ch13-拉氏转换介绍

TIME SHIFTING PROPERTY
LEARNING EXAMPLE
f (t )u(t ) F ( s ) f (t t0 )u(t t0 ) e st 0 F ( s )
1 1 t 3 f (t ) 0 elsewhere
f (t )
1
u(t 1)
兩個奇異函數 單位步階 (在系統分析之重要測試函數)
除原點外,此函數在其他地方之導數均為零 我們將定義其導數
針對正的時間函數 f (t ) f (t )u (t )
使用方形脈衝來近似任意函數 較窄之脈衝可得較佳之近似
使用單位步階來建立函數
計算單位步階之轉換
收斂範圍(RoC)之範例
sx
U ( s) 0 1 e
2
時間乘法:
例:
令 u(t ) 為單位步階
積分底下之微分
求解斜率函數之轉換 r (t ) tu (t ) 1 u( t ) U ( s ) s d 1 tu(t ) 1 dt s s 2
t 2u(t )
d1 2 ds s 2 1)e t u (t 1)
g (t )
如果時間變數出現在步階之引數,我們可以運用時移性質 如 t-1之情形
應用時間截斷性質
f (t ) g(t )u(t 1) F ( s) e s L[ g(t 1)]
f (t ) (t 1 1)e ( t 1) u(t 1) e ( t 1) u(t 1) f (t ) (t 1)e ( t 1) u(t 1) e ( t 1) u(t 1)
求解拉氏轉換 x(t ) cos(3t / 3)
3 and 3u (t ) 是等效的
x(t ) cos / 3 cos 3t sin / 3sin 3t
X ( s) cos / 3
s 3 sin / 3 s2 9 s2 9
指數乘法
例:
L[e f ( t )] e f ( t )e dt f ( t )e

dx limT e sx dx
0
T
1 U ( s) limT e sx s 0
1 e sT U ( s ) limT s s
T
Im( s)
( s j )
Re{s} 0
1 e T e jT U ( s) limT s j
1
3
t
u(t 3)
f (t ) u(t 1) u(t 3)
1 1 1 F ( s ) e s e 3 s e s e 3 s s s s


學習評量E13.4
求解轉換 f (t ) te
( t 1)
亦可寫為
u (t 1) e
( t 1)
如果 Q( s) Q1 ( s)Q2 ( s) 為分母之 COPRIME 因式分解 deg(Qi ) ni ( ni n), 則 F (s) K 0 P P ( s) 1 (s) 2 ; deg( Pi ) ni Q1 ( s) Q2 ( s)
mn

C1 ( s ) C2 ... 2 2 2 2 (s ) (s )
e ( t 1) u(t 1) (t 1)e ( t 1) u(t 1)
g (t 1) ete ( t 1) te t 1 L[ g (t 1)] ( s 1) 2
此兩性質,殊途同歸
tu(t )
1 s2 1 ( s 1) 2
( t 1)
f (t ) t (u(t 1) u(t 4))
1
f (t )
u(t 1) u(t 4)
f (t ) (t 1 1)u(t 1) (t 4 4)u(t 4)
f (t ) (t 1)u(t 1) u(t 1) (t 4)u(t 4) u(t 4)
連續運用此特性, 可得 n! t n (u (t )) n 1 s
此結果配合線性,可計算得到任何多項式之轉換
記住, 我們考慮此函數 t 0時, 為零. 因此, x(t ) x(t )u (t )
做中學
x (t ) 1 2t 6t 3
1 1 3! X ( s) 2 2 3 4 s s s
sin 2tu(t )
f (t ) e 2( t 33) u(t 3) e 6e 2( t 3) u(t 3)
e
2 t
2 s2 4 2 s2 4
sin(2(t 2)) u(t 2) e 2 s cos 2tu(t ) s s2 4
1 1 u(t ) e 2( t 3) u(t 3) e 3 s s2 s2 3 s 6 e F ( s) e s2
第13章 拉式轉換介紹
學習目標
定義此轉換為時間函數對映到複變函數 兩個重要之奇異函數單位步階與單位脈衝 轉換對一般使用轉換之基本表 轉換的性質定理描述性質. 它們當中許多用來當作計算工具 執行反轉換經由限定專注有理函數,可以簡化相反程序
捲積在系統分析的基本結果
初值與終值定理有關時間與s域行為之有用結果

0
1 e st dt s 0

1 1 2 e st 2 s s 0

部份積分 u t , dv e st dt
1 du dt , v e st s
我們將發展特性使其能夠從轉換對表中求解大量之轉換
線性
時間偏移

時間截斷
我們發展擴充表之特性,並且允許無須使用定義就能 加以計算
使用類似線性概念,可證明
例:
L[sin t ] 2 s 2
另外對應
x( t ) 3 ( t ) 3e
線性應用
4 t
1 1 X ( s) 3 1 4 s s4
注意,單位步階並沒有明白表示. 因為
例:
1
4
F ( s) e s
1 s 1 4 s 1 4 s 1 e e e s s s2 s2
使用定義 F ( s) te st dt
1 4
執行反轉換 事實: 我們所解之拉氏轉換大部份都是 適當有理函數形式
單一, 複數共軛之極點
Zeros = 分子的根 Poles =分母的根 已知: 部份分式展開
L[cos(b(t 1))] cos b
s b sin b s 2 b2 s 2 b2
s b X ( s) e s cos b 2 sin b s b2 s 2 b2
例:
計算拉氏轉換
t 1 t 4 f (t ) 0 elsewhere
高度與面積成正比
單位脈衝表示式 單位脈衝之偏移或 取樣特性
針對t0 t2 或 t0 t1 此積分沒有定義
e
拉氏轉換
st 0
為使 (t )能有效轉換, 下限假設為 t 0
做中學
0 t0 2
cos
t0 10 2
0
範例13.3
1 t e st s
cos( 2(t 2)) u(t 2) e 2 s
使用時間截斷
f (t ) g(t )u(t 3) F ( s) e 3s L[ g(t 3)]
s s2 4 2 s X ( s) e 2 s cos 2 sin 2 s 4 s 4
1 1 sa 0 sa

拉氏轉換之基本表
1 1 L [ e j t ] L [ e j t ] 2 2 a j a j
F ( s) 1 1 1 1 2 s j 2 s j 1 ( s j ) ( s j ) 2 ( s j )( s j ) s 2 s 2
單向(ONE-SIDED)拉氏轉換
s j
s 此積分定義的很完善 s RoC 收斂範圍
須考量 t 0 為下限
為確保轉換之唯一性, 假設 f (t ) 0 for t 0
拉氏轉換存在之充份條件
當 Re{s} 0, 轉換存在
反轉換
於複數平面之 封閉曲線積分 評估此積分相當耗時, 因此,我們僅針對某些有用的函數集來發展教佳之程序
r次方之極點
如果 m<n 且為單一極點 每個部分分式反轉換是立即的. 僅須計算各種不同之常數
單一極點
g(t ) e 2t g(t 3) e 2( t 3) e 6e 2t 1 L[ g (t 3)] e 6 s2
X ( s) e 2 s L[ g(t 2)]
學習評量E13.5
( s 4)2 s 5 A) f (t ) e 4t (t e t ) te 4 t e 5t 1 1
1 U ( s) ; s Re{s} 0 s
為簡化 RoC 的問題: 特定之函數集
Re( s)
RoC
RoC s : Re{s}
複數平面
在此情況, RoC 至少為半平面. 此訊號任一之線性組合亦將具有半平面之RoC
單位脈衝函數
(衝擊,雷擊與其他著名現象很好之模型) 此兩條件對於 “正常函數”,無法實現 進似脈衝
計算下列函數之拉氏轉換
te 4 x B) g (t ) 2 a 4
e 4 x G ( s) 2 L[ t ] a 4
e 4 x G ( s) 2 2 s ( a 4)
C) x (t ) cos(bt )u(t 1) X ( s) e s L[cos(b(t 1))] cos(b(t 1)) cos b cos bt sin b sin bt