同济大学高等数学第六版第七章第六节高阶线性微分方程课件

例题一
求解一阶线性微分方程$y' - 2xy = x^2e^{x^2}$，并给 出初始条件$y(0) = 1$下的特解
01
例题二
分析一阶线性微分方程$y'
+
frac{2}{x}y = x^2$的解的结构，并讨
论初始条件对解的影响
02
03
例题三
通过常数变易法求解一阶线性微分方 程$y' - y = xe^x$，并验证所得解的 正确性
物理应用
在物理学中，许多实际问题可以抽象为可降阶高阶微分方程的形式，如振动、 波动、电磁场等问题。通过求解这些方程，可以得到实际问题的解析解或近似 解。
解题方法概述
变量替换法
通过引入新的变量或函数，将原方程转化为低阶微分方程或易于求解 的形式。
积分法
利用积分公式或技巧，对方程进行逐次积分，从而降低微分方程的阶 数。
常用变量代换技巧
幂函数代换
将方程中的某一项或几项用幂函数代替，降 低方程阶数或化简方程。
三角函数代换
利用三角函数的性质进行代换，将方程转化 为三角函数方程进行求解。
指数函数与对数函数代换
根据指数函数与对数函数的性质进行代换， 简化方程形式。
通过变量代换化简复杂方程
分析方程结构，选择 合适的代换方法。
01
方程特点
方程中不显含未知数y，但可能 显含y的导数。
02
03
求解方法
示例
通过变量代换，将原方程转化为 新变量的微分方程，进而求解得 到通解。
x^2y'' + 3xy' = 0，通过变量代 换t = y'，可将其转化为一阶线 性微分方程。
显含未知数y但可化为不显含形式型微分方程

1 x
0
1
1

1 t4

1 t2
d
t

t 2 0 1t4
d
t
ห้องสมุดไป่ตู้
0
1
d
x x4

1 2


0 1
d
x x4

x2
0 1 x4
d
x

1
2
1 01

x2 x4
d
x
17
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1
2
0
1 x2
1
1 x2
二无界函数的反常积分第四节常义积分积分限有限被积函数有界推广一无穷限的反常积分反常积分广义积分反常积分第五章1一无穷限的反常积分引例
第四节 反常积分
第五章
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
反常积分 (广义积分)
一、无穷限的反常积分
二、无界函数的反常积分
1
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一、无穷限的反常积分

F (b)
F(c )
F(c ) F(a)
可相消吗?
12
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例4. 计算反常积分
解: 显然瑕点为 a , 所以
原式


arcsin x a

a 0

arcsin1
π 2
例5. 讨论反常积分
的收敛性 .
解所下:以述1反1解dx常x2法积是分0否1dx1x正x2 确11:0发1dxx散21.11x2 ,0∴1 积 分 1x收敛01

x2

（iii）如果 2 p q 0 且 2 p 0 ， 即λ是特征方程的重根。
要使(3)式成立， Q' ' ( x ) 应是m次多项式. 令 Q( x) x 2Qm ( x)
仍是比较(3)式两端的系数来确定Qm ( x ) 的系数。
•10
y" py' qy f x
总之， 当 f ( x) pm ( x)e x
y* x k Qm ( x )e x
(1)
时，方程(1)具有形如
同次(m次)的多项式，
的特解， 其中 Qm ( x ) 是与 Pm ( x )
0 其中
λ不是特征根
k=
1 2Βιβλιοθήκη λ是特征方程的单根 λ是特征方程的重根
注：
上述结论可推广到 n 阶常系数非齐次线性微分方程，
但 k 是特征方程含根λ的重复次数，即 若λ不是特征方程的根，k =0； 若λ是特征方程的 s 重根，k = s.
例 1 求下列方程的通解
(1) y"2 y'3 y 3 x 1; (2) y"5 y'6 y xe2 x .
解 （1）对应齐次方程的特征方程为
r 2 2r 3 0
• 第七章 微分方程
▫ 7.1 微分方程的基本概念
▫ ▫ ▫ ▫ ▫ ▫ ▫
7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8
可分离变量的微分方程 一阶线性微分方程 可降阶的高阶微分方程 二阶线性微分方程 二阶常系数线性齐次微分方程 二阶常系数线性非齐次微分方程 综合例题
7.5二阶线性微分方程
型
其中 为常数，Pm x 是x 的一个m 次多项式：

y yc y .
16

2. 二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法
y ay by f ( x) (1)
对应齐次方程 y ay by 0 (2)
定理4 设 y( x) 是方程(1)的一个特解,
yc ( x) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
y yc y .
问题归结为求方程(1)的一个特解.
这样比代入原方程要简便得多.
26
例7 求微分方程 y 4 y 4 y e x 的通解,
其中 为实数.
解 特征方程 2 4 4 0 , 特征根 1,2 2 ，
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e2x .
1）若 2 , 则设特解为 y Ax 2e2x ,
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e3x .
因为 r 3 是二重特征根,
所以设特解为 y x2 ( Ax B)e2x ( Ax3 Bx2 )e2x ,
注意：实际计算时，只要将Q( x) Ax3 Bx2 代入
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) 现即 Q( x) Pm ( x) , 即得 6Ax 2B x .
(2)
线性非齐次微分方程的解的结构
定理2 如果 y( x) 是 n 阶非齐次线性方程(1)的一个特 解, yc ( x) 是对应齐次方程(2)的通解，则(1)的通解为
y(x) yc(x) y(x) .
5
二、二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性微分方程的标准形式
y ay by f ( x) (1) 其中a,b是常数. 若 f ( x) 0 ,则称为二阶常系数非齐次线性微分方程,
只讨论 f (x) 的两种类型.
用待定系数法求解.