高考数学必背公式与知识点过关检测姓名 班级第一部分：集合与常用逻辑用语1．子集个数：含n 个元素的集合有 个子集，有 个真子集，有 个非空子集，有 个非空真子集2．常见数集：自然数集： 正整数集： 或 整数集： 有理数集： 实数集：3．空集：φ是任何集合的 ，是任何非空集合的 .4．元素特点： 、 、 确定性5．集合的的运算： 集运算、 集运算、 集运算6．四种命题：原命题：若p ，则q ；逆命题：若 ，则 ；否命题：若 ，则 ；逆否命题：若 ，则 ； 原命题与逆命题，否命题与逆否命题互 ；原命题与否命题、逆命题与逆否命题互 ；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为 。
互为逆否的命题7．充要条件的判断：p q ⇒，p 是q 的 条件；p q ⇒，q 是p 的 条件；p q ⇔，,p q 互为 条件；若命题p 对应集合A ，命题q 对应集合B ，则p q ⇒等价于 ，p q ⇔等价于 注意区分：“甲是乙的充分条件（甲⇒乙）”与“甲的充分条件是乙（乙⇒甲）”； 8．逻辑联结词：或命题：p q ∨，,p q 有一为真即为 ，,p q 均为假时才为 ；且命题：p q ∧，,p q 均为真时才为 ，,p q 有一为假即为 ；非命题：p ⌝和p 为一真一假两个互为对立的命题 9.全称量词与存在量词：⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用∀表示；全称命题p ：)(,x p M x ∈∀；全称命题p 的否定⌝p ： ； ⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用∃表示；特称命题p ：)(,x p M x ∈∃；特称命题p 的否定⌝p ： ；第二部分：函数与导数及其应用1．函数的定义域：分母 0；偶次被开方数 0；0次幂的底数 0 ；对数函数的真数 0；指数与对数函数的底数 0且 1 2．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论； 分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的 、值域是各段值域的3．函数的单调性：设1x ，2[,]x a b ∈（1⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是 函数；（2）[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是 函数；（3）如果0)(>'x f ，则)(x f 为 函数；0)(<'x f ，则)(x f 为 函数； （4）复合函数的单调性：根据“同 异 ”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4．函数的奇偶性: ⑴函数的定义域关于 对称是函数具有奇偶性的前提条件．．．． ⑵)(x f 是 函数)()(x f x f -=-⇔；)(x f 是 函数)()(x f x f =-⇔. ⑶奇函数)(x f 在0处有定义，则⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有 的单调性，偶函数有 的单调性⑸偶函数图象关于 轴对称、奇函数图象关于坐标 对称 5．函数的周期性：周期有关的结论：(约定a ＞0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T= ； （2）)()(x f a x f -=+，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠, 则)(x f 的周期T=（3）)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ⇒)(x f 的周期为 6．函数的对称性：①()y f x =的图象关于直线 对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=； ②()y f x =的图象关于直线 对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-=；7．对数运算规律：（1）对数式与指数式的互化：（2）对数恒等式：log 1a = ，log a a = ，log ba a = ．lg 2+lg5= ，=lne（3）对数的运算性质：①加法：log log a a M N += ②减法： log aM N= ③数乘： log ()na M n R =∈ ④恒等式：log a N a =⑤log m n a b = ⑥换底公式：log log log m a m N N a=8．二次函数：二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象的对称轴方程是 ，顶点坐标是 判别式ac b 42-=∆；0>∆时，图像与x 轴有 个交点；0=∆时，图像与x 轴有 个交点；0<∆时，图像与x 轴没有交点；9. 韦达定理：若x 1, x 2是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，则：x 1+x 2= ，x 1x 2= .10．零点定理：若y=f(x)在[a ,b ]上满足 , 则y=f(x)在（a ,b )内至少有一个零点11．常见函数的导数公式：①'()C = ；②'(n x =） ；'(nx =） ③'(sin x =） ； ④'(cos x =） ； ⑤'(x e =） ； ⑥ '(x a =） ； ⑦'(ln x =） ； ⑧'=(logx ） . 12．导数运算法则：()()f x g x '⋅=⎡⎤⎣⎦（1） ；()()2f x g x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（） ．13．曲线的切线方程：函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率为)(0x f '，相应的切线方程是 . 14．微积分基本定理：如果()f x 是[],a b 上的连续函数，并且有()()F x f x '=，则第三部分：三角函数、三角恒等变换与解三角形1．角度制与弧度制互化：360°= rad ，180°= rad ，1°= ≈ rad ，1rad= ≈ 2．若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l = ，C = ，S= = ．3.三角函数定义式：角α终边上任一点（非原点）P ),(y x ,设r OP =|| 则sin α= ，cos α= ，tan α=4．同角三角函数的基本关系：()1平方关系：()2tan =α商数关系： ． 5.函数的诱导公式：口诀： .()()1sin 2sin k παα+=， ， ．（k ∈Z ）（2） ， ，()tan tan παα+=． (3) ， ，()tan tan αα-=-． (4) ， ,()tan tan παα-=-．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭， ．(6) ，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．8．几个常见三角函数的周期： ①x y sin =与x y cos =的周期为 .②)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期为 . ③2tan x y =的周期为 .④x y cos =的周期为9. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式：()1cos αβ-=（） ； ()2cos αβ+=（） ； ()3sin αβ-=（） ； ()4sin αβ+=（） ； ()5tan αβ-=（） ; ()6tan αβ+=（） .10. 二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin 2α=cos2α= = =2cos α⇒=降次公式： ，2sin α= , sin cos αα=tan 2α=11．引入辅助角公式： sin cos a b αα+= . (其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,tan b aϕ= ).12. 正弦定理： . （R 是ABC ∆外接圆直径） 注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③C B A cb a Cc B b A a sin sin sin sin sin sin ++++=== 13. 余弦定理： ⇔ .（变式）（以A 角和其对边来表示）14. 三角形面积公式：ABC S ∆= = = ． （用边与角的正弦值来表示） 三角形面积导出公式：ABC S ∆= （r 为ABC ∆内切圆半径）= （R 外接圆半径）15. 三角形内切圆半径r = 外接圆直径2R = = =第四部分：平面向量、数列与不等式1． 平面向量的基本运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y =；（0b ≠）= ；a b -= ；a b ⋅= （定义公式）= (坐标公式)．a 在b 方向上的投影为. = (坐标公式) a b ⊥⇔ （一般表示） ⇔ （坐标表示） ．a ∥b ⇔ （一般表示）⇔ （坐标表示）．cos θ=夹角公式： = (坐标公式).2.若G 为ABC ∆的重心，则 =0；且G 点坐标为 ( ， )3.三点共线的充要条件：P ，A ，B 三点共线⇔ →OP =x →OA +y →OB 且 =14.三角形的四心重心：三角形三条 交点.外心：三角形三边 相交于一点. 内心：三角形三 相交于一点.垂心：三角形三边上 的相交于一点.5. 数列{n a }中n a 与n S 的关系n a =2．n S =2．n S =性质1．,,a b c ⇒成等差数列称b 为a 与c 的等差中项 2．若m n p q +=+, 则1．,,a b c ⇒成等比数列 称b 为a 与c 的等比中项 2．若m n p q +=+, 则7.常见数列的和：①1+2+3+……+n=②12+22+32+……+n 2=③13+23+33+……+n 3=8.一元二次不等式解的讨论.0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax的解集)0(02>>++a c bx ax的解集)0(02><++a c bx ax9. 均值不等式： 若0a >，0b >，则 ⇔ ； 10. 重要不等式： 11．极值定理：已知y x ,都是正数，则有：(1)如果积xy 是定值p ，那么当y x =时和y x +有最小值 ； (2)如果和y x +是定值s ，那么当y x =时积xy 有最大值 .12.两个著名不等式：（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么（当仅当a =b 时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数） 特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b ab ++==）),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++ （2）柯西不等式： .（当且仅当ad=bc 时取等号）第五部分：立体几何与解析几何1. 三视图与直观图：原图形与直观图面积之比为 2. 常见几何体表面积公式：圆柱的表面积 S= 圆锥的表面积S=圆台的表面积 S= 球的表面积 S= 3．常见几何体体积公式：柱体的体积 V= 锥体的体积 V=台体的体积 V= 球体的体积 V= 4. 常见空间几何体的有关结论：⑴棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面 ，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 ；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 ． ⑵长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a ，b ，c ，则体对角线长为 ，全面积为 ，体积V= ⑶正方体的棱长为a ，则体对角线长为 ,全面积为 ，体积V= ⑷球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径＝长方体的 长.球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径=正方体的 , 正方体的棱切球的直径=正方体的 长, 正方体的外接球的直径=正方体的体 长. ⑸正四面体的性质：设棱长为a ，则正四面体的：① 高： ；②对棱间距离： ；③内切球半径： ；④外接球半径： 5. 空间向量中的夹角和距离公式：（1）空间中两点A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z 的距离d = （2）异面直线夹角：(0,]2πθ∈cosθ= （两直线方向向量为,a b ）（3）线面角：[0,]2πθ∈，且sin θ= （l ，n 为直线的方向向量与平面的法向量）（4）二面角：[0,]θπ∈，且cos θ= （两平面的法向量分别为1n 和2n ）（5）点到面的距离：平面α的法向量为n ，平面α内任一点为N ，点M 到平面α的距离d =6．直线的斜率：k = =（θ为直线的倾斜角，11(,)A x y 、22(,)B x y 为直线上的两点） 7. 直线方程的五种形式：直线的点斜式方程： (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． 直线的斜截式方程： (b 为直线l 在y 轴上的截距).直线的两点式方程： (111(,)P x y 、222(,)P x y 12x x ≠，12y y ≠).直线的截距式方程： (a 、b 分别为直线在x 轴、y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ).直线的一般式方程： (其中A 、B 不同时为0). 8．两条直线的位置关系：（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,则：① 1l ∥2l ⇔ 且 ； .（2）若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,则：①1l ∥2l ⇔ 且 ；②. 12l l ⊥⇔ . 9．距离公式：（1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离： （2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：（3）平行线间的距离：10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离：10.圆的方程：（1）圆的标准方程：（2）圆的一般方程： （)0422>-+F E D 11．直线与圆的位置关系：判断圆心到直线的距离d 与半径R 的大小关系 （1）当 时，直线和圆 （有两个交点）；（2）当 时，直线和圆 （有且仅有一个交点）； （3）当 时，直线和圆 （无交点）；12. 圆与圆的位置关系：判断圆心距d 与两圆半径和12R R +，半径差12R R -（12R R >）的大小关系：（1）当 时，两圆 ，有4条公切线； （2）当 时，两圆 ，有3条公切线； （3）当 时，两圆 ，有2条公切线； （4）当 时，两圆 ，有1条公切线； （5）当 时，两圆 ，没有公切线；13. 直线与圆相交所得弦长|AB|= （d 为直线的距离r 为半径） 14．椭圆的定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离和等于常数 的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距.（222c b a +=）（2）标准方程：焦点在x 轴上： ；焦点在y 轴上： .15．双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之差的绝对值等于常数： 的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.（222a b c +=）（2）标准方程：焦点在x 轴上： ；焦点在y 轴上： . 16．抛物线的定义：（1）平面内与一个定点F 和一条定直线l （点F 不在l 上）的距离的 的点的轨迹叫做双曲线.这个定点是抛物线的焦点，定直线是抛物线的准线.（2）标准方程：焦点在x 轴上： ；焦点在y 轴上： .17．离心率：e = （椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率 ）18．双曲线的渐近线：22221x y a b -=（0a >，0b >）的渐近线方程为 ，且与22221x y a b -=具有相同渐近线的双曲线方程可设为2222x y a bλ-=. 19．过抛物线焦点的直线：倾斜角为θ的直线过抛物线22y px =的焦点F 且与抛物线交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点（10y >）：|AF|= |BF|= |AB|= = x 1x 2= y 1y 2=1|AF| +1|BF|= 20．焦点三角形的面积：（1）椭圆：S= ；（2）双曲线：S= （12F PF θ∠=） 21．几何距离：（1）椭圆双曲线特有距离：①长轴（实轴）： ； ②短轴（虚轴）： ； ③两焦点间距离： .（2）焦准距：①椭圆、双曲线： ； ②抛物线： . （3）通径长：①椭圆、双曲线： ； ②抛物线： . 22．直线被曲线所截得的弦长公式：若弦端点为A ),(),,(2211y x B y x ,则|AB|= = = 23. 中点弦问题： 椭圆：k AB k OP = 双曲线：k AB k OP =第六部分：统计与概率1. 总体特征数的估计：⑴样本平均数⎺x= = ；⑵样本方差；S 2= = ； ⑶样本标准差S= 2．概率公式：⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=⑵古典概型：基本事件的总数数为N ，随机事件A 包含的基本事件个数为M ，则事件A 发生的概率为：P(A)= ⑶几何概型：等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的积等）的区域长度（面积或体构成事件A A P =)(3．离散型随机变量：⑴随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：p i ≥ , i=1,2,3，…； p 1+p 2+…=均值（又称期望）：EX ＝方差：DX ＝ 注：DX a b aX D b aEX b aX E 2)(;)(=++=+；③二项分布（独立重复试验）：若X ～B （n , p ）,则EX ＝ , DX ＝注：k n k k n p p C k X P --==)1()(⑵条件概率： P （B|A ）=注：0≤P （B|A ）≤1⑶独立事件同时发生的概率：P （AB ）=第七部分：复数与计数原理1. 复数的基本概念：z a bi =+（a ，b R ∈）（1）实部： ；虚部： ； 虚数单位：i 2=（2）模：|z |= =（3）共轭复数：-z= （4）在复平面内对应的点为 （5）复数相等：a+bi=c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）⇔2. 复数的基本运算： （1）加减法：（a+bi ）＋（c+di ）= （a+bi ）－（c+di ）= （2）乘法：（a+bi ）×（c+di ）=（3）除法：（a+bi ）÷（c+di ）= 注：对虚数单位i ,有1 , ,1,4342414=-=-==+++n n n n i i i i i i.3．分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）：.（1）完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，…，在第n 类方案中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有 N= 种不同的方法．（2）完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有N= 种不同的方法. 4．排列数公式：= = ；=(m≤ n, m 、n ∈N*) 规定0!1=5．组合数公式： = （n ，m N *∈，且m n ≤）；6. 组合数性质： ；7．二项式定理：（a+b ）n = （rn C 叫做二项式系数）8．二项展开式的通项公式：T r+1= （r=0,1,2……，n ）第八部分：坐标系与参数方程1. 极坐标→直角坐标cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩直角坐标→极坐标tan (0)y x x ρθ⎧=⎪⎨=≠⎪⎩2. 圆的极坐标方程：①以极点为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 ； ②以(,0)a )0(>a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 ； ③以(,)2a π)0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 ；④以(),(0)a a π>为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 ; ⑤以3,(0)2a a π⎛⎫> ⎪⎝⎭为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 3. 常见曲线的参数方程：。
