高考数学陷阱(特级教师整理!)

例谈高中数学解题中的几类“陷阱”问题高中数学作为学生学习生活中的一门重要学科，其解题过程中常常会遇到一些“陷阱”问题，这些问题会让学生很难理解和解决。

本文将对高中数学解题过程中的几类“陷阱”问题进行讨论和分析，希望能够帮助学生们更好地理解和掌握数学知识，提升解题能力。

第一类“陷阱”问题是概念理解不清导致的。

在高中数学中，许多概念都是相互联系的，前面的知识会对后面的内容产生影响。

如果学生在学习时对某个概念没有理解清楚，很可能会在后续的解题过程中出现困难和错误。

对于函数的概念理解不清晰，可能会导致在解题的过程中对函数的性质和特点理解不准确，从而产生错误的结果。

针对这类问题，学生要在学习的过程中注重对概念的理解和掌握，可以通过多做题目、找寻相关应用等方式来加强自己的理解和记忆。

第二类“陷阱”问题是计算错误导致的。

高中数学中的很多问题都需要进行复杂的计算，一旦出现计算错误就很容易导致整个解题的错误。

这类问题可能包括了粗心大意导致的计算错误，也可能是对于某些计算方法不够熟练导致的错误。

对于三角函数的计算或者复杂的代数式计算，学生如果没有掌握好相应的计算方法，很容易在解题的过程中出现错误。

对于这类问题，学生要注重在课下多加练习，熟练掌握各种计算的方法和技巧，提高自己的计算能力。

第三类“陷阱”问题是问题分析不清导致的。

在高中数学中，很多问题都需要进行逻辑分析和推理，只有通过深入分析和理清问题的逻辑关系才能够解决问题。

如果学生在解题的过程中不能够清晰地理解问题的要求和逻辑关系，很容易导致解题的错误。

在解决函数的极值问题时，如果没有正确理解问题的要求和分析清楚函数的性质，很容易得出错误的结论。

对于这类问题，学生要善于思考和分析，学会灵活运用各种解题方法和技巧，以便更好地理解和解决问题。

高中数学解题中常见的“陷阱”问题包括概念理解不清、计算错误、问题分析不清和概念混淆等几类。

针对这些问题，学生要在学习的过程中注重对概念的理解和掌握、提高自己的计算能力、善于思考和分析、加强对概念的区分和理解，以便更好地应用到解题过程中，从而提升自己的解题能力。

高考历年真题中的常见陷阱有哪些高考，作为中国学子人生中的重要关卡，其真题具有很高的权威性和指导性。

然而，在这些真题中，也隐藏着一些容易让考生“失足”的陷阱。

了解并避开这些陷阱，对于取得理想的成绩至关重要。

下面我们就来详细探讨一下高考历年真题中的常见陷阱。

一、语文科目1、阅读理解中的“干扰选项”在语文阅读理解部分，命题人常常设置一些看似正确，实则与原文意思有细微偏差的选项来干扰考生。

这些干扰选项可能是对原文的过度解读、断章取义，或者是把原文中未提及的内容添加进来。

例如，原文说“这种现象在一定程度上存在”，选项可能会表述为“这种现象普遍存在”，通过程度上的夸大来误导考生。

2、作文的“立意陷阱”高考作文的立意至关重要。

有些题目看似简单直白，但如果考生不深入思考，很容易陷入浅层次的立意。

比如以“感恩”为主题的作文，考生如果仅仅停留在感谢父母、老师的层面，就难以写出有深度、有新意的文章。

而应该从社会、人生、文化等更广阔的角度去思考感恩的意义和价值。

二、数学科目1、计算中的“粗心陷阱”数学题中的计算量往往较大，考生容易在计算过程中出现粗心错误。

比如在小数运算中忽略小数点的位置，或者在分式化简时忘记通分。

这些看似简单的错误，却可能导致整道题的答案错误。

2、条件遗漏陷阱有些数学题目给出的条件较多，考生在解题过程中可能会遗漏某些关键条件，从而导致解题错误。

例如在几何题中，忽略了图形中的隐藏条件，或者在应用题中没有充分利用所有给出的数据。

3、概念混淆陷阱数学中的概念繁多且容易混淆，命题人会利用这一点设置陷阱。

比如函数的单调性和奇偶性，三角函数中的诱导公式等，如果考生对概念理解不清晰，就很容易出错。

三、英语科目1、听力中的“口音和语速陷阱”英语听力部分，可能会出现不同的口音和较快的语速，这对于考生的听力理解能力是一个挑战。

有时候，一些单词的发音会因为口音的原因而发生变化，考生如果不熟悉，就容易误解。

2、阅读理解的“词汇陷阱”阅读理解中会出现一些生僻词汇或者一词多义的情况。

专题01 集合的解题技巧一、命题陷阱设置1.元素与集合，集合与集合关系混淆陷阱；2.造成集合中元素重复陷阱；3.隐含条件陷阱；4.代表元变化陷阱；5.分类讨论陷阱； 6．子集中忽视空集陷阱； 7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值陷阱. 二、典例分析及训练.（一）元素与集合，集合与集合关系混淆陷阱 例1. 已知{0,1}M =,{|}N x x M =⊆则A.M N ∈B.N M ∈C.N M ⊆D.M N ⊆【答案】A陷阱预防：表面看是集合与集合之间的关系，实质上是元素与集合之间的关系，这类题目防范办法是把集合N 用列举法表示来.练习1.集合{|52,},{|53,},M x x k k Z P x x n n Z ==-∈==+∈{|103,}S x x m m Z ==+∈之间的关系是（ ）A. S P M ⊂⊂B. S P M =⊂C. S P M ⊂=D. P M S =⊂ 【答案】C【解析】∵{|52,},{|53,},{|103,}M x x k k Z P x x n n Z S x x m m Z ==-∈==+∈==+∈，∴{}7,2,3,8,13,18M =--L L ， {}7,2,3,8,13,18P =--L L ， {}7,3,13,23S =-L L ，故S P M ⊂=，故选C.练习2. 对于集合A {246}＝，，，若A a ∈，则6A a -∈，那么a 的值是________. 【答案】2或4【解析】2A ∈，则624A,4A -=∈∈则642A,6A -=∈∈，则660A,-=∈舍去，因此a 的值是2或4（二）集合中元素重复陷阱 例2. ,a b 是实数，集合A={a,,1}ba，2{,,0}B a a b =+，若A B =，求20152016a b ＋. 【答案】1－【解析】{}{}20010A B b A a B a a ∴Q ＝，＝，＝，，，＝，，. 21a ∴＝ ，得 1.1a a ±＝＝ 时， {}101A ＝，， 不满足互异性，舍去； 1a ＝－ 时，满足题意.201520161a b ∴＋＝－ .陷阱预防：对于两个集合相等或子集问题，涉及元素问题，必须要保证集合元素的互异性. 练习1.已知集合3{1,2,},{1,},A m B m B A ==⊆，则m ＝ ____. 【答案】0或2或－1【解析】由B A ⊆得m A ∈，所以3m m =或2m =，所以2m =或1m =-或1m =或0m =，又由集合中元素的互异性知1m ≠.所以0m =或2或－1. 故答案为0或2或－1练习2. 已知集合()}{,0A x y ==，集合(){},B x y ==，集合(){},C x y ==请写出集合A ，B ，C 之间的关系______________.【答案】B C A ≠≠⊂⊂【解析】集合()}{,0A x y ==表示直线10x y --= 上的所有点；集合(){},B x y ==表示直线10x y --= 上满足1{x y ≥≥ 的点；集合(){},C x y ==表示直线10x y --= 上满足0{1x y ≥≥- 的点故B C A ≠≠⊂⊂（三）隐含条件陷阱例3.已知集合()(){}{}210,11A x x x B x Z x =-+<=∈-≤≤，则A B ⋂=（ ） A. {}1,0- B. {}0,1 C. {}1,0,1- D. {}1,2- 【答案】A陷阱预防：注意两个集合代表元的条件，容易忽视集合中元素属于整数的条件. 练习1. 集合(){}()(){},A x f x x B x ff x x ====，则集合A 与集合B 之间的关系（ ）A. A B ⊆B. B A ⊆C. B A ÖD. A B Ö 【答案】A【解析】设a A ∈，则()()(),,a f a f f a f a a a B ⎡⎤=∴==∴∈⎣⎦，说明集合A 的元素一定是集合B 的元素，则A B ⊆，选A.练习2. 已知集合{}2230A x x x =-->，集合{}2Z 4B x x x =∈≤，则()R A B ⋂=ð（ ） A. {}03x x ≤≤ B. {}1,0,1,2,3- C. {}0,1,2,3 D. {}1,2 【答案】C【解析】集合{}2230A x x x =--> {}=31x x x <-或， {}{}2Z 44,3,2,1,0B x x x =∈≤={}|13R A x x =-≤≤ð 故(){}0,1,2,3R A B ⋂=ð故答案为C 。

例谈高中数学解题中的几类“陷阱”问题在高中数学解题过程中，常常会遇到一些“陷阱”问题，这些问题看似简单，却容易使得学生在解答中迷失方向，导致答案错误。

因此在解题过程中，需要特别注意这些“陷阱”，以免影响最终的解答结果。

一、“恒等式”陷阱问题所谓“恒等式”，是指对于数学中的一些式子，无论取什么值都成立的式子。

比如，$\sin^2x+\cos^2x=1$、$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$等等。

这些式子虽然看似简单明了，但在解题过程中，却容易被混淆。

以一个简单例子来说，试解方程$\sqrt{x}+2=3\sqrt{2x-1}$。

首先，我们可以平方得到$x+4\sqrt{x}+4=18x-9$，化简得到$x=\frac{13-4\sqrt{x}}{17}$。

我们发现，这个方程可以通过恒等式$\sqrt{x}=2-\frac{4\sqrt{x}}{17}$进一步简化，得到$x=3$是一个解。

但这个解并不是“恒等式”的导致，而是平方操作得到的一个“虚假”解，因此需要进行验证，才能确保它是正确的。

在解题过程中，往往需要考虑待解方程或者不等式的解集是否属于实数域。

因为有时候，方程或不等式在复数域中也有解，但这些解在实际问题中是不可实现的。

以不等式来说，比如解不等式$\frac{x^2+2x+2}{x+1}\leqslant 0$。

如果直接计算不等式的解集，可以得到$\{x\mid x\in(-1- i\sqrt{3},-1+i\sqrt{3})\}$，但这个解集在实际中是没有意义的，因此需要特别注意。

在解决一些数学问题时，需要进行变形操作，有时这些变形可能会导致信息的缺失或者错误的结果。

以算术平均数和几何平均数为例。

已知两个数的算术平均数等于几何平均数，试求这两个数的值。

可以设这两个数为$a$和$b$，由已知条件可以得到$\frac{a+b}{2}=\sqrt{ab}$，也就是说，$a^2-2ab+b^2=0$，解得$(a-b)^2=0$，即$a=b$。

例谈高中数学解题中的几类“陷阱”问题在高中数学解题中，经常会出现一些“陷阱”问题，这些问题看似简单，但实际上却存在一些隐藏的难点，容易给学生带来困扰。

以下列举几类常见的“陷阱”问题：一、变量代换不当在解高中数学问题中，变量代换是一种常见的解题方法。

但有时候，不当的变量代换会导致解题出现问题。

例如，解二次方程时，如果将$x+1$代换为$y$，得出的新方程$y^2=2y+3$并不容易解出$y$，反而会增加解题难度。

因此，在变量代换时需要考虑其对后续计算的影响，避免不必要的麻烦。

二、未化简式子有些问题需要进行求导、积分等操作，但是未化简式子就进行这些操作，容易出现错误。

如计算$\frac{d}{dx}(\sin^2x+\cos x)$，直接对其中的每一项求导，然后将求导结果相加，得到$\cos x\cdot 2\sin x-\sin x$，但实际上两项之间还可以简化为$2\sinx\cos x$，因此正确答案应为$\cos x\cdot 2\sin x+2\sin x\cos x-\sin x$。

因此，在解题时，一定要先将式子化简后再进行操作。

三、定理未熟悉许多数学问题的解法基于数学定理，如果对这些定理不熟悉，就容易在解题过程中出现错误。

例如，有些问题需要用到平面几何相关的定理，如圆内接四边形对角线相等定理、圆内切四边形对角线垂直定理等，如果不熟悉这些定理，很容易无从下手。

所以，在高中数学学习中，学生要加强对数学定理的理解和掌握。

四、误用等式有些问题需要用到特定的数学等式或公式，但如果误用或滥用这些等式，就会出现错误答案。

例如，要求证平行四边形对角线互相平分的问题，如果错误地使用矩形对角线互相平分的性质，就会得到错误的结论。

因此，在解题时，要仔细分析题目，正确使用相应的数学等式或公式。

五、题意理解不到位有些数学问题的题意比较含糊或有多种解释，如果没有理解到位，就容易出现错误。

例如，求相交锥体体积时，如果没有理解清楚题目所描述的锥体的形状和相交部分的形状，就容易计算出错误的结果。

专题05 幂指对函数性质活用一．命题陷阱描述指数函数与对数函数是高中数学两个重要的基本函数，初学者往往不能深刻理解指数函数及对数函数的有关概念、图象、性质及应用.关于指数函数与对数函数的试题在命制时，主要有概念类、分类讨论、转化不等价、隐含条件、迷惑性等几类陷阱。

其中：1.概念类陷阱，包括指数的运算性质找不到化简方向、指数函数的底数讨论，指数函数对数函数的定义中对底数的限制及对数对真数的限制； (1）指数幂的运算。

注意几个运算公式的使用。

(2）指数函数底数讨论。

当时函数是减函数,当时函数是增函数。

（3）指数函数定义.函数必须严格具备形式的函数是指数函数。

(4）对数的底数和真数，它们都必须大于0，底数还要不等于1.2.隐含条件陷阱，对含有的式子，隐含着。

3. 迷惑性陷阱，含有逻辑联结词.把任意和存在转化为求函数的最值问题或方程的有解问题。

4。

分类讨论陷阱，含参数对数函数的定义域值域为全体实数问题。

在处理式要对参数进行讨论要做到不重不漏.5. 等价转化陷阱，指数函数与对数函数互为反函数问题,转化为数形结合问题.6.定义域为R 与值域为R 及特定定义域陷阱 7。

幂指对函数中的倒序求和 二．陷阱类型1.幂指对运算（运算马虎陷阱）例1。

【答案】(1）—6；(2）.x y a =01a <<1a >,0,1xyaa a =>≠且,0,1x aa a >≠且0x a >()()142030.251648201449-⎛⎫-⨯+- ⎪⎝⎭()2.5221l o g 6.25l g l l o g l o g 16100+++72【解析】（1）原式 ；（2）原式 。

【防陷阱措施】主要问题是记清公式，不要随意创造公式 练习1．设, ，下列命题汇总正确的是（ ）A. 若，则B. 若,则C. 若,则D. 若，则 【答案】B练习2．若， 且，则的值（ ) A 。

B. C 。

D 。

导数在函数应用中的六大陷阱“导数”的引入，给函数问题注入了生机与活力，开辟了研究函数问题的新思路、新方法、新途径. 但初学导数在函数问题中的应用时，同学们常常会出现这样或那样的错误，有的错误还不易察觉.下面就介绍六大陷阱, 注意防范.陷阱1：忽视函数的定义域例1求函数()2ln f x x x =-的单调区间.错解： 1()2.f x x'=- 由0)(>'x f ，得10;2x x <>或由0)(<'x f ，得10.2x <<∴)(x f 的单增区间是(2,+∞)，单减区间是（－∞,2）. 点评：本题错在忽视了函数的定义域. 单调性是函数的局部性质，单调区间应是函数定义域的一个子集. 求单调区间时应先确定函数定义域，再来解不等式0)(>'x f 和0)(<'x f . 正确答案是：函数的的单调递增区间为(12，+∞)，此单调递减区间为(0，12) 陷阱2：忽视有极值的条件例2已知1)6()(23++++=x a ax x x f 在R 上有极值,求实数a 的取值范围.错解：由题意知,0)6(23)(2=+++='a ax x x f 在R 上有实数解,所以,0≥∆ 即.630)6(1242≥-≤⇒≥+-a a a a 或点评：本题错在将有极值的必要条件0)(0='x f 当作充要条件使用. 显然, 当3-=a 时,0)1(3)6(23)(22≥-=+++='x a ax x x f ,1不是极值点, )(x f 在R 上没有极值; 当6=a 时,0)2(3)(2≥+='x x f , 2-不是极值点, )(x f 在R 上也没有极值. 对于可导函数)(x f ,0)(0='x f 是在0x 处取得极值的必要而非充分的条件，解题时还要验证在0x 附近)(0x f '是否异号.本题应该由0>∆确定a 的取值范围,正确答案是.63>-<a a 或陷阱3：忽视给定的区间例3求函数51232)(23+--=x x x x f 在[]3,0上的最大值与最小值.错解：由01266)(2=--='x x x f 得,1,221-==x x .当21>-<x x 或时, 0)(>'x f ;当21<<-x 时, .0)(<'x f 因此,)1(-f 是极大值,)2(f 是极小值. 而)1(-f =12 , )2(f =－15 , )0(f =5, )3(f =－4，故函数)(x f 的最大值为12、最小值为－15.点评：本题错在忽视了给定的区间. 显然12-=x ∉ [0，3]，12-=x 不是)(x f 给定区间上的极值点, 21=x 是给定区间上极值点. 只要比较)2(f 、)0(f 、)3(f 的大小即可. 正确的答案是：最大值为5、最小值为－15.陷阱4：忽视极值点与切点的区别例4已知函数()c bx ax x f ++=24的图像经过点（0，1），且在1=x 处的切线方程是2-=x y ，求()x f 的解析式.错解：()bx ax x f 243+='. 将1=x 代入2-=x y 中,得121-=-=y .由题意知,⎪⎩⎪⎨⎧='-==0)1(1)1(1)0(f f f , 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=02411b a c b a c , 解得，a =2，4-=b ，c =1.因此().14224+-=x x x f点评：本题错在将切点当作极值点，得到0)1(='f 的错误结论. 其实，虽然切点和极值点都与导数有关，但它们却是两个完全不同的概念，不能混为一谈. 这里)1(f '表示函数()x f 的图像在点（1，－1）处的切线斜率，应有1)1(='f ，再联立1)1(,1)0(-==f f 便可得到正确答案:,1,29,25=-==c b a 因此().1292524+-=x x x f 陷阱5：忽视函数单增（或单减）的充要条件例5已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求实数a 的取值范围.错解：163)(2-+='x ax x f . ∵)(x f 在R 上是减函数，∴0)(<'x f ,即1632-+x ax ＜0在R x ∈上恒成立，所以012360<+=∆<a a 且，因此 .3-<a点评：本题错在将0)(<'x f 视为)(x f 在R 上是减函数的充要条件. 其实当a =－3时,98313133)(323+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+-=x x x x x f ，与函数3)(x x f -=（此函数在R 上单减）的单调性作比较可知，98313)(3+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x f 在R 上也单减，满足题意，因此本题中的0)(<'x f 只是)(x f 在R 上是减函数的充分而非必要的条件，利用这个条件求a 的范围就漏掉了a =－3这个解. 事实上，可导函数)(x f 在),(b a 上单增（或单减）的充要条件是：对于任意),(b a x ∈，都有0)(≥'x f （或0)(≤'x f ），且)(x f '在),(b a 的任意子区间上都不恒为零. 在高中阶段，主要出现的是有一个或有限多个使0)(='x f 的点x 的情况. 比如, 函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单增，03)(2≥='x x f 在),(+∞-∞上恒成立, 其中有一个=0x 0，使0)(0='x f 成立. 因此, 本题应由0)(≤'x f ，即不等式1632-+x ax ≤0在R x ∈上恒成立, 来求a 的取值范围, 于是012360≤+=∆<a a 且, 解得.3-≤a 故正确答案是.3-≤a陷阱6：忽视分类讨论例6求函数=(]为大于零的常数）t t x xx ,,0(2∈+的单调区间和最值. 错解：)(x f '=221x -=()()222x x x -+. 由0)(>'x f 得22-<>x x 或；由0)(<'x f 得022≠<<-x x 且. 因此，函数)(x f 的单减区间是（0，2]，单增区间是[2，t]， )2(f =22是最小值，无最大值（+→0x 时,xx x f 2)(+=+∞→）. 点评：t 为大于零的常数，0)(='x f 的两个零点是否在所给的区间 (0，t] 内，有待于t 的取值，本题误认为t ＞2，忽视了对常数t 的分类讨论. 正确的解法是：①当t ＞2时，就是上述答案；②当t=2时，)(x f 的单减区间就是(]2,0, )2(f =22是最小值，无最大值（+→0x 时,xx x f 2)(+=+∞→）；③当0＜t ＜2时，函数)(x f 的单减区间是(]t ,0,t t t f 2)(+=是最小值,无最大值（+→0x 时， x x x f 2)(+=+∞→）.。

跳出10个解题陷阱数学中的陷阱题,往往针对考生学习某些概念、定理、运算中的薄弱环节,在考生容易出现错误的地方着手编拟,或是针对考生习惯性思维、思维的弱点来设计障碍,或是针对考生解决某些问题的方法上的缺陷去构造问题.这些问题像现实生活中的陷阱那样,以假乱真,可以有效地检测并暴露出考生的认知缺陷.下面结合一些典型例题教你如何走出陷阱.陷阱一 混淆概念致误——使用概念要明辨典例1 能够把椭圆C:x 29+y 24=1的周长和面积同时平分的函数f(x)称为椭圆C 的“伙伴函数”,下列函数是椭圆C 的“伙伴函数”的是 .(只填序号)①f(x)=x 3-4x;②g(x)=2x-(12)x; ③r(x)=cos (x +π2).易错分析 该题易出现的错误是不能准确理解“伙伴函数”的概念,只注重函数奇偶性的分析.误以为奇函数都是椭圆的“伙伴函数”,忽视对函数图象与椭圆交点个数的分析导致错解.答案 ②③正确解析 已知椭圆C 的“伙伴函数”将该椭圆的周长与面积平分,由椭圆的对称性可知,该函数图象与椭圆C 相交,且该函数为奇函数.①f(x)=x 3-4x 为奇函数,且图象过原点.由f(x)=0,即x 3-4x=0,解得x=0或x=±2,所以函数图象与x 轴的交点都在椭圆内. 而f(1)=13-4×1=-3,由{x 29+y 24=1,x =1,解得y=±4√23.显然|y|=4√23<|-3|,所以函数y=f(x)的图象与椭圆应有6个交点(如图所示),但这6个交点不能把椭圆的周长平分,也不能把椭圆的面积平分,所以该函数不是椭圆C 的“伙伴函数”.②因为g(x)=2x-(12)x=2x -2-x ,所以该函数为奇函数,且其图象过原点.又该函数为R 上的增函数,所以其图象与椭圆C 只有两个交点,y=g(x)的图象可将椭圆C 的周长和面积平分,故函数g(x)是椭圆C 的“伙伴函数”.③r(x)=cos (x +π2)=-sin x,显然该函数为奇函数,其图象过原点且r (π2)=-1.由{x 29+y 24=1,x =π2,解得y=±√36-π23,显然|±√36-π23|>|-1|,故函数y=r(x)的图象与椭圆C 只有两个交点,y=r(x)的图象可将椭圆C 的周长与面积平分,所以函数r(x)是椭圆C 的“伙伴函数”.▲跳出陷阱 解决新定义的有关问题,需要正确理解新定义问题的实质,把新定义的“条件”转化为常见的问题,如该题新定义的“伙伴函数”的实质是研究椭圆的性质与函数图象的特征,“平分椭圆周长与面积”的要求不仅要考虑函数的奇偶性、定义域,如①中的函数f(x)=x 3-4x 的图象与椭圆有6个交点,但这6个交点分布不均匀.这些都会因为没有准确把握“新定义”的实质而导致解错.陷阱二 错求目标失分——解题目标要明确典例2 已知实数x,y 满足{x +2y ≥0,x -y ≤0,0≤y ≤k,且z=x+y 的最大值为6,则(x+5)2+y 2的最小值为( )A.5 B .3 C.√5D.√3易错分析该题中目标函数(x+5)2+y2={√[x-(-5)]2+(y-0)2}2表示的是可行域内的点P(x,y)到点D(-5,0)的距离的平方|PD|2,而不是|PD|.该题易出现的错误就是把两者混淆.答案A正确解析作出不等式组{x+2y≥0,x-y≤0,0≤y≤k对应的平面区域,如图中阴影部分(包括边界)所示.由z=x+y,得y=-x+z.由图可知当直线y=-x+z经过点A时,在y轴上的截距最大,此时z取得最大值6,即x+y=6.由{x+y=6,x-y=0得{x=3,y=3,即A(3,3),由直线y=k过点A,得k=3.(x+5)2+y2的几何意义是可行域内的点P(x,y)与点D(-5,0)的距离的平方,由图可知,点D(-5,0)到直线x+2y=0的距离最小.因此(x+5)2+y2的最小值为(√12+22)2=5.故选A.▲跳出陷阱数形结合求解目标函数的最值:(1)准确作出不等式组所表示的可行域是解决此类问题的关键,一般采用“线定界,点定域”的原则,应注意不等式组中是否含有等号与可行域边界的实虚之间的对应.(2)目标函数的几何意义主要分三类,①截距型,z=ax+by,利用直线l:ax+by-z=0在两坐标轴上的截距的最值求解目标函数的最值;②斜率型,z=y-bx-a,表示可行域内的点P(x,y)到点Q(a,b)连线的斜率;③距离型,z=√(x-a)2+(y-b)2,表示可行域内的点P(x,y)与点Q(a,b)的距离.陷阱三错用结论失分——公式、定理要记准典例3将函数y=sin(5x-π2)的图象向右平移π4个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12,所得图象对应的函数解析式为()A.y=sin(10x-3π4) B.y=sin(10x-7π2)C.y=sin(10x-3π2) D.y=sin(10x-7π4)易错分析解决该题易出现以下两个方面的错误:一是不能准确确定函数解析式的变换与图象左、右平移方向之间的关系;二是记错函数图象上点的横坐标的伸缩变化规律与函数解析式的变换之间的关系.答案D正确解析将原函数的图象向右平移π4个单位长度,所得图象的函数解析式为y=sin[5(x-π4)-π2]=sin(5x-7π4),再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12,得到y=sin(10x-7π4)的图象.故选D.▲跳出陷阱解决三角函数图象的平移与伸缩变换问题,关键是把握前后两个函数解析式之间的关系,熟记相关的规律.如将函数y=f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度,得到函数y=f(x+m)的图象;向右平移m(m>0)个单位长度,得到函数y=f(x-m)的图象.若函数y=f(x)的图象上各点的横坐标变为原来的ω(ω>0)倍,则得到函数y=f(xω)的图象.陷阱四忽视特殊情况——特殊情况要谨记典例4已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,当n≥2时,2S n=(n+1)a n-2.(1)求a2,a3和通项a n;(2)设数列{b n}满足b n=a n·2n-1,求{b n}的前n项和T n.易错分析解决本题易出现以下两个方面的错误:一是利用a n=S n-S n-1建立a n与a n-1之间的关系时忽视n≥2的限制条件,而忽略对n=1时的讨论;二是求数列{b n}的前n项和T n时,忽视该数列的通项公式中n=1时的情况,直接求和不验证而导致错误.正确解析 (1)当n=2时,2S 2=2(1+a 2)=3a 2-2, 则a 2=4,当n=3时,2S 3=2(1+4+a 3)=4a 3-2,则a 3=6, 当n ≥2时,2S n =(n+1)a n -2, 当n ≥3时,2S n-1=na n-1-2,所以当n ≥3时,2(S n -S n-1)=(n+1)a n -na n-1, 即2a n =(n+1)a n -na n-1,整理可得(n-1)a n =na n-1,所以a n n =an -1n -1,因为a 33=a 22=2,所以a n n =a n -1n -1=…=a 33=a22=2,因此,当n ≥2时,a n =2n,而a 1=1,故a n ={1(n =1),2n(n ≥2).(2)由(1)可知b n ={1(n =1),n ·2n (n ≥2),所以当n=1时,T 1=b 1=1, 当n ≥2时,T n =b 1+b 2+b 3+…+b n ,则 T n =1+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n , 2T n =2+2×23+3×24+…+(n-1)×2n +n×2n+1,作差得T n =1-8-(23+24+…+2n )+n×2n+1=(n-1)×2n+1+1, 易知当n=1时满足上式, 故T n =(n-1)×2n+1+1(n ∈N *).▲跳出陷阱 解决数列问题一定要注意n 的取值范围,求通项公式问题,要注意对首项的验证,如该题中用到a n 与S n 的关系式a n =S n -S n-1,而该式成立的前提是n ≥3;再如已知数列{a n },当n ≥2时,若有a n+1a n=q,则该数列不一定是等比数列,因为该式不包含a2a 1=q,若要证明该数列是等比数列,则还需验证a2a 1=q.陷阱五 分类讨论不全——问题分类要全面典例5 已知函数f(x)=12ax 2-(2a+1)x+2ln x(a ∈R),求f(x)的单调区间.易错分析 解决本题时易出现的错误:讨论f(x)的单调性时,对a 分类讨论的标准不正确,造成分类重复或遗漏.正确解析 f '(x)=ax-(2a+1)+2x =(ax -1)(x -2)x(x>0).①当a ≤0时,ax-1<0,在区间(0,2)上, f '(x)>0,在区间(2,+∞)上, f '(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞).②当0<a<12时,1a >2,在区间(0,2)和(1a ,+∞)上, f '(x)>0,在区间(2,1a )上, f '(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,2)和(1a ,+∞),单调递减区间是(2,1a ).③当a=12时, f '(x)=(x -2)22x ≥0,故f(x)的单调递增区间是(0,+∞).④当a>12时,0<1a <2,在区间(0,1a )和(2,+∞)上, f '(x)>0,在区间(1a ,2)上, f '(x)<0.故f(x)的单调递增区间是(0,1a )和(2,+∞),单调递减区间是(1a ,2).▲跳出陷阱 含参函数单调性的分析是一个难点,合理分类是解决此类问题的关键,一般来说,讨论含参函数单调性的问题时,对参数进行分类讨论的基本顺序为:①最高次幂的系数是不是0;②方程f '(x)=0是否有解;③解是否在定义域内;④解之间的大小关系比较.分类之后确定导函数的符号,画出导函数解析式中符号变化的部分对应函数(一般可转化为一次函数或二次函数)的图象,根据函数图象与x 轴的相对位置的变化确定导函数的符号,进而写出单调区间.陷阱六 遗漏条件增解——细心审题不遗漏典例6 在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且a=15,b=10,A=60°,则cos B=( )A.√63B.±√63C.√33D.±√33易错分析 该题易出现的问题是忽视已知条件中三角形的边之间的大小关系,利用正弦定理求解导致增解.答案 A正确解析 由asinA =bsinB , 得sin B=bsinA a=10sin60°15=√33, 因为a>b,所以A>B,所以角B 为锐角, 所以cos B=2B =√1-(√33)2=√63,故选A.▲跳出陷阱 利用正弦定理求角时,一般得到两个互补的角,此时要注意边的大小关系,检验是否符合“大边对大角”,避免增解.如该题中,若忽视边之间的大小关系,就不会判断出角B 为锐角,导致求出该角的余弦值有两个而造成错解.陷阱七 推理不当致误——归纳类比要对应典例7 如图所示,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项,如下表所示:a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 x 1y 1x 2y 2x 3y 3x 4 y 4x 5y 5x 6y 6按此规律,则a 2 013+a 2 014+a 2 015= .易错分析 该题易出现的错误是不能根据已知的数据准确归纳数列的规律性.答案1007正确解析数列{a n}中,a1=1,a2=1,a3=-1,a4=2,a5=2,a6=3,a7=-2,a8=4,……,这个数列的规律是奇数项为1,-1,2,-2,3,-3,…,偶数项为1,2,3,4,…,故a2013+a2015=0,a2014=1007,故a2013+a2014+a2 015=1007.▲跳出陷阱求解一些下标较大的数列问题时,首先要注意归纳数列项的规律,如周期性、相邻两项、三项和的规律性等,如该题是奇数项和偶数项各自具有一个规律,奇数项出现两项和为0的特征,偶数项排成一个正整数数列,但要注意项数与项之间的对应,如该题奇数项中,a4n-3=n,a4n-1=-n.若n为偶数,则对应的项a n=n2,而不是n.陷阱八画图不准失分——“数”化“形”要准确典例8定义域为R的偶函数f(x)满足对任意的x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x∈[0,1]时, f(x)=-2(x-1)2,若函数y=f(x)-log a(|x|+1)在R上恰好有六个零点,则实数a的取值范围是.易错分析该题易出现的错误是不能正确作出函数y=f(x)和y=log a(|x|+1)的图象,而导致解题错误.答案(√55,√3 3)正确解析令x=-1,得f(1)=f(-1)-f(1),因为f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1),所以f(1)=0,则f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为2的周期函数.令g(x)=log a(|x|+1),则g(x)在R上为偶函数,故只需分析f(x)与g(x)在[0,+∞)上的图象即可,根据题意作出函数y=f(x)和y=g(x)在[0,+∞)上的部分图象,如图所示,因为y=f(x)和y=g(x)均为偶函数,所以y=f(x)和y=g(x)的图象在(0,+∞)上恰有三个交点.当函数g(x)=log a(|x|+1)的图象过点(2,-2)时,函数y=f(x)和y=g(x)的图象在(0,+∞)上恰有两个交点,从而函数y=f(x)-log a(|x|+1)在(0,+∞)上恰有两个零点,由log a3=-2得a=√33;当g(x)=log a(|x|+1)的图象过点(4,-2)时,函数y=f(x)和y=g(x)的图象在(0,+∞)上恰有四个交点,从而函数y=f(x)-log a(|x|+1)在(0,+∞)上恰有四个零点,由log a5=-2得a=√55.综上可知,所求实数a的取值范围是(√55,√3 3).▲跳出陷阱本题将函数的零点个数问题转化为两函数图象的交点个数问题,运用数形结合的思想求解,此方法较为常规,本题的难点在于对函数f(x)的周期的推导.本题极易因作图不准确而导致失误,为避免失误,作图时一定要明确函数的定义域、单调性、奇偶性、周期性等,并找出关键点,注意“草图不草”.另外,需重点掌握周期函数与绝对值函数的图象的画法.陷阱九运算过程出错——步骤要合理典例9如图所示的四棱锥A-BCDE中,四边形BCDE是边长为3的正方形,AE⊥平面BCDE,AE=3,点P是边DE上的一个动点,连接PA,PB,PC.(1)若点Q为棱AC的中点,是否存在点P,使得PQ∥平面AEB?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由;(2)当EP=23ED时,求三棱锥C-ABP的高.易错分析在用等体积法求三棱锥C-ABP的高时,易因运算出错,导致△ABP的面积求错,从而所求的结果出错.正确解析(1)存在,当P为DE的中点时,PQ∥平面AEB.证明如下:取AB的中点M,连接EM,QM,如图所示.由Q 为AC 的中点,得MQ ∥BC,且MQ=12BC, 又PE ∥BC,且PE=12BC, 所以PE ∥MQ,PE=MQ,所以四边形PEMQ 为平行四边形, 故ME ∥PQ.又PQ ⊄平面AEB,ME ⊂平面AEB, 所以PQ ∥平面AEB.(2)因为四边形BCDE 是边长为3的正方形,EP=23ED,所以△BCP 的面积S △BCP =12×3×3=92,且EP=23×3=2,因为AE ⊥平面BCDE,所以AE ⊥EP.又AE=3,所以AP=√AE 2+EP 2=√32+22=√13, 因为BP=2+EP 2=2+22=√13=AP, AB=√AE 2+EB 2=√32+32=3√2, 所以等腰△ABP 的面积 S △ABP =12×3√2×√(√13)2-(3√22)2=3√172, 设三棱锥C-ABP 的高为h,因为V C-ABP =V A-BCP , 所以13S △ABP ×h=13S △BCP ·AE, 所以h=S △BCP ·AE S △ABP=92×33√172=9√1717, 所以三棱锥C-ABP 的高为9√1717.▲跳出陷阱 利用等体积法求三棱锥(或四面体)的高时,一定要认真计算底面三角形的面积.陷阱十 问题转化不等价——等价转化要正确典例10 函数f(x)=12x 2-2aln x+(a-2)x,a ∈R.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;(2)是否存在实数a,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,有f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1>a 恒成立?若存在,求出a 的取值范围;若不存在,请说明理由.易错分析 该题易出现的错误是直接把题中f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1>a 转化为该函数的导数值的范围,即f '(x)>a.正确解析 f '(x)=x-2a x +a-2=(x -2)(x+a)x (x>0). (1)当a=1时, f(1)=-12,f '(x)=(x -2)(x+1)x , f '(1)=-2,所以所求的切线方程为y-(-12)=-2(x-1),即4x+2y-3=0.(2)假设存在这样的实数a 满足条件,不妨设x 1<x 2.由 f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1>a,知f(x 2)-ax 2>f(x 1)-ax 1成立.令g(x)=f(x)-ax=12x 2-2aln x-2x,则函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g'(x)=x-2a x -2≥0,即2a ≤x 2-2x=(x-1)2-1在(0,+∞)上恒成立.所以a ≤-12,故存在这样的实数a 满足题意,其取值范围是(-∞,-12].▲跳出陷阱 条件的合理转化是将复杂、陌生的问题转化为简单、熟悉的问题的关键,在转化过程中一定要对式子进行等价变形,如该题中的第(2)问探究性问题中的“f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1>a ”,其几何意义是曲线上两点(x 1, f(x 1))与(x 2, f(x 2))连线的斜率,但如果直接利用导数的几何意义转化为该直线的斜率与函数图象上某点处切线斜率之间的大小关系,则求解较复杂,应该通过代数式的等价变形,转化为函数y=f(x)-ax的单调性问题求解.。