按频率抽取基2-快速傅里叶逆变换算法_MATLAB代码

傅里叶变换（Fourier Transform）是信号处理中的重要数学工具，它可以将一个信号从时域转换到频域。

在数字信号处理领域中，傅里叶变换被广泛应用于频谱分析、滤波、频谱估计等方面。

MATLAB作为一个功能强大的数学软件，自带了丰富的信号处理工具箱，可以用于实现傅里叶变换。

在MATLAB中，自行编写FFT（Fast Fourier Transform）的过程需要以下几个步骤：1. 确定输入信号我们首先需要确定输入信号，可以是任意时间序列数据，例如声音信号、振动信号、光学信号等。

假设我们有一个长度为N的信号x，即x = [x[0], x[1], ..., x[N-1]]。

2. 生成频率向量在进行傅里叶变换之前，我们需要生成一个频率向量f，用于表示频域中的频率范围。

频率向量的长度为N，且频率范围为[0, Fs)，其中Fs 为输入信号的采样频率。

3. 实现FFT算法FFT算法是一种高效的离散傅里叶变换算法，它可以快速计算出输入信号的频域表示。

在MATLAB中，我们可以使用fft函数来实现FFT 算法，其调用方式为X = fft(x)。

其中X为输入信号x的频域表示。

4. 计算频谱通过FFT算法得到的频域表示X是一个复数数组，我们可以计算其幅度谱和相位谱。

幅度谱表示频率成分的强弱，可以通过abs(X)得到；相位谱表示不同频率成分之间的相位差，可以通过angle(X)得到。

5. 绘制结果我们可以将输入信号的时域波形和频域表示进行可视化。

在MATLAB 中，我们可以使用plot函数来绘制时域波形或频谱图。

通过以上几个步骤，我们就可以在MATLAB中自行编写FFT傅里叶变换的算法。

通过对信号的时域和频域表示进行分析，我们可以更好地理解信号的特性，从而在实际应用中进行更精确的信号处理和分析。

6. 频谱分析借助自行编写的FFT傅里叶变换算法，我们可以对信号进行频谱分析。

频谱分析是一种非常重要的信号处理技术，可以帮助我们了解信号中所包含的各种频率成分以及它们在信号中的能量分布情况。

离散时间信号的基2快速傅里叶变换FFT （时间抽取）蝶形算法实现一、一维连续信号的傅里叶变换连续函数f(x)满足Dirichlet （狄利克雷）条件下，存在积分变换：正变换：2()()()()j ux F u f x e dx R u jI u π+∞--∞==+⎰ 反变换：2()()j ux f x F u e du π+∞-∞=⎰其中()()cos(2)R u f t ut dt π+∞-∞=⎰，()()sin(2)I u f t ut dt π+∞-∞=-⎰定义幅值、相位和能量如下：幅度：1222()()()F u R u I u ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦ 相位：()arctan(()/())u I u R u ϕ= 能量：22()()(E u R u I u =+）二、一维离散信号的傅里叶变换将连续信号对自变量进行抽样得到离散信号（理想冲击抽样脉冲），利用连续信号的傅里叶变换公式得到离散时间傅里叶变换DTFT ；再利用周期性进行频域抽样，得离散傅里叶变换DFT （详情参考任何一本《数字信号处理》教材）。

DFT 变换如下：正变换：12/0()(),0,1,2,1N j ux Nx F u f x eu N π--===-∑。

反变换：12/01()(),0,1,2,1N j ux Nu f x F u ex N Nπ-===-∑。

DFT 是信号分析与处理中的一种重要变换，因为计算机等数字设备只能存储和处理离散数据（时域、频域）。

因直接计算DFT 的计算量大（与变换区间长度N 的平方成正比，当N 较大时，计算量太大），所以在快速傅里叶变换(简称FFT)出现以前，直接用DFT 算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。

直到1965年发现了DFT 的一种快速算法（快速傅里叶变换，即FFT ）以后，情况才发生了根本的变化。

FFT 有时间抽取和频率抽取两种，下面介绍时间抽取FFT 。

三、时间抽取的基2快速傅里叶变换FFT令2j NN W eπ-=，则2jkm km NNWeπ-=称为旋转因子，把DFT 正变换改写为：1[][],0,1,1N km N k F m f k W m N -===-∑将函数记作x ，变换后为X ，则为：10[][],0,1,1N kmN k X m x k W m N -===-∑时间抽取的FFT 算法利用了旋转因子的三个性质：周期性、对称性和可约性。

1 概述2 代码3 算例1 概述任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的余弦（或正弦）波信号的无限叠加。

FFT （Fast Fourier Transform ）是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。

对于包含 个均匀采样点的向量 ，其傅里叶变换定义为式中：，为虚数单位为什么做FFT ：（1）有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征（频率，幅值，初相位）；（2）FFT 可以将一个信号的频谱提取出来，进行频谱分析，为后续滤波准备；（3）通过对一个系统的输入信号和输出信号进行快速傅里叶变换后，两者进行对比，对系统可以有一个初步认识。

2 代码function [ExtractedSignal]=FFTransform(OriginalSignal,T,Frequency,varargin)% description:% [ExtractedSignal]=FFTransform(OriginalSignal,T,Frequency,Threshold)% 快速傅里叶变换提取信号% input:% OriginalSignal-----观测值序列% T------------------采样间隔% Frequency----------欲提取的信号频率，向量% varargin-----------可选参数Threshold ，频率阈值，默认为1e-6，% 原始信号频率与给定频率差值大于该阈值则予以剔除% output:% ExtractedSignal-----FFT 变换后提取的信号%%p =inputParser;addOptional(p,'Threshold',1e-6);parse(p,varargin{:});Threshold =p.Results.Threshold;12345678910111213141516171819203 算例假设一个随时间t 变化的信号。

matlab快速傅里叶变换代码
以下是 MATLAB 中的快速傅里叶变换 (FFT) 代码示例:
```matlab
% 定义被采样信号
x = 2*pi*100*[-1:0.01:1];
% 计算采样间隔
delta_t = 1/100;
% 计算信号长度
N = length(x);
% 进行 FFT
fft_x = fft(x);
% 将 FFT 结果逆变换回时域
x_naive = real(ifft(fft_x));
% 计算真实信号
x_true = 2*pi*100*[-0.01:0.01:1];
% 比较真实信号和计算信号的误差
error = max(max(x_true-x_naive)));
```
在此代码中，首先定义了被采样的信号 `x`,并计算了采样间隔`delta_t`。

然后，计算了信号长度 `N`,并使用 FFT 算法对信号进行分解。

最后，将 FFT 结果逆变换回时域，并计算真实信号和计算信号之间的误差。

请注意，该代码假定输入信号是严格的周期信号，其采样间隔为1 秒。

如果输入信号不是严格的周期性信号，或者采样间隔不是 1 秒，则可能需要使用不同的 FFT 算法来计算其快速傅里叶变换。

用Matlab实现快速傅立叶变换FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。

有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。

这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。

另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。

虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。

现在就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。

一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。

采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此啰嗦了。

采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。

N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。

为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。

假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。

那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。

每一个点就对应着一个频率点。

这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。

具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。

而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。

而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。

第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。

例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。

由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。

1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。

按时间抽取的基2FFT算法分析及MATLAB实现基2FFT算法是一种快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）的算法，在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用。

该算法通过将N个输入值分解成两个长度为N/2的DFT（离散傅里叶变换）来实现快速的计算。

本文将对基2FFT算法进行分析，并给出MATLAB实现。

基2FFT算法的主要思路是将输入序列分解成奇偶两个子序列，然后分别对这两个子序列进行计算。

具体步骤如下：1.将输入序列拆分成奇数位和偶数位两个子序列。

比如序列x[0],x[1],x[2],x[3]可以拆分成x[0],x[2]和x[1],x[3]两个子序列。

2. 对两个子序列分别进行DFT计算。

DFT的定义为：X[k] = Σ(x[n] * exp(-i * 2π * k * n / N))，其中k为频率的索引，N为序列长度。

3.对得到的两个DFT结果分别进行合并。

将奇数位子序列的DFT结果和偶数位子序列的DFT结果合并成一个长度为N的DFT结果。

4.重复以上步骤，直到计算结束。

基2FFT算法的时间复杂度为O(NlogN)，远远小于直接计算DFT的时间复杂度O(N^2)。

这是因为基2FFT算法将问题的规模逐步减半，从而实现了快速的计算。

下面是MATLAB中基2FFT算法的简单实现：```matlabfunction X = myFFT(x)N = length(x);if N == 1X=x;%递归结束条件return;endeven = myFFT(x(1:2:N)); % 偶数位子序列的FFT计算odd = myFFT(x(2:2:N)); % 奇数位子序列的FFT计算W = exp(-1i * 2 * pi / N * (0:N/2-1)); % 蝶形因子temp = W .* odd; % 奇数位子序列的DFT结果乘以蝶形因子X = [even + temp, even - temp]; % 合并得到一个长度为N的DFT结果end```上述代码中，函数myFFT为基2FFT算法的MATLAB实现。

fft matlab代码FFT即快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform），是求解信号频谱的一种有效方法。

本文将介绍如何使用MATLAB进行FFT，包括转换数据输入格式、计算FFT、绘制频谱图等步骤。

一、导入数据MATLAB中，可以通过load命令将文本文件（.txt）中的数据导入到工作区中。

在导入数据之前，应先浏览一下数据文件，确定数据格式。

在这个例子中，我们加载一个文本文件（data.txt），该文件包含1000个采样点，每个采样点用单精度浮点数（float）格式表示。

数据可以将它们存储在一个列向量中。

代码如下：```data = load('data.txt');```二、计算FFT在MATLAB中，可以使用fft函数计算FFT。

计算结果为一个复数向量，其中第一个元素为直流分量，后面的元素是频谱（正弦和余弦）的值。

为了方便分析，我们还可以对FFT进行中心化处理，用fftshift函数将直流分量移动到向量的中央。

三、计算频率轴FFT生成的频率轴是0到采样率（sampling rate）的一半。

例如，在本例中，采样率为1000Hz，因此FFT生成的频率轴将从0Hz到500Hz。

我们可以使用linspace函数生成一个与FFT向量Y相同长度的频率向量。

这个向量将从-500Hz到499Hz。

为了使频谱更加直观，我们可以将频率向量归一化为采样率的一半。

```N = length(data);fs = 1000;f = linspace(-fs/2,fs/2,N);```四、绘制频谱MATLAB中，可以使用plot函数绘制频谱图。

需要注意的是，FFT结果是一个复数向量，我们需要取其幅度值（即FFT结果的绝对值）。

相信通过本文的介绍，大家可以掌握使用MATLAB进行FFT的基本方法。

clc;clear all;close all;ticFs=128;%采样频率，频谱图的最大频率T=1/Fs;%采样时间，原始信号的时间间隔L=256;%原始信号的长度，即原始离散信号的点数t=(0:L-1)*T;%原始信号的时间取值范围x=7*cos(2*pi*15*t-pi)+3*cos(2*pi*40*t-90*pi/180)+3*cos(2*pi*30*t-90*pi/180);z=7*cos(2*pi*15*t-pi)+3*cos(2*pi*40*t-90*pi/180);z1=6*cos(2*pi*30*t-90*pi/180);z1(1:L/2)=0;z=z+z1;y=x;%+randn(size(t));figure;plot(t,y)title('含噪信号')xlabel('时间（s）')hold onplot(t,z,'r--')N=2^nextpow2(L);%N为使2^N>=L的最小幂Y=fft(y,N)/N*2;Z=fft(z,N)/N*2;%快速傅里叶变换之后每个点的幅值是直流信号以外的原始信号幅值的N/2倍（是直流信号的N倍）f=Fs/N*(0:N-1);%频谱图的频率取值范围A=abs(Y);%幅值A1=abs(Z);B=A; %让很小的数置零.B1=A1;A(A<10^-10)=0; %A1(A1<10^-10)=0;P=angle(Y).*A./B;P1=angle(Z).*A1./B1;P=unwrap(P,pi);%初相位值，以除去了振幅为零时的相位值P1=unwrap(P1,pi);figuresubplot(211)plot(f(1:N/2),A(1:N/2))%函数ffs返回值的数据结构具有对称性，因此只取前一半hold onplot(f(1:N/2),A1(1:N/2),'r--')title('幅值频谱')xlabel('频率（HZ）')grid onsubplot(212)stem(f(1:N/2),P(1:N/2))hold onstem(f(1:N/2),P1(1:N/2),'r')title('相位频谱')xlabel('频率（HZ）')ylabel('相位')toc（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

MATLAB实现快速傅里叶变换的原理和基本代码
作者：头铁的小甘
快速傅里叶变换原理
在分析和处理信号时，一般需要将信号时域转换到频域空间表示，这样可以清楚知道信号的频率成分分布，也便于对其进行信息提取，滤波、去噪等操作。

由于计算复杂和繁琐，一般采取计算机进行计算和处理，为了提高计算速率，快速傅里叶变换应运而生，大大减少计算机的乘法操作，因此大幅度减少计算时间。

快速傅里叶变化的主要原理采用蝶形运算进行表示，如下图所示
N=8需三级蝶形运算N=23=8，由此可知，N=2M共需M级蝶形运算，而且每级都由N/2个蝶形运算组成，每个蝶形运算需要一次复乘和两次复加。

这就是快速傅里叶变换算法的简单原理。

时域——频域对应
在进行快速傅里叶时，数据的时域和频域怎样对应起来是一个重要的方面。

基本原理如下
模拟数据进行采样成离散时间，便于计算机操作，采样满足奈奎斯特定理，所以采样间隔就是1/fs，fs是采样频率。

对于频域来说：总长应该是采样频率，步长应该为fs/n，n是数据样本的数据长度。

对应原理图如下所示
Matlab快速傅里叶变换基本代码
结果显示
按照三角函数的傅里叶变换，图中可以看到幅频特性应该是在f=100Hz是呈现狄拉克函数（冲激函数），数据点越多越满足结果。

第四章 快速傅里叶变换有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域也离散化成有限长序列.但其计算量太大,很难实时地处理问题,因此引出了快速傅里叶变换(FFT). 1965年，Cooley 和Tukey 提出了计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法，将DFT 的运算量减少了几个数量级。

从此，对快速傅里叶变换（FFT ）算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随FFT 的出现和发展而迅速发展。

根据对序列分解与选取方法的不同而产生了FFT 的多种算法，基本算法是基２DIT 和基２DIF 。

FFT 在离散傅里叶反变换、线性卷积和线性相关等方面也有重要应用。

快速傅里叶变换（FFT ）是计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法。

DFT 的定义式为)(k X =)()(10k R W n x N N n knN∑-= 在所有复指数值knN W 的值全部已算好的情况下，要计算一个)(k X 需要N 次复数乘法和N －1次复数加法。

算出全部N 点)(k X 共需2N 次复数乘法和)1(-N N 次复数加法。

即计算量是与2N 成正比的。

FFT 的基本思想：将大点数的DFT 分解为若干个小点数DFT 的组合，从而减少运算量。

N W 因子具有以下两个特性，可使DFT 运算量尽量分解为小点数的DFT运算：（1） 周期性：k N n N kn N nN k N W W W )()(++== （2） 对称性：k N N k NW W -=+)2/(利用这两个性质，可以使DFT 运算中有些项合并，以减少乘法次数。

例子：求当N ＝4时，X(2)的值)()]3()1([)]2()0([)()]3()1([)]2()0([)3()2()1()0()()2(04240464442404324对称性－＝周期性W x x x x W x x W x x W x W x W x W x W n x X n n +++++=+++==∑=通过合并，使乘法次数由4次减少到1次，运算量减少。

快速傅立叶变换（时域抽取基二fft ）1. 编程思想根据快速傅立叶变换的信号流图可知，可将整个过程中所有的数据组成一个二维数组data(N,M+1)，数组共有N 行，M+1列（傅立叶变换分为M=log2(N)级，再加上第一级倒序数组输入，则共有M+1列）。

除第一列单独赋值外，其余列则按照共同的规律来赋值。

这里则详细说明其的规律性。

（1）对于第k 列（k>1）：可分为2^(M+1-k)个计算单元，各计算单元间相互独立进行离散傅里叶变换。

（2）对于第k 列的第Mblock 个计算单元该单元总共含有2^(k-1)个数，数据的起始项是：data( (1+(Mblock-1)*2^(k-1)),k )，结束项是data( ( (Mblock)*2^(k-1)),k )（3）每个计算单元又可分为2^(k-2)个计算组，即蝶形单元对于每个组可以运用蝶形运算则第k 列的第Mblock 个计算单元的第grop 个计算组的两个元素的下表分别为： (Mblock-1)*2^(k-1)+grop 与(Mblock-1)*2^(k-1)+grop+2^(k-2)碟形单元所出现的系数为：121--grop k W然后根据蝶形运算便可进行程序的编写。

通过上述方法在MA TLAB 下编程，大概在35行左右，还包括倒序的程序在里面。

%DIT(时间抽取的基二FFT 算法程序)%程序输入为x(n)，输出为y(n),要求n 是2的整数次幂function y=b2fft(x)N=length(x);L=log2(N);rev_x=zeros(1,N);for m=0:N-1bit_str=dec2bin(m); %将i 变成2进制数，为倒序操作做准备 dec2bin()将十进制数变成二进制数，结果为一字符串if length(bit_str)<LZ=zeros(1,(L-length(bit_str))); %保证倒序操作的成功，要求二进制位数始终是 N Z_str=num2str(Z); %将数字变为字符串bit_str=[Z_str,bit_str];endit_str=fliplr(bit_str); %fliplr 其作用是将一个数组的行倒置，而列的顺序则不变，倒置的意思是倒序显示rev_x(m+1)=x(bin2dec(it_str)+1);enddata=zeros(N,L+1);%进行第一级赋值data(:,1)=rev_x;%进行第K级赋值for k=2:L+1 %多少级（第一级为倒序后的数组）for Mblock=1:2^(L+1-k) %每级多少个块for grop=1:2^(k-2) %每个块分成多少个组coeff=cos(2*pi*(grop-1)/(2^(k-1)))-sin(2*pi*(grop-1)/(2^(k-1)))*i;data((Mblock-1)*2^(k-1)+grop,k)=data((Mblock-1)*2^(k-1)+grop,k-1)+coeff*data((Mblock-1)*2^(k-1)+grop+2^( k-2),k-1);data((Mblock-1)*2^(k-1)+grop+2^(k-2),k)=data((Mblock-1)*2^(k-1)+grop,k-1)-coeff*data((Mblock-1)*2^(k-1)+g rop+2^(k-2),k-1);endendend%输出L+1级数据，为傅立叶变换后的数据y=data(:,L+1);。

傅里叶变换（Fourier Transform）是一种在信号处理中常用的数学工具，用于将信号从时域转换到频域，或者从频域转换到时域。

在MATLAB 中，可以使用fft函数进行快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform）。

以下是一个简单的示例：
matlab复制代码
% 创建一个简单的正弦波信号
Fs = 1000; % 采样频率
T = 1/Fs; % 采样周期
L = 1000; % 信号长度
t = (0:L-1)*T; % 时间向量
f = 50; % 频率
S = 0.7*sin(2*pi*f*t); % 产生信号
% 进行FFT变换
Y = fft(S);
% 将结果转换为频率域
P2 = abs(Y/L);
P1 = P2(1:L/2+1);
P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);
% 定义频率轴
f = Fs*(0:(L/2))/L;
% 绘制原始信号和FFT结果
figure;
subplot(2,1,1);
plot(t(1:50), S(1:50));
title('Input Signal');
subplot(2,1,2);
plot(f, P1);
title('Single-Sided Amplitude Spectrum of X(t)');
这个例子首先创建了一个简单的正弦波信号，然后对其进行了FFT变换。

然后，将FFT的结果转换为频率域，并绘制了原始信号和FFT的结果。

function y=MyFFT_FB(x,n)%MYFFT_TB:My Fast Fourier Transform Frequency Based%按频率抽取基2-fft算法%input:% x -- 输入的一维样本% n -- 变换长度，缺省时 n=length(x) 当n小于x数据长度时，x数据被截断到第n个数据% 当n大于时，x数据在尾部补0直到 x 含n个数据%output:% y -- 1*n的向量，快速傅里叶变换结果%variable define:% N -- 一维数据x的长度% xtem -- 临时储存x数据用% m,M -- 对N进行分解 N=2^m*M,M为不能被2整除的整数% two_m -- 2^m% adr -- 变址，1*N的向量% l -- 当前蝶形运算的级数% W -- 长为 N/2的向量，记录 W(0,N),W(1,N),...W(N/2-1,N)% d -- 蝶形运算两点间距离% t -- 第l级蝶形运算含有的奇偶数组的个数% mul -- 标量，乘数% ind1,ind2 -- 标量，下标% tem -- 标量，用于临时储存%参考文献：% 81c 输入参数个数检查msg=nargchk(1,2,nargin);error(msg);%% 输入数据截断或加0N=length(x);if nargin==2if N<n % 加0xtem=x;x=zeros(1,n);x(1:N)=xtem;N=n;else % 截断xtem=x;x=xtem(1:n);N=n;endend%% 对N进行分解 N=2^m*M[m,M]=factorize(N);two_m=N/M;%% 变换if m~=0%% 如果N可以被2整除adr=address(m,M,two_m);y=x; % 蝶形运算级数 l=m 时%% 计算W向量W=exp(-2*pi*i* ( 0:N/2-1 ) /N);%% 蝶形运算d=N/2;t=1;for l=1:m% 加for ii=0:t-1ind1=ii*2*d+1;ind2=ind1+d;for r=0:d-1tem=y(ind1)+y(ind2);y(ind2)=y(ind1)-y(ind2);y(ind1)=tem;ind1=ind1+1;ind2=ind2+1;endend% 乘for r=0:d-1mul=W(r*t+1);for ii=0:t-1y(ii*2*d+d+1+r) = y(ii*2*d+d+1+r)*mul;endendd=d/2;t=t*2;end%% 直接傅里叶变换if M~=1 % N 分解含有非2因数M时，对y中每M个数据做直接傅里叶变换 for ii=1:two_my((ii-1)*M+1 : ii*M ) = DDFT( y((ii-1)*M+1 : ii*M ) );end%% 变址输出y=y(adr+1);else%% 如果N 不能被2整除y=DDFT(x);endend%% 内嵌函数 ====================================================== function y=DDFT(x)%% 直接离散傅里叶变换%input:% x -- 样本数据，N维向量%output:% y -- N维向量%参考文献：% 结构动力学，克拉夫，P82% variable define% s -- sum，用于求和N=length(x);y=zeros(size(x));for n=1:Ns=0;for m=1:Ns=s+x(m)*exp( -i*2*pi*(m-1)*(n-1)/N );endy(n)=s;endendfunction [m,M]=factorize(N)%% 对N分解m=0;while trueif mod(N,2)==0m=m+1;N=N/2;elsebreak;endendendfunction adr=address(m,M,two_m)%% 变址% b -- 2^m * m 的矩阵，用来存储二进制数据% ds -- 数，公差adr=zeros(two_m,M);b=de2bi(0:two_m-1,m);%转换为2进制注：matlab中二进制[0 1 1]=6 b=b(:,end:-1:1);% 逆序adr(:,1)=bi2de(b);%2进制转换为10进制if M~=1ds=two_m;adr=adr(:,1)*ones(1,M);adr=adr+ds*ones(size(adr,1),1)*(0:M-1);adr=reshape(adr',1,[]);endend。

按时间抽取的基2FFT算法分析与MATLAB实现基2FFT算法（Fast Fourier Transform）是一种高效的离散傅里叶变换（DFT）算法，其时间复杂度为O(NlogN)，其中N为输入数据的大小。

该算法利用了DFT的对称性质以及分治的思想，通过将一个大规模的DFT问题分解为若干个规模较小的DFT问题来加快计算速度。

基2FFT算法的实现步骤如下：1.输入N个复数序列x(n)，其中n取值范围为0到N-12.如果N为1，直接返回x(n)。

3. 将x(n)分为两个子序列，分别为x_odd(n)和x_even(n)，其中x_odd(n)包含所有奇数索引的元素，x_even(n)包含所有偶数索引的元素。

4. 对x_odd(n)和x_even(n)分别进行基2FFT变换，递归地计算它们的DFT结果。

5. 根据DFT的对称性，计算出x(k)的前半部分和后半部分的值，其中k为频率索引，取值范围为0到N/2-1、具体计算方法是将x_odd(k)和x_even(k)与旋转因子W_N^k相乘，可通过以下公式计算：x(k) = x_even(k) + W_N^k * x_odd(k)x(k+N/2) = x_even(k) - W_N^k * x_odd(k)其中W_N^k = e^(-j*2*pi*k/N)为旋转因子。

6.返回x(k)作为输出结果。

基2FFT算法的MATLAB实现如下：```matlabfunction X = myfft(x)N = length(x);if N == 1X=x;%如果序列长度为1，直接返回原始序列returnendx_even = myfft(x(1:2:end)); % 奇数索引的元素序列x_odd = myfft(x(2:2:end)); % 偶数索引的元素序列W_N = exp(-2i * pi / N); % 计算旋转因子X = zeros(1, N); % 保存DFT结果for k = 0:N/2-1X(k+1) = x_even(k+1) + W_N^k * x_odd(k+1);X(k+1+N/2) = x_even(k+1) - W_N^k * x_odd(k+1); endend```该实现使用了递归的方式计算DFT，首先对输入序列进行分解，然后递归地计算子序列的DFT结果，并根据对称性将结果合并到一起。