江苏省淮安市盱眙县马坝高级中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题

江苏省马坝高级中学2020-2021学年高二数学上学期期中调研测试试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

1.已知集合A ＝{x |4x 2﹣x ﹣5≤0}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∩B ＝（ ）A ．（﹣1，1）B ．（﹣1，54） C ．[﹣1，1） D ．（﹣54，1] 2.设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是（ ） A ．y 2=﹣8xB ．y 2=8xC ．y 2=﹣4xD ．y 2=4x3．已知0,0a b >>，且191a b+=，则ab 的最小值为（ ） A ．100B ．81C ．36D ．94.标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的1010倍，若视力4.1的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ） A ．4510a B ．91010a C ．4510a -D ．91010a -5. 已知不等式210ax bx --≥的解集是11[,]23--, 则不等式20x bx a --<的解集是（ ） A ．(2,3) B ．(,2)(3,)-∞⋃+∞ B ．C ．11(,)32D ．11(,)(,)32-∞⋃+∞6.已知关于x 的不等式210x x a -+-≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7.已知抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线2221x y a-=（a ＞0）的一条渐近线的距离为12，则该双曲线的方程为（ ） A ．x 2﹣y 2＝1B ．22x -y 2＝1C ．23x -y 2＝1D ．24x -y 2＝18.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇.这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为130尺，则在第几天墙才能被打穿（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全对5分，不全对3分，选错0分.9．下列是“不等式22530x x --<成立”的必要不充分条件的是（ ） A ．321≤<-x B ．142x -<< C ．132x -<< D ．102x -<<10.下列函数中，最小值是 ）A ．2y xx=+B ．y =C ．22244y x x =+++ D ．2xxy e e-=+11.已知椭圆C 的中心在原点，焦点1F ，2F 在y 轴上，且短轴长为2，，过焦点1F 作y 轴的垂线，交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．椭圆方程为2213y x +=B ．椭圆方程为2213x y +=C ．3PQ =D ．2PF Q ∆的周长为12.无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（15题第一问2分，第二问3分） 13．命题1:0,()12xp x ∀><的否定形式为_______.14.若关于x 的不等式()()30x a x --<成立的充要条件是23x <<，则a =______.15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若271230a a a ++=，则=7a ______，13S 的值是________． 16．在实数集R 中定义一种运算“*”，具有性质： （1）对任意a ，b ∈R ，a b b a *=*； （2）对任意a ∈R ，0a a *=；（3）对任意a ，b ∈R ，()()()()5a b c c ab a c b c c **=*+*+*-. 则函数()10y x x x=*>的最小值为______. 三．解答题：（70分，第17题10分，其他每题12分。

江苏省2020—2021学年高二数学上学期期中考试卷（一）（考试时间120分钟满分160分）一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．数列{n+2n}中的第4项是．2．抛物线x2=4y的准线方程为．3．若原点（0，0）和点（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是．4．已知等差数列{a n}，其中a1=，a2+a5=4，a n=33，则n的值为．5．若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为．6．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若27a3﹣a6=0，则=．7．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是．8．已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．9．已知数列{a n}是等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，求S5．10．已知椭圆：的焦距为4，则m为．11．若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是．12．椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．13．将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第100项，即a100=．14．若实数a，b满足a=+2，则a的最大值是．二.解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．求适合下列条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，﹣6）；（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6．16．已知数列{a n}的通项公式是a n=n2+kn+4（1）若k=﹣5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，a n有最小值．并求出最小值，（2）对于n∈N*，都有a n+1＞a n，求实数k的取值范围．17．某厂家计划在2016年举行商品促销活动，经调查测算，该商品的年销售量m万件与年促销费用x万元满足：m=3﹣，已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家的产量等于销售量，而销售收入为生产成本的1.5倍（生产成本由固定投入和再投入两部分资金组成）．（1）将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；（2）该厂2016年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？18．（1）解关于x的不等式：（a2+a﹣1）x＞a2（1+x）+a﹣2（a∈R）；（2）如果x=a2﹣4在上述不等式的解集中，求实数a的取值范围．19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为2．（1）若椭圆C经过点（，1），求椭圆C的标准方程；（2）设A（﹣2，0），F为椭圆C的左焦点，若椭圆C上存在点P，满足=，求椭圆C的离心率的取值范围．20．已知递增数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，4S n﹣4n+1=a n2．设b n=，n∈N*，且数列{b n}的前n项和为T n．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）试求所有的正整数m，使得为整数；（3）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+18（﹣1）n+1恒成立，求实数λ的取值范围．二.高二数学试题21．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60）内的汽车有辆．22．若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率为．23．已知命题甲是“{x|≥0}”，命题乙是“{x|log3（2x+1）≤0}”，则甲是乙的条件．（从充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选填）24．下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题P：∃x∈R，x2+x+1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1则log a（a+1）＜”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确命题序号都填上）25．设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．26．将扑克牌4种花色的A，K，Q共12张洗匀．（1）甲从中任意抽取2张，求抽出的2张都为A的概率；（2）若甲已抽到了2张K后未放回，求乙抽到2张A的概率．参考答案一.填空题1．解：根据题意，数列{n+2n}的通项a n=n+2n，则其第4项a4=4+24=20；故答案为：20．2．解：∵抛物线方程为x2=4y，∴其准线方程为：y=﹣1．故答案为：y=﹣1．3．解：因为原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，所以（﹣a）•（1+1﹣a）＜0，解得0＜a＜2，故答案为：（0，2）．4．解：在等差数列{a n}，由a1=，a2+a5=4，得2a1+5d=4，即，．∴，由a n=33，得，解得：n=50．故答案为：50．5．解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为：3．6．解：设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，由27a3﹣a6=0，得27a3﹣a3q3=0，即q=3，∴=．故答案为：28．7．解：∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0∴∴3x+4y=（3x+4y）（）=×3=5当且仅当即x=2y=1时取等号故答案为：58．解：双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±，由题意可得=，解得a=．故答案为：．9．解：数列{a n}是等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1=a1•a4，可得a4=2．再由a4与2a7的等差中项为，可得a4 +2a7 =，故有a7 =．∴q3==，∴q=，∴a1=16．∴s5==31．10．解：由题意，焦点在x轴上，10﹣m﹣m+2=4，所以m=4；焦点在y轴上，m﹣2﹣10+m=4，所以m=8，综上，m=4或8．故答案为：m=4或8．11．解：在等差数列中，a1+a2=x+y；在等比数列中，xy=b1•b2．∴===++2．当x•y＞0时， +≥2，故≥4；当x•y＜0时， +≤﹣2，故≤0．答案：[4，+∞）或（﹣∞，0]12．解：设Q（m，n），由题意可得，由①②可得：m=，n=，代入③可得：，可得，4e6+e2﹣1=0．即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0解得e=．故答案为：．13．解：根据题意，分析相邻两个图形的点数之间的关系：a2﹣a1=4，a3﹣a2=5，…由此我们可以推断：a n﹣a n﹣1=n+2（n≥2），又由a1=5，所以a100=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a100﹣a99）=5+4+5+…+102=5+=5252；即a100=5252；故答案为：5252．14．解：设=x，=y，且x≥0，y≥0；∴b=x2，4a﹣b=y2，即a==；∴a=+2可化为=y+2x，即（x﹣4）2+（y﹣2）2=20，其中x≥0，y≥0；又（x﹣4）2+（y﹣2）2=20表示以（4，2）为圆心，以2为半径的圆的一部分；∴a==表示圆上点到原点距离平方的，如图所示；∴a的最大值是×（2r）2=r2=20故答案为：20．二.解答题15．解：（1）设椭圆的标准方程为=1，或，a＞b＞0，∵长轴长是短轴长的2倍，∴a=2b，①∵椭圆过点（2，﹣6），∴=1，或=1，②由①②，得a2=148，b2=37或a2=52，b2=13，故所求的方程为或．（2）设椭圆的标准方程为=1，a＞b＞0，∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示，∴△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线（高），且OF=c，A1A2=2b，∴c=b=3．∴a2=b2+c2=18．故所求椭圆的方程为．16．解：（1）若k=﹣5，则a n=n2﹣5n+4=（n﹣1）（n﹣4），令a n＜0，则1＜n＜4，∴数列中第2、3项共2项为负数，∵f（x）=x2﹣5x+4是开口向上，对称轴x=的抛物线，∴当n=2或3时，a n有最小值22﹣5×2+4=﹣2；（2）依题意，a n+1＞a n，即（n+1）2+k（n+1）+4＞n2+kn+4，整理得：k＞﹣2n﹣1，又∵对于n∈N*，都有a n+1＞a n，∴k大于﹣2n﹣1的最大值，∴k＞﹣2﹣1=﹣3．17．解：（1）由题意知，每件产品的销售价格为1.5×（万元），∴利润函数y=m[1.5×]﹣（8+16m+x）=4+8m﹣x=﹣[+（x+1）]+29（x≥0）．（2）因为利润函数y=﹣[+（x+1）]+29（x≥0），所以，当x≥0时， +（x+1）≥8，∴y≤﹣8+29=21，当且仅当=x+1，即x=3（万元）时，y max=21（万元）．所以，该厂家2016年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．18．解：（1）（a2+a﹣1）x＞a2（1+x）+a﹣2，（a2+a﹣1）x﹣a2x＞a2+a﹣2，（a﹣1）x＞a2+a﹣2，（a﹣1）x＞（a﹣1）（a+2），当a＞1时，解集为{x|x＞a+2}；当a=1时，解集为∅；当a＜1时，解集为{x|x＜a+2}；（2）解法一：由题意，或，分别化为：或，解得：a＞3或﹣2＜a＜1，则实数a的取值范围为（﹣2，1）∪（3，+∞）；解法二：将x=a2﹣4代入原不等式，并整理得：（a+2）（a﹣1）（a﹣3）＞0，根据题意画出图形，如图所示：根据图形得：实数a的取值范围为（﹣2，1）∪（3，+∞）．19．解：（1）由题意可得c=1，即a2﹣b2=1，又代入点（，1），可得+=1，解方程可得a=，b=，即有椭圆的方程为+=1；（2）由题意方程可得F（﹣1，0），设P（x，y），由PA=PF，可得=•，化简可得x2+y2=2，由c=1，即a2﹣b2=1，由椭圆+=1和圆x2+y2=2有交点，可得b2≤2≤a2，又b=，可得≤a≤，即有离心率e=∈[，]．20．（1）证明：由，得，…所以，即，即（n≥2），所以a n﹣2=a n﹣1（n≥2）或a n﹣2=﹣a n﹣1（n≥2），即a n﹣a n﹣1=2（n≥2）或a n+a n﹣1=2（n≥2），…若a n+a n﹣1=2（n≥2），则有a2+a1=2，又a1=1，所以a2=1，则a1=a2，这与数列{a n}递增矛盾，所以a n﹣a n﹣1=2（n≥2），故数列{a n}为等差数列．…（2）解：由（1）知a n=2n﹣1，所以==，…因为，所以，又2m﹣1≥1且2m﹣1为奇数，所以2m﹣1=1或2m﹣1=3，故m的值为1或2．…（3）解：由（1）知a n=2n﹣1，则，所以T n=b1+b2+…+b n==，…从而对任意n∈N*恒成立等价于：当n为奇数时，恒成立，记，则≥49，当n=3时取等号，所以λ＜49，当n为偶数时，恒成立．记，因为递增，所以g（n）min=g（2）=﹣40，所以λ＜﹣40．综上，实数λ的取值范围为λ＜﹣40．…二.高二数学试题21．解：由频率分布直方图得：时速在区间[40，60）内的汽车的频率为（0.01+0.03）×10=0.4．∴时速在区间[40，60）内的汽车有0.4×200=80（辆）．故答案为：80．22．解：随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，∵甲与丙都不在第一天值班，∴乙在第一天值班，∵第一天值班一共有3种不同安排，∴甲与丙都不在第一天值班的概率p=．故答案为：．23．解：命题甲：≥0，化为x（x﹣1）（x+1）≥0，且x≠1，解得：﹣1≤x≤0，或x＞1．命题乙：log3（2x+1）≤0，化为0＜2x+1≤1，解得：0．则甲是乙的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．24．解：对于①，由于否命题是对命题的条件、结论同时否定，①只否定了结论，条件没否定，故①错；对于②，由于含量词的命题有否定公式是：量词交换，结论否定，故②对；对于③，因为”￢p“为真，故p假；因为“p或q”为真，所以p，q有真，所以q一定为真，故③对；对于④，因为0＜a＜1，y=log a x是减函数，∵∴，故④错．故答案为：②③25．解：∵y=kx+1在R递增，∴k＞0，由∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，得方程x2+（2k﹣3）x+1=0有根，∴△=（2k﹣3）2﹣4≥0，解得：k≤或k≥，∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴命题p，q一真一假，①若p真q假，则，∴＜k＜；②若p假q真，则，∴k≤0；综上k的范围是（﹣∞，0]∪（，）．26．解：（1）将扑克牌4种花色的A，K，Q共12张洗匀．甲从中任意抽取2张，基本事件总数n==66，抽出的2张都为A包含的基本事件个数m=，∴抽出的2张都为A的概率p==．（2）甲已抽到了2张K后未放回，余下10张中抽出2张的方法有=45，抽出的两长都是A的方法有，∴乙抽到2张A的概率p==．江苏省高二数学上学期期中考试卷（二）（考试时间120分钟满分160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}，则M∩N=．2．函数f（x）=+的定义域为．3．已知等差数列{a n}的公差为d，若a1，a3，a5，a7，a9的方差为8，则d的值为．4．现有4名学生A，B，C，D平均分乘两辆车，则“A乘坐在第一辆车”的概率为．5．如图是一个算法的流程图，则输出k的值是．6．函数f（x）=2x在点A（1，2）处切线的斜率为．7．为了得到函数y=cos3x的图象，可以将函数y=sin3x+cos3x的图象向左平移个单位．8．在平面直角坐标系xOy中，若直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x ﹣1）2+（y﹣a）2=相交于A，B两点，且△ABC为正三角形，则实数a的值是．9．已知圆柱M的底面半径为2，高为，圆锥N的底面直径和母线长相等，若圆柱M 和圆锥N的体积相同，则圆锥N的底面半径为．10．已知函数f（x）是R上的奇函数，且对任意实数x满足f（x）+f （x+）=0，若f（1）＞1，f（2）=a，则实数a的取值范围是．11．向量，的夹角为60°，且•=3，点D是线段BC的中点，则||的最小值为．12．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（3）=1，f（﹣2）=3，当x≠0时有x•f'（x）＞0恒成立，若非负实数a、b满足f（2a+b）≤1，f（﹣a﹣2b）≤3，则的取值范围为．13．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，则2a5+a4的最小值为．14．已知函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=•﹣，=（sinx，cosx），=（cosx，﹣cosx）．（1）求函数y=f（x）在x∈[0，]时的值域；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足c=2，a=3，f（B）=0，求边b的值．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M、N分别为线段A1B、AC1的中点．（1）求证：MN∥平面BB1C1C；（2）若D在边BC上，AD⊥DC1，求证：MN⊥AD．17．如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD=80m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Scm2．设∠AOC=xrad．（1）写出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．18．在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x2+2x﹣1（x∈R）与两坐标轴有三个交点，其中与x轴的交点为A，B．经过三个交点的圆记为C．（1）求圆C的方程；（2）设P为圆C上一点，若直线PA，PB分别交直线x=2于点M，N，则以MN为直径的圆是否经过线段AB上一定点？请证明你的结论．19．已知函数f（x）=x2﹣x+ce﹣2x（c∈R）．（1）若f（x）是在定义域内的增函数，求c的取值范围；（2）若函数F（x）=f（x）+f'（x）﹣（其中f'（x）为f（x）的导函数）存在三个零点，求c的取值范围．20．设各项均为正数的数列{a n}满足=pn+r（p，r为常数），其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）若p=1，r=0，求证：{a n}是等差数列；（2）若p=，a1=2，求数列{a n}的通项公式；（3）若a2016=2016a1，求p•r的值．参考答案一、填空题：1．答案为：{0，1}2．答案为：（2，3）．3．答案是：±1．4．答案为：．5．答案为：5．6．答案为：2ln2．7．答案为：．8．答案为：0．9．答案为：2．10．答案为a＜﹣1．11．答案为：．12．答案为：13．答案为：12．14．答案为（，1）．二、解答题15．解：（1）∵=（sinx，cosx），=（cosx，﹣cosx），∴f（x）=•﹣=sinxcosx﹣cos2x﹣=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1，…4分∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴函数f（x）在[0，]的值域为[﹣，0]；…8分（2）因为f（B）=0，即sin（2B﹣）=1，∵B∈（0，π），∴2B﹣∈（﹣，），∴2B﹣=，解得B=；…10分又有c=2，a=3，在△ABC中，由余弦定理得：b2=c2+a2﹣2accos=4+9﹣2×2×3×=7，即b=．…14分．16．证明：（1）如图，连接A1C，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形，又∵N分别为线段AC1的中点．∴AC1与A1C相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点， (2)分∵M为线段A1B的中点，∴MN∥BC，…4分又∵NN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C…6分（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC1，所以CC1⊥AD，…8分∵AD⊥DC1，DC1⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，CC1∩DC1=C1，∴AD⊥平面BB1C1C，…10分又∵BC⊂平面BB1C1C，∴AD⊥BC，…12分又由（1）知，MN∥BC，∴MN⊥AD…14分17．解：（1）由题意，S=+=800x+1600sinx（0≤x≤π）；（2）S′=800+1600cosx，∴0≤x≤，S′＞0，x＞，S′＜0，∴x=，S取得最大值+800m2．18．解：（1）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得x2+Dx+F=0，则与x2+2x﹣1=0 是同一个方程，所以D=2，F=﹣1，由f（x）=x2+2x﹣1得，f（0）=﹣1，令x=0 得y2+Ey+F=0，则此方程有一个根为﹣1，代入解得E=0，所以圆C 的方程为x2+y2+2x﹣1=0；…6分（2）由f（x）=x2+2x﹣1=0得，x=或x=，不妨设A（，0），B（，0），设直线PA的方程：y=k（x++1），因以MN为直径的圆经过线段AB上点，所以直线PB的方程：，设M（2，k（3+）），N（2，），所以MN为直径的圆方程为，化简得，，由P点任意性得：，解得x=，因为，所以x=，即过线段AB上一定点（，0）…16分．19．解：（1）因为f（x）=x2﹣x+ce﹣2x（c∈R），所以函数f（x）的定义域为R，且f'（x）=2x﹣1﹣2ce﹣2x，由f'（x）≥0得2x﹣1﹣2c•e﹣2x≥0，即对于一切实数都成立…再令，则g'（x）=2xe2x，令g'（x）=0得x=0，而当x＜0时，g'（x）＜0，当x＞0时，g'（x）＞0，所以当x=0时，g（x）取得极小值也是最小值，即．所以c的取值范围是…（2）由（1）知f'（x）=2x﹣1﹣2c•e﹣2x，所以由F（x）=0得，整理得…令，则h'（x）=2（x2+2x﹣3）e2x=2（x+3）（x﹣1）e2x，令h'（x）=0，解得x=﹣3或x=1，列表得：x（﹣∞，﹣3）﹣3（﹣3，1）1（1，+∞）h'（x）+0﹣0+h（x）增极大值减极小值增由表可知当x=﹣3时，h（x）取得极大值；…当x=1时，h（x）取得极小值．又当x＜﹣3时，，所以此时h（x）＞0，故结合图象得c的取值范围是…20．（1）证明：由p=1，r=0，得S n=na n，∴S n﹣1=（n﹣1）a n﹣1（n≥2），两式相减，得a n﹣a n﹣1=0（n≥2），∴{a n}是等差数列．（2）解：令n=1，得p+r=1，∴r=1﹣p=，则S n=a n，a n﹣1，两式相减，=，∴a n=•…=•…•2=n（n+1），化简得a n=n2+n（n≥2），又a1=2适合a n=n2+n（n≥2），∴a n=n2+n．（3）解：由（2）知r=1﹣p，∴S n=（pn+1﹣p）a n，得S n﹣1=（pn+1﹣2p）a n﹣1（n≥2），两式相减，得p（n﹣1）a n=（pn+1﹣2p）a n﹣1（n≥2），易知p≠0，∴=．①当p=时，得=，∴===…==，满足a2016=2016a1，pr=．②当p时，由p（n﹣1）a n=（pn+1﹣2p）a n﹣1（n≥2），又a n＞0，∴p（n﹣1）a n＜pna n﹣1（n≥2），即，不满足a2016=2016a1，舍去．③当且p≠0时，类似可以证明a2015=2015a1也不成立；综上所述，p=r=，∴pr=．江苏省高二数学上学期期中考试卷（三）（考试时间120分钟满分160分）一、填空题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1．命题：“∃x＜﹣1，x2≥1”的否定是．2．已知函数f（x）=x2+e x，则f'（1）=．3．“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的条件．（从“充分必要”，“充分不必要”，“必要不分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）4．如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f（4）+f′（4）的值为5．抛物线x2+y=0的焦点坐标为．6．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k=．7．已知曲线y=x+sinx，则此曲线在x=处的切线方程为．8．双曲线x2﹣=1的离心率是，渐近线方程是．9．已知椭圆上一点P到左焦点的距离为，则它到右准线的距离为．10．已知函数f（x）=x2﹣8lnx，若对∀x1，x2∈（a，a+1）均满足，则a的取值范围为．二、解答题（本大题共11小题，共110分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）11．求函数y=cos（2x﹣1）+的导数．12．已知方程=1表示椭圆，求k的取值范围．13．已知双曲线的对称轴为坐标轴，焦点到渐近线的距离为，并且以椭圆的焦点为顶点．求该双曲线的标准方程．14．已知p：﹣2≤≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．15．倾斜角的直线l过抛物线y2=4x焦点，且与抛物线相交于A、B 两点．（1）求直线l的方程．（2）求线段AB长．16．已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．17．已知函数f（x）=x3﹣3x，（1）过点P（2，﹣6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=0有三个不同的实数根，求m的取值范围．18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C 分别交于另两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l1的斜率为﹣1，求△PMN的面积．19．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？20．若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为2，又OA⊥OB，求a，b的值．21．已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．参考答案一、填空题：1．答案为：∀x＜﹣1，x2＜1．2．答案为：2+e．3．答案为：充分不必要．4．答案为：5.55．答案为：（0，﹣）．6．答案为：1．7．答案为：6x﹣6y+3﹣π=0．8．答案为：2，y=．9．答案为：3．10．答案为：0≤a≤1．二、解答题11．解：函数的导数y′=﹣2sin（2x﹣1）﹣2•=﹣2sin（2x﹣1）﹣．12．解：根据题意，若方程=1表示椭圆，必有，解可得2＜k＜4且k≠3，即k的取值范围是（2，3）∪（3，4）；故k的取值范围是（2，3）∪（3，4）．13．解：椭圆的焦点坐标为（±2，0），为双曲线的顶点，双曲线的焦点到渐近线的距离为，∴=b=，∴a==，∴该双曲线的标准方程为=1．14．解：由：﹣2≤≤2得﹣6≤x﹣4≤6，即﹣2≤x≤10，由x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），得[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，m＞0，若￢p是￢q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，即，即，解得m≥9．15．解：（1）根据抛物线y2=4x方程得：焦点坐标F（1，0），直线AB的斜率为k=tan45°=1，由直线方程的点斜式方程，设AB：y=x﹣1，（2）将直线方程代入到抛物线方程中，得：（x﹣1）2=4x，整理得：x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x2=6，x1•x2=1，所以弦长|AB|=|x1﹣x2|=•=8．16．解：∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可，也就是1﹣a≥0，解得a≤1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]；命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与命题q必然一真一假，当命题p为真，命题q为假时，，∴﹣2＜a＜1，当命题p为假，命题q为真时，，∴a＞1，综上：a＞1或﹣2＜a＜1．17．解：（1）∵f′（x）=3x2﹣3，设切点坐标为（t，t3﹣3t），则切线方程为y﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（x﹣t），∵切线过点P（2，﹣6），∴﹣6﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（2﹣t），化简得t3﹣3t2=0，∴t=0或t=3．∴切线的方程：3x+y=0或24x﹣y﹣54=0．（2）由f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0，得x=1或x=﹣1．当x＜﹣1或x＞1时，f'（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f'（x）＜0，所以在（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）上f（x）单调递增，在[﹣1，1]上f（x）单调递减，在R上f（x）的极大值为f（﹣1）=2，在R上f（x）的极小值为f（1）=﹣2．函数方程f（x）=m在R上有三个不同的实数根，即直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有三个交点，由f（x）的大致图象可知，当m＜﹣2或m＞2时，直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象没有交点；当m=﹣2或m=2时，y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有两个交点；当﹣2＜m＜2时，直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有三个交点．因此实数m的取值范围是﹣2＜m＜2．18．解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N，∴，解得b2=，a2=4．∴椭圆方程为：=1．（2）设l1方程为y+1=k（x+1），联立，消去y得（1+3k2）x2+6k（k﹣1）x+3（k﹣1）2﹣4=0．∵P（﹣1，1），解得M（，）．当k≠0时，用﹣代替k，得N（，），将k=1代入，得M（﹣2，0），N（1，1），∵P（﹣1，﹣1），∴PM=，PN=2，∴△PMN的面积为=2．19．解：根据题意可设容器的高为x，容器的体积为V，则有V=（90﹣2x）（48﹣2x）x=4x3﹣276x2+4320x，（0＜x＜24）求导可得到：V′=12x2﹣552x+4320由V′=12x2﹣552x+4320=0得x1=10，x2=36．所以当x＜10时，V′＞0，当10＜x＜36时，V′＜0，当x＞36时，V′＞0，所以，当x=10，V有极大值V（10）=19600，又V（0）=0，V（24）=0，所以当x=10，V有最大值V（10）=19600故答案为当高为10，最大容积为19600．20．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）．联立，得（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0．∴=，=1﹣=．∴M（，）．∵k OM=2，∴a=2b．①∵OA⊥OB，∴=﹣1．∴x1x2+y1y2=0．∵x1x2=，y1y2=（1﹣x1）（1﹣x2），∴y1y2=1﹣（x1+x2）+x1x2=1﹣+=．∴=0．∴a+b=2．②由①②得a=，b=．21．解：（1）∵，g（x）=x+lnx，∴，其定义域为（0，+∞），∴．∵x=1是函数h（x）的极值点，∴h′（1）=0，即3﹣a2=0．∵a＞0，∴．经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，∴；（2）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．当x∈[1，e]时，．∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．∴[g（x）]max=g（e）=e+1．∵，且x∈[1，e]，a＞0．①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是增函数，∴．由1+a2≥e+1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合题意；②当1≤a≤e时，若1≤x＜a，则，若a＜x≤e，则．∴函数在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．∴[f（x）]min=f（a）=2a．由2a≥e+1，得a≥，又1≤a≤e，∴≤a≤e；③当a＞e且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是减函数．∴．由≥e+1，得a≥，又a＞e，∴a＞e；综上所述：a的取值范围为．江苏省高二数学上学期期中考试卷（四）（文科）（考试时间120分钟满分160分）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设命题P：∃x∈R，x2＞1，则¬P为．2．函数y=x2+x在区间[1，2]上的平均变化率为．3．函数y=xe x的极小值为．4．已知抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为．5．已知（2，0）是双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b=．6．设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的条件（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）．7．已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是．8．若焦点在x轴上过点的椭圆焦距为2，则椭圆的标准方程为．9．若椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，则m=．10．若函数y=ax+sinx在R上单调增，则a的最小值为．11．已知椭圆的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0，若点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是．12．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，C上一点P满足，则△PF1F2的内切圆面积为．13．如图平面直角坐标系xOy中，椭圆，A1，A2分别是椭圆的左、右两个顶点，圆A1的半径为2，过点A2作圆A1的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆于点Q．则=．14．若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定正确的有①，②，③，④f（）＞．二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．16．设函数（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最值．17．已知函数f（x）=x3+alnx（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a=0时，求曲线y=f（x）过点（1，f（1））处的切线方程．18．设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A 的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．19．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O 为原点）的斜率的取值范围．20．设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，（Ⅰ）判断函数g（x）的奇偶性；（Ⅱ）证明函数g（x）在（0，+∞）上为减函数；（Ⅲ）求不等式f（x）＞0的解集．参考答案一、填空题1．答案为：∀x∈R，x2≤1；2．答案为：4．3．答案为：．4．答案为：2．5．答案为：．6．答案为：必要不充分．7．答案为：x2﹣y2=1．8．答案为： +=1．9．答案为：1或2．10．答案为：1．11．答案为：（0，]．12．答案为：4π．13．答案为：．14．答案为：①③．二、解答题15．解：（I）由命题p为真命题，a≤x2min，a≤1；（II）由命题“p∧q”为假命题，所以p为假命题或q为假命题，p为假命题时，由（I）a＞1；q为假命题时△=4a2﹣4（2﹣a）＜0，﹣2＜a＜1，综上：a∈（﹣2，1）∪（1，+∞）．16．解：（I）定义域为（0，+∞）…得，令f'（x）=0，x=2x0＜x＜2x＞2f'（x）﹣+所以f（x）的单调减区间为（0，2）单调增区间为（2，+∞）…（II）由（I），f（x）在[1，2]减，在[2，e]增，所以f（x）min=f（2）=2﹣4ln2…又f（1）=，…因为所以f（x）min=f（2）=2﹣4ln2，…17．解：（I）由函数f（x）=x3+lnx，f（1）=1，，f'（1）=4，所以在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即4x﹣y﹣3=0；（II）函数f（x）=x3，f'（x）=3x2，设过（1，1）的直线与曲线相切于（m，n），则切线方程为y﹣1=3m2（x﹣1），所以，得或，所求切线方程为3x﹣y﹣2=0，3x﹣4y+1=0．18．解：（I）∵点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，∴，∵A（a，0），B（0，b），∴=．∵，∴，a=b．∴=．（II）由（I）可得直线AB的方程为：=1，N．设点N关于直线AB的对称点为S，线段NS的中点T，又AB垂直平分线段NS，∴，解得b=3，∴a=3．∴椭圆E的方程为：．19．解：（Ⅰ）∵离心率为，∴==，∴2a2=3b2，∴a2=3c2，b2=2c2，设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k（x+c），∵直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，∴圆心（0，0）到直线FM的距离d=，∴d2+=，即（）2+=，解得k=，即直线FM的斜率为；（Ⅱ）由（I）得椭圆方程为： +=1，直线FM的方程为y=（x+c），联立两个方程，消去y，整理得3x2+2cx﹣5c2=0，解得x=﹣c，或x=c，∵点M在第一象限，∴M（c，c），∵|FM|=，∴=，解得c=1，∴a2=3c2=3，b2=2c2=2，即椭圆的方程为+=1；（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），直线FP的斜率为t，∵F（﹣1，0），∴t=，即y=t（x+1）（x≠﹣1），联立方程组，消去y并整理，得2x2+3t2（x+1）2=6，又∵直线FP的斜率大于，∴＞，6﹣2x2＞6（x+1）2，整理得：x（2x+3）＜0且x≠﹣1，解得﹣＜x＜﹣1，或﹣1＜x＜0，设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx（x≠0），联立方程组，消去y并整理，得m2=﹣．①当x∈（﹣，﹣1）时，有y=t（x+1）＜0，因此m＞0，∴m=，∴m∈（，）；②当x∈（﹣1，0）时，有y=t（x+1）＞0，因此m＜0，∴m=﹣，∴m∈（﹣∞，﹣）；综上所述，直线OP的斜率的取值范围是：（﹣∞，﹣）∪（，）．20．解：（I）因为f（x）（x∈R）是奇函数，所以，所以g（x）是偶函数…（II）因为当x＞0时xf'（x）﹣f（x）＜0，所以，所以g（x）在（0，+∞）上为减函数…（III）由（I）f（﹣1）=0，g（﹣1）=g（1）=0，…x＞0时f（x）＞0等价于，即g（x）＞g（1），由（II）所以0＜x＜1，…x＜0时f（x）＞0等价于，即g（x）＞g（﹣1），由（I）（II）g（x）在（﹣∞，0）上为增函数，所以x＜﹣1．…综上不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）…江苏省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（五）（考试时间120分钟满分160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．直线的倾斜角为．2．空间两条直线a，b都平行于平面α，那么直线a，b的位置关系是．3．过圆x2+y2=4上一点P（1，﹣）的切线方程为．4．如果方程x2+y2+x+y+k=0表示一个圆，则k的取值范围是．5．已知直线l：mx﹣y=4，若直线l与直线x+m（m﹣1）y=2垂直，则m的值为．6．已知正四棱柱的底面边长是3cm，侧面的对角线长是5cm，则这个正四棱柱的侧面积为．7．已知圆C：x2+y2=r2与直线3x﹣4y+10=0相切，则圆C的半径r=．8．若一个球的表面积为12π，则该球的半径为．9．若直线ax+y+1=0与连接A（2，3），B（﹣3，2）两点的线段AB相交，则实数a的取值范围是．10．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的序号是（1）若m∥l，m∥α，则l∥α；（2）若m⊥α，l⊥m，则l∥α；（3）若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m；（4）若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β11．若⊙O1：x2+y2=5与⊙O2：（x﹣m）2+y2=20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是．12．若关于x的方程：有两个不相等的实数解，则实数k的取值范围：．13．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P﹣ABC的体积为．14．一只蚂蚁从棱长为1的正方体的表面上某一点P处出发，走遍正方体的每个面的中心的最短距离d=f（P），那么d的最大值是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请将解答填写在答题卡规定的区域内，否则答题无效.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．（1）求证：AB∥EF；（2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．16．已知直线m：2x﹣y﹣3=0，n：x+y﹣3=0．（Ⅰ）求过两直线m，n交点且与直线x+3y﹣1=0平行的直线方程；（Ⅱ）直线l过两直线m，n交点且与x，y正半轴交于A、B两点，△ABO的面积为4，求直线l的方程．17．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．18．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；（2）证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C；（3）求点D到平面D1AC的距离．19．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．20．在平面直角坐标系xOy中．已知圆C经过A（0，2），O（0，0），D（t，0）（t＞0）三点，M是线段AD上的动点，l1，l2是过点B（1，0）且互相垂直的两条直线，其中l1交y轴于点E，l2交圆C于P，Q两点．（1）若t=PQ=6，求直线l2的方程；（2）若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，求△EPQ的面积的最小值．参考答案一、填空题1．解：将直线方程化为斜截式得，，故斜率为，∴，故答案为2．解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ACBD∥平面A1C1B1D1①记平面ABCD为α，若直线a、b为平面A1C1B1D1内的相交直线，则直线a、b都平行于平面α，此时直线a、b相交；②记平面ABCD为α，若直线a、b为平面A1C1B1D1内的平行直线，则直线a、b都平行于平面α，此时直线a、b平行；③设E、F分别为棱AA1、BB1的中点，直线a与直线B1C1重合，直线b与EF重合，若平面ABCD为α，则直线a、b都平行于平面α，此时直线a、b异面．故答案为：平行、相交或异面3．解：设切线的斜率为k，则切线方程可表示为y+=k（x﹣1）即kx﹣y﹣k﹣=0由圆与直线相切可得d=r，即=2化简得3k2﹣2k+1=0解得k=，。

江苏省淮安市盱眙县马坝高级中学2020-2021学年高三上学期期中数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．集合{}1,0,1A =-，{}20B x x =-<<，则A B =______．2．设复数12z i =-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为_______.3．已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是______． 4．已知两个袋子中装有大小和形状相同的小球，其中甲袋中有3个小球编号为1,2,3，乙袋中有4个小球编号为1,2,3，4，若从两个袋中各取出1球，则取出的两个小球编号相同的概率为______．5．执行如图所示的程序框图，则输出的m 的值为____.6．已知实数,x y 满足约束条件2323x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值为______.7．已知函数()x x ax f x xe e=-（其中e 为自然对数的底数）为偶函数，则实数a 的值为____．8．设集合A ＝{x |x （x ﹣1）＜0}，B ＝{x |0＜x ＜3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的____条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）．9．已知tan 2α，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为 ．10．已知一个圆柱的轴截面为正方形，其侧面积为1S ，与该圆柱等底等高的圆锥的侧面积为2S ，则21S S 的值为___． 11．已知函数ln ,0()21,0x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数()y f x x a =+-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______.12．在等腰ABC ∆中，AB AC =，26AC BC +=ABC ∆面积的最大值为__________．13．已知函数31()4f x x x=-+，若直线1l ，2l 是函数()y f x =图象的两条平行的切线，则直线1l ，2l 之间的距离的最大值是_____．14．已知函数()22x f x =-，若ab ，且()()f a f b =，则+a b 的取值范围是__________．二、解答题15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3ab 且sin sin B C =. （1）求角A 的大小；（2）若a =B 的平分线交AC 于点D ，求线段BD 的长度.16．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，侧面ADEF 为梯形，//AF DE ，DE AD ⊥.（1）求证：AD CE ⊥；（2）求证：//BF 平面CDE ．17．已知函数321()33f x x mx nx =+++，其导函数()'f x 的图象关于y 轴对称2(1)3f =-． （Ⅰ）求实数,m n 的值；（Ⅱ）若函数()y f x λ=-的图象与x 轴有三个不同的交点，求实数λ的取值范围． 18．已知矩形ABCD 所在的平面与地面垂直，点A 在地面上，设AB a (0)a >，1BC =，AB 与地面成θ角（02πθ<<），如图所示，CE 垂直地面，垂足为E ，点B 、D 到CE的距离分别为12,h h ，记CE h =．（1）若a =h 的最大值，并求此时的θ值；（2）若12()h h h +的最大值为4，求a 的值．19．已知奇函数f （x ）＝a −22x +1（a 为常数）．（1）求a 的值；（2）若函数g （x ）＝|（2x +1）f （x ）|﹣k 有2个零点，求实数k 的取值范围；（3）若x ∈[﹣2，﹣1]时，不等式f （x ）≤m⋅4x −12x +1恒成立，求实数m 的取值范围． 20．已知函数3211()(1)132f x ax a x x =-+++（1a ≥）. （I ）若3a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（II ）若()f x 在R 上无极值点，求a 的值；（III ）当(0,2)x ∈时，讨论函数()f x 的零点个数，并说明理由.21．已知矩阵2011M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的特征值及其相应的特征向量．22．在极坐标系中，直线cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与极轴交于点C ，求以点C 为圆心且半径为1的圆的极坐标方程．23．在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,{1cos 2x y αα==+（α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标． 24．如图，在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是线段PC 的中点．（1）求异面直线AP 与BE 所成角的大小；（2）若点F 在线段PB 上，使得二面角F DE B --PF PB 的值．参考答案1．{}1-【解析】【分析】根据集合的交集运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，集合{}1,0,1A =-，{}20B x x =-<<，根据集合的交集运算，可得AB ={}1-. 故答案为：{}1-.【点睛】本题主要考查了集合的表示，以及集合的交集运算，其中解答中熟记集合的表示方法，以及集合的交集的概念及运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．2-【分析】根据复数的概念，即可求得复数12z i =-的虚部，得到答案.【详解】根据复数的概念，可得复数12z i =-（i 为虚数单位）的虚部为2-.故答案为2-.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，其中解答中熟记复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与辨析能力，属于基础题.3．0.1【解析】数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为15x =×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2， ∴该组数据的方差为：s 2=15×[（4.8–5.2）2+（4.9–5.2）2+（5.2–5.2）2+（5.5–5.2）2+（5.6–5.2）2]=0.1．故答案为0.1．4【解析】【分析】先求出基本事件的总数，再计算随机事件中基本事件的个数，利用公式可计算概率.【详解】设A 为“取出的两个小球编号相同”，从两个袋中各取出1球，共有12种取法，取出的两个小球编号相同，共有3种取法， 故()31124P A ==. 【点睛】古典概型的概率计算，应该用枚举法列出所有的基本事件及随机事件中含有的基本事件，也可用排列组合的方法来计数.5．6【分析】执行如图所示的程序框图，逐次计算，根据判断条件，即可求解，得到答案.【详解】执行如图所示的程序框图，可得：0,1S m ==，第1次循环，满足判断条件，10122,2S m =+⨯==；第2次循环，满足判断条件，222210,3S m =+⨯==；第3次循环，满足判断条件，3103234,4S m =+⨯==；第4次循环，满足判断条件，4344298,5S m =+⨯==；第5次循环，满足判断条件，59852258,6S m =+⨯==；不满足判断条件，此时输出6m =.故答案为6.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入目标函数，即可求解，得到答案.【详解】由题意，画出约束条件2323x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域，如图所示，目标函数2z x y =+，可得直线2y x z =-+，平移直线2y x z =-+过点A 时，此时目标函数取得最大值，又由223x x y =⎧⎨-=⎩，解得1(2,)2A -， 所以目标函数2z x y =+的最大值为max 172222z =⨯-=. 故答案为：72.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．7．1【解析】【分析】利用()()f x f x =-恒成立可得实数a 的值．【详解】因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x =-恒成立即()x x x x a x ax xe xe e e----=--，整理得到()x x x x e e a e e --+=+恒成立， 故1a =，填1.【点睛】含参数的偶函数（或奇函数），可通过取自变量的特殊值来求参数的大小，注意最后检验必不可少，也可以利用()()f x f x =-（或()()f x f x -=-）恒成立来求参数的大小. 8．充分不必要【解析】【分析】首先解出集合A ，然后判断两个集合的包含关系，根据集合的包含关系与充分必要条件的判断模式得到结论.【详解】解：由于A ＝{x |0＜x ＜1}，则A ⊊B ，由m ∈B 不能推出m ∈A ，如x ＝2时，故必要性不成立．反之，根据A ⊊B ，“m ∈A ”⇒“m ∈B ”．所以“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，将充分必要条件的判断转化为集合的包含关系，属于基础题型.9．3【详解】()()()()12tan tan 7tan tan 311tan tan 127αβαβαβααβα++-=+-===+++⨯-，故答案为3.10【分析】设圆柱的底面圆的半径为r ，则高为2r，分别计算圆柱和圆锥的侧面积可得它们的比值.【详解】设圆柱的底面圆的半径为r ，则高为2r=，所以21224r r S r ππ=⨯=，22r l r S r ππ=⨯⨯=⨯=，所以214S S =【点睛】本题考查圆柱、圆锥侧面积的计算，属于基础题.11．()2,+∞【解析】【分析】将问题转变为()y f x =与y x a =-+的图象且只有一个交点，画出()f x 的图象，通过平移直线y x =-找到符合题意的情况，从而确定参数范围.【详解】由()0y f x x a =+-=得：()f x x a =-+∴函数()0y f x x a =+-=有且只有一个零点等价于：()y f x =与y x a =-+的图象且只有一个交点画出函数()ln ,021,0x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩的图象如下图：y x a =-+的图象经过点()0,2A 时有2个交点，平移y x =-，由图可知，直线与y 轴的交点在A 点的上方时，两图象只有1个交点， 在A 点下方时，两图象有2个交点2a ∴>，即()2,a ∈+∞本题正确结果：()2,+∞【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围，涉及到指数函数、对数函数图象的应用，关键是能够将问题转化为曲线与直线的交点个数问题，通过数形结合的方式，结合直线的平移得到结果.12．4【分析】由题意建立坐标系，结合向量模的坐标运算及基本不等式求解即可．【详解】以BC 为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴，设(),0C m ，()0,A n ，(),0B m - ，()0,0m n >>(),AC m n ∴=- ，()2,0BC m = ，()3,AC BC m n ∴+=- ， 26AC BC += ，22924m n ∴+= ，22249236m n m n mn =+≥⋅⋅=，当且仅当3m n =时，即n m ==4mn ∴≤ ，4ABC S mn ∆∴=≤ ，ABC ∆∴面积的最大值为4，故答案为4． 【点睛】本题考查了用解析的方法解决平面几何问题，考查了向量的坐标运算，模的计算，考查了基本不等式的应用，属于中档题． 13．2 【分析】先对函数求导，设两切点，利用两切线平行找到两切点坐标间的关系，然后写出两切线方程，计算出两切线间距离再求最值. 【详解】解：因为()2314f x x -'=-，记l 1，l 2的切点分别为11131,4x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭、22231,4x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，且12x x ≠所以2212313144x x --=-- 所以12x x =- 因为l 1：()112113131y 44x x x x x ⎛⎫⎛⎫--+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得()2211134480x x x y x ++-=同理l 2：()2222234480x x x y x ++-=即()2211134480x x x y x +++=所以d ===因为2121162540x x +≥=所以2d ≤=，当且仅当1x =时取等号所以距离最大值为2 故答案为2. 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线的切线方程，两平行线间距离的最值，曲线的切线斜率即为该点处的导数，求最值过程中常用到不等式或函数相关知识. 14．(),2-∞ 【分析】画出函数()22xf x =-的图象，结合图象和指数函数的性质，求得224a b +=，利用基本不等式，即可求解. 【详解】画出函数()22xf x =-的图象，如图所示，不妨设1a b <<，由()()f a f b =，得2222ab-=-，所以2222a b -+=-，即224a b +=，又由422a b =+≥=2242a b +≤=， 因为ab ，所以222a b +<，则2a b +<，所以+a b 的取值范围是(),2-∞. 故答案为(),2-∞.【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质，以及利用基本不等式求解最值问题，其中解答中熟练应用指数函数的性质，求得224a b +=，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 15．(1)23A π=；(2)BD =【解析】试题分析：（1）由正弦定理知b c =，又3a b ，利用余弦定理求得cos A ，即可求得角A ； （2）由（1）知6B C π==，再利用正弦定理，即可求解BD 的长.试题解析：（1）由sin sin B C =及正弦定理知b c =，又a =，∴由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-= 22223122b b b b +-==-. ()0,A π∈，∴23A π=. （2）由（1）知6B C π==，∴在BCD ∆中知：34BDC π∠=，6BCD π∠=，又BC =sin sin46BD π=.∴BD =16．（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）易证AD ⊥平面CDE ，从而AD ⊥CE ；（2）先证平面ABF ∥平面CDE ，可得BF ∥平面CDE. 【详解】证明：（1）因为矩形ABCD 所以AD ⊥CD又因为DE ⊥AD ，且CD DE=D ，CD 、DE ⊂平面CDE 所以AD ⊥平面CDE又因为CE ⊂平面CDE 所以AD ⊥CE（2）因为AB ∥CD ，CD ⊂平面CDE ，AB ⊄平面CDE 所以AB ∥平面CDE又因为AF ∥DE ，DE ⊂平面CDE ，AF ⊄ 平面CDE 所以AF ∥平面CDE又因为AB AF=A ，AB 、AF ⊂平面ABF 所以平面ABF ∥平面CDE 又因为BF ⊂平面ABF 所以BF ∥平面CDE 【点睛】本题考查了异面直线垂直的证明和线面平行的证明，异面直线垂直常先证线面垂直，线面平行证明可用其判定定理，也可先证面面平行再得线面平行. 17．（Ⅰ）=0,=4m n -，（Ⅱ）725(,)33- 【分析】（Ⅰ）求导2()2f x x mx n '=++，导函数()'f x 的图象关于y 轴对称得0m =，2(1)3f =-代入函数解析式，联解可得.（Ⅱ）问题等价于方程()f x λ=有三个不相等的实根时，求λ的取值范围.作出两函数图像可得解. 【详解】 （Ⅰ）2()2f x x mx n '=++.导函数()'f x 的图象关于y 轴对称，0m ∴=.又2(1)3f =-12(1)3=33f m n ∴=+++-，解得=4n -.=0,=4m n ∴-.（Ⅱ）由（Ⅰ），得31()433f x x x =-+. 2()4f x x '∴=- 令2()4=0f x x '∴=-，解得.2x =±当2x <- 或2x >时，()0f x '>，()f x ∴ 在(,2),(2,)-∞-+∞上分别单调递增. 又当22x -<<时，()0f x '<，()f x ∴ 在(2,2)-上单调递减.()f x ∴的极大值为25(2)3f -=，极小值为7(2)3f =-. 实数λ的取值范围为725(,)33-.【点睛】本题考查利用函数零点存在情况求参数问题. 利用函数零点存在情况求参数的策略:(1)解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．(2)通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．18．（1）3πθ=时max 2h =；（2）1a =.【分析】（1）根据题意可得cos 2sin()6h πθθθ=+=+，结合三角函数的性质可得最值以及θ的值；（2）化简可得()2121sin 22a h h h a θ++=+，根据最值求出a .【详解】（1）3,a =又sin cos cos 2sin()6h a πθθθθθ=+=+=+02πθ<<2663πππθ∴<+<,当且仅当62ππθ+=,即3πθ=时max 2h = （2）12()h h h +21(sin cos )(cos sin )sin 22a a a a θθθθθ+=++=+当且仅当22=πθ,即4πθ= 时, 12()h h h +的最大值为2142a a ++=0,1a a >=,【点睛】本题主要考查了三角函数在实际中的应用，求出表达式以及掌握三角函数的性质是解题的关键，属于中档题.19．（1）a =1 ；（2）k ∈（0，1）；（3）[4，+∞）. 【解析】 【分析】（1）由f （x ）为R 上的奇函数可得f （0）＝0，解方程可得a ；（2）由题意可得方程|2x ﹣1|﹣k ＝0有2个解，即k ＝|2x ﹣1|有2个解，即函数y ＝k 和y ＝|2x ﹣1|的图象有2个交点，画出图象即可得到所求范围；（3）由题意可得m ≥2﹣x 在x ∈[﹣2，﹣1]时恒成立，由g （x ）＝2﹣x 在R 上单调递减，即可得到所求范围． 【详解】（1）f （x ）是定义在R 上的奇函数， 可得f （0）＝a ﹣1＝0，即a ＝1， 可得f （x ）＝1−22x +1=2x −12x +1， 由f （﹣x ）+f （x ）=2−x −12−x +1+2x −12x +1=1−2x 1+2x +2x −12x +1=0，即f （x ）为R 上的奇函数，故a ＝1；（2）函数g （x ）＝|（2x +1）f （x ）|﹣k 有2个零点 ⇔方程|2x ﹣1|﹣k ＝0有2个解， 即k ＝|2x ﹣1|有2个解，即函数y ＝k 和y ＝|2x ﹣1|的图象有2个交点， 由图象得k ∈（0，1）； （3）x ∈[﹣2，﹣1]时，f （x ）≤m⋅4x −12x +1，即1−22x +1≤m⋅4x −12x +1，即m ≥2﹣x 在x ∈[﹣2，﹣1]时恒成立， 由g （x ）＝2﹣x 在R 上单调递减，x ∈[﹣2，﹣1]时，g （x ）的最大值为g （﹣2）＝4， 则m ≥4，即m 的取值范围是[4，+∞）．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性、以及函数零点个数、函数恒成立问题解法，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．20．（1）1y =； （2）19a ≤<时函数()f x 在(0,2)上无零点；当9a =时，函数()f x 在(0,2)上有一个零点；当9a >时，函数()f x 在(0,2)上有两个零点. 【分析】（I ）由导数的几何意义,切线的斜率'(1)k f =,先求()2'341f x x x =-+，()'10f =，()11f =,利用直线方程的点斜式求解. （II ）因为1a >,所以若()f x 在R 上无极值点,则()()2'110f x ax a x =-++≥，即0∆≤，()2140a a +-≤，解得1a =.(III)讨论当1a >时,() 'f x 在()0,2x ∈上的符号, 函数()f x 的单调性、极值情况,从而分析函数()f x 的图像与x 轴的交点个数,得出函数()f x 的零点个数. 【详解】（I ）当3a =时，()3221f x x x x =-++，()2'341f x x x =-+，()'10f =，()11f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y =.（II ）()()2'11f x ax a x =-++，1a >，依题意有()'0f x ≥，即0∆≤，()2140a a +-≤，解得1a =.(III)（1）1a =时，函数()f x 在R 上恒为增函数且()01f =，函数()f x 在()0,2上无零点.（2）1a >时： 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()'0f x >，函数()f x 为增函数； 当1,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()'0f x <，函数()f x 为减函数；当()1,2x ∈，()'0f x >，函数()f x 为增函数. 由于()22103f a =+>，此时只需判定()3162a f =-+的符号： 当19a <<时，函数()f x 在()0,2上无零点； 当9a =时，函数()f x 在()0,2上有一个零点； 当9a >时，函数()f x 在()0,2上有两个零点. 综上，19a ≤<时函数()f x 在()0,2上无零点； 当9a =时，函数()f x 在()0,2上有一个零点； 当9a >时，函数()f x 在()0,2上有两个零点. 【点睛】本题考查了导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、 极值，结合函数的大致图像判断零点的个数．21．矩阵M 属于特征值1的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，矩阵M 属于特征值2的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先由矩阵特征值的定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出方程组，即可求得相应的特征向量. 【详解】由题意，矩阵M 的特征多项式为()223211fλλλλλ-==-+--，令()0f λ=，解得11λ=，22λ=，将11λ=代入二元一次方程组()()20010x y x y λλ⎧-⋅+⋅=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得0x =，所以矩阵M 属于特征值1的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦；同理，矩阵M 属于特征值2的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦v 【点睛】本题主要考查了矩阵的特征值与特征向量的计算，其中解答中熟记矩阵的特征值和特征向量的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 22．24cos 30ρρθ-+= 【分析】由极坐标与直角坐标的互化公式，可得直线的方程为2x y -=，求得()2,0C ，得出圆的直角坐标方程，进而求得圆的极坐标方程，得到答案. 【详解】由题意，直线cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得cos cos sin sin 44ππρθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin θρθ-= 又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得直线的方程为2x y -=，令0y =，可得()2,0C ，所以以点C 为圆心且半径为1的圆的方程为22(2)1x y -+=，即22430x y x +-+=， 所以所求圆的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=. 【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆的极坐标方程的求解，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 23．(0,0)． 【详解】试题分析：根据极坐标化普通方程公式得：y =，化曲线的参数方程为普通方程[]()212,22y x x =∈-，联立解方程组即可．试题解析：因为直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，所以直线l 的普通方程为y =，又因为曲线C 的参数方程为2cos {1cos 2x y αα==+（α为参数），所以曲线C 的直角坐标方程为[]()212,22y x x =∈-，联立解方程组得00x y =⎧⎨=⎩或{6x y ==．根据x 的范围应舍去{6x y ==故P 点的直角坐标为(0,0)．考点：1、极坐标；2、参数方程；3、曲线的交点． 24．（1）6π；（2）12． 【详解】试题分析：由已知条件可得两两垂直，因此以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，设2AB =，写出各点坐标，（2）求得,AP BE 的夹角可得异面直线AP 与BE 所成角的大小（这个角是锐角）；（2）PF PBλ=，再求出,E F 的坐标，然后求出平面FDE 和平面BDE 的法向量，则法向量夹角与二面角相等或互补，可得出λ的方程，解之可得λ值．试题解析：（1）在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，所以DA 、DC 、DP 两两垂直，故以为正交基底，建立空间直角坐标系D －xyz ．因为PD ＝DC ，所以DA ＝DC ＝DP ，不妨设DA ＝DC ＝DP ＝2，则D （0，0，0），A （2，0，0），C （0，2，0），P （0，0，2），B （2，2，0）． 因为E 是PC 的中点，所以E （0，1，1）．所以AP ＝（－2，0，2），BE ＝（－2，－1，1），所以cos<，>＝3||AP BE AP BE ⋅=， 从而<，>＝6π 因此异面直线AP 与BE 所成角的大小为6π． （2）由（1）可知，＝（0，1，1），＝（2，2，0），＝（2，2，－2）． 设＝λ，则＝（2λ，2λ，－2λ），从而＝＋＝（2λ，2λ，2－2λ）． 设m ＝（x 1，y 1，z 1）为平面DEF 的一个法向量，则即11111(1)0{0x y z y z λλλ++-=+=取z 1＝λ，则y 1＝－λ，x 1＝2λ－1．所以m m ＝（2λ－1，－λ，λ）为平面DEF 的一个法向量．设n ＝（x 2，y 2，z 2）为平面DEB 的一个法向量，则即1122220{0x y y z +=+= 取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝1．所以n ＝（1，－1，1）为平面BDE 的一个法向量．因为二面角F －DE －B的正弦值为3，所以二面角F －DE －B， 即|cos<m ，n >|＝63， 所以·6·m nm n=，3=，化简得，4λ2＝1，因为点F 在线段PB 上，所以0≤λ≤1，所以λ＝12，即12PFPB =．考点：用向量法求异面直线所成的角，二面角．。

江苏新高考2020-2021学年高二上学期数学期中考试复习题一、单选题1、已知等比数列{a n }(a 1≠a 2)的公比为q ，且a 7，a 1，a 4成等差数列，则q 等于( ) A ．1或－32B ．－32C.32 D ．12、若a <b ，d <c ，并且(c －a )(c －b )<0，(d －a )(d －b )＞0，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( ) A ．d <a <c <b B ．a <c <b <d C ．a <d <b <cD ．a <d <c <b3、已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝a 3＋a 92，Q ＝a 5·a 7，则P 与Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P <Q C ．P ＝QD ．无法确定4、等差数列{a n }的公差d <0，且a 21＝a 211，则数列{a n }的前n 项和S n 取最大值时的项数n 是( )A ．5B ．6C ．5或6D ．6或75、若在等差数列{a n }中，d ＝－2，a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 31＝50，那么a 2＋a 6＋a 10＋…＋a 42的值为( )A ．60B ．－82C ．182D ．－96 6、对于函数y ＝f (x )，部分x 与y 的对应关系如表：数列{x n }满足x 1＝2，且对任意n ∈N *，点(x n ，x n ＋1)都在函数y ＝f (x )的图象上，则x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 9的值为( )A ．41B ．42C ．44D ．487、已知{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9的值是( ) A ．24 B ．27 C ．30 D ．33 8、若a ＞0，b ＞0，则不等式－b <1x<a 的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1b 或x ＞1a B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1a <x <1bC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1a 或x ＞1b D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1b <x <0或0<x <1a9、若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋t ，则t ＋a 3的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．17 D ．18 10、对于a ＞0，b ＞0，下列不等式中不正确的是( ) A.ab 2<1a ＋1bB ．ab ≤a 2＋b 22C ．ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b aD.22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤a 2＋b 22 11、2＋1与2－1的等比中项是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D.1212、如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( ) A ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一 B ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一 C ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一 D ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一13、已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，又b n ＝1a n a n ＋1，则数列{b n }的前n项的和S n 为( ) A ．4（1－1n ＋1 ）B ．4（12－1n ＋1）C ．1－1n ＋1D.12－1n ＋114、已知正实数a ，b ，c 满足a 2－ab ＋4b 2－c ＝0，当cab 取最小值时，a ＋b －c 的最大值为( )A ．2 B.34 C.38 D.1415、一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |－1≤x ≤2}16、已知等差数列前n 项和为S n ，且S 13<0，S 12＞0，则此数列中绝对值最小的项为( ) A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项17、若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．418、已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于( )A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n ) 19、已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．1820、已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b >0，c >0)经过圆C ：x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2二、填空题21、在数列{a n }中，S n ＝2n 2－3n ＋1，则通项公式a n ＝________.22、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．23、已知数列{a n }中，a 1＝1，且P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上，若函数f (n )＝1n ＋a 1＋1n ＋a 2＋1n ＋a 3＋…＋1n ＋a n(n ∈N *，且n ≥2)，则函数f (n )的最小值为________． 24、若正实数x ，y ，z 满足x 2＋4y 2＝z ＋3xy ，则当xy z 取最大值时，1x ＋12y －1z 的最大值为________．25、在1和17之间插入n 个数，使这n ＋2个数成等差数列，若这n 个数中第一个为a ，第n 个为b ，当1a ＋25b取最小值时，n ＝________.26、当x ，y ，z 为正数时，4xz ＋yzx 2＋y 2＋z 2的最大值为________．三、解答题27、解关于x 的不等式：mx 2－(m －2)x －2＞0.28、求数列1,3a ,5a 2,7a 3，…，(2n －1)a n －1的前n 项和．29、某投资商到一开发区投资72万元建起了一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f (n )表示前n 年的纯利润总和，(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额72万元)． (1)该厂从第几年开始盈利？(2)该厂第几年年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值．30、已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n ，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1n b n ＝b n ＋1－1.(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .31、如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园ABCD，公园由矩形的休闲区(阴影部分)A1B1C1D1和环公园人行道组成，已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米，设休闲区的长为x米．(1)求矩形ABCD所占面积S(单位：平方米)关于x的函数解析式；(2)要使公园所占面积最小，问休闲区A1B1C1D1的长和宽应分别为多少米？32、解关于x的不等式：x2－(m＋m2)x＋m3<0.33、设函数f(x)＝x2＋2ax＋3.(1)解关于x的不等式f(x)<1；(2)若函数f(x)在区间[－1，2]上有零点，求实数a的取值范围．34、已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，求实数a 的取值范围．35、已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4(其中n ∈N *)． (1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a 2n b n }的前n 项和(n ∈N *)．36、一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量p 万件(生产量与销售量相等)与促销费用x 万元满足p ＝3－2x ＋1(其中0≤x ≤a ，a 为正数)．已知生产该产品还需投入成本(10＋2p )万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为⎝⎛⎭⎫4＋20p 元/件． (1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； (2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．37、关于x的一元二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有实数解，求实数m的取值范围．38、若关于x的不等式(2x－1)2<ax2的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围.1\答案 B解析 在等比数列{a n }中，由a 1≠a 2，得q ≠1， 因为a 7，a 1，a 4成等差数列， 所以a 7＋a 4＝2a 1， 即a 4(q 3＋1)＝2a 4q 3，所以q 6＋q 3－2＝0， 解得q 3＝1(舍)或q 3＝－2. 所以q ＝－32. 2\答案 A解析 因为a <b ，(c －a )(c －b )<0，所以a <c <b ， 因为(d －a )(d －b )＞0， 所以d <a <b 或a <b <d ， 又因为d <c ，所以d <a <b ， 综上可得d <a <c <b . 3\答案 A解析 由题设知a n >0，q >0且q ≠1，所以a 3≠a 9，a 3>0，a 9>0，P ＝a 3＋a 92>a 3·a 9，因为a 3·a 9＝a 5·a 7，所以P >Q . 4\答案 C解析 由题设可知a 1＝－a 11，所以a 1＋a 11＝0，所以a 6＝0.因为d <0，故a 5>0，a 7<0，所以n ＝5或6. 5\答案 B解析 a 2＋a 6＋a 10＋…＋a 42＝a 1＋d ＋a 4＋2d ＋a 7＋3d ＋…＋a 31＋11d ＝(a 1＋a 4＋…＋a 31)＋(d ＋2d ＋3d ＋…＋11d ) ＝50＋11×122d ＝50＋66d ＝－82.6\答案 B解析 因为数列{x n }满足x 1＝2，且对任意n ∈N *，点(x n ，x n ＋1)都在函数y ＝f (x )的图象上， x n ＋1＝f (x n )，所以x 1＝2，x 2＝4，x 3＝8，x 4＝2，x 5＝4，x 6＝8，x 7＝2，x 8＝4，…， 所以数列是周期数列，周期为3，一个周期内的和为14， 所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋…＋x 9＝3×(2＋4＋8)＝42.7\答案 D解析 根据等差数列的性质可知a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9也成等差数列， 故a 3＋a 6＋a 9＝2×39－45＝33.故选D. 8\答案 A解析 原不等式⎩⎨⎧1x＞－b ，1x <a ，即⎩⎨⎧bx ＋1x＞0，ax －1x ＞0，可得⎩⎨⎧x <－1b或x ＞0，x <0或x ＞1a，故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1b 或x ＞1a .9\答案 C解析 a 1＝S 1＝3＋t ， 由a 1＋a 2＝9＋t 得a 2＝6， 由a 1＋a 2＋a 3＝27＋t 得a 3＝18，由a 1a 3＝a 22，得t ＝－1，故t ＋a 3＝17. 10\答案 A解析 当a ＞0，b ＞0时，因为21a ＋1b ≤ab ，所以2ab ≤1a ＋1b ，当且仅当a ＝b 时等号成立，故A 不正确；显然B ，C ，D 均正确． 11\答案 C解析 设x 为2＋1与2－1的等比中项， 则x 2＝(2＋1)(2－1)＝1，∴x ＝±1. 12\答案 A解析 因为a ＋b ＝cd ＝4，所以由基本不等式得a ＋b ≥2ab ，故ab ≤4.又因为cd ≤(c ＋d )24，所以c ＋d ≥4，所以ab ≤c ＋d ，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝2时，等号成立． 13\答案 A解析 ∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n (n ＋1)2n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1.∴S n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝4⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1.14\答案 C解析正实数a ，b ，c 满足a 2－ab ＋4b 2－c ＝0，可得c ＝a 2－ab ＋4b 2，c ab ＝a 2－ab ＋4b 2ab ＝a b＋4ba－1≥2a b ·4b a －1＝3.当且仅当a ＝2b 时取得等号，则a ＝2b 时，cab取得最小值，且c ＝6b 2，∴a ＋b －c ＝2b ＋b －6b 2＝－6b 2＋3b ＝－6⎝⎛⎭⎫b －142＋38，当b ＝14时，a ＋b －c 有最大值38. 15\答案 D解析 由题意知，－b a ＝1，ca ＝－2，∴b ＝－a ，c ＝－2a ，又∵a <0，∴原不等式化为x 2－x －2≤0， ∴－1≤x ≤2. 16\答案 C解析 由S 13＝13a 7，S 12＝6(a 6＋a 7)及S 13<0，S 12＞0， 知a 7<0，a 6＋a 7＞0，即a 6＞－a 7＞0，故|a 6|＞|a 7|.又等差数列为递减数列，故|a 1|＞|a 2|＞…＞|a 6|＞|a 7|，|a 7|<|a 8|<…， 故|a 7|最小．17\答案 C解析 由1a ＋2b ＝ab 知，a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧1a ＝2b，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.18\答案 C解析 依题意a 2＝a 1q ＝2，a 5＝a 1q 4＝14，两式相除可求得q ＝12，a 1＝4，又因为数列{a n }是等比数列，所以{a n a n ＋1}是以a 1a 2为首项，q 2为公比的等比数列， 根据等比数列前n 项和公式可得 原式＝a 1a 2(1－q 2n )1－q 2＝323(1－4－n )． 19\答案 B解析 方法一 由a 1＋a 3＋a 5＝105，得3a 3＝105，即a 3＝35，由a 2＋a 4＋a 6＝99，得3a 4＝99，即a 4＝33，∴d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)×(－2)＝41－2n ，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，得n ＝20，故选B.方法二 由方法一得到d ＝－2，则由a 3＝a 1＋2×(－2)＝35得a 1＝39，从而S n ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400，则S n 最大时，n ＝20，故选B. 20\答案 A解析 将圆C ：x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程， 得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1)． 因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5. 因为b >0，c >0，所以4c b ＋b c ≥24c b ·bc＝4， 当且仅当4c b ＝bc 时等号成立．由此可得b ＝2c 且b ＋c ＝1， 即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9.二、填空题21\答案 ⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝1，4n －5，n ≥2解析 n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－3n ＋1－[2(n －1)2－3(n －1)＋1]＝4n －5. n ＝1时，a 1＝2－3＋1＝0不适合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝1，4n －5，n ≥2.22\答案 9解析 因为∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a ×1×sin 60°＋12c ×1×sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a >0，c >0，所以1a ＋1c ＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥5＋2c a ·4ac＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9. 23\答案712解析 由题意得a n －a n ＋1＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列， ∴a n ＝n ，∴f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n， ∴f (n ＋1)－f (n )＝1n ＋1＋1＋1n ＋1＋2＋…＋1n ＋1＋n ＋1－⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2>0， ∴{f (n )}(n ∈N *，n ≥2)为递增数列， ∴f (n )min ＝f (2)＝12＋a 1＋12＋a 2＝13＋14＝712.24\答案 12解析 ∵z ＝x 2＋4y 2－3xy ，x ，y ，z ∈(0，＋∞)，∴xy z ＝xy x 2＋4y 2－3xy ＝1x y ＋4yx －3≤1(当且仅当x ＝2y 时等号成立)， 此时1x ＋12y －1z ＝1y －12y2，令1y ＝t >0，则1x ＋12y －1z ＝t －12t 2＝－12(t －1)2＋12≤12(当且仅当t ＝1，即y ＝1时等号成立)．25\答案 7解析 由已知得a ＋b ＝18，则1a ＋25b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋25b ×a ＋b 18＝118⎝⎛⎭⎫25＋1＋25a b ＋b a ≥118(26＋10)＝2，当且仅当b ＝5a 时取等号，此时a ＝3，b ＝15，可得n ＝7. 26\答案172解析 ∵x 2＋1617z 2≥21617xz ，当且仅当x ＝41717z 时，取等号，y 2＋117z 2≥2117yz ，当且仅当y ＝1717z 时，取等号． ∴x 2＋y 2＋z 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋1617z 2＋⎝⎛⎭⎫y 2＋117z 2≥21617xz ＋2117yz ＝21717(4xz ＋yz )． ∴4xz ＋yz x 2＋y 2＋z2≤172，当且仅当x ＝41717z ，y ＝1717z ，即x ∶y ∶z ＝4∶1∶17时，取等号．∴4xz ＋yz x 2＋y 2＋z 2的最大值为172.三、解答题27\解 不等式：mx 2－(m －2)x －2＞0化为(mx ＋2)(x －1)＞0.当m ＝0时，不等式化为2(x －1)＞0， 解得x ＞1，所以不等式的解集为(1，＋∞)； 当m ≠0时，不等式对应方程为⎝⎛⎭⎫x ＋2m (x －1)＝0， 解得实数根为－2m ，1.当m ＞0时，不等式化为⎝⎛⎭⎫x ＋2m (x －1)＞0，且－2m<1， 所以不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－2m ∪(1，＋∞)； 当－2<m <0时，不等式化为⎝⎛⎭⎫x ＋2m (x －1)<0， 且1<－2m，所以不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1，－2m ； 当m ＝－2时，－2m ＝1，不等式化为(x －1)2<0，其解集为∅；当m <－2时，不等式化为⎝⎛⎭⎫x ＋2m (x －1)<0， 且－2m<1，所以不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－2m ，1. 综上，m ＞0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－2m ∪(1，＋∞)； m ＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)； －2<m <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1，－2m ； m ＝－2时，不等式的解集为∅； m <－2时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－2m ，1. 28\解 当a ＝0时，S n ＝1.当a ＝1时，S n ＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝(1＋2n －1)n 2＝n 2.当a ≠0且a ≠1时，aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)a n －1＋(2n －1)a n ， 两式相减，有(1－a )S n ＝1＋2a ＋2a 2＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ＝1＋2a (1－a n －1)1－a －(2n －1)a n ，此时S n ＝2a (1－a n －1)(1－a )2＋a n ＋1－2na n1－a .当a ＝0时，也满足此式．综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，a ＝1，2a (1－a n －1)(1－a )2＋a n ＋1－2na n 1－a ，a ≠1.29\解 (1)由题意知f (n )＝50n －⎣⎡⎦⎤12n ＋n (n －1)2×4－72＝－2n 2＋40n －72.由f (n )＞0，即－2n 2＋40n －72＞0，解得2<n <18， 由n ∈N *知，从第三年开始盈利． (2)年平均纯利润f (n )n＝40－2⎝⎛⎭⎫n ＋36n ≤16， 当且仅当n ＝6时等号成立．即第6年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值为16万元． 30\解 (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n . 由题意知，当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2. 易知当n ≥2时，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1n －1b n －1＝b n －1，①b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1n b n ＝b n ＋1－1，②②－①得，1n b n ＝b n ＋1－b n ，整理得b n ＋1b n ＝n ＋1n(n ≥2)，所以b n ＝b n b n －1·b n －1b n －2·…·b 3b 2·b 2＝n (n ≥2)，又b 1＝1也满足上式，所以b n ＝n .(2)由(1)知，a n b n ＝n ·2n ，所以T n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，所以T n －2T n ＝－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2， 所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.31\解 (1)S ＝(x ＋20)×⎝⎛⎭⎫4 000x ＋8＝8x ＋80 000x ＋4 160，x >0. (2)∵x >0，∴S ≥28x ×80 000x＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，当且仅当8x ＝80 000x，即x ＝100时取等号．故要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长为100米，宽为40米． 32\解 方程x 2－(m ＋m 2)x ＋m 3＝0的解为x 1＝m 和x 2＝m 2. 二次函数y ＝x 2－(m ＋m 2)x ＋m 3的图象开口向上，所以 ①当m ＝0或1时，原不等式的解集为∅； ②当0<m <1时，原不等式的解集为{x |m 2<x <m }； ③当m <0或m >1时，原不等式的解集为{x |m <x <m 2}． 33\解 (1)由f (x )<1，得x 2＋2ax ＋3<1， 即x 2＋2ax ＋2<0，其中Δ＝4a 2－8.当Δ＝4a 2－8≤0，即－2≤a ≤2时，不等式无解； 当Δ＝4a 2－8>0，即a <－2或a >2时， 解方程x 2＋2ax ＋2＝0，可得x 1＝－2a －4(a 2－2)2＝－a －a 2－2，x 2＝－2a ＋4(a 2－2)2＝－a ＋a 2－2，则不等式的解集为(－a －a 2－2，－a ＋a 2－2)． 综上所述，当－2≤a ≤2时，不等式无解；当a <－2或a >2时，不等式的解集为(－a －a 2－2，－a ＋a 2－2)． (2)要使函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3在区间[－1，2]上有零点，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－1≤－a ≤2，f (2)≥0，f (－1)≥0或f (2)·f (－1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－12≥0，－1≤－a ≤2，f (－1)＝1－2a ＋3≥0，f (2)＝2＋22a ＋3≥0或(4－2a )(5＋22a )≤0，解得a ≤－524或a ≥2.所以实数a 的取值范围为a ≤－524或a ≥2.34\解 方法一 在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋ax >0恒成立，等价于x 2＋2x ＋a >0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在[1，＋∞)上单调递增，∴当x ＝1时，y min ＝3＋a ，当且仅当y min ＝3＋a >0时，不等式f (x )>0恒成立，故实数a 的取值范围为{a |a >－3}．方法二 f (x )＝x ＋ax ＋2，x ∈[1，＋∞)，当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正，当a <0时，函数f (x )单调递增，故当x ＝1时，f (x )min ＝3＋a ，于是当且仅当f (x )min ＝3＋a >0时，不等式f (x )>0恒成立．故实数a 的取值范围为{a |a >－3}．方法三 由x ∈[1，＋∞)及题意可知a >(－x 2－2x )max ＝－3.故实数a 的取值范围为{a |a >－3}． 35\解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12， 得b 1(q ＋q 2)＝12.而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0， 解得q ＝－3或q ＝2.又因为q ＞0，所以q ＝2.所以b n ＝2n (n ∈N *)． 由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.② 联立①②，解得a 1＝1，d ＝3， 由此可得a n ＝3n －2(n ∈N *)．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2(n ∈N *)，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n (n ∈N *)． (2)设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n . 由a 2n ＝6n －2，得T n ＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n －2)×2n ，2T n ＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n －8)×2n ＋(6n －2)×2n ＋1. 上述两式相减，得－T n ＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n －(6n －2)×2n ＋1 ＝12×(1－2n )1－2－4－(6n －2)×2n ＋1＝－(3n －4)2n ＋2－16， 所以T n ＝(3n －4)2n ＋2＋16.所以数列{a 2n b n }的前n 项和为(3n －4)2n ＋2＋16(n ∈N *)．36\解 (1)由题意知，y ＝⎝⎛⎭⎫4＋20p ·p －(10＋2p )－x ， 将p ＝3－21＋x 代入得y ＝16－4x ＋1－x,0≤x ≤a .(2)y ＝16－4x ＋1－x ＝17－⎝⎛⎭⎫4x ＋1＋x ＋1≤17－24x ＋1·(x ＋1)＝13， 当且仅当4x ＋1＝x ＋1，即x ＝1时，等号成立．当a ≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大； 当a <1时，y ＝17－⎝⎛⎭⎫4x ＋1＋x ＋1在[0，a ]上单调递增，所以当x ＝a 时，函数有最大值，即促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大．综上，当a ≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a <1时，促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大．37\解 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， 若f (x )＝0在区间[0,2]上有一个实数解， ∵f (0)＝1>0，∴f (2)<0或⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝0，－m －12≥2或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，0<－m －12≤2. 又f (2)＝22＋(m －1)×2＋1＝2m ＋3， ∴m <－32或m ＝－1.若f (x )＝0在区间[0,2]上有两个实数解， 则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，0<－m －12<2，f (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)2－4>0，－3<m <1，4＋(m －1)×2＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m >3或m <－1，－3<m <1，m ≥－32，∴－32≤m <－1.综上，实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}． 38\解 原不等式可化为(4－a )x 2－4x ＋1<0(a >0)，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有4－a >0，即a <4，故0<a <4，解不等式有2－a 4－a <x <2＋a 4－a ，即2－a (2＋a )(2－a )<x <2＋a(2＋a )(2－a )，亦即14<12＋a <12<12－a 且12＋a <x <12－a，要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么3<12－a ≤4，解得259<a ≤4916.。

江苏省马坝高级中学2021-2022度第一学期期中考试高二数学试题一、选择题1.命题“0x R ∃∈，2000x x ->”的否定是（ ） A. x R ∀∈，20x x -> B. 0x R ∃∈，2000x x -≤ C. x R ∀∈，20x x -≤ D. 0x R ∃∈，2000x x -<【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定可得出正确选项.【详解】由特称命题的否定可知，命题“0x R ∃∈，2000x x ->”的否定是“x R ∀∈，20x x -≤”，故选：C.【点睛】本题考查特称命题的否定，着重考查对特称命题概念的理解，属于基础题. 2.关于x 的不等式253x x x -->的解集是（ ） A. {5x x ≥或}1x ≤- B. {5x x >或}1x <- C. {}15x x -<< D. {}15x x -≤≤【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求出结果.【详解】由253x x x -->得2450x x -->，即(5)(1)0-+>x x ， 解得5x >或1x <-，即原不等式的解集为：{5x x >或}1x <-. 故选：B【点睛】本题主要考查解一元二次不等式，熟记一元二次不等式的解法即可，属于基础题型. 3.在等差数列{}n a 中，46a =，3510a a a +=，则公差d =（）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】全部用1,a d 表示，联立方程组，解出d 【详解】10354==2=12a a a a +104661a a d d -==⇒=【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，属于基础题。

4.已知12,F F 是椭圆221169x y +=的两个焦点，过1F 的直线与椭圆交于,M N 两点，则2MNF ∆的周长为（ ） A. 16B. 8C. 25D. 32【答案】A 【解析】 因为椭圆的方程我221169x y +=，所以4a = ，由题意的定义可得2MNF ∆的周长()()221212L MN MF NF MF MF NF NF =++=+++2244416a a a =+==⨯=，故选A.5.已知数列{}n a 的前4项为：12-，34，58-，716，则数列{}n a 的通项公式是（ ）A. 212n n n a -=B. ()()1212nnnn a-⋅-=C. 212n nn a +=D. ()()1212nnnn a-⋅+=【答案】B 【解析】 【分析】根据前四项的特点即可归纳出数列的通项公式.【详解】观察数列{}n a 的前4项，可知分母为2n ，分子是奇数，为21n -， 同时符号是正负相间，为()1n-，所以()()1212nnnn a-⋅-=. 故选B.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，根据条件观察数列项和项数之间的关系是解决本题的关键．6.在下列函数中，最小值是2的函数是（ ） A. ()1f x x x=+B. 1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭C. ()2f x =D. ()42xx f x e e=+- 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求各选项函数的最值，但要注意“一正、二定、三相等”三个条件的成立. 【详解】对于A选项中的函数()1f x x x=+，当0x <时，()()11f x x x x x ⎡⎤=+=--+≤⎢⎥-⎣⎦2-=-，则函数()1f x x x =+没有最小值；对于B 选项中的函数1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，0cos 1x <<，1cos cos y x x =+≥2=，当且仅当cos 1x =时，等号成立，但0cos 1x <<，等号不成立，则2y >； 对于C选项中的函数()2f x ==≥0x=时，等号成立，则该对于D 选项中的函数()42xxf x e e =+-，由基本不等式得()42x x f x e e =+-≥22=，当且仅当4x x e e =时，即当ln 2x =时，等号成立，该函数的最小值为2.故选：D.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”三个条件的成立，考查计算能力，属于中等题.7.不等式240ax ax +-＜的解集为R ，则a 的取值范围是（ ） A. 160a ≤< B. 16a >-C. 160a -<≤D. 0a <【答案】C 【解析】 【分析】讨论两种情况，0a =时合题意，当0a ≠时，利用判别式小于零且0a ＜可得结果. 【详解】当0a =时，不等式即40-＜，恒成立．当0a ≠时，由题意可得2160a a ∆=+＜，且0a ＜，解得160a ＜＜-． 综上，实数a 的取值范围是160a -≤＜，故选C ．【点睛】解答一元二次不等式恒成立问题主要方法：（1）若实数集上恒成立，考虑二次项系数的符号以及判别式小于零即可；（2）若在给定区间上恒成立，则考虑运用“分离参数法”转化为求最值问题.8.已知在等比数列{}n a 中,公比q 是整数,142318,12a a a a +=+=,则此数列的前8项和为() A. 514 B. 513C. 512D. 510【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件计算出首项1a 和公比q 的值，然后利用前n 项和公式()111n n a q S q-=-计算前8项和.【详解】因为142318,12a a a a +=+=，所以3112111812a a q a q a q ⎧+=⎨+=⎩且q 是整数，解得：122a q =⎧⎨=⎩； 所以()12122212n n nS +-==--，所以98225122510S =-=-=，故选：D.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算以及等比数列的前n 项和公式，难度较易.使用等比数列的前n 项和公式时，注意公比1q ≠.9.直线l 经过椭圆的一个短轴顶点和一个焦点，若椭圆中心到的l 距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( ) A.12B.13C.23D.34【答案】A 【解析】设椭圆方程为：22221x y a b+=，直线l 经过椭圆的短轴顶点和一个焦点，由对称性，不妨设直线1xyl c b+=：， 椭圆中心到的l 距离为其短轴长的14，124b =⨯,解得12c a =，即离心率为12.故选A.10.数列{}n a 满足()21*1232222n n na a a a n N -++++=∈，则12310a a a a 等于（ ）A. 5512⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1012⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 9112⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 6612⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 分析】根据题意得到22123112222n n n a a a a ---++++=，（2n ≥），与条件两式作差，得到12n n a =，（2n ≥），再验证112a =满足12n n a =，得到12n n a =()*n N ∈，进而可求出结果. 【详解】因为数列{}n a 满足211232222n n n a a a a -++++=，22123112222n n n a a a a ---++++=，（2n ≥）则1112222--=-=n n n n a ，则12n n a =，（2n ≥），又112a =满足12n n a =，所以12n n a =()*n N ∈，因此5510(110)123 (1123102)01222+------⎛⎫=== ⎪⎝⎭a a a a . 故选：A【点睛】本题主要考查等比数列部分项的乘积，熟记等比数列的通项公式以及等差数列的求和公式即可，属于常考题型. 二、填空题11.椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么实数k 的值为 【答案】1 【解析】试题分析：2255x ky +=变形为22222551,11415y x a b c k k kk+=∴==∴=-=∴= 考点：椭圆方程及性质12.n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若191720,a S S ==,则当时,n S 取最大值.【答案】13 【解析】 【分析】题中等差数列前n 项和是n 的二次函数，由二次函数性质可得最值． 【详解】∵191720,a S S ==，∴公差0d <，当917132n +==时，n S 取得最大值． 故答案为13．【点睛】本题考查等差数列前n 和性质．由于21()22n d dS n a n =+-，当0d ≠时，它是n 的二次函数，因此由二次函数性质可得最值．13.若“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，则m 的取值范围是________． 【答案】3m > 【解析】 【分析】由题，“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，则(),m +∞是()3,+∞的真子集，可得答案.【详解】因为“3x >”是“x m >”的必要不充分条件， 所以(),m +∞是()3,+∞的真子集，所以3m >，故答案为3m >.【点睛】本题考查了不要不充分条件，属于基础题.14.已知数列{}n a 的前n 项和为()114710(1)32n n S n -=-+-+⋯+--，则21S =____【答案】31 【解析】 【分析】由题中条件，根据并项求和的方法，即可求出结果. 【详解】因为()114710(1)32n n S n -=-+-+⋯+--，所以()()19202114710(1)3202(1)3212=-+-+⋯+-⨯-+-⨯-S1(47)(1013)...(5861)110(47)31=+-++-+++-+=+⨯-+=.故答案为：31【点睛】本题主要考查数列的求和，熟记并项求和的方法即可，属于常考题型. 15.已知正数,x y 满足1x y +=，则4912x y +++的最小值是_______. 【答案】254【解析】 【分析】由题得124x y +++=，所以49149()[(1)(2)]12412x y x y x y +=++++++++，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数x ，y 满足1x y +=，则124x y +++=， 则49149()[(1)(2)]12412x y x y x y +=++++++++ 14(2)9(1)125(49)(1312)41244y x x y ++=++++=++， 当且仅当4(2)9(1)12y x x y ++=++时，即35x =，25y =时取等号， 故答案为：254． 【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．16.数列{}n a 满足1 1a =-，111n na a +=-（N n +∈），则100a =_____________． 【答案】1- 【解析】 【分析】通过计算出1234a a a a 、、、等的值可以发现数列{}n a 是一个三个一循环的循环数列，然后通过计算，得出100a 的值。

江苏省马坝高级中学2020-2021学年度第一学期期中考试高三数学试题考试时间：120分钟试卷总分：150分一､单选题(每小题5分，共计40分)1. 已知集合{}1,1,2A =-，集合{}1,2,3,4B =，则集合A B =（ ） A. {}1,2 B. {}1,1,2- C. {}1,2,3 D. {}1,1,2,3,4-A根据交集的概念直接写出A B 的结果. 因为{}1,1,2A =-，{}1,2,3,4B =， 所以{}1,2A B =，故选：A.本题考查集合的交集运算，主要考查学生对交集概念的理解，难度容易.2. 函数()()lg 31f x x =-的定义域为（ ）A. 1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦B. (]0,1C. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 10,3⎛⎫⎪⎝⎭A要使()()lg 31f x x =-有意义，则有10310x x -≥⎧⎨->⎩，解出即可.要使()()lg 31f x x =-有意义，则有10310x x -≥⎧⎨->⎩，解得113x <≤所以函数()()lg 31f x x =-的定义域为1,13⎛⎤⎥⎝⎦故选：A本题考查的是函数定义域的求法，较简单.3. 若向量 (2,3)a =-，(1,2)b =-，则2a b -=（ ） A. (3,4)- B. (5,8)-C. (5,8)-D. ()3,4-B根据向量的坐标运算，先由(2,3)a =-，求得2(4,6)=-a ，再求2a b -的坐标． 因为(2,3)a =-，所以2(4,6)=-a ，所以2(5,8)-=-a b ．故选：B本题主要考查了向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4. 在()61x -的展开式中，含4x 项的系数是（ ） A. -15 B. 15 C. -20 D. 20B利用二项式展开式的通项公式，令x 的指数为4,求出展开式中4x 的系数. 设二项式()61x -的展开式的通项为1r T +，则()()6616611rrr r r rr T C x C x --+=-=-.令64,2r r -=∴=.4x ∴的系数为()226115C -=.故选：B .本题考查二项式定理，属于基础题.5. ()322f x ax x =++，若()15f '=，则a的值等于（ ）A. 1B. 2C.115D. 3A求出导函数()'f x ，由(1)5f '=可求得a ．由题意2()32f x ax x '=+，∴(1)325f a '=+=，解得1a =．故选：A ． 本题考查导数的运算，掌握导数的运算法则是解题基础．6. 已知()0,απ∈且满足7cos cos 4418ππαα⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin α=（ ）A. 3B. 23C. 23-D. 13A利用两角和与差的三角公式，二倍角公式，可求得要求式子的值.cos cos 44ππαααααα⎫⎛⎫⎛⎫-+=-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()222117cos sin 12sin 2218ααα=-=-=-， 又()0,a π∈， ∴22sin 3α=.故选：A . 本题考查两角和与差的三角公式，二倍角公式，属于基础题.7. 设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 14-B. 12-C.14D.12C由()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，可将52f ⎛⎫- ⎪⎝⎭化为12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭即可计算. ()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，且当01x ≤≤时，()2f x x x =-，51112224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C.本题考查周期性和奇偶性的应用，属于基础题.8. “欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30°，沿直线前进79米到达E 点，此时看点C 的仰角为45°，若2BC AC =，则楼高AB 约为（ ）．A. 65米B. 74米C. 83米D. 92米B设AC 的高度为x ，在直角三角形中用x 表示出,BE BD ，由79ED =可求得x 得楼高． 设AC 的高度为x ，则由已知可得3AB x =，2BC BE x ==，33tan ABBD x ADB==∠，所以279DE BD BE x =-=-=，解得24.7x =≈，所以楼高324.774.174AB ≈⨯=≈（米）．故选：B ． 本题考查解三角形的实际应用．属于基础题．二､多选题(每小题5分，每题全部选对得5分，部分选对得3分，选错得0分，共20分) 9. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A. ::::A B C a b c = B.sin sin sin sin a a b cA AB C++=++ C. 若sin sin A B <，则A B < D. 若sin 2sin 2A B =，则a b =BC根据正弦定理以及诱导公式逐一判断，即可选择.根据正弦定理得sin :sin :sin ::A B C a b c =，所以A 错误； 根据正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆半径, 2sin 2sin 2sin 2sin sin sin sin sin sin sin a b c R A R B R C aR A B C A B C A++++∴===++++,所以B 正确； sin sin 22a bA B a b A B R R<∴<∴<<，，所以C 正确；若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=，所以A B =或2A B π+=∴a b =或2C π=，故D错误；故选：BC本题考查正弦定理以及诱导公式，考查基本分析论证与求解能力，属基础题. 10. 下列命题中正确命题的是（ ）A. 已知a ，b 是实数，则“1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“33log log a b >”的充要条件； B. (),0x ∃∈-∞，使23x x <；C. 若x θ=是函数()3sin cos f x x x =-的一个极值点，则22sin 22cos 5θθ+=-；D. 若角α的终边在第一象限，则sincos 22sincos22αααα+的取值集合为{}2,2-.CD由指数函数和对数函数的性质，结合充分、必要条件，可判定A 不正确；由指数函数的图象与性质，可判定B 不正确；由极值点的概念和三角函数的基本关系式，可判定C 是正确. 三角函数象限角的符号，可得判定D 是正确的.对于A 中，由1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据指数函数的性质，可得a b >，例如：1,3a b =-=-时，满足a b >，此时3log a 和3log b 无意义，所以充分性不成立；反之：由33log log a b >，可得a b >，可得1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，必要性成立，所以A 不正确；对于B 中，由指数函数的图象与性质，可得不存在(),0x ∈-∞，使得23x x <成立， 所以B 不正确；对于C 中，函数()3sin cos f x x x =-，可得()3cos sin f x x x '=+，因为x θ=是函数()f x 的一个极值点，可得3cos sin 0θθ+=，即tan 3θ=-，又由222222sin cos 2cos 2tan 22sin 22cos sin cos tan 15θθθθθθθθθ+++===-++，所以C 是正确. 对于D 中，由角α的终边在第一象限，可得22,2k k k Z ππαπ<<+∈，则,24k k k Z απππ<<+∈，当k 为偶数时，可得sin0,cos022αα>>，此时sincos 222sincos22αααα+=； 当k 为奇数时，可得sin0,cos022αα<<，此时sincos 222sincos22αααα+=-. 所以D 是正确的.故选：CD三角函数基本关系式的化简求值的方法及策略：1、公式的直接应用：已知sin ,cos ,tan θθθ的一个求另外两个的值，解答时可直接套用公式求解，但要注意θ的范围，确定三角函数值的符号；2、齐次式法：分式中分子分母时关于sin ,cos θθ的齐次式，往往转化为关于tan θ的式子求解；3、利用sin cos ,sin cos θθθθ±的关系：对于sin cos θθ±和sin cos θθ这三个式子，利用2(sin cos )12sin cos θθθθ±=±，可以知一求二.11. 已知函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ） A. ()g x 的图象关于直线3x π=对称B. ()g x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C. ()g x 在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D. ()g x 在区间70,6π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点CD求出2()sin 0333g πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭， ()sin 0336g πππ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，即可判定AB 错误，5,,2,012632x x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到C 正确，解方程即可得到D 选项正确.2()sin 0333g πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以A 选项错误； ()sin 0336g πππ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，所以B 选项错误； 5,,2,012632x x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是正弦函数的增区间的子区间，所以()g x 在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，所以C 选项正确； 令()sin 203g x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2,3x k k Z ππ+=∈，,26k x k Z ππ=-∈， 所以在区间70,6π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点，所以D 选项正确. 此题考查正弦型函数的单调性判断，求对称轴和对称中心以及零点问题，关键在于熟练掌握三角函数的基本性质. 12. 关于函数()2ln f x a x x=+，下列判断正确的是（ ） A. 当1a =时，()ln 21f x ≥+；B. 当1a =-时，不等式()()210f x f x -->的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭；C. 当a e >时，函数()f x 有两个零点；D. 当()f x 的最小值为2时，2a =． ABD 【分析】由导数确定函数的单调性和最值，即可判断A 、B 、D ；举出反例可判断C ，即可得解.对函数()2ln ,0f x a x x x=+>求导得()2222a ax f x x x x -'=-=， 当1a =时，()2ln f x x x =+，()22x f x x-'=，当()0,2x ∈时，()0f x '<，函数单调递减， 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增， 所以()()2ln 21f x f ≥=+，故A 正确；当1a =-时，()2ln f x x x=-+，在()0,∞+上单调递减，因为()()210f x f x -->即()()21f x f x ->，所以021x x <-<，解得1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故B 正确；当2a e =时，()22ln f x e x x =+，()222ex f x x -'=，则当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数单调递减， 当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数单调递增，所以()112ln 20f x f e e e e ⎛⎫≥=+= ⎪⎝⎭，函数只有一个零点，故C 错误； 当0a ≤时，()2ln f x a x x=+单调递减，无最小值； 当0a >时，由()22ax f x x -'=可得当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数单调递减，当2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数单调递增，所以()min22ln 2f x f a a a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，解得2a =，故D 正确.故选：ABD. 本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.三､填空题(每小题5分，第16题第一空2分，第二空3分，共计20分) 13. 已知复数z 满足(2)1i z i -=+，i 为虚数单位，则复数z =_________1355i + 根据复数的除法运算计算即可得解.(2)1i z i -=+，1(1)(2)(1)(2)13132(2)(2)5555i i i i i i z i i i i ++++++=====+--+. 故答案为：1355i +．本题主要考查了复数除法运算，解题关键是掌握复数除法的运算方法，考查了分析计算能力，属于基础题．14. 已知x ，y 取值如表：x13 5 6y1 m3m5.67.4画散点图分析可知：y 与x 线性相关，且求得回归方程为ˆ1yx =+，则m =__________． 32分析：计算,x y ，根据线性回归方程过样本中心点，代入方程求出m 的值．详解：计算x =15×（0+1+3+5+6）=3，y =15×（1+m +3m +5.6+7.4）=1445m+， ∴这组数据的样本中心点是（3，1445m+）， 又y 与x 的线性回归方程y =x +1过样本中心点，∴1445m+=1×3+1， 解得m=32.故填32.点睛：本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，属于基础题．15. 已知函数()32f x ax x =-的图象过点()14P -,，则曲线()y f x =在点P 处的切线方程为___________．840x y ++=试题分析：由可知，，所以，所以切线方程为，即840x y ++=.考点：导数的几何意义．16. 已知角θ的顶点与原O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边经过点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()tan πθ-=______，若角α满足()1tan 2αθ-=，则tan α=______.(1).34(2). 211-由已知可求tan θ，根据诱导公式求出()tan πθ-；利用()ααθθ=-+，再由两角和正切公式即可求解.依题意得33tan ,tan()tan 44θπθθ=--=-=，1tan()tan 24tan tan[()]111tan()tan 118αθθααθθαθθ--+=-+===---⋅.故答案为：34，211-. 本题考查三角函数定义、诱导公式求值、三角恒等变换求值，注意角之间的转化，属于基础题. 四､解答题(共计70分)17. 设两个非零向量12,e e 不共线，2211128,2,3()A e B e BC e e e e CD ==-=++. （1）求证:A 、B 、D 共线；（2）试确定实数k ，使12ke e +和12e ke +共线．（1）证明见解析；（2）1k =±（1）求出BD ，只需证明,AB BD 共线即可；（2）根据共线向量的充要条件，建立k 的方程关系，即可求解. （1）12555BD BC CD e e AB AB BD =+=+=⋅∴∥又有公共点B ,A ∴、B 、D 共线（2）设存在实数λ使1212()ke e e ke λ+=+，非零向量12,e e 不共线，1k k λλ=⎧∴⎨=⎩，1k ∴=±.本题考查共线向量定理，考查计算求解能力，属于基础题.18. 已知函数21()cos cos 2222x x x f x =++．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象上的各点________；得到函数()y g x =的图象，当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程()g x a =有解，求实数a 的取值范围．在①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答. ①向左平移32π个单位，再保持纵坐标不变横坐标缩小为原来的一半； ②纵坐标保持不变横坐标缩小为原来的一半，再向右平移4π个单位． （1）2π；（2）若选①，30,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；若选②，30,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）用正弦余弦的半角公式整理()f x 可得正弦函数标准型，可得函数最小正周期；（2）选①先平移变换后周期变换可得对应的()g x ，由()g x 的值域可得a 范围；选②先周期变换后平移变换得对应的()g x ，同样由()g x 值域得a 的范围. （1）()11()1cos sin 1226f x x x x π⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，最小正周期为2π； （2）选①时，()3sin 211cos 2266g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22,663x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，故1cos 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()30,2g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()g x a =有解，故30,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 选②时，()sin 211sin 2463g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故1sin 21,32x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，3()0,2g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ()g x a =有解，故30,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．本题考查三角函数变换，正弦函数余弦函数得图像变换及性质，属于基础题.19. 如图，在ABC ∆中，已知30B ∠=︒，D 是BC 边上的一点，5AD =，7AC =，3DC =.（1）求ADC ∆的面积； （2）求边AB 的长. （1153；（2）53 分析：（1）在ADC ∆中，根据余弦定理求得120ADC ∠=︒，然后根据三角形的面积公式可得所求．（2）在ABD ∆中由正弦定理可得AB 的长． 详解：（1）在ADC ∆中，由余弦定理得2222225371cos 22532AD DC AC ADC AD DC +-+-∠===-⋅⨯⨯，∵ADC ∠为三角形的内角，120ADC ∴∠=︒， 3sin ADC ∴∠=， 113153sin 5322ADC S AD DC ADC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯=．（2）在ABD ∆中，60ADB ∠=︒， 由正弦定理得：sin sin AB ADADB B=∠∴512AB == 点睛：解三角形时首先要确定所要解的的三角形，在求解时要根据条件中的数据判断使用正弦定理还是余弦定理以及变形的方向，另外求解时注意三角形内角和定理等知识的灵活应用． 20. 为了搞好某运动会的接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余人不喜爱运动． （1）根据以上数据完成以下2×2列联表：（2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？（3）如果从喜欢运动的女志愿者中(其中恰有4人会外语)，抽取2名负责翻译工作，那么抽出的志愿者中至少有1人能胜任翻译工作的概率是多少？参考：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++．临界值表：（1）见解析；（2）在犯错误的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关；（3）1415. （1）直接根据题干信息填表即可；（2）根据2K 的公式直接计算并结合参考数据概率下结论即可；（3）利用对立事件“都不能胜任翻译工作”概率计算即可. （1）2×2列联表如下：（2）假设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得2230(10866) 1.1575 2.70616141614K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关． (3)喜欢运动的女志愿者有6人，从中抽取2人，有2615C =种取法． 其中两人都不会外语的只有一种取法．故抽出的志愿者中至少有1人能胜任翻译工作的概率是11411515P =-=. 本题主要考查了独立性检验的应用及利用对立事件求解概率，属于基础题.21. 2020年5月政府工作报告提出，通过稳就业促增收保民生，提高居民消费意愿和能力．近日，多省市为流动商贩经营提供便利条件，放开“地摊经济”，但因其露天经营的特殊性，易受到天气的影响，一些平台公司纷纷推出帮扶措施，赋能“地摊经济”．某平台为某销售商“地摊经济”的发展和规范管理投入[]()4,8x x ∈万元的赞助费，已知该销售商出售的商品为每件40元，在收到平台投入的x 万元赞助费后，商品的销售量将增加到2102y x λ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭万件，[]0.6,1λ∈为气象相关系数，若该销售商出售y 万件商品还需成本费()40530x y ++万元．（1）求收到赞助后该销售商所获得的总利润p 万元与平台投入的赞助费x 万元的关系式；（注：总利润=赞助费+出售商品利润）（2）若对任意[]4,8x ∈万元，当入满足什么条件时，该销售商才能不亏损？ （1）2001004402p x x λλ=---+，[]4,8x ∈；（2）当λ满足[]0.9,1λ∈时，该销售商才能不亏损． （1）根据总利润=赞助费+出售商品利润和已知得解；（2）由题得()()10225x x xλ++在[]4,8x ∈上恒成立，设()2012f x x x=++，利用导数求出函数()f x 的最大值即可得解.（1）由题意得20204010405301022p x x x x λλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅--++⋅- ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦2001004402x x λλ=---+，[]4,8x ∈． （2）要使对任意[]4,8x ∈（万元）时，该销售商才能不亏损，即有0p ，变形得()()10225x x xλ++在[]4,8x ∈上恒成立，而()()210212202012x x x x x xxx++++==++，设()2012f x x x=++，()2201f x x =-'，令0fx解得=±x所以函数()f x 在4,⎡⎣单调递减，在⎡⎤⎣⎦单调递增，()()(){}max max 4,8f x f f =，因为()()421822.5f f =<=，所以有2522.5λ，解得0.9λ，即当λ满足[]0.9,1λ∈时，该销售商才能不亏损．本题主要考查函数和不等式的应用，考查导数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22. 已知函数()ln ()af x x a R x=+∈.（1）若1a =，求()f x 的极值； （2）讨论函数()f x 的单调区间；（3）若()22()2a g x af x x x x=+--有两个极值点()1212,x x x x <，且不等式()12g x mx ≥恒成立，求实数m 的取值范围.（1）极小值1，无极大值；（2）答案见解析；（3）3,ln 22⎛⎤-∞--⎥⎝⎦.（1）求出函数的导数，讨论其单调性即可求出极值；（2）求出函数导数，分0a ≤和0a >两种情况讨论可得单调性；（3）根据导数可得()g x 有两个极值点()1212,x x x x <等价于2220x x a -+=有两不等实根()1212,0x x x x <<，则可得出102a <<，进而得出121012x x <<<<，可得()12g x mx ≥恒成立，等价于()1111112ln 1m x x x x ≤--+-，构造函数11()12ln 012h t t t t t t ⎛⎫=--+<< ⎪-⎝⎭求出最小值即可.（1）若1a =，则1()ln f x x x=+，()0,x ∈+∞ ()22111x f x x x x-'∴=-=， 当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，∴当1x =时函数有极小值()11f =，无极大值；（2）()f x 的定义域是()0,∞+，221()a x af x x x x-'=-=， ①0a ≤时，0x a ->，则()0f x '>，()f x 在()0,∞+递增，②0a >时，令()0f x '>，解得：x a >，令()0f x '<，解得：x a <， 故()f x 在()0,a 递减，在(),a +∞递增；（3）222()()2ln 2a g x af x x x a x x x x=+--=+-定义域为()0,∞+，()g x 有两个极值点()1212,x x x x <，即222()220a x x ag x x x x'-+=+-==，则2220x x a -+=有两不等实根()1212,0x x x x <<， ∴480a ∆=->，0a >，102a ⇒<<.且121x x =+，21122a x x =-.从而121012x x <<<<.由不等式()12g x mx ≥恒成立，得()21111222ln g x x x a x m x x -+≤=()()221111*********ln 112ln 11x x x x x x x x x x -+-==--+--恒成立. 令11()12ln 012h t t t t t t ⎛⎫=--+<< ⎪-⎝⎭， 当102t <<时，21()12ln 0(1)h t t t '=-+<-恒成立， 所以函数()h t 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，∴13()ln 222h t h ⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭. 故实数m 的取值范围是3,ln 22⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦.关键点睛：本题考查利用导数解决不等式的恒成立问题，解题的关键是将()g x 有两个极值点()1212,x x x x <等价于2220x x a -+=有两不等实根()1212,0x x x x <<，以此求出121012x x <<<<，再将不等式恒成立转化为求11()12ln 012h t t t t t ⎛⎫=--+<< ⎪-⎝⎭的最小值.。

马坝高级中学2021-2021学年度第一学期期中考试制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日高二数学试题一、选择题1.命题“0x R ∃∈，2000x x ->〞的否认是〔 〕 A. x R ∀∈，20x x -> B. 0x R ∃∈，2000x x -≤ C. x R ∀∈，20x x -≤ D. 0x R ∃∈，2000x x -<【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否认可得出正确选项.【详解】由特称命题的否认可知，命题“0x R ∃∈，2000x x ->〞的否认是“x R ∀∈，20x x -≤〞，应选：C.【点睛】此题考察特称命题的否认，着重考察对特称命题概念的理解，属于根底题.x 的不等式253x x x -->的解集是〔 〕A. {5x x ≥或者}1x ≤- B. {5x x >或者}1x <- C. {}15x x -<< D. {}15x x -≤≤【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求出结果.【详解】由253x x x -->得2450x x -->，即(5)(1)0-+>x x ， 解得5x >或者1x <-，即原不等式的解集为：{5x x >或者}1x <-. 应选：B【点睛】此题主要考察解一元二次不等式，熟记一元二次不等式的解法即可，属于根底题型.{}n a 中，46a =，3510a a a +=，那么公差d =〔〕A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】C 【解析】【分析】全部用1,a d 表示，联立方程组，解出d 【详解】10354==2=12a a a a +104661a a d d -==⇒=【点睛】此题考察等差数列的根本量计算，属于根底题。

4.12,F F 是椭圆221169x y +=的两个焦点，过1F 的直线与椭圆交于,M N 两点，那么2MNF ∆的周长为〔 〕 A. 16 B. 8C. 25D. 32【答案】A 【解析】因为椭圆的方程我221169x y +=，所以4a = ，由题意的定义可得2MNF ∆的周长()()221212L MN MF NF MF MF NF NF =++=+++2244416a a a =+==⨯=，应选A.{}n a 的前4项为：12-，34，58-，716，那么数列{}n a 的通项公式是〔 〕A. 212n nn a -= B. ()()1212nnnn a-⋅-=C. 212n nn a +=D. ()()1212nnnn a-⋅+=【答案】B 【解析】 【分析】根据前四项的特点即可归纳出数列的通项公式.【详解】观察数列{}n a 的前4项，可知分母为2n ，分子是奇数，为21n -， 同时符号是正负相间，为()1n-，所以()()1212nnnn a-⋅-=.应选B.【点睛】此题主要考察数列通项公式的求解，根据条件观察数列项和项数之间的关系是解决此题的关键．6.在以下函数中，最小值是2的函数是〔 〕 A. ()1f x x x=+B. 1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭C. ()2f x =D. ()42xx f x e e=+- 【答案】D 【解析】 【分析】利用根本不等式求各选项函数的最值，但要注意“一正、二定、三相等〞三个条件的成立. 【详解】对于A选项里面的函数()1f x x x=+，当0x <时，()()11f x x x x x ⎡⎤=+=--+≤⎢⎥-⎣⎦2-=-，那么函数()1f x x x =+没有最小值；对于B 选项里面的函数1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，0cos 1x <<，1cos cos y x x =+≥2=，当且仅当cos 1x =时，等号成立，但0cos 1x <<，等号不成立，那么2y >；对于C 选项里面的函数()2f x ==≥，当且仅当0x =时，等号成立，对于D 选项里面的函数()42xx f x e e=+-，由根本不等式得()42x x f x e e =+-≥22=，当且仅当4x x e e =时，即当ln 2x =时，等号成立，该函数的最小值为2.应选：D.【点睛】此题考察利用根本不等式求最值，利用根本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等〞三个条件的成立，考察计算才能，属于中等题.240ax ax +-＜的解集为R ，那么a 的取值范围是〔 〕A. 160a ≤<B. 16a >-C. 160a -<≤D. 0a <【答案】C 【解析】 【分析】讨论两种情况，0a =时合题意，当0a ≠时，利用判别式小于零且0a ＜可得结果.【详解】当0a =时，不等式即40-＜，恒成立．当0a ≠时，由题意可得2160a a ∆=+＜，且0a ＜，解得160a ＜＜-． 综上，实数a 的取值范围是160a -≤＜，应选C ．【点睛】解答一元二次不等式恒成立问题主要方法：〔1〕假设实数集上恒成立，考虑二次项系数的符号以及判别式小于零即可；〔2〕假设在给定区间上恒成立，那么考虑运用“别离参数法〞转化为求最值问题.{}n a 中,公比q 是整数,142318,12a a a a +=+=,那么此数列的前8项和为()A. 514B. 513C. 512D. 510【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件计算出首项1a 和公比q 的值，然后利用前n 项和公式()111n n a q S q-=-计算前8项和.【详解】因为142318,12a a a a +=+=，所以3112111812a a q a q a q ⎧+=⎨+=⎩且q 是整数，解得：122a q =⎧⎨=⎩； 所以()12122212n n nS +-==--，所以98225122510S =-=-=，应选：D.【点睛】此题考察等比数列根本量的计算以及等比数列的前n 项和公式，难度较易.使用等比数列的前n 项和公式时，注意公比1q ≠.l 经过椭圆的一个短轴顶点和一个焦点，假设椭圆中心到的l 间隔 为其短轴长的14，那么该椭圆的离心率为( )A.12B.13C.23D.34【答案】A 【解析】设椭圆方程为：22221x y a b+=，直线l 经过椭圆的短轴顶点和一个焦点，由对称性，不妨设直线1xyl c b+=：， 椭圆中心到的l 间隔 为其短轴长的14124b =⨯,解得12c a =，即离心率为12. 应选A.{}n a 满足()21*1232222n n na a a a n N -++++=∈，那么12310a a a a 等于〔 〕A. 5512⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1012⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 9112⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 6612⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据题意得到22123112222n n n a a a a ---++++=，〔2n ≥〕，与条件两式作差，得到12n n a =，〔2n ≥〕，再验证112a =满足12n n a =，得到12n n a =()*n N ∈，进而可求出结果.【详解】因为数列{}n a 满足211232222n n na a a a -++++=， 22123112222n n n a a a a ---++++=，〔2n ≥〕 那么1112222--=-=n n n n a ，那么12n n a =，〔2n ≥〕，又112a =满足12n n a =，所以12n n a =()*n N ∈，因此5510(110)123 (1123102)01222+------⎛⎫=== ⎪⎝⎭a a a a . 应选：A【点睛】此题主要考察等比数列局部项的乘积，熟记等比数列的通项公式以及等差数列的求和公式即可，属于常考题型. 二、填空题2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么实数k 的值是【答案】1 【解析】试题分析：2255x ky +=变形为22222551,11415y x a b c k k kk+=∴==∴=-=∴= 考点：椭圆方程及性质12.n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,假设191720,a S S ==,那么当时,n S 取最大值. 【答案】13 【解析】 【分析】题中等差数列前n 项和是n 的二次函数，由二次函数性质可得最值． 【详解】∵191720,a S S ==，∴公差0d <，当917132n +==时，n S 获得最大值． 故答案为13．【点睛】此题考察等差数列前n 和性质．由于21()22n d dS n a n =+-，当0d ≠时，它是n 的二次函数，因此由二次函数性质可得最值．13.假设“3x >〞是“x m >〞的必要不充分条件，那么m 的取值范围是________． 【答案】3m > 【解析】 【分析】由题，“3x >〞是“x m >〞的必要不充分条件，那么(),m +∞是()3,+∞的真子集，可得答案.【详解】因为“3x >〞是“x m >〞的必要不充分条件， 所以(),m +∞是()3,+∞的真子集，所以3m >， 故答案为3m >.【点睛】此题考察了不要不充分条件，属于根底题.{}n a 的前n 项和为()114710(1)32n n S n -=-+-+⋯+--，那么21S =____【答案】31 【解析】 【分析】由题中条件，根据并项求和的方法，即可求出结果. 【详解】因为()114710(1)32n n S n -=-+-+⋯+--，所以()()19202114710(1)3202(1)3212=-+-+⋯+-⨯-+-⨯-S1(47)(1013)...(5861)110(47)31=+-++-+++-+=+⨯-+=.故答案为：31【点睛】此题主要考察数列的求和，熟记并项求和的方法即可，属于常考题型.,x y 满足1x y +=，那么4912x y +++的最小值是_______.【答案】254【解析】 【分析】由题得124x y +++=，所以49149()[(1)(2)]12412x y x y x y +=++++++++，再根据根本不等式即可求出答案．【详解】正数x ，y 满足1x y +=，那么124x y +++=， 那么49149()[(1)(2)]12412x y x y x y +=++++++++ 14(2)9(1)125(49)(1312)41244y x x y ++=++++=++， 当且仅当4(2)9(1)12y x x y ++=++时，即35x =，25y =时取等号， 故答案为：254． 【点睛】此题考察了条件等式下利用根本不等式求最值，考察了变形的才能，考察了计算才能，属于中档题．{}n a 满足1 1a =-，111n na a +=-〔N n +∈〕，那么100a =_____________． 【答案】1- 【解析】 【分析】通过计算出1234a a a a 、、、等的值可以发现数列{}n a 是一个三个一循环的循环数列，然后通过计算，得出100a 的值。

江苏省马坝高级中学2020-2021学年第一学期期中考试高二数学2020年11月19日一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

1.已知集合A ＝{x |4x 2﹣x ﹣5≤0}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，1）B ．（﹣1，54） C ．[﹣1，1） D ．（﹣54，1] 2.设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是（ ） A ．y 2=﹣8xB ．y 2=8xC ．y 2=﹣4xD ．y 2=4x3．已知0,0a b >>，且191a b+=，则ab 的最小值为（ ） A ．100B ．81C ．36D ．94.标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的1010倍，若视力4.1的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ） A ．4510a B ．91010a C ．4510a -D ．91010a -5. 已知不等式210ax bx --≥的解集是11[,]23--, 则不等式20x bx a --<的解集是（ ） A ．(2,3) B ．(,2)(3,)-∞⋃+∞ B ．C ．11(,)32D ．11(,)(,)32-∞⋃+∞6.已知关于x 的不等式210x x a -+-≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7.已知抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线2221x y a-=（a ＞0）的一条渐近线的距离为12，则该双曲线的方程为（ ） A ．x 2﹣y 2＝1B ．22x -y 2＝1C ．23x -y 2＝1D ．24x -y 2＝18.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇.这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为130尺，则在第几天墙才能被打穿（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全对5分，不全对3分，选错0分.9．下列是“不等式22530x x --<成立”的必要不充分条件的是（ ） A ．321≤<-x B ．142x -<< C ．132x -<< D ．102x -<<10.下列函数中，最小值是 ）A ．2y xx=+B ．y =C ．22244y x x =+++ D ．2xxy e e-=+11.已知椭圆C 的中心在原点，焦点1F ，2F 在y 轴上，且短轴长为2，，过焦点1F 作y 轴的垂线，交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．椭圆方程为2213y x +=B ．椭圆方程为2213x y +=C ．3PQ =D ．2PF Q ∆的周长为12.无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（15题第一问2分，第二问3分） 13．命题1:0,()12xp x ∀><的否定形式为_______.14.若关于x 的不等式()()30x a x --<成立的充要条件是23x <<，则a =______.15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若271230a a a ++=，则=7a ______，13S 的值是________． 16．在实数集R 中定义一种运算“*”，具有性质： （1）对任意a ，b ∈R ，a b b a *=*； （2）对任意a ∈R ，0a a *=；（3）对任意a ，b ∈R ，()()()()5a b c c ab a c b c c **=*+*+*-. 则函数()10y x x x=*>的最小值为______. 三．解答题：（70分，第17题10分，其他每题12分。

江苏省马坝高级中学2021-2022度第一学期期中考试高三数学试题（理科）（Ⅰ卷）一、填空题1.集合{}1,0,1A =-，{}20B x x =-<<，则A B =______．【答案】{}1- 【解析】 【分析】根据集合的交集运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，集合{}1,0,1A =-，{}20B x x =-<<， 根据集合的交集运算，可得A B ={}1-.故答案为{}1-.【点睛】本题主要考查了集合的表示，以及集合的交集运算，其中解答中熟记集合的表示方法，以及集合的交集的概念及运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2.设复数12z i =-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为_______. 【答案】2- 【解析】 【分析】根据复数的概念，即可求得复数12z i =-的虚部，得到答案.【详解】根据复数的概念，可得复数12z i =-（i 为虚数单位）的虚部为2-. 故答案为2-.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，其中解答中熟记复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与辨析能力，属于基础题.3.已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是______． 【答案】0.1 【解析】数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为15x =×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，∴该组数据的方差为：s2=15×[（4.8–5.2）2+（4.9–5.2）2+（5.2–5.2）2+（5.5–5.2）2+（5.6–5.2）2]=0.1．故答案为0.1．4.已知两个袋子中装有大小和形状相同的小球，其中甲袋中有3个小球编号为1,2,3，乙袋中有4个小球编号为1,2,3，4，若从两个袋中各取出1球，则取出的两个小球编号相同的概率为______．【答案】1 4【解析】【分析】先求出基本事件的总数，再计算随机事件中基本事件的个数，利用公式可计算概率. 【详解】设A为“取出的两个小球编号相同”，从两个袋中各取出1球，共有12种取法，取出的两个小球编号相同，共有3种取法，故()31 124P A==.【点睛】古典概型的概率计算，应该用枚举法列出所有的基本事件及随机事件中含有的基本事件，也可用排列组合的方法来计数.5.执行如图所示的程序框图，则输出的m的值为____.【答案】6【解析】【分析】执行如图所示的程序框图，逐次计算，根据判断条件，即可求解，得到答案. 【详解】执行如图所示的程序框图，可得：0,1S m ==， 第1次循环，满足判断条件，10122,2S m =+⨯==； 第2次循环，满足判断条件，222210,3S m =+⨯==； 第3次循环，满足判断条件，3103234,4S m =+⨯==； 第4次循环，满足判断条件，4344298,5S m =+⨯==； 第5次循环，满足判断条件，59852258,6S m =+⨯==； 不满足判断条件，此时输出6m =. 故答案为6.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.已知实数,x y 满足约束条件2323x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值为______.【答案】72【解析】 【分析】画出约束条件所表示平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入目标函数，即可求解，得到答案.【详解】由题意，画出约束条件2323x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域，如图所示，目标函数2z x y =+，可得直线2y x z =-+，平移直线2y x z =-+过点A 时，此时目标函数取得最大值，又由223x x y =⎧⎨-=⎩，解得1(2,)2A -，所以目标函数2z x y =+的最大值为max 172222z =⨯-=. 故答案为72.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 7.已知函数()xx axf x xe e=-（其中e 为自然对数的底数）为偶函数，则实数a 的值为____． 【答案】1 【解析】 【分析】利用()()f x f x =-恒成立可得实数a 的值．【详解】因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x =-恒成立即()x xx xa x ax xe xe e e ----=--，整理得到()x x x x e e a e e --+=+恒成立，故1a =，填1.【点睛】含参数的偶函数（或奇函数），可通过取自变量的特殊值来求参数的大小，注意最后检验必不可少，也可以利用()()f x f x =-（或()()f x f x -=-）恒成立来求参数的大小. 8.设集合A ＝{x |x （x ﹣1）＜0}，B ＝{x |0＜x ＜3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的____条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）． 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】首先解出集合A ，然后判断两个集合的包含关系，根据集合的包含关系与充分必要条件的判断模式得到结论.【详解】解：由于A ＝{x |0＜x ＜1}，则A ⊊B ，由m ∈B 不能推出m ∈A ，如x ＝2时，故必要性不成立． 反之，根据A ⊊B ，“m ∈A ”⇒“m ∈B ”． 所以“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件． 故答案为充分不必要【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，将充分必要条件的判断转化为集合的包含关系，属于基础题型. 9.已知tan 2α，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为 ． 【答案】3 【解析】【详解】()()()()12tan tan 7tan tan 311tan tan 127αβαβαβααβα++-=+-===+++⨯-，故答案为3.10.已知一个圆柱的轴截面为正方形，其侧面积为1S ，与该圆柱等底等高的圆锥的侧面积为2S ，则21S S 的值为___．【解析】 【分析】设圆柱的底面圆的半径为r ，则高为2r，分别计算圆柱和圆锥的侧面积可得它们的比值.【详解】设圆柱的底面圆的半径为r ，则高为2r=，所以21224r r S r ππ=⨯=，22r l r S r ππ=⨯⨯=⨯=，所以2154S S =，填5. 【点睛】本题考查圆柱、圆锥侧面积的计算，属于基础题.11.已知函数ln ,0()21,0x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数()y f x x a =+-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】()2,+∞ 【解析】 【分析】将问题转变为()y f x =与y x a =-+的图象且只有一个交点，画出()f x 的图象，通过平移直线y x =-找到符合题意的情况，从而确定参数范围. 【详解】由()0y f x x a =+-=得：()f x x a =-+∴函数()0y f x x a =+-=有且只有一个零点等价于：()y f x =与y x a =-+的图象且只有一个交点 画出函数()ln ,021,0xx x f x x >⎧=⎨+≤⎩的图象如下图：y x a =-+的图象经过点()0,2A 时有2个交点，平移y x =-，由图可知，直线与y 轴的交点在A 点的上方时，两图象只有1个交点，在A 点下方时，两图象有2个交点2a ∴>，即()2,a ∈+∞本题正确结果：()2,+∞【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围，涉及到指数函数、对数函数图象的应用，关键是能够将问题转化为曲线与直线的交点个数问题，通过数形结合的方式，结合直线的平移得到结果.12.在等腰ABC ∆中，AB AC =，26AC BC +=则ABC ∆面积的最大值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】由题意建立坐标系，结合向量模的坐标运算及基本不等式求解即可．【详解】以BC 为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴，设(),0C m ，()0,A n ，(),0B m - ，()0,0m n >>(),AC m n ∴=- ，()2,0BC m = ， ()3,AC BC m n ∴+=- ，26AC BC += ， 22924m n ∴+= ，22249236m n m n mn =+≥⋅⋅=，当且仅当3m n =时，即n m ==4mn ∴≤ ，4ABC S mn ∆∴=≤ ，ABC ∆∴面积的最大值为4，故答案为4．【点睛】本题考查了用解析的方法解决平面几何问题，考查了向量的坐标运算，模的计算，考查了基本不等式的应用，属于中档题． 13.已知函数31()4f x x x=-+，若直线1l ，2l 是函数()y f x =图象的两条平行的切线，则直线1l ，2l 之间的距离的最大值是_____． 【答案】2 【解析】【分析】先对函数求导，设两切点，利用两切线平行找到两切点坐标间的关系，然后写出两切线方程，计算出两切线间距离再求最值. 【详解】解：因为()2314f x x -'=-，记l 1，l 2的切点分别为11131,4x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭、22231,4x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，且12x x ≠ 所以2212313144x x --=-- 所以12x x =- 因为l 1：()112113131y 44x x x x x ⎛⎫⎛⎫--+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得()2211134480x x x y x ++-=同理l 2：()2222234480x x x y x ++-=即()2211134480x x x y x +++=所以d ===因为2121162540x x+≥= 所以2d≤=，当且仅当1x =所以距离最大值为2 故答案为2.【点睛】本题考查了利用导数研究曲线的切线方程，两平行线间距离的最值，曲线的切线斜率即为该点处的导数，求最值过程中常用到不等式或函数相关知识.14.已知函数()22xf x =-，若ab ，且()()f a f b =，则+a b 的取值范围是__________．【答案】(),2-∞ 【解析】 【分析】画出函数()22xf x =-的图象，结合图象和指数函数的性质，求得224a b +=，利用基本不等式，即可求解.【详解】画出函数()22xf x =-的图象，如图所示，不妨设1a b <<，由()()f a f b =，得2222ab-=-，所以2222a b -+=-，即224a b +=，又由42222222a b a b a b +=+≥⋅=，即2242a b +≤=， 因为ab ，所以222a b +<，则2a b +<，所以+a b 的取值范围是(),2-∞. 故答案为(),2-∞.【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质，以及利用基本不等式求解最值问题，其中解答中熟练应用指数函数的性质，求得224a b +=，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 二、解答题15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3a b 且sin sin B C =.（1）求角A 的大小；（2）若23a =B 的平分线交AC 于点D ，求线段BD 的长度. 【答案】(1)23A π=；(2)6BD =【解析】试题分析：（1）由正弦定理知b c =，又3a b ，利用余弦定理求得cos A ，即可求得角A ；（2）由（1）知6B C π==，再利用正弦定理，即可求解BD 的长.试题解析：（1）由sin sinB C=及正弦定理知b c=，又3a b=，∴由余弦定理得222cos2b c aAbc+-=22223122b b bb+-==-.()0,Aπ∈，∴23Aπ=.（2）由（1）知6B Cπ==，∴在BCD∆中知：34BDCπ∠=，6BCDπ∠=，又23BC=，23sin sin46BDππ=.∴6BD=.16.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，侧面ADEF为梯形，//AF DE，DE AD⊥.（1）求证：AD CE⊥；（2）求证：//BF平面CDE．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）易证AD⊥平面CDE，从而AD⊥CE；（2）先证平面ABF∥平面CDE，可得BF∥平面CDE. 【详解】证明：（1）因为矩形ABCD所以AD⊥CD又因为DE⊥AD，且CD DE=D ，CD 、DE ⊂平面CDE 所以AD⊥平面CDE 又因CE ⊂平面CDE所以AD⊥CE（2）因为AB∥CD，CD ⊂平面CDE ，AB ⊄平面CDE 所以AB∥平面CDE又因为AF∥DE，DE ⊂平面CDE ，AF ⊄ 平面CDE 所以AF∥平面CDE又因为AB AF=A ，AB 、AF ⊂平面ABF 所以平面ABF∥平面CDE 又因为BF ⊂平面ABF 所以BF∥平面CDE【点睛】本题考查了异面直线垂直的证明和线面平行的证明，异面直线垂直常先证线面垂直，线面平行证明可用其判定定理，也可先证面面平行再得线面平行. 17.已知函数()32133f x x mx nx =+++，其导函数()f x '的图象关于y 轴对称，()213f =-．（Ⅰ）求实数,m n 的值；（Ⅱ）若函数()y f x λ=-的图象与x 轴有三个不同的交点，求实数λ的取值范围． 【答案】（Ⅰ）0m =，4n =-（Ⅱ）725,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据导函数()f x '的图象关于y 轴对称求出m 的值，再根据()213f =-求出n 的值；（Ⅱ）问题等价于方程()f x λ=有三个不相等的实根，再求出函数f(x)的单调性和极值，分析得解.【详解】解：（Ⅰ）()22f x x mx n '=++.函数()f x '的图象关于y 轴对称，0m ∴=. 又()121333f n =++=-，解得4n =-. 0m ∴=，4n =-.（Ⅱ）问题等价于方程()f x λ=有三个不相等的实根时，求λ的取值范围. 由（Ⅰ），得()31433f x x x =-+.()24f x x '∴=-. 令()0f x '=，解得2x =±. 当2x <-或2x >时，()0f x '>，()f x ∴在(),2-∞-，()2+∞，上分别单调递增.又当22x -<<时，()0f x '<，()f x ∴在()2,2-上单调递减. ()f x ∴的极大值为()2523f -=，极小值为()723f =-. ∴实数λ的取值范围为725,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，数形结合思想是数学中的一种重要的思想，通过数形结合将本题转化为函数图象的交点，可以直观形象的解决问题．18.已知矩形ABCD 所在的平面与地面垂直，点A 在地面上，设AB a (0)a >，1BC =，AB 与地面成θ角（02πθ<<），如图所示，CE 垂直地面，垂足为E ，点B 、D 到CE 的距离分别为12,h h ，记CE h =．（1）若a =h 的最大值，并求此时的θ值；（2）若12()h h h +的最大值为4，求a 的值．【答案】（1）3πθ=时max 2h =；（2）1a =.【解析】 【分析】（1）根据题意可得cos 2sin()6h πθθθ=+=+，结合三角函数的性质可得最值以及θ的值；（2）化简可得()2121sin 22a h h h a θ++=+，根据最值求出a .【详解】（1）3,a =又sin cos cos 2sin()6h a πθθθθθ=+=+=+2πθ<<2663πππθ∴<+<,当且仅当62ππθ+=,即3πθ=时max 2h = （2）12()h h h +21(sin cos )(cos sin )sin 22a a a a θθθθθ+=++=+当且仅当22=πθ,即4πθ= 时, 12()h h h +的最大值为2142a a ++=0,1a a >=,【点睛】本题主要考查了三角函数在实际中的应用，求出表达式以及掌握三角函数的性质是解题的关键，属于中档题. 19.已知奇函数f （x ）＝a 221x-+（a 为常数）． （1）求a 的值；（2）若函数g （x ）＝|（2x+1）f （x ）|﹣k 有2个零点，求实数k 的取值范围；（3）若x ∈[﹣2，﹣1]时，不等式f （x ）4121x x m ⋅-≤+恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1a = ；（2）k ∈（0，1）；（3）[4，+∞）. 【解析】 【分析】（1）由f （x ）为R 上的奇函数可得f （0）＝0，解方程可得a ；（2）由题意可得方程|2x ﹣1|﹣k ＝0有2个解，即k ＝|2x ﹣1|有2个解，即函数y ＝k 和y ＝|2x﹣1|的图象有2个交点，画出图象即可得到所求范围；（3）由题意可得m≥2﹣x在x∈[﹣2，﹣1]时恒成立，由g（x）＝2﹣x在R上单调递减，即可得到所求范围．【详解】（1）f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）＝a﹣1＝0，即a＝1，可得f（x）＝1221 2121xx x--=++，由f（﹣x）+f（x）21211221 21211221x x x xx x x x------=+=+= ++++0，即f（x）为R上的奇函数，故a＝1；（2）函数g（x）＝|（2x+1）f（x）|﹣k有2个零点⇔方程|2x﹣1|﹣k＝0有2个解，即k＝|2x﹣1|有2个解，即函数y＝k和y＝|2x﹣1|的图象有2个交点，由图象得k∈（0，1）；（3）x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）4121xxm⋅-≤+，即12412121xx xm⋅--≤++，即m≥2﹣x在x∈[﹣2，﹣1]时恒成立，由g（x）＝2﹣x在R上单调递减，x∈[﹣2，﹣1]时，g（x）的最大值为g（﹣2）＝4，则m≥4，即m的取值范围是[4，+∞）．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性、以及函数零点个数、函数恒成立问题解法，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．20.已知函数3211()(1)132f x ax a x x =-+++（1a ≥）. （I ）若3a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （II ）若()f x 在R 上无极值点，求a 的值；（III ）当(0,2)x ∈时，讨论函数()f x 的零点个数，并说明理由.【答案】（1）1y =； （2）19a ≤<时函数()f x 在(0,2)上无零点；当9a =时，函数()f x 在(0,2)上有一个零点；当9a >时，函数()f x 在(0,2)上有两个零点.【解析】 【分析】（I ）由导数的几何意义,切线的斜率'(1)k f =,先求()2'341f x x x =-+，()'10f =，()11f =,利用直线方程的点斜式求解. （II ）因为1a >,所以若()f x 在R 上无极值点,则()()2'110f x ax a x =-++≥，即0∆≤，()2140a a +-≤，解得1a =.(III)讨论当1a >时,() 'f x 在()0,2x ∈上的符号, 函数()f x 的单调性、极值情况,从而分析函数()f x 的图像与x 轴的交点个数,得出函数()f x 的零点个数. 【详解】（I ）当3a =时，()3221f x x x x =-++，()2'341f x x x =-+，()'10f =，()11f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y =.（II ）()()2'11f x ax a x =-++，1a >，依题意有()'0f x ≥，即0∆≤，()2140a a +-≤，解得1a =.(III)（1）1a =时，函数()f x 在R 上恒增函数且()01f =，函数()f x 在()0,2上无零点.（2）1a >时：当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()'0f x >，函数()f x 为增函数；当1,1x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()'0f x <，函数()f x 为减函数； 当()1,2x ∈，()'0f x >，函数()f x 为增函数. 由于()22103f a =+>，此时只需判定()3162a f =-+的符号： 当19a <<时，函数()f x 在()0,2上无零点； 当9a =时，函数()f x 在()0,2上有一个零点； 当9a >时，函数()f x 在()0,2上有两个零点. 综上，19a ≤<时函数()f x 在()0,2上无零点； 当9a =时，函数()f x 在()0,2上有一个零点； 当9a >时，函数()f x 在()0,2上有两个零点.【点睛】本题考查了导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、 极值，结合函数的大致图像判断零点的个数．（Ⅱ卷）21.已知矩阵2011M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的特征值及其相应的特征向量． 【答案】矩阵M 属于特征值1的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，矩阵M 属于特征值2的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】先由矩阵特征值的定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出方程组，即可求得相应的特征向量.【详解】由题意，矩阵M 的特征多项式为()223211f λλλλλ-==-+--，令()0f λ=，解得11λ=，22λ=，将11λ=代入二元一次方程组()()20010x y x y λλ⎧-⋅+⋅=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得0x =，所以矩阵M 属于特征值1的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦；同理，矩阵M 属于特征值2的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦v【点睛】本题主要考查了矩阵的特征值与特征向量的计算，其中解答中熟记矩阵的特征值和特征向量的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.22.在极坐标系中，直线cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与极轴交于点C ，求以点C 为圆心且半径为1的圆的极坐标方程．【答案】24cos 30ρρθ-+= 【解析】 【分析】由极坐标与直角坐标的互化公式，可得直线的方程为2x y -=，求得()2,0C ，得出圆的直角坐标方程，进而求得圆的极坐标方程，得到答案.【详解】由题意，直线cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得cos cos sin sin 44ππρθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cos sin 22ρθρθ-= 又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得直线的方程为2x y -=，令0y =，可得()2,0C ，所以以点C 为圆心且半径为1的圆的方程为22(2)1x y -+=，即22430x y x +-+=， 所以所求圆的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆的极坐标方程的求解，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 23.在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,{1cos 2x y αα==+（α为参数），求直线l 与曲线C的交点P 的直角坐标． 【答案】(0,0)． 【解析】【详解】试题分析：根据极坐标化普通方程公式得：3y x =，化曲线的参数方程为普通方程[]()212,22y x x =∈-，联立解方程组即可． 试题解析：因为直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，所以直线l 的普通方程为3y x =，又因为曲线C 的参数方程为2cos {1cos 2x y αα==+（α为参数），所以曲线C 的直角坐标方程为[]()212,22y x x =∈-， 联立解方程组得00x y =⎧⎨=⎩或23{6x y ==根据x 的范围应舍去23{6x y ==故P 点的直角坐标为(0,0)．考点：1、极坐标；2、参数方程；3、曲线的交点．24.如图，在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是线段PC 的中点．（1）求异面直线AP 与BE 所成角的大小；（2）若点F 在线段PB 上，使得二面角F DE B --的正弦值为33，求PF PB 的值．【答案】（1）6π；（2）12． 【解析】【详解】试题分析：由已知条件可得两两垂直，因此以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，设2AB =，写出各点坐标，（2）求得,AP BE 的夹角可得异面直线AP 与BE 所成角的大小（这个角是锐角）；（2）PFPBλ=，再求出,E F 的坐标，然后求出平面FDE 和平面BDE 的法向量，则法向量夹角与二面角相等或互补，可得出λ的方程，解之可得λ值．试题解析：（1）在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ，所以DA 、DC 、DP 两两垂直，故以为正交基底，建立空间直角坐标系D －xyz ．因为PD ＝DC ，所以DA ＝DC ＝DP ，不妨设DA ＝DC ＝DP ＝2，则D （0，0，0），A （2，0，0），C （0，2，0），P （0，0，2），B （2，2，0）． 因为E 是PC 的中点，所以E （0，1，1）．所以AP ＝（－2，0，2），BE ＝（－2，－1，1）， 所以cos<，>＝32||AP BE AP BE ⋅=， 从而<，>＝6π因此异面直线AP 与BE 所成角的大小为6π．（2）由（1）可知，＝（0，1，1），＝（2，2，0），＝（2，2，－2）． 设＝λ，则＝（2λ，2λ，－2λ），从而＝＋＝（2λ，2λ，2－2λ）．设m ＝（x 1，y 1，z 1）为平面DEF 的一个法向量， 则即11111(1)0{x y z y z λλλ++-=+=取z 1＝λ，则y 1＝－λ，x 1＝2λ－1．所以m m ＝（2λ－1，－λ，λ）为平面DEF 的一个法向量． 设n ＝（x 2，y 2，z 2）为平面DEB 的一个法向量， 则即1122220{0x y y z +=+= 取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝1．所以n ＝（1，－1，1）为平面BDE 的一个法向量． 因为二面角F －DE －B 3F －DE －B 6， 即|cos<m ，n >|6， 所以·63·m nm n=，224163?(21)2λλλ-=-+， 化简得，4λ2＝1，因为点F 在线段PB 上，所以0≤λ≤1，所以λ＝12，即12PF PB =． 考点：用向量法求异面直线所成的角，二面角．。

淮安市高中校协作体2020～2021学年第一学期高二年级期中考试数学试卷参考★答案★考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：蒋法宝一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分）”1. “0a =”是“函数221y ax x =++与x 轴只有一个交点”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 【★答案★】C2.已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．53B ．2C ．8D ．13【★答案★】B3．椭圆2214x y m +=的焦距为2，则m 的值等于（ ）A ．3B ．5C ．8D ． 5或3【★答案★】D 4．已知0x <，函数4y x x=+的最大值是（ ） A ．4B ．-4C ．-6D ．-8【★答案★】B5．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的3倍，则m 的值为( ) A ．9B ．－9C ．19D ．-19【★答案★】D6．已知等比数列{}n a 中，17a =，435a a a =，则7a =（ ） A ．19B ．17C ．13D ．7【★答案★】B7．一元二次不等式2201920200x x --<的解集为（ ） A ．(2020,1)- B ．(1,2020)- C ．(,1)(2020,)-∞-+∞ D ．(,2020)(1,)-∞-+∞【★答案★】B8．设等差数列{}n a 的公差10,4d a d ≠=，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k=( )A ．3或6B ．3 或-1C ．6D ．3【★答案★】D二、多项选择题（本大题共有4小题，每题5分，共20分。

在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.） 9．下列说法正确的是（ ）A ．命题“(2,)x ∃∈-+∞，24x ≤”的否定是“(2,)x ∀∈-+∞，24x >”B ．命题“x ∀∈R ，22x >-”的否定是“x ∃∈R ，22x <-”C ．“22x y >”是“x y >”的必要而不充分条件D ．“0m >”是“关于x 的方程2x 2x m 0--=有一正一负根”的充要条件 【★答案★】AD10．下列说法正确的有（ ） A ．若a b >，则22ac bc >B ．若22a bc c>，则a b > C ．若a b >，则22a b > D ．若a b >，则22a b > 【★答案★】BD11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（ ） A ．23n S n n =- B ． 2392n n nS -= C ．36n a n =-D ．2n a n =【★答案★】BC12．若正实数a ，b 满足1a b +=，则下列说法正确的是（ ） A ．14ab ≥B ．114a b+≥ C ． 2a b +≤D ．2212a b +≥【★答案★】BCD三、填空题（本大题共有4小题，每题5分，共20分） 13．已知{}n a 为等差数列，a 3+a 8=25，a 6=11，则a 5= _______ 【★答案★】1414．已知点P 为双曲线C ：2213664x y -=上的动点，点()10,0A -，点()10,0B .若16PA =，则PB =_______【★答案★】28或4 15．计算：111113355720192021++++=⨯⨯⨯⨯__________．【★答案★】1010202116．设a ，b 为正数，若22a b +=，当a 取值为__________时12a b+取最小值为________ 【★答案★】12，4 四、解答题（本大题共有6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分） 17．已知命题p ：“方程210x mx -+=有两个不相等的实根”，命题p 是真命题． （1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式()(4)0x a x a ---<的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的充分条件，求a 的取值范围． 解：(1) 命题p ：方程210x mx +=-有两个不相等的实根，240m ∴∆=->，解得2m >，或2m <-．M={m|2m >，或2m <-}． ………………………………5分 (2) 因为x ∈N 是x ∈M 的充分条件，所以N M ⊆ N={|4}x a x a <<+42a +≤-或2,a ≥综上，6a ≤-或2a ≥ ………………………………10分 18．已知在等差数列{}n a 中，1344,3a a a +==；{}n b 是各项都为正数的等比数列，1113b a =，3141b a =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .解：（1）由134a a +=，得224a =即22a =， 所以等差数列{}n a 的公差42321222a a d --=== 则数列{}n a 的通项公式为211(2)2(2)122n a a n d n n =+-=+-=+ …………3分所以1111313322b a ==⨯= 由3141b a =，得381b ⨯=，即318b =， 由0q >所以等比数列{}n b 的公比3112b q b ==， 所以数列{}n b 的通项公式为1112nn n b b q-⎛⎫== ⎪⎝⎭.………………………………6分 （2）由数列{}n n a b 的前n 项和为n T =112233n n a b a b a b a b ++++ ①得12n T =1223341n n a b a b a b a b +++++ ②由①-②得12n T =11231n n n a b db db db a b +++++-=1111[1()]311142(1)12222212n n n -+-⨯+⨯-+-=113111[1()](1)44222n n n -++--+ =2412n n ++-所以n T =1422n n ++- ………………………………12分19．（1）求焦点在x 轴上，长轴长为8，焦距为4的椭圆标准方程； （2）求一个焦点为()5,0，渐近线方程为43yx 的双曲线标准方程． 解：（1）设椭圆标准方程为：()222210x y a b a b+=>>由长轴长知：28a =4a ∴=由焦距知：24c =222162c a b b ∴=-=-=，解得：212b =∴椭圆标准方程为：2211612x y += ………………………………6分 （2）双曲线焦点在x 轴上 ∴可设双曲线标准方程为()222210,0x ya b a b-=>>∴双曲线渐近线方程为：43b y x x a =±=±43b a ∴= 又焦点为()5,022221659a b a a ∴+=+=，解得：29a =216b ∴= ∴双曲线标准方程为：229116x y -= ………………………………12分20．已知函数9()(1)1f x x x x =+>- （I ）求函数()f x 的最小值； （II ）若不等式()71tf x t ≥++恒成立，求实数t 的取值范围． 解：（I ）110x x >∴-> 99()1111f x x x x x ∴=+=-++-- 92(1)171x x ≥-⋅+=- 当且仅当911x x -=-即4x =时上式取得等号 当4x =时，函数()f x 的最小值是7. ………………………………6分 （II ）由（I ）知，当1x >时，()f x 的最小值是7， 要使不等式()71t f x t ≥++恒成立，只需771t t ≥++ 01tt ∴≤+ 解得10t -<≤实数的取值范围是(1,0]- ………………………………12分 21．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：2n n S a =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设41n n c a =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .解：（1）当1n =时，112S a =-，得11a =. 当2n ≥时，由2n n S a =-，① 得112n n S a --=-，②①—②，得12n n a a -=，又110a =≠，∴0n a ≠，∴()1122n n a n a -=≥， ∴{}n a 是等比数列，∴112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭ ………………………………6分（2）由112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1141412n n n c a -⎛⎫=+=⨯+ ⎪⎝⎭，则123n n T c c c c =++++()1234n a a a a n =+++++31112481212n n n n -=⨯+=+---………………………………12分 22．已知不等式2364ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >． （1）求,a b（2）解不等式2()0ax at b x bt -++<．解：（1）因为不等式2364ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >， 所以x 1＝1与x 2＝b 是方程2320ax x -+=的两个实数根，且b >1．由根与系数的关系，得3121b ab a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩； ……………………………6分（2）原不等式化为：2(t 2)20x x t -++<，即(2)()0x x t --<，①当2t >时，不等式的解集为{}2x x t <<，……………………………8分 ②当2t <时，不等式的解集为{}2x t x <<，……………………………10分t=时，不等式的解集为∅．……………………………12分③当2感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

2020-2021学年江苏淮安高二上数学期中试卷一、选择题1. 0<x <3是|x −1|<2成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2. 若双曲线E:x 24−y 29=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是双曲线上的一点，且PF 1=2，则PF 2=( )A.8B.6C.4D.23. 等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n =( ) A.n(n +1) B.n(n −1) C.n(n+1)2D.n(n−1)24. 已知椭圆C:x 2+y 2n=1(n >0)的离心率为√32，则n 的值为( )A.14或4 B.14 C.12或2D.125. 若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225−y 29−k =1与曲线x 225−k −y 29=1的( )相等.A.焦距B.实半轴长C.虚半轴长D.离心率6. 《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为( ) A.一尺五寸 B.二尺五寸 C.三尺五寸 D.四尺五寸7. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，且|PF 1|=λ|PF 2|，若λ的最小值为12，则椭圆的离心率为( ) A.12 B.√22C.13D.√538. 已知递增等差数列 {a n }中，a 1a 2=−2，则a 3的( )A.最大值为−4B.最小值为4C.最小值为−4D.最大值为4或−4二、多选题命题“∀1≤x ≤3，x 2−a ≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( ) A.a ≥9B.a ≥11C.a ≥10D.a ≤10下列说法正确的是（ ）A.若x ，y >0，x +y =2，则2x +2y 的最小值为4B.若x <12，则函数y =2x +12x−1的最大值为−1 C.若x ，y >0，x +y +xy =3，则xy 的最小值为1 D.函数y =1sin 2x+4cos 2x的最小值为9设{a n }(n ∈N ∗)是等差数列，d 是其公差，S n 是其前n 项和，若S 5<S 6，S 6=S 7>S 8，则下列结论正确的是( ) A.d <0 B.a 7=0C.S 9>S 5D.S 6与S 7均为S n 的最大值设椭圆x 29+y 23=1的右焦点为F ，直线y =m(0<m <√3)与椭圆交于A ，B 两点，则( )A.|AF|+|BF|为定值B.ABF 的周长的取值范围是[6,12]C.当m =√32时，ABF 为直角三角形 D.当m =1时，ABF 的面积为√6三、填空题命题“∀x ∈R ，sin x ≥−1”的否定是________.若椭圆C ：x 24+y 23=1的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆上的一点，∠F 1PF 2=π3，则△F 1PF 2的面积为________．已知数列{a n}的首项a1=18，数列{b n}是等比数列，且b5=2，若b n=a n+1a n，则a10=________.已知x，y均为正数，则x2x+y +yx+2y的最大值为________．四、解答题命题p:方程x2−3x+m=0有实数解，命题q:方程x29−m +y2m−2=1表示焦点在x轴上的椭圆.(1)若命题p为真，求m的取值范围；(2)若命题p，q均为真，求m的取值范围.已知正项等比数列{a n}满足S3−S1=12，2a2+3S1=14．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b n=1log2a2n+1log2a2n−1，求数列{b n}的前n项和T n．在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)左顶点，右焦点，椭圆C的右准线与x轴相交于点Q，已知右焦点F恰为AQ的中点，且椭圆C的焦距为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过右焦点F的直线l与椭圆C相交于M，N．记直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=−1，求直线l的方程．某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产x（百套）的销售额（单位：万元）P(x)={−0.4x2+4.2x−0.8,0<x≤5，14.7−9x−3,x>5.(1)该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？(2)试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润．（注：利润=销售额−成本，其中成本=设计费+生产成本）已知焦点在x轴上的椭圆C:x2a2+y23=1(a>0)的焦距为2，AB分别为椭圆C的左、右顶点，M，N为椭圆C上的两点（异于A，B），连结AM，BN，MN，且BN斜率是AM斜率的3倍．(1)求椭圆C的方程；(2)证明：直线MN恒过定点．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1−2S n=1(n∈N∗).(1)求证：数列{a n}为等比数列；(2)若数列{b n}满足：b1=1，b n+1=b n2+1a n+1．①求数列{b n}的通项公式；②是否存在正整数n，使得∑b ini=1=4−n成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏淮安高二上数学期中试卷一、选择题1.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由|x−1|<2得−2<x−1<2，即−1<x<3，∵(0, 3)⊊(−1, 3)，∴0<x<3是|x−1|<2成立的充分不必要条件.故选A．2.【答案】B【考点】双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵双曲线E:x 24−y29=1，可得a=2，由双曲线的定义可得||PF1|−|PF2||=2a=4，由|PF1|=2，可得|2−|PF2||=4，解得|PF2|=6，（−2舍去）.故选B.3.【答案】A【考点】等比中项等差数列的前n项和【解析】由题意可得a42=(a4−4)(a4+8)，解得a4可得a1，代入求和公式可得．【解答】解：由题意可得a42=a2⋅a8，即a42=(a4−4)(a4+8)，解得a4=8，∴a1=a4−3×2=2，∴S n=na1+n(n−1)2d，=2n+n(n−1)2×2=n(n+1).故选A．4.【答案】A【考点】椭圆的离心率【解析】通过椭圆的离心率列出方程，求解即可．【解答】解：由椭圆C:x2+y2n=1(n>0)的离心率为√32，可得：椭圆的焦点坐标在x轴时：√1−n1=√32，解得n=14；椭圆的焦点坐标在y轴上时：√n−1√n=√32，解得n=4．故选A.5.【答案】A【考点】双曲线的标准方程【解析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论．【解答】解：当0<k<9，则0<9−k<9，16<25−k<25，即曲线x225−y29−k=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9−k，c2=34−k，曲线x225−k−y29=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25−k，b2=9，c2=34−k，即两个双曲线的焦距相等.故选A.6.【答案】B【考点】等差数列的通项公式等差数列的前n项和【解析】由题意结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．【解答】解：由题意可知，日影长构成等差数列，设节气的日影长为{a n }， 则{a 1+a 4+a 7=31.5，9a 1+36d =85.5，解得d =−1，a 1=272，根据题意即求a 12=272+11×(−1)=2.5.故选B . 7.【答案】 C【考点】 椭圆的定义 椭圆的离心率【解析】本题考查椭圆的离心率 思路利用椭圆的定义求解 【解答】解：由|PF 1|=λ|PF 2|，得|PF 1||PF 2|=λ，当PF 1最小且PF 2最大时，λ取得最小值12，所以a−c a+c =12，所以a =3c ， 所以离心率e =c a =13. 故选C . 8. 【答案】 B【考点】基本不等式在最值问题中的应用 等差数列的通项公式【解析】设公差d ，由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式、求和公式，再由数列的单调性，即可得到所求最值． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得a 1a 2=a 1(a 1+d)=−2， 则d =−2a 1−a 1，因为{a n }为递增数列，则a 1<0，所以−a 1>0，所以a 3=a 1+2d =−4a 1−a 1≥2√4(−a 1)⋅(−a 1)=4，当且仅当−4a 1=−a 1时，即a 1=−2时，等号成立，此时a 3的最小值为4， 故选B .二、多选题【答案】 B,C【考点】复合命题及其真假判断必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】先求命题“∀x ∈[1, 3]，x 2−a ≤0”为真命题的一个充要条件即可 【解答】解：命题“∀1≤x ≤3，x 2−a ≤0” ⇔“∀1≤x ≤3，x 2≤a ” ⇔a ≥9，所以a ≥10，a ≥11都是命题“∀1≤x ≤3，x 2−a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件． 故选BC . 【答案】 A,B,D 【考点】命题的真假判断与应用 基本不等式基本不等式在最值问题中的应用【解析】分别用基本不等式变形求解，注意取等号的条件． 【解答】解：A ，若x ，y >0，x +y =2，则2x +2y ≥2√2x+y =2×2=4， 当且仅当 x =y =1时等号成立，故A 正确； B ，若x <12，即2x −1<0，则函数y =2x −1+12x−1+1≤−2√(2x −1)12x−1+1=−1，当且仅当x =0等号成立，故B 正确；C ，若x ，y >0，则−(x +y)≤−2√xy ，因为x +y +xy =3，所以−(x +y)=xy −3≤−2√xy ， 即xy +2√xy −3≤0 ，解得 0<xy ≤1，当且仅当x =y 时等号成立，没有最小值，故C 错误； D ，函数y =1sin 2x +4cos 2x=(sin 2x +cos 2x)(1sin 2x +4cos 2)=5+cos 2xsin 2x +4sin 2xcos 2x≥5+2√cos 2x sin 2x⋅4sin 2xcos 2x=9，当且仅当 2sin 2x =cos 2x 时等号成立，故D 正确. 故选ABD ． 【答案】 A,B,D【考点】等差数列的前n 项和 等差数列的性质【解析】利用结论：n ≥2时，a n =s n −s n−1，易推出a 6>0，a 7=0，a 8<0，然后逐一分析各选项，排除错误答案． 【解答】解：由S 5<S 6得a 1+a 2+a 3+⋯+a 5<a 1+a 2+⋯+a 5+a 6，即a 6>0， 又∵ S 6=S 7，∴ a 1+a 2+...+a 6=a 1+a 2+...+a 6+a 7， ∴ a 7=0，故B 正确； 同理由S 7>S 8，得a 8<0，∵ d =a 7−a 6<0，故A 正确；而C 选项S 9>S 5，即a 6+a 7+a 8+a 9>0，可得2(a 7+a 8)>0，由结论a 7=0，a 8<0，显然C 选项是错误的； ∵ S 5<S 6，S 6=S 7>S 8，∴ S 6与S 7均为S n 的最大值，故D 正确. 故选ABD ． 【答案】 A,C,D 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】本题考查椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系 【解答】解：A ，设椭圆的左焦点为F 1，则|AF 1|=|BF|． 所以|AF|+|BF|=|AF 1|+|AF|=6，故A 正确； B ，△ABF 的周长为|AB|+|AF|+|BF|，因为|AF|+|BF|=6，所以|AB|的范围是(0,6)， 所以△ABF 的周长的范围是(6,12)，故B 错误；C ，联立{x 29+y 23=1，y =√32，解得A(−3√32,√32)，B(3√32,√32)， 因为F(√6,0)，所以k AF ⋅k BF =√32−0−3√32−√6√32−03√32−√6=−1，故C 正确；D ，联立{x 29+y 23=1，y =1，解得得A(−√6,1)，B(√6,1)，所以S △AFB =12×2√6×1=√6，故D 正确． 故选ACD . 三、填空题【答案】∃x ∈R ，sin x <−1 【考点】 命题的否定 【解析】本题考查特称命题和全称命题 【解答】解：全称命题的否定是特称命题，∴ 命题“∀x ∈R ，sin x ≥−1”的否定是：“∃x 0∈R ，sin x 0<−1”. 故答案为：∃x ∈R ，sin x <−1. 【答案】 √3【考点】 椭圆的定义 余弦定理的应用【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由椭圆的定义可知|PF 1|+|PF 2|=4， 在△F 1PF 2中，|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1||PF 2|cos π3=(|PF 1|+|PF 2|)2−3|PF 1||PF 2|，又∵ |F 1F 2|=2√4−3=2，∴ |PF 1||PF 2|=4 ∴ S △F 1PF 2=12|PF 1||PF 2|sin π3=√3．故答案为：√3． 【答案】 64【考点】 等比中项 数列递推式 【解析】本题考查等比数列通项公式 思路利用累乘法 【解答】 解：因为b n =a n+1a n，b 5=2，所以b 1⋅b 2⋯b 9=a 10a 1=b 59，故a 10=a 1⋅b 59=26=64. 故答案为：64. 【答案】23【考点】 基本不等式基本不等式在最值问题中的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：令2x +y =a ，x +2y =b ， 则{x =2a−b3，y =2b−a3，且a >0，b >0， ∴x2x+y+y x+2y =2a−b 3a +2b−a 3b=43−(b3a +a3b )≤43−2√b3a ⋅a3b =23， 当且仅当b 3a=a 3b即a =b 时取等号，即最大值为23.故答案为：23. 四、解答题【答案】解：(1)命题p:方程x 2−3x +m =0有实数解， 由于命题p 为真，则：Δ=9−4m ≥0， 解得：m ≤94.(2)命题q:方程x 29−m +y 2m−2=1表示焦点在x 轴上的椭圆. 由于p ，q 为真,故：{9−m >0，m −2>0，9−m >m −2，解得：2<m <112，故{2<m <112，m ≤94， ∴ 2<m ≤94. 【考点】命题的真假判断与应用 复合命题及其真假判断 椭圆的标准方程【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)命题p:方程x 2−3x +m =0有实数解， 由于命题p 为真，则：Δ=9−4m ≥0， 解得：m ≤94.(2)命题q:方程x 29−m +y 2m−2=1表示焦点在x 轴上的椭圆. 由于p ，q 为真,故：{9−m >0，m −2>0，9−m >m −2，解得：2<m <112，故{2<m <112，m ≤94，∴ 2<m ≤94.【答案】解：(1)设正项等比数列{a n }的公比为q >0． ∵ S 3−S 1=12，2a 2+3S 1=14．∴ a 1(q +q 2)=12，3a 1+2a 1q =14， 解得q =2=a 1． ∴ a n =2n ．(2)b n =1log 22n+1log 22n−1=1=12(12n−1−12n+1)，∴ 数列{b n }的前n 项和T n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n +1) =n2n+1．【考点】等比数列的通项公式 数列的求和【解析】（1）设正项等比数列{a n }的公比为q >0．根据S 3−S 1＝12，2S 2+S 1＝14．利用通项公式即可得出． （2）b n =1log 2a 2n+1log 2a 2n−1=1(2n+1)(2n−1)=12(12n−1−12n+1)，利用裂项求和方法即可得出．【解答】解：(1)设正项等比数列{a n }的公比为q >0． ∵ S 3−S 1=12，2a 2+3S 1=14．∴ a 1(q +q 2)=12，3a 1+2a 1q =14， 解得q =2=a 1． ∴ a n =2n ．(2)b n =1log 2a 2n+1log 2a 2n−1=1(2n +1)(2n −1)=12(12n−1−12n+1)，∴ 数列{b n }的前n 项和T n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1) =12(1−12n +1) =n2n+1． 【答案】解：(1)据题意得A (−a,0)，F (c,0)，Q (a 2c ,0)． 因为F 是AQ 的中点，故a 2c−a =2c ，又2c =2，得c =1，代入上式，解得a =2或a =−1（舍）． 所以b 2=a 2−c 2=3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设直线l 的方程为x =my +1，则A(−2,0)，M (my 1+1,y 1)，N (my 2+1,y 2)． 联立{x =my +1,x 24+y 23=1，整理得(3m 2+4)y 2+6my −9=0． 故y 1+y 2=−6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4．所以k 1+k 2=y 1my 1+3+y2my 2+3=2my 1y 2+3(y 1+y 2)m 2y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9=2m(−93m 2+4)+3(−6m3m 2+4)m 2(−93m 2+4)+3m(−6m3m 2+4)+9=−m ，又k 1+k 2=−1， 所以m =1，所以直线l 的方程为x =y +1， 即x −y −1=0． 【考点】椭圆的标准方程 椭圆的应用圆锥曲线中的定点与定值问题 【解析】 【解答】解：(1)据题意得A (−a,0)，F (c,0)，Q (a 2c ,0)．因为F 是AQ 的中点，故a 2c−a =2c ，又2c =2，得c =1，代入上式，解得a =2或a =−1（舍）． 所以b 2=a 2−c 2=3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设直线l 的方程为x =my +1，则A(−2,0)，M (my 1+1,y 1)，N (my 2+1,y 2)． 联立{x =my +1,x 24+y 23=1，整理得(3m 2+4)y 2+6my −9=0． 故y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4．所以k 1+k 2=y 1my 1+3+y 2my 2+3=2my 1y 2+3(y 1+y 2)m 2y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9=2m(−93m 2+4)+3(−6m3m 2+4)m 2(−93m 2+4)+3m(−6m3m 2+4)+9=−m ，又k 1+k 2=−1， 所以m =1，所以直线l 的方程为x =y +1， 即x −y −1=0．【答案】解：(1)当0<x≤5时，利润y=P(x)−(2+x)=−0.4x2+4.2x−0.8−(2+x)=−0.4x2+3.2x−2.8，y=−0.4x2+3.2x−2.8≥0得，1≤x≤7，又0<x≤5，∴1≤x≤5，此时x的最小值为1.∴该厂至少生1百套此款式服装才可以不亏本；(2)当0<x≤5时，由(1)知：y=−0.4x2+3.2x−2.8=−0.4(x−4)2+3.6，所以当x=4时，y max=3.6（万元）．当x>5时，利润y=P(x)−(2+x)=14.7−9−(2+x)=9.7−(x−3+9x−3)．因为x−3+9x−3≥2√(x−3)⋅9x−3=6，当且仅当x−3=9x−3，即x=6时，取=，所以y max=3.7（万元）．综上，当x=6时，y min=3.7（万元）.该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为3.7万元. 【考点】基本不等式在最值问题中的应用函数模型的选择与应用分段函数的应用函数最值的应用【解析】无【解答】解：(1)当0<x≤5时，利润y=P(x)−(2+x)=−0.4x2+4.2x−0.8−(2+x)=−0.4x2+3.2x−2.8，y=−0.4x2+3.2x−2.8≥0得，1≤x≤7，又0<x≤5，∴1≤x≤5，此时x的最小值为1.∴该厂至少生1百套此款式服装才可以不亏本；(2)当0<x≤5时，由(1)知：y=−0.4x2+3.2x−2.8=−0.4(x−4)2+3.6，所以当x=4时，y max=3.6（万元）．当x>5时，利润y=P(x)−(2+x)=14.7−9x−3−(2+x)=9.7−(x−3+9x−3)．因为x−3+9x−3≥2√(x−3)⋅9x−3=6，当且仅当x−3=9x−3，即x=6时，取=，所以y max=3.7（万元）．综上，当x=6时，y min=3.7（万元）.该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为3.7万元.【答案】(1)解：由题意可得{2c=2，a2=c2+3，解得{a=2，c=1，∴ 椭圆C的方程为：x24+y23=1.(2)证明：连结BM，设M(x1, y1)，N(x2, y2)，∵ A(−2,0)，B(2,0)，∴k AM⋅k BM=y1x1+2⋅y1x1−2=y12x12−4.∵点M(x1, y1)在椭圆上，∴k AM⋅k BM=y12x12−4=3−34x12x12−4=−34.∵k BN=3k AM，∴k BN⋅k BM=−94.①当直线MN斜率不存在时，设直线MN的方程为：x=m，不妨设M在x轴上方，∴M(m, √12−3m24)，N(m, −√12−3m24)，∵k BN⋅k BM=−94，∴m=1，∴此时直线MN的方程为：x=1.②当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为：y=kx+t，联立方程{y=kx+t，x24+y23=1，消去y得：(3+4k2)x2+8ktx+4t2−12=0，∴ x 1+x 2=−8kt3+4k 2，x 1x 2=4t 2−123+4k 2.∵ k BN ⋅k BM =y 1x1−2⋅y 2x2−2=(kx 1+t)(kx 2+t)x1x 2−2(x 1+x 2)+4=−94， ∴ t 2+3kt +2k 2=0， 解得：t =−k ，t =−2k ，若t =−k ，则直线MN 的方程为：y =kx −k ，恒过定点(1, 0)，当直线MN 斜率不存在时亦符合； 若t =−2k ，则直线MN 的方程为：y =kx −2k ，恒过定点(2, 0)，与点B 重合，舍去. 综上所求，直线MN 恒过定点(1, 0)． 【考点】椭圆的标准方程圆锥曲线中的定点与定值问题 【解析】（1）根据题意列出方程组{2c =2a 2=c 2+3，解出方程组即可得到椭圆方程；（2）连接BM ，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，由椭圆的性质可得k AM ⋅k BM =−34，故而可得k BN ⋅k BM =−94，当直线MN 斜率不存在时，设直线MN 的方程为：x ＝m ，解出m ＝1，当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y ＝kx +t ，再与椭圆方程联立，结合根与系数的关系，可得出t 2+3kt +2k 2＝0，得出k 与t 的关系代入直线方程即可得定点． 【解答】(1)解：由题意可得{2c =2，a 2=c 2+3，解得{a =2，c =1，∴ 椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1.(2)证明：连结BM ，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)， ∵ A(−2,0)，B(2,0)， ∴ k AM ⋅k BM =y 1x1+2⋅y 1x1−2=y 12x12−4.∵ 点M(x 1, y 1)在椭圆上， ∴ k AM ⋅k BM =y 12x 12−4=3−34x 12x 12−4=−34.∵ k BN =3k AM ， ∴ k BN ⋅k BM =−94.①当直线MN 斜率不存在时，设直线MN 的方程为：x =m ，不妨设M 在x 轴上方， ∴ M(m, √12−3m 24)，N(m, −√12−3m 24)，∵ k BN ⋅k BM =−94，∴ m =1， ∴ 此时直线MN 的方程为：x =1，②当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y =kx +t ， 联立方程{y =kx +t ，x 24+y 23=1，消去y 得：(3+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−12=0， ∴ x 1+x 2=−8kt3+4k 2，x 1x 2=4t 2−123+4k 2.∵ k BN ⋅k BM =y 1x1−2⋅y 2x1−2=(kx 1+t)(kx 2+t)x1x 2−2(x 1+x 2)+4=−94， ∴ t 2+3kt +2k 2=0， 解得：t =−k ，t =−2k ，若t =−k ，则直线MN 的方程为：y =kx −k ，恒过定点(1, 0)，当直线MN 斜率不存在时亦符合； 若t =−2k ，则直线MN 的方程为：y =kx −2k ，恒过定点(2, 0)，与点B 重合，舍去. 综上所求，直线MN 恒过定点(1, 0)．【答案】(1)证明：数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，S n+1−2S n =1①， 当n ≥2时，S n −2S n−1=1②， ①−②得：a n+1a n=2．由a 1=1，解得：a 2=2，故数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列． (2)解：①由(1)得：a n =2n−1， 数列{b n }满足：b 1=1，b n+1=b n 2+1an+1．则：b n+1=b n 2+12n ，整理得：2n b n+1−2n−1b n =1，所以：数列{2n−1b n }是以1为首项，1为公差的等差数列． 故2n−1b n =1+(n −1)=n ， 解得：b n =n2n−1． ②由b n =n2n−1，得Tn =1⋅(12)0+2⋅(12)1+⋯+n ⋅(12)n−1①， 故12T n =1⋅(12)1+2⋅(12)2+⋯+n ⋅(12)n ②， ①−②得：12T n =1+12+⋯+12n−1−n ⋅12n，解得：T n =4−(2n +4)⋅12n ．假设存在正整数n ，使得∑b i n i=1=4−n 成立， 故：T n =4−(2n +4)⋅12n =4−n ， 即：n+2n=2n−1，当n =2时，显然上式成立． 设f(n)=n+2n−2n−1，由于：f(n +1)−f(n)=n+3n+1−2n −(n+2n−2n−1)=−(2n(n+1)+2n−1)<0．函数是单调递减函数，故：使f(n)=0的解只有n =2． 存在正整数n =2，使得∑b i n i=1=4−n 成立． 【考点】 等比数列 数列的求和函数单调性的判断与证明 函数的零点【解析】（1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式．（2）①利用（1）的结论，进一步利用构造新数列法求出新数列的通项公式，②进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和，再利用存在性问题利用函数的单调性求出n 的存在． 【解答】(1)证明：数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，S n+1−2S n =1①， 当n ≥2时，S n −2S n−1=1②， ①−②得：a n+1a n=2．由a 1=1，解得：a 2=2，故数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列． (2)解：①由(1)得：a n =2n−1， 数列{b n }满足：b 1=1，b n+1=b n 2+1an+1．则：b n+1=b n 2+12n ，整理得：2n b n+1−2n−1b n =1，所以：数列{2n−1b n }是以1为首项，1为公差的等差数列． 故2n−1b n =1+(n −1)=n ， 解得：b n =n2．②由b n =n2n−1，得T n =1⋅(12)0+2⋅(12)1+⋯+n ⋅(12)n−1①， 故12T n =1⋅(12)1+2⋅(12)2+⋯+n ⋅(12)n ②， ①−②得：12T n =1+12+⋯+12n−1−n ⋅12n ，解得：T n =4−(2n +4)⋅12n．假设存在正整数n ，使得∑b i n i=1=4−n 成立，故：T n =4−(2n +4)⋅12n =4−n ， 即：n+2n=2n−1，当n =2时，显然上式成立． 设f(n)=n+2n−2n−1，由于：f(n +1)−f(n)=n+3n+1−2n −(n+2n−2n−1)=−(2n(n+1)+2n−1)<0．函数是单调递减函数，故：使f(n)=0的解只有n =2． 存在正整数n =2，使得∑b i n i=1=4−n 成立．。

数学参考答案一、填空题：1、棱柱2、1个3、45°4、异面且垂直5、x+2y-8=06、（-2,5）7、 38、369、平行10、1 11、48 12 13、4x+3y=0或x=0 14、x+3y+1=0二、解答题17、证明：（1）∵PA⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴PA⊥AC（2分）又∵AB⊥AC，PA∩AC=A，PA⊂面PAB，AB⊂面PAB∴AC⊥面PAB∴AC⊥PB（7分）（2）连接BD交AC于点O，并连接EO，∵四边形ABCD为平行四边形∴O为BD的中点又∵E为PD的中点∴在△PDB中EO为中位线，EO∥PB∵PB⊄面AEC，EO⊂面AEC∴PB∥面AEC．18、解:①由条件可知x+y-80=02x-y-70=0⎧⎨⎩∴5030xy=⎧⎨=⎩答: 平衡价格是50元,平衡需求量30万件；②若平衡需求量增加6万件，则为36万件；由市场需求量y(万件)与市场价格x(元/件)的关系x+y-80=0得： 市场价格x 1=80-36=44（元）由市场供应量y(万件)与市场价格x(元/件)的关系2x-y-70=0得： 市场价格x 2=12（36+70）=53（元）∴政府对每件商品给予的补贴是x 2-x 1=53-44=9（元）答:若要使平衡需求量增加6万件，政府对每件商品给予9元补贴；③设平衡价格是a 元，则需求价格是a 元，而供应价格是（a-6）元： ∴ -a+80=2(a-6)-70∴a=54（元）答:每件商品征税6元时新的平衡价格是54（元）.19、证明：（1）（2）Q 正方体中CD ⊥11A 平面ADD ，11PA A ⊂平面ADD ∴CD ⊥PA 又Q11A D ⊥ＡＤ∴ＰＤ⊥PA ,,PDCPDCPACPDC PAC D CD PD PA PA ⋂=⊂∴⊥⊂∴⊥Q CD PD 平面平面又平面平面平面２0、解：(1)14x-2y-1=02x+y-1=012x y ⎧=⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪=⎪⎩由得 ，l 2与l 3交点坐标为（12，12） 若不能构成三角形，则l 1过此交点，将（12，12）代入l1方程解得 a=5-2若l1//l2 a=1若l1//l3 a=-1 2综上可得：a=1或-12或5-2时，不能构成三角形。