专题17应用空间向量解决立体几何问题-2018年高考数学(理)母题题源系列(天津专版)(原卷版)

【母题来源一】【2018高考新课标1理数6】【母题原题】在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.【答案】A，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.【母题来源二】【2017高考新课标1理数13】【母题原题】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= ______ .【答案】【解析】点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式． (2)常用来求向量的模．【母题来源三】【2016高考新课标1理数13】【母题原题】设向量a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m= . 【答案】2- 【解析】试题分析：由222||||||+=+a b a b ，得⊥a b ，所以1120m ⨯+⨯=，解得2m =-. 【考点】向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题的形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若()()1122,,,x y x y ==a b ,则1122x y x y ⋅=+a b .【考点一：平面向量基本定理】1．平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．2．选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底 表示出来．3．强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、 相似等．提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便． 【考点二：平面向量的坐标运算】1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．3．两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，则b＝λa，应视题目条件灵活选择．1．【重庆市第八中学2018届高考适应性月考（六）】若在中，，其外接圆圆心满足，则（）A. B. C. D.【答案】A点晴：注意区分向量三角形法则和平行四边形法则之间的关系，注意区分向量积运算俩公式的区别。

【考点1·空间向量证明线、面平行与垂直关系】【典型例题】[例1](1)下列命题中,正确命题的个数为.①若n1、n2分别是平面α、β的法向量,则n1∥n2⇔α∥β；②若n1、n2分别是平面α、β的法向量,则α⊥β⇔n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量,向量a与α共面,则n·a＝0；④若两个平面的法向量不垂直,则这两平面一定不垂直.(2)(2015·山东临沂一模)若直线l的方向向量为a＝(1,0,2),平面α的法向量为n＝(－2,0,－4),则()A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α斜交(3)平面α,β的法向量分别为μ=(-2,3,-5),v=(3,-1,4),则()A.α∥βB.α⊥βC.α、β相交但不垂直D.以上都不正确[例2]►(1)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E、F、G分别为AB、AD、AA1的中点,求证：平面EFG∥平面B1CD1.►(2)如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB＝2,AF＝1,M是线段EF的中点.求证：(I) AM∥平面BDE；(II) AM⊥平面BDF. [例3](2014·济南质检)如图,在三棱锥P－ABC中,AB＝AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD 上.已知BC＝8,PO＝4,AO＝3,OD＝2.(I)证明：AP⊥BC；(II)若点M是线段AP上一点,且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.【变式训练】1.(2016河南联考)设平面α的一个法向量为n1＝(1,2,－2),平面β的一个法向量为n2＝(－2,－4,k),若α∥β,则k＝()A.2B.－4C.－2D.42.平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2),b＝(x,－2,3),且α⊥β,则x＝________.3.(2013浙江选编)如图,四面体A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD＝2,BD＝22,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.4.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,P A⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC＝60°,P A＝AB＝BC,E是PC的中点.证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.☆【考点2·空间向量求空间角】题型1：求异面直线的夹角【典型例题】[例1](1)若平面α的一个法向量n ＝(4,1,1),直线l 的一个方向向量a ＝(－2,－3,3),则l 与α所成角的正弦值为 .(2)已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为正方形,AA 1＝2AB ,E 为AA 1的中点,则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )A.1010B.15C.31010D.35(3)已知平面OAB 的一个法向量为n ＝(2,－2,1),且点P (－1,3,2),则点P 到平面OAB 的距离d 等于( ) A.4 B.2 C.3 D.1 (4)(2016·湖南岳阳质检)正四棱柱ABCD -A ′B ′C ′D ′中,底面边长为1,侧棱长为2,且MN 是AB ′,BC ′的公垂线,M 在AB ′上,N 在BC ′上,则线段MN 的长度为________.[例2](2015·课标Ⅰ理)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC ＝120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE ＝2DF ,AE ⊥EC . (I)证明：平面AEC ⊥平面AFC ；(II)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.【变式训练】 1.(2015·河南洛阳质检)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB ＝AA 1＝2,AD ＝1,E 为CC 1的中点,则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010B.3010C.21510D.31010 2.(2014·课标Ⅱ)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,∠BCA ＝90°,M ,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,BC ＝CA ＝CC 1,则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A.110 B.25 C.3010 D.223.(2017全国2理)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠ABC ＝120°,AB ＝2,BC ＝CC 1＝1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( ). A.32 B.155 C.105 D.33题型2：求直线与平面所成的角【典型例题】[例1](1)已知向量m ,n 分别是直线l 和平面α的方向向量、法向量,若cos 〈m ,n 〉＝－12,则l 与α所成的角为 . (2)(2016·辽宁一模)已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝2AB ,则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 C.23 D.13 (3)(2014·四川理)如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段CC 1上,直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α,则sin α的取值范围是( )A.[33，1]B.[63，1]C.[33，223]D.[223，1][例2]►(1)(2016·课标Ⅲ理)如图,四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB ＝AD ＝AC ＝3,P A ＝BC ＝4,M 为线段AD 上一点,AM ＝2MD ,N 为PC 的中点. (I)证明MN ∥平面P AB ；(II)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.►(2)(2016北京理)如图,四棱锥P -ABCD 中,平面P AD ⊥平面ABCD ,P A ⊥PD ,P A ＝PD ,AB ⊥AD ,AB =1,AD =2,AC =CD = 5. (I)求证：PD ⊥平面P AB ；(II)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(III)在棱P A 上是否存在点M ,使得BM ∥平面PCD ？若存在,求AMAP的值；若不存在,说明理由.【变式训练】1.(2016宁夏一模)已知空间点A(1,1,1),B(-4,0,2),C(-3,-1,0), D(-1,0,4),则直线AD与平面ABC所成的角为.2.(2015·课标Ⅱ理)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB＝16,BC＝10,AA1＝8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E＝D1F ＝4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(I)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(II)求直线AF与平面α所成角的正弦值.3.(2015河南质检)如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE；(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值.4.(2014·北京理)如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥P-ABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.(I)求证：AB∥FG；(II)若P A⊥底面ABCDE,且P A＝AE,求直线BC与平面ABF 所成角的大小,并求线段PH的长. 题型3：求二面角【典型例题】[例1]►(1)(2013课标Ⅱ理)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D、E分别是AB、BB1的中点,AA1＝AC＝CB＝22AB.(I) 证明：BC1∥平面A1CD；(II) 求二面角DA1CE的正弦值.►(2)(2016·课标Ⅱ理)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD 交于点O,AB＝5,AC＝6,点E,F分别在AD,CD上,AE＝CF ＝54,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置,OD′＝10.(I)证明：D′H⊥平面ABCD；(II)求二面角B-D′A-C的正弦值.[例2]►(1)(2014·天津理)如图,在四棱锥P-ABCD中,P A⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD＝DC＝AP＝2,AB＝1,点E为棱PC的中点.(I)证明：BE⊥DC；(II)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(III)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F-AB-P 的余弦值.►(2)(2017天津理)如图所示,在三棱锥P-ABC 中,P A ⊥底面ABC ,∠BAC ＝90°.点D ,E ,N 分别为棱P A ,PC ,BC 的中点,M 是线段AD 的中点,P A ＝AC ＝4,AB ＝2. (I)求证：MN ∥平面BDE ；(II)求二面角C-EM-N 的正弦值；(III)已知点H 在棱P A 上,且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721,求线段AH 的长.NM ED CBAP【变式训练】 1.(2014·课标Ⅱ理)如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,P A ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点. (1)证明：PB ∥平面AEC ； (2)设二面角D -AE -C 为60°,AP ＝1,AD ＝3,求三棱锥E -ACD 的体积.2.(2015·唐山调研)如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,AB ＝2AD ＝2,BD ＝3,PD ⊥底面ABCD . (1)证明：平面PBC ⊥平面PBD ；(2)若二面角P -BC -D 为π6,求AP 与平面PBC 所成角的正弦值.3.(2016·课标Ⅰ理)如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF ＝2FD ,∠AFD ＝90°,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60°.(1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； (2)求二面角E -BC -A 的余弦值.4.(2017全国1理)如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,AB ∥CD ,且∠BAP ＝∠CDP ＝90°. (1)求证：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ,∠APD ＝90°,求二面角A -PB -C 的余弦值.DC BAP5.(2017全国2理)如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,AB ＝BC ＝12AD ,∠BAD ＝∠ABC ＝90°, E 是PD 的中点. (1)求证：直线CE ∥平面P AB ； (2)点M 在棱PC 上,且直线BM 与底面ABCD 所成的锐角为45°,求二面角M -AB -D 的余弦值.EM DCBAP。

【知识梳理】一、空间向量的概念及相关运算1、空间向量基本定理r r rur rr r 如果三个向量 a, b, c 不共面，那么对空间任一向量 p xaybzcr r r a, b, c 称为基向量。

2、空间直角坐标系的建立分别以互相垂直的三个基向量i , j , k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴， y 轴和 z 轴。

则r r r ra xi y j zk （ x,y,z ）称为空间直角坐标。

注：假如没有三条互相垂直的向量，需要添加辅助线构造，在题目中找出互相垂直的两个面，通过做垂线等方法来建立即可。

3、空间向量运算的坐标表示rrrr (1)若 ax 1 , y 1, z 1 , b x 2 , y 2 , z 2 ，则： abx 1 x 2 , y 1 y 2 , z 1 z 2rr ra x 1 , y 1, z 1 ab x 1 x 2y 1 y 2 z 1 z 2r rr r1 x 2y 1y 2 z 1 z 2 0a b a bx 0r r r r x 1x 2 , y 1y 2 , z 1z 2a //b a b r r r 222aa ax 1 y 1 z 1 ．r r r rr r r r rraba b = a b cos a,b ． cos a ,br ra br rrrx 1 x 2y 1 y 2z 1z 2a bcos a,br r222222 a bx 1y 1z 1 x 2 y 2 z 2uuurr r(2)设 A x 1 , y 1, z 1 , Bx 2 , y 2 , z 2 则 ABOB OA x 2x 1 , y 2 y 1 , z 2z 1(3) x 1 , y 1, z 1 ，x 2 , y 2 , z 2 ，则 duuurx 2222x 1y 2 y 1z 2 z 1二、应用：平面的法向量的求法：1、建立恰当的直角坐标系2、设平面法向量 n=（ x ， y ， z ）3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1， a2, a3） b=（ b1，b2， b3） 4、根据法向量的定义建立方程组 ① n*a =0②n*b =05、解方程组，取其中一组解即可。

考点33：立体几何中的综合问题【考纲要求】1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 【命题规律】立体几何综合问题是高考的热点问题，选择、填空、解答题都有可能进行考查.预计2018年的高考对本知识的考查空间向量的应用，仍然是以简单几何体为载体．【典型高考试题变式】（一）构造函数在导数问题中的应用例1.【2015广东卷（理）】若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ） A.至多等于3 B.至多等于4 C.等于5 D.大于5【变式1】【改编例题条件】【2018届湖北省武汉市部分学校新高三起点调研】设点M 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −的棱AD 的中点，点P 在面11BCC B 所在的平面内，若平面1D PM分别与平面ABCD 和平面11BCC B 所成的锐二面角相等，则点P 到点1C 的最短距离是（ ）A. 255B. 22 C. 1 D. 63【变式2】【改编例题条件和问法】【2017届湖北武汉市蔡甸区汉阳一中高三第三次模拟】如图，直三棱柱111ABC A B C −中，12AA =， 1AB BC ==， 90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB上的一个动点.有下列判断： ① 直线AC 与直线1C E是异面直线；②1A E一定不垂直1AC ；③ 三棱锥1E AA O−的体积为定值； ④1AE EC +的最小值为22.其中正确的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4 （二）立体几何中的体积问题例2.【2014江西卷（理）】如图，四棱锥ABCD P −中，ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD . （1）求证：;PD AB ⊥（2）若,2,2,90===∠PC PB BPC问AB 为何值时，四棱锥ABCD P −的体积最大？并求此时平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值.【变式1】【改编例题的条件】【2018届湖北省部分重点中学高三上学期第一次联考】如图（1）所示，已知四边形SBCD 是由Rt SAB ∆和直角梯形ABCD 拼接而成的，其中90SAB SDC ∠=∠=︒.且点A 为线段SD 的中点， 21AD DC ==， 2AB =.现将SAB ∆沿AB 进行翻折，使得二面角S AB C −−的大小为90°，得到图形如图（2）所示，连接SC ，点,E F 分别在线段,SB SC 上.（Ⅰ）证明： BD AF ⊥；（Ⅱ）若三棱锥B AEC −的体积为四棱锥S ABCD −体积的25，求点E 到平面ABCD 的距离.【变式2】【改编例题的条件，依据函数零点个数证明不等式】【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】如图，多面体ABCDEF 中， //,AD BC AB AD ⊥, FA ⊥平面,//ABCD FA DE ，且222AB AD AF BC DE =====.（Ⅰ）M 为线段EF 中点，求证： //CM 平面ABF ； （Ⅱ）求多面体ABCDEF 的体积.【数学思想】 分类讨论思想1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．2.分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的. 【处理立体几何问题注意点】用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a ∥b ，只需证明向量a ＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外． 【典例试题演练】1．【2018届云南省昆明一中高三第二次月考】正三棱锥S ABC −中，若三条侧棱两两垂直，且3SA =，则正三棱锥S ABC −的高为（ ） A.2 B. 2 C.3 D. 32．【2017年浙江省源清中学9月高三上学期第一次月考】如图，矩形ADFE ，矩形CDFG ，正方形ABCD 两两垂直，且2AB =，若线段DE 上存在点P 使得GP BP ⊥，则边CG 长度的最小值为（ ）A. 4B. 43C.D. 233．【2017届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中任取一点M ，则满足90AMB ∠>︒的概率为（ ）A. 24πB. 12πC. 8πD. 6π4．【2017届湖南省长沙市雅礼中学高考模拟】如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D −的对角线1BD 上.过点P 作垂直于平面11BB D D的直线，与正方体表面相交于,M N .设,BP x MN y ==，则函数()y f x =的图象大致是（ ）A. B. C. D.5．【2017届浙江省杭州市高三4月教学质量检测】在等腰直角ABC ∆中， AB AC ⊥， 2BC =， M 为BC 中点， N 为AC 中点， D 为BC 边上一个动点， ABD ∆沿AD 翻折使BD DC ⊥，点A 在面BCD上的投影为点O ，当点D 在BC 上运动时，以下说法错误的是（ ）A. 线段NO 为定长B. )1,2CO ⎡∈⎣C. 180AMO ADB ∠+∠>︒D. 点O 的轨迹是圆弧 6．【2017届河北省唐山市高三年级第二次模拟】正方体1111ABCD A B C D −棱长为6， O 点在棱BC 上，且2BO OC =，过O 点的直线l 与直线1AA ，11C D 分别交于M ， N 两点，则MN =（ ）A. 313B. 95C. 14D. 217．【2018届河北省邢台市高三上学期第一次月考】在Rt ABC ∆中， AC BC ⊥， 3BC =， 5AB =，点D E 、分别在AC AB 、边上，且//DE BC ，沿着DE 将ADE ∆折起至'A DE ∆的位置，使得平面'A DE ∆⊥平面BCDE ，其中点'A 为点A 翻折后对应的点，则当四棱锥'A BCDE −的体积取得最大值时， AD 的长为__________.8．【2017届福建省泉州市高三3月质量检测】如图，一张4A 纸的长、宽分别为22,2a a ． ,,,A B C D 分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线掀折起，使得1234,,,P P P P 四点重合为一点P ，从而得到一个多面体．关于该多面体的下列命题，正确的是__________．（写出所有正确命题的序号） ①该多面体是三棱锥； ②平面BAD ⊥平面BCD ； ③平面BAC ⊥平面ACD ； ④该多面体外接球的表面积为25a π9．【2017届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第九次模拟】如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，棱长为1 ，点P 为线段1A C上的动点(包含线段端点)，则下列结论正确的______． ①当113AC A P =时， 1//D P 平面1BDC ；②当113AC A P =时，1AC ⊥平面1D AP；③1APD ∠的最大值为90；④1AP PD +的最小值为263.10．【2017届昭通市高三复习备考统一检测】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中， BD AC O ⋂=,M 是线段1D O 上的动点，过M 做平面1ACD 的垂线交平面1111A B C D 于点N ，则点N 到点A 的距离最小值是___________．11．【2017届江西师范大学附属中学高三3月月考】如右图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E 为棱1CC 的中点，点,P Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上的动点，则PEQ ∆周长的最小值为_______．12．【2018届江西省临川第二中学高三上学期第四次月考】如图，已知四棱锥，底面为菱形，，，平面，分别是的中点.（1）证明：平面；（2）若为的中点时，，求点到平面的距离.13．【2018届重庆市巴蜀中学高三9月高考适应月考】如图，梯形中，，矩形所在的平面与平面垂直，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若为线段上一点，直线与平面所成的角为，求的最大值.。