D11_4函数展开成幂级数

S ( x) C e x
x
由S (0) 1 得 S ( x) e , 故得
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例6.
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散,
n x ( x ) x x n


x x 1 x
n 1
an 1 1 2 (1) an 2 2 (1) n
能否确定它的收敛半径不存在 ?
3 1
2 6
, ,
n 为奇数 n 为偶数
答: 不能. 因为
n
lim
n
u n ( x) lim
n
n
x 2 (1) 2
n
当
时级数收敛 , 比值判别法成立
时级数发散 ,
说明: 可以证明
当4 x2 1 当4 x2 1
( 2 n 1)(2 n 2) 2 2 4 x lim x n ( n 1 )2 时级数收敛 1 故收敛半径为 R . 2 时级数发散
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例4. 解: 令 级数变为
的收敛域.
1 an R lim lim 2 n n n an 1 n
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内容小结
1. 求幂级数收敛域的方法
1) 对标准型幂级数
先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 . 2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式) 求收敛半径时直接用比值法或根值法, 也可通过换元化为标准型再求 . 2. 幂级数的性质 1) 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与 乘法运算.
(证明见第六节)

解
因此
将
待解决的问题 :
若函数
的某邻域内具有任意阶导数,
为f (x) 的
泰勒级数 .
麦克劳林级数 .
定理1
各阶导数,
则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
条件是
f (x) 的泰勒公式余项满足:
证明
令
设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
定理2
若 f (x) 能展成 x 的幂级数,
定义且连续,
域为
利用此题可得
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 ,
所以展开式对 x ＝1 也是成立的,
于是收敛
将函数
例6
展成
解
的幂级数.
将
例7
展成 x－1 的幂级数.
解
将
内容小结
1. 函数的幂级数展开法
(1) 直接展开法
— 利用泰勒公式 ;
(2) 间接展开法
— 利用幂级数的性质及已知展开
第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内
是否为
骤如下 :
展开方法
直接展开法
— 利用泰勒公式
间接展开法
— 利用已知其级数展开式
0.
的函数展开
例1
展开成 x 的幂级数.
解
其收敛半径为
对任何有限数 x , 其余项满足
故
( 在0与x 之间)
故得级数
将函数
例2
展开成 x 的幂级数.
解
得级数:
由此得
二项展开式 .
二项式定理.
就是代数学中的
对应
的二项展开式分别为
例3 附注
2. 间接展开法

f (0) = 1，
(n = 1,2,3,)，
f (n)(0=) m(m − 1)(m − n + 1)，
∴ f ( x)的麦克劳林级数为
1 + mx + m(m − 1) x2 + + m(m − 1)(m − n + 1) xn + .
2!
n!
(2) ρ = lim an+1
a n→∞ n
m(m − 1)(m − n)
x ∈[−1,1].
直接展开法的缺点：
(1) 求 f (n)( x0 ) 计算量较大；
(2)
证明
lim
n→∞
Rn
(
x
)
=
0
困难.
2. 间接展开法
利用已知的展开式、幂级数的代数与分析运算以及 变量代换等，将函数展开成幂级数. 因为函数展开 成幂级数是唯一的，所以用此方法与直接法展开具 有相同的结果，其优点在于可以避免对余项的研究， 也不用求高阶导数，从而计算比较简单.
+
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
−
x0
)n
+
，x
∈U
(
x0
).
当 x0 = 0 时，
f ( x=) f (0) + f ′(0)x + f ′′(0) x2 + + f (n)(0) xn +
2!
n!
称为 f ( x)的麦克劳林级数.
4. 展开式的唯一性
能
设 f ( x)=a0 + a1 x + a2 x2 + + an xn + ，则展开式唯一， 且就是 f ( x)的麦克劳林级数.

函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式是将一个函数表示成幂函数的和的形式，即
f(x) = a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + a_3*x^3 + ...
其中a_0, a_1, a_2, a_3, ...是待定的常数系数，x是变量。

这个
等式表示了函数f(x)在某个点(可以是无限远)附近的展开形式。

当x接近0的时候，这个级数可以收敛到函数f(x)。

幂级数展
开式的一个常见形式是泰勒级数展开式。

泰勒级数展开式是一种特殊的幂级数展开式，用于将一个光滑函数表示成无穷级数的形式。

泰勒级数展开式的一般形式是：
f(x) = a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + a_3*x^3 + ...
其中a_0, a_1, a_2, a_3, ...是待定的常数系数，x是变量。

这个
级数的系数可以通过函数在某个点处的导数来计算。

泰勒级数展开式在数学分析和物理学中有广泛的应用，可以用于近似计算函数的值、求导和积分等问题。