数理统计的概念

n1 Γ( ) 2 n 1 x 2 fT ( x ) (1 ) 2 , n n n Γ ( ) 2
P{6.262 χ 2 24.996}
2 2
P{χ 6.262} P{χ 24.996}
0.975 0.05 0.925
注意 应注意分布表的定义与查法！
#
数理统计基本概念
3.自由度为 n的 t 分布 作笔名发表文章.
T～t(n)
又称学生氏分布--第一个研究者以Student
( X 1 , X 2 , , X n ) ~ ( 2 ) e
n 2 2
i 1
( xi )2 2 2
n
数理统计基本概念
四、统计量 定义6.1.2 设X1 , X2 , ·, Xn是总体X的样本， · · T为n元实值函数，若样本的函数 T=T(X1 , X2 , ·, Xn) · · 是随机变量且不含未知参数，称 T为统计量. 对相应的样本值( x1 , x2 , … , xn ) ，称 t =T( x1 , x2 , … , xn )
理
统
计
的
引
入
数理统计基本概念
某厂生产的一批产品中次品率为 p 。从中 抽取10件产品装箱。 概
1）没有次品的概率 2）平均有几件次品
率
3）为以 0.95的概率保证箱中 有10件正品，箱中至少要装多 少件产品。
数
理
统
计
的
引
入
数理统计基本概念
所有这些问题的关键是 p 是已知的！ 如何获取 p ? 这就是数理统计的任务了！
定的α(0<α<1)，数uα满足
P{ X u } ，
(C ) u1 ;

(n 2) n n

n 1 2
, x .
t 分布的概率密度图形
图形关于 x 0 对称， lim f ( x; n) 0 , 且 x 当 n 充分大时，f (x; n) 趋近于标准正态 分布的概率密度。
定理 4： X 1， 2， ， n 是抽自正态总体 设 X X
若总体 X 是离散型的，其分布律为：
则样本的联合分布为
§6.2 抽样分布
6.2.1 统计量的概念 由样本推断总体的某些情况时，需要对样本进行“ 加工”，构造出若干个样本的已知 (确定)的函数， 其作用是把样本中所含的某一方面的信息集中起来 。 这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量。 它是完全由样本所决定的量。 定义2：设 X 1 , X 2 , , X n 是来自总体X的样本， g( X 1 , X 2 , , X n ) 是样本 X 1 , X 2 , , X n 的函数，如果 g( X 1 , X 2 , , X n ) 中不包含任何未知参数，则称它 是一个统计量。
1 (0.82)
1 0.7939 0.2061
X ~ N (0, 22 ), X1 , X 2 , X3 , X 4 为其样本，求a,b 例2:总体
(2). (n 1)S / ~ (n 1)
2
X (1). X ~ N ( ， / n)， 或 ~ N (0，) ； 1 / n 2 2 2
2
X (3). X 与 S 相互独立； (4). ~ t(n 1). S/ n
定理5：设X1, X2, …, Xm 与Y1, Y2, …, Yn分别来自总体 2 两样本独立， X ~ N ( 1 , 12 )和Y ~ N ( 2 , 2 )的样本， 2 S12 / S2 则有 F 2 ~ F ( m 1, n 1). 2 1 / 2 定理6*：设X1, X2, …, Xm 与Y1, Y2, …, Yn分别来自

概率论与数理统计考研复习题（6）数理统计的基本概念1．X 与Y 相互独立且都服从)3,0(2N ，而9191,Y Y X X ，和分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，求统计量 292191Y Y X X U ++++= 服从的分布.2．求总体)3,20(N 的容量分别为10，15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率.3．设n X X X ,,,21 是来自具有)(2n χ分布的总体样本。

求样本均值X 的数学期望和方差.4．设总体X ~N （0，1），从此总体中取一个容量为6的样本（621,,,X X X ），设Y =（26542321)()X X X X X X +++++，试决定常数C ，使得随机变量CY 服从2χ分布.5．从正态总体)6,4.3(2N 中抽取容量为n 的样本，如果要求其样本均值位于区间 （1.4, 5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？6．从装有一个白球，两个黑球的罐子里有放回地取球，令X =0表示取到白球，X =1表示取到黑球，求容量为5的样本（521,,,X X X ）的和的分布，并求样本的均值X 和样本的方差2S 的期望值.7．设总体X ~),0(2σN ，（21,X X ）为取自这总体的一个样本，求： （1）221221)()(X X X X Y -+=的概率密度；（2）P {Y <4}. 8．设总体服从参数为λ的指数分布，分布密度为⎩⎨⎧≤>=-0,00,);(x x e x F xλλλ，求E （X ），D （X ），E )(2S .9．从正态总体)5.0,(2μN 中抽取样本1021,,,X X X .（1）已知0=μ，求概率P {}41012≥∑=i i X； （2）未知μ，求概率P {85.2)(2101≥-∑=i i X X}.。

样本k阶原点矩 样本 阶原点矩 样本k阶中心矩 样本 阶中心矩
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1 Ak = n 1 Bk = n
∑ ∑
n
n
i =1
X ik ( k = 1, 2 , L )
i =1
( X i − X ) k ( k = 1, 2 , L )
概率论与数理统计
说明 (修正 样本方差还可表示为 修正)样本方差还可表示为 修正
n 1 S2 = [ ∑ X i2 − n X 2 ] n − 1 i =1
1 n 推导】 【推导】 S 2 = ( X i − X )2 ∑ n − 1 i =1 = = = =
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1 n ( X i2 − 2 X i X + X 2 ) ∑ n − 1 i =1 n n n 1 [ ∑ X i2 − 2 X ∑ X i + ∑ X 2 ] n − 1 i =1 i =1 i =1 n 1 [ ∑ X i2 − 2 n X 2 + n X 2 ] n − 1 i =1 n 1 [ ∑ X i2 −n X 2 ] n − 1 i =1
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做法
从总体中随机地抽取若干个体(灯泡、 从总体中随机地抽取若干个体(灯泡、工大男
生),测试其所需数据(寿命、身高),最后对所得数据通过 ),测试其所需数据 寿命、身高), 测试其所需数据( ),最后对所得数据通过 整理加工和分析来推断总体(这批灯泡寿命、 整理加工和分析来推断总体(这批灯泡寿命、工大男生身 高)的分布情况,从而了解整体情况. 的分布情况,从而了解整体情况. 一般,我们所研究的总体的某项数量指标X 一般,我们所研究的总体的某项数量指标X是一个随 机变量,其取值在客观上有一定的分布.因此, 机变量,其取值在客观上有一定的分布.因此,对总体的研 究,就是对相应的随机变量X的研究。 就是对相应的随机变量X的研究。 今后,我们称X 今后,我们称X的分布函数和数字特征分别为总体的 分布函数和数字特征, 分布函数和数字特征,并不再区分总体与相应的随机变量 X.对总体的称呼 总体,总体X 总体F X.对总体的称呼:总体,总体X与总体F. 对总体的称呼: