射.( 8分)五. 求积分⎰-+=Cdz z z z I )2)(1(13的值，其中C 为.2,1,||≠=r r z (12分). 六. 已知调和函数xy y x y x u +-=22),(，求其共轭调和函数),(y x v 及解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=.(10分)七.计算积分⎰∞+∞->+=)0(,)(2222a dx a x x I 的值.（10分）八. 求微分方程t e x t x t x -=++3)(4)(''' 满足初始条件1)0()0('==x x 的解.（10分）一.填空题（每小题3分，共36分）1.设i Z 33-=，则Z 的三角表示为 ，如果存在复数w 使得满足i e w 33-=，则复数=w .2.设函数 )3()3()(3223y x y x y i x z f -+-=为解析函数, 则=)('z f____ .3.=-⎰=dz z e z z1||2)2( ___ ,=-⎰=dz z e z z3||2)2(____ .4.设⎰=-+-=3223)(172)(z d z z f ξξξξ，则=+)1('i f ____ . 5.幂级数z n nn n ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞=1112的收敛半径为 ____ .6.已知)2(25)(3--=z z z z f ，则=]0),([Re z f s . 7.分式线性映射iz iz z f -+=)(在i z -=处的旋转角为 ，伸缩率为 .8.将点i ,,1∞-分别映射为1,1,i +∞的分式线性映射为 .9.函数t e t t f t 2sin 42)(3)(4+-=δ的Laplace 变换=)(s F ___.二. 将)1(12)(--=z z z z f 分别在圆环域（1）1||0<<z ；（2）+∞<-<|1|1z 内展为洛朗级数.（10分）三.求将上半平面映成单位圆内部，并且满足π=+=+)1(arg ,0)1('i f i f 分式线性映射.( 10分) 四. 求积分⎰-=Czdz z z e I 23)1(的值，其中积分路径为不经过0和1的正向简单闭曲线 (14分).五. 设u 和v 设解析函数)(z f 的实部和虚部，并且满足)4)((22y xy x y x v u +++=-，求解析函数)(z f .(10分)六.计算积分⎰+∞∞->++=)0(,54cos 2a dx x x axI 的值.（10分） 七. 求微分方程t e x t x t x -=++3)(4)(''' 满足初始条件1)0(,0)0('==x x 的解.（10分）《复变函数与积分变换》第一部分 选择题 (共30分)一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．下列复数中，位于第Ⅱ象限的复数是（ ）A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i2．下列等式中，对任意复数z 都成立的等式是（ ）A.z ·z =Re(z ·z ) B. z ·z =Im(z ·z ) C. z ·z =arg(z ·z ) D. z ·z =|z| 3．不等式4z arg 4π<<π-所表示的区域为（ ）A.角形区域B.圆环内部C.圆的内部D.椭圆内部4．函数z1=ω把Z 平面上的单位圆周|z|=1变成W 平面上的（ ）A.不过原点的直线B.双曲线C.椭圆D.单位圆周 5．下列函数中，不解析．．．的函数是（ ） A.w=z B.w=z 2C.w=e zD.w=z+cosz6．在复平面上，下列关于正弦函数sinz 的命题中，错误．．的是（ ） A.sinz 是周期函数 B.sinz 是解析函数 C.|sinz|1≤ D.z cos )z (sin =' 7．在下列复数中，使得e z =2成立的是（ ）A.z=2B.z=ln2+2i πC.z=2D.z=ln2+i π8．若f(z)在D 内解析，)z (Φ为f(z)的一个原函数，则（ ） A.)z ()z (f Φ=' B. )z ()z (f Φ='' C. )z (f )z (='Φ D. )z (f )z (=Φ'' 9．设C 为正向圆周|z|=1,则⎰+-C2dz )i 1z (1等于（ ）A.0B.i21π C.i 2π D.i π10．对于复数项级数∑∞=+0n nn6)i 43(，以下命题正确的是（ ）A.级数是条件收敛的B.级数是绝对收敛的C.级数的和为∞D.级数的和不存在，也不为∞11．级数∑∞=-0n n )i (的和为（ ）A.0B.不存在C.iD.-i 12．对于幂级数，下列命题正确的是（ ）A.在收敛圆内，幂级数条件收敛B.在收敛圆内，幂级数绝对收敛C.在收敛圆周上，幂级数必处处收敛D.在收敛圆周上，幂级数必处处发散 13．z=0是函数zz sin 2的（ ）A.本性奇点B.极点C.连续点D.可去奇点14．z1sin 在点z=0处的留数为（ ）A.-1B.0C.1D.2 15．将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ） A.1z zw -=B. z1z w -=C. zz 1w -= D. z11w -=第二部分 非选择题 （共70分）二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 16．设4i e2z π=,则Rez=____________.17.f(z)=(x 2-y 2-x)+i(2xy-y 2)在复平面上可导的点集为_________. 18.设C 为正向圆周|z-i 4π|=1,则积分⎰=Cdz zcos 1____________. 19.函数)1z (z 1z )z (f 2-+=在奇点z=0附近的罗朗级数的收敛圆环域为_______. 20.3)1z (1-在点z=1处的留数为____________.三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 21．设i3i 2z -+=,求z+z 和z-z .22. 设z cos 2z1z )z (f 22+-=. (1)求f(z)的解析区域，（2）求).z (f '23.设f(z)=x 2-2xy-y 2-i(x 2-y 2).求出使f(z)可导的点, (2)求f(z)的解析区域. 24.设z=x+iy,L 为从原点到1+i 的直线段.求.dz )iy y x (L2⎰++25.计算积分⎰+-i30.dz )3z 2(26.设C 为正向圆周|z-1|=3,计算积分I=⎰-C2z .dz )2z (z e27.将函数f(z)=)i z (z i 2+在圆环0<|z|<1内展开成罗朗级数.28.将函数f(z)=ln(3-2z)在点z=0处展开为泰勒级数，并求其收敛半径.四、综合题（下列3个小题中，29题必做，30、31题中只选做一题，需考《积分变换》者做31题，其他考生做30题，两题都做者按31题给分。

每题10分，共20分） 29．利用留数定理计算积分I=⎰∞+∞->+).0a ()a x (dx x 222230.试求一函数w=f(z),它将Z 平面上的区域0<argz<2π保角映射成W平面上的单位圆域|w|<1，且使z=1+i ，0分别映射成w=0,1. 31.已知f(t)=⎩⎨⎧≤<其他1t 0,0,1,试求下列函数的付氏变换：(1)e -2t f(t), (2)sin2t ，(3)g(t)=e -2t f(t)+3sin2t.《复变函数与积分变换》试题（十）一、填空题(每格2分，共40分)1.z=6+i,则 |z|=__________，argz=__________.2.z=e -3+i 则argz=__________.3.复数-1+3i 的三角形式是__________.4.一曲线的复数方程是|z-i|=1,则此曲线的直角坐标方程为__________.5.设z=(-i)i ,则|z|=__________.6.f(z)=2cos(2π-z),则f(i)=__________. 7.设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，v(x,y)=y,则f ′(z)=__________. 8.⎰i2zsin(z 2)dz=__________.9.沿指定曲线正向的积分⎰=+1|z |2z 4z e dz=__________.10.设C 1为正向圆周|z-2|=1,C 2为正向圆周|z|=1,则积分+-+π⎰dz 2z 1z i211c 3dz 2z zcos i212c ⎰-π= __________. 11.级数∑∞=-1n n nz )3(的收敛半径R= .12.函数f(z)=zi 1+在z=0处的泰勒级数是__________. 13.罗朗级数∑∑∞=∞=+1n 0n n2nz)z 2(1的收敛域是__________.14.Z=3是函数sin3-z 1的孤立奇点，它属于__________类型，Res 〔sin 3-z 1,3〕=__________. 15.z=0是函数z-sinz 的__________阶零点。