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14.4.2 公式法（二）一、学习目标理解完全平方公式的特点，能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．二、指导自学（一）复习回顾，引入新课问题1 （1）因式分解中的平方差公式是怎样叙述的？如何用字母表示？回答：（2）前面我们还学习了乘法的完全平方公式，是怎样叙述的？如何用字母表示？回答：既然我们可以逆用乘法的平方差公式对某些多项式分解因式，那么我们是否也能逆用乘法的完全平方公式对某些多项式分解因式呢？答案是肯定的．今天我们继续学习公式法分解因式．（二）合作交流，总结公式问题2 （1）你能将多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2分解因式吗？这两个多项式有什么特点？回答：我们把a2+2ab+b2与a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式. 利用完全平方式公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解.（2）能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？回答：问题3 总结用完全平方公式分解因式的方法，并用符号表示.回答：三、应用提高（一）巩固应用例1下列多项式是不是完全平方式？为什么？（1）a2-4a+4；（2）1+4a2；（3）4b2+4b-1 ；（4）a2+ab+b2．解：解题心得：例2 分解因式：（1）16x2+24x+9；（2）-x2+4xy-y2．分析：在（1）中，16x2 = (4x)2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式．解：解题心得：例3分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2；（2）(a+b)2-12(a+b)+36．分析：在（1）中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解．解：解题心得：（二）拓展提高例4 分解因式：（1）(a-b)2+4ab；（2）(p-4)(p+1)+3p；（3）4xy2-4x2y-y3；（4）3ax2-3ay2．解：解题心得：例5 已知4y2+my+9是完全平方式，求m的值．解：解题心得：例6 观察下列式子：2×4+1=9=32；6×8+1=49=72；14×16+1=225=152．你得出了什么结论？你能证明这个结论吗？解：解题心得：四、落实训练（一）当堂训练分解因式：（1）x2+12x+36；（2）-2xy-x2-y2；（3）a2+2a+1；（4）4x2－4x+1；（5）ax2+2a2x+a3；（6）-3x2+6xy-3y2．（二）回顾提升通过这节课的学习你有哪些收获？五、课外作业全品作业本八年级上册第113、114页．。
14.3.2公式法（2）教学目标：1.理解完全平方公式的特点．2.能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．3.能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．学习重点：会用完全平方公式分解因式．学习难点：灵活应用公式分解因式教学活动：问题你还能说出完全平方公式吗？你能把多项式222b ab a ++和222b ab a +-分解因式吗？这两个多项式有什么特点？学生活动设计观察上述多项式，与乘法公式中的完全平方公式作比较，容易得到222)(2b a b ab a ±=+±．教师活动设计学生得到结果后，让学生归纳222)(2b a b ab a ±=+±，即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．同时归纳完全平方式的定义：把形如222b ab a ++和222b ab a +-的式子叫作完全平方式．例5 分解因式（1）924162++x x ；（2）224y xy x -+-． 学生活动设计学生在独立思考的基础上进行讨论，在（1）中，16x 2=(4x )2，9=32，24x =2×4x ×3，所以924162++x x 是一个完全平方式，924162++x x ＝(4x ＋3)2．在（2）中，形式上不满足完全平方式的特点，但是224y xy x -+-＝)4(22y xy x +--，变形后括号内的多项式是完全平方式，可以分解因式．教师活动设计在本问题的解决过程中，让学生进一步体会完全平方式的特点，能够灵活地用完全平方式分解因式．例6 分解因式（1）3ax 2+6axy +3ay 2；（2）(a +b )2－12(a +b )+36．分析：在（1）中有公因式3a ，应先提出公因式，再进一步分解．解：（1）3ax 2+6axy +3ay 2= 3a (x 2+2xy +y 2)=3a (x +y )2；（2）(a +b )2－12(a +b )+36=(a+b )2－2·(a +b )·6+62=(a +b －6)2．练习：1．下列多项式是不是完全平方式？为什么？（1）a 2－4a +4；（2）1+4a 2；（3）4b 2+4b －1 ；（4）a 2+ab +b 2．2．分解因式（1）x 2+12x +36；（2）－2xy －x 2－y 2；（3）a 2+2a +1；（4）4x 2－4x +1；（5）ax 2+2a 2x +a 3；（6）－3x 2+6xy －3y 2．问题把下列多项式分解因式，从中你能发现因式分解的一般步骤吗？（1）44y x -；（2）33ab b a -；（3）22363ay axy ax ++；（4）22)()(q x p x +-+；（5）36)(12)(2++-+b a b a ．学生活动设计：观察上述多项式的形式，发现：（1）可以把x 4.y 4看作(x 2)2.(y 2)2，可以利用平方差公式，得到44y x -＝(22y x -)(22y x +)而22y x -还可以利用平方差公式进行分解得到44y x -＝(22y x -)(22y x +)＝(x －y )(x ＋y )(22y x +)；（2）（3）中不能用公式，但是各项存在公因式，于是可以先提公因式，然后进行分解，得到（2）))(()(2233b a b a ab b a ab ab b a -+=-=-；（3）22222)(3)2(3363y x a y xy x a ay axy ax +=++=++；（4）中若把(x ＋p )和(x ＋q )看作一个整体，可以利用平方差公式分解．（5）把(a ＋b )看作一个整体，恰好是完全平方式．教师活动设计让学生讨论如何进行分解因式，体会分解因式的一般步骤，归纳：（1） 先提公因式（有的话）；（2） 利用公式（可以的话）；（3） 分解因式时要分解到不能分解为止．问题证明：连续两个奇数的平方差可以被8整除．学生分析：设连续两个奇数是x 、x ＋2，则有x 2－(x +2)2=(x －x －2)(x+x +2)=－2(2x+2)=－4(x +1)，因为x 是奇数，所以x ＋1是偶数，所以－4(x +1)能被8整除． 归纳小结、布置作业。
第2课时 完全平方公式1.会判断完全平方式.2.能直接利用完全平方式因式分解.3.掌握利用完全平方公式因式分解的步骤.阅读教材P117-118“思考及例5、例6”，独立完成下列问题： 知识准备因式分解：2a 2b-4ab 2=2ab(a-2b)；-3a 3b+12ab 3=-3ab(a+2b)(a-2b).(1)填空：(a+b)2=a 2+2ab+b 2；(a-b)2=a 2-2ab+b 2.(2)根据上面的式子填空：a 2+2ab+b 2=(a+b)2；a 2-2ab+b 2=(a-b)2.(3)形如a 2+2ab +b 2与a 2-2ab +b 2的式子称为完全平方式.完全平方公式:a 2±2ab+b 2=(a ±b)2.语言叙述：两个数的平方和加上(减去)这两个数积的二倍，等于这两个数的和(差)的平方. 自学反馈(1)判断下列多项式是否为完全平方式，如果是运用完全平方公式将其因式分解. ①b 2+b+1;②a 2-ab+b 2;③1+4a 2;④a 2-a+41. 解：④(a-21)2. 完全平方式其中有两项能写成两个数或两个式子的平方的形式，且符号相同，另一项为这两个数或两个式子积的2倍或2倍的相反数.(2)分解因式：①x 2+12x+36;②-2xy-x 2-y 2;③ax 2+2a 2x+a 3.解：①(x+6)2；②-(x+y)2；③a (x+a)2.第②小题先提取“-”再判断是否能运用完全平方公式，第③小题先提公因式，关键找准a 、b.活动1 学生独立完成 例1 分解因式： (1)a 2+ab+41b 2; (2)-2x 3y+4x 2y-2xy;(3)(a-b)2-6(b-a)+9;(4)(x 2-2x)2+2(x 2-2x)+1. 解：(1)原式=(a+21b)2； (2)原式=-2xy(x 2-2x+1)=-2xy (x-1)2；(3)原式=(a-b)2+6(a-b)+9=(a-b+3)2；(4)原式=(x 2-2x+1)2=［(x-1)2］2=(x-1)4.先找准两个完全平方式，确定a 、b ，再判断是否符合完全平方式结构；第(4)小题先要把括号里的式子看作一个整体，分解后要继续分解到不能分解为止. 例2 已知x+x1=4，求： (1)x 2+21x的值； (2)（x-x1）2的值.解：(1)x 2+21x=(x+x 1)2-2=42-2=14； (2)（x-x 1）2=(x+x1)2-4=42-4=12.这里需要活用公式，如x 2+21x=(x+x 1)2-2，（x-x 1）2=(x+x 1)2-4，将两个完全平方公式进行互相转化.例3 已知|b-4|+a 2-a+41=0，求ab 的值.解：依题意，得|b-4|+(a-21)2=0.∴⎪⎩⎪⎨⎧==0.21-a ,04-b ∴⎪⎩⎪⎨⎧==4.b ,21a∴a b=(21)4=161. 先分解因式得到两个非负数的和，再根据绝对值和完全平方数的非负性求出a ，b.活动2 跟踪训练 1.因式分解：(1)(a 2-4a)2+8(a 2-4a)+16;(2)2x 2-12x+18; (3)21x 2+xy+21y 2; (4)abx 2+2abxy+aby 2.解：(1)(a-2)4； (2)2(x -3)2； (3)21(x+y)2； (4)ab(x+y)2. 2.利用因式分解计算：2022+202×196+982. 解：90000.3.如果x 2+mxy+9y 2是一个完全平方式，那么m 的值是±6.要注意完全平方式有两个.活动3 课堂小结1.用完全平方式分解因式，关键在于观察各项之间的关系，配凑a 、b.2.分解因式的步骤是：先排列，使首项系数不为负；提取公因式；然后运用公式法；检查各因式是否能再分解.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案： 四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22y x xy- (2)21-a （3）z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标（一）教学知识点1．等腰三角形的概念．2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用．（二）能力训练要求1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．2．探索并掌握等腰三角形的性质．（三）情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．教学方法探究归纳法．教具准备师：多媒体课件、投影仪；生：硬纸、剪刀．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．ABICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．[师]有了上述概念，同学们来想一想． （演示课件）1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． 2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线． [师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系． [生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高． [师]很好，大家看屏幕． （演示课件）等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）． （投影仪演示学生证明过程）[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD （SSS ）． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕． （演示课件）[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．D CA BD CABDCAB[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到 ∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． （课件演示）[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD （等边对等角）．设∠A=x ，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习（一）课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：（1）72° （2）30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC ，∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．（二）阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．D CAB我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业（一）习题13.3 第1、3、4、8题． （二）1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．EDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ．∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ．∴AE=C E ．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一 三、例题分析 四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业 备课资料 参考练习1．如果△ABC 是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ） A ．某一条边上的高 B ．某一条边上的中线 C ．平分一角和这个角对边的直线 D ．某一个角的平分线 2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ） A ．80° B ．20° C ．80°和20° D ．80°或50° 答案：1．C 2．C3. 已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm ，并且它的周长为16 cm ．求这个等腰三角形的边长． 解：设三角形的底边长为x cm ，则其腰长为（x+2）cm ，根据题意，得E DC A B P2（x+2）+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4 cm 、6 cm 和6 cm ．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22yx xy- (2)21-a （3）z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。
