09三角函数 (学生版)

三角函数式的求值【知识点精讲】三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形三角函数式的求值的类型一般可分为:(1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。

仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角（2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。

找出已知角与所求角之间的某种关系求解（3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。

（4）“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。

将已知式或所求式进行化简，再求之三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次注意点：灵活角的变形和公式的变形重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论【例题选讲】一、“给角求值”例1、计算)310(tan 40sin 00-的值。

练习1:tan20°+4sin20°练习2、（1）化简;︒--︒︒︒-20sin 1160sin 20cos 20sin 212；（2）求值： .练习3：求()00001tan21tan24tan21tan24++⋅ ()()()()()000021tan11tan21tan431tan44+⋅+++练习4、不查表求sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°的值二、“给值求值”：例2、已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值练习:)6sin(,212tan παα+=求已知 例3、已知sin(-4πx)=135，0<x<4π，求)4cos(2cos x x +π的值。

[点评]：分析:角之间的关系：2)4()4(πππ=++-x x 及)4(222x x -=-ππ ，利用余角间的三角函数的关系便可求之。

︒︒+︒+︒50tan 10tan 350tan 10tan常用凑角：)2()2()(,2304560304515α-β-β+α=β-β+α=α=-=-=, )4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α，2()()βαβαβ=+--，)4(24α-π-π=α+π，特别地, α+π4与α-π4为互余角, 它们之间可以互相转化。

三年专题09 三角函数1．【2022年全国甲卷】将函数f(x)=sin (ωx +π3)(ω>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．122．【2022年全国甲卷】设函数f(x)=sin (ωx +π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．[53,136)B ．[53,196)C ．(136,83]D ．(136,196]3．【2022年全国乙卷】函数f (x )=cosx +(x +1)sinx +1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为（ ） A ．−π2，π2B ．−3π2，π2C ．−π2，π2+2D ．−3π2，π2+24．【2022年新高考1卷】记函数f(x)=sin(ωx +π4)+b(ω>0)的最小正周期为T ．若2π3<T <π，且y =f(x)的图象关于点(3π2,2)中心对称，则f(π2)=（ ） A ．1B ．32C ．52D ．35．【2022年新高考2卷】若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos (α+π4)sinβ，则（ ） A ．tan(α−β)=1 B ．tan(α+β)=1 C ．tan(α−β)=−1D ．tan(α+β)=−16．【2021年甲卷文科】若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（ ）A B C D 7．【2021年乙卷文科】函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（ ）A ．3πB ．3π和2C ．6πD ．6π和28．【2021年乙卷文科】22π5πcoscos 1212-=（ ）A ．12B C D 9．【2021年乙卷理科】把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（） A ．7sin 212x π⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭10．【2021年新高考1卷】下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭11．【2021年新高考1卷】若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65-B ．25-C ．25D ．6512．【2021年新高考2卷】北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比约为（ ）A ．26%B ．34%C ．42%D ．50%13．【2020年新课标1卷理科】设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f(x )的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6 C ．4π3D ．3π214．【2020年新课标1卷理科】已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）A B ．23C ．13D 15．【2020年新课标2卷理科】若α为第四象限角，则（ ） A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<016．【2020年新课标3卷理科】已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A ．–2B ．–1C ．1D ．217．【2020年新课标3卷文科】已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A ．12B C ．23D 18．【2020年新课标3卷文科】在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（ ）A B ．C ．D ．19．【2022年新高考2卷】已知函数f(x)=sin(2x +φ)(0<φ<π)的图像关于点(2π3,0)中心对称，则（ ）A ．f(x)在区间(0,5π12)单调递减B ．f(x)在区间(−π12,11π12)有两个极值点C ．直线x =7π6是曲线y =f(x)的对称轴D ．直线y =√32−x 是曲线y =f(x)的切线20．【2020年新高考1卷（山东卷）】下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x - 21．【2022年全国乙卷】记函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T ，若f(T)=√32，x =π9为f(x)的零点，则ω的最小值为____________．22．【2021年甲卷文科】已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.23．【2021年甲卷理科】已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．24．【2020年新课标2卷文科】若2sin 3x =-，则cos2x =__________．25．【2020年新高考1卷（山东卷）】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，//BH DG ，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．。

高中数学常考题型---三角函数题型1、判断角的终边所在的象限【1】若α是第二象限角，试分别确定2α，α2，α3的终边所在位置 ． 【2】若sin θcos θ<0，则角θ是( )A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第二或第四象限角 题型2、扇形的弧长、周长、面积【3】如图所示，已知扇形AOB 的圆心角∠AOB ＝120°，半径R ＝6，求：(1) AB ︵的长；(2)弓形ACB 的面积．【4】若一扇形的周长为60cm ，那么当它的半径和圆心角各为________cm 和________rad 时，扇形的面积最大．题型3、利用三角函数线解不等式【5】求证：当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin α<α<tan α.题型4、三角函数的定义求三角函数值【6】已知角α的终边经过点P (a ，2a )(a ＞0)，求sin α，cos α，tan α的值．【7】已知角α的终边经过点(－4，3)，求cos α题型5、利用同角三角函数的关系求三角函数值【8】已知α∈(0，π)，且 cos α＝－35，则tan α＝ 【9】已知sin α＝13，且α为第二象限角，求tan α； 【10】已知sin α＝13，求tan α； 题型6、利用诱导公式求三角函数值【11】化简sin （2π－α）cos （π＋α）cos()π2＋αcos ()11π2－αcos （π－α）sin （3π－α）sin （－π－α）sin ()9π2＋α.题型7、配角法求三角函数值【12】已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.【13】已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α.【14】已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，求tan β的值．【15】设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值．【16】已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝12，求sin2αsin2β的值【17】已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos(α－β)的值题型8、关于sin α，cos α的齐次式问题【18】已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值．(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.题型9、求三角函数的值域【19】求函数y ＝－3sin 2x －4cos x ＋4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的值域．【20】已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最大值和最小值．【21】求函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域．题型10、三角函数的定义域【22】函数y ＝lg(sin x －cos x )的定义域是__________________________．题型11、三角函数的周期【23】在函数①y ＝cos |2x|，②y ＝|cos x|，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③【24】求函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期.题型12、三角函数的奇偶性【25】已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 是偶函数，则θ的值为( ) A ．0 B.π6 C.π4 D.π3题型13、三角函数的单调性【26】求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间；【27】求y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的最小正周期及单调区间．题型14、三角函数的对称性【28】函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象的一个对称中心的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，－1 题型15、求三角函数的解析式【29】函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3题型16、三角函数的图像变换【30】说明由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换就能得到下列函数的图象．(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3； (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －23π； (3)y ＝||sin x ； (4)y ＝sin ||x .题型17、三角函数的图像【31】函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋a cos(2x ＋φ)，其中a 为正常数且0<φ<π，若f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，f (x )的最大值为2.(1)求a 和φ的值；(2)求f (x )的振幅、周期和初相；题型18、辅助角公式【32】已知函数y ＝3sin x 2＋cos x 2(x ∈R )．求它的振幅、周期及初相；题型19、三角恒等变换求三角函数值【33】求值：(1)sin18°cos36°；(2)2cos10°－sin20°cos20°.（3）sin20°cos10°－ cos160°sin10°＝( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.12题型20、正弦定理【34】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，求2sin 2B －sin 2A sin 2A的值题型21、余弦定理【35】(1)在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin A ＝________. (2)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( ) A.31010 B.1010 C ．－1010 D ．－31010题型22、解三角形中的面积问题【36】在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b 2a ＋c. (1) 求B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．【37】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．题型23、判断三角形的形状【38】在三角形ABC 中，若tan A ∶tan B ＝a 2∶b 2，试判断三角形ABC 的形状．【39】在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别为a ，b ，c ，A 为锐角，lg b ＋lg 1c＝lgsin A ＝－lg 2，则△ABC 为( )A ．锐角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形题型24、三角形外接圆的半径【40】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝23sin A sin B sin C ，且a ＝2，则△ABC 的外接圆半径R ＝________.题型25、三角函数与向量的综合【41】已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 3，cos x 3，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 3，3cos x 3，函数f (x )＝a ·b . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b 2＝ac ，且角B 的大小为x ，试求x 的范围及此时函数f (x )的值域．反思小结：。

三角函数的图像与性质__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、理解并掌握作余弦函数和正切函数图象的方法．2、理解并掌握余弦函数、正切函数一、三角函数的图像：1． 正弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP ry==αsin ，向线段MP 叫做角α的正弦线， 2．用单位圆中的正弦线作正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象（几何法）：把y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 叫做正弦曲线-11y x-6π-5π6π5π-4π-3π-2π-π4π3π2ππf x () = sin x ()3．用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是： 1、用单位圆中的余弦线作余弦函数的图象（几何法）： 为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．2、余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是 (0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 现在把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=cosx ，x ∈R 的图象，-11y x-6π-5π6π5π-4π-3π-2π-π4π3π2ππf x () = cos x ()3、正切函数x y tan =的图象： 我们可选择⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的区间作出它的图象根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0)二、三角函数的性质:sin y x = cos y x =tan y x =图象定义域值域最值周期性奇偶性单调性对称性 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴函数 性质类型一、三角函数的图像：例1. 作出函数x y 2cos 1-=的图象练习：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+=611,6)6cos(πππx x y ，类型二、三角函数的性质：例2. 求下列函数的周期 （1）x y 21sin = （2）)63sin(2π-=x y练习：求下列三角函数的周期： 1︒ y=sin(x+3π) 2︒ y=cos2x 3︒ y=3sin(2x +5π) 4︒ y=tan3x例:4. 比较下列各组数的大小。

2021年高考数学一轮复习培优课程讲义（上海专用）专题09 三角函数表示及和差倍角公式知识定位本讲义目的在于让同学熟悉三角函数的表示方法，并正确使用和差倍角公式来解决实际问题。

知识诊断已知c b a 、、分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且。

（Ⅰ）求B ； （Ⅱ）若，求的值。

知识梳理➢ 知识点一：了解角的集合表示，理解度数与弧度数的换算及任意角的三角函数表示。

➢ 知识点二：熟练使用同角三角函数的关系式及诱导公式。

➢ 知识点三：利用三角形和差公式进行求值化简。

➢ 知识点四：同时利用正余弦定理解三角形。

➢ 知识点五：解三角形与实际问题的结合。

常见题型和方法解析1. 了解角的集合表示，理解度数与弧度数的换算及任意角的三角函数表示。

例1 已知，那么角是（ ）A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角变式题：是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角例2设角的终边上有一点，则的值是( )A．B．C．或D．1变式题：在平面直角坐标系中,若角的顶点在坐标原点,始边在轴的非负半轴上,终边经过点(其中)则的值为( )A．B．C．D．2. 熟练使用同角三角函数的关系式及诱导公式。

例3代数式的值为（）A．B．C．D．变式题：已知则的值为 .例4已知（）A．B．C．D．-2变式题：已知tan=2,,则3sin2-cos sin+1= ( )A．3 B．-3 C．4 D．-43.利用三角形和差公式进行求值化简例5 已知(1)求的值；(2)求的值.变式题： 已知，（）则的值等于（ ）A ．B ．C ．2D ．4.记忆并熟练运用三角函数倍角公式解答三种基本题型：求值题、化简题、证明题。

例6 求 18sin 和 36cos 的值。

综合习题拓展变型技巧与综合应用。

例7 已知（1）求的值；（2）求的值；（3）若是第三象限角，求的值.试题演练一1、已知（ ）A ．B ．C ．D ．2、若 且则y x 的可能取值是（ ）A.BC.D.3、 已知，其中是第二象限角，则A ．B ．C ．D ．4、若，则为A ．B ．C ．D ．.5、已知，且，，则______．6、阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------① ------②由①+② 得------③令有代入③得.(Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;(Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状. (提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)试题演练二7、若cosxcosy+sinxsiny=，sinxcosy-cosxsiny=,则sin2(x-y)=（）A．B．C．- D．8、已知，则的值为（）A．B．C．D．9、若，三角函数式的化简结果为（）A．B．C．D．10、函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的奇函数C．周期为的偶函数D．非奇非偶函数11、函数的周期为（）A．2B．C．D．12、函数的最大值等于13、当时，函数的最小值为________．14、已知是第二象限角，且，那么15、若，则=．16、已知函数（1）求函数的最小正周期和值域；（2）若，且，求的值.。

专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.83(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.24(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1B.23-1C.32D.1-35(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.46(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3 ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.327(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f (x )=sin2x 和g (x )=sin 2x -π4，下列说法正确的有()A.f (x )与g (x )有相同的零点B.f (x )与g (x )有相同的最大值C.f (x )与g (x )有相同的最小正周期D.f (x )与g (x )的图像有相同的对称轴9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=2+1，则sin (α+β)=.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x -3cos x 在0,π 上的最大值是．一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.22(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.783(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f (x )=(3sin x +cos x )cos x -12，若f (x )在区间-π4,m 上的值域为-32,1，则实数m 的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π125(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cos ωx x ∈R 在0,π 内恰有两个对称中心，f π =1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若f α +g α =35，则cos 4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-19256(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f (x )=sin2ωx +cos2ωx (ω>1)的一个零点是π2，且f (x )在-π6,π16 上单调，则ω=()A.54 B.74C.94D.1147(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin 2x +φ ϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0 ，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称8(2024·广东广州·二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π29(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sinωx+3cosωx(ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y=f x -2logπx有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y=f x+φ为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y=f x 在0,π3上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y=f x 在0,π上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256 .A.1B.2C.3D.410(2024·河北保定·二模)已知tanα=3cosαsinα+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-7911(2024·河北衡水·三模)已知sin(3α-β)=m sin(α-β)，tan(2α-β)=n tanα，则m，n的关系为()A.m=2nB.n=m+1m C.n=mm-1D.n=m+1m-112(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin2α2+sinα的值是()A.25B.45C.65D.8513(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sinα+β=2cosα+β，sinαsinβ-3cosαcosβ=0，则tanα-β=()A.-1B.-32C.-12D.12二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-30815(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-1219(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为1222(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.25(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.。

专题09 三角函数的图象与性质问题【高考真题】1．(2022·北京)已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2x ，则( )A ．f (x )在(－π2，－π6)上单调递减B ．f (x )在(－π4，π12)上单调递增C ．f (x )在(0，π3)上单调递减D ．f (x )在(π4，7π12)上单调递增2．(2022·浙江) 为了得到函数y ＝2sin3x 的图象，只要把函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π5图象上所有的点( ) A ．向左平移π5个单位长度 B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度D ．向右平移π15个单位长度3．(2022·全国甲文) 将函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω＞0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y轴对称，则ω的最小值是( )A ．16B ．14C ．13D ．124．(2022·全国乙理) 记函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期为T ，若f (T )＝32，x ＝π9为f (x ) 的零点，则ω的最小值为____________．5．(2022·新高考Ⅰ)记函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)＋b (ω＞0)，的最小正周期为T ．若2π3＜T ＜π，且y ＝f (x )的图象关于点(3π2，2)中心对称，则f (π2)＝( )A ．1B ．32C ．52D ．36．(2022·全国甲理)设函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( )A ．[53，136)B ．[53，196)C ．(136，83]D ．(136，196]【知识总结】1．三种三角函数的图象和性质2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得．(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) ――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0) 倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 【同类问题】题型一 三角函数的性质1．(2017·山东)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A ．π2B ．2π3 C ．π D ．2π2．函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π3．(2018·全国Ⅰ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A ．π4B ．π2C ．πD ．2π4．已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为2π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) C ．⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) 5．(2018·全国Ⅰ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( )A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π6．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f (π6)＋f (π2)＝0，且f (x )在区间(π6，π2)上递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．6D ．57．(2019·全国Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________． 8．(2017·全国Ⅰ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 9．(2013·全国Ⅰ)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________. 10．已知ω>0，函数f (x )＝sin ωx cos ωx ＋3cos 2ωx －32的最小正周期为π，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度可得函数g (x )＝cos2x 的图象D ．当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－32题型二 三角函数的图象变换11．(2021·全国乙)把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象，则f (x )等于( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫x 2－7π12 B ．sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π12 C ．sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π12 D ．sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12 12．(2016·四川)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动π3个单位长度 B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度13．(2017·全国Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 214．(2018·天津)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，5π4上单调递增 B ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减 C ．在区间⎣⎡⎦⎤5π4，3π2上单调递增 D ．在区间⎣⎡⎦⎤3π2，2π上单调递减 15．函数y ＝3sin 2x －cos 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若函数g (x ) 为偶函数，则φ的值为( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π315．将函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(0<ω<10)的图象向右平移π6个单位长度后与函数f (x )的图象重合，则ω＝( ) A ．9 B ．6 C ．4 D ．817．若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，为了得到函数g (x )＝sin2x 的图象，则只需将f (x )的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度18．(2019·天津)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f (x )的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g ⎝⎛⎭⎫π4＝2，则f ⎝⎛⎭⎫3π8＝( )A ．－2B ．－2C ．2D ．219．(2016·全国)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )20．将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的23，得到函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象．已知函数g (x )的部分图象如图所示，则函数A ．最小正周期为23π，最大值为2 B ．最小正周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0中心对称 C ．最小正周期为23π，图象关于直线x ＝π6对称 D ．最小正周期为π，在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上单调递减 题型三 关于ω的取值范围21．已知函数()sin (0)f x x ωω=>在3[,]44ππ-上单调递增，则ω的取值范围是( )A ．[2，)+∞B ．(0，2]C ．2[,)3+∞D ．2(0,]322．将函数()cos()(0)4f x x πωω=+>的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()g x 在5(,)44ππ上单调递减，则ω的最大值为( ) A ．14 B ．34 C ．12D ．1 23．函数()sin()(0)6f x x πωω=+>图象向右平移4π个单位后所得函数图象与函数()f x 的图象关于x 轴对称，则ω最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．624．已知函数()3sin()f x x ωϕ=+，(0,0)2πωϕ><<，()03f π-=，2()()3f x f x π-=，且函数()f x 在区间(,)124ππ上单调，则ω的最大值为( ) A ．274 B ．214 C ．154 D ．9425．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，0ω>，若()19f π=，(449)0f π=，()f x 在(,)93ππ上单调递减，那么ω的取值个数是( )A ．2019B ．2020C ．2021D ．202226．已知函数()sin()(0)6f x x πωω=->，若函数()f x 在区间(0,)π上有且只有两个零点，则ω的取值范围为( )A ．713(,)66B ．713(,]66C ．611(,)56D ．611(,]5627．已知函数()2sin()sin()(0)63f x x x ππωωω=-+>，若函数3()()2g x f x =+在[0，]2π上有且只有三个零点，则ω的取值范围为( ) A ．[2，11)3 B ．11(2,)3 C ．710[,)33 D ．710(,)3328．已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>在区间[,]43ππ-上恰有一个最大值点和最小值点，则实数ω的 取值范围为( )A ．8[,7)3B ．8[,4)3C ．20[4,)3D ．20(,7)329．已知函数1()sin (sin cos )(0)2f x x x x ωωωω=+->在区间(0,)π上恰有1个最大值点和1个最小值点，则ω的取值范围是( )A ．711(,)88B ．711(,]88C ．79(,]88D ．79(,)8830．已知函数3()sin()sin()(0)21472xxf x ωππωω=+->在[0，)π上恰有6个零点，则ω的取值范围是 ( ) A ．4148(,]77B ．3441(,]77C ．4148[,)77D ．3441[,)77。

三 角 函 数（学生版）1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形．按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角．射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边． 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限． 3、终边相同的角的表示：（1）α终边与θ终边相同（α的终边在θ终边所在射线上）⇔πθαk 2+=（Z k ∈），注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．例1、与角︒-1825的终边相同，且绝对值最小的角的度数是____，合____弧度． （2）α终边与θ终边共线（α的终边在θ终边所在直线上）⇔πθαk +=（Z k ∈）． （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔πθαk 2+-=（Z k ∈）． （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔πθπαk 2+-=（Z k ∈）． （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔πθπαk 2++=（Z k ∈）．（6）α终边在x 轴上的角可表示为：παk =（Z k ∈）；α终边在y 轴上的角可表示为：2ππα+=k （Z k ∈）；α终边在坐标轴上的角可表示为：2παk =（Z k ∈）． 例2、α的终边与6π的终边关于直线x y =对称，则=α________． 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定． 例3、若α是第二象限角，则2α是第______象限角．5、弧长公式：R l ||α=，扇形面积公式：2||2121R lR S α==，1弧度（1rad ）︒≈3.57．例4、已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积． 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，) , (y x P 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是022>+=y x r ，那么r y =αsin ，r y =αcos ，x y =αtan （0≠x ），yx=αcot （0≠y ），x r =αsec （0≠x ），yr =αcsc （0≠y ）．三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．例5、已知角α的终边经过点)12 , 5(-P ，则ααcos sin +的值为________．例6、设α是第三、四象限角，mm --=432sin α，则m 的取值范围是________． 例7、若0|cos |cos sin |sin |=+αααα，试判断)tan(cos )cot(sin αα⋅的符号． 7、三角函数线的特征：正弦线MP “站在x 轴上（起点在x 轴上）”、余弦线OM “躺在x 轴上（起点是原点）”、正切线AT “站在点)0 , 1(A 处（起点是A ）”．三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式．yTA xαB SO M P例8、若08<<-θπ，则θsin 、θcos 、θtan 的大小关系为________．例9、若α为锐角，则α、αsin 、αtan 的大小关系为________．例10、函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是________．8、特殊角的三角函数值：30° 45° 60° 0° 90° 180° 270° 15° 75°sin α2122 230 1 01-624- 624+cos α2322211 01-624+ 624-tan α33130 032- 32+cot α31330 032+ 32-9、同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+； （2）倒数关系：1csc sin =αα，1sec cos =αα，1cot tan =αα； （3）商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =． 同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值．在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值．例11、函数ααααcot cos tan sin ++=y 的值的符号为________．例12、若π220≤≤x ，则使x x 2cos 2sin 12=-成立的x 的取值范围是________．例13、已知53sin +-=m m θ，524cos +-=m m θ（πθπ<<2），则=θtan ________．例14、已知11tan tan -=-αα，则=+-ααααcos sin cos 3sin ______，=++2cos sin sin 2ααα______．例15、已知a =︒200sin ，则︒160tan 等于（ ）A ．21aa-- B ．21a a- C ．a a 21-- D ．a a 21-例16、已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sin ︒f 的值为________． 10、三角函数诱导公式： 诱导公式（απ+k 2）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成απ+k 2，πα20<≤；（2）转化为锐角三角函数．例17、πππ21sin )67tan(49cos +-+的值为________．例18、已知54)540sin(-=+︒α，则=︒-)270cos(α______，若α为第二象限角，则=+︒︒-+-︒)180tan()]360cos()180[sin(2ααα______．11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：βαβαβαs i n c o s c o s s i n )s i n (±=±−−→−=βα令αααc o s s i n 22s i n=； βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s( =±−−→−=βα令ααα22s i n c o s 2c o s -=； ααα22s i n 211c o s 22c o s -=-=⇒22c o s 1c o s 2αα+=，22cos 1sin 2αα-=； βαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n( ±=±⇒ααα2t a n 1t a n 22t a n -=． 例19、下列各式中，值为21的是（ ） A ．︒︒15cos 15sin B ．12sin 12cos 22ππ- C ．︒-︒5.22tan 15.22tan 2 D ．230cos 1︒+例20、命题0)tan(:=+B A P ，命题0tan tan :=+B A Q ，则P 是Q 的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件例21、已知53sin )cos(cos )sin(=---αβααβα，那么β2cos 的值为____． 例22、︒-︒80sin 310sin 1的值是________．例23、已知a =︒110tan ，求︒50tan 的值（用a 表示）．甲求得的结果是aa 313+-，乙求得的结果是aa 212-，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是________．12、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：“一角二名三结构”，即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点．基本的技巧有：（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换．例如：ββαββαα+-=-+=)()(，)()(2βαβαα-++=，)()(2αβαβα--+=，22βαβα+⋅=+，)2()2(2βαβαβα---=+等）．例24、已知52)tan(=+βα，41)4tan(=-πβ，那么)4tan(πα+的值是________．例25、已知παπβ<<<<20，且91)2c o s (-=-βα，32)2sin(=-βα，求)c o s (βα+的值．例26、已知α、β为锐角，x =αsin ，y =βcos ，53)cos(-=+βα，则y 与x 的函数关系为________．（2）三角函数名互化（切割化弦）．例27、求值)10tan 31(50sin ︒+︒．例28、已知12cos 1cos sin =-ααα，32)tan(-=-βα，求)2tan(αβ-的值．（3）公式变形使用（)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±）．例29、已知A 、B 为锐角，且满足1tan tan tan tan ++=B A B A ，则=+)c o s (B A ＝________．例30、设ABC ∆中，B A B A tan tan 33tan tan =++，43cos sin =A A ，则此三角形是______三角形．（4）三角函数次数的降升（降幂公式：22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2αα-=与升幂公式：αα2cos 22cos 1=+，αα2sin 22cos 1=-）．（5）例31、若)23, (ππα∈，化简α2cos 21212121++为________．例32、函数325cos 35cos sin 5)(2+-=x x x x f （R x ∈）的单调递增区间为________． （5）式子结构的转化（对角、函数名、式子结构化同）． （6）例33、αααααααcsc cot tan sin )sin (cos tan +++-．例34、求证：2tan 12tan 12sin 21sin 12αααα-+=-+．例35、化简：)4(sin )4tan(221cos 2cos 2224x x x x +-+-ππ．（6）常值变换主要指“1”的变换．===⋅=-=+=2s i n 4t a n c o t t a n t a n s e c c o s s i n 12222ππx x x x x x 等．例36、已知2tan =α，求αααα22cos 3cos sin sin -+（7）正余弦“三兄妹x x cos sin ±、x x cos sin ”的内存联系——“知一求二”．例37、若t x x =±cos sin ，则=x x cos sin ________．例38、若) , 0(πα∈，21cos sin =+αα，求αtan 的值．例39、已知k =++αααtan 1sin 22sin 2（24παπ<<），试用k 表示ααcos sin -的值．13、辅助角公式中辅助角的确定：)s i n (c o s s i n 22θ++=+x b a x b x a （其中θ角所在的象限由a 、b 的符号确定，θ角的值由ab=θtan 确定）在求最值、化简时起着重要作用． 例40、若方程c x x =-cos 3sin 有实数解，则c 的取值范围是________．例41、当函数x x y sin 3cos 2-=取得最大值时，x tan 的值是________．例42、如果)cos(2)sin()(ϕϕ+++=x x x f 是奇函数，则=ϕtan ________．例43、求值：=︒+︒-︒20sin 6420cos 120sin 3222________．14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数x y sin =和余弦函数x y cos =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0、2π、π、23π、π2的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象．15、正弦函数x y sin =（R x ∈）、余弦函数x y cos =（R x ∈）的性质： （1）定义域：都是R ．（2）值域：都是]1 , 1[-，对x y s i n =，当22ππ+=k x （Z k ∈）时，y 取最大值1；当232ππ+=k x （Z k ∈）时，y 取最小值1-；对x y co s =，当πk x 2=（Z k ∈）时，y 取最大值1，当ππ+=k x 2（Z k ∈）时，y 取最小值1-．例44、若函数)63sin(π+-=x b a y 的最大值为23，最小值为21-，则=a ______，=b ______．例45、函数x x x f cos 3sin )(+=（]2, 2[ππ-∈x ）的值域是________．例46、若πβα=+2，则αβsin 6cos -=y 的最大值和最小值分别是____、____．例47、函数x x x x x x f cos sin sin 3)3sin(cos 2)(2+-+=π的最小值是_____，此时=x ______．例48、己知21cos sin =βα，求αβcos sin =t 的变化范围．例49、若αβαcos 2sin 2sin 22=+，求βα22sin sin +=y 的最大、最小值． 特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？ （3）周期性：①x y sin =、x y cos =的最小正周期都是π2；②)sin()(ϕω+=x A x f 和)cos()(ϕω+=x A x f 的最小正周期都是||2ωπ=T ． 例50、若3sin )(xx f π=，则=+++)2003()2()1(f f f ________．例51、函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=的最小正周期为________．例52、设函数)52sin(2)(ππ+=x x f ，若对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则||21x x -的最小值为________．（4）奇偶性与对称性：正弦函数x y sin =（R x ∈）是奇函数，对称中心是)0 , (πk （Z k ∈），对称轴是直线2ππ+=k x （Z k ∈）；余弦函数x y cos =（R x ∈）是偶函数，对称中心是)0 , 2(ππ+k （Z k ∈），对称轴是直线πk x =（Z k ∈）（正、余弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）．例53、函数)225sin(x y -=π的奇偶性是________．例54、已知函数1sin )(3++=x b ax x f （a 、b 为常数），且7)5(=f ，则=-)5(f ________．例55、函数)cos (sin cos 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是________、________．例56、已知)cos(3)sin()(θθ+++=x x x f 为偶函数，求θ的值．（答：6ππθ+=k （Z k ∈））（5）单调性：x y sin =在]22 , 22[ππππ+-k k （Z k ∈）上单调递增，在]232 , 22[ππππ++k k （Z k ∈）单调递减；x y cos =在]2 , 2[πππ+k k （Z k ∈）上单调递减，在]22 , 2[ππππ++k k （Z k ∈）上单调递增．特别提醒，别忘了Z k ∈！16、形如)sin(ϕω+=x A y 的函数： （1）几个物理量：A —振幅；Tf 1=—频率（周期的倒数）；ϕω+x —相位；ϕ—初相． （2）函数)sin(ϕω+=x A y 表达式的确定：A 由最值确定；ω由周期确定；ϕ由图象上的特殊点确定．例57、)sin()(ϕω+=x A x f （0>A ，0>ω，2||πϕ<）的图象如图所示，则=)(x f ________． 2π9Y X-223（3）函数)sin(ϕω+=x A y 图象的画法：①“五点法”――设ϕω+=x X ，令=X 0、2π、π、23π、π2求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法．（4）函数k x A y ++=)sin(ϕω的图象与x y sin =图象间的关系：①函数x y sin =的图象纵坐标不变，横坐标向左（0>ϕ）或向右（0<ϕ）平移||ϕ个单位得)sin(ϕ+=x y 的图象；②函数)sin(ϕ+=x y 图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的ω1，得到函数)sin(ϕω+=x y 的图象；③函数)sin(ϕω+=x y 图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数)sin(ϕω+=x A y 的图象；④函数)sin(ϕω+=x A y 图象的横坐标不变，纵坐标向上（0>k ）或向下（0<k ），得到k x A y ++=)sin(ϕω的图象．要特别注意，若由)sin(x y ω=得到)sin(ϕω+=x y 的图象，则向左或向右平移应平移||ωϕ个单位．例58、函数1)42sin(2--=πx y 的图象经过怎样的变换才能得到x y sin =的图象？例59、要得到函数)42cos(π-=x y 的图象，只需把函数2sin xy =的图象向_____平移_____个单位．例60、将函数1)372sin(2+-=πx y 图像，按向量a 平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出a ；若不唯一，求出模最小的向量。

三角函数新定义问题三角函数新定义问题；主要把握住三角函数与其它知识点之间的转换关系即可，熟记三角恒等变换的有关公式；求取值范围转换为函数问题.特别注意：新定义“伴随函数”得出函数f (x )的表达式，然后利用三角函数性质求解．对于函数f (x )=a sin x+b cos x 一般借助辅助角公式进行变形，即f (x )=a sin x +b cos x =a 2+b 2sin (x +φ)，其中cos φ=a a 2+b 2，sin φ=ba 2+b2．题型一新定义距离问题1人脸识别就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．已知二维空间两个点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，则其曼哈顿距离为d A ,B =x 1-x 2 +y 1-y 2 ，余弦相似度为cos A ,B =x 1x 21+y21×x 2x 22+y22+y 1x 21+y21×y 2x 22+y22，余弦距离为1-cos A ,B ．已知0<α<β<π2，M 13cos α,13sin α 、N 8cos β,8sin β 、P 13cos α+β ,13sin α+β 、Q 5cos2β,5sin2β ，若cos M ,P =35，cos M ,N =1213，则d M ,Q =．【跟踪训练】2人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，O 为坐标原点，余弦相似度similarity 为向量OA ,OB夹角的余弦值，记作cos A ,B ，余弦距离为1-cos A ,B .已知P sin α,cos α ，Q sin β,cos β ，R sin α,-cos α ，若P ，Q 的余弦距离为13，Q ，R 的余弦距离为12，则tan α⋅tan β=()A.7B.17C.4D.14题型二新定义函数3已知x为实数，用x 表示不超过x的最大整数，例如 1.2=1，-1.2=-2，1 =1．对于函数f(x)，若存在m∈R且m∉Z，使得f m=f m，则称函数f(x)是Ω函数．(1)判断函数f x =x2-13x，g x =sinπx是否是Ω函数；(只需写出结论)(2)已知f x =x+ax，请写出a的一个值，使得f x 为Ω函数，并给出证明；(3)设函数f(x)是定义在R上的周期函数，其最小周期为T．若f(x)不是Ω函数，求T的最小值．【跟踪训练】4定义函数f x =cos sin x为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明2π为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：f x+π=cos sin x+π=cos-sin x=cos sin x=f x .可得：π也为函数f x =cos sin x的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究f x =cos sin x的单调性：函数f x =cos sin x在0,π2是严格减函数，在π2,π上严格增函数，再结合f x+π=f x ，可以确定：f x =cos sin x的最小正周期为π.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数f x =sin cos x为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：(1)求“余正弦”函数的定义域；(2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；(3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.1人脸识别中检测样本之间相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则曼哈顿距离为：d A ,B =x 1-x 2 +y 1-y 2 ，余弦相似度为：cos A ,B =x 1x 21+y21×x 2x 22+y22+y 1x 21+y 21×y 2x 22+y22，余弦距离为1-cos A ,B .若A -1,2 ，B 35,45，则A ，B 之间的余弦距离为()A.1-55B.1+55C.1-55D.1-552已知y =f (x )是定义在[a ,b ]上的函数，如果存在常数M >0，对区间[a ,b ]上任意划分：a =x 0<x 1<⋅⋅⋅<x n -1<x n =b ，和式ni =1|f (x i )-f (x i -1)|≤M 恒成立，则称y =f (x )为[a ,b ]上的“绝对差有界函数”，注：ni =1a i =a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a n ，若f (x )=sin x +cos x ，g (x )=x cos π2x-1≤x <00x =0，则关于函数y =f (x )、y=g (x )在[-1,0]上是否为“绝对差有界函数”的判断正确的是()A.y =f (x )与y =g (x )都是B.y =f (x )是而y =g (x )不是C.y =f (x )不是而y =g (x )是D.y =f (x )与y =g (x )都不是3在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：sinh (x )=e x -e -x 2，双曲余弦函数：cosh (x )=e x +e -x2，则cosh (2)-2cosh 2(1)=，无穷数列a n ，a 1=a (a >1)，a n +1=2a 2n -1，若a 2021=54，则a 的值为．4平面直角坐标系中，将函数y =f x ，x ∈D 上满足x ∈N *，y ∈N *的点P x ，y ，称为函数的“正格点”．若函数f x =sin mx ，x ∈R ，m ∈1，2 与函数g x =lg x 的图象存在正格点交点，则这两个函数图象的所有交点个数为个．5对于函数y =f x ，x ∈R ，如果存在一组正常数t 1，t 2，⋯，t k ，(其中k 为正整数)，满足0<t 1<t 2<⋅⋅⋅<t k 使得当x 取任意实数时，有f x +f x +t 1 +f x +t 2 +⋅⋅⋅+f x +t k =0，则称函数y =f x 具有“性质P k ”.(1)求证：函数h x =cos x 同时具有“性质P 1”和“性质P 2”；(2)设函数g x =a +b cos2x +c cos5x +d cos8x ，其中b ，c ，d 是不全为0的实数且存在m ∈R ，使得g m =4a ，证明：存在n ∈R ，使得g n <0.6设O 为坐标原点，定义非零向量OM=a ,b 的“相伴函数”为f x =a sin x +b cos x x ∈R ，向量OM=a ,b 称为函数f x =a sin x +b cos x 的“相伴向量”.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S .(1)设函数h x =2sin π3-x-cos π6+x ，求证：h x ∈S ；(2)记OM=0,2 的“相伴函数”为f x ，若函数g x =f x +23sin x -1，x ∈0,2π 与直线y =k 有且仅有四个不同的交点，求实数k 的取值范围；(3)已知点M a ,b 满足a 2-4ab +3b 2<0，向量OM 的“相伴函数”f x 在x =x 0处取得最大值.当点M 运动时，求tan2x 0的取值范围.7对于函数y=f x ，x∈R，如果存在一组常数t1，t2，⋯，t k(其中k为正整数，且0=t1<t2<⋯<t k)使得当x取任意值时，有f x+t1=0则称函数y=f x 为“k级周天函数”.+f x+t2+⋯+f x+t k(1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①f1x =sin x；②f2x =x+2；(2)求证：当ω=3n+2n∈Z是“3级周天函数”；时，g x =cosωx(3)设函数h x =a+b cos2x+c cos5x+d cos8x，其中b，c，d是不全为0的实数且存在m∈R，使得h m=4a，证明：存在n∈R，使得h n <0.8已知x为实数，用x 表示不超过x的最大整数，例如 1.2=-2，1 =1．对于函数=1，-1.2f(x)，若存在m∈R且m∉Z，使得f m，则称函数f(x)是Ω函数．=f mx，g x =sinπx是否是Ω函数；(只需写出结论)(1)判断函数f x =x2-13(2)已知f x =x+ax，请写出a的一个值，使得f x 为Ω函数，并给出证明；(3)设函数f(x)是定义在R上的周期函数，其最小周期为T．若f(x)不是Ω函数，求T的最小值．9悬索桥(如图)的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.1691年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为y =c 2e x c +e xc，其中c 为参数.当c =1时，该方程就是双曲余弦函数cosh x =e x +e -x 2，类似的我们有双曲正弦函数sinh x =e x -e -x2.(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数y =cosh 2x +sinh x 的最小值；①cosh x 2-sinh x 2=1；②sinh 2x =2sinh x cosh x ；③cosh 2x =cosh x 2+sinh x 2.(2)求证：∀x ∈-π,π4，cosh cos x >sinh sin x .10定义函数f (x )=a sin x +b cos x 的“积向量”为m =a ,b ，向量m=a ,b 的“积函数”为f (x )=a sin x +b cos x ．(1)若向量m =a ,b 的“积函数”f x 满足f π7 f 9π14=tan 10π21，求b a 的值；(2)已知m =n =2，设OP =λm +μn(λ>0,μ>0)，且OP 的“积函数”为g x ，其最大值为t ，求t -2 λ+μ 的最小值，并判断此时m ，n的关系．。

《三角函数线》
自主预习
认真阅读教材P15～17回答下列问题．
三角函数线
(1)有向线段：带有的线段叫做有向线段．
(2)定义：如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合)．
过点P作x轴的垂线PM，垂足
为M，过点A作单位圆的切线交OP
的延长线(或反向延长线)于T点，
这样就有sinα＝，cosα＝，
ta nα＝．单位圆中的有向线
段MP、OM、AT分别叫做角α的
线、线、线，统称为三
角函数线．
④三角函数线的书写：有向线
段的起点字母在前，终点字母在后．
⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值．。