线性方程组的公共解

方程组公共解首先是方程组公共解的意义。

公共解，指某一个或几个方程的根彼此都相等，对任意一个方程组，只要方程组中的某些方程同时具有公共解，那么这个方程组就叫做公共解方程组。

由于方程的公共解可以为零，所以在许多情况下，我们用方程组的公共解来代替方程的公共解。

1。

方程组有公共解的充要条件：方程组中有关联两方程中的每一个方程都是等式方程，且每一方程中的每一个未知数都是另一方程中的一个已知量。

2。

方程组有公共解的必要条件：有关联两方程中至少有一个方程是恒等方程。

3。

方程组有公共解的充分条件：两方程中有关联两方程中的每一个方程都是不等式方程，且每一方程中的每一个未知数都是另一方程中的一个已知量。

4。

方程组有公共解的必要条件：每一个方程都可以由其它任意一个方程的公共解来代替。

3。

假设甲、乙、丙三人都想钓鱼，但只有甲会钓鱼，三人各自独立钓鱼。

他们谁先钓上来，是甲的事情；谁最后钓上来，也是甲的事情。

四人中只有一人能钓到鱼，而且钓得又快又多，即乙钓到鱼了。

这时怎样安排三人去钓鱼呢？问题转化成了下面的情形：若丁先钓到鱼，又把鱼放回湖中，则甲三人仍在原地继续钓鱼。

5。

可以证明，如果乙在第一天下午钓到了10条鱼，那么第二天的第一条鱼就应当属于甲。

为什么呢？因为甲第一天钓到了8条鱼，而乙第一天钓到了10条鱼，这样两人钓到的鱼都比第二天多了2条，说明第一天乙的鱼钓得比甲多。

由此可知，乙钓到了8条鱼，这时甲钓到了9条鱼，乙钓到的比甲多的2条鱼正好属于甲。

因此，只有在乙第一天下午钓到了10条鱼，才有可能第二天的第一条鱼属于甲。

6。

设X是关于某点Y的一元二次方程的解。

证明： X=2;;Y（ 4）把（ 3）代入(4)并加上-1得： X=2（ 2）因此，只有当2是方程X=Y 的根时， Y才是方程X=2的解。

7。

设x是y=a x+b中的任一根，如果下列事实都存在，那么y 就是a或b中的一个。

（ 1）如果x=a，那么（ a+b)2=1，从而a=b （ 2）如果x=b，那么（ a+b)2=0，从而a=b（ 3）如果x不等于a，则a+b=0，则y=a8。

线性方程组的解的结构与求解线性方程组是数学中常见的重要概念，它在各个领域的应用广泛。

本文将探讨线性方程组解的结构以及求解方法。

一、线性方程组的基本概念在进行线性方程组的解析之前，首先我们需要了解线性方程组的基本概念。

线性方程组由多个线性方程组成的方程组，每个方程都是一次项之和等于常数的形式。

一般来说，线性方程组的形式可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为系数，x₁, x₂, ..., xₙ为未知数，b₁,b₂, ..., bₙ为常数。

二、线性方程组解的结构线性方程组的解的结构可以分为三种情况：有唯一解、无解和无穷多解。

1. 有唯一解的情况当线性方程组满足以下条件时，方程组有唯一解：- 方程组的系数矩阵的行列式不等于0（即系数矩阵可逆）；- 方程组的系数矩阵的秩等于方程组的未知数个数。

在这种情况下，解可以通过矩阵运算得到，即将方程组写成矩阵的形式（AX=B），其中A为系数矩阵，X为未知数的列向量，B为常数列向量。

解可以表示为X=A⁻¹B。

2. 无解的情况当线性方程组满足以下条件时，方程组无解：- 方程组的系数矩阵的行列式等于0；- 方程组的增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩。

无解的情况表示方程组的方程之间存在冲突，无法找到满足所有方程的解。

3. 无穷多解的情况当线性方程组满足以下条件时，方程组有无穷多解：- 方程组的系数矩阵的行列式等于0；- 方程组的增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，小于未知数的个数。

在这种情况下，方程组的解具有自由变量的形式，可以通过参数化表示。

通常，可以使用高斯消元法或矩阵的特殊解与齐次方程的通解相结合的方法求解。

三、线性方程组的求解方法求解线性方程组的方法有多种，包括高斯消元法、矩阵的逆和Cramer法则等。

关于含参线性方程组(齐次,非齐次)解的存在性讨论,求通解及特解. 公共解,同解讨论及求取.宫庆义 08.12.24(1)解的存在性: 初等行变换, 通过秩确定参数[注:行变换时,倍乘系数分母不能含参数]()0()0()(|)b ()(|)b ()(|)1b R A n Ax R A n Ax R A R A b n Ax R A R A b n Ax R A R A b Ax =⇒=⎧⎪<⇒=⎪⎪==⇒=⎨⎪=<⇒=⎪⎪=-⇒=⎩只有零解有无穷多解有唯一解无穷多解无解(2)通解特解: 注意给自由变量赋初值时, 通过观察系数,尽量使其简单,尤其求特解时.(3)有公共解(齐,非),确定参数, 求取公共解12|.|A A R R n B B ββ⎛⎫⎛⎫=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a.已知两个基础解系0112201122;X k k l l ξξξηηη=+++=+++ 设公共解为()()()1212121200,,,,,,,,,Tk k l l ξξηηηξ--=- 方程 如果方程有解[讨论秩], 则有公共解.b.已知两个基础解系()()0112201122011220121201122012;,,,,,,,X k k l l k k R k k R ξξξηηηξξξηηηηηξξξηηη=+++=++++++-⇒+++-= 设公共解为则可以由线性表示c. 给出I 的方程, II 的解*1122x x k k ξξ=+++ .设公共解为:*1122X x k k ξξ=+++ 带入I 求出12,k k(4)同解(齐,非)::()().A R A R B R B ⎛⎫== ⎪⎝⎭法一 [两个方程都含参数] :I ,I II 法二①由秩先确定参数②求出解代入③验算[一个方程含参数](5)给出基础解系,及特解 反求方程组*12:,,,,s x ξξξ 已知基础解系为特解()()()121212*12,,,0,,,0:,,,,,"0",,,,,s T s t T t A y A t A Ax A ξξξξξξααααααββ==== 因为求出的基础解系根据题目确定矩阵的行数如果大于则补行令则即为所求(6) 解抽象方程组, 利用向量组之间线性表出关系, 基础解系的线性无关性, 令系数(含参)全0, 得方程组。

线性方程组解题方法技巧与题型归纳题型一 线性方程组解的基本概念【例题1】如果α1、α2是方程组1231312332312104x x ax x x x ax x --=⎧⎪-=⎨⎪-++=⎩的两个不同的解向量，则a 的取值如何？解： 因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r(A)= r(Ab)＜3，对增广矩阵进行初等行变换： 21131132031022352104002314510a a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭易见仅当a=-2时，r(A)= r(Ab)=2＜3， 故知a=-2。

【例题2】设A 是秩为3的5×4矩阵， α1、α2、 α3是非齐次线性方程组Ax=b 的三个不同的解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T, 3α1+α2= （2，4，6，8）T,求方程组Ax=b 的通解。

解:因为r(A)= 3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4- r(A)= 1个向量构成， 又因为（α1+α2+2α3）-（3α1+α2） =2（α3-α1）=（0，-4，-6，-8）T, 是Ax=0的解， 即其基础解系可以是（0，2，3，4）T,由A （α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b 知1/4 （α1+α2+2α3）是Ax=b 的一个解，故Ax=b 的通解是()1,0,0,00,2,3,42TT k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【例题3】已知ξ1=（-9，1，2，11）T ，ξ2=（1，- 5，13，0）T ，ξ3=（-7，-9，24，11）T是方程组12234411223441234432332494x a x x a x d x b x x b x x x x c x d+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩的三个解，求此方程组的通解。

分析：求Ax=b 的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A)的秩。

关于线性方程组的解的几个结论
1、关于线性方程组的解：
(1)线性方程组有唯一解：当且仅当它的系数矩阵是可逆的时候，线性
方程组有唯一的解。

(2)线性方程组的解的形式：线性方程组的解可以用矩阵的乘法表示出来，也可以用分解的方式表示出来。

(3)线性方程组有无穷多个解：如果系数矩阵是奇异的，则线性方程组
有无穷多个解；如果系数矩阵是正确的，则线性方程组有唯一解。

(4)线性方程组无解：如果系数矩阵不正确，则线性方程组不存在解。

(5)特征根与解：如果系数矩阵有特征根，则线性方程组有无限多个解。

(6)特殊解：如果系数矩阵有非常规解，则线性方程组也有可能存在非
常规解。

2、线性方程组求解的方法：
(1)列主元高斯消元法：由行级元列优先求解的算法，是一种有效的数
值方法；
(2)分解方法：分解后可得出系数矩阵，提取出其中的特征值，进而得
出解；
(3)矩阵乘法：矩阵乘法可将线性方程组化为矩阵形式，可求出解；
(4)块分解法：使用这种法可以利用稀疏性，把矩阵分解成小的子矩阵，进行求解。

3、线性方程组的应用：
(1)统计学中的概率分布：利用多元正态分布可使用线性方程组来求解
均值和方差；
(2)复数可能性：利用复数线性方程组可以用来解决涉及多个平行、垂
直可能性组合的复数学问题；
(3)数据分析：线性方程组可以用来分析因变量与自变量之间的关系；
(4)线性规划：线性方程组可以用来解决线性规划问题，求出一组最优解。

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：110:小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1） 当0x +→ ）A .1- .ln(1B + 1C .1D -【答案】(B)【考点】等价无穷小 【难易度】★★【详解】解析：方法1：排斥法：由几个常见的等价无穷小，当0x +→0→，所以1(1-::211,2-:可以排除A 、C 、D ，所以选（B ）.方法2：==ln 1⎛⎫+ ⎝当0x +→时，11→0→，又因为0x →时，()ln 1x x +:，所以)ln 1~~1~x ⎛= ⎝B ）.（2） 设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是( )A .若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =.C 若0()limx f x x →存在，则'(0)f 存在 .D 若0()()lim x f x f x x→--存在，则'(0)f 存在 【答案】( D)【考点】极限的四则运算，函数连续的概念，导数的概念 【难易度】★★【详解】解析：方法1:论证法，证明..A B C 都正确，从而只有.D 不正确。

由0()limx f x x→存在及()f x 在0x =处连续，所以0(0)lim ()x f f x →=0000()()()lim()lim lim 0lim x x x x f x f x f x x x x x x→→→→==⋅=⋅0=，所以（A ）正确； 由选项（A ）知，(0)0f =，所以00()(0)()lim lim0x x f x f f x x x→→-=-存在，根据导数定义，()(0)'(0)limx f x f f x →-=-存在，所以（C ）也正确；由()f x 在0x =处连续，所以()f x -在0x =处连续，从而[]0lim ()()lim ()lim ()(0)(0)2(0)x x x f x f x f x f x f f f →→→+-=+-=+=0000()()()()()()2(0)lim lim lim 0lim 0x x x x f x f x f x f x f x f x f x x x x x →→→→+-+-+-⎡⎤=⋅=⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦，即有(0)0f =.所以（B ）正确，故此题选择（D ）.方法2：举例法，举例说明（D ）不正确，例如取()f x x =，有0()()limlim 00x x x x f x f x x x→→----==-存在 而()()0000lim lim 100x x f x f x x x --→→---==---，()()0000lim lim 100x x f x f x x x +-→→--==--，左右极限存在但不相等，所以()f x x =在0x =的导数()0f '不存在. （D ）不正确，选（D ）.（3） 如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上的图形分别是直径为2的上、下半圆周.设()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是（ ）.A (3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F = .D (3)F -5(2)4F =--【答案】( C)【考点】定积分的概念、定积分的基本性质，积分上限的函数及其导数【难易度】★★★【详解】解析：由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，则()()f x f x -=-，由()(),xF x f t dt =⎰知()()()()()()()()xx xF x f t dt t u f u d u f u f u f u du F x --= =- -- -=- =⎰⎰⎰，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3).F F -=而20(2)()F f t dt =⎰表示半径1R =的半圆的面积，所以22(2)()22R F f t dt ππ===⎰，32302(3)()()()F f t dt f t dt f t dt ==+⎰⎰⎰，其中32()f t dt ⎰表示半径12r =的半圆的面积的负值，所以22321()2228r f t dt πππ⎛⎫=-=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰所以3232333(3)()()()(2)288424F f t dt f t dt f t dt F ππππ==+=-==⋅=⎰⎰⎰ 所以3(3)(3)(2)4F F F -==，选择( C)（4） 设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于（ ）.A 1arcsin (,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰.B 10arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰【答案】( B)【考点】交换累次积分的次序与坐标系的转换 【难易度】★★【详解】解析：画出该二次积分所对应的积分区域D ，:2sin 1x D x y ππ⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩交换为先x 后y ，则积分区域可化为：arcsin 01y x y ππ-≤≤⎧⎨≤≤⎩所以11sin 0sin 2(,)(,)xarc ydx f x y dy dy f x y dx ππππ-=⎰⎰⎰⎰， 所以选择(B).（5） 设某商品的需求函数为1602Q p =-，其中Q ，p 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（ ）.A 10 .B 20 .C 30 .D 40【答案】(D)【考点】导数的经济意义 【难易度】★★【解析】解析：|需求弹性|'()2 1.()160280Q P PP P Q P P P-====-- 若180PP =-，80P P =-，无意义；若180P P=-，解得：40.P =所以选(D) （6） 曲线1ln(1),xy e x=++渐近线的条数为（ ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 3【答案】( D)【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★★【详解】解析：001lim lim ln(1)x x x y e x →→⎛⎫=++⎪⎝⎭=∞，所以0x =是一条铅直渐近线；1lim lim ln(1)x x x y e x →-∞→-∞⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1lim lim ln(1)000x x x e x →-∞→-∞=++=+=，所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线；令21ln(1)1ln(1)lim lim lim x x x x x e y e x a x x x x →+∞→+∞→+∞++⎛⎫+===+ ⎪⎝⎭21ln(1)lim lim x x x e x x →+∞→+∞+=+ln(1)0lim x x e x →+∞+=+1lim 11xx x e e →+∞+ =洛必达法则令()1lim lim ln(1)x x x b y a x e x x →+∞→+∞⎛⎫=-⋅=++- ⎪⎝⎭()()1limlim ln(1)0lim ln(1)x x x x x e x e x x →+∞→+∞→+∞=++-=++- ()1ln lim ln(1)ln lim ln()xxxxx x x e x e e e e→+∞→+∞+ = +-=lim ln(1)ln10x x e -→+∞=+==所以y ax b x =+=是曲线的斜渐近线，所以共有3条，选择（D ） （7） 设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是( )A .12αα-2331,,αααα--B .12αα+2331,,αααα++C .1223312,2,2αααααα---D .1223312,2,2αααααα+++【答案】(A)【考点】向量组线性相关的判别法 【难易度】★★★【详解】解析：方法1：根据线性相关的定义，若存在不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++=成立，则称123,,ααα线性相关.因 1223310αααααα-+-+-=，故122331αααααα---，，线性相关，所以选择（A ）. 方法2：排除法因 [][][]1223311231232101,,,,110,,,011C αααααααααααα⎡⎤⎢⎥+++==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 其中2101110011C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 2101110011C =11101111(1)20111111111011+-⨯-+-=-=⨯-⨯-行行（）（）20=≠.故2C 是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积, 2C 右乘[]123,,ααα时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有122331123(,,)(,,)3r r ααααααααα+++==故122331,,αααααα+++线性无关，排除（B ）.因 [][][]12233112312331022,2,2,,210,,,021C αααααααααααα-⎡⎤⎢⎥---=-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦其中3102210021C -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，3102210021C -=--111021410141112421021+--⨯-=-=⨯--⨯---行2+2行（）（）（）≠=-70.故3C 是可逆矩阵，故有122331123(2,2,2)(,,)3r r ααααααααα---==故1223312,2,2αααααα---线性无关，排除（C ）.因[][][]12233112312341022,2,2,,210,,,021C αααααααααααα⎡⎤⎢⎥+++==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 其中4102210021C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 4102210021C =11102141(2)20141112421021+-⨯-+-=-=⨯-⨯-行行（）（）90.=≠故4C 是可逆矩阵，故有122331123(2,2,2)(,,)3r r ααααααααα+++==故1223312,2,2αααααα+++线性无关，排除（D ）. 综上知应选（A ）.（8） 设矩阵211121112A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，100010000B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则A 与B （ ） A . 合同，且相似 B . 合同，但不相似C . 不合同，但相似D . 既不合同，也不相似【答案】（B ）【考点】相似矩阵的概念，矩阵合同的判定 【难易度】★★ 【详解】解析：211121112E A λλλλ--=--112312112λλλλλ--、列分别加到列 111121112λλλλ--提出1111103112λλλ⨯---行（）+2行11111033λλλ⨯---行（）+3行113103λλλ+-=--（）()230λλ=-=则的A 特征值为3，3，0;B 是对角阵，对角元素即是其特征值，则B 的特征值为1，1，0.,A B 的特征值不相同，由相似矩阵的特征值相同知，A B 与不相似.由,A B 的特征值可知，,A B 的正惯性指数都是2，又秩都等于2可知负惯性指数也相同，则由实对称矩阵合同的充要条件是有相同的正惯性指数和相同的负惯性指数，知A 与B合同，应选（B ）.(9) 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01),p p <<则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )A .23(1)p p -B . 26(1)p p -C .223(1)p p -D .226(1)p p -【答案】()C【考点】事件独立性的性质，独立重复试验 【难易度】★★【详解】解析：把独立重复射击看成独立重复试验.射中目标看成试验成功. 第4次射击恰好是第2次命中目标可以理解为：第4次试验成功而前三次试验中必有1次成功，2次失败.根据独立重复的伯努利试验，前3次试验中有1次成功2次失败.其概率必为123(1).C p p -再加上第4次是成功的，其概率为p . 根据独立性原理，若事件1,,n A A L 独立，则{}{}{}{}1212n n P A A A P A P A P A =I I L I L 所以，第4次射击为第二次命中目标的概率为12223(1)3(1).C p p p p p -⋅=-所以应选（C ）(10) 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()X Y f x f y 分别表示,X Y 的概率密度，则在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y f x y 为( )A .()X f xB .()Y f yC .()()X Y f x f yD .()()X Y f x f y 【答案】()A【考点】二维正态分布的性质、二维连续型随机变量的条件密度 【难易度】★★★【详解】解析：二维正态随机变量(,)X Y 中，X 与Y 的独立等价于X 与Y 不相关.而对任意两随机变量X 与Y ，如果它们相互独立，则有(,)()()X Y f x y f x f y =.由于二维正态随机变量(,)X Y 中X 与Y 不相关，故X 与Y 独立，且(,)()()X Y f x y f x f y =.根据条件概率密度的定义，当在Y y =条件下，如果()0,Y f y ≠则(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =()()()()X Y X Y f x f y f x f y ==.现()Y f y 显然不为0，因此(|)().X X Y f x y f x = 所以应选(A).二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）3231lim(sin cos )____________2x x x x x x x →+∞+++=+ 【答案】0【考点】洛必达法则，无穷小量的性质 【难易度】★★【解析】解析：由洛必达法则，3231lim 2x x x x x →+∞+++()2223262lim lim 2ln 232ln 26x x x x x x x x x→+∞→+∞∞+∞+ ∞+∞+ ()36lim 0,2ln 26x x →+∞∞ =∞+ 而1sin 1x -≤≤，1cos 1x -≤≤，所以(sin cos )x x +是有界变量，根据无穷小量乘以有界量仍是无穷小量，所以3231lim (sin cos )0.2x x x x x x x →∞+++=+ （12）设函数123y x =+，则()(0)___________n y = 【答案】1(1)2!3n n n n +- 【考点】高阶导数 【难易度】★★ 【详解】解析：()112323y x x -==++，()()()111111'(1)232(1)1!223y x x x ----'=-⋅+⋅=-⋅⋅⋅+，()()321222''(1)(2)223(1)2!223,,y x x ---=-⋅-⋅⋅+=-⋅⋅+L由数学归纳法可知()1()(1)2!23,n n nnyn x --=-+把0x =代入得：()1(1)2!(0)3n n n n n y +-= （13）设(,)f u v 是二元可微函数，(,),y xz f x y=则z zxy x y∂∂-=∂∂_________ 【答案】''122()y x f f x y-+ 【考点】多元复合函数一阶偏导数的求法【难易度】★★【详解】121221''''x y y z y x f f f f x x x x y ⎛⎫⎛⎫∂∂ ⎪⎪∂⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅+⋅=⋅-+⋅ ⎪∂∂∂⎝⎭，12'x y y z x f f y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂ ⎪⎪∂⎝⎭⎝⎭'=⋅+⋅=∂∂∂1221''x f f x y ⎛⎫⋅+⋅- ⎪⎝⎭把z x ∂∂，zy∂∂代入z z x y x y ∂∂-∂∂，则： 12122211''''z z y x x y x f f y f f x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫-=⋅⋅-+⋅-⋅+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 1212''''y x y x f f f f x y x y ⎛⎫=-⋅+⋅-⋅+⋅ ⎪⎝⎭''122()y x f f x y =-+（14）微分方程31()2dy y y dx x x=-满足11x y ==的特解为y=_____________【考点】变量可分离的微分方程 【难易度】★★ 【解析】令,y ux =有(),d ux dy du du ux x u x dx dx dx dx'==+=+ 原方程化为31,2du u xu u dx +=- 即 32,du dxu x=- 此式为变量可分离的微分方程，两边积分，32du dx u x =-⎰⎰121ln x C u⇒-=-+得 21ln x C u =+把y u x=代入上式得：22ln x y x C =+再把(1,1)代入上式得：1,C =所以得特解y =（其中因为11x y ==，所以y ≠.（15）设距阵01000010,00010000A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭则3A 的秩为＿＿＿＿＿【答案】1【考点】矩阵的秩 【难易度】★★ 【详解】解析：2010001000010*********001000100010000000000000000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭32001001000001000100100000000000010000000000000000A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=⋅== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由阶梯矩阵的行秩等于列秩，其值等于阶梯形矩阵的非零行的行数，知()3 1.r A = (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则两数之差的绝对值小于12的概率为＿＿＿＿＿＿. 【答案】3.4【考点】几何型概率 【难易度】★★【详解】解析：不妨假定随机地抽出两个数分别为X Y 和，它们应是相互独立的.如果把,X Y （）看成平面上一个点的坐标，则由于01,01,X Y <<<<所以,X Y （）为平面上正方形： 01,01X Y <<<<中的一个点. X Y 和两个数之差的绝对值小于12对应于正方形中12X Y -<的区域.所有可能随机在区间(0,1)中随机取的两个数,X Y ，可以被看成上图中单位正方形里的点.12X Y -<的区域就是正方形中阴影的面积D .根据几何概率的定义： 211132.214D P X Y ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-<=== ⎪⎝⎭的面积单位正方形面积三、解答题：17－24小题，共86分。

线性方程组的解法线性方程组是数学中一个重要的概念，它描述了一组线性方程之间的关系。

解决线性方程组的问题在数学和应用领域都具有重要的意义。

下面将为你介绍几种常见的线性方程组的解法。

一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组最常用的方法之一。

其思想是通过一系列的行变换将线性方程组化为最简形式，即上三角矩阵。

例如，考虑一个包含n个未知数的线性方程组：a11 * x1 + a12 * x2 + ... + a1n * xn = b1a21 * x1 + a22 * x2 + ... + a2n * xn = b2...an1 * x1 + an2 * x2 + ... + ann * xn = bn首先，将线性方程组的系数矩阵进行初等行变换，消去其中下标为1的元素，使得第1行第1列及以下元素为0。

接着，将第2行第2列及以下元素为0。

依次进行下去，直到将整个系数矩阵化为上三角矩阵。

然后通过回代求解各个未知数的值，即可得到线性方程组的解。

二、矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种解决线性方程组的方法。

它利用了矩阵的乘法和逆运算的特性。

对于一个线性方程组AX=B，其中A是一个可逆矩阵，X和B分别是未知数向量和常数向量。

我们可以通过将方程组左右两边同时乘以A的逆矩阵，得到如下形式：X = A^{-1}B即未知数向量X等于矩阵A的逆乘以常数向量B。

三、克莱姆法则克莱姆法则是解决线性方程组的另一种方法，它适用于方程组的系数矩阵是一个方阵的情况。

对于一个包含n个未知数的线性方程组：a11 * x1 + a12 * x2 + ... + a1n * xn = b1a21 * x1 + a22 * x2 + ... + a2n * xn = b2...an1 * x1 + an2 * x2 + ... + ann * xn = bn如果系数矩阵A可逆，那么未知数的解可以表示为：xi = (det(Ai) / det(A))其中，det(Ai)表示将矩阵A的第i列替换为常数向量Bi后的行列式，det(A)表示系数矩阵A的行列式。

线代求公共解的三大方法线性代数是数学中的一个重要分支，研究了向量空间和线性映射的性质及其相关的代数结构。

在线性代数中，求解线性方程组是一个常见的问题。

而求解线性方程组的公共解可以通过三大方法进行求解。

本文将介绍这三大方法并对其进行详细解析。

一、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的常用方法之一。

其基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组转化为一个上三角形的增广矩阵，然后利用回代法求解方程组的解。

具体步骤如下：1. 将线性方程组表示为增广矩阵的形式；2. 选取一个主元，将该主元下面的元素消为零；3. 重复上述步骤，直到将矩阵转化为上三角形；4. 利用回代法求解线性方程组的解。

高斯消元法的优点是求解过程简单、直观，适用于小规模的线性方程组。

但是当线性方程组的规模较大时，计算量会增加，效率较低。

二、矩阵的秩与零解矩阵的秩是矩阵中线性无关的列向量的最大个数。

对于线性方程组Ax=0，如果矩阵A的秩等于列数n，则方程组只有零解。

这是因为矩阵的秩等于列数意味着矩阵的列向量线性无关，无法找到非零解。

在求解公共解时，我们可以通过计算矩阵的秩来判断方程组是否有非零解。

如果矩阵的秩小于列数n，则方程组存在非零解。

此时，可以通过求解齐次线性方程组的通解，再加上非齐次方程的任意特解，得到线性方程组的公共解。

三、矩阵的逆与唯一解如果线性方程组的系数矩阵A是可逆的，即存在矩阵B使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则方程组有唯一解。

此时，解可以通过矩阵的逆来计算，即x=A^(-1)b。

矩阵的逆存在的条件是矩阵A的行列式不为零。

如果矩阵A的行列式为零，则矩阵A不可逆，方程组可能没有解，或者有无穷多个解。

总结：通过高斯消元法可以求解线性方程组的公共解，但对于大规模方程组效率较低。

通过计算矩阵的秩可以判断方程组是否有非零解，进而求解公共解。

如果方程组的系数矩阵可逆，则方程组有唯一解，解可以通过矩阵的逆来计算。

线性代数是数学中的重要分支，其中求解线性方程组的公共解是一个常见问题。

方程组的解的三种情况线性方程组的解的三种情况如下：第一种是无解。

也就是说，方程之间出现有矛盾的情况。

第二种情况是解为零。

这也是其次线性方程组唯一解的情况。

第三种是齐次线性方程组系数矩阵线性相关。

这种情况下有无数个解。

线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组（例如2元1次方程组）。

对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初《九章算术》方程章中。

1、解线性方程组的方法大致可以分为两类：直接方法和迭代法。

直接方法是指假设计算过程中不产生舍入误差，经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法；迭代法是从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。

2、消去法：Gauss（高斯）消去法——是最基本的和最简单的直接方法，它由消元过程和回代过程构成，基本思想是：将方程组逐列逐行消去变量，转化为等价的上三角形方程组（消元过程）；然后按照方程组的相反顺序求解上三角形方程组，得到原方程组的解（回代过程）。

优缺点：简单易行，但是要求主元均不为0，适用范围小，数值稳定性差。

列主元素消去法——基本思想是在每次消元前，在要消去未知数的系数中找到绝对值大的系数作为主元，通过方程对换将其换到主对角线上，然后进行消元。

优点：计算简单，工作量大为减少，数值稳定性良好，是求解中小型稠密线性方程组的最好方法之一。

全主元素消去法——基本思想是在全体待选系数a(ij)（k）中选取主元，并通过行与列的互换把它换到a(kk)（k）的位置，进行消元。

优缺点：这种方法的精度优于列主元素法，它对控制舍入误差十分有效，但是需要同时作行列变换，因而程序比较复杂，计算时间较长。

3、直接三角分解法：消元过程实际上是把系数矩阵A分解成单位下三角形矩阵与上三角形矩阵乘积的过程，其中L为单位下三角形矩阵，U为上三角形矩阵。

这种分解过程称为杜利特尔（Doolittle分解)，也称为LU 分解。

当系数矩阵进行三角分解后，求解方程组Ax = b的问题就等价于求解两个三角形方程组Ly=b和Ux=y。

线性方程组的公共解问题：如何求解线性方程组的公共解？线性方程组是高代学习的一个重点内容，它的一般形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++bsasnxn x as x as b nxn a x a x a b nxn a x a x a ...2211...,22...222121,11...212111 而线性方程组的求解也是这部分学习的重点和难点。

其中求解线性方程组的公共解也是高等代数学习所必须掌握的一个知识点。

例1、证明：对于n 元齐次线性方程组（Ⅰ）AX=0与（Ⅱ）BX=0，有非零公共解的充要条件是r(B A)<n 。

（出自定理）证：必要性：设（Ⅰ）与（Ⅱ）的非零公共解为X0，即AX0=0，BX0=0从而（B A ）X0=0，即线性方程组（B A）X=0有非零解从而r （BA ）<n 充分性：由r(B A )<n,则线性方程组（B A ）X=0有非零解，设为X0，即（B A）X0=0从而AX0=0，BX0=0（Ⅰ）与（Ⅱ）的非零公共解为X0。

例2、设四元齐次线性方程组（Ⅰ）为⎩⎨⎧=-=+042031x x x x 又已知某齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为k1(0,1,1,0)’+k2(-1,2,2,1)’问（Ⅰ）与（Ⅱ）是否有非零公共解？若有，则求出所有公共解，若没有，则说明理由。

（出自2005年中科院）解：方法一：将（Ⅱ）的通解代入方程组（Ⅰ）得⎩⎨⎧=+=+021021k k k k 解得k1=-k2,故方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）有非零公共解，所有非零公共解为k （1,1,1,1）’，k ≠0为任意常数方法二：令方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的通解相同，即k1（0,1,1，0）’+k2(-1,2,2,1)’=k3(-1,0,1,0)’+k4(0,1,0,1)’得到关于k1,k2,k3,k4的一个方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-+=-+=-0420422103221032k k k k k k k k k k 可求其通解为（k1,k2,k3,k4)’=k(-1,1,1,1)’将k1=-1,k2=k 代入（Ⅰ）的通解可得所有非零公共解为k （1,1,1,1）’，k ≠0为任意常数 方法三：方程组（Ⅱ）可以是⎩⎨⎧=+=+-041032x x x x 解（Ⅰ）与（Ⅱ）的联立方程组可得所有非零公共解为k （1,1,1,1）’，k ≠0为任意常数韩梦雪20132113429。

线性方程组解题方法技巧与题型归纳题型一 线性方程组解的基本概念【例题1】如果α1、α2是方程组1231312332312104x x ax x x x ax x --=⎧⎪-=⎨⎪-++=⎩的两个不同的解向量，则a 的取值如何解： 因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r(A)= r(Ab)＜3，对增广矩阵进行初等行变换： 21131132031022352104002314510a a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭易见仅当a=-2时，r(A)= r(Ab)=2＜3， 故知a=-2。

【例题2】设A 是秩为3的5×4矩阵， α1、α2、 α3是非齐次线性方程组Ax=b 的三个不同的解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T, 3α1+α2= （2，4，6，8）T,求方程组Ax=b 的通解。

解:因为r(A)= 3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4- r(A)= 1个向量构成， 又因为（α1+α2+2α3）-（3α1+α2） =2（α3-α1）=（0，-4，-6，-8）T, 是Ax=0的解， 即其基础解系可以是（0，2，3，4）T,由A （α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b 知1/4 （α1+α2+2α3）是Ax=b 的一个解，故Ax=b 的通解是()1,0,0,00,2,3,42TT k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【例题3】已知ξ1=（-9，1，2，11）T ，ξ2=（1，- 5，13，0）T ，ξ3=（-7，-9，24，11）T是方程组12234411223441234432332494x a x x a x d x b x x b x x x x c x d+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩的三个解，求此方程组的通解。

分析：求Ax=b 的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A)的秩。

同解和公共解的解法一、定义理解同解和公共解是线性代数中两个重要的概念，它们描述了多个方程组之间的关系。

同解指的是两个或多个方程组在解集上完全相同，即如果一个向量是某个方程组的解，那么它也是另一个方程组的解。

公共解则是指两个或多个方程组共有的解，即这些方程组中的某些方程同时满足的解。

二、方程组形式同解和公共解通常出现在线性方程组中，其形式如下：Ax=b，其中A是m×n矩阵，x是n×1向量，b是m×1向量。

三、系统解法求解同解和公共解的方法主要包括消元法、迭代法、最小二乘法等。

消元法是最常用的方法之一，通过消去方程组中的某些变量，将其转化为一个更简单的形式，从而更容易求解。

迭代法则是通过不断逼近解，逐渐求得精确解。

最小二乘法则常用于处理存在噪声的情况，通过最小化误差平方和来求解。

四、解空间概念解空间是指所有可能解的集合。

对于给定的方程组，其解空间是一个向量空间。

同解和公共解的概念可以看作是解空间中的子集关系。

同解的方程组具有相同的解空间，而公共解则是这些方程组的共享解空间。

五、解的性质研究解的性质是描述解的特征和规律的重要概念。

在同解和公共解的情况下，主要的性质包括解的唯一性、稳定性、连续性等。

这些性质对于理解方程组的求解过程和结果具有重要意义。

六、应用实例同解和公共解的概念在许多实际问题中都有应用，例如线性规划、控制系统分析、信号处理等。

通过研究同解和公共解的性质，可以更好地理解和解决这些问题。

例如在线性规划中，同解的概念可以帮助我们理解约束条件和目标函数之间的关系，从而更好地优化解决方案。

七、比较和辨析同解和公共解虽然都是描述多个方程组之间的关系，但它们之间存在一些重要的差异。

同解的方程组具有相同的解空间，而公共解的方程组则是共享某些解。

此外，同解的方程组之间可以相互转化，而公共解的方程组则需要满足一定的条件才能相互转化。

八、限制条件研究在求解同解和公共解的过程中，需要注意一些限制条件。