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1432公式法2完

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1432因式分解之公式法

1432因式分解之公式法

解原式＝(3ap)2－(bq)2
＝(3ap＋bq)(3ap－bq) (8) -16x4 ＋81y4 解原式＝81y4－16x4 ＝(9y２)2－ (4x２)2 ＝(9y2+4x2)(9y2-4x2) ＝(9y2+4x2)〔 (3y)2-(2x)2〕 ＝(9y2+4x2)(3y+2x)(3y-2x)
利用 平方差公式分解因式的步骤:
(5) a2+ 1 ab 1 b2 ( × )
24
把下列各式分解因式：
（1）x2+8x+16 (2) 25a4+10a2+1 (3) (m+n)2-4(m+n)+4
解:(1) x2+8x+16 =x2+2×4x+42 =(x+4)2
(2) 25a4+10a2+1 =(5a2)2+2×5a2+1 =(5a2+1)2 (3) (m+n)2+4(m+n)+4
=(m+n)2-2×2(m+n)+22 =[(m+n)-2]2 =(m+n-2)2
1.下列多项式能否分解因式？如果能，请 你将它分解因式：
（1）a2-4a+4 (3)4a2+4a-1
(2) 9a2-3a+1 (4)a2+ab+b2
2.把下列各式分解因式： (1) a2-12ab+36b2 (2) 25x2+10xy+y2 (3) 16a4+24a2b2+9b4 (4) (x+y)2-10(x+y)+25
(3) (3-m)2= __9_-6_m__+_m__2__

14.3.2公式法(2)

14.3.2公式法(2)
14.3.2因式分解(2)
a 2ab b
2
2
a 2ab b
2
2
我们把这样的式子叫做完 全平方式。
特点：两个“项”的平方和加 上（或减去）这两“项”的积的两 倍.
利用完全平方公式分解因式
a 2ab b (a b)
2 2
2
a 2ab b (a b)
10.如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,则a+b=___ 11.已知 x 3 1 则x2-2x-3=_____ 12.若x2+y2+6x-8y+25=0, 则x=___,y=___
2
1 5.在整式 x 2 中加上一个单项式使 x
之成为完全平方式，则应添______
6.已知x2-2mx+16是完全平方式,则m=___
7.已知x2-8x+m是完全平方式,则m=_____
8.已知x2-8x+m2是完全平方式,则m=____ 2 9.若 x mx -10 (x - 2)(x 5)则m=_____
2 2的特点： 1、必须是三项式。 2、有两个符号相同的平方项. 3、还有一项符号可“+”可“－”，它是两 平方项底数乘积的2倍.
1 x 4 x 4 2 2 a 6a 9 2 3 4a 4a 1 2 2 4 9m 6mn n (9)
2
1 (10) 5 x x 4
2
分解因式的方法.
（1）如果有公因式，用提取公因式法； （2）如果没有公因式，就看项数.
若两项，考虑能否用平方差公式；
若三项，考虑能否用完全平方公式. （3）分解因式，必须进行到每一个多 项式因式都不能再分解为止.

14.3.2公式法2

14.3.2公式法2

第2课时 运用完全平方公式分解因式
7．把下列各式分解因式：
(1)a2－14ab＋49b2；
(2)4a2－12ab＋9b2；
(3)1＋x＋1x2； 4
(4)2mn－m2－n2；
(5)8(a2＋1)－16a.
第2课时 运用完全平方公式分解因式
解：(1)a2－14ab＋49b2＝(a－7b)2. (2)4a2－12ab＋9b2＝(2a－3b)2. (3)1＋x＋1x2＝ 1＋12x 2.
15．若|m＋4|与 n2－2n＋1 互为相反数，把多项式 x2＋4y2－mxy－n 分 解因式．
解：由题意得|m＋4|＋n2－2n＋1＝0，即|m＋4|＋(n－1)2＝0，∴m＝－ 4，n＝1，
∴x2＋4y2－mxy－n＝x2＋4y2＋4xy－1＝(x＋2y)2－12＝(x＋2y＋1)(x ＋2y－1)．
第2课时 运用完全平方公式分解因式
13．先因式分解，然后计算求值：(x＋y)(x2＋3xy＋y2)－5xy(x＋y)， 其中 x＝6.6，y＝－3.4.
解：原式＝(x＋y)(x2＋3xy＋y2－5xy) ＝(x＋y)(x－y)2， 当 x＝6.6，y＝－3.4 时， 原式＝3.2×102＝320.
A．3 B．6 C．±3 D．±6
第2课时 运用完全平方公式分解因式
11．不论 x，y 为任何实数时，式子 x2－4x＋y2－6y＋13 的值总是 __非__负_数___．
【解析】x2－4x＋y2－6y＋13＝x2－4x＋4＋y2－6y＋9＝(x2－4x＋4) ＋(y2－6y＋9)＝(x－2)2＋(y－3)2，又∵(x－2)2≥0，(y－3)2≥0，∴(x －2)2＋(y－3)2≥0，即其值为非负数．
4 (4)2mn－m2－n2＝－(m－n)2. (5)8(a2＋1)－16a＝8a2＋8－16a＝8(a2－2a＋1)＝8(a－1)2.

八年级数学上册14.3.2公式法(二)优质课教案

八年级数学上册14.3.2公式法(二)优质课教案
这两个多项式的形式都是两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍
2、我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式
教师引导学生从运算顺序上分析运算得到特点。
先独立思考，后合作交流
学习完全平方式
1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？
（1）（2）
（3）（4）．
(5) x2＋2xy－y2
三、教学目标
（一）知识目标：
（1）掌握完全平方式的特点。
（2）用完全平方式分解因式。
（二）能力目标：
（1）会判定一个多项式是否是完全平方式。
（2）能熟练应用完全平方公式分解因式。
（3）能够综合运用提公因式公式法分解因式。
（三）情感目标：
通过综合应用提公因式法、公式法分解因式进一步培养学生的观察能力，整体思想，分析解决问题的能力。
四、教学流程设计
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入:问题情境：
计算
20172-2×2017×2007+20072.
你能快速口算得到答案吗？
课件展示提出问题。
学生独立思考。
激发学生的学习兴趣引入课题
讲授探究新知
知识点一：完全平方式
1、从运算的角度看多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2.有什么特点？
教师讲解定义
学生回答记忆
学习定义
探究新知
例1分解因式：(1)16x2+24x+9
分析16x2=(4x)2,9=32,24x=2×4x·3,所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即
16x2+24x+9=(4x)2+ 2×4x·3+32

《1432公式法2》课件(人教版八年级上)

《1432公式法2》课件(人教版八年级上)
如果一个多项式适当分组，使分组 后各组之间有公因式或可应用公式，那 么这个多项式就可以用分组的方法分解 因式。
练一练 mx+my-nx-ny
① ② ③④ ①②，③④两组，得（mx+my）-（nx+ny） 解1：原式= （mx+my）-（nx+ny）
=m(x+y)-n(x+y) =(x+y)(m-n)
二、分解因式
1．72-2(13x-7)2
2．8a2b2-2a4b-8b3
解：72-2(13x-1)2
解：8a2b2-2a4b-8b3
=2[62-(13x-7) 2] =2(6+13x-7)(6-13x+7)
=2b(4a2b-a4-4b2) =-2b(a4-4a2b+4b2)
=2(13x-1)(-13x+13) =-26(13x-1)(x-1)
4．若a+b=4，a2+b2=10 求a3+a2b+ab2+b3的值．
解：原式=(a3+a2b)+(ab2+b3) =a2(a+b)+b2(a+b) =(a+b)(a2+b2)
∵a+b=4，a2+b2=10 ∴原式=4×10=40
5．已知(x+y)2-2x-2y+1=0，求2x2+4xy+2y2的值．
3．(a+b) 2+2(a+b)-15 =__(a_+_b__+_5_)(_a_+_b_-_3_) 4．-1-2a-a2=__-_(a_+__1_) _2___ 5．x2-6x+9-y2 =_(_x_-3_+_y_)_(_x_-3_-_y_) 6．x2-4y2+x+2y=_(_x_+_2_y_)_(x_-_2_y_+_1_)_ 7．9x2+6xy+y2+3x+y =_(3_x_+_y_)_(_3_x_+_y_+_1_) 8．9x2+6xy+y2+3x+y-2=_(_3_x_+_y_+_2_)_(3_x_+__y_-1_)_

14.3.2公式法(2)

14.3.2公式法(2)

a表示：2x+y b表示：3
(2x y)2 2 (2x y) 3 32
(2 x y 3) 2
2xy y 1 x _______ 2 2 2 4a 9b _______ 12ab 2 2 4 xy 3 x ______ 4 y
3.(2014珠海中考)因式分解:ax ay =___. 4.（2014东阳中考）因式分解：x3-x=___. 2 5.（2014盐城中考）因式分解:x 9 =___
2 2
7.（2014黄冈中考）分解因式:x2-x=_____. 11.（2014黄冈中考）分解因式：2a2–4a+2
12.（中考）因式分解：9x2－y2－4y－4＝___．
2 2 2 2
1 5 x x 是 4 2 2 否 6 a 2 ab 4 b
2
填写下表
b各 表示什么
a表示：x b表示：3 a表示：2y b表示：1
表示为：
a 2 2ab b 2
表示为 (a b)2 或 (a b)2 形式
x 6x 9
完全平方式的特点： 1、必须是三项式（或可以看成三项的） 2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍） 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
巩固练习
1.下列多项式是不是完全平方式？为什么
(1) a2－4a+4
(3) 4b2+4b－1 2.分解因式：
(2)1+4a2
(4)a2+ab+b2
(1) x2+12x+36 (3) a2+2a+1
(2) －2xy－x2－y2 (4) 4x2－4x+1

课件4：14.3.2公式法（2）

就像平方差公式一样，完全平方公式也可以逆用，
从而进行一些简便计算与因式分解。即：
a 2 2ab b 2 a b
2
a 2 2ab b 2 a b
2
这个公式可以用文字表述为：
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的
两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
牛刀小试(对下列各式因式分解)：
2
2
2
⑥ 25 x 20 x 4
2
（ − ）
因式分解：
①2a b 8ab
2
( )
提
高
训
练
一
② x y 4 x y 1
2


③ x y 4 x 2 y 2 4 x y
2
① （ + ）
② （ − + ）
判断△ABC的形状并说明理由。

整
式
的
乘
法
与
因
式
分
解
14.3
14.3.2
因式分解
公式法（2）
整
式
的
乘
法
与
因
式
分
解
复习回顾
还记得前面学的完全平方公式吗？
a b 2 a 2 2ab b 2
2


a

b
a b 2 a 2 2ab b 2
计
算
：
a 2 2ab b 2
x 44 x __________
2
(a+3)
2
① a +6a+9 = _________________

人教版八年级上册第十四章：14.4.2公式法(二)-学

14.4.2 公式法（二）一、学习目标理解完全平方公式的特点，能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．二、指导自学（一）复习回顾，引入新课问题1 （1）因式分解中的平方差公式是怎样叙述的？如何用字母表示？回答：（2）前面我们还学习了乘法的完全平方公式，是怎样叙述的？如何用字母表示？回答：既然我们可以逆用乘法的平方差公式对某些多项式分解因式，那么我们是否也能逆用乘法的完全平方公式对某些多项式分解因式呢？答案是肯定的．今天我们继续学习公式法分解因式．（二）合作交流，总结公式问题2 （1）你能将多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2分解因式吗？这两个多项式有什么特点？回答：我们把a2+2ab+b2与a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式. 利用完全平方式公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解.（2）能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？回答：问题3 总结用完全平方公式分解因式的方法，并用符号表示.回答：三、应用提高（一）巩固应用例1下列多项式是不是完全平方式？为什么？（1）a2-4a+4；（2）1+4a2；（3）4b2+4b-1 ；（4）a2+ab+b2．解：解题心得：例2 分解因式：（1）16x2+24x+9；（2）-x2+4xy-y2．分析：在（1）中，16x2 = (4x)2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式．解：解题心得：例3分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2；（2）(a+b)2-12(a+b)+36．分析：在（1）中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解．解：解题心得：（二）拓展提高例4 分解因式：（1）(a-b)2+4ab；（2）(p-4)(p+1)+3p；（3）4xy2-4x2y-y3；（4）3ax2-3ay2．解：解题心得：例5 已知4y2+my+9是完全平方式，求m的值．解：解题心得：例6 观察下列式子：2×4+1=9=32；6×8+1=49=72；14×16+1=225=152．你得出了什么结论？你能证明这个结论吗？解：解题心得：四、落实训练（一）当堂训练分解因式：（1）x2+12x+36；（2）-2xy-x2-y2；（3）a2+2a+1；（4）4x2－4x+1；（5）ax2+2a2x+a3；（6）-3x2+6xy-3y2．（二）回顾提升通过这节课的学习你有哪些收获？五、课外作业全品作业本八年级上册第113、114页．。

14.3.2 公式法第2课时课件

4.（黄冈·中考）分解因式：2a2–4a+2.
【解析】2a2–4a+2=2（a2–2a +1）=2（a–1）2
5. 计算: 7652×17－2352 ×17. 【解析】7652×17－2352 ×17
=17(7652 －2352)=17(765+235)(765 －235) =17 ×1 000 ×530=9 010 000.
【例题】
【例1】把下列完全平方式分解因式： （1）x2+14x+49; （2）(m+n)2－6（m +n）+9.
【解析】（1）x2+14x+49 =x2+2×7x+72 =（x+7）2.
（2）(m +n)2－6(m +n)+9 =（m +n）2－2×（m +n）×3+32 =［（m +n）－3］2 =（m +n－3）2.
因式分解 整式乘法 整式乘法 因式分解 整式乘法 因式分解
(7)2π R+ 2π r= 2π (R+r)
因式分解
2.把下列多项式因式分解. （1）x2－12xy+36y2. （2）16a4+24a2b2+9b4.
【解析】（1）x2－12xy+36y2 =x2－2·x·6y+（6y）2 =（x－6y）2.
【跟踪训练】
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; 是
（2）x2+4x+4y2;
（3）4a2+4ab+b2; 是 （4）a2－ab+b2;
（5）x2－6x－9;
（6）a2+a+0.25.是

八年级初二数学上册 14.3.2 公式法(第2课时) 【教学课件PPT】


解: (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2·4x·3 + 32 = (4x + 3)2;
(2)–x2+ 4xy–4y2
=–(x2–4xy+4y2) =–(x–2y)2.
巩固练习
把下列多项式因式分解.
(1)x2–12xy+36y2;
(2)16a4+24a2b2+9b4;
解:(1)x2–12xy+36y2 =x2–2·x·6y+(6y)2 =(x–6y)2;
3.若m＝2n＋1,则m2–4mn＋4n2值是_______1_． 4.若关于x多项式x2–8x＋m2是完全平方式,则m值为_________ ．
±4
課堂检测
5. 把下列多项式因式分解.
(1)x2–12x+36;
(2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1;
(3) y2+2y+1–x2;
解:(1)原式=x2–2·x·6+62=(x–6)2;
．–12
課堂检测
基础巩固题
1.下列四个多项式中,能因式分解是( )B
A．a2＋1
B．a2–6a＋9
C．x2＋5y
D．x2–5y
2.把多项式4x2y–4xy2–x3分解因式结果是( B)
A．4xy(x–y)–x3 B．–x(x–2y)2
C．x(4xy–4y2–x2) D．–x(–4xy＋4y2＋x2)
分析:(1)中有公因式3a,应先提出公因式,再进一步分解因式;(2)中将 a+b看成一个整体,设a+b=m,则原式化为m2–12m+36.
解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2)
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3.判断下列各式是因式分解的是 （2） . (1) (x+2)(x-2)=x2-4
(2) x2-4=(x+2)(x-2)
(3) x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x
14.3.2 因式分解----公式法 完全平方公式
1.运用完全平方公式分解因式，能说出完全平方公式
的特点. 2.会用提公因式法与公式法分解因式,并能说出提公 因式在这类因式分解中的作用． 3.能灵活应用提公因式法、公式法分解因式,体会整 式乘法与因式分解之间的联系.
14.3 因式分解
铅山二中 丁春荣
一、复习
1.如何理解因式分解？
把一个多项式分解成几个整式的
积的形式.
2 、通过前面的学习，我们掌握：
(1)、利用提公因式法分解因式。
(2)、利用平方差公式分解因式: a2－b2=（a+b)(a-b).
(3)、因式分解的步骤:首先提取公因式,然后考虑用公式法. (4)、因式分解应进行到每一个因式不能分解为止. (5)、计算中应用因式分解,可使计算简便.
2 2
2
因式分解
利用完全平方公式分解因式
2 我们把多项式 a 2ab b 2(a b) 2 2 2 2
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点：
a +2ab+b 和a -2ab+b2叫 2 2 2 a 2ab b ( a b) 做完全平方式 .
多项式是三项式，其中两项符号相同，是一个整
二、学习新课 1. 计算：（1）
解：原式
2
x 1
2
(2)
2 y 3
2
2
x 2x 1
解：原式 4 y
12 y 9
2. 根据1题的结果分解因式：
2x 1 2 解：原式 x 1
（1 ） x 2
（2 ） 4 y 2
12 y 9
解：原式
2
练习2.把下列各式分解因式：
(1)a2+8a+16;
(3) 49b a 14ab
2 2
(4) a 10a 25
2
四、合作学习
例题2：把下列式子分解因式
（1）3ax2+6axy+3ay2;
解：（1）3ax2+6axy+3ay2 =3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2.
2 ① 16x +24x+9
解：原式
4x 2 4x 3 3
2
2
4 x 3
2
②
解：原式
x 4 xy 4 y
2
2
(x 4xy 4 y )
2 2
【x 2 x 2 y (2 y) 】
2 2
x 2y
六、绝对挑战 （1）用简便方法计算：
2005 4010 2003 2003
2
2
解：原式 20052 2 2005 2003 20032
(2005 2003)
4
2
（2）.2 0132+2 013能被2 014整除吗?
解：∵2 0132+2013
=2 013(2 013+1) =2 013 ×2 014
∴ 2 0132+2 013能被2 014整除.
七、布置作业
教材习题14.3第3题．P119
① 1＋10t+25t² ③ y² +y+ 1 4 ⑤ 25a² -80a+64
② m² -14m+49 ④ (m+n)² -4m(m+n)+4m² ⑥ a² +2a(b+c)+(b+c)²
心似平原之马，易放难收。 学如逆水行舟，不进则退。
式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那
两项乘积的两倍.
练习1
下列多项式是完全平方式吗？
完全平方式的特征： (1)三项； (2)两平方项同号； (3)另一项可化为2( )( ).
4
(1) 2xy+x2+y2;
(2)a2+2ab+4b2;
4
1 7 2 x (3)a +a+ . 5 17 x；
（4）4a2+4ab+b2;
（5）a2－ab+b2;
（6）x2－6x－9;
a 2ab b a b 2 2 a 2ab b a b
2 2
2
2
我们可以通过以上公式把“完全平方式” 分解因式.我们称之为：运用完全平方公 式分解因式
三、自主学习
例题1：把下列式子分解因式
（ 2） （a+b）-12 （a#43;b）-12 （a+b） +36 =（a+b-6） ．
2
2
练习3.把下列各式分解因式：
(1) 4a 12ab 9b
2
2
(2)
(2 x y) 6(2 x y) 9
2
2 （3）a－6ab+9ab .
五、课堂小结 1.完全平方式的特征. 2. 分解因式的方法. 如果有公因式，用提取公因式法； 如果没有公因式，就看项数. 若两项，考虑能否用平方差公式； 若三项，考虑能否用完全平方公式. 3.分解因式，必须进行到每一个多项式因式 都不能再分解为止
2 y 3
2
怎样将多项式
a 2ab b
2 2
2
a 2ab b 2 2 2 (a b) a 2ab b
2 2 2
进行因式分解？ 2
(a b) a 2ab b
整式乘法 2 2 2 a 2ab b (a b)
a 2ab b (a b)