2018年北师大版九年级下《1.5三角函数的应用》同步练习含答案

北师大新版九年级下学期《1.5 三角函数的应用》同步练习卷一．选择题（共10小题）1．如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（）A．300sinα米B．300cosα米C．300tanα米D．米2．如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取P A的垂线PB上的一点C，测得PC＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽P A等于（）A．100sin35°米B．100sin55°米C．100tan35°米D．100tan55°米3．一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（）A．B．C．D．4．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A．B．C．D．5．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE＝0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB＝3m，则石坝的坡度为（）A．B．3C．D．46．某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（）A．3.5sin29°米B．3.5cos29°米C．3.5tan29°米D．米7．如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（）A．B．C．D．8．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是（）A．5米B．6米C．6.5米D．12米9．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（）A．B．C．D．h•cosα10．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（）A．29.1米B．31.9米C．45.9米D．95.9米二．填空题（共7小题）11．如图，旗杆高AB＝8m，某一时刻，旗杆影子长BC＝16m，则tan C＝．12．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.601】13．如图所示，小芳在中心广场放风筝，已知风筝拉线长100米（假设拉线是直的），且拉线与水平地面的夹角为60°，若小芳的身高忽略不计，则风筝离水平地面的高度是米（结果保留根号）．14．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝米，背水坡CD的坡度i＝1：（i 为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为米．15．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝12米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tan E＝，则CE的长为米．16．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB ＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）17．小明沿着坡度i为1：的直路向上走了50m，则小明沿垂直方向升高了m．三．解答题（共33小题）18．某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）19．如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度．小宇同学在A 处观测对岸点C，测得∠CAD＝45°，小英同学在距点A处60米远的B点测得∠CBD＝30°，请根据这些数据算出河宽（精确到0.01米，≈1.414，≈1.732）．20．如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD＝42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）21．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：＝1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）22．两栋居民楼之间的距离CD＝30米，楼AC和BD均为10层，每层楼高3米．（1）上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻B楼的影子落在A楼的第几层？（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部？23．京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB＝160m，CD＝40m，再用测角仪测得∠CAB＝30°，∠DBA＝60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．24．如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC＝18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF＝10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．25．汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC＝30米，∠APC＝71°，∠BPC＝35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）26．“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB 的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）27．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC 的倾斜角∠CAB＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除？（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：＝1.414，＝1.732）28．如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB 与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．（计算结果精确到0.1m，参考数据sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为m．（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）29．祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．测量示意说明：（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5）（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．30．随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC＝∠DEB ＝45°，∠ACB＝30°，BE＝6米，AB＝5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．31．某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0．lm．温馨提示：sin15°≈0.26，cos l5°≈0.97，tan15°≈0.27）32．日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．（1）求山坡EF的水平宽度FH；（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？33．图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同（即AB＝CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）34．随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）35．如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A＝30°，∠C＝45°，AC＝2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？36．为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）37．图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）38．如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F．已知AC＝DE＝20cm，AE＝CD＝10cm，BD＝40cm．（1）窗扇完全打开，张角∠CAB＝85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数；（2）窗扇部分打开，张角∠CAB＝60°，求此时点A，B之间的距离（精确到0.1cm）．（参考数据：≈1.732，≈2.449）39．如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC＝37°，坝顶DC＝3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）为1：0.5，坝底AB＝14m．（1）求坝高；（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）40．图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）41．如图1，一种折叠式小刀由刀片和刀鞘两部分组成．现将小刀打开成如图2位置，刀片部分是四边形ABCD，其中AD∥BC，AB⊥BC，CD＝15mm，∠C ＝53°，刀鞘的边缘MN∥PQ，刀刃BC与刀鞘边缘PQ相交于点O，点A 恰好落在刀鞘另一边缘MN上时，∠COP＝37°，OC＝50mm，（1）求刀片宽度h．（2）若刀鞘宽度为14mm，求刀刃BC的长度．（结果精确到0.1mm）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）42．某机场为了方便旅客换乘，计划在一、二层之间安装电梯，截面设计图如图所示，已知两层AD与BC平行，层高AB为8米，A、D间水平距离为5米，∠ACB＝21.5°（1）通过计算说明身高2.4米的人在竖直站立的情况下，搭乘电梯在D处会不会碰到头部；（2）若采用中段加平台设计（如图虚线所示），已知平台MN∥BC，且AM段和NC段的坡度均为1：2（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求平台MN的长度．（参考数据：sin21.5°＝，cos21.5°＝，tan21.5°＝）43．如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台C，在岸边搭建了三个看台A，B，D，其中A，C，D三点在同一条直线上，看台A，B到舞台C 的距离相等，测得∠A＝30°，∠D＝45°，AB＝60m，小明、小丽分别在B，D看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台C的距离．（结果保留根号）44．如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．45．“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）46．如图，某武警部队在一次地震抢险救灾行动中，探险队员在相距4米的水平地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知在A处测得探测线与地面的夹角为30°，在B处测得探测线与地面的夹角为60°，求该生命（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）迹象C处与地面的距离．47．贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD＝60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数（结果精确到1°）．48．位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝70.5°，在Rt △DBC中，∠DBC＝45°，且CD＝2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）49．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求（参考数据：sin31°＝0.515，大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）cos31°＝0.857，tan31°＝0.60）50．王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC＝20cm，BC＝18cm，∠ACB＝50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）北师大新版九年级下学期《1.5 三角函数的应用》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（）A．300sinα米B．300cosα米C．300tanα米D．米【分析】利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度．【解答】解：在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AB＝300米，BO＝AB•sinα＝300sinα米．故选：A．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，正确选择锐角三角函数得出AB，BO的关系是解题关键．2．如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取P A的垂线PB上的一点C，测得PC＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽P A等于（）A．100sin35°米B．100sin55°米C．100tan35°米D．100tan55°米【分析】根据正切函数可求小河宽P A的长度．【解答】解：∵P A⊥PB，PC＝100米，∠PCA＝35°，∴小河宽P A＝PC tan∠PCA＝100tan35°米．故选：C．【点评】考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．3．一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（）A．B．C．D．【分析】先利用正弦的定义得到sin A＝0.15，然后利用计算器求锐角α．【解答】解：sin A＝＝＝0.15，所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为故选：A．【点评】本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．4．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A．B．C．D．【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝，在Rt△ACD中，AD＝，∴AB：AD＝：＝，故选：B．【点评】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．5．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE＝0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB＝3m，则石坝的坡度为（）A．B．3C．D．4【分析】先过C作CF⊥AB于F，根据DE∥CF，可得＝，进而得出CF ＝3，根据勾股定理可得AF的长，根据CF和BF的长可得石坝的坡度．【解答】解：如图，过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，∴＝，即＝，解得CF＝3，∴Rt△ACF中，AF＝＝4，又∵AB＝3，∴BF＝4﹣3＝1，∴石坝的坡度为＝＝3，故选：B．【点评】本题主要考查了坡度问题，在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．6．某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（）A．3.5sin29°米B．3.5cos29°米C．3.5tan29°米D．米【分析】由sin∠ACB＝得AB＝BC sin∠ACB＝3.5sin29°．【解答】解：在Rt△ABC中，∵sin∠ACB＝，∴AB＝BC sin∠ACB＝3.5sin29°，故选：A．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．7．如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（）A．B．C．D．【分析】如图，在Rt△ABC中，AC＝＝＝120m，根据tan ∠BAC＝，计算即可．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝130m，BC＝50m，∴AC＝＝＝120m，∴tan∠BAC＝＝＝，故选：C．【点评】本题考查解直角三角形的应用、勾股定理的应用等知识，解题的关键是记住锐角三角函数的定义，属于基础题．8．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是（）A．5米B．6米C．6.5米D．12米【分析】在Rt△ABC中，先求出AB，再利用勾股定理求出BC即可．【解答】解：如图AC＝13，作CB⊥AB，∵cosα＝＝，∴AB＝12，∴BC＝＝＝5，∴小车上升的高度是5m．故选：A．【点评】此题主要考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．9．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（）A．B．C．D．h•cosα【分析】根据同角的余角相等得∠CAD＝∠BCD，由os∠BCD＝知BC＝＝．【解答】解：∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD＝，∴BC＝＝，故选：B．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．10．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（）A．29.1米B．31.9米C．45.9米D．95.9米【分析】根据坡度，勾股定理，可得DE的长，再根据平行线的性质，可得∠1，根据同角三角函数关系，可得∠1的坡度，根据坡度，可得DF的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：作DE⊥AB于E点，作AF⊥DE于F点，如图，设DE＝xm，CE＝2.4xm，由勾股定理，得x2+（2.4x）2＝1952，解得x≈75m，DE＝75m，CE＝2.4x＝180m，（方法二：由i＝1：2.4＝5：12，设DE＝5xm，CE＝12xm，由勾股定理，得CD＝13x，∴13x＝195，∴x＝15，∴DE＝75m，CE＝180m）EB＝BC﹣CE＝306﹣180＝126m．∵AF∥DG，∴∠1＝∠ADG＝20°，tan∠1＝tan∠ADG＝＝0.364．AF＝EB＝126m，tan∠1＝＝0.364，DF＝0.364AF＝0.364×126＝45.9，AB＝FE＝DE﹣DF＝75﹣45.9≈29.1m，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形，利用坡度及勾股定理得出DE，CE的长是解题关键．二．填空题（共7小题）11．如图，旗杆高AB＝8m，某一时刻，旗杆影子长BC＝16m，则tan C＝．【分析】根据直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵旗杆高AB＝8m，旗杆影子长BC＝16m，∴tan C＝，故答案为：【点评】此题考查解直角三角形的应用，关键是根据正切值是对边与邻边的比值解答．12．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为 6.2米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.601】【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB•sin∠BAC＝12×0.515≈6.2（米），答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．故答案为：6.2．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．13．如图所示，小芳在中心广场放风筝，已知风筝拉线长100米（假设拉线是直的），且拉线与水平地面的夹角为60°，若小芳的身高忽略不计，则风筝离水平地面的高度是50米（结果保留根号）．【分析】根据解直角三角形的方法即可得到结论．【解答】解：如图，作AC⊥OB于点C，∵AO＝100米，∠AOC＝60°，∴AC＝OA•sin60°＝100×＝米．故答案为：50．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．14．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝米，背水坡CD的坡度i＝1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为12米．【分析】由题意可得四边形AEFD是矩形，由AB的坡角α＝45°，得出AE的长，利用背水坡CD的坡度i＝1：（i为DF与FC的比值）得出∠C的度数，即可求解．【解答】解：∵迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝米，∴AE＝6×sin45°＝6（m），∵背水坡CD的坡度i＝1：（i为DF与FC的比值），∴tan∠C＝＝，∴∠C＝30°，则DC＝2DF＝2AE＝12m，故答案为：12．【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．15．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝12米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tan E＝，则CE的长为8米．【分析】分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、G．在Rt△ABF中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就得到了DG的长；在Rt △CDG中，由勾股定理求CG的长，在Rt△DEG中，根据正切函数定义得到GE的长；根据CE＝GE﹣CG即可求解．【解答】解：分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示．∵在Rt△ABF中，AB＝12米，∠B＝60°，∴sin∠B＝，∴AF＝12×＝6，∴DG＝6．∵在Rt△DGC中，CD＝12，DG＝6米，∴GC＝＝18．∵在Rt△DEG中，tan E＝，∴＝，∴GE＝26，∴CE＝GE﹣CG＝26﹣18＝8．即CE的长为8米．故答案为8．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，锐角三角函数的定义，勾股定理．作辅助线构造直角三角形是解答此类题的一般思路．16．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB ＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了280米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）【分析】如图在Rt△ABC中，AC＝AB•sin34°＝500×0.56≈280m，可知这名滑雪运动员的高度下降了280m．【解答】解：如图在Rt△ABC中，AC＝AB•sin34°＝500×0.56≈280m，∴这名滑雪运动员的高度下降了280m．故答案为280【点评】本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．17．小明沿着坡度i为1：的直路向上走了50m，则小明沿垂直方向升高了25 m．【分析】首先根据题意画出图形，由坡度为1：，可求得坡角∠A＝30°，又由小明沿着坡度为1：的山坡向上走了50m，根据直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，即可求得答案．【解答】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，∵坡度：i＝1：，∴tan∠A＝1：＝，∴∠A＝30°，∵AB＝50m，∴BE＝AB＝25（m）．∴他升高了25m．故答案为：25．【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．三．解答题（共33小题）18．某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈。

∴货船的航行速度是．
故答案为．
14.
【答案】
【解答】
解：∵，，米，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴米∴学校要购买米的草皮才能正好铺满空地．
故答案为：．
15.
【答案】
【解答】
解：由于山路的坡角为度，则坡角的正弦值，
∴他在竖直方向上上升的高度（米）．
16.
【答案】
【解答】
解：在中，（米）．
17.
【答案】
【解答】
解：由已知得，
则斜坡的坡度．
故选.
10.
【答案】
A
【解答】
故选：．
二、
11.
【答案】
【解答】
解：在中
，
∴．
故答案为：．
12.
【答案】
海里/分
【解答】
解：作，
∵，，
∴海里，则海里，
在中，，
则，
解得，
在中，海里，
海里/分．
故答案为：海里/分．
13.
【答案】
【解答】
解：如图，在直角中，，，，
∴，．
在直角中，，，，
∴，
∴，
（参考数据：，，，．）
26.某区域平面示意图如图，点在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，．请求出点到的距离．
参考数据：，，
参考答案
一、
1.
【答案】
B
【解答】
解：如图，
由已知得：，，米．
∵，
∴ (米)．
故选．
2.
【答案】
D
【解答】
解：根据题意得：，
25.某市为了创建绿色生态城市，在城东建了“东州湖”景区，小明和小亮想测量“东州湖”东西两端、间的距离．于是，他们去了湖边，如图，在湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点的一点，并测得＝米，点位于点的北偏西方向，点位于点的北偏东方向．

1.5 三角函数的应用一、选择题1. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，已知AD＝5 m，DC＝3 m，CE＝4 m，CB的坡度i ＝1∶，则AB 的长为… ( )A. (3＋4)mB. 14 mC. (6＋4)mD. (6＋5)m【答案】C2. 如图，梯形护坝的斜坡AB 的坡度i ＝1∶3，坝高BC 为2米，则斜坡AB 的长是（）A. 2米B. 2米C. 4米D. 6米【答案】B【解析】因为i＝1∶3，所以tanB=，又tanA=，所以=，即AC=6，由勾股定理得AB=2，故选B.3. 铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1∶1.5，上底宽为6 m，路基高为4 m，则路基的下底宽为（）A. 18 mB. 15 mC. 12 mD. 10 m【答案】A学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...4. 如图，把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，当水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触时水杯中的水深为( )A. 2cmB. 4cmC. 6cmD. 8cm【答案】C【解析】由图形可知，当水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触时水杯中的水深为10-8÷2=6，故选C.5. 小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1 000 m，则他升高了( )A. 200mB. 500 mC. 500mD. 1 000m【答案】A【解析】如图，因为tanA=，又tanA=，所以=，设BC=x，则AC=2x，由勾股定理得，AC2+BC2=AB2，即（2x）2+x2=10002，解得x=200，故选A.6. 已知Rt△ABC中，斜边AB的长为m ，∠B＝40°，则直角边BC的长是( )A. m sin 40°B. mcos 40°C. m tan 40°D.【答案】B【解析】根据∠B的余弦的定义得，cosB=，所以BC=ABcosB，即BC=mcos40°，故选B.7. 某水坝的坡度i ＝1∶，坡长AB＝20 m，则坝的高度为( )A. 10 mB. 20 mC. 40 mD. 2m【答案】A【解析】如图，因为tanA=，又tanA=，所以=，设BC=x，则AC=x，由勾股定理得，AC2+BC2=AB2，即（x）2+x2=202，解得x=10，故选A.8. 如图，梯形护坡石的斜坡AB的坡度i ＝1∶3，坝高BC为2 m，则斜坡AB的长是( )A. 2mB. 2mC. 4mD. 6m【答案】B【解析】因为i＝1∶3，所以tanB=，又tanA=，所以=，即AC=6，由勾股定理得AB=2，故选B.9. 如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°500 m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是( )A. 250 mB. 250mC. mD. 250m【答案】A【解析】解：由已知得：∠AOB=30°，OA=500m．则AB=OA=250m．故选A．10. 如图，把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，当水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触时水杯中的水深为( )A. 2cmB. 4cmC. 6cmD. 8cm【答案】C【解析】由图形可知，当水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触时水杯中的水深为10-8÷2=6，故选C. 11. 如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC 为2 m，则两树间的坡面距离AB 为（）A. 4mB. mC. mD. 4m【答案】C【解析】因为tan30°=，又tanA=，所以=，则BC=，因为∠A=30°，所以AB=，故选C.12. 某人上坡沿直线走了50m,他升高了25m ,这坡的坡度为（）A. 30°B. 45°C. 1∶1D. ∶2【答案】C【解析】如图，AB=50，BC=25，由勾股定理得AC=25，所以坡比i=BC:AC=1:1，故选C.二、填空题13. 根据图中所给的数据，求得避雷针CD 的长约为________m．(结果精确到0.01 m)【答案】4.86【解析】因为tan∠BAC=，tan∠BAD=，所以BC=ABtan∠BAC，BD=ABtan∠BAD，则CD=BC-BD=ABtan∠BAC-ABtan∠BAD=AB（tan43°-tan40°）≈52（0.933-0.839）≈4.86，故答案为4.86.14. 小强和小明去测量一座古塔的高度，如图，他们在离古塔60 m处( A )用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD ＝1.5 m，则古塔BE的高为______m．【答案】20+1.5【解析】过点A作AF⊥BE于点F，则AF=DE=60，EF=AD=1.5，∠BAF=30°，因为tan∠BAF=，所以=，所以BF=20，则BE=BF+EF=20+1.5，故答案为（20+1.5）.15. 如图，河岸AD，BC互相平行，桥AB垂直于两岸，从C处看桥的两端A，B，夹角∠BCA＝60°，测得BC＝7 m，则桥长AB＝________ m (结果精确到1 m)．【答案】12【解析】由题意得，∠ABC=90°，则tan∠BCA=，所以=，所以AB=7≈12，故答案为12.16. 如图,一艘船向正北航行,在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上,航行12海里到达B点,在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上,此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是_________海里(不作近似计算).【答案】6【解析】试题分析：过S作AB的垂线，设垂足为C．根据三角形外角的性质，易证SB=AB．在Rt△BSC中，运用正弦函数求出SC的长．解：过S作SC⊥AB于C．∵∠SBC=60°，∠A=30°，∴∠BSA=∠SBC﹣∠A=30°，即∠BSA=∠A=30°．∴SB=AB=12．Rt△BCS中，BS=12，∠SBC=60°，∴SC=SB•sin60°=12×=6（海里）．即船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是6海里．故答案为：6．17. 如图,一棵树BC的高10米,一只小鸟在地面上的A处沿着倾斜角为30°的方向直飞向树梢B处,则小鸟飞行的路程是_________米.【答案】20【解析】由题意知，∠ACB=90°，则sinA=，所以AB===20，故答案为20.三、解答题18. 如图，山坡AB的坡角α为25°，坡的长度AB＝480 m，求山坡的高度h ．【答案】山坡的高度约为203 m【解析】整体分析：已知直角三角形中的锐角，斜边，求对边，用锐角的正弦.解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α＝25°，AB＝480m，∴h＝ABsinα＝480×sin25°≈203(m)．答：山坡的高度约为203m．19. 已知Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）已知 a＝4， b＝2，求 c ；（2）已知∠A＝60°， c＝2＋4，求 b ；（3）已知 a ＝10， c ＝10，求∠B；（4）已知 b ＝35，∠A＝45°，求 a ．【答案】（1）2（2）2+（3）45°（4）35【解析】整体分析：（1）已知两直角边，求斜边，用勾股定理；（2）已知锐角，斜边，求邻边，用余弦；（3）已知斜边，邻边，求锐角，用余弦；（4）已知锐角，邻边求对边用正切.解：（1）由勾股定理，得c＝=2．（2）∵cosA＝，∴b＝ccosA＝(＋4)cos60°＝2＋．（3）∵cosB＝==，∴∠B＝45°．（4）∵tanA＝，∴a＝btanA＝35tan45°＝35．20. 已知，如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6，求AB的长．【答案】15【解析】先解直角三角形BCD，求得BC＝DC＝6，再解直角三角形ABC，由正弦的定义可得，从而得．所以在较复杂的图形中求线段的长度时，有时要通过两次或更多次解直角三角形才能达到目的．因为∠C＝90°，∠BDC＝45°，所以∠DBC＝45°，所以BC＝DC＝6．在Rt△ABC中，，所以，即AB的长为15．21. 某省将地处A，B两地的两所大学合并成了一所综合性大学．为了方便A，B两地师生交往，学校准备在相距2千米的A，B两地之间修筑一条笔直的公路(即图4.33中的线段AB)．经测量，在A地的北偏东60°方向，B地北偏西45°方向的C处有一个半径为0.7千米的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园为什么【答案】公路不会穿过公园【解析】整体分析：过点C作CD⊥AB，垂足为点D．计算CD的长，与0.7比较大小.解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D．因为∠B＝45°，所以∠BCD＝45°．所以CD＝BD．设CD＝BD＝x，因为∠A＝30°，所以AC＝＝2x．由勾股定理，得AD＝=．由AD＋BD＝2，得x＋x＝2，所以x＝－1．所以CD＝－1≈0.732＞0.7．所以公路不会穿过公园．。

北师大版数学九年级下册1.5《三角函数的应用》同步练习卷一、选择题1.如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7m，则树高BC为(用含α的代数式表示)（）A.7sinαB.7cosαC.7tanαD.2.如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A.sinA的值越大，梯子越陡B.cosA的值越大，梯子越陡C.tanA的值越小，梯子越陡D.陡缓程度与∠A的函数值无关3.一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）A.10海里/小时B.30海里/小时C.20海里/小时D.30海里/小时4.如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是( )A.10海里B.(10－10)海里C.10海里D.(10－10)海里5.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二踩档与第三踩档的正中间处有一条60 cm长的绑绳EF，tanα=2.5，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是( )A．144 cm B．180 cm C．240 cm D．360 cm6.一座楼梯的示意图如图,BC是铅垂线,CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯,已知CA=4米,楼梯宽度1米,则地毯的面积至少需要（）A.米2B.米2C.（4+）米2D.（4+4tanθ）米27.如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于( )A.100sin 35°米B.100sin 55°米C.100tan 35°米D.100tan 55°米8.如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A.5sin36°米B.5cos36°米C.5tan36°米D.10tan36°米9.如图，将一个 Rt△ABC 形状的楔子从木桩的底端点 P 沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动.已知楔子斜面的倾斜角为 15°，若楔子沿水平方向前进 6cm（如箭头所示），则木桩上升了（）A.6sin15°cmB.6cos15°cmC.6tan15°cmD.cm10.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等.小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A. B. C. D.二、填空题11.如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米（结果保留整数，测角仪忽略不计）12.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为__________米．13.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1:，堤高BC=5米，则坝底AC的长度是米．14.如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是海里（结果保留根号）．15.如图，为测量某塔AB的高度，在离塔底部10米处目测其塔顶A，仰角为60°，目高1.5米，则求该塔的高度为米.（参考数据：≈1.41，≈1.73）16.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则cos∠BAC的值为 .三、解答题17.如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）18.如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°，使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？19.鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D(A、C、D共线)处同时施工．测得∠CAB=30°，AB=4km，∠ABD=105°，求BD的长．20.为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含(300mm)，高度的范围是120mm～150mm(含150mm)．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．(结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423)参考答案1.C2.A3.D4.D5.B6.D7.C；8.C；9.C；10.A11.答案为：137．12.答案为：160．13.答案为：．14.答案为：。