15.第十五讲：数列中的研究型、探索型、开放型问题
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第十五讲 数列中的研究型、探索型、开放型问题一、引言近几年的高考数学考试大纲在谈到对创新意识的考查要求中明确指出，对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查，并且要求精心设计……研究型、探索型、开放型试题，以此考查学生的数学素养和潜在能力．纵观历年的高考数学试卷，这类试题中以数列为背景的试题较多，主要有归纳猜想型、自主定义型、类比推理型、探索发现型、研究设计型等类型的问题．二、典型问题选讲1．归纳猜想型例1 根据下面的图形及相应的点数的规律，请写出点数构成的数列的一个通项公式．通项公式是 ;通项公式是 ．分析：观察图形中点的分布规律，再进行量化归纳．解：先看第一组图：每个图都有4个分支，我们设第n 个图中点的个数为n a ，易知 第一个图中每个分支各有1个点，故141a =⨯； 第二个图中每个分支各有2个点，故242a =⨯； 第三个图中每个分支各有3个点，故343a =⨯； ……第n 个图中每个分支各有n 个点，故4na n =⨯． 再看第二组图：第一个四边形中每边上有1个点，故1411a =⨯+； 第二个四边形中每边上有2个点，故2421a =⨯+； 第三个四边形中每边上有3个点，故3431a =⨯+； ……第n 个四边形中每边上有n 个点，故41n a n =+．归纳小结：本题着重考查文字语言、图形语言和符号语言相互之间的转译，考查归纳猜想的推理方式，有一定的新意．解决这类问题的基本思路是观察图形，分析特点，归纳猜想．例2(2008江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n (3)n ≥行从左向右的第3 个数为 ．分析：分析三角形数表的规律，不难发现，数表中每一个数都等于它在正整数数列中的项数．因此只需求出第n (3)n ≥行第3个数在正整数数列中是第几项即可．解：观察这个三角形数阵每行数的个数，易得，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，一般地，第1n -行有1n -个数．因此第n (3)n ≥行从左向右的第3个数是正整数集合中从小到大第[123(1)]3n ++++-+ 个数．而[123(1)]3n ++++-+ 262n n -+=， 第n (3)n ≥行从左向右的第3个数是262n n -+． 归纳小结：此题求解中常常因为看不出三角形数阵的规律，或不知道什么样的规律对解题有用，导致求解不知从何下手．本题具有一定的创新性．有意识地运用观察——试验——归纳——猜想的方法是求解这类数列问题的有效途径，必须熟练掌握．2．自主定义型例3(2004北京)定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列．这个常数叫做这个数列的公和．已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5，那么18a 的值为 ，这个数列的前n 项和n S 的计算公式为 ．分析：根据问题中给出的等和数列的定义，易知，满足1n n a a p ++=（p 为常数，*n N ∈）的数列是等和数列{}n a （本题中有15n n a a ++=）．于是，逐一迭代即可．解：（第一空）1817161655(5)a a a a =-=--=15141455(5)a a a =-=--=2153a a ===-= ．（第二空）n S 的结果与n 的奇偶性有关．当n 为偶数时，前n 项中共有2n 个奇数项，2n 个偶数项．注意到所有的奇数项都等于2，所有的偶数项都等于3，故523222n n n n S =⋅+⋅=． 当n 为奇数时，1n -为偶数，15(1)512222n n n n S S ---=+=+=． 所以5(),251().2n n n S n n ⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数为奇数 归纳小结：这里，“等和数列”是自主定义的一个全新概念．要使问题得到圆满解决，必须真正领会“等和数列”的含义．本题是用即刻学到的“等和数列”的定义这一知识，解决从未见过的求“等和数列”的指定项以及前n 项和的问题，体现了对自主学习能力的有力考查．例4 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12n n S S S T n+++=，称n T 为数列1a ，2a ，…，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，…，1005a 的“理想数”为2012，那么数列1-，1a ，2a ，…，1005a 的“理想数”是 ．分析：题目中所说的一个数列的“理想数”是这个数列前n 项和构成的新数列{}n S 中前n 个数的算术平均值．注意到所求“理想数”的生成数列比已知“理想数”的生成数列多了一项1-，因此，只要找出所求“理想数”与已知“理想数”的关系，问题即可获解．解：设12n n A S S S =+++ ，则12100510051005201210051005S S S A T +++=== ， 从而100520121005A =⨯． 所以，12100510061(1)(1)(1)1006S S S T -+-++-+++-+= 10051006100620121005121005200910061006A -+-+⨯===-+⨯=． 归纳小结：此题自主定义了一个数列的“理想数”，着重考查了对“理想数”的认识和理解．求解中由于读不懂“理想数”的定义，或缺乏未知和已知的沟通和联系，因此常常使得求解一筹莫展．这里，我们根据“理想数”的定义，利用整体思想，架设了未知和已知之间的桥梁，为快速求解问题奠定了基础．3．类比推理型例5（2009浙江）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4S ，84S S -，128S S -，1612S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ， ，____________，1612T T 成等比数列． 解：因为等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，则4S ，84S S -，128S S -，1612S S -成等差数列．等比数列{}n b ，前n 项积为n T ，4T ， ，_________，1612T T 成等比数列． 对照上下两行，等差数列−−−→类比等比数列，前n 项和n S −−−→类比前n 项积n T ． 具体地，已知4S −−−→类比4T ，1612S S -−−−→类比1612T T ，即差类比商，于是84S S -−−−→类比84T T ，128S S -−−−→类比128T T ． 因此，对于等比数列{}n b ，4T ，81248,T T T T ，1612T T 成等比数列，故填81248,T T T T ． 归纳小结：此题着意考查类比推理．它适合于两类对象具有某些类似特征，并且已知其中一类对象的某些特征，要求推出另一类对象与之相应特征的问题．类比推理是由特殊到特殊的推理．把握类比方式，总结类比规律，是解决这类问题的关键．4．探索发现型例6（2006广东）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4, 堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以()f n 表示第n 堆的乒乓球总数，则(3)________________________f =；()________________________f n =（答案用n 表示）．解：第一空：易得10631)3(=++=f ．下面考虑第二空．解法一：由题意知，(1)1f =，(2)(1)12f f -=+，(3)(2)123f f -=++，(4)(3)1234f f -=+++，…………=--)1()(n f n f 12n +++ ． 注意到2(1)1112222n n n n n ++++==+ ， 把这n 个式子迭加得 22211()(12)(12)22f n n n =+++++++ 1111(1)(21)(1)2622n n n n n =⋅+++⋅+6)2)(1(++=n n n ． 解法二：331)1(C f ==，由题意知，2323221)1()2(C f f =⨯=+=-， 24243321)2()3(C f f =⨯=++=-， 252544321)3()4(C f f =⨯=+++=-， …………=--)1()(n f n f 212)1(21+=+=+++n C n n n ． 把这n 个式子迭加得3221242333)(++=++++=n n C C C C C n f 6)2)(1(++=n n n ． 归纳小结：本题既是归纳猜想型试题，又是探索发现型试题．求解中容易将第n 堆的最底层（第一层）错认为第n 堆的乒乓球总数，进而误得(1)()2n n f n +=．此外，迭加时对数据的处理也非易事．这里，我们主要运用观察、归纳等合情推理方式，自行发现问题本身所蕴涵的规律，探索解决问题的思路．体现了对特殊与一般思想的考查要求．迭加法以及组合数的性质都是重要的双基，应当认真落实．例7（2007湖南）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0—1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．分析：对于第一空，先找出第3次全行的数都为1的行数，并结合第1、第2次全行的数都为1的行数，分析它们的特点，再归纳出第n 次全行的数都为1的行数．对于第二空，先找出与第61行最接近的全行的数都为1的行数，由此分析推测第61行中1的个数．解：从0—1数表的第5行知，杨辉三角中第5行各数奇偶情况必为“奇奇偶偶奇奇”，于是第6行必为奇偶相间，即“奇偶奇偶奇偶奇”，第7行必全是奇数，共8个奇数．故续写0—1数表易得，下面我们来探索数字都是1的行数规律．第1次全为1的是第1行：1121=-，第2次全为1的是第3行：2321=-，第3次全为1的是第7行：3721=-，……，一般地，第n 次全为1的是第21n -行．由于62163-=，故在上述三角数表中第63行全为1，因此在原杨辉三角中第63行全为奇数．因为第62行第1个数是1，并且第63行从第2个数起每一个数都是其上一行上左右两肩上的两数之和，故第62行的数必为奇偶相间，且呈“奇偶奇偶奇偶……奇偶奇”型．同理，第61行的数必呈“奇奇偶偶……奇奇偶偶奇奇”型．注意到第61行共有62个数，因此第61行中共有32个1，30个0．归纳小结：本题是探索发现型试题．求解本题没有现成的方法供直接套用，需要我们根据杨辉三角的性质以及题目中0—1数表的生成法则，自行发现问题本身所蕴涵的规律，探索解决问题的思路．显然，这类问题的求解，对思维的深度和广度都有着较高的要求．5．研究设计型例8 设{}n a 是集合{}220,t s s t s t +≤<∈Z ，且中所有的数从小到大排列成的数列,即,6,5,3321===a a a ,12,10,9654===a a a …．将数列{}n a 各项按照上小下大,左小右大的原则写成如下的三角形数表:(Ⅰ)写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；(Ⅱ)求100a ．分析：由题意知，三角形数表中每一个数都是数列{}n a 中的项，它们必是st 22+的形式．因此，只要把三角形数表中每一个数都表示为s t 22+的形式，便可以通过指数规律确定第四行、第五行各数．而要求100a 等于多少，关键在于判断100a 位于三角形数表中第几行第几个数．解：约定用二元有序数组),(s t 来表示数st 22+(其中0≤s t <,且s ，t ∈Z )，则题目中所给三角形数表可表示为：（1，0）（2，0）（2，1）（3，0）（3，1）（3，2）… … …（k ,0）（k ,1）（k ,2）（k ,3）…（k ,k -1）… … … … …（1）显然第4行各数对应的有序数组依次为（4，0）（4，1）（4，2）（4，3），第5行各数对应的二元有序数组依次为（5，0）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）， 因此第4行各数依次为17，18，20，24；第5行各数依次为33，34，36，40，48．（2）求100a 即求三角形数表中按从上到下，从左到右第100个数是几．注意到三角形数表中第k （k ∈*N ）行有且只有k 个数，又前13行共有1231391++++= 个数，故100a 是第14行第9个数，它对应的二元有序数组是（14，8），因此.1664022814100=+=a归纳小结：本题是以数表的形式呈现的．图表问题是高考的一个新热点，弄清集合中元素的表示特征以及数表中数的分布特点和规律，对于解决问题起到了至关重要的作用．而这些特征的分析和研究及规律的揭示和把握，都需要学生具有较强的探究能力和发现能力，体现了对学生思维的灵活性和深刻性的有力考查．例9 在数列{}n a 中，若12,a a 是正整数，且12n n n a a a --=-,n =3，4，5，…，则称{}n a 为“绝对差数列”． （1）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（2）若“绝对差数列”{}n a 中，203a =,210a =，数列{}n b 满足12n n n n b a a a ++=++， n =1，2，3，…，分别判断当n →∞时,n a 与n b 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值．分析：对于（1），只需取定12,a a 的一组值，代入定义式中给出的递推公式，依次算出3410,,,a a a ，并验证符合（1）的两项要求即可．对于（2），先研究数列{}n a 和{}n b 的构成规律，再判断极限是否存在．解：（1）取123,1a a ==，易得345672,1,1,0,1a a a a a =====，89101,0, 1.a a a === 显然符合要求（答案不唯一）．（2）因为在绝对差数列{}n a 中，203a =,210a =，所以自第20项开始，该数列是203a =,210a =,2223242526273,3,0,3,3,0,a a a a a a ====== ．容易看出，自第20项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3．所以当n →∞时，n a 的极限不存在．而当20n ≥时,126n n n n b a a a ++=++=，所以lim 6n n b →∞=． 归纳小结：本题自主定义了一个“绝对差数列”．第（1）问不难，但求解时常常因为没有弄清“绝对差数列”的定义而举错例子；求解第（2）问时，在获得自第20项开始，每相邻的三项周期地取3，0，3，3，0，3，…后，误以为n a 的极限存在，并且误得lim 3n n a →∞=，或lim 0n n a →∞=． 本题中，“绝对差数列”的定义，“n a 与n b 的极限是否存在”这种开放性的设问，具有鲜明的创新性，这种创新性常会给我们增加陌生感．事实上，本题中“绝对差数列”的定义不难理解，其基本特征是：从第3项起，每一项都等于它前两项差的绝对值．当一个数列存在几个子数列时，只有当每一个子数列的极限都存在并且相等时，这个数列的极限才存在．三、本专题总结在本专题学习中，我们通过对“归纳猜想型、自主定义型、类比推理型、探索发现型、研究设计型”等类型的数列问题的研究，介绍了数列中的研究型、探索型、开放型试题的求解策略．研究型、探索型、开放型试题是高考数学创新问题的主要类型．这类试题经常以数列为背景材料来命制，因此，在高三数学复习中，我们应当有意识地研究数列中的研究型、探索型、开放型试题的求解策略，不断发展自己的思维水平，逐步提高我们潜在能力．。
