2023-2024学年北京市朝阳区高一上册期末数学学情检测模拟试题一、单选题1．设全集R U =，集合{}220A x x x =--≤，{}lg 0B x x =>，则A B = （）A ．{}12x x -≤≤B ．{}12x x <≤C ．{}12x x <<D ．{}1x x ≥-【答案】B【分析】利用一元二次不等式的解法和对数不等式的解法求解.【详解】由220x x --≤解得12x -≤≤，所以{}12A x x =-≤≤，由lg 0x >解得1x >，所以{}1B x x =>，所以{}12A B x x ⋂=<≤，故选:B.2．已知{|02}A x x =，{|12}B y y =，下列图形能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】A.其值域为[0,2]，故不符合题意；B.符合题意；CD 是函数图象，值域为{1,2}，故不符合题意.【详解】解：A 是函数图象，其值域为[0,2]，与已知函数的值域为{|12}B y y =不符，故不符合题意；B 是函数的图象，定义域为[0,2]，值域为[1,2]，故符合题意；C 是函数图象，值域为{1,2}，与已知函数的值域为{|12}B y y =不符，故不符合题意；D 是函数图象，值域为{1,2}，故不符合题意.故选：B3．单位圆上一点P 从()0,1出发，逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为（）A ．1,22⎛- ⎝⎭B ．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D ．,221⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】由题意得5π6ππ23QOx ∠=+=，从而得到π55cos ,πsin 66Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合诱导公式求出答案.【详解】点P 从()0,1出发，沿单位圆逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，所以5π6ππ23QOx ∠=+=，所以π55cos ,πsin 66Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中25coscos cos 6611π6πππ⎛⎫=-=- ⎭=⎪⎝，25s s 1in sin in 66ππ611ππ⎛⎫=-= ⎭=⎪⎝，即Q 点的坐标为：21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．故选：D ．4．不等式21216x +>的解集为（）A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．53,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．53,,22⎛⎤⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭D ．52⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,【答案】B【分析】根据指数函数单调性解不等式，得到解集.【详解】不等式21216x +>，∴21422x +>，即214x +>．∴214x +<-或214x +>，解得：52x <-或32x >，∴解集是53,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：B ．5．《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（）A ．154B ．415C ．158D ．120【答案】A【分析】根据扇形面积公式得到面积为120步，设出扇形圆心角，根据212S R α=求出扇形圆心角.【详解】因为直径16步，故半径为8R =步，3081202S ⨯==（平方步），设扇形的圆心角为α，则212S R α=，即1151206424αα=⨯⇒=．故选：A6．设a =0.80.9b =，0.9log 0.8c =，则（）A ．c a b >>B ．a c b>>C ．a b c>>D ．c b a>>【答案】A【分析】利用幂函数，指数函数以及对数函数的单调性以及中间值法即可比较大小.12a =<=<=，0.800.90.91b =<=，0.90.9log 0.8log 0.812c =>=，所以c a b >>．故选：A7．已知函数212()log (45)f x x x =--，则函数()f x 的减区间是（）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(5,)+∞D ．(,1)-∞-【答案】C【解析】先求得()f x 的定义域，然后根据复合函数同增异减确定()f x 的减区间.【详解】由()()245510x x x x --=-+>解得1x <-或5x >，所以()f x 的定义域为()(),15,-∞-+∞ .函数245y x x =--的开口向上，对称轴为2x =，函数12log y x =在()0,∞+上递减，根据复合函数单调性同增异减可知函数()f x 的减区间是()5,+∞.故选：C8．已知实数0x y >>，且111216x y +=+-，则x y -的最小值是（）A ．21B ．25C ．29D ．33【答案】A【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】∵0x y >>，等式111216x y +=+-恒成立，∴()()111321621x y x y x y ⎛⎫-+=++-+ ⎪+-⎝⎭，由于0x y >>，所以10,20y x ->+>∵()11212122242112x y x y x y y x ⎛⎫+-+++-=++≥+ ⎪+--+⎝⎭，当且仅当21x y +=-时，即10,11x y ==-时取等号．∴()1346x y -+≥，∴21x y -≥，故x y -的最小值为21．故选：A 二、多选题9．下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（）A ．x ∃∈R ，0x ≤B ．存在x ∈R ，使得210x x ++=C ．至少有一个无理数x ，使得3x 是有理数D ．有的有理数没有倒数【答案】ACD【分析】根据存在量词可判断存在量词命题，进而根据数与式的性质即可判断真假.【详解】对于A.命题是存在量词命题，所以0x ∃=，使0x =，所以A 是真命题，故A 正确；对于B ．对应方程210x x ++=，30∆=-<，方程无解，故B 错误；对于C ．命题是存在量词命题，x ∃=33=是有理数，所以C 是真命题；对于D ．有理数0没有倒数，故D 正确；故选:ACD ．10．下列说法正确的是（）A ．若sin cos 0αα⋅>，则α为第一象限角B ．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30-︒C ．终边经过点()(),0a a a ≠的角的集合是ππ,Z 4k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．在一个半径为3cm 的圆上画一个圆心角为30︒的扇形，则该扇形面积为23πcm 2【答案】BC【分析】A 选项，根据sin ,cos αα同号，确定角所在象限；B 选项，顺时针转动了30°，故B 正确；C 选项，根据终边在第一、三象限的角平分线上，确定角的集合；D 选项，由扇形面积公式进行求解.【详解】A 选项，若sin cos 0αα⋅>，则α为第一象限角或第三象限角，故A 错误；B 选项，将表的分针拨快5分钟，顺时针转动30°，故分针转过的角度是30-︒，故B 正确；C 选项，终边经过点()(),0a a a ≠的角的终边在直线y x =上，故角的集合是ππ,Z 4k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，C正确；D 选项，扇形面积为22211π3π3cm 2264S R α==⨯⨯=，故D 错误．故选：BC ．11．已知函数()12f x x =-，则下列结论中正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在(),2-∞-上单调递增C ．()f x 的值域为RD ．当()2,2x ∈-时，()f x 有最大值【答案】ABD【分析】A 选项，根据分母不为0得到定义域，再由奇偶性的定义判断A 正确；B 选项，先求出()12f x x =-在()2,+∞上均单调递减，结合奇偶性得到B 正确；C 选项，由()12f x x =-在()0,2和()2,+∞上的单调性结合奇偶性得到()f x 的值域，C 错误；D 选项，根据()f x 在()2,2x ∈-上的单调性得到最大值.【详解】对于A ，由20x -≠得函数()f x 定义域为{}2x x ≠±，所以()()122f x x x =≠±-．由()()1122f x f x x x -===---，可得函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，故A 正确；对于B ，当0x >且2x ≠时，函数()12f x x =-，该函数图象可由函数1y x=图象向右平移2个单位得到，所以函数()12f x x =-在()0,2和()2,+∞上均单调递减，由偶函数性质，可知()f x 在(),2-∞-上单调递增，故B 正确；对于C ，由B 可得，当0x >且2x ≠时，函数()12f x x =-在()0,2和()2,+∞上均单调递减，所以该函数在()()0,22,+∞U 的值域为()1,0,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；又因为函数()f x 为偶函数，且()102f =-，所以()f x 在其定义域上的值域为()1,0,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ ，故C 错误；对于D ，当()2,2x ∈-时，函数()f x 在()2,0-上单调递增，在()0,2上单调递减，所以()f x 有最大值为()102f =-，故D 正确．故选：ABD ．12．如图所示，边长为2的正方形ABCD 中，O 为AD 的中点，点P 沿着A B C D →→→的方向运动，设AOP ∠为x ，射线OP 扫过的阴影部分的面积为()f x ，则下列说法中正确的是（）A ．()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数B ．π142f ⎛⎫=⎪⎝⎭C ．()()π4f x f x +-=D ．()f x 图象的对称轴是π2x =【答案】BC【分析】当点P 在AB 的中点时，此时π4AOP ∠=，即可判断B ，根据阴影部分的面积变化可知()f x 的单调性，进而可判断A ，根据面积的之和为4，可判断对称性，进而可判断CD.【详解】对于A 选项，取BC 的中点为G ，当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,点P 在GCD 之间运动时，阴影部分的面积增加，所以()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，A 选项错误；对于B 选项，当点P 在AB 的中点时，此时π4AOP ∠=，所以，()11111222f x OA AP =⋅=⨯⨯=，故B正确，对于C 选项，取BC 的中点G ，连接OG ，作点P 关于直线OG 的对称点F ，则FOD x ∠=，所以πAOF x ∠=-，OF 绕O 点按顺时针方向旋转扫过正方形ABCD 的面积为S ，由对称性可知()S f x =，因为()π4S f x +-=，即()()π4f x f x +-=，C 选项正确；对于D 选项，由C 选项可知，()()π4f x f x +-=，则π3π+=444f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以，3ππ7π44424f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于直线π2x =对称，D 选项错误．故选：BC 三、填空题13．求值：26π17πsin cos()34+-=__________．【分析】利用终边相同的角同名三角函数值相等和诱导公式即可求解【详解】26π2π2πsinsin(8π)sin 3332=+==，17πππcos cos 4πcos cos 44442π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以226π17πsincos()34-=+.14．已知幂函数()()257mf x m m x =-+是R 上的增函数，则m 的值为______．【答案】3【分析】根据幂函数的定义与性质，即可求出m 的值．【详解】由题意()()257mf x m m x =-+是幂函数，2571m m ∴-+=，解得2m =或3m =，又()f x 是R 上的增函数,则3m =.故答案为：3.【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是得出关于m 的方程和不等式，是基础题．15．若“13x <<”的必要不充分条件是“22a x a -<<+”，则实数a 的取值范围是______．【答案】[]1,3【分析】将必要不充分条件转化为集合之间在关系，即可列不等式求解.【详解】由于“13x <<”的必要不充分条件是“22a x a -<<+”，所以{}13x x <<{}22x a x a -<<+则2123a a -≤⎧⎨+≥⎩且两个等号不同时取得，解得13a ≤≤，经检验1a =和3a =均符合要求，故a 的取值范围是[]1,3．故答案为：[]1,316．已知函数()()25,2lg 2,2x x f x x x x ⎧-≤-⎪=⎨+>-⎪⎩，若方程()1f x =的实根在区间()(),1Z k k k +∈上，则k 的所有可能值是______．【答案】－3，－2或1【分析】先由()2512x x -=≤-求出x =3k =-，再变形得到()1lg 2(2)x x x+=>-，画出两函数图象，数形结合得到两个根，结合零点存在性定理得到两根分别在()2,1--与()1,2内，从而确定k 的所有可能值.【详解】①由方程()2512x x -=≤-，解得：x =因为()3,2--，故3k =-；②由于方程()lg 21(2)x x x +=>-即方程()1lg 2(2)x x x+=>-，分别作出左右两边函数的图象，从图象上可得出：方程()1lg 2x x+=在区间()2,1--内有一个实根．故方程()lg 21x x +=在区间()2,1--内有且仅有一个实根．此时2k =-，下面证明：方程()lg 21x x +=在区间()1,2内有一个实根，⇔函数()()lg 21f x x x =+-，在区间()2,1--和()1,2内各有一个零点，因为()1,2x ∈时，()lg 20x +>，故函数()()lg 21f x x x =+-在区间()1,2是增函数，又()1lg310f =-<，()22lg410f =->，即()()120f f <，由零点存在性定理知，函数()()lg 21f x x x =+-在区间()1,2内仅有一个零点，即方程()lg 21x x +=在区间()1,2内有且仅有一个实根，此时1k =.故答案为：－3，－2或1．四、解答题17．（1）计算240.53064812222716--⎫⎛⎫⎛⎫⨯÷+⨯-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）计算3log 4622713log 832log log 81log 232++⋅．【答案】（1）0；（2）3.【分析】（1）利用分数指数幂运算法则进行计算；（2）利用对数运算法则及性质进行计算.【详解】（1）2040.53648122()()2716--⨯÷+⨯-2323234649499992()2(222032716348164--⎡⎤⎛⎫=÷+⨯=⨯+⨯-=+⨯-=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（2）3log4622713log832log log81log232++-⋅3462311log24log log3log232=++-⨯662323log24log2log3log=++-⨯66log2log234++=-6log6421423=+-=+-=.18．已知集合{}22A x a x a=-≤≤+，{|1B x x=≤或}4x≥．（1）当3a=时，求A B⋂；（2）“x A∈”是“Rx B∈ð”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）{|11A B x x⋂=-≤≤或}45x≤≤；（2）{}|1a a<【分析】（1）先求出集合{}15A x x=-≤≤，再求A B⋂；（2）先求出{}|14RB x x=<<ð，用集合法分类讨论，列不等式，即可求出实数a的取值范围.【详解】（1）当3a=时，{}15A x x=-≤≤.因为{|1B x x=≤或}4x≥，所以{|11A B x x⋂=-≤≤或}45x≤≤；（2）因为{|1B x x=≤或}4x≥，所以{}|14RB x x=<<ð.因为“x A∈”是“Rx B∈ð”的充分不必要条件，所以A B Rð.当A=∅时，符合题意，此时有22a a+<-，解得：a<0.当A≠∅时，要使A B Rð，只需222421a aaa+≥-⎧⎪+<⎨⎪->⎩，解得：01a≤<综上：a<1.即实数a 的取值范围{}|1a a <.19．已知α是第四象限角．(1)若cos α=()()π3πcos sin 222sin πcos 2παααα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++-的值；(2)若25sin 5sin cos 10ααα++=，求tan α的值．【答案】(1)15-(2)12-或13-【分析】（1）先由余弦值求出正切值，再结合诱导公式，化弦为切，代入求值即可；（2）变形得到22222sin sin cos tan tan 1sin cos tan 15αααααααα++==-++，求出tan α的值.【详解】（1）∵α是第四象限角，cos 5α==，所以sin 5α=-，∴sin tan 2cos ααα==-，∴()()π3πcos sin sin cos tan 11222sin πcos 2π2sin cos 2tan 15αααααααααα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭===-++--+-+．（2）∵21sin sin cos 5ααα+=-，∴22222sin sin cos tan tan 1sin cos tan 15αααααααα++==-++，∴1tan 2α=-或1tan 3α=-．20．已知函数()3131-=+x x f x ．(1)证明函数()f x 为奇函数；(2)解关于t 的不等式：()()3120f t f t -+-<．【答案】(1)证明见解析(2)12t t ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据奇偶性的定义即可证明，（2）根据函数的单调性以及奇偶性即可转化成自变量的大小关系，解不等式即可.【详解】（1）因为函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称，且()()11311331311313xxx xxxf x f x ------====-+++，所以函数()f x 是奇函数；（2）由()3131221313131x x x x xf x -+-===-+++，由于31x y =+为定义域内的单调递增函数且310x y =+>，所以131x y =+单调递减，因此函数()f x 是定义域为R 的增函数，而不等式()()3120f t f t -+-<可化为()()312f t f t -<--，再由()()f x f x -=-可得()()312f t f t -<-，所以312t t -<-，解得21t <-，故不等式的解集为12t t ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭．21．某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk ）表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为24pmk ，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk ，治愈效果的普姆克系数y （单位：pmk ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型(0,1)=>>x y ka k a 与12(0,0)y px k p k =+>>可供选择．(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；(2)求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4711≈）【答案】(1)选择模型(0,1)=>>xy ka k a 符合要求；该函数模型的解析式为32332xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，112x ≤≤，*N x ∈；(2)六月份.【分析】（1）根据两函数特征选择模型(0,1)=>>x y ka k a ，并用待定系数法求解出解析式；（2）先求出元旦治愈效果的普姆克系数，从而列出不等式，结合*N x ∈，解出6x ≥，得到答案.【详解】（1）函数(0,1)=>>xy ka k a 与12(0,0)y px k p k =+>>在()0,∞+上都是增函数，随着x 的增加，函数(0,1)=>>x y ka k a 的值增加的越来越快，而函数12y px k =+的值增加的越来越慢，由于这批治愈药品发挥的作用越来越大，因此选择模型(0,1)=>>x y ka k a 符合要求．根据题意可知2x =时，24y =；3x =时，36y =，∴232436ka ka ⎧=⎨=⎩，解得32332k a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．故该函数模型的解析式为323()32xy =⋅，112x ≤≤，*N x ∈；（2）当0x =时，323y =，元旦治愈效果的普姆克系数是32pmk 3，由32332()10323x ⋅>⨯，得3()102x >，∴32lg1011log 10 5.93lg 3lg 20.47110.3010lg 2x >==≈≈--，∵*N x ∈，∴6x ≥，即治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份是六月份．22．已知函数()f x 对任意实数m 、n 都满足等式()()()2f m n f m n f m -++=，当0x >时，()0f x <，且()24f =-．(1)判断()f x 的奇偶性；(2)判断()f x 的单调性，求()f x 在区间[]3,5-上的最大值；(3)是否存在实数a ，对于任意的[]1,1x ∈-，[]1,1b ∈-，使得不等式()222f x a ab <-+恒成立．若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)奇函数；(2)()f x 为R 上的减函数；()f x 在[]3,5-上的最大值为6；(3)存在，实数a 的取值范围为()(),22,∞∞--⋃+．【分析】（1）赋值法得到()00f =，()()f x f x -=-，得到函数的奇偶性；（2）先由0x >时，()0f x <利用赋值法得到函数单调递减，再用赋值法和奇偶性得到()36f -=，从而得到()f x 在区间[]3,5-上的最大值；（3）先根据单调性得到()()()112f x f f ≤-=-=，问题转化为220a ab ->，[]1,1b ∀∈-恒成立，令()22g b ab a =-+，为一次函数，得到不等式组，求出实数a 的取值范围.【详解】（1）取0m n ==，则()()020f f =，∴()00f =，取0m =，n x =，则()()()00f x f x f +-==，∴()()f x f x -=-对任意x ∈R 恒成立，∴()f x 为奇函数；（2）任取()12,,x x ∈-∞+∞且21x x <，则120x x ->，因为()()()2f m n f m n f m -++=，故()()()2f m f m n f m n -+=-，令112,22x xm n x ==-，则有()11111222222x x xx f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()()1212f x f x f x x -=-，∵0x >时，()0f x <，故120x x ->时，()120f x x -<，∴()()120f x f x -<，∴()()12f x f x <．故()f x 为R 上的减函数．∴[]3,5x ∈-，()()3f x f ≤-，∵()()()2f m n f m n f m -++=，()24f =-，令1,0==m n ，则()()()1124f f f +==-，故()12f =-，因为令1,2m n ==，则()()()12122f f f -++=，即()()()1324f f f -+==-，由（1）知：()f x 为奇函数，故()()112f f -=-=，故()234f +=-，解得：()36f =-，故()()336f f -=-=，故()f x 在[]3,5-上的最大值为6；（3）∵()f x 在[]1,1-上是减函数，∴()()()112f x f f ≤-=-=，∵()222f x a ab <-+，对所有[]1,1x ∈-，[]1,1b ∈-恒成立．∴2222a ab -+>，[]1,1b ∀∈-恒成立；即220a ab ->，[]1,1b ∀∈-恒成立，令()22g b ab a =-+，则()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩，即222020a a a a ⎧+>⎨-+>⎩，解得：2a >或2a <-．∴实数a 的取值范围为()(),22,∞∞--⋃+．2023-2024学年北京市朝阳区高一上册期末数学学情检测模拟试题一、单选题1．已知集合{1,0,1,2},{0,1,2,3}A B =-=，则A B = （）A ．{0,1,2}B ．{1,2,3}C ．{1,3}-D ．{1,0,1,2,3}-【答案】A【分析】根据交集的定义，即可求解.【详解】因为{1,0,1,2},{0,1,2,3}A B =-=，所以{}0,1,2A B = .故选：A2．不等式220x x -->的解集是（）A ．{2xx <-∣或1}x >-B ．{1xx <-∣或2}x >C ．{12}x x -<<∣D ．{21}xx -<<∣【答案】B【分析】直接解出不等式即可.【详解】220x x -->，解得2x >或1x <-，故解集为{1xx <-∣或2}x >，故选：B.3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（）A ．y =B ．ln y x=C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．3y x =【答案】C【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性即可得到答案.【详解】根据幂函数图像与性质可知，对A 选项y =在(0,)+∞单调递增，故A 错误，对D 选项3y x =在(0,)+∞单调性递增，故D 错误，根据指数函数图像与性质可知12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(0,)+∞单调递减，故C 正确，根据对数函数图像与性质可知ln y x =在(0,)+∞单调性递增.故选：C.4．命题“00,10x x ∃∈->R ”的否定是（）A ．,10x x ∀∈-≤RB ．00,10x x ∃∈-≤R C ．,10x x ∀∈-<R D ．00,10x x ∃∈-<R 【答案】A【分析】根据存在命题的否定即可得到答案.【详解】根据存在命题的否定可知，存在变任意，范围不变，结论相反，故其否定为,10x x ∀∈-≤R .故选：A.5．已知0a >，则41a a++的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】利用基本不等式的性质求解即可.【详解】因为0a >，所以4115a a ++≥+=.当且仅当4a a=，即2a =时等号成立.所以41a a++的最小值为5.6．函数3()f x x x =+的图象关于（）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线y x =对称【答案】C【分析】求出()()3f x x x -=-+，可知()()f x f x -=-，可得函数为奇函数，进而得到答案.【详解】函数3()f x x x =+的定义域为R ，()()()33()f x x x x x -=-+-=-+，所以有()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称.故选：C.7．“sin sin A B =”是“A B =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据正弦函数的性质及充分条件、必要条件即可求解.【详解】sin sin A B = 推不出A B =（举例，5sin sin66ππ=），而sin sin A B A B =⇒=,∴“sin sin A B =”是“A B =”的必要不充分条件，故选：B8．已知函数()|lg(1)|f x x =+，对a ，b 满足1a b -<<且()()f a f b =，则下面结论一定正确的是（）A ．0a b +=B ．1ab =C ．0ab a b --=D ．0ab a b ++=【答案】D【分析】由对数函数的运算性质可知()()lg 1lg 1a b -+=+移项化简即可得.【详解】因为函数()|lg(1)|f x x =+，对a ，b 满足1a b -<<且()()f a f b =，所以()()lg 1lg 1a b -+=+，则()()lg 1lg 10a b +++=所以()()lg 110a b ⎡⎤++=⎣⎦，即()()111a b ++=，解得0ab a b ++=9．记地球与太阳的平均距离为R ，地球公转周期为T ，万有引力常量为G ，根据万有引力定律和牛顿运动定律知：太阳的质量2324π(kg)R M GT =.已知32lg 20.3,lg π0.5,lg 28.7R GT ≈≈≈，由上面的数据可以计算出太阳的质量约为（）A ．30210kg ⨯B ．292g10k ⨯C ．30310kg⨯D ．29310kg⨯【答案】A【分析】利用对数运算性质计算即可.【详解】因为32lg 20.3,lg π0.5,lg 28.7R GT ≈≈≈，所以由2324πR M GT =得：2332224πlg lg lg 4l lg πg R R M GT GT ⎭+⎛⎫==+ ⎪⎝322lg 22lg π20.320.528.730.3lg R GT =≈+⨯+=++⨯，即30.3300.30.330lg 30.310101010M M +≈⇒≈==⨯，又0.3lg 20.3102≈⇒≈，所以30210kg M ≈⨯.故选：A.10．已知实数12101210,,,,,,,a a a b b b 互不相同，对(1,2,,10)i a i ∀= 满足()()()12102023i i i a b a b a b +++= ，则对()()()1210(1,2,,10),i i i i b i a b a b a b ∀=+++= （）A ．2022B ．2022-C ．2023D ．2023-【答案】D【分析】根据代数基本定理进行求解即可..【详解】国为(1,2,,10)i a i ∀= 满足()()()12102023i i i a b a b a b +++= ，所以(1,2,,10)i a i = 可以看成方程()()()121020230x b x b x b +++-= 的10个不等实根，根据代数基本定理可知：对于任意实数x 都有以下恒等式，()()()1210123102023()()()()x b x b x b x a x a x a x a +++-=---- ，令12310,,,,x b b b b =---- ，于是有1112131102023()()()()b a b a b a b a -=-------- ，111213110()()()()2023b a b a b a b a ⇒++++=- ，2122232102023()()()()b a b a b a b a -=-------- ，212223210()()()()2023b a b a b a b a ⇒++++=- 3132333102023()()()()b a b a b a b a -=-------- 313233310()()()()2023b a b a b a b a ⇒++++=- ，L 10110210310102023()()()()b a b a b a b a -=-------- ，1011021031010()()()()2023b a b a b a b a ⇒++++=- ，所以()()()1210(1,2,,10),2023i i i i b i a b a b a b ∀=+++=- ，故选：D【点睛】关键点睛：根据代数基本定理是解题的关键.二、填空题11．函数()()ln 12f x x =-的定义域是__________.【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】根据对数真数大于零可构造不等式求得结果.【详解】由120x ->得：12x <，()f x \的定义域为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.12．221log 42-⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【答案】6【分析】根据给定条件，利用指数运算、对数运算计算作答.【详解】222221()log 42log 24262-+=+=+=.故答案为：613．若1cos 3θ=，()0,πθ∈，则tan θ=______．【答案】【分析】由()0,πθ∈，可知sin 0θ>，再结合22sin 1cos θθ=-，及sin tan cos θθθ=，可求出答案.【详解】因为()0,πθ∈，所以sin 0θ>，所以sin 3θ===，sin 3tan 1cos 3θθθ===故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.三、双空题14．如图，单位圆被点1212,,,A A A 分为12等份，其中1(1,0)A .角α的始边与x 轴的非负半轴重合，若α的终边经过点5A ，则cos α=__________；若πsin sin 3αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则角α的终边与单位圆交于点__________.（从1212,,,A A A中选择，写出所有满足要求的点）【答案】12-39,A A 【分析】求出终边经过i A 则对应的角α和i 的关系.【详解】2ππ126=，所以终边经过i A 则()()π1112,Z 6i i iα=-＃角α的始边与x 轴的非负半轴重合，若α的终边经过点5A ，则2π3α=，所以2ππ1cos coscos 332α==-=-πππsin sin sin sin cos cos sin 333ααααα⎛⎫=+∴=⋅+⋅ ⎪⎝⎭，即1πsin sin cos tan 23ααααα=⋅+==或4π3α=即()()ππ1112,Z 336i i i i =-＃蝄=或()()4ππ1112,Z 936i i i i =-＃蝄=经过点39,A A故答案为：12-；39,A A 15．已知函数22,()22,x x x x af x x a ⎧-≥=⎨-<⎩,①当1a =时，()f x 在(0,)+∞上的最小值为__________；②若()f x 有2个零点，则实数a 的取值范围是__________.【答案】1-；0a ≤或12a <≤．【分析】①根据函数式分段确定函数的单调性后可得最小值；②结合函数22y x x =-和22x y =-的图象，根据分段函数的定义可得参数范围．【详解】①1a =，1x ≥时，2()2f x x x =-是增函数，min ()(1)1f x f ==-，01x <<时，()22x f x =-是增函数，因此0()221f x >-=-，所以,()0x ∈+∞时，()f x 的最小值是1-；②作出函数22y x x =-和22x y =-的图象，它们与x 轴共有三个交点(0,0)，(1,0)，(2,0)，由图象知()f x 有2个零点，则0a ≤或12a <≤．故答案为：1-；0a ≤或12a <≤．四、解答题16．已知函数π()sin cos 2f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)当π2π33x -≤≤时，求()f x 的值域.【答案】(2)[]1,2-.【分析】(1)根据诱导公式和特殊角三角函数值求解；(2)利用余弦函数性质及不等式性质求()f x 的值域.【详解】（1）因为π()sin cos 2cos 2f x x x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以ππ2cos 66f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，（2）由(1)()2cos f x x =，又π2π33x -≤≤，所以1cos 12x -≤≤，所以12cos 2x -≤≤，故当π2π,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为[]1,2-.17．已知关于x 的不等式2(1)(2)288a x x x x -->-+的解集为A .(1)当1a =时，求集合A ；(2)若集合(,1)(2,)A =-∞-+∞ ，求a 的值；(3)若3A ∉，直接写出a 的取值范围.【答案】(1)(2,3)A =；(2)3a =；(3)1a ≤．【分析】（1）直接解不等式可得；（2）由题意得1,2-是方程2(1)(2)288a x x x x --=-+的根，代入后可得a 值；（3）3x =代入后不等式不成立可得．【详解】（1）1a =时，不等式为2(1)(2)288x x x x -->-+，即2560x x -+<，23x <<，∴(2,3)A =；（2）原不等式化为2(2)(38)280a x a x a ---+->，由题意(2)(38)2804(2)2(38)280a a a a a a -+-+-=⎧⎨---+-=⎩，解得3a =，3a =时原不等式化为220x x -->，1x <-或2x >，满足题意．所以3a =；（3）3A ∉，则218248a ≤-+，解得1a ≤．18．函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若对任意的,(0,)s t ∈+∞，均有()()()f s t f s f t +>+.(1)若(1)0f >，证明：(2)0f >；(2)若对(0,),()0x f x ∀∈+∞>，证明：()f x 在(0,)+∞上为增函数；(3)若(1)0f =，直接写出一个满足已知条件的()f x 的解析式.【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析(3)()e e xf x =-，()0,x ∈+∞（答案不唯一）【分析】（1）赋值法得到()(2)210f f >>；（2）赋值法，令()2120,,s x t x x =∈+∞=-，且12x x >，从而得到1212()()()0f x f x f x x ->->，证明出函数的单调性；（3）从任意的,(0,)s t ∈+∞，均有()()()f s t f s f t +>+，可得到函数增长速度越来越快，故下凸函数符合要求，构造出符合要求的函数，并进行证明【详解】（1）令1s t ==，则()(2)(1)(1)21f f f f >+=，因为(1)0f >，所以()(2)210f f >>；（2）令()2120,,s x t x x =∈+∞=-，且12x x >，则()120,t x x =-∈+∞，所以212212()()()f x x x f x f x x +->+-，故1212()()()f x f x f x x ->-，因为对(0,),()0x f x ∀∈+∞>，所以()120f x x ->，故1212()()()0f x f x f x x ->->，即12()()f x f x >，()f x 在(0,)+∞上为增函数；（3）构造()e e xf x =-，()0,x ∈+∞，满足()10f =，且满足对任意的,(0,)s t ∈+∞，()()()f s t f s f t +>+，理由如下：()()e e e e e e e e e e e 1e 1e 1()()()s t s t s t s t s t f s t f s f t +++--===--+-+--+--+-，因为,(0,)s t ∈+∞，故e 10,e 10s t ->->，()()0()()()e 1e 1e 1s tf s t f s f t --++--->=，故对任意的,(0,)s t ∈+∞，()()()f s t f s f t +>+.19．已知函数()22(0)x x f x a a -=+⋅≠.(1)若()f x 为偶函数，求a 的值；(2)从以下三个条件中选择两个作为已知条件，记所有满足条件a 的值构成集合A ，若A ≠∅，求A .条件①：()f x 是增函数；条件②：对于,()0x f x ∀∈>R 恒成立；条件③：0[1,1]x ∃∈-，使得()04f x ≤.【答案】(1)1a =；(2)选①②，不存在A ；选①③，(,0)A =-∞；选②③，(0,4]A =．【分析】（1）由偶函数的定义求解；（2）选①②，a<0时，由复合函数单调性得()f x 是增函数，0a >时，由单调性的定义得函数的单调性，然后在a<0时，由()0f x =有解，说明不满足②a 不存在；选①③，同选①②，由单调性得a<0，然后则函数的最大值不大于4得a 的范围，综合后得结论；选②③，先确定()0f x >恒成立时a 的范围，再换元确定新函数的单调性得最大值的可能值，从而可得参数范围．【详解】（1）()f x 是偶函数，则()22()22x x x x f x a f x a --=+⋅==+⋅，(1)(220x x a ---=）恒成立，∴10a -=，即1a =；（2）若选①②，()22x xaf x =+（0a ≠），若a<0，则()f x 是增函数，由202xx a+=得4log ()x a =-，因此()0f x >不恒成立，不合题意，若0a >，设2x t =，则0t >，()()af xg t t t==+0>恒成立，设120t t <<，则121212121212()()()()t t t t a a a g t g t t t t t t t ---=+--=，120t t -<，当120t t <<<120t t a -<，12()()0g t g t ->，12()()g t g t >，()g t是减函数，12t t <<时，120t t a ->，12()()0g t g t -<，12()()g t g t <，()g t 是增函数，又2x t =是增函数，因此()f x 在定义域内不是增函数，不合题意．故不存在a 满足题意；若选①③，若a<0，则()22xxaf x =+是增函数，若0a >，设2x t =，则0t >，()()af xg t t t==+0>恒成立，设120t t <<，则121212121212()()()()t t t t a a a g t g t t t t t t t ---=+--=，120t t -<，当120t t <<<120t t a -<，12()()0g t g t ->，12()()g t g t >，()g t是减函数，12t t <<时，120t t a ->，12()()0g t g t -<，12()()g t g t <，()g t 是增函数，又2x t =是增函数，因此()f x 在定义域内不是增函数，不合题意．故不存在a 满足题意；要满足①，则a<0，所以[1,1]x ∈-时，max ()(1)22af x f ==+，由242a +≤得4a ≤，综上，a<0；所以(,0)A =-∞．若选②③，若a<0，则由4()20log ()2xxaf x x a =+=⇔=-，()0f x >不恒成立，只有0a >时，()202xx af x =+>恒成立，设2x t =，则0t >，又0a >时，[1,1]x ∈-⇒12[,2]2xt =∈，()()a f x g t t t ==+，()()af xg t t t==+0>恒成立，设120t t <<，则121212121212()()()()t t t t a a a g t g t t t t t t t ---=+--=，120t t -<，当120t t <<<120t t a -<，12()()0g t g t ->，12()()g t g t >，()g t是减函数，12t t <<时，120t t a ->，12()()0g t g t -<，12()()g t g t <，()g t 是增函数，a 取任意正数时，()g t 的最大值是1()2g 或(2)g ，要满足③，则11(2422g a =+≤或(2)242a g =+≤，74a ≤或4a ≤，所以04a <≤，所以(0,4]A =．20．对于非空数集A ，若其最大元素为M ，最小元素为m ，则称集合A 的幅值为A T M m =-，若集合A 中只有一个元素，则0A T =.(1)若{2,3,4,5}A =，求A T ；(2)若{}{1,2,3,,9},,,,(,1,2,3,)i i i i i j A A a b c A A A i j i j ==⊆=∅=≠ ，123A A A A = ，求123A A A T T T ++的最大值，并写出取最大值时的一组123,,A A A ；(3)若集合*N 的非空真子集123,,,,n A A A A L 两两元素个数均不相同，且12355n A A A A T T T T ++++= ，求n 的最大值.【答案】(1)3A T =(2)123A A A T T T ++的最大值为18，{}{}{}1231,9,4,2,8,53,7,6,A A A ===(3)n 的最大值为11【分析】（1）根据新定义即可求出；（2）由{},,,(,1,2,3,)i i i i i j A a b c A A A i j i j =⊆=∅=≠ ，123A A A A = 且要使得123A A A T T T ++取到最大，则只需123,,A A A T T T 中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值.（3）要n 的值最大，则集合的幅值最小，且123,,,,n A A A A L 是集合*N 的两两元素个数均不相同的非空真子集，故对集合123,,,,n A A A A L 中元素分析列出方程解出即可.【详解】（1）由集合{2,3,4,5}A =知，5,2M m ==，所以523A T M m =-=-=.（2）因为{}{1,2,3,,9},,,,(,1,2,3,)i i i i i j A A a b c A A A i j i j ==⊆=∅=≠ ，123A A A A = ，由此可知集合123,,A A A 中各有3个元素，且完全不相同，根据定义要让123A A A T T T ++取到最大值，则只需123,,A A A T T T 中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以123A A A T T T ++的最大值为78912318++---=，所以有一组{}{}{}1231,9,4,2,8,53,7,6,A A A ===满足题意，（3）要n 的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为1,2 ，，因为123,,,,n A A A A L 是集合*N 的两两元素个数均不相同的非空真子集，不妨设1A 是集合*N 中只有一个元素的非空真子集，此时10A T =，例如1{1}A =,则2A 是集合*N 中有两个元素的非空真子集，且21A T =，例如2{1,2}A =，同理3A 是集合*N 中有三个元素的非空真子集，且32A T =，例如3{1,2,3}A =，n A 是集合*N 中有n 个元素的非空真子集，且1nA T n =-，例如{1,2,3,,}n A n = ，所以123012(1)n A A A A T T T T n ++++=++++- ()1552n n -==，解得11n =或10n =-（舍去），所以n 的最大值为11.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
