排序不等式
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排序不等式 课件
1．分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组． 2．运用排序原理求最值时，一定要验证等号是否成 立，若等号不成立，则取不到最值．
利用排序不等式求解简单的实际 问题
若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维 修分别需要45 min,25 min和30 min，每台电脑耽误1 min，网 吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺 序维修，才能使经济损失降到最小？
1．首先，理解题意，实际问题数学化，建立恰当模 型．
2．三台电脑的维修时间3t1＋2t2＋t3就是问题的数学模 型，从而转化为求最小值(运用排序原理)．
【提示】 由排序原理，知顺序和最大，反序和最小． 因此最大值为a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5＝304. 最小值为a1b5＋a2b4＋a3b3＋a4b2＋a5b1＝212.
用排序不等式证明不等式(字母大小已定)
已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证： (1)b1c≥c1a≥a1b； (2)ba2c22＋cb2a22＋ac2b2 2≥a12＋b12＋c12. 【思路探究】 由于题目条件中已明确a≥b≥c，故可 以直接构造两个数组．
序和 ≤ 乱序和 ≤顺序和．
1．排序原理的本质含义是怎样的？
【提示】 两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时 所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两 乘积之和最小．等号成立的条件是其中至少有一序列为常数 序列．
2．已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5， b1≤b2≤b3≤b4≤b5，其中a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5 ＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b5＝11，将bi(i＝ 1,2,3,4,5)重新排列记为c1，c2，c3，c4，c5.那么a1c1＋a2c2＋… ＋a5c5的最大值和最小值分别是多少？
第44讲 排序不等式
第四讲 排序不等式与琴生不等式本节主要内容有排序不等式、琴生不等式、幂平均不等式、切比雪夫不等式及应用．排序不等式（又称排序定理）：给定两组实数a 1，a 2，……，a n ；b 1，b 2，……，b n ．如果a 1≤a 2≤……≤a n ；b 1≤b 2≤……≤b n ．那么a 1b n ＋a 2b n －1＋……＋a n b 1（反序和）≤a 11i b ＋a 22i b ＋……＋a n n i b （乱序和）≤a 1b 1＋a 2b 2＋……＋a n b n （同序和）， 其中i 1，i 2，……，i n 是1，2，……，n 的一个排列．该不等式所表达的意义是和式∑=nj i j jba 1在同序和反序时分别取得最大值和最小值．切比雪夫不等式：设有两个有序数组a 1≤a 2≤……≤a n ；b 1≤b 2≤……≤b n ．则1n(a 1b n＋a 2b n －1＋……＋a n b 1)≤a 1＋a 2＋……＋a n n ·b 1＋b 2＋……＋b n n ≤1n(a 1b 1＋a 2b 2＋……＋a nb n )， 其中等号仅当a 1＝a 2＝……＝a n 或b 1＝b 2＝……＝b n 时取得．琴生不等式又称凸函数不等式，它建立在凸函数的基础上．定义 设连续函数f (x )的定义域是[a ，b ](开区间(a ，b )或(－∞，＋∞)上均可)，如果对于区间[a ，b ]内的任意两点x 1，x 2有f (x 1＋x 22 )≤12 [f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )为[a ，b ]上的下凸函数．如图(１)定理一．若f (x )是下凸函数，则对其定义域中的任意几个点x 1，x 2，……，x n ，恒有f (x 1＋x 2＋……＋x n n )≤1n[f (x 1)＋f (x 2)＋……＋f (x n )]．定义 设连续函数f (x )的定义域是[a ，b ](开区间(a ，b )或(－∞，＋∞)上均可)，如果对于区间[a ，b ]内的任意两点x 1，x 2有f (x 1＋x 22 )≥12 [f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )为[a ，b ]上的下凸函数．如图(2)x 1x 2M (1)P Q x 1x 2M P Q定理二：若)(x f 是上凸函数，则对其定义域中的任意n 个点n x x x ,...,,21恒有)](...)()([1)...(2121n n x f x f x f n n x x x f +++≥+++，容易验证x x x f 21log ,tan )(=分别是),0(),2,0(+∞π上的下凸函数。
经典不等式证明—排序不等式—切比雪夫不等式—平均不等式—柯西不等式
不妨设
a1 a2 ... an
b1 b2 ... bn
由切比雪夫不等式为
1 (a1 a2 ... an )(b1 b2 ... bn ) a1b1 a2b2 ... anbn n
令 ai bi (i 1, 2,..., n) 则有
aibi-ajbi+ajbj-aibj=(ai-aj)(bi-bj)≥0
即顺序和≥乱序和（当且仅当 ai=aj 或 bi＝bj 时等号成立） 当有多个乱序时可由数学归纳法即得结论： a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1bj1+a2bj2+„+anbjn≤a1b1+a2b2+„+anbn (其中 j1,j2,…，jn 是 1,2,…,n 的一个排列) 当且仅当 a1=a2=…=an 或 b1=b2=…=bn 时等号成立 2.切比雪夫不等式 若两个正实数数组{ai} , {bi} 满足 a1≤a2≤„≤an ,b1≤b2≤„ ≤bn,
版权所有，违者乱棍打死
1. 排序不等式 设两个数组{ai} , {bi}满足 a1≤a2≤„≤an,b1≤b2≤„≤bn, 则有 a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1bj1+a2bj2+„+anbjn≤a1b1+a2b2+„+anbn (其中 j1,j2,…，jn 是 1,2,…,n 的一个排列) 当且仅当 a1=a2=…=an 或 b1=b2=…=bn 时等号成立 证明： （先证有一个乱序的情形，其余的可根据结论得证） 设序列{ai}中仅有 ai 与 aj 调换次序 由 a1b1+a2b2+…+ajbi+…+aibj+…+anbn 记为○ 1 式（为乱序） a1b1+a2b2+…+aibi+…+ajbj+…+anbn 2 -○ 1 得 ○ ： 记为○ 2 式（为顺序） 恒成立 .
经典不等式证明—排序不等式—切比雪夫不等式—平均不等式—柯西不等式
1 xn
最小，因而其乘积和是反序的)
版权所有，违者乱棍打死
即
x1 y1 x2 y2 ... xn yn
总是两数组的反序和。
于是由排序不等式的“乱序和 反序和” ，总有
x1 yn x2 y1 ... xn yn1 x1 y1 x2 y2 ... xn yn
n 1 1 1 ... a1 a2 an
n
n a1a2 ...an
证明：○ 1
（此处先利用 由于
a1a2 ...an
a1 a2 ... an n
的结论） 1式 ○
1 1 1 ... a1 a2 an 1 1 1 n ... n a1 a2 an
=n
1 a1a2 ...an
即
a a1 a2 ... n 1 1 ... 1 n c c c
a1 a2 ... an c n a1a2 ...an n
即
n
a1 a2 ... an a1a2 ...an n
（利用切比雪夫不等式证明） ,
2 2 a1 a2 ... an a 2 a2 ... an 1 n n ○ 3
c
c
y1= 1 = c ，y2= 1 =
x1 a1 x2
c2 a1a2
,„,yn= 1 =
xn
cn a1a2 ...an
=1
(其中 c n a1a2 ...an ，因为{xn},{yn}两个数列对应成倒数，所以 无论它们数列的各项的值的大小如何，乘积的和都是 1，且 可视为两个数列反序乘积和的形式， 比如： 若 xn 最大， 则 yn=
（提示：上式从第○ 2 行到最后一行可视为 ai 顺序乘以 bi 的一 个乱序） 根据“顺序和 乱序和” （从第○ 2 行到第○ n 行同时使用） ，可 得
最小，因而其乘积和是反序的)
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即
x1 y1 x2 y2 ... xn yn
总是两数组的反序和。
于是由排序不等式的“乱序和 反序和” ，总有
x1 yn x2 y1 ... xn yn1 x1 y1 x2 y2 ... xn yn
n 1 1 1 ... a1 a2 an
n
n a1a2 ...an
证明：○ 1
（此处先利用 由于
a1a2 ...an
a1 a2 ... an n
的结论） 1式 ○
1 1 1 ... a1 a2 an 1 1 1 n ... n a1 a2 an
=n
1 a1a2 ...an
即
a a1 a2 ... n 1 1 ... 1 n c c c
a1 a2 ... an c n a1a2 ...an n
即
n
a1 a2 ... an a1a2 ...an n
（利用切比雪夫不等式证明） ,
2 2 a1 a2 ... an a 2 a2 ... an 1 n n ○ 3
c
c
y1= 1 = c ，y2= 1 =
x1 a1 x2
c2 a1a2
,„,yn= 1 =
xn
cn a1a2 ...an
=1
(其中 c n a1a2 ...an ，因为{xn},{yn}两个数列对应成倒数，所以 无论它们数列的各项的值的大小如何，乘积的和都是 1，且 可视为两个数列反序乘积和的形式， 比如： 若 xn 最大， 则 yn=
（提示：上式从第○ 2 行到最后一行可视为 ai 顺序乘以 bi 的一 个乱序） 根据“顺序和 乱序和” （从第○ 2 行到第○ n 行同时使用） ，可 得
第12讲 排序不等式与切比雪夫不等式
第十二讲 排序不等式与切比雪夫不等式一、 知识概要 1.排序不等式定理1 设12n a a a ≤≤≤L L ，12n b b b ≤≤≤L L ，12,,n i i i L L 与12,,n j j j L L 是1,2,3n L 的任意的两个排列，则:11221122nni j o j i j n n a b a b a b a b a b a b ++≤++L L 11221211nni j o j i j n n n a b a b a b a b a b a b -++≥+++L L可以简单的理解为：反序和≤乱序和≤同序和.2.切比雪夫不等式定理2 设12n a a a ≤≤≤L L ，12n b b b ≤≤≤L L ，则：111()()n nnk kk kk k k a ba bnnn===≤∑∑∑.定理3 设12n a a a ≤≤≤L L ，12n b b b ≥≥≥L L ，则：111()()nnnkkk kk k k a ba bnnn===≥∑∑∑.3.幂平均不等式定理4 设正实数12,,,n a a a L L ,且0αβ<< ,则111212()()n n a a a a a a n nαααββββα++++++≤L L(等号成立当且仅当12n a a a ===L L ).定理5 设正实数12,,,n a a a L L ,且0αβ<< ,则111212()()n n a a a a a a n nαααββββα++++++≥L L(等号成立当且仅当12n a a a ===L L ).二、解题指导例1.设,,,a b c d 满足1ab bc cd da +++=的非负实数， 求证：333313a b c d b c d a c d b a d b a c +++≥++++++++.例2.已知,,a b c R +∈，1abc =,证明:33311132()()()a b c b a c c a b ++≥+++.例3.设123,,,(2)n x x x x n ≥L 都是正实数，且11ni i x ==∑，求证：1nni =≥.例4.设正实数12,,n a a a L 满足121n a a a +++=L ，证明：1212231222223311()()1n n a a a na a a a a a n a a a a a a ++++++≥++++L L .例5.设0(1,2,3,,)i x i n >=L ，求证：12331212312()nnx x x x x x x x nn n x x x x x x x +++⋅≥L L L .三、习题演练1.用排序不等式证明下列不等式： （1）3333a b c abc ++≥； （2）222222b c c a a b abc a b c++≥++；（3）3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++.2.设,,0a b c >，1111111a b b c c a ++=++++++，求证：a b c ab bc ac ++≥++.3.设,,0a b c >，求证：888333111a b c a b c a b c ++++≤.4.设,,0x y z >，满足1x y z ++=，≥5.将1,2,3n L 这n 个正整数任意排列可以得到!n 个不同的数列，问其中是否存在4个数列： 123,,,,n a a a a L ，12,,,n b b b L 123,,,n c c c c L K ，23,,,n d d d d L K 使得 11221122332()n n n n a b a b a b c d c d c d c d +++=++++L L .6.设0(1,2,3,)k p a q k n <≤≤=L ，试求：111()()nnk i i kf a a ===∑∑的最大值与最小值.。
排序不等式
2
3
1
2
-1
∵b1≥1,b2≥2,…,bn-1≥n-1,c1≤2,c2≤3,…,cn-1≤n,
1 2
-1 1 2
-1
∴
+
+⋯+
≥ + + ⋯+
,
1 2
-1 2 3
1 2
-1 1 2
-1 1 2
-1
即 + + ⋯+
≤
+
+ ⋯+
≤
+
+⋯+
.
2 3
1 2
-1 2 3
+
+
证明:由对称性,不妨设 a≥b≥c>0.
1
1
1
于是 a+b≥a+c≥b+c,a ≥b ≥c , + ≥ + ≥ +.
2
2
2
2
2
2
由排序原理,知+ + + + + ≥ + + + + +,
2
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
2
≥
2
3
+ ⋯+
-1
.
证明:设 b1,b2,…,bn-1 是 a1,a2,…,an-1 的一个排列,且
b1<b2<…<bn-1,c1,c2,…,cn-1 为 a2,a3,…,an 的一个排列,且
高二数学排序不等式
问题探究
猜想： 反序和 乱序和 顺序和
即：S1 S S2
形成结论 定理：（排序不等式）
设a1 a2 an , b1 b2 bn为 两组实数，c1, c2 , cn是b1, b2 , bn 的任一排列，则:
a1bn a2bn1 anb1 a1c1 a2c2 ancn a1b1 a2b2 anbn 当且仅当a1 a2 an或b1 b2 bn 时，反序和等于顺序和.
例1、有10个人各拿一个水桶去接水， 设水龙头注满第i(i 1, 2, ,10)个人的
水桶需要 ti 分，假定这些 ti 各不相
同。问只有一个水龙头时，应如何
安排10人的顺序，使他们等候的总时 间最少？这个最少的总时间等于多少？
例2、设a1, a2, an是n个互不相同 的正整数，求证：
1 1 1 23
1 n
a1
a2 22
a3 32
an n2
作业： P45 1，2，3，4
； / 淘宝优惠券去哪里领 ；
刚好听见这番话,把斗笠解下挂在墙上,“陆陆是少君朋友,她有事,少华作为大哥の当然要关照.听说她最喜欢跟人打官非索赔,你说话谨慎些.”村里の每个人各有原则,不了解便妄下定论容易犯事.佟灵雁也瞅了好友一眼,“可不是,我还听说她认识热点追踪の名记,被她盯上不死也得招来一 身臊.你呀,口无遮拦の早晚惹事.”“嗤,什么名记,一群狗仔嘚瑟什么？被人宰了一个又一个还不懂得收敛反省,迟早要完.”伍雪青不以为然地拈起一颗葡萄吃了,转移话题,“对了,华华,明晚荷塘夜宴怎么去？几个人去？”“年轻人撑筏坐小木船都行,中老年人坐艇.”“哟,”伍雪青来兴 趣了,“又是休闲居买の？”“休闲居和养生馆各一条,怎么,你想坐？”“不
排序不等式
排序不等式说明排序不等式是高中数学竞赛大纲、新课标要求的基本不等式。
设有两组数a_1 , a_2 ,…… a_n; b_1 , b_2 ,…… b_n 满足a_1≤ a_2 ≤……≤ a_n, b_1 ≤ b_2≤……≤ b_n ，则有a_1 b_n + a_2 b_{n-1}+ ... + a_n b_1≤ a_1 b_{t_1} + a_2 b_{t_2} +……+ a_n b_{t_n}≤ a_1 b_1 + a_2 b_2 + ……+a_n b_n.式中t_1，t_2，……，t_n是1，2，……，n的任意一个排列，当且仅当a_1 = a_2 = ... = a_n 或 b_1 = b_2 = ... = b_n 时等号成立。
应用排序不等式常用于与顺序无关的一组数乘积的关系。
可以先令a_1 ≤ a_2 ≤ a_3 ≤ ... ≤ a_n，确定大小关系。
使用时常构造一组数，使其与原数构成乘积关系，以便求解。
适用于分式、乘积式尤其是轮换不等式的证明。
以上排序不等式也可简记为：反序和≤乱序和≤同序和.排序不等式的证明：逐步调整法。
当n=2时，不妨设a_1 ≤ a_2，b_1 ≤ b_2，那么a_1 b_1 + a_2 b_2 - ( a_2 b_1 + a_1 b_2)= ( a_1 - a_2 )( b_1 - b_2 )≥0.因此n=2时成立。
当n>2时，只需分别证明两个不等式即可。
不妨设a_1 ≤ a_2 ≤ ... ≤ a_n，b_1 ≤ b_2 ≤ ... ≤ b_n。
A. 乱序和≤同序和考察a_1 b_{t_1} + a_2 b_{t_2} + ... + a_n b_{t_n}。
如果t_1=1，那么考察t_2。
如果t_i=i，i=1, ..., k，那么考察t_{k +1}。
现不妨设第一个满足t_k>k的项脚标为m，即a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_m b_{t_m} + ... + a_n b_{t_n}，t_m>m。
排序不等式
• 小结：
1、根据题意适当的构造两组数 2、找出顺序和，反序和 3、根据题目的结论和不等式的结构 恰当的构造乱序和
作业
1.设a1, a2 ,..., an为正数，求证
a1a2 a3
a2a3 a1
a3a1 a2
a1 a2
a3.
2.设a1, a2 ,..., an为正数，试分别用柯西 不等式与排序不等式证明
排序不等式
定理（排序不等式，又称排序定理） 设a1 a2 ... an，b1 b2 ... bn为两组 实数c1, 是b1, b2...bn的任一排列， 那么：
a1bn a2bn1 ... anb1 a1c1 a2c2 ... ancn a1b1 a2b2 ... anb.n 当且仅当a1 a2 ... an或b1 b2 ... bn时, 反序和等于顺序和。
反序和≤乱序和≤顺序和
例1 ：有10人各拿一只水桶去接水，设水 龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需要ti 分，假定这些ti各不相同。
问：只有一个水龙头时，应该如何安排10 人的顺序，使他们等候的总时间最少？这 个最少的总时间等于多少？
解：总时间(分）是10t1+9t2+…+2t9+t10 根据排序不等式，当t1<t2<…<t9<t10时， 总时间取最小值。
a12 a2
a22 a3
...
a2 n1
an
an2 a1
a1
a2
... an.
本节完，谢谢聆听
因为b1,b2,…,bn是互不相等的正整数， 所以b1≥1,b2≥2,…,bn≥n.
又因
1
1 22
1 32
...
高二数学排序不等式
排序不等式
问题探究
Bn Bi B2 B1
B
O
A1 A2
Ai
An A
问题探究
设c1 , c2 ,
cn是数组b1 , b2 ,
bn的任何一个排列
, bn ) anb1
S a1c1 a2ຫໍສະໝຸດ 2 S叫做数组(a1 , a2 ,
ancn何时取得最大值.
, an )和(b1 , b2 ,
的乱序和，其中按相反顺序相乘所得 积的和S1 a1bn a2bn 1 a3bn 2 的和S2 a1b1 a2b2 a3b3 称为反序和，按相同顺序相乘所得积 anbn 称为顺序和.
问题探究
猜想： 反序和 乱序和 顺序和 即：S1 S S2
形成结论
定理：（排序不等式）
an , b1 b2 cn是b1 , b2 , bn为 bn an cn bn
设a1 a2
两组实数，c1 , c2 , 的任一排列，则: a1bn a2bn 1 a1b1 a2b2
例2、设a1 , a2 , 1 1 1 2 3
an是n个互不相同 an 2 n
的正整数，求证： a2 a3 1 a1 2 2 n 2 3
作业： P45 1，2，3，4
； / 原油 ；
白重炙也有一丝疑惑,灵魂静寂状态,他并不是没有进入过,在落神山也进入过多次,但是似乎…这次却是进步更加大了,这点他也问过月倾城,月倾城也是一知半懂の,不是很清楚. …… "肯定是深层灵魂静寂状态！" 白重炙不清楚,月惜水却在查探了月倾城の情况,和听着她羞涩の说 完那天の情况之后,直接下了肯定の答案. "不咋大的倾城将你呀那种你呀领悟の法则演示一遍,俺看看威力！" 月惜水忽然想起一件事情,突然神情几多の兴奋起来,她早就估计月倾城和白重炙の第一次结合,会有很奇妙の事情发生.只是没有想到,现在却是大大出乎了她の意料. 月 倾城进入了一次灵魂静寂状态,却突然领悟了一种古怪の玄奥,不是入门,而是完全领悟！她,现在直接达到了帝王境二重巅峰の修为,并且灵魂强大猛增.这…不是月后说の深层灵魂静寂状态の话,根本无法解释. "嗯！俺去拿琴！" 月倾城点了点头,现在两人是在寒心阁天台.月倾城 走到她の房间手捧着一把黑色の古琴,走了上来.摆在天台上,她盘坐起来,开始弹奏起来. "锵锵！" 一阵悠扬婉转の美妙声音在寒心阁天台响起,并且透过天台开始传递出去,最后覆盖了整个白家堡东院. 琴声没问题,一首普通抒情の"高山流水",有问题の是听到这琴声の人.月惜水 脸上露出一丝惊喜の笑意,一双秋水眸子尽是异彩,寒心阁内正喝着茶水の夜轻语和夜轻舞,都眼中同时闪过一丝迷茫,随即开始沉寂在没悠扬の琴声中.东园刚刚回归白家の护院和杂役,全部都同时停止了手上の事情,全部眼中闪过一丝迷茫,呆立了起来. 一曲完毕,夜轻舞和夜轻语继 续开始喝起了茶,只是夜轻语微微有些疑惑の蹙起了眉梢.东院の人却宛如什么也没发生一样,继续忙活着自己の事情… "好,很好,非常好！" 月惜水却是连说了三个好字,脸上尽是神采飞扬之色："恭喜你呀,不咋大的倾城,你呀竟然感悟了传说中の神音法则,这太不可思议了,你呀是 继白重炙之后,大陆数千年来の第二天才,无可置疑の第二天才！" 本书来自 聘熟 当前 第叁捌捌章 你呀…马上走 文章阅读 "神音法则?" 月倾城诧异の抬头朝月惜水望去,这几日她一直在琢磨这自己感悟の法则到底是什么?就连白重炙问她,她因为不确定,也才告诉他自己略有突 破而已. 现在陡然将听到月惜水这样の解释,不禁也惊了："族长,你呀不是说天地法则只有至高法则和元素法则?这神音法则是属于哪类?他比至高法则还厉害?" "错！神音法则这两种一种都不属于.具体の俺也不是很清楚,当年月后去神界前曾经留下の宝典内记录有.她说,其实天地 中还存在一些罕见の法则,特殊类法则,没有大机缘,大悟性の人是不可能感悟到,但是一旦感悟の话,并且能迈入神级の话,这法则可就变tai了." 月后满脸兴奋の继续解释道："你呀不知道刚才你呀弹琴の时候,夜轻语这个圣人境の练家子都陷入了迷茫之中.你呀这种法则按俺估计, 是属于灵魂类の法则,能迷惑敌人の灵魂.不咋大的倾城,朝着这法则道路一路走下去吧,说不定你呀会成为第二个白重炙,你呀未来の成就俺很期待！" "这么厉害?" 月倾城心情也微微激动了起来,原本她只是单纯の喜欢弹琴,在月家弹了十几年の琴.白重炙陷入落神山の时候,也是靠 弹琴来缓解她心内の压抑和苦寂,最后在深层灵魂静寂状态下也是听到了一曲很奇妙の曲子.没想到竟然感悟了灵魂类超强の神音法则.这一切冥冥中似乎有天意,一切似乎都有因果循环. 点了点头,她微笑说道："嗯,倾城一定会朝这条道路一直走下去,因为倾城是真心喜欢音律,既能 享受音律又能修炼,这是倾城之大幸." 月惜水很是欣慰の对了月倾城一笑,再次交待了几句,瞬移离开了,直接去了静湖岛. …… "老祖宗,忘记问了,要怎么才能成为炽火位面の领主?" 白重炙和夜若水说完,准备没什么事就回寒心阁了,却突然想到一些问题,自己既然答应了他们,虽 然成神还早の很,但是好歹要搞清楚,这任务到底是怎么一回事吧. "这…这个,俺也不清楚,恐怕要去了神界才知道吧.哦！对了,你呀有时候问问噬大人,她那么强大の存在肯定知道！"夜若水露出一丝尴尬,他们让白重炙去努力成为炽火位面の领主,其实他们都不知道该怎么去达成. 毕竟他们都没去过神界,而原先去了神界の人也没有人回来过. "对了,那ri你呀为何要隐瞒身份?有什么苦衷吗?"夜若水突然也想到一些问题,有些疑惑の问道. "这个…哎,老祖宗,其实俺一直隐瞒了你呀一件事情." 白重炙见夜若水问到了,并且现在他也需要夜若水他们帮忙隐瞒实 力,所以只能咬牙说道："俺在蛮荒山脉…杀了屠千军,俺不隐瞒实力の话屠神卫肯定会有察觉.会怀疑俺得到了神皮.追查下来肯定会怀疑俺杀了屠千军,从而找俺麻烦の,他现在俺倒是不怕,就怕他请神主出手啊！到时候就会很麻烦了." "什么?你呀杀了屠千军?" 屠千军の死,屠神卫 一直在暗中调查,没有声张,所以夜若水一直没有接到消息.此刻一听见却是猛然大惊.这事情…可大可不咋大的啊,要是神主屠不出手,那就是不咋大的事,要是神主屠出手の话,那对白家可是灭顶之灾啊. 神主屠有领主意志在大陆除了噬大人,可是无人能敌.如果他想对付白家の话,除 非噬大人保白家,否则白家の下场唯有灭亡,无其他路.但是噬大人会保白家?她可是连白重炙都不怎么爱管の人,你呀奢望她来管白家の存亡. "你呀太鲁莽了！这…事情麻烦了！这事情很有可能让白家遭受灭族之威,唉！这…" 夜若水两条白眉陡然竖起,两只眼睛闪烁个不停,白重炙 不怎么清楚神城の强者和手段.但是夜若水却是清楚の很,魂奴散布大陆无处不在,这事最后肯定会曝光.现在白重炙の实力又陡然暴增,肯定会引起屠神卫他们の怀疑. 并且,似乎白重炙和屠千军以前就一直有很深の仇恨?那么这样扁人动机也有了.这一旦真相大白,而白重炙还身怀神 剑,这事情一旦给神主屠知道,他肯定会出手击杀白重炙の,还会顺便把白家给抹平の. "呃…在蛮荒山脉屠千军要杀俺,俺没办法只能出手将他和他の手下全部灭了！俺不可能等着被他杀吧?"白重炙没想太多,也没有料到事情又这么严重,无辜の一摊手说道. "事已至此,别无他法了, 俺安排人将消息在**一下.能瞒多久是多久,一切都看天意了.你呀…马上走,带着夜轻语她们马上走,去暗黑森林,或者去紫岛,连夜就走,不修炼到神级,你呀别回雾霭城！"夜若水沉吟一阵,却突然开口做了决定. "什么?有这么严重吗?" 白重炙傻眼了,他已经将事情想得很严重了.没 想到,居然到了要他利马要离去,去暗黑色林,去紫岛避祸の地步了,他一时接受不了,惊了！面色变得凝重起来. "这叫不咋大的心驶得万年船,俺问你呀个问题,真の神剑在你呀那吧?"夜若水神色变得森寒起来,看着白重炙扭捏着不回答,叹了口气说道： "你呀别否认,俺也不要你呀の. 你呀想想,连俺都能猜到神剑在你呀那,想必这个大陆不少神级都猜到了.你呀去落神山五年了,最后竟然轻松出来了,还实力暴涨,最重要の是你呀那把奇怪の武器,别人不怀疑你呀才怪." "要不是这次异族降临,恐怕都有人对你呀下手了.而你呀这次雾霭城の事情一暴露,黑袍人是你 呀の事情,肯定不少人会怀疑.那么…你呀杀屠千军の事情肯定会浮出水面.毕竟你呀和他有直接仇恨有扁人动机,而你呀既然能在神智之下得到神皮,那么也有杀屠千军の实力.神城只要确定你呀杀了屠千军,那么……神主屠就有了光明正大对你呀出手の理由！他肯定会打着替屠千军 报仇の旗号,来杀你呀拿神剑.你呀如果继续呆在白家,结果只有几个,第一你呀很有可能被屠杀死,第二你呀很可能连累白家,导致白家灭亡！" 呃… 白重炙摸了摸鼻子,好半响才回过神来.脸色却变成了苦瓜样.夜若水分析の全对,是自己把事情想得
问题探究
Bn Bi B2 B1
B
O
A1 A2
Ai
An A
问题探究
设c1 , c2 ,
cn是数组b1 , b2 ,
bn的任何一个排列
, bn ) anb1
S a1c1 a2ຫໍສະໝຸດ 2 S叫做数组(a1 , a2 ,
ancn何时取得最大值.
, an )和(b1 , b2 ,
的乱序和，其中按相反顺序相乘所得 积的和S1 a1bn a2bn 1 a3bn 2 的和S2 a1b1 a2b2 a3b3 称为反序和，按相同顺序相乘所得积 anbn 称为顺序和.
问题探究
猜想： 反序和 乱序和 顺序和 即：S1 S S2
形成结论
定理：（排序不等式）
an , b1 b2 cn是b1 , b2 , bn为 bn an cn bn
设a1 a2
两组实数，c1 , c2 , 的任一排列，则: a1bn a2bn 1 a1b1 a2b2
例2、设a1 , a2 , 1 1 1 2 3
an是n个互不相同 an 2 n
的正整数，求证： a2 a3 1 a1 2 2 n 2 3
作业： P45 1，2，3，4
； / 原油 ；
白重炙也有一丝疑惑,灵魂静寂状态,他并不是没有进入过,在落神山也进入过多次,但是似乎…这次却是进步更加大了,这点他也问过月倾城,月倾城也是一知半懂の,不是很清楚. …… "肯定是深层灵魂静寂状态！" 白重炙不清楚,月惜水却在查探了月倾城の情况,和听着她羞涩の说 完那天の情况之后,直接下了肯定の答案. "不咋大的倾城将你呀那种你呀领悟の法则演示一遍,俺看看威力！" 月惜水忽然想起一件事情,突然神情几多の兴奋起来,她早就估计月倾城和白重炙の第一次结合,会有很奇妙の事情发生.只是没有想到,现在却是大大出乎了她の意料. 月 倾城进入了一次灵魂静寂状态,却突然领悟了一种古怪の玄奥,不是入门,而是完全领悟！她,现在直接达到了帝王境二重巅峰の修为,并且灵魂强大猛增.这…不是月后说の深层灵魂静寂状态の话,根本无法解释. "嗯！俺去拿琴！" 月倾城点了点头,现在两人是在寒心阁天台.月倾城 走到她の房间手捧着一把黑色の古琴,走了上来.摆在天台上,她盘坐起来,开始弹奏起来. "锵锵！" 一阵悠扬婉转の美妙声音在寒心阁天台响起,并且透过天台开始传递出去,最后覆盖了整个白家堡东院. 琴声没问题,一首普通抒情の"高山流水",有问题の是听到这琴声の人.月惜水 脸上露出一丝惊喜の笑意,一双秋水眸子尽是异彩,寒心阁内正喝着茶水の夜轻语和夜轻舞,都眼中同时闪过一丝迷茫,随即开始沉寂在没悠扬の琴声中.东园刚刚回归白家の护院和杂役,全部都同时停止了手上の事情,全部眼中闪过一丝迷茫,呆立了起来. 一曲完毕,夜轻舞和夜轻语继 续开始喝起了茶,只是夜轻语微微有些疑惑の蹙起了眉梢.东院の人却宛如什么也没发生一样,继续忙活着自己の事情… "好,很好,非常好！" 月惜水却是连说了三个好字,脸上尽是神采飞扬之色："恭喜你呀,不咋大的倾城,你呀竟然感悟了传说中の神音法则,这太不可思议了,你呀是 继白重炙之后,大陆数千年来の第二天才,无可置疑の第二天才！" 本书来自 聘熟 当前 第叁捌捌章 你呀…马上走 文章阅读 "神音法则?" 月倾城诧异の抬头朝月惜水望去,这几日她一直在琢磨这自己感悟の法则到底是什么?就连白重炙问她,她因为不确定,也才告诉他自己略有突 破而已. 现在陡然将听到月惜水这样の解释,不禁也惊了："族长,你呀不是说天地法则只有至高法则和元素法则?这神音法则是属于哪类?他比至高法则还厉害?" "错！神音法则这两种一种都不属于.具体の俺也不是很清楚,当年月后去神界前曾经留下の宝典内记录有.她说,其实天地 中还存在一些罕见の法则,特殊类法则,没有大机缘,大悟性の人是不可能感悟到,但是一旦感悟の话,并且能迈入神级の话,这法则可就变tai了." 月后满脸兴奋の继续解释道："你呀不知道刚才你呀弹琴の时候,夜轻语这个圣人境の练家子都陷入了迷茫之中.你呀这种法则按俺估计, 是属于灵魂类の法则,能迷惑敌人の灵魂.不咋大的倾城,朝着这法则道路一路走下去吧,说不定你呀会成为第二个白重炙,你呀未来の成就俺很期待！" "这么厉害?" 月倾城心情也微微激动了起来,原本她只是单纯の喜欢弹琴,在月家弹了十几年の琴.白重炙陷入落神山の时候,也是靠 弹琴来缓解她心内の压抑和苦寂,最后在深层灵魂静寂状态下也是听到了一曲很奇妙の曲子.没想到竟然感悟了灵魂类超强の神音法则.这一切冥冥中似乎有天意,一切似乎都有因果循环. 点了点头,她微笑说道："嗯,倾城一定会朝这条道路一直走下去,因为倾城是真心喜欢音律,既能 享受音律又能修炼,这是倾城之大幸." 月惜水很是欣慰の对了月倾城一笑,再次交待了几句,瞬移离开了,直接去了静湖岛. …… "老祖宗,忘记问了,要怎么才能成为炽火位面の领主?" 白重炙和夜若水说完,准备没什么事就回寒心阁了,却突然想到一些问题,自己既然答应了他们,虽 然成神还早の很,但是好歹要搞清楚,这任务到底是怎么一回事吧. "这…这个,俺也不清楚,恐怕要去了神界才知道吧.哦！对了,你呀有时候问问噬大人,她那么强大の存在肯定知道！"夜若水露出一丝尴尬,他们让白重炙去努力成为炽火位面の领主,其实他们都不知道该怎么去达成. 毕竟他们都没去过神界,而原先去了神界の人也没有人回来过. "对了,那ri你呀为何要隐瞒身份?有什么苦衷吗?"夜若水突然也想到一些问题,有些疑惑の问道. "这个…哎,老祖宗,其实俺一直隐瞒了你呀一件事情." 白重炙见夜若水问到了,并且现在他也需要夜若水他们帮忙隐瞒实 力,所以只能咬牙说道："俺在蛮荒山脉…杀了屠千军,俺不隐瞒实力の话屠神卫肯定会有察觉.会怀疑俺得到了神皮.追查下来肯定会怀疑俺杀了屠千军,从而找俺麻烦の,他现在俺倒是不怕,就怕他请神主出手啊！到时候就会很麻烦了." "什么?你呀杀了屠千军?" 屠千军の死,屠神卫 一直在暗中调查,没有声张,所以夜若水一直没有接到消息.此刻一听见却是猛然大惊.这事情…可大可不咋大的啊,要是神主屠不出手,那就是不咋大的事,要是神主屠出手の话,那对白家可是灭顶之灾啊. 神主屠有领主意志在大陆除了噬大人,可是无人能敌.如果他想对付白家の话,除 非噬大人保白家,否则白家の下场唯有灭亡,无其他路.但是噬大人会保白家?她可是连白重炙都不怎么爱管の人,你呀奢望她来管白家の存亡. "你呀太鲁莽了！这…事情麻烦了！这事情很有可能让白家遭受灭族之威,唉！这…" 夜若水两条白眉陡然竖起,两只眼睛闪烁个不停,白重炙 不怎么清楚神城の强者和手段.但是夜若水却是清楚の很,魂奴散布大陆无处不在,这事最后肯定会曝光.现在白重炙の实力又陡然暴增,肯定会引起屠神卫他们の怀疑. 并且,似乎白重炙和屠千军以前就一直有很深の仇恨?那么这样扁人动机也有了.这一旦真相大白,而白重炙还身怀神 剑,这事情一旦给神主屠知道,他肯定会出手击杀白重炙の,还会顺便把白家给抹平の. "呃…在蛮荒山脉屠千军要杀俺,俺没办法只能出手将他和他の手下全部灭了！俺不可能等着被他杀吧?"白重炙没想太多,也没有料到事情又这么严重,无辜の一摊手说道. "事已至此,别无他法了, 俺安排人将消息在**一下.能瞒多久是多久,一切都看天意了.你呀…马上走,带着夜轻语她们马上走,去暗黑森林,或者去紫岛,连夜就走,不修炼到神级,你呀别回雾霭城！"夜若水沉吟一阵,却突然开口做了决定. "什么?有这么严重吗?" 白重炙傻眼了,他已经将事情想得很严重了.没 想到,居然到了要他利马要离去,去暗黑色林,去紫岛避祸の地步了,他一时接受不了,惊了！面色变得凝重起来. "这叫不咋大的心驶得万年船,俺问你呀个问题,真の神剑在你呀那吧?"夜若水神色变得森寒起来,看着白重炙扭捏着不回答,叹了口气说道： "你呀别否认,俺也不要你呀の. 你呀想想,连俺都能猜到神剑在你呀那,想必这个大陆不少神级都猜到了.你呀去落神山五年了,最后竟然轻松出来了,还实力暴涨,最重要の是你呀那把奇怪の武器,别人不怀疑你呀才怪." "要不是这次异族降临,恐怕都有人对你呀下手了.而你呀这次雾霭城の事情一暴露,黑袍人是你 呀の事情,肯定不少人会怀疑.那么…你呀杀屠千军の事情肯定会浮出水面.毕竟你呀和他有直接仇恨有扁人动机,而你呀既然能在神智之下得到神皮,那么也有杀屠千军の实力.神城只要确定你呀杀了屠千军,那么……神主屠就有了光明正大对你呀出手の理由！他肯定会打着替屠千军 报仇の旗号,来杀你呀拿神剑.你呀如果继续呆在白家,结果只有几个,第一你呀很有可能被屠杀死,第二你呀很可能连累白家,导致白家灭亡！" 呃… 白重炙摸了摸鼻子,好半响才回过神来.脸色却变成了苦瓜样.夜若水分析の全对,是自己把事情想得
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三排序不等式[学习目标] 1.了解排序不等式的数学思想和背景.2.了解排序不等式的结构与基本原理.3.理解排序不等式的简单应用．[知识链接]某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中有单价为3元、2元和1元的礼品，问有多少不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？答案有多少种不同的购买方案，实质上就是礼品和单价有多少种不同的对应关系．与单价3元对应的礼品可以是4件的礼品，也可以是5件或2件的礼品共有三种对应关系，与单价2元对应的只还有剩下的2种．与单价一元对应的只有一种．由乘法分步计数原理知共有3×2×1＝6种不同的购买方案．根据生活的实际经验，花钱最少的方案应是最贵的礼品买最少的件数，最便宜的礼品买最多的件数，即1×5＋2×4＋3×2＝19元，花钱最多的方案应是：单价最高的礼品买最多的件数，单价最低的礼品买最少的件数，即1×2＋2×4＋3×5＝25元．[预习导引]1．顺序和、乱序和、反序和的概念设a1≤a2≤a3≤…≤a n，b1≤b2≤b3≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n 的任一排列，则称a i与b i(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和a1b1＋a2b2＋…＋a n b n 为顺序和，和a1c1＋a2c2＋…＋a n c n为乱序和，相反顺序相乘所得积的和a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1为反序和．2．排序不等式(排序原理)设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和≤乱序和≤顺序和．要点一 利用排序原理证明不等式例1 已知a ，b ，c 为正数，求证b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc . 证明 根据所要证明的不等式中a ，b ，c 的“地位”的对称性，不妨设a ≥b ≥c ， 则1a ≤1b ≤1c，bc ≤ca ≤ab . 由排序原理：顺序和≥乱序和，得：bc a ＋ca b ＋ab c ≥bc c ＋ca a ＋ab b. 即b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2abc≥a ＋b ＋c ， 因为a ，b ，c 为正数，所以abc ＞0，a ＋b ＋c ＞0，于是b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc . 规律方法 (1)在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2)排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两乘积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最小．跟踪演练1 已知a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13. 证明 不妨设a ≤b ≤c ，则由排序不等式得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，上式两边同乘2再加a 2＋b 2＋c 2，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2，即a 2＋b 2＋c 2≥(a ＋b ＋c )23＝13，命题得证． 要点二 利用排序原理证明n 项不等式例2 设a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相同的正整数，求证：1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2. 证明 ∵12＜22＜32＜…＜n 2，∴112＞122＞…＞1n 2. 设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 由小到大的一个排列，即c 1＜c 2＜c 3＜…＜c n ，根据排序原理中，反序和≤乱序和，得c 1＋c 222＋c 332＋…＋c n n 2≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2， 而c 1，c 2，…，c n 分别大于或等于1,2，…，n ，∴c 1＋c 222＋c 332＋...＋c n n 2≥1＋222＋332＋...＋n n 2＝1＋12＋ (1)， ∴1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋…＋a n n 2. 规律方法 利用排序不等式证明不等式，关键是构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组．跟踪演练2 设c 1，c 2，…，c n 为正数组a 1，a 2，…，a n 的某一排列，求证：a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n≥n .证明 不妨设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a 1≥1a 2≥…≥1a n. 因为1c 1，1c 2，…，1c n 是1a 1，1a 2，…，1a n的一个排序， 故由排序原理：反序和≤乱序和得a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1a n≤a 1·1c 1＋a 2·1c 2＋…＋a n ·1c n. 即a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n≥n . 要点三 利用排序原理求最值例3 设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b的最小值． 解 不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b， 由排序不等式得，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋ba b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b上述两式相加得：2⎝⎛⎭⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3， 即a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32. 当且仅当a ＝b ＝c 时，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b取最小值32. 规律方法 求最小(大)值，往往所给式子是顺(反)序和式．然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出适当一个或二个乱序和从而求出其最小(大)值．跟踪演练3 设0＜a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值． 解 令S ＝1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )， 则S ＝(abc )2a 3(b ＋c )＋(abc )2b 3(a ＋c )＋(abc )2c 3(a ＋b )＝bc a (b ＋c )·bc ＋ac b (a ＋c )·ac ＋ab c (a ＋b )·ab . 由已知可得：1a (b ＋c )≥1b (a ＋c )≥1c (a ＋b )，ab ≤ac ≤bc . ∴S ≥bc a (b ＋c )·ac ＋ac b (a ＋c )·ab ＋ab c (a ＋b )·bc ＝c a (b ＋c )＋a b (a ＋c )＋b c (a ＋b ). 又S ≥bc a (b ＋c )·ab ＋ac b (a ＋c )·bc ＋ab c (a ＋b )·ac ＝b a (b ＋c )＋c b (a ＋c )＋a c (a ＋b )， 两式相加得：2S ≥1a ＋1b ＋1c ≥3·31abc＝3. ∴S ≥32，即1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值为32.1．设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n ，b 1≤b 2≤b 3≤…≤b n 为两组实数，在排序不等式中，顺序和，反序和，乱序和的大小关系为( )A ．反序和≥乱序和≥顺序和B ．反序和＝乱序和＝顺序和C ．反序和≤乱序和≤顺序和D ．反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定答案 C2．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则1c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．答案 32 28解析 由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32；最小值为28.3．已知a ，b ，c ∈R ＋，求证a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b. 证明 由于不等式关于a 、b 、c 对称，可设a ≥b ≥c ＞0.由排序不等式，得a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c (逆序和)≤a 2·1b ＋b 2·1c ＋c 2·1a(乱序和)． 及a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c≤a 2·1c ＋b 2·1a ＋c 2·1b. 以上两个同向不等式相加再除以2，即得a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b.1.在没有给定字母大小的情况下，要使用排序不等式，必须限定字母的大小顺序，而只有具有对称性的字母才可以直接限定字母的大小顺序，否则要根据具体环境分类讨论．2．求证一个与排序有关的不等式．若 a ，b ，c 在不等式中的“地位”是对称的，解答时不妨设a ≥b ≥c ，再利用排序不等式加以证明．排序不等式1．有一有序数组，其顺序和为A ，反序和为B ，乱序和为C ，则它们的大小关系为( )A ．A ≥B ≥CB ．A ≥C ≥B C ．A ≤B ≤CD ．A ≤C ≤B解析：选B 由排序不等式，顺序和≥乱序和≥反序和知：A ≥C ≥B .2．若A ＝x 21＋x 22＋…＋x 2n ，B ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n －1x n ＋x n x 1，其中x 1，x 2，…，x n 都是正数，则A 与B 的大小关系为( )A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ≤B解析：选C 序列{x n }的各项都是正数，不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，则x 2，x 3，…，x n ，x 1为序列{x n } 的一个排列．由排序原理，得x 1x 1＋x 2x 2＋…＋x n x n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1，即x 21＋x 22＋…＋x 2n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1.3．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c 2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的关系为( ) A ．P ≥Q B ．P ＝Q C ．P ≤Q D ．不能确定解析：选C 不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ，则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A )＝R [sin(A ＋B )＋sin(B ＋C )＋sin(A ＋C )]＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝P ＝a ＋b ＋c 2. 4．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花的钱数为( )A ．76B ．20C ．84D ．96解析：选A 设a 1＝1(件)，a 2＝2(件)，a 3＝3(件)，b 1＝10(元)，b 2＝13(元)，b 3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．5．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则1c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28.答案：32 286．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s 、4 s 、3 s 、 7 s ，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.解析：由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41.答案：417．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，A ，B 所对的边分别为a ，b ，则aA ＋bB 与π4(a ＋b )的大小关系为________．解析：不妨设a ≥b >0，则A ≥B >0，由排序不等式⎭⎪⎬⎪⎫aA ＋bB ≥aB ＋bA aA ＋bB ＝aA ＋bB ⇒2(aA ＋bB )≥a (A ＋B )＋b (A ＋B ) ＝π2(a ＋b )， ∴aA ＋bB ≥π4(a ＋b )． 答案：aA ＋bB ≥π4(a ＋b ) 8．设a ，b ，c 都是正数，求证：a ＋b ＋c ≤a 4＋b 4＋c 4abc. 证明：由题意不妨设a ≥b ≥c >0.由不等式的性质，知a 2≥b 2≥c 2，ab ≥ac ≥bc .根据排序原理，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 3c ＋b 3a ＋c 3b .①又由不等式的性质，知a 3≥b 3≥c 3，且a ≥b ≥c .再根据排序不等式，得a 3c ＋b 3a ＋c 3b ≤a 4＋b 4＋c 4.②由①②及不等式的传递性，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 4＋b 4＋c 4.两边同除以abc 得证原不等式成立．9．设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b 的最小值． 解：不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b. 由排序不等式，得 a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b， a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b， 以上两式相加，得2⎝⎛⎭⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3， ∴a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32， 即当且仅当a ＝b ＝c 时，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b的最小值为32.10．设x ，y ，z 为正数，求证：x ＋y ＋z ≤x 2＋y 22z ＋y 2＋z 22x ＋z 2＋x 22y. 证明：由于不等式关于x ，y ，z 对称，不妨设0<x ≤y ≤z ，于是x 2≤y 2≤z 2，1z ≤1y ≤1x ，由排序原理：反序和≤乱序和，得x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1z ＋y 2·1x ＋z 2·1y， x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1y ＋y 2·1z ＋z 2·1x ，将上面两式相加，得2(x ＋y ＋z )≤x 2＋y 2z ＋y 2＋z 2x ＋z 2＋x 2y ，于是x ＋y ＋z ≤x 2＋y 22z ＋y 2＋z 22x ＋z 2＋x 22y.。