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1.2 类比推理1．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．类比推理是两类事物特征之间的推理．2．合情推理合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式． 合情推理的结果不一定正确．思考：合情推理的结果为什么不一定正确？[提示] 合情推理是由特殊到一般的推理，简单地说就是直接看出来的，没有通过证明，只归纳了一部分，属于不完全归纳，所以不一定正确．1．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”C [由实数运算的知识易得C 项正确．]2．下列推理是合情推理的是( )(1)由圆的性质类比出球的有关性质；(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；(3)a ≥b ，b ≥c ，则a ≥c ；(4)三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n －2)×180°.A ．(1)(2)B ．(1)(3)(4)C ．(1)(2)(4)D ．(2)(4)C [(1)为类比推理，(2)(4)为归纳推理，(3)不是合情推理，故选C.]3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________．(填序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等． ①②③ [正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．]n n n 有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100.类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．试写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明．思路探究：结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质．[解]数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下：∵等差数列{a n}的公差d＝3，∴(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.1．本例是由等比类比等差，你能由等差类比出等比结论吗？完成下题：1．在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点．2．类比推理的思维过程观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处．1．在等差数列{a n }中，如果m ，n ，p ，r ∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有a m ＋a n ＋a p ＝3a r ，类比该结论，写出在等比数列{b n }中类似的结论，并用数列知识加以证明．[解] 类似结论如下：在等比数列{b n }中，如果m ，n ，p ，r ∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有b m b n b p ＝b 3r .证明如下：设等比数列{b n }的公比为q ，则b m ＝b 1q m －1，b n ＝b 1q n －1，b p ＝b 1q p －1，b r ＝b 1q r －1，于是b m b n b p ＝b 1q m －1·b 1q n －1·b 1q p －1＝b 31q m ＋n ＋p －3＝b 31q 3r －3＝(b 1q r －1)3＝b 3r ，故结论成立．a b c P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c ，可以得到结论p a h a＋p b h b ＋p c h c＝1．证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．思路探究：三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．[解]p ah a＝12BC·p a12BC·h a＝S△PBCS△ABC，同理，p bh b＝S△P ACS△ABC，p ch c＝S△P ABS△ABC.∵S△PBC＋S△P AC＋S△P AB＝S△ABC，∴p ah a＋p bh b＋p ch c＝S△PBC＋S△P AC＋S△P ABS△ABC＝1．类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a，h b，h c，h d分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为p a，p b，p c，p d，可以得到结论p ah a＋p bh b＋p ch c＋p dh d＝1．证明：p ah a＝13S△BCD·p a13S△BCD·h a＝V P-BCDV A-BCD，同理，p bh b＝V P-ACDV A-BCD，p ch c＝V P-ABDV A-BCD，p dh d＝V P-ABCV A-BCD.∵V P-BCD＋V P-ACD＋V P-ABD＋V P-ABC＝V A-BCD，∴p ah a＋p bh b＋p ch c＋p dh d＝V P-BCD＋V P-ACD＋V P-ABD＋V P-ABCV A-BCD＝1．1．在本例中，若△1．平面图形与空间图形类比2．(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．你认为该过程为归纳推理还是类比推理？[提示]类比推理．2．已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n的和．因为(n＋1)2－n2＝2n＋1，n2－(n－1)2＝2(n－1)＋1，……22－12＝2×1＋1，有(n＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n，所以1＋2＋3＋…＋n＝n2＋2n－n2＝n(n＋1)2.类比以上过程试求12＋22＋32＋…＋n2的和．[提示]因为(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，n3－(n－1)3＝3(n－1)2＋3(n－1)＋1，……23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，所以12＋22＋…＋n2＝13⎝⎛⎭⎪⎫n3＋3n2＋3n－3n2＋5n2＝2n3＋3n2＋n6＝n(n＋1)(2n＋1)6.【例3】已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率k PM，k PN都存在时，那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值，试写出双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)具有类似特征的性质，并加以证明．思路探究：双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论→双曲线中的相应结论→理论证明[解]类似性质：若M，N为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率k PM，k PN都存在时，那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值．证明如下：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )是双曲线上的点，所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2．同理y 2＝b 2a 2x 2－b 2， 则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．1．两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征．2．进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征．然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想．2．我们知道：12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，……n 2＝(n －1)2＋2(n －1)＋1，将以上各式的左右两边分别相加，整理得n 2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n ，所以1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n 2的表达式的过程．[解] 已知：13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1，……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1，将以上各式的左右两边分别相加，得(13＋23＋…＋n 3)＝[13＋23＋…＋(n －1)3]＋3[12＋22＋…＋(n －1)2]＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ，整理得n 3＝3(12＋22＋…＋n 2)－3n 2＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ，将1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2代入整理可得12＋22＋…＋n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6，即12＋22＋…＋n 2＝n (2n ＋1)(n ＋1)6.1．类比推理的特点(1)类比推理是从人们已经掌握的事物的特征，推测被研究的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．(2)类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能，因此类比在数学发现中具有重要作用，但必须明确，类比并不等于论证．2．类比推理与归纳推理的比较1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论不能判断正误B[根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．]2．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝底×高2，可知扇形面积公式为()A.r22 B.l22C.lr2D．无法确定C[扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S＝lr 2.]3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．1∶8[由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.]4．在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)”时，有如下方法：先改写第k项：k(k＋1)＝13[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k·(k＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，……n(n＋1)＝13[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]，相加得1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝13n(n＋1)(n＋2)．11/11 类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4＋…＋n (n ＋2)”，将其结果写成关于n 的一次因式的积的形式．[解] 1×3＝16×(1×2×9－0×1×7)，2×4＝16×(2×3×11－1×2×9)，3×5＝16×(3×4×13－2×3×11)，……n (n ＋2)＝16[n (n ＋1)(2n ＋7)－(n －1)n (2n ＋5)]，各式相加，得1×3＋2×4＋3×5＋…＋n (n ＋2)＝16n (n ＋1)(2n ＋7)．。
第三课时 归纳推理、类比推理习课一、教学目标 1．知识与技能：(1)学会运用归纳、类比推理解决数学问题； (2)归纳、类比推理在高考中的应用。
2．方法与过程：通过最近几年高考试题和模拟试题中的推理问题，具体了解归纳、类比推理的思想。
3．情感态度与价值观：通过归纳、类比推理的学习，使学生具有合情推理的意思和思想。
二、教学重点：合情推理的应用。
教学难点：类比推理在递推数列中的应用。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、例题探析例题1. (类比推理在几何中应用，2007年广东1模) 如图4所示,面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长 记为(1,2,3,4),i a i =此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为(1,2,3,4)i h i =，若4312412,()1234i i a a a a Sk ih k ======∑则.类比以上性质，体积为V 三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为(1,2,3,4)i H i =，若431241,()( )1234i i S S S S K iH ======∑则A.4V K B. 3V K C. 2V K D. VK练习1：(类比推理在几何中应用，2005年广东试卷第14题) 由图(1)有面积关系: PA B PAB S PA PB S PA PB ''∆∆''⋅=⋅，则由(2) 有体积关系:.P A B C P ABC V V '''--=练习2：(类比推理在几何中应用)如图(1)，在平行四边形ABCD 中，有)(22222AD AB BD AC +=+，那么，如图(2)在平图(2)图(1)行六面体中1111D C B A ABCD -中，有=+++21212121DB CA BD AC ．例题2、(1)1个点分线段为2段,2个点分线段为3段,3个点分线段为4段,则n 个点分线段___________段(归纳推理)(2) (2005年广东试卷第14题)设平面内有n 条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f =____________；当4>n 时，=)(n f ．（用n 表示） (3) （把题(1)“类比”到平面,得到线分平面问题）（注意递推数列的应用） 一个平面用n 条直线去划分,最多能被分成几块?变1:平面内有n 个圆两两相交,且没有三个或三个以上的圆相交于同点,最多能把平面分多少块?变2:平面内有n 条抛物线,其中每两条都相交于两点,并且每三条都不相交于同一点,最多能把平面分多少块?（4）2006年广东试卷第16题：在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以()f n 表示第n 堆的乒乓球总数，则(3)_____f =；()_____f n =（答案用n表示）.例题3、探求凸多面体的面数F 、顶点数V 和棱数E 之间的关系…ABCD图(1)D 1C 1B 1A 1DCBA图(2)B 杆子上金属片全部移到A 杆子上。
1.2 类比推理自主整理1.两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为___________.2.类比推理是两类事物___________之间的推理.3.利用类比推理得出的结论___________（填“一定”或“不一定”）正确.4.根据解决问题的需要，可对___________、___________、___________进行类比.5.___________和___________是最常见的___________，___________是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论（定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理公式.高手笔记1.类比推理是数学命题来源的另一条途径，也是知识推广的思维过程.学习立体几何常常要类比平面几何，发现和得到一些立体几何的结论.2.归纳推理与类比推理都是合情推理.归纳推理是从特殊过渡到一般的思想方法，类比推理是由此及彼和由彼及此的联想方法，归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想，许多数学知识都是通过归纳与类比发掘出来.的学习数学时要注意培养自己的观察能力、分析能力、联想能力和创新能力.3.合情推理只是一种猜测，结论不一定正确.名师解惑合情推理的结果不一定正确，但合情推理是科学发现和创造的基础，你如何看待这一问题？剖析:数学真理知识的发现、发掘和推陈出新是在前面知识的基础上，通过对特殊实例的观察、分析、归纳、抽象概括和运用探索性推理得到，合情推理通常是靠猜想与联想等心智活动串联起来.这种心智活动形式能导致人们作出新的判断和预见，能帮助发现数学真理，包括发现新的数学关系结论、新的数学方法及数学命题等等，但它毕竟是一种非逻辑的思维形式，属于“发散思维”范畴，当然并不能用以精确地建立数学命题和理论，最后要证明命题或定理，还需运用严格的逻辑分析与演绎推理，即“收敛思维”.讲练互动【例1】一个等差数列{a n}，其中a10=0，则有a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(1≤n≤19)，一个等比数列{b n}，其中b15=1,类比等差数列{a n}有下列结论：___________.分析:在等差数列{a n}中，a10=0,已知以a10为等差中项的项和为0，如a9+a11=a8+a12=…=a2+a18=a1+a19=0，而在等比数列{b n}中，b15=1,类似地有b1b29=b2b28=…=b14b16=1,从而类似的总结规律应为各项之积.解:∵在等差数列{a n}中，a10=0,∴a1+a19=a2+a18=…=a8+a12=a9+a11=0,即a19-n+a n+1=0,a18-n+a n+2=0,a17-n+a n+3=0,…∴a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a n+a n+1+a n+2+…+a19-n.∵b15=1,∴b1b29=b2b28=…=b14b16=1,即b29-n b n+1=b28-n b n+2=…=b14b16=1.∴有b1b2…b n=b1b2…b29-n(1≤n≤29,n∈N+).绿色通道本题考查了等差中项、等比中项和等差数列、等比数列的性质及观察判断、猜想类比的能力.对于等差数列、等比数列有许多类似的性质，可结合定义进行类比.变式训练1.已知等差数列{a n}，公差为d,前n项和为S n，有如下性质：（1）通项a n=a m+(n-m)d.(2)若m+n=p+q,其中m、n、p、q∈N+,则a m+a n=a p+a q.(3)若m+n=2p,m、n、p∈N+，则a m+a n=2a p.(4)S n,S2n-S n,S3n-S2n构成等差数列.类比得出等比数列的性质.解:等比数列{b n},公比为q,前n项和S n,有如下性质:(1)通项a n=a m q n-m.(2)若m+n=p+q,其中m、n、p、q∈N+,则a m·a n=a p·a q.(3)若m+n=2p,q、m、n∈N+,则a m·a n=a p2.(4)S n,S2n-S n,S3n-S2n构成等比数列.【例2】若射线OM、ON上分别存在点M1、M2与N1、N2，则三角形面积之比为212211OMOMSSNOMNOM=∆∆·21ONON.若不在同一平面内的射线OP、OQ和OR上，分别存在点P1、P2，点Q1、Q2，点R1、R2，则类似的结论是什么？分析:本题已知三角形的面积之比需弄清楚点分得到的结论，然后才能类比得结论扩展到空间的问题.解:∵22221111sin21sin212211ONMONOMONMONOMSSNOMNOM∠•∠•=∆∆=2221ONOMONOM••，其面积比中有一个共同的角，类似地，连结P1Q1、Q1R1、P1R1、P2Q2、Q2R2、P2R2，得到的是锥体，需研究锥体的体积并找出不变量，两条相交线确定一个面，另一条线不在这个面内就有线面角，而线面角不随点的位置变化而变化，设OP与面QRO所成的角为θ.OP在面ORQ内的射影为OP′，P1、P2的射影分别为P1′、P2′，则22211'''OPPPOPPP==sinθ，且22112211OROQOROQSSROQROQ••=∆∆.∴2122112211222111'31'31OPOPSPPSPPVVROQROQRQOPRQOP=••=∆∆·2211OROQOROQ••.∴类似地有21222111OPOPVVRQOPRQOP=·2211OROQOROQ••.绿色通道要准确地得到相似的结论，需先弄清楚前面的结论是怎么得到的，才能类似地推出.一般地平面内的面积问题推广到空间内为体积问题，平面内的线段问题，推广到空间为面积问题.变式训练2.三角形的面积为S=21(a+b+c)r,a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，求出四面体的体积公式.解:V=31(S1+S2+S3+S4)r(S1、S2、S3、S4分别为四个面的面积,r为内切球半径),设△ABC的三边与⊙O分别切于D、E、F,则OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB且OD=OE=OF=r.连结OA、OB、OC,则S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=21cr+21br+21ar=21(a+b+c)r.类似地,三棱锥P—ABC的内切球为球O,半径为r,则球心O到各面的距离都为r,四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,则V P—ABC=V O—ABC+V O—PBC+V O—PAC+V O—PAB=31S1r+31S2r+31S3r+31S4r=31(S1+S2+S3+S4)r.【例3】若a1、a2∈R+，则有不等式22221aa+≥(221aa+)2成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广.分析:注意观察不等式两边的结构，两个数的平方，若三个数、四个数、n 个数怎样变化呢？若次数为三次、四次、n 次又怎样变化呢？注意思维要发散开.解:第一种类型：3232221a a a ++≥(3321a a a ++)2， 424232221a a a a +++≥(44321a a a a +++)2， … n a a a n 22221+++ ≥(na a a a n ++++ 321)2. 第二种类型：23231a a +≥(221a a +)3， 24241a a +≥(221a a +)4， … 221nn a a +≥(221a a +)n . 第三种类型：3333231a a a ++≥(3321a a a ++)3， … n a a a n n n n +++ 21≥(na a a n +++ 21)n . 绿色通道像这样的类比推广的问题，可采用纵、横推广法，如本例中，第一种类型是从个数上进行推广——横向推广；第二种类型是从指数上进行推广——纵向推广；第三种类型则是纵、横综合推广.变式训练3.设f(x)(x ∈［a,b ］)满足2)()(21x f x f +≤f(221x x +)(其中x 1、x 2为［a,b ］上任意两点)，你能将此不等式推广吗？解:设在［a,b ］上任意n 个点x 1,x 2,x 3,…,x n , 则n x f x f x f n )()()(21+++ ≤f(nx x x n +++ 21).【例4】设F 1、F 2分别为椭圆C ：22ax +22b y =1(a>b>0)的左、右两个焦点. （1）若椭圆C 上的点A （1,23）到F 1、F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标.（2）设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程.（3）已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值，试写出双曲线2222by a x -=1具有类似特性的性质并加以证明. 分析:由已知条件可写出椭圆方程及代入法求轨迹，本题不是直接证明椭圆中的性质，而是类似地转化到双曲线中证明双曲线具有的性质,用斜率公式及双曲线方程即可得证. 解:（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.又点A （1，23）在椭圆上，因此221+22)23(b =1,b 2=3. ∴c 2=a 2-b 2=1.∴椭圆C 的方程为42x +32y =1,焦点F 1（-1，0），F 2（1，0）. (2)设椭圆C 上的动点为K(x 1,y 1)，线段F 1K 的中点Q （x,y ）满足x=211x +-,y=21y , ∴x 1=2x+1,y 1=2y. ∴4)12(2+x +3)2(2y =1,即（x+21）2+342y =1为所求的轨迹方程. （3）类似的性质为：若M 、N 是双曲线2222by a x -=1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.设点M 的坐标为（m,n ），则点N 的坐标为（-m,-n ），其中2222b n a m -=1. 又设点P 的坐标为（x,y ），由k PM =mx n y --, k PN =m x n y ++,得k PM ·k PN =m x n y --·m x n y ++=2222mx n y --.将y 2=22a b x 2-b 2,n 2=22a b m 2-b 2,代入得k PM ·k PN =22ab . 绿色通道类比定义和性质是中学数学中最常考查的一类问题，它能很好地培养学生探索问题的能力，应该给予足够的重视.有兴趣的同学也可证明椭圆具有的性质.类比是研究圆锥曲线的一种方法.变式训练4.类比圆的下列特征，找出球的相关特征:(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆；(2)平面内不共线的3个点确定一个圆；(3)圆的周长与面积可求；(4)在平面直角坐标系中，以点（x 0,y 0）为圆心、r 为半径的圆的方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2=r 2. 解:(1)空间内与定点距离等于定长的点的集合是球.(2)空间内不共面的4个点确定一个球.(3)球的表面积与体积可求.(4)在空间直角坐标中,以点(x 0,y 0,z 0)为球心,r 为半径的球的方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2=r 2.。
第一章 推理与证明1.1归纳推理教学目标：1.通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。
2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳法进行简单的推理。
教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。
教学过程： 一、课堂引入：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。
见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理 二、新课讲解：1、 蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。
蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
2、 三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒ 由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n -⨯︒3、221222221,,,331332333+++<<<+++，由此我们猜想：a a mb b m+<+（,,a b m 均为正实数） 这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳) 归纳推理的一般步骤：⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
三、例题讲解：例1 通过观察下列等式，猜想一个一般性结论，并证明结论的真假。
23130sin 75sin 15sin 222=++ ；23145sin 85sin 25sin 222=++ ； 23150sin 90sin 30sin 222=++ ；23180sin 120sin 60sin 222=++ 。
数学归纳法解题数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.●难点磁场(★★★★)是否存在a 、b 、c 使得等式1·22+2·32+…+n (n +1)2=12)1(+n n (an 2+bn +c ). ●案例探究［例1］试证明：不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当n ＞1,n ∈N *且a 、b 、c 互不相等时，均有：a n +c n ＞2b n .命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目.知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况. 技巧与方法：本题中使用到结论：(a k －c k )(a －c )＞0恒成立(a 、b 、c 为正数)，从而a k +1+c k +1＞a k ·c +c k ·a .证明：(1)设a 、b 、c 为等比数列，a =qb,c =bq (q ＞0且q ≠1)∴a n+c n=n n q b +b n q n =b n (n q1+q n )＞2b n(2)设a 、b 、c 为等差数列，则2b =a +c 猜想2n n c a +＞(2c a +)n(n ≥2且n ∈N *)下面用数学归纳法证明：①当n =2时，由2(a 2+c 2)＞(a +c )2，∴222)2(2c a c a +>+②设n =k 时成立，即,)2(2kk k c a c a +>+则当n =k +1时，41211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1)＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k ·a )=41(a k +c k )(a +c ) ＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2c a +)k +1［例2］在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，a n ,S n ,S n －21成等比数列.(1)求a 2,a 3,a 4，并推出a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列{a n }所有项的和.命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.错解分析：(2)中，S k =－321-k 应舍去，这一点往往容易被忽视.技巧与方法：求通项可证明{n S 1}是以{11S }为首项，21为公差的等差数列，进而求得通项公式.解：∵a n ,S n ,S n －21成等比数列，∴S n 2=a n ·(S n －21)(n ≥2) (*) (1)由a 1=1,S 2=a 1+a 2=1+a 2,代入(*)式得:a 2=－32由a 1=1，a 2=－32,S 3=31+a 3代入(*)式得：a 3=－152同理可得：a 4=－352,由此可推出：a n =⎪⎩⎪⎨⎧>---=)1( )12)(32(2)1( 1n n n n (2)①当n =1,2,3,4时，由(*)知猜想成立.②假设n =k (k ≥2)时，a k =－)12)(32(2--k k 成立故S k 2=－)12)(32(2--k k ·(S k －21)∴(2k －3)(2k －1)S k 2+2S k －1=0∴S k =321,121--=-k S k k (舍) 由S k +12=a k +1·(S k +1－21),得(S k +a k +1)2=a k +1(a k +1+S k －21).1,]1)1(2][3)1(2[22112122)12(1111211212命题也成立即+=-+-+-=⇒--+=-++-⇒++++++k n k k a a k a a k a a k k k k k k k由①②知，a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥---=)2()12)(32(2)1(1n n n n 对一切n ∈N 成立. (3)由(2)得数列前n 项和S n =121-n ,∴S =lim ∞→n S n =0. ●锦囊妙记(1)数学归纳法的基本形式设P (n )是关于自然数n 的命题，若 1°P (n 0)成立(奠基)2°假设P (k )成立(k ≥n 0)，可以推出P (k +1)成立(归纳)，则P (n )对一切大于等于n 0的自然数n 都成立.(2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)已知f (n )=(2n +7)·3n +9,存在自然数m ,使得对任意n ∈N ,都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A.30B.26C.36D.6 2.(★★★★)用数学归纳法证明3k ≥n 3(n ≥3,n ∈N )第一步应验证( ) A.n =1 B.n =2 C.n =3 D.n =4 二、填空题3.(★★★★★)观察下列式子：474131211,3531211,2321122222<+++<++<+…则可归纳出_________.4.(★★★★)已知a 1=21,a n +1=33+n n a a ,则a 2,a 3,a 4,a 5的值分别为_________，由此猜想a n =_________.三、解答题5.(★★★★)用数学归纳法证明412+n +3n +2能被13整除，其中n ∈N *.6.(★★★★)若n 为大于1的自然数，求证：2413212111>+++++n n n . 7.(★★★★★)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145. (1)求数列{b n }的通项公式b n ;(2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a ＞0且a ≠1)记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论. 8.(★★★★★)设实数q 满足|q |＜1,数列{a n }满足：a 1=2,a 2≠0,a n ·a n +1=－q n ,求a n 表达式，又如果lim ∞→n S 2n ＜3,求q 的取值范围.参考答案难点磁场解：假设存在a 、b 、c 使题设的等式成立，这时令n =1,2,3,有⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=10113 3970)24(2122)(614c b a cb ac b a c b a于是，对n =1,2,3下面等式成立1·22+2·32+…+n (n +1)2=)10113(12)1(2+++n n n n记S n =1·22+2·32+…+n (n +1)2设n =k 时上式成立，即S k =12)1(+k k (3k 2+11k +10)那么S k +1=S k +(k +1)(k +2)2=2)1(+k k (k +2)(3k +5)+(k +1)(k +2)2=12)2)(1(++k k (3k 2+5k +12k +24)=12)2)(1(++k k ［3(k +1)2+11(k +1)+10］也就是说，等式对n =k +1也成立.综上所述，当a =3,b =11,c =10时，题设对一切自然数n 均成立. 歼灭难点训练一、1.解析：∵f (1)=36,f (2)=108=3×36,f (3)=360=10×36 ∴f (1),f (2),f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除. 证明：n =1,2时，由上得证，设n =k (k ≥2)时， f (k )=(2k +7)·3k +9能被36整除，则n =k +1时， f (k +1)－f (k )=(2k +9)·3k +1(2k +7)·3k =(6k +27)·3k －(2k +7)·3k=(4k +20)·3k =36(k +5)·3k －2(k ≥2) ⇒f (k +1)能被36整除∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 值等于36. 答案：C2.解析：由题意知n ≥3，∴应验证n =3. 答案：C二、3.解析：11112)11(112321122++⨯<++<+即 12122)12(1)11(11,35312112222++⨯<++++<++即 112)1(131211222++<+++++n n n 归纳为(n ∈N *) 112)1(131211:222++<+++++n n n 答案(n ∈N *) 53,553103,54393,5338333,5237332121333:.454223112+=+==+==+==+=+==+⨯=+=n a a a a a a a a a n 猜想同理解析 73:答案、83、93、10353=n 三、5.证明：(1)当n =1时，42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n =k 时，42k +1+3k +2能被13整除，则当n =k +1时， 42(k +1)+1+3k +3=42k +1·42+3k +2·3－42k +1·3+42k +1·3 =42k +1·13+3·(42k +1+3k +2)∵42k +1·13能被13整除，42k +1+3k +2能被13整除∴当n =k +1时也成立.由①②知，当n ∈N *时，42n +1+3n +2能被13整除.6.证明：(1)当n =2时，2413127221121>=+++ (2)假设当n =k 时成立，即2413212111>+++++k k k 2413)1)(12(21241322112124131122112124131111221121213121,1>+++=+-++=+-++++>+-++++++++++++=k k k k k k k k k k k k k k k n 时则当 7.(1)解：设数列{b n }的公差为d ,由题意得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=311452)110(10101111d b d b b ,∴b n =3n －2 (2)证明：由b n =3n －2知S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+231-n ) =log a ［(1+1)(1+41)…(1+ 231-n )］而31log a b n +1=log a 313+n ,于是，比较S n 与31log a b n +1⇔比较(1+1)(1+41)…(1+231-n )与313+n 的大小.取n =1，有(1+1)=33311348+⋅=>取n =2，有(1+1)(1+33312378)41+⨯=>>推测：(1+1)(1+41)…(1+231-n )＞313+n (*)①当n =1时，已验证(*)式成立.②假设n =k (k ≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+41)…(1+231-k )＞313+k 则当n =k +1时，)1311(13)2)1(311)(2311()411)(11(3+++>-++-+++k k k k 3131323+++=k k k333222333331)1(343)23(13130)13(49)13()13)(43()23()43()131323(++=+>+++∴>++=+++-+=+-+++k k k k k k k k k k k k k k k31)1(3)1311)(2311()411)(11(++>-+-+++k k k 从而,即当n =k +1时，(*)式成立由①②知，(*)式对任意正整数n 都成立.于是，当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1,当 0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n+18.解：∵a 1·a 2=－q ,a 1=2,a 2≠0,∴q ≠0,a 2=－29,∵a n ·a n +1=－q n ,a n +1·a n +2=－q n+1两式相除，得qa a n n 12=+,即a n +2=q ·a n 于是，a 1=2,a 3=2·q ,a 5=2·q n …猜想：a 2n +1=－21q n(n =1,2,3,…) 综合①②，猜想通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q k k 时时下证：(1)当n =1,2时猜想成立(2)设n =2k －1时，a 2k －1=2·q k －1则n =2k +1时，由于a 2k +1=q ·a 2k －1∴a 2k +1=2·q k 即n =2k －1成立. 可推知n =2k +1也成立. 设n =2k 时，a 2k =－21q k,则n =2k +2时，由于a 2k +2=q ·a 2k ,所以a 2k +2=－21q k+1,这说明n =2k 成立，可推知n =2k +2也成立. 综上所述，对一切自然数n ,猜想都成立.这样所求通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q k k 时当时当S 2n =(a 1+a 3…+a 2n －1)+(a 2+a 4+…+a 2n ) =2(1+q +q 2+…+q n -1)－21(q +q 2+…+q n ) )24)(11()1()1(211)1(2q q q q q q q q n n n ---=--⋅---=由于|q |＜1,∴n n nn S q 2lim ,0lim ∞→∞→=故=)24)(11(qq q n --- 依题意知)1(24q q --＜3,并注意1－q ＞0,|q |＜1解得－1＜q ＜0或0＜q ＜52。
1.1.2 类比推理1.通过具体实例理解类比推理的意义.(重点)2.会用类比推理对具体问题作出判断.(难点)[基础·初探]教材整理1 类比推理阅读教材P5“1.2类比推理”至P6前16行，完成下列问题.由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理.类比推理是两类事物特征之间的推理.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________(填序号).①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.【解析】正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对.【答案】①②③教材整理2 合情推理阅读教材P6的最后4个自然段，完成下列问题.合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式.合情推理的结果不一定正确.下列说法正确的是( )A.由合情推理得出的结论一定是正确的B.合情推理必须有前提有结论C.合情推理不能猜想D.合情推理得出的结论不能判断正误【解析】根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论.【答案】 B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和.(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明； (2)写出一个更为一般的结论(不必证明).【精彩点拨】 结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质. 【自主解答】 (1)数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的.证明如下：∵等差数列{a n }的公差d ＝3，∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20) ＝10d ＋10d ＋…10d 10个＝100d ＝300，同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300.(2)对于任意k ∈N ＋，都有数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 是等差数列，且公差为k 2d . 1.本题是等比数列与等差数列之间的类比推理，在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点.2.类比推理的思维过程观察、比较→联想、类推→猜测新的结论.即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处.[再练一题]1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列.类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列. 【解析】 等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列.【答案】 T 8T 4 T 12T 8a b c ABC 三条边上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c＝1.图1-1-10证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明.【精彩点拨】 三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高.【自主解答】 p a h a ＝12BC ·p a12BC ·h a ＝S △PBCS △ABC，同理，p b h b ＝S △PAC S △ABC ，p c h c ＝S △PABS △ABC.∵S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB ＝S △ABC ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＝S △PBC ＋S △PAC ＋S △PABS △ABC＝1.类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p dh d＝1.证明如下：p a h a ＝13S △BCD ·p a13S △BCD ·h a ＝V P -BCDV A -BCD，同理，p b h b ＝V P -ACD V A -BCD ，p c h c ＝V P -ABD V A -BCD ，p d h d ＝V P -ABCV A -BCD.∵V P -BCD ＋V P -ACD ＋V P -ABD ＋V P -ABC ＝V A -BCD ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d＝V P -BCD ＋V P -ACD ＋V P -ABD ＋V P -ABCV A -BCD＝1.1.一般地，平面图形与空间图形类比如下：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论. [再练一题]2.在上例中，若△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，其对角分别为A ，B ，C ，那么由a ＝b ·cosC ＋c ·cos B 可类比四面体的什么性质？【解】 在如图所示的四面体中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面PAB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小. 猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.[探究共研型]“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的.因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的.你认为该过程为归纳推理还是类比推理？【提示】 类比推理.探究2 已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n 的和.因为(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，n 2－(n －1)2＝2(n －1)＋1，……22－12＝2×1＋1，有(n ＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n )＋n ， 所以1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋2n －n 2＝n （n ＋1）2.类比以上过程试求12＋22＋32＋…＋n 2的和. 【提示】 因为(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，n 3－(n －1)3＝3(n －1)2＋3(n －1)＋1，…23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n ＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n )＋n ， 所以12＋22＋…＋n 2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3＋3n 2＋3n －3n 2＋5n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6＝n （n ＋1）（2n ＋1）6.已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试写出双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)具有类似特征的性质，并加以证明.【精彩点拨】双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论→双曲线中的相应结论→理论证明【自主解答】 类似性质：若M ，N 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则N (－m ，－n ).因为点M (m ，n )是双曲线上的点， 所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a2x 2－b 2，则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值).1.两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征.2.进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征.然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想.[再练一题]3.(2016·温州高二检测)如图1-1-11所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于________.图1-1-11【解析】 如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则F (－c ，0)，B (0，b )，A (a ，0)， 所以FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b ). 又因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝b 2－ac ＝0，所以c 2－a 2－ac ＝0，所以e 2－e －1＝0， 所以e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去).【答案】1＋52[构建·体系]1.下面使用类比推理恰当的是( )A.“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B.“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C.“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)” D.“(ab )n＝a n b n”类比推出“(a ＋b )n＝a n＋b n” 【解析】 由实数运算的知识易得C 项正确. 【答案】 C2.已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为( )A.r 22 B.l 22 C.lr2D.无法确定【解析】 扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2.【答案】 C3.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.【解析】 由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.【答案】 1∶84.在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，有如下方法：先改写第k 项：k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，……n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]，相加得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (＋1)(n ＋2).类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4＋…＋n (n ＋2)”，其结果写成关于n 的一次因式的积的形式为________________.【解析】 1×3＝16×(1×2×9－0×1×7)，2×4＝16×(2×3×11－1×2×9)，3×5＝16×(3×4×13－2×3×11)，……n (n ＋2)＝16[n (n ＋1)(2n ＋7)－(n －1)n (2n ＋5)]，各式相加，得1×3＋2×4＋3×5＋…＋n (n ＋2)＝16n (n ＋1)(2n ＋7).【答案】 16n (n ＋1)(2n ＋7)5.如图1-1-12(1)，在三角形ABC 中，AB ⊥AC ，若AD ⊥BC ，则AB 2＝BD ·BC .若类比该命题，如图1-1-12(2)，三棱锥A -BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则可以得到什么命题？命题是否是真命题，并加以证明.(1) (2)图1-1-12【解】 命题是：三棱锥A -BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有S 2△ABC ＝S △BCM ·S △BCD ，是一个真命题.证明如下：如图，连接DM ，并延长交BC 于E ，连接AE ，则有DE ⊥BC . 因为AD ⊥平面ABC ，所以AD ⊥AE . 又AM ⊥DE ， 所以AE 2＝EM ·ED . 于是S2△ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·EM ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·ED＝S △BCM ·S △BCD . 我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。
第一章推理与证明1.2类比推理教学目标1．理解类比推理的意义；了解类比推理的特点；2．掌握运用类比推理的一般步骤。
会进行简单的类比推理。
3．了解归纳推理与类比推理的异同；4．理解合情推理的含义，了解所得结果不一定正确；5．了解合情推理在科学实验和创造中的价值，增强在数学学习中自觉运用合情推理的意识。
提高归纳、类比联想的能力。
重难点剖析重点：掌握类比推理的特点与步骤；难点：在类比推理的运用中发现两类对象间相似性质潜在的关联性；教学过程一．问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？二．例题分析我们再看几个类似的推理实例。
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：猜想不等式的性质：(1) a=b⇒a+c=b+c;(1) a＞b⇒a+c＞b+c;(2) a=b⇒ ac=bc; (2) a＞b⇒ ac＞bc;(3) a=b⇒a2=b2;等等。
(3) a＞b⇒a2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 类比推理的一般步骤：⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。
即例3如图，已知点O 是ABC ∆内任意一点，连结,,,CO BO AO 并延长交对边于111,,C B A ，则1111111=++CC OC BB OB AA OA （Ⅰ）类比猜想，对于空间四面体BCD V -，存在什么类似的结论 （Ⅱ）？并用证明（Ⅰ）时类似的方法给出证明。
1.1归纳与类比（高二理）使用说明：1.独立认真限时完成导学案，规范书写。
2.认真反思，总结方法规律。
重点、难点： 用归纳与类比进行推理与猜想一． 学习目标：1. 了解归纳与类比的定义。
2. 会用归纳与类比进行简单的推理与猜想，3. 掌握用归纳与类比推理事物规律的方法及过程。
4．体验数学推理过程，激发学生学习兴趣，培养创新能力。
二：问题导学：1.推理一般包括 推理和 推理。
2.根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中 都有这种属性，我们将这种推理方式称为 推理。
3. 由于两类不同的对象具有某些 特征，在此基础上，根据一类对象的 特征，推断另一类对象也具有 特征，我们将这种推理过程称为 推理。
4、 推理和 推理是常见的合情推理。
合情推理是 。
演绎推理是 。
三．合作 探究：例1已知数列{}n a 满足),(22,111*+∈+==N n a a a a n n n （1） 求.,,432a a a （2） 猜测 5a 及数列{}n a 的通项公式； 例2如图（1）有面积关系： PB PA B P A P S S PAB B A P ⋅'⋅'=∆''∆ 则图（2）有体积关系：=-'''-ABCP C B A P V V四．巩固 拓展：1. 根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有 个点2.图（1）为相互成120角的三条线段，长度均为1，图（2）在图（1）的每条线段的前端各作两条与该线段成 120角的线段，长度为其一半，图（3）用图（2）的方法在每条线段的前端生成两条线段，长度为其一半，重复前面的方法至第 n 张图，设第 n 张图所有线段长度之和为 n a ，则n a =3.经计算发现下列不等式： ,......10221723,1025.155.4,102182<-++<+<+根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数 a,b 都成立的条件不等式4.三角形的面积为()c b a r c b a S ,,,21++=为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为（ ） A . abc V 31=B. sh V 31= C . (),314321r s s s s V +++=（432,1,,s s s s 为四个面的面积，r 为内切球的半径 ） D. (),31h ac bc ab V ++= (h 为四面体的高 ) 5.有“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是6.设数列{}n a 的各项为正数，前 n 项之和为 ,121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a a S （1）求3,21,a a a（2）猜想n a7.已知以下过程可以求 1+2+3+。
推理与证明3.1.2类比推理学习目标1．理解类比推理的意义；了解类比推理的特点；2．掌握运用类比推理的一般步骤。
会进行简单的类比推理。
3．了解归纳推理与类比推理的异同；4．理解合情推理的含义，了解所得结果不一定正确；5．了解合情推理在科学实验和创造中的价值，增强在数学学习中自觉运用合情推理的意识。
提高归纳、类比联想的能力。
重难点剖析重点：掌握类比推理的特点与步骤；难点：在类比推理的运用中发现两类对象间相似性质潜在的关联性；学习过程一．问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？二．数学活动我们再看几个类似的推理实例。
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：猜想不等式的性质：(1) a=b⇒a+c=b+c; (1) a＞b⇒a+c＞b+c;(2) a=b⇒ ac=bc; (2) a＞b⇒ ac＞bc;(3) a=b⇒a2=b2;等等。
(3) a＞b⇒a2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合. 圆 球 弦←→截面圆 直径←→大圆 周长←→表面积 面积←→体积☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 类比推理的一般步骤：⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想，即例3如图，已知点O 是ABC ∆内任意一点，连结,,,CO BO AO 并延长交对边于111,,C B A ，则1111111=++CC OC BB OB AA OA （Ⅰ）类比猜想，对于空间四面体BCD V -，存在什么类似的结论（Ⅱ）？并用证明（Ⅰ）时类似的方法给出证明。
分析：平面中的三角形可与空间的四面体进行类比，三角形内一点对应于四面体内一点，三角形的三个顶点类比四面体的四个顶点，三角形的三边类比四面体的四个面，于是可类比得到相应的结论（Ⅱ）；而证明，（Ⅰ）可用面积法，那么证明（Ⅱ）可类比使用体积法。
注意：本题不仅用类比得到一个新的性质，而且证明方法上也运用了类比的方法。
变式练习1若三角形内切圆半径为r ，三边长为c b a ,,，则三角形的面积)(21c b a r S ++=；根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为4321,,,S S S S ，则四面体的体积=V （试证明这两个结论）。
例4在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式：=+++n a a a 21n a a a -+++1921 ),19(*∈<N n n 。
类比上述性质，相应地，在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有等式 成立。
分析：等差数列中“与首末两项等距的两项和相等”，等比数列中“与首末两项等距的两项积相等”，由此联想到等差数列的两项和可与等比数列的两项积类比。
变式练习2由三角形的边的不等关系容易得到不等式：||||||||||b a b a b a-≥±≥+类比上述不等式，对于数b a ,有类似的不等式吗？若有写出来并对真假作出判断。
例5 我们知道，“过圆心为O 的圆外一点P 作它的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点，则∠POA=∠POB 。
”这个性质可以推广到所有圆锥曲线，请写出其中一个： 。
点评：本题是平面几何中圆的性质与圆锥曲线性质的类比猜想，直觉思维与合情推理是科学结论获得的有效手段。
解题的突破点在于弄清：过圆心为O 的圆外一点P 作它的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点，则∠POA=∠POB 的含义。
学后反思1．类比推理的特点① 类比是从特殊到特殊的推理，是根据两类不同对象已具有的某些相似性质，而联想到它们在其他方面可能也有相似的性质，从而由一类对象的已知的某项性质，猜测出另一类对象也可能有此项相应的性质而得到一个明确的结论，类比结论有明显的猜想和创新的特性。
所得的结论超越了前提所包容的范围；② 类比所得的结论超越了前提所包容的范围，结论不一定真。
③ 类比的前提是两类对象之间有可比性，所谓可比性是指：它们之间有可以清楚定义的某些共同特征。
而且两类对象之间的相似性质越多，类比所得的性质的可靠性越大；2．类比推理的一般步骤① 找出与自己所研究的对象具有可比性的一类对象（它们的相似性质越多越好）； ② 根据比较类对象的某项已知性质，猜测你所研究的对象也可能有类似的性质，从而得出一个相应的明确的结论（命题）；③ 对所提出的命题进行检验。
3．类比推理的结论未必真，欲知真假需证明。
例 在平面上*∈∀N n （)3≥n 都有正n 边形，而在空间对*∈∀N n （)4≥n 不是都有正n 面体。
我们知道正多面体只有五种。
4．类比推理是我们探求数学问题的一种重要方法和途径：如：平面上的直线可以和空间的平面进行类比；向量与数可以类比；平面图形的面积与空间几何体的体积可以类比；等差数列与等比数列可以类比等等；课堂练习1．平面内平行于同一条直线的两条直线平行，类比可得，在空间有（）A．平行于同一直线的两直线平行；B．平行于同一直线的两平面平行；C．平行于同一平面的两直线平行；D．平行于同一平面的两平面平行。
2．将一张坐标纸折叠一次，使点)3,2(与点)2,3(重合，且点)2006,2005(与点),(nm重合，则nm,分别为（）A．2005，2005；B．2006，2006；C．2005，2006；D．2006，2005。
3．在项数为n2（*∈Nn），公差为d的等差数列中，偶数项和与奇数项和的差等于nd。
类比可得：在项数为n2（*∈Nn），公比为q的等比数列中，。
4．在正三角形中，三角形内的任意一点到三边的距离和为定值，类比这个性质，在空间相应的结论是，此命题是（填：真或假）。
5．由图（1）有面积关系：PA BPABS PA PBS PA PB''∆∆''⋅=⋅，则由图（2）有体积关系：P A B CP ABCVV'''--＝。
6．设221)(+=xxf，类比课本中推导等差数列前n项和公式的方法，求：)6()5()4()5(ffff+++-+- 的值。
参考答案：例3：结论（Ⅱ）：点O是空间四面体BCDV-内的任意一点，连结DOCOBOVO,,,并延长分别交面VBCVBDVCDBCD,,,于点1111DCBV,,,，则有：111111111=+++DDODCCOCBBOBVVOV证明：设点O V ,到平面BCD 的距离分别为1h h ,，则111VV OV h h V V BCDVBCD O ==， 同理：11BB OB V V BCD VVCDO=；11CC OC V V BCD V VBD O =；11DD OD V V BCD V VBC O =四式相加得：111111111=+++DD OD CC OC BB OB VV OV变式练习1：)(432131S S S S R V +++=例4：结论：),(+∈<=N n n b b b b b b n n 17172121 变式练习2：有！真。
例5解析：①过抛物线x 2=2py （p ＞0）外一点P 作抛物线的两条切线PA 、PB （A 、B 为切点），若F 为抛物线的焦点，则∠PFA=∠PFB 。
②过椭圆22a x +22by =1（a ＞b ＞0）外一点P 作椭圆的两条切线PA 、PB （A 、B 为切点）若F 为椭圆的一个焦点，则∠PFA=∠PFB 。
③过双曲线22a x -22by =1（a ＞0，b ＞0）外（两支之间）一点P （P 不在渐近线上）作双曲线的两条切线PA 、PB （A 、B 为切点），若F 为双曲线的一个焦点。
⑴若A 、B 在同一支，则∠PFA=∠PFB 。
⑵若A 、B 在不同一支，则PF 平分∠AFP 的邻补角。
课堂练习 1、D ； 2、D ；3、偶数项与奇数项的商为nq ；4、空间四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值，真；5、PCPB PA PC PB PA V V ABCPC B A P ••••=1211216、因为=+=+=+=+)()()()()()()()(32435465f f f f f f f f 221021=+=+)()()()(f f f f ，所以运用倒序相加法可求得和为：23。
