5.5三角形内角和定理(2)
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初中数学有关三角形的公理和定理
一、一般性质
1、三角形内角和定理:三角形的内角和等于180°
2、三角形外角的性质:
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;
②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角;③三角形的外角和等于360°
3、三边关系:
(1)两边之和大于第三边;
(2)两边之差小于第三边
4、三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
5、三角形的三边的垂直平分线交于一点(外心),这点到三个顶点的距离(外接圆半径)相等。
6、三角形的三条角平分线交于一点(内心),这点到三边的距离(内切圆半径)相等。
二、特殊性质:
7、等腰三角形、等边三角形
(1)等腰三角形的两个底角相等.(简写成“等边对等角”)(2)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.(简写成“等角对等边”)
(3)“三线合一”定理:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线
和底边上的高互相重合
(4)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个内角都等于60°.(5)三个角都相等的三角形是等边三角形。
(6)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
8、直角三角形:
(1)直角三角形的两个锐角互余;
(2)勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;(3)勾股定理逆定理:如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形.
(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
(5)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
(6)三角形一边的中线等于这边的一半,这个三角形是直角三角形。
AB CEDCBA5.5三角形内角和定理(一)教学目标教学目标知识技能探索三角形的内角和,并初步体会利用辅助线解决几何问题.数学思考在探索三角形内角和的过程中,培养学生观察、猜想和论证能力.解决问题能够利用三角形的内角和解决相关计算问题情感态度价值观在探索过程中,鼓励学生大胆尝试,弘扬个性发展。
获得成功体验.重点掌握三角形内角和定理的证明极其简单应用.(二)学习准备1.平行线的性质有哪些?2.三角形内角和是多少度?◆课中导学(合作探究反思提升)我们已经通过度量的方法知道了三角形内角和等于180°,但是由于不同形状的三角形有无数个,我们不可能用度量的方法一一验证所有三角形,于是我们需要寻求一种能证明任意三角形内角和等于180°的方法。
➢探究1:在纸上画一个三角形,并将它的内角撕下来拼在一起,就得到一个平角,从这个操作过程,你能发现证明的思路吗?【动手操作已经准备好的三角形纸片,独立完成拼合,拼合完成后进行交流】可能有如下的拼合方式,根据拼合的图形,容易发现三角形的三个内角的和确是180°.AB C图1 图2 图3经过观察与实验得到的结论,并不一定正确、可靠,我们还需要通过数学知识来说明.怎样用数学知识来说明呢?。
请同学们完成下面的证明过程【分组合作,小组讨论,然后进行交流】求证:三角形内角和等于180°如图,已知△ABC,试证明∠A+∠B+∠C=180°。
方案一:证明:作BC的延长线CD,过点C作射线CE∥AB.则_____(两直线平行,内错角相等);_____(两直线平行,同位角相等);∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(1平角=180°),∴__________=180°(等量代换).即:∠A+∠B+∠C=180°.方案二:证明:过点A作直线PQ∥BC.∵PQ∥BC(已作),∴_______(两直线平行,内错角相等);_______(两直线平行,内错角相等).∵___________=180°(平角定义),∴∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代换)★应用新知(勤于动手用于尝试)☆练习1:在△ABC中,如果∠C=∠B=2∠A,(1)求∠A、∠B、∠C的度数。
证明三角形的内角和定理1、过三角形的一个顶点做对边的平行线,该顶点处有三个角,相加为180,然后把这三个角中的两个角通过平行关系代换成内角,从而得证。
2、任意绘制一个平行四边形,将其分割成两个三角形,这两个三角形全等,然后平行四边形相邻两角相加为180,可以找到三个角的和为180,而其中两个角是一个三角形的内角,还有一个角同样可以通过平行线关系代换成此三角形内角,从而得证。
3、任意做三角形的一条高线,然后过高线所在边的一个顶点,做高线的平行线,然后可以证明出被高线分割出来的三角形的两个不是直角的内角互余,然后同理另外一个三角形的两角也互余,这四个角相加等于大三角形的内角和,等于一百八十度,从而得证。
扩展资料:一、内角和公式任意n边形的内角和公式为θ=180°·(n-2)。
其中,θ是n边形内角和,n是该多边形的边数。
从多边形的一个顶点连其他的顶点可以将此多边形分成(n-2)个三角形,每个三角形内角和为180°,故,任意n边形内角和的公式是:θ=(n-2)·180°,∀n=3,4,5,…。
二、多边形内角和定理证明证法一:在n边形内任取一点O,连结O与各个顶点,把n边形分成n个三角形。
因为这n个三角形的内角的和等于n·180°,以O为公共顶点的n个角的和是360°所以n边形的内角和是n·180°-2×180°=(n-2)·180°.(n为边数)即n边形的内角和等于(n-2)×180°.(n为边数)证法二:连结多边形的任一顶点A1与其不相邻的各个顶点的线段,把n边形分成(n-2)个三角形。
因为这(n-2)个三角形的内角和都等于(n-2)·180°(n为边数)所以n边形的内角和是(n-2)×180°。
证法三:在n边形的任意一边上任取一点P,连结P点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成(n-1)个三角形,这(n-1)个三角形的内角和等于(n-1)·180°(n为边数)以P为公共顶点的(n-1)个角的和是180°所以n边形的内角和是(n-1)·180°-180°=(n-2)·180°.(n为边数)。
三角形内角和定理证法面面观已知:如图,△ABC, 求证:∠A+∠B+∠C=180°.证明:作BC 的延长线CD ,过C 点作CE∥AB . ∴∠1=∠B(两直线平行,同位角相等), ∠2=∠A(两直线平行,内错角相等). ∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定义), ∴∠B+∠A+∠ACB=180°(等量代换).为了拓展同学们的视野,提高分析问题和解决问题的能力,以“三线八角”(即两条平行线被第三条直线所截,所构成的同位角、内错角和同旁内角)之间的关系再给出几种证法.证法一:利用同位角和同旁内角证明 证明:作CA 的延长线AD ,过A 点作MN∥BC . ∴∠C=∠1(两直线平行,同位角相等),∠B+∠BAN=180°(两直线平行,同旁内角互补). ∵∠1=∠2(对顶角相等),∠BAN=∠BAC+∠2(已知), ∴∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代换). 证法二:利用内错角和同旁内角证明 证明:过A 点作AD∥BC .∴∠C=∠1(两直线平行,内错角相等),∠B+∠BAD=180°(两直线平行,同旁内角互补). ∵∠BAD=∠BAC+∠1(已知),∴∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代换). 证法三:利用同位角和同位角证明证明:过C 点作DE∥AB,作AC 、BC 的延长线AF 、CG. ∴∠A=∠1,∠B=∠3(两直线平行,同位角相等). ∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义), ∠2=∠ACB(对顶角相等),∴∠A+∠ACB+∠B=180°(等量代换). 证法四:利用内错角和内错角证明ABCE1 2 A BC D1ABC DEF G1 23 AB CDE1 2A BCDMN1 2证明:过A点作DE∥BC.∴∠B=∠1,∠C=∠2(两直线平行,内错角相等). ∵∠1+∠BAC+∠2=180°(平角的定义),∴∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代换).证法五:利用同旁内角和同旁内角证明证明:过A点作MN∥BC.∴∠B+∠BAN=180°,∠C+∠CAM=180°(两直线平行,同旁内角互补).∵∠BAN=∠BAC+∠2,∠CAM=∠BAC+∠1(已知),∴(∠B+∠BAC+∠2)+(∠C+∠BAC+∠1)=360°(等式性质).∵∠1+∠BAC+∠2=180°(平角的定义),∴∠B+∠BAC+∠C=360°-180°=180°(等式性质).AB CM N1 2。
5.5《三角形的内角和》(教案)四年级下册数学人教版今天,我要为大家教授的是四年级下册数学人教版的《三角形的内角和》。
一、教学内容我们今天的学习内容是教材第五章第五节,主要内容是探讨三角形的内角和。
在这个章节中,学生们将通过观察和实验,验证三角形的内角和等于180度。
二、教学目标通过本节课的学习,我希望学生们能够理解三角形的内角和概念,能够运用这一概念解决实际问题。
三、教学难点与重点本节课的重点是让学生们验证并理解三角形的内角和等于180度。
难点在于如何引导学生通过实验和观察来得出这一结论。
四、教具与学具准备为了帮助学生们更好地理解课程内容,我准备了一些教具和学具,包括三角形模型、量角器、画图工具等。
五、教学过程六、板书设计在课堂上,我会设计一些简洁明了的板书,用来展示三角形的内角和等于180度的结论,以及一些示例题目。
七、作业设计八、课后反思及拓展延伸重点和难点解析在上述的教学设计中,有几个重要的细节是需要我们重点关注的。
实践情景的引入是非常关键的,它能够激发学生的兴趣,并让学生们意识到三角形内角和的概念在实际生活中的应用。
观察和实验的环节是学生们能够亲手验证三角形内角和的关键步骤,这一环节的设计需要学生们能够通过实际的操作来观察和记录数据。
再者,小组讨论的设计能够促进学生们之间的交流和合作,通过分享和讨论,他们能够更深入地理解和掌握三角形的内角和概念。
作业题目的设计是为了巩固学生们在课堂上所学的知识,通过解答题目,他们能够将所学的概念应用到具体的题目中。
对于这些重点细节,我想进一步补充和说明。
实践情景的引入可以通过一个简单的例子来进行。
比如,我可以拿出一个三角形模型,然后问学生们这个图形的内角和是多少。
这个简单的例子能够让学生们意识到三角形内角和的概念,并激发他们对这个问题的兴趣。
观察和实验的环节是学生们能够亲手验证三角形内角和的关键步骤。
在这个环节中,我会引导学生使用量角器来测量三角形的内角,并记录下来。
三角形内角和定理的证明知识梳理:一.三角形内角和定理:三角形的内角和等于180°.符号表示:△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.变式:∠A=180°-∠B-∠C.谈重点三角形内角和解读(1)三角形内角和等于180°是三角形的一个重要性质.与三角形的具体形状或种类没有关系,即所有三角形的内角和都等于180°;(2)三角形内角和等于180°是三角形本身固有的一个隐含条件,在有关角的计算或日常生活中应用广泛;(3)利用定理在三角形中已知两角可求第三角,或已知各角的关系求各角;(4)三角形内角和的一个重要结论:直角三角形的两个锐角互余.例:1、在一个三角形中,下列说法错误的是().A.可以有一个锐角和一个钝角B.可以有两个锐角C.可以有一个锐角和一个直角D.可以有两个钝角2、已知一个三角形三个内角度数的比是1∶5∶6,则其最大内角的度数为().A.60°B.75°C.90°D.120°3、一副三角板(分别含45°角和60°角)如图1叠放在一起,求图中∠α的度数。
分析:欲求∠α的度数,需先求出∠BAE,而∠BAE+∠B=∠FED,求∠BAE要用三角形外角的性质。
二.三角形的外角(1)定义:三角形的一边与另一边的延长线所组成的角,叫做三角形的外角.如图所示,∠ACD和∠BCE是△ABC的两个外角,而∠DCE不是三角形的外角.(2)三角形外角的特征三角形的外角特征:①顶点是三角形的一个顶点;②外角的一边是三角形的边;③外角的另一条边是三角形某条边的延长线.(3)三角形外角的实质是一个内角的邻补角,两个角的和等于180°.如上图中,∠ACB+∠ACD=180°.三角形外角定理:三角形的一个外角等于与他不相邻的两个内角的和。
如刚才的例子,∠ACD=∠A+∠B。
试证明之:例:1、如图所示,∠1为三角形的外角的是().2、如图所示,在△ABC中D是AC延长线上的一点,∠BCD等于()A.72°B.82°C.98°D.124°(1)如右图所示,△ABC中,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,若∠ADB=93•°,•则∠A=_________.3.(2)三角形的三个外角中,最多有______个锐角.3、已知△ABC中,点P是△ABC内的一点,连接BP、CP,试说明:∠BPC=∠ABP+∠ACP+∠A。
欧几里得证明三角形内角和定理
在欧几里得的《几何原本》中,三角形内角和定理被安排为第一卷的命题32:“在任意三角形中,如果延长一边,则外角等于二内对角的和,而且三角形的三个内角的和等于二直角.”
他是用平行线的性质,先证明外角等于两个内对角的和,进而证明三角形的内角和定理.
在欧几里得几何中,三角形的内角和定理与另一个更弱的命题等价“所有三角形的内角和都相同.”证明如下:
设任意三角形的内角和都是x,如图所示,则有:
∠BAC+∠B+∠C=x,①
∠1+∠B+∠3=x,②,
∠2+∠4+∠C=x,③
∠3+∠4=180o,④
∠1+∠2=∠BAC⑤,
②+③并用④⑤①代入,得
2x=(∠1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠C)
=(∠1+∠2)+(∠B+∠C)+(∠3+∠4)
=∠BAC+∠B+∠C+180 o
=x+180 o
解得x=180 o.
B
1 / 1。
三角形内角和定理的几种证明方法有很多种方法可以证明三角形的内角和定理,下面列举了其中的几种常见证明方法。
方法一:利用平行线的性质1.加边法:首先,将三角形ABC边AB上延长一条边AD,使得AD与BC平行。
然后,利用平行线性质可得∠BAC和∠DCA是同位角。
再进一步,由三角形内角和定理可知∠BAC+∠ACB+∠DCA=180°,再结合∠ACB+∠DCA=180°,得到∠BAC+∠ACB+∠DCA=360°,即证明了三角形内角和定理。
方法二:利用直线的性质1.平行线截三角形法:首先,通过点B和点C分别作直线DE和直线AF与边AC交于点D和点E,点AB交于点F。
然后,利用平行线截三角形的性质可知,三角形ADF与三角形ABC相似,三角形CDE与三角形ABC相似。
根据相似三角形的内角和相等,我们可以得到三角形ADF的内角和为∠ADF+∠DAF+∠AFD=180°,以及三角形CDE的内角和为∠CDE+∠EDC+∠DEC=180°。
进一步,根据三角形内角和的性质,我们可以推出∠BAC+∠ACB+∠ABC=∠ADF+∠DAF+∠AFD+∠CDE+∠EDC+∠DEC=180°+180°=360°,即证明了三角形内角和定理。
方法三:利用三角形面积的性质1.面积法:首先,画出三角形ABC,并作高BD。
然后,利用三角形面积的公式S=1/2*底*高,可知三角形ABC的面积为S=1/2*AB*BD+1/2*AC*CD+1/2*BC*CE。
再进一步,可知三角形ABC的面积为S=1/2*(AB*BD+AC*CD+BC*CE)。
由于BD=CD+CE,代入原式可得S=1/2*(AB*CD+AC*CD+BC*CE+BC*CE)。
化简得S=1/2*(AB*CD+AC*CD+BC*2CE)=1/2*(AB+AC+BC)*CD。
由于三角形ABC的面积等于三角形ABC的高与底乘积的两倍,即S=1/2*(AB+AC+BC)*CD。
三角形三边关系三角形内角和定理三角形三边关系与三角形内角和定理三角形是几何学中的基本图形,由三条边和三个顶点构成。
在三角形中,三边之间有一系列内在的关系,而三角形的内角和也有一个重要的定理与之对应。
本文将详细介绍三角形三边关系和三角形内角和定理。
一、三角形三边关系三角形的三边之间存在着一系列特殊的关系,下面将介绍三个重要的三边关系。
1. 三边长关系在任意三角形中,任意两条边之和大于第三条边的长度。
即对于三角形的边长a、b、c,有以下关系:a +b > ca + c > bb +c > a这个关系被称为三边长关系,它是构成三角形的必要条件。
2. 三边长比较关系当我们知道三角形的两条边长和它们的夹角时,可以通过角的余弦定理来比较三条边的长度。
角的余弦定理表达式如下:c² = a² + b² - 2ab*cos(C)其中,a、b、c分别表示三角形的边长,C表示夹角的度数。
3. 直角三角形的特殊边关系直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
在直角三角形中,三边之间有一种特殊的关系,即勾股定理。
勾股定理表达式如下:c² = a² + b²其中,a、b分别表示直角三角形的两条直角边,c表示斜边的长度。
二、三角形内角和定理三角形的内角和定理是指三角形内角的度数和为180度。
即在任意三角形ABC中,有以下关系:∠A + ∠B + ∠C = 180°这个定理是三角形的基本性质之一,有助于我们在解决三角形相关问题时进行推理和计算。
三、应用举例三角形的三边关系和内角和定理在几何学中有着广泛的应用。
下面将通过几个具体的例子来展示其应用。
例1:已知三角形的两边长分别为3cm和4cm,夹角为60度,求第三边的长度。
根据角的余弦定理,可以得到:c² = 3² + 4² - 2*3*4*cos(60°)= 9 + 16 - 24*cos(60°)= 25 - 12= 13因此,第三边的长度为√13 cm。
平面几何中的三角形和三角形的内角和定理三角形是平面上最简单、最基本的几何图形之一。
它由三条线段所围成,每条线段称为三角形的边,两条相邻的边所夹的角称为三角形的角。
在三角形中,有一些角具有特殊的性质,它们的和也有着特别的规律。
本文将介绍三角形中的三角形内角和定理,帮助读者更好地理解和应用平面几何。
一、三角形的内角和对于任意一个三角形ABC,三个内角的和应该等于180度,即∠A+∠B+∠C=180°。
这个结论可以用多种方法来证明。
方法一:利用三角形的等角定理。
我们先假设三角形ABC中的角A等于90度,则∠B和∠C互为余角,即∠B=90°-∠C。
将等式代入∠A+∠B+∠C=180°中,可以得到∠A+(90°-∠C)+∠C=180°,化简后得到∠A+90°=180°,即∠A=90°。
因此,三角形ABC是一个直角三角形。
方法二:利用平行线与交线的性质。
我们用线段AC作为三角形ABC的一条边,通过点B画一条平行于线段AC的直线DE,使DE与BC相交于点F。
因为AC与DE平行,所以∠A=∠E。
同时,∠EBF和∠CBF都是180度减去∠C,即∠EBF=∠CBF=180°-∠C。
因此,∠E+∠B+∠F=∠A+∠B+∠C=180°,即∠E+∠B+(180°-∠C)=180°,化简后得到∠E=∠C。
所以,∠A+∠B+∠C=∠E+∠B+∠C=180°。
方法三:利用三角形的面积公式。
我们将三角形ABC绕某个顶点旋转,使其底边平移至一条与底边平行的直线上,然后将三角形划分成两个梯形和一个三角形。
根据相似三角形的性质,两个梯形面积之和与三角形面积之比等于梯形的中线之比,即hA:hB=AC:BD。
因为BD=AC,所以hA=hB。
同理,再用梯形的面积公式,可得hA=hB=hC,即三角形ABC的三个高相等。
八年级数学导学稿
第五章几何证明初步
5.5三角形内角和定理(2)
开发区初中八年级数学备课组
学习目标:1、掌握直角三角形的性质定理及其逆命题。
2、经历探索直角三角形的性质定理及其逆命题的推理的过程,进一步培
养学生的推理能力.从而使他们灵活应用所学知识。
重点:直角三角形的性质定理及其逆命题。
难点:灵活应用所学知识证明直角三角形的性质定理及其逆命题。
教学过程:
【温故知新】
1、三角形内角和定理的内容是什么?
2、取一副三角尺,你能说出每个三角尺的两个锐角的度数吗?同一副三角尺的两个锐角的和是多少度?
【探索新知】
1、已知:在直角△ABC中,
∠ACB=900,求证:∠A+∠B =900
2、合作探究:直角三角形的性质定理: ------------------
3、你能说出直角三角形的性质定理的逆命题吗?
它是真命题还是假命题?如果是真命题,请加以证明;如果是假命题,请举一反例。
4、例1:已知:在直角△ABC中, ∠ACB=900, DC⊥AB,垂足是D求证:∠ACD =∠B
D C
B A
【巩固提升】
如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC 于D,
则∠B=∠________,∠C=∠________.
【课堂小结】
【达标检测】
1、将一副常规的三角尺按如图方式放置,则图中∠AOB 的度数为
A .75°
B .95°
C .105°
D .120°
2.已知:如图,在Rt △ABC 和Rt △BAD 中,AB 为斜边,AC=BD,BC,AD 相交于点E
(1) 求证:AE=BE;
(2) 若∠AEC= 45,AC=1,求CE 的长。
A
C
【我的反思】。