七年级数学上册第四章基本平面图形3角典型例题素材新版北师大版2

最新北师大版七年级数学上册基本平面图形知识点典型例题练习第四章：基本平面图形知识梳理一、线段、射线、直线1、线段、射线、直线的定义（1）线段：线段可以近似地看成是一条有两个端点的崩直了的线。

线段可以量出长度。

（2）射线：将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有一个端点。

射线无法量出长度。

（3）直线：将线段向两个方向无限延伸就形成了直线，直线没有端点。

直线无法量出长度。

结论：直线、射线、线段之间的区别：联系：射线是直线的一部分。

线段是射线的一部分，也是直线的一部分。

2、点和直线的位置关系有两种：①点在直线上，或者说直线经过这个点。

②点在直线外，或者说直线不经过这个点。

3、直线的性质（1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。

简称两点确定一条直线。

（2）过一点的直线有无数条。

（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。

（4）直线上有无穷多个点。

（5）两条不同的直线至多有一个公共点。

4、线段的比较（1）叠合比较法（用圆规截取线段）；（2）度量比较法（用刻度尺度量）。

5、线段的性质（1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。

（2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。

（3）线段的中点到两端点的距离相等。

（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。

6、线段的中点：如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫这条线段的中点。

1若C是线段AB的中点，则：AC=BC=AB或AB=2AC=2BCB2C二、角1、角的概念：（1）角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形。

两条射线叫角的边，共同的端点叫角的顶点。

（2）角还可以看成是一条射线绕着它的端点旋转所成的图形。

2、角的表示方法：角用“∠”符号表示，角的表示方法有以下四种：①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。

②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。

③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。

《角》典型例题例1 指出下面角的表示方式是不是正确，错误的更正过来。

（1）如图①中的角能够表示为ABC ∠；（2）如图②中的BAC ∠能够表示为A ∠。

例2 如图，用量角器气宇三角形的三个角，并指出哪个角是钝角。

例3 计算：（1）0.12°＝（ ）′ （2）24′36″＝（ ）°例4 如图，在海岸上有A 、B 两个观测站，B 观测站与A 观测站的距离是2.5km ，某天，A 观测站观测到有一条船在南偏东50°方向，在同一时刻，B 观测站观测到该船在南偏东74°方向．（1）请依照以上情形画出船的位置．（2）计算船到B 观测站的距离（画图时用1cm 表示1km ）例5 如图：（1）以B 为极点的角有几个：把它们表示出来；（2）指出以射线BA 为边的角；（3）以D 为极点，DC 为一边的角有几个？别离表示出来。

例6 填空题（1）;______638128︒='''︒（2）=''0451 '''︒；（3）＝︒26.78 '''︒；（4）︒120=________平角=_______周角。

例7 求时钟表面3点25分时，时针与分针所夹角的度数.参考答案例1 分析 （1）中角极点的字母没有写在中间，（2）顶用A ∠表示，就很难分清是表示三个角中的哪个角。

解 （1）错，应表示为BAC ∠；（2）错，它能用BAC ∠或α∠表示。

说明：（1）表示角时极点字母必需写在中间；（2）用极点一个字母去表示角时，必需分清楚表示的是哪个角。

例 2 分析 气宇时应注意把量角器中角的极点和所要气宇的角的极点重合，把量角器的“0”点落在被量角的一边上，使被量角的另一边和量角器都在被量角这一边的同侧，这时被量角的另一边所对的刻度确实是那个角的度数。

解 经气宇︒=∠140A 是钝角；︒=∠︒=∠15,25C B 。

------------------------- 天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤劳------------------------------基本平面图形一、选择题1．如图，对于直线AB，线段 CD，射线 EF，此中能订交的图是( B )A BC D2．植树时，为了使同一行树坑在一条直线上，只要定出两个树坑的地点，此中的数学道理是( D )A．两点之间线段最短B．两点之间直线最短C．两点确立一条射线D．两点确立一条直线3．若∠C＝ 90°，∠A＝ 25° 30′，则∠C－∠A的结果是 ( D )A． 75° 30′ B ． 74° 30′C． 65° 30′ D ．64° 30′4．以下换算中，错误的选项是( A )A． 83.5 °＝ 83° 50′B． 47.28 °＝ 47° 16′ 48″C． 16° 5′ 24″＝ 16.09 °D． 0.25 °＝ 900″5．如下图，以下表示角的方法错误的选项是( D )A．∠ 1 与∠AOB表示同一个角B ．∠ β 表示的是∠ BOCC ．图中共有三个角：∠ AOB ，∠ AOC ，∠ BOCD ．∠ AOC 也可用∠ O 来表示6．如图，小华的家在 A 处，书店在B 处，礼拜日小明到书店去买书，他想赶快的赶到书店，请你帮助他选择一条近来的路线(B )A ． A C DB B ． AC F B C ． A C E FBD ． ACMB7．将一个圆切割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为1∶2∶ 3，则这个扇形中圆心角度数最大的是 (D )A ． 30°B． 60°C ． 120°D ． 180°8．假如线段 AB ＝ 5 cm ， BC ＝ 3 cm ，且 A ，B ， C 在同一条直线上，那么 A ， C 两点的距离是( C)A ． 2 cmB．8 cmC ． 2 cm 或 8 cmD ．以上答案都不正确9．如图，若D 是 AB 的中点，E 是中点，若 ＝ 8， ＝ 3， ＝( A)BC AC EC ADA ．1B ．2C ．4D．510．如图，∠ AOB 是直角，∠ AOC ＝ 38°， OD 均分∠ BOC ，则∠ AOD 的度数为 ( C)A ． 52°B ． 38°C ． 64°D． 26°11．如图，已知∠ AOB 是直角，∠ AOC 是锐角， ON 均分∠ AOC ， OM 均分∠ BOC ，则∠ MON的度数是(A )1A ． 45°B． 45°＋ 2∠ AOC1 ．不可以计算C ． 60°－ ∠ AOC D2二、填空题12．如图，已知 C 为线段 AB 的中点， D 在线段 CB 上．若 DA ＝ 8，DB ＝ 4，则 CD ＝__2__．13．计算： 77°53′ 26″＋ 33.3 °＝ __111° 11′ 26″ __．14．假如港口 A 的南偏东 52°方向有一座小岛 B ，那么从小岛 B 察看港口 A 的方向是 __ 北偏西 52° __．15．如图， O 是直线 l 上一点，∠ 1＋∠ 2＝ 78° 42′，则∠ AOB ＝__101° 18′ __．第15题图第 16题图16．如图，已知∠ COB ＝ 2∠ AOC ，OD 均分∠ AOB ，且∠ COD ＝ 18°，则∠ AOB 的度数为 __108°__．17．如图， ， ，E 是线段AB 上的三个点，下边对于线段的表示：C DCE① CE ＝CD ＋ DE ； ② CE ＝BC － EB ；③ CE ＝CD ＋ BD －AC ； ④CE ＝ AE ＋BC － AB .此中正确的选项是__①②④ __( 填序号 ) ．-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤劳------------------------------18．如图，将一副直角三角板叠在一同，使直角极点重合于点O，则∠ AOB＝160°，则∠COD＝__20°__，∠ BOC＝__70°__．三、解答题19．如图，已知点C为 AB上一点， AC＝15 cm，CB＝2AC.若 D，E 分别为 AC，AB的中点，3求 DE的长．2解：∵ AC＝15 cm， CB＝3AC，∴CB＝10 cm，AB＝15＋10＝25 cm.又∵ E是 AB的中点， D是 AC的中点．1∴AE＝2AB＝12.5 cm，1AD＝2AC＝7.5 cm，∴DE＝AE－ AD＝－＝5 cm.20．如图，C，D是线段AB上的两点，已知AC∶ CD∶DB＝1∶2∶3，M，N分别是 AC， BD 的中点，且AB＝36 cm，求线段 MN的长．解：∵ AC∶ CD∶DB＝1∶2∶3，∴设 AC＝ x cm，则 CD＝2x cm， DB＝3x cm.∵AB＝36 cm，∴ x＋2x＋3x＝36，解得 x＝6.∵ M，N分别是 AC， BD的中点，111 3∴CM＝ AC＝ x， DN＝ BD＝ x，222 21 3∴MN＝CM＋ CD＋DN＝2x＋2x＋2x＝4x＝4×6＝24(cm)．21．如图，圆O的直径为10 cm，两条直径AB， CD订交成90°角，∠ AOE＝50°， OF是∠ BOE 的均分线．(1) 求圆心角∠ COF 的度数；(2) 求扇形 COF 的面积．解： (1) ∵∠ AOB ＝ 180°，∠ AOE ＝50°，∴∠ BOE ＝ 130°.∵ OF 是∠ BOE 的均分线，1 ∴∠ BOF ＝ ∠ BOE ＝ 65° .2∵两条直径 AB ， CD 订交成 90°角，∴∠ COF ＝ 90°－ 65°＝ 25° .(2) ∵⊙ O 的面积＝ 52×π＝ 25π，25°1252∴扇形 COF 的面积＝ 25π× 360° ＝ 72 π (cm ) ．22．如图，直线 AB ， CD 订交于点 O ， OA 均分∠ EOC .(1) 若∠ EOC ＝ 70°，求∠ BOD 的度数；(2) 若∠ EOC ∶∠ EOD ＝ 2∶3，求∠ BOD 的度数．解： (1) ∵ OA 均分∠ EOC ，11∴∠ AOC ＝ 2∠ EOC ＝ 2× 70°＝ 35° .∴∠ BOD ＝∠ AOC ＝ 35° .(2) 设∠＝ 2 ，∠ ＝ 3 . 依据题意，得 2 ＋ 3 x ＝180°，解得 x ＝ 36°，EOC x EOD x x∴∠ EOC ＝ 2x ＝ 72°，∴∠ AOC ＝ 1∠ EOC ＝ 1× 72°＝ 36°，2 2 ∴∠＝∠＝36°.23．如图，OE，OD分别均分∠AOC和∠BOC.(1)假如∠ AOB＝90°，∠ BOC＝38°，求∠ DOE的度数；(2)假如∠ AOB＝α，∠ BOC＝β(α，β均为锐角，α＞β)，其余条件不变，求∠ DOE；(3)从 (1) 、 (2) 的结果中，你发现了什么规律？请写出来．解： (1) ∵∠AOB＝ 90°，∠BOC＝ 38°，∴∠ AOC＝∠ AOB＋∠ BOC＝90°＋38°＝128°.又∵ OE， OD分别均分∠ AOC和∠ BOC，1 1∴∠ COE＝2∠ AOC＝2×128°＝64°，1 1∠COD＝∠ BOC＝×38°＝19°，2 2∴∠ DOE＝∠ COE－∠ COD＝64°－19°＝45°.(2)∵∠ AOB＝α，∠ BOC＝β，∴∠ AOC＝∠ AOB＋∠ BOC＝α＋β.又∵ OE， OD分别均分∠ AOC和∠ BOC，1 1∴∠ COE＝2∠ AOC＝2(α＋β)．1＝1，∠ ＝∠2βCOD 2 BOC1 1 1 1 1 1 ∴∠ DOE＝∠ COE－∠ COD＝(α＋β)－β＝α＋β －β＝α.2 2 2 2 2 21(3)∠ DOE＝2∠ AOB，其大小与∠ BOC的大小没关．。

角的概念与表示方法一、角的概念突破建议：1．正确理解角的静态定义．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的边．角有两条边，角的边是射线，且这两条射线有公共端点．2．明确了解角的动态定义的内涵及平角、周角的概念．角可以看作是一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当终边与始边成一条直线时，形成的角是平角；当终边旋转一周与始边重合时，形成的角是周角．例1 下列语句正确的是( )．A．两条射线组成的图形叫做角；B．一个角的两边越长，这个角越大；C．一条直线就是一个平角；D．角可以看成由一条射线绕它的端点旋转而成的图形．解析：本题考查角的定义．组成角的两条射线必须有公共端点，所以选项A错误；角的边是射线，无长短之分，所以选项B错误；任何一个角都由两条射线组成，所以选项C错误；选项D符合角的动态定义，故选项D正确．二、角的表示方法突破建议：1．让学生理解角的表示方法，主要是让学生理解角的表示方法的必要性和各种不同表示方法的合理性．在几何研究过程中，我们不能用口头语说一个角是“这个角”或“那个角”，而应如《第二章整式加减》表达单项式、多项式那样，必须给所研究的角起个名字，这样几何研究、交流才有可能，这也是中学知识是在小学知识基础上发展的标志之一．2．对于角的表示方法的掌握，可以用列表等方式让学生通过对比来加深理解，教师要引导学生结合练习实践，尝试用自己的语言提炼、总结．方法图形表示适用范围注意用三个大写字母∠AOB所有的角顶点字母写在中间用一个大写字母∠O顶点只有一个角时用顶点字母表示用数字或希腊字母∠1或∠α当顶点处有多个角时标记其中的一个角角的内部弧线加相应数字或希腊字母教学时，教师要善于从“是什么，为什么”两个方面提出问题，引导学生从表示方法是否明确、表示是否简洁两个方面进行分析，让学生真正理解角的表示方法，并能熟练地运用．3．本节内容不多，但对后续学习至关重要，教师可以适当补充例题和练习题，让学生充分练习，仔细体会，切实掌握相关内容．帮助学生克服初学几何的厌烦、紧张等不良情绪，顺利“入门”．例2 如图，请用大写字母表示图中∠1，∠2表示的角．你还能提出别的问题吗？与你的同伴交流．解析：角的表示方法各有所长，要根据具体图形或题目要求来灵活选择．一般地，用三个大写字母表示的角适合于所有的图形，但不够简洁明了．当图形较为复杂时，书写、推理都比较繁琐，此时可用数字或希腊字母在单个角的顶点处标注．如果顶点处只有一个角，也可用一个大写字母或希腊字母来表示．因为此时不会引起混淆，也很简洁．本题∠1可改写成∠ABC或∠CBA，∠2可改写成∠BCN或∠NCB．教师要强调，写完后需要检查，表示顶点的字母是否写在中间的位置．。

角班级：___________姓名：___________得分：__________一、选择题(每小题8分，共40分)1.下列对角的表示方法理解错误的是( )A.角可用三个大写字母表示,顶点字母写在中间 ,每边上的点写在两旁B.任何角都可以用一个字母表示C.记角时可靠近顶点处加上弧线,注上数字表示D.记角时可靠近顶点处加上弧线,注上希腊字母来表示2. 下列说法中正确的是( )A．两条射线组成的图形叫做角B．两边成一直线的角是平角C．一条射线是一个周角D．平角是一条直线3. 四点这一时刻，分针和时针的夹角是( )A．70° B．75° C．90° D．120°A、 B、 C、 D、4.下列说法中正确的有（）①由两条射线组成的图形叫做角②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关③角的两边是两条射线④把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角度数也扩大10倍A、1个B、2个C、3个D、4个5. 下图中表示∠ABC的是（）二、填空题(每小题8分，共40分)6. 如下图，用大写字母表示图中用小写希腊字母标注的角，则∠α＝__________ ，∠β＝___________ ，∠γ＝________，∠θ＝____________7. 图中以O为顶点的角有________ 个，它们是___________8. 如图，有一只蚂蚁从点A出发，按顺时针方向沿图所示的方向爬行，最后又爬回到A点，那么蚂蚁在此过程中共转_________°9. 下列说法错误的有________①有公共点的两条射线形成的图形是角②从一点引出的两条射线形成的图形是角③角的大小与两边所画的长度有关④线段绕着一个端点旋转也可以形成角10. 如图所示，B处在A处的南偏西45°方向上，C处在A处的南偏东30°方向，C处在B 处的北偏东60°，求∠ACB是_________度？三、解答题（共20分）11. 计算如图，已知∠1=65°15′，∠2=78°30′，求∠3的度数。

4.1 线段、射线、直线1、线段、射线、直线 线段：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。

线段有两个端点。

射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。

射线有一个端点。

直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。

直线没有端点。

2、名称 图形 表示方法 端点 长度直线 直线AB (或BA )直线l 无端点 无法度量 射线射线OM 1个 无法度量 线段线段AB (或BA ) 线段l2个可度量长度3、直线的性质（1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。

（两点确定一条直线。

） （2）过一点的直线有无数条。

（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。

4、点和直线的位置关系有两种：①点在直线上，或者说直线经过这个点。

②点在直线外，或者说直线不经过这个点。

※课时达标 1.填写下表:2.如图，共有 条线段.3.用两个钉子就可以把木条钉在墙上，其依据是_________ .4.平面上有五条直线，则这五条直线最多有_____交点，最少有_____个交点．5.平面上两条直线的位置关系只有两种，即__________和_________________.6.平面上有四个点，无三点共线，以其中一点为端点，并且经过另一点的射线共有_______条．※课后作业 ★基础巩固1.下列各直线的表示法中，正确的是（ ）.l BAMOlBA 名称 图例 端点数 延伸方向 有无长度 线段射线直线 A B C DA.直线AB.直线AB C直线ab D.直线Ab2.下列说法不正确的是( ) .A.直线AB与直线BA是同一条直线B.射线AB与射线BA是同一条射线C.线段AB与线段BA是同一条线段D.线段有两个端点,射线有一个端点,直线没有端点3.下列说法正确的是（）.A.射线比直线短B.两点确定一条直线C.经过三点只能作一条直线D.两条射线的长度的和等于直线的长度4.下列说法正确的是( ).A.过一点P只能作一条直线B.射线AB和射线BA表示同一条射线C.直线AB和直线BA表示同一条直线D.射线a比直线b短5.下列说法正确的是（）.A.延长射线OAB.延长直线lC.延长线段CDD.反向延长直线l6.平面内的三点可确定直线的条数是（）.A.3B.1或3C.0或1D.07.已知C,D在直线AB上，那么直线AB上的射线共有（）.A.6条B.7条C.8条D.9条8.下列说法中，错误的有（）.①射线是直线的一部分；②画一条射线，使它的长度为5厘米；③线段AB和线段BA是同一条线段；④射线AB和射线BA是同一条射线；⑤直线AB和直线BA是同一条直线.A.1个B.2个C.3个D.4个9.在一条笔直的校园大道两旁种树时，先定下两棵树的位置，然后其它树的位置也就确定下来了，这说明了直线的基本性质：________________________. 10.已知平面内的四个点A,B,C,D,过其中的两个点画直线：(1)若A,B,C,D四个点在同一条直线上，可以画出______条直线；(2)若A,B,C,D四个点有三个在同一条直线上，可以画出______条直线；(3)若A,B,C,D四个点中的任意三个都不在同一条直线上，可以画出_______条直线.11.读下列语句，并画出相应图形.(1)经过点M,N画一条直线；(2)直线ba,相交于点P，点A在直线a上，但不在直线b上；(3)三条直线cb,两两相交于点A,B,C.a,☆能力提高12.读句画图:如图所示，已知平面上四个点（1）画直线AB；（2）画线段AC；（3）画射线AD、DC、CB；（4）如图，指出图中有_____条线段，有___ 条射线并写出其中能用图中字母表示的线段和射线 .13.已知直线l上有n个点，试问：（1）此图形上有多少条射线？（2）此图形上有多少条线段？14.如图，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段AB上有三个点时，线段总共有3条，如果线段AB上有4个点时，线段总数有6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有10条，……A C B3=2+1A C D B6=3+2+1A C D E B10=4+3+2+1(1)当线段AB上有6个点时，线段总数共有__________条.(2)当线段AB上有100个点时，线段总数共有多少条？●中考在线15.平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条，若平面上不同的n个点最多可确定21条直线，则n的值为（）.A.5B.6C.7D.816.同一平面内互不重合的三条直线的公共点的个数是( ).A.可能是0个，1个，2个B.可能是0个，2个，3个C.可能是0个，1个，2个或3个D.可能是1个或3个4.2 比较线段的长短1、线段的性质（1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。

《角》典型例题例1 指出下面角的表示方法是否正确，错误的改正过来。

（1）如图①中的角可以表示为ABC ∠；（2）如图②中的BAC ∠可以表示为A ∠。

例2 如图，用量角器度量三角形的三个角，并指出哪个角是钝角。

例3 计算：（1）0.12°＝（ ）′ （2）24′36″＝（ ）°例4 如图，在海岸上有A 、B 两个观测站，B 观测站与A 观测站的距离是2.5km ，某天，A 观测站观测到有一条船在南偏东50°方向，在同一时刻，B 观测站观测到该船在南偏东74°方向．（1）请根据以上情况画出船的位置．（2）计算船到B 观测站的距离（画图时用1cm 表示1km ）例5 如图：（1）以B 为顶点的角有几个：把它们表示出来；（2）指出以射线BA 为边的角；（3）以D 为顶点，DC 为一边的角有几个？分别表示出来。

例6 填空题（1）;______638128︒='''︒（2）=''0451 '''︒；（3）＝︒26.78 '''︒；（4）︒120=________平角=_______周角。

例7 求时钟表面3点25分时，时针与分针所夹角的度数.参考答案例1 分析 （1）中角顶点的字母没有写在中间，（2）中用A ∠表示，就很难分清是表示三个角中的哪个角。

解 （1）错，应表示为BAC ∠；（2）错，它能用BAC ∠或α∠表示。

说明：（1）表示角时顶点字母必须写在中间；（2）用顶点一个字母去表示角时，必须分清楚表示的是哪个角。

例2 分析 度量时应注意把量角器中角的顶点和所要度量的角的顶点重合，把量角器的“0”点落在被量角的一边上，使被量角的另一边和量角器都在被量角这一边的同侧，这时被量角的另一边所对的刻度就是这个角的度数。

解 经度量︒=∠140A 是钝角；︒=∠︒=∠15,25C B 。

说明：学生所用的一般量角器只精确到度，有时要根据观察来确定角的近似值。

北师大版七年级数学上册 第四章 基本平面图形 知识点总结知识点一：基本图形特点（1）线段 两个端点 可测量 线段CD 或线段DC ，或者线段m 。

（2）射线 一个端点 不可测量 射线DE ，其中D 点是端点（3）直线 没有端点 不可测量 直线EF 或直线FE ，或直线Ɩ 。

（4）角的表示方法：①用三个大写字母；如∠ABC （顶点字母在中间） ②用一个大写字母，如∠B （以这个点为顶点的角只有一个） ③用一个数字，如∠1；④用一个希腊字母，如∠ α 。

知识点二：（1）将一根细木条固定在墙上，至少需要钉 2个钉子，理由： 两点确定一条直线 。

（3）过平面内三个点中的任意两个点可作 1条或者3条 直线。

（2）若一条直线上有n 个点，则有 条线段、 2n 条射线和 1条直线。

（4）平面内n 条直线两两相交，有 个交点。

（5）平面内一个点O 发出n 条射线，那么角的个数为 个角。

知识点三：方位角方法：视角互换，度数不变，位相反。

如：操场上，小明对小亮说：“你在我的北偏东30°方向上”，那么小亮可以对小明说：“你在我的 A 方向上”( )A ．南偏西30°B ．北偏东30°C ．北偏东60°D ．南偏西60°2)1(-n n 2)1(-n n 2)1(-n nA B O 知识点四：时钟指针夹角 （1）一圈360° （2）一大格360÷12=30°（3）m 点整时，时针与分针夹角： 30m º 当度数大于180º时，再用（4）m 点n 分时，时针与分针夹角： |5.5n －30m |º 360º减去。

知识点五：度的换算（一）法则： 大单位化小单位乘以 进率60 。

小单位化大单位除以 进率60 。

（二）题型： ①45°= 87′ = 5220″②1800″= 30 分= 0.5 度 ③（ ）°= 15 ′④ 47.43°= 47 ° 25 ′ 48 ″。

七年级数学上册第四章 3角例题与讲解北师大版1．角的定义(1)静态定义：由两条具有公共端点的射线组成的几何图形叫做角．如图甲．角的有关概念：顶点：两条射线的公共端点．边：组成角的两条射线．(2)动态定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转所形成的几何图形．如图乙．谈重点角的理解(1)角有两个特征：①角是由两条射线组成的；②这两条射线有公共的端点．(2)角的大小与角的两边的长短无关：由于角的两边是射线，而射线是向一方无限延伸的，所以角的大小与角的两边的长短无关，只与两条射线张开的程度有关．【例1】下列说法错误的有( )．①有公共点的两条射线形成的图形是角②从一点引出的两条射线形成的图形是角③角的大小与两边所画的长度有关④线段绕着一个端点旋转也可以形成角A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①×公共点与公共端点不同②√具备角的两个基本元素③×角的大小不因为两边的长短而改变④×角的两边是射线答案：C2．角的表示方法及画法角的表示方法有四种．(1)三个大写英文字母表示法：用角的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示角，如图(1)中的角，可记为∠AOB，注意顶点的字母写在中间，每条边上的一点A，B写在两旁．(2)顶点字母表示法：当角的顶点处只有一个角时，也可以只用顶点的字母表示角，如图(1)中的∠AOB也可记为∠O.(3)阿拉伯数字表示法：在角的顶点处加上弧线标上数字，就可以用这个数字来表示角，如图(2)中的∠AOB可记为∠1.(4)希腊字母表示法：在角的顶点处加上弧线标上小写希腊字母(α，β，γ等)，就可以用这个小写希腊字母来表示角，如图(2)中的∠BOC可记为∠α.这种方法与数字表示法实际上是一样的．释疑点表示角时的注意事项①以上四种表示方法的前面必须加上角的符号“∠”．②表示角所用的符号“∠”，不能写成小于号“<”．③当一个顶点处有两个以上的角时，不能用顶点字母表示法来表示角，如图(2)中以O为顶点的角有∠1，∠α，∠AOC ，就不能用∠O 来表示了．否则，就会产生混乱．3．平角、周角(1)平角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角，平角是180°，如图1.(2)周角：如图2，一条射线绕它的端点旋转一周，当终边与始边重合时，所成的角叫做周角．周角等于360°.(3)平角与周角的关系：一周角等于两平角．平角的两边成一条直线，周角的两边重合后成一条射线，但不能认为一条直线就是平角或认为一条射线就是周角．角必须有顶点和两边．【例3】 下列说法是否正确，为什么？①平角是一条直线；②钟表上的分针经过1小时形成一个周角．分析：可根据平角和周角的形成定义判断．解：①错．因为平角是一条射线绕着它的端点旋转到反方向位置时形成的图形，平角有顶点、边这些基本元素，而直线没有，故是错误的； ②正确．因为分针经过1小时会旋转一周，所以分针经过1小时会回到初始位置，即能形成一个周角．4．度、分、秒的换算(1)角的单位及意义角的单位是度、分、秒．意义：①把一个平角180等分，每一份就是一度的角，记作1°；②把一度的角60等分，每一份就是一分的角，记作1′；③把一分的角60等分，每一份就是一秒的角，记作1″.(2)度、分、秒的进率及换算方法度、分、秒的进率是60.即1°＝60′，1′＝60″，1°＝60′＝3 600″.度6060⨯÷分6060⨯÷秒(3)度、分、秒有关的计算度、分、秒的进率是六十进制，不同于十进制．在运算中满60才向高位进1，而借1则表示低位的60.在进行度、分、秒的加减法或乘除法的运算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减、不够除的要借位．从高位借的，单位要化为低位的单位后才能进行运算．在相乘或相加时，当低位大于或等于60时，要向高位进位．【例4－1】 (1)用度、分、秒表示48.13°为__________；(2)用度表示23°9′36″为__________．解析：(1)先把0.13°化成分：60′×0.13＝7.8′，再把0.8′化成秒：60″×0.8＝48″，所以48.13°＝48°7′48″；(2)先把36″化成分：⎝ ⎛⎭⎪⎫160′×36＝0.6′，再把9.6′化成度：⎝ ⎛⎭⎪⎫160°×9.6＝0.16°，所以23°9′36″＝23.16°.答案：(1)48°7′48″ (2)23.16°【例4－2】 计算：(1)13°29′＋78°37″； (2)61°39′－22°5′32″；(3)23°53′×3； (4)107°43′÷5.分析：先将相同单位相加减，注意进位和借位；乘法要先乘低位，再乘高位；除法是先除高位，高位余数换算成低位数后，再除低位．解：(1)13°29′＋78°37″＝91°29′37″.(2)61°39′－22°5′32″＝61°38′60″－22°5′32″＝39°33′28″.(3)23°53′×3＝69°159′＝71°39′.(4)107°43′÷5＝(105°＋2°43′)÷5＝105°÷5＋163′÷5＝21°＋(160′＋180″)÷5＝21°＋160′÷5＋180″÷5＝21°32′36″.5.角的计数方法数角的个数与数线段的条数的方法基本上相同，都要按一定的方法去数．常用的有两种方法：①始边计数法：先以某条边为始边(固定一边)，按顺时针方向或逆时针方向找到与之构成的所有的角，然后再以另一条射线为边，重复上面的过程，最后把所有的角的个数加起来，就是构成角的总个数．②分类计数法：先数清基本的角，再数由两个基本角组成的角，由三个基本角组成的角……【例5】如图，图中共有多少个角？用字母分别表示出来．分析：要确定有多少个角，需要先确定始边与终边的条数．可以用始边计数法数角的个数．即先以OA为始边，则能与它组成角的边有3条，就有3个角；再以OB为始边，按逆时针数出角的个数，依次类推．解：以OA为一边的角有∠AOB，∠AOC，∠AOD；以OB为一边且不重复的角有∠BOC，∠BOD；以OC为一边且不重复的角有∠COD.因此图中共有6个角，它们分别为：∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD.6．角的应用角在生活和生产中随处可见．本节的有关角的应用主要是钟表中的角．钟面上共有12个大格，把周角平均分，即360°÷12＝30°.钟表面上有60个小格，360°÷60＝6°.因此，时针每小时转动30°，分针每分钟转动6°.时针与分针的夹角的求法：先确定时针与分针之间有几个大格，即有多少个30°.用30°乘大格数．特别注意：①从时针开始数，所形成的角有时需要按顺时针数，如3：40；有时需要按逆时针数，如2：50.②从时针开始，按顺时针形成的角，两个度数相减；按逆时针形成的角度数相加．③时针每分钟转30°÷60＝0.5°.【例6】如图是部分节目的播出时间，分别确定出钟表上时针与分针所成的最小的角的度数．分析：确定钟表上时针与分针所成的最小角的度数，需要先确定时针与分针形成的角中包含几个大格和小格．节目时间大格度数小格度数夹角新闻联播19：0030°×50°150°新闻30分12：000°0°0°今日说法12：3530°×535×0.5°相加电视剧20：0030°×40°120°解：新闻30分：0°；今日说法：30°×5＋35×0.5°＝167.5°；电视剧：30°×4＝120°.。

北师大版七年级上册数学第四章基本平面图形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、在一次数学实践探究活动中，大家遇到了这样的问题：如图，在一个圆柱体形状的包装盒的底部A处有一只壁虎，在顶部B处有一只小昆虫，壁虎沿着什么路线爬行，才能以最短的路线接近小昆虫？楠楠同学设计的方案是壁虎沿着A﹣C﹣B爬行；浩浩同学设计的方案是将包装盒展开，在侧面展开图上连接AB，然后壁虎在包装盒的表面上沿着AB爬行．在这两位同学的设计中，哪位同学的设计是最短路线呢？他们的理论依据是什么？（）A.楠楠同学正确，他的理论依据是“直线段最短”B.浩浩同学正确，他的理论依据是“两点确定一条直线”C.楠楠同学正确，他的理论依据是“垂线段最短”D.浩浩同学正确，他的理论依据是“两点之间，线段最短”2、如图,OA⊥OB,若∠1=55°30′,则∠2的度数是 ( )A.34°B.34°30′C.35°D.35°30′3、从六边形的一个顶点作对角线，把这个六边形分成三角形的个数是（）A.5个B.4个C.3个D.2个4、如图，从A到B有①，②，③三条路线，最短的路线是①，其理由是（）A.因为它最直B.两点确定一条直线C.两点间的距离的概念D.两点之间，线段最短5、如图，A，B，C是直线l上的三点，且，，若点M是线段的中点，则线段的长度是（）A. B. C. D.6、如果线段AB=10cm，MA+MB=13cm，那么下面说法中正确的是（）A.点M是线段AB上B.点M在直线AB上C.点M在直线AB外 D.点M在直线AB上，也可能在直线AB外7、如图，已知，将一个含45°角的三角尺按图中方式放置，，则的度数为（）A.21°B.24°C.30°D.66°8、如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠AOD，若∠AOC=35°，则∠BOD等于（）A.145°B.110°C.70°D.35°9、下列说法错误的是（）A.两点之间的所有连线中，线段最短B.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行D.经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直10、如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A.200米B.200 米C.220 米D.100（+1）米11、在一些商场、饭店或写字楼中，常常能看到一种三翼式旋转门在圆柱体的空间內旋转．旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，下图是从上面俯视旋转门的平面图，两片旋转翼之间的角度是( ）A.100°B.120°C.135°D.150°12、若正六边形的边长为4，则它的内切圆面积为（）A.9πB.10πC.12πD.15π13、下列命题中，是假命题的是（）A.对顶角相等B.两点之间，线段最短C.互补的两个角不一定相等 D.同位角相等14、如图所示，OA⊥OB，∠BOC=50°，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是( )A.20°B.60°C.40°D.50°15、如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q是AM的中点，则MN：PQ等于（）A.1B.2C.3D.4二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，线段AB被点C，D分成2：4：7三部分，M，N分别是AC，DB的中点，若MN=17cm，则BD=________cm。