初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.5 确定圆的条件A卷

北师大版九年级数学下册第三章3．5确定圆的条件同步测试(原卷版)一．选择题1．已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为4.5，则点P与⊙O的位置关系是（）A．P在圆内B．P在圆上C．P在圆外D．无法确定2．给定下列图形可以确定一个圆的是（）A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．已知三个点3．如图，圆O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，∠OAC＝20°，则∠ABC的度数为（）A．140°B．110°C．70°D．40°4.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4）、（5，4）、（1，-2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）5.到三角形各顶点的距离相等的点是三角形（）A．三边的垂直平分线的交点 B．三条高的交点C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点6．下列语句中正确的是（）A．直径是弦，弦是直径．B．相等的圆心角所对的弦相等C．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴D．三点确定一个圆7．直角三角形两直角边长分别为和1，那么它的外接圆的直径是（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知等边三角形的外接圆半径为2，则该等边三角形的边长是（）A．2 B．4 C．D．29.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AC=5，DC=3，AB=，则⊙O的直径AE=（）A．．5 C．．10．下列说法正确的是（）A．任意三点可以确定一个圆B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分该弦所对的弧C．相等圆周角所对的弧也相等D．等弧所对的圆周角相等11.如图，△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的三边分别记为a，b，c，O是△ABC 的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF=（）A．a：b：c B．111::a b cC．cosA：cosB：cosC D．sinA：sinB：sinC12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD ＝8，则AC的长为（）A．4 B．4C．D．2二．填空题13．如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为．14.平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）确定一个圆（填“能”或“不能”）．15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径为．16．在坐标系中，以O为圆心，5为半径的⊙O与点P（﹣4，4）的位置关系是：点P在⊙O（填“内”、“上”或“外”）．17.我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠ACB=∠ACD=90°，点D在边BC的延长线上，如果BC=DC=3，那么△ABC和△ACD的外心距是 .18．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则其外接圆的直径为 ．三．解答题19．小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论：P 1P 2＝；他还证明了线段P 1P 2的中点P （x ，y ）的坐标公式是：x ＝，y ＝； 启发应用请利用上面的信息，解答下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，已知A （8，0），B （0，6），C （1，7），⊙M 经过原点O 及点A 、B ．（1）求⊙M 的半径及圆心M 的坐标；（2）判断点C 与⊙M 的位置关系，并说明理由．20．已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B．C．D．E 在以点M为圆心的同一个圆上．21．“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A（2，3），B（﹣3，﹣7），C（5，11）是否可以确定一个圆．22.如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE⊥AB交BC于点D，交⊙O于点E，F在DA的延长线上，且AF=AD．若AF=3，tan∠ABD=34，求⊙O的直径．23．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC+∠OAB＝90°．（1）求证：＝（2）如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO＝3，AE＝4，求线段AC的长．24．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD．（1）求证：P是线段AQ的中点；（2）若⊙O的半径为5，D是的中点，求弦CE的长．25．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径，点C是弧AD的中点，连接OC，BC分别交AD于点F，E．（1）求证：∠ABD＝2∠C．（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，点M从C点开始以1cm/s的速度沿CB向B点运动，点N从A点开始以2cm/s的速度沿AC向C点运动，点M、N同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．（1）2秒时，△MCN的面积是；（2）求经过几秒，△MCN的面积是3cm2；（3）试说明△MCN外接圆的半径能否是cm．北师大版九年级数学下册第三章3．5确定圆的条件同步测试(解析版)一．选择题1．已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为4.5，则点P与⊙O的位置关系是（）A．P在圆内B．P在圆上C．P在圆外D．无法确定解：∵r＝4，d＝4.5，∴d＞r，∴点P在⊙O外．故选：C．2．给定下列图形可以确定一个圆的是（）A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．已知三个点解：A、不能确定．因为半径不确定，故不符合题意；B、不能确定．因为圆心的位置不确定，故不符合题意；C、能确定，给定一直径，则圆心和半径确定，所以可以确定一个圆，故符合题意；D、不能确定，不在同一直线上三点可以确定一个圆．故不符合题意；故选：C．3．如图，圆O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，∠OAC＝20°，则∠ABC的度数为（）A．140°B．110°C．70°D．40°解：在优弧AMC上任取一点P，连接AP，CP，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝20°，∴∠AOC＝180°﹣2×20°＝140°，∴∠P＝70°，∵∠ABC+∠P＝180°，∴∠ABC＝110°，故选：B．4.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4）、（5，4）、（1，-2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）解：如图：根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点O即为圆心，且坐标1是（3，1）．故选D．5.到三角形各顶点的距离相等的点是三角形（）A．三边的垂直平分线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条中线的交点解：因为到三角形各顶点的距离相等的点，需要根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，只有分别作出三角形的两边的垂直平分线，交点才到三个顶点的距离相等．故选：A6．下列语句中正确的是（）A．直径是弦，弦是直径．B．相等的圆心角所对的弦相等C．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴D．三点确定一个圆解：A、直径是圆中特殊的弦，它经过圆心，但弦不一定是直径，故本选项不符合题意；B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故本选项不符合题意；C、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故本选项符合题意；D、不共线的三点确定一个圆，故本选项不符合题意．故选：C．7．直角三角形两直角边长分别为和1，那么它的外接圆的直径是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长＝＝2，∴它的外接圆的直径是2，故选：B．8．已知等边三角形的外接圆半径为2，则该等边三角形的边长是（）A．2 B．4 C．D．2解：如图所示：∵⊙O是等边△ABC的外接圆，OB＝2，∴∠OBD＝30°，过点O作OD⊥BC于点D，则BD＝BC，OD＝OB＝1，在Rt△OBD中，BD＝＝，∴BC＝2BD＝2，故选：D．9.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AC=5，DC=3，AB=，则⊙O的直径AE=（）A． B．5 C．．解：如图：连接BE ，则∠BEA=∠ACB ，且三角形ABE 是直角三角形．2222534DC45AD AC 的直径52sin AB AEBEA10．下列说法正确的是（ ）A ．任意三点可以确定一个圆B ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分该弦所对的弧C ．相等圆周角所对的弧也相等D ．等弧所对的圆周角相等解：A 、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法错误；B 、平分弦的直径，垂直于弦并且平分弦所对的弧，此弦不能是直径，故本选项说法错误；C 、在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等，故本选项说法错误；D 、等弧所对的圆周角相等，故本选项说法正确．故选：D ．11.如图，△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的三边分别记为a ，b ，c ，O 是△ABC 的外心，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，则OD ：OE ：OF=（ ）A．a：b：c B．111::a b cC．cosA：cosB：cosC D．sinA：sinB：sinC解：设三角形的外接圆的半径是R．连接OB，OC．∵O是△ABC的外心，且OD⊥BC．∴∠BOD=∠COD=∠A在直角△OBD中，OD=OB•cos∠BOD=R•cosA．同理，OE=R•cosB，OF=R•cosC．∴OD：OE：OF=cosA：cosB：cosC．故选C．12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD ＝8，则AC的长为（）A．4 B．4C．D．2解：连接CD，∵AB＝BC，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∵∠CAD＝30°，AD＝8，∴CD＝AD＝4，∴AC＝＝＝4，故选：B．二．填空题13．如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 5 ．解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，故答案为：5．14.平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）确定一个圆（填“能”或“不能”）．解：∵B（0，-3）、C（2，-3），∴BC∥x轴，而点A（1，0）在x轴上，∴点A、B、C不共线，∴三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）能确定一个圆．故答案为：能．15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径为3．解：如图，连接OA，OB，∵∠ACB＝45°，∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴OA＝OB＝AB＝3，即⊙O的半径是3，故答案为：3．16．在坐标系中，以O为圆心，5为半径的⊙O与点P（﹣4，4）的位置关系是：点P在⊙O外（填“内”、“上”或“外”）．解：∵点P（﹣4，4），∴OP＝＝4，∴OP大于圆的半径5，∴点P在⊙O外，故答案为：外．17.我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在Rt △ABC 和Rt △ACD 中，∠ACB=∠ACD=90°，点D 在边BC 的延长线上，如果BC=DC=3，那么△ABC 和△ACD 的外心距是 .解：∵∠ACB=∠ACD=90°，∴Rt △ABC 和Rt △ACD 分别是AB ，AD 的中点，∴两三角形的外心距为△ABD 的中位线，即为12BD=3．故答案为：3．18．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则其外接圆的直径为 ． 解：在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，∴AB ＝＝＝， ∵直角三角形的外心为斜边中点，∴Rt △ABC 的外接圆的直径为． 故答案为：． 三．解答题19．小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论：P 1P 2＝；他还证明了线段P 1P 2的中点P （x ，y ）的坐标公式是：x ＝，y ＝；启发应用请利用上面的信息，解答下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M经过原点O及点A、B．（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；（2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由．解：（1）∵∠AOB＝90°，∴AB是⊙M的直径，∵A（8，0），B（0，6），∴AB＝＝10，∴⊙M的半径为5，由线段中点坐标公式x＝，y＝，得x＝4，y＝3，∴M（4，3），（2）点C在⊙M上，理由：∵C（1，7），M（4，3），∴CM＝＝5，∴点C在⊙M上．20．已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B．C．D．E 在以点M为圆心的同一个圆上．证明：连接ME、MD，∵BD、CE分别是△ABC的高，M为BC的中点，∴ME＝MD＝MC＝MB＝BC，∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上．21．“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A（2，3），B（﹣3，﹣7），C（5，11）是否可以确定一个圆．解：设经过A，B两点的直线解析式为y＝kx+b，由A（2，3），B（﹣3，﹣7），得，解得．∴经过A，B两点的直线解析式为y＝2x﹣1；当x＝5时y＝2x﹣1＝2×5﹣1＝9≠11，所以点C（5，11）不在直线AB上，即A，B，C三点不在同一直线上，因为“两点确定一条直线”，所以A，B，C三点可以确定一个圆．22.如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE⊥AB交BC于点D，交⊙O于点E，F在DA的延长线上，且AF=AD．若AF=3，tan∠ABD=34，求⊙O的直径．解：如图，连接BE．∵AF=AD，AB⊥EF，∴BF=BD．是直径∵AB=AC，∴∠FBA=∠ABC=∠C=∠E．∵tan∠ABD=34，∴tanE=tan∠FBA=34．在Rt△ABF中，∠BAF=90°．∵tan∠FBA=AFAB=34，AF=3，∴AB=4．∵∠BAE=90°，∴BE是⊙O的直径．∵tanE=tan∠FBA=34，AB=4，∴设AB=3x，AE=4x，∴BE=5x，∵3x=4，∴BE=5x=203，即⊙O的直径是203．23．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC+∠OAB＝90°．（1）求证：＝（2）如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO＝3，AE＝4，求线段AC的长．（1）证明：连BO并延长BO交AC于T．∵AO＝BO，∴∠OAB＝∠OBA，又∵∠BAC+∠OAB＝90°，∴∠BAC+∠OBA＝90°，∴∠BTA＝90°，∴BT⊥AC，∴＝．（2）延长AO并交⊙O于F，连接CF．∵CD⊥AB于D，∴∠CDA＝90°，∴∠OAB+∠AED＝90°，∵∠OAB+∠BAC＝90°，∴∠AED＝∠BAC＝∠FEC，∵AF为⊙O直径，∴∠ACF＝90°，同理：∠FCE＝∠BAC，∴∠FEC＝∠FCE，∴FE＝FC，∵AO＝3，AE＝4，∴OE＝1，FE＝FC＝2，在Rt△FCA中∴AC＝＝424．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD．（1）求证：P是线段AQ的中点；（2）若⊙O的半径为5，D是的中点，求弦CE的长．（1）证明：∵CE⊥AB，AB是直径，∴，又∵∴，∴∠CAD＝∠ACE，∴AP＝CP，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90˚，∴∠ACE+∠BCP＝90°，∠CAD+∠CQA＝90°，∴∠BCP＝∠CQA，∴CP＝PQ，∴AP＝PQ，即P是线段AQ的中点；（2）解：∵，AB是直径，∴∠ACB＝90˚，∠ABC＝30˚，又∵AB＝5×2＝10，∴AC＝5，BC＝5，∴CH＝BC＝，又∵CE⊥AB，∴CH＝EH，∴CE＝2CH＝2×＝5．25．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径，点C是弧AD的中点，连接OC，BC分别交AD于点F，E．（1）求证：∠ABD＝2∠C．（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．（1）证明：∵C是的中点，∴＝，∴∠ABC＝∠CBD，点F是AD的中点，∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝∠CBD＝∠C，∴∠ABD＝∠ABC+CBD＝2∠C；（2）解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝＝6，∵C是的中点，∴OC⊥AD，∴OA2﹣OF2＝AF2＝AC2﹣CF2，∴52﹣OF2＝62﹣（5﹣OF）2，∴OF＝1.4，又∵O是AB的中点，F是AD的中点，∴OF是△ABD的中位线，∴BD＝2OF＝2.8．26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，点M从C点开始以1cm/s的速度沿CB向B点运动，点N从A点开始以2cm/s的速度沿AC向C点运动，点M、N同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．（1）2秒时，△MCN的面积是4cm2；（2）求经过几秒，△MCN的面积是3cm2；（3）试说明△MCN外接圆的半径能否是cm．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝＝8，根据题意得，AN＝4，CM＝2，∴CN＝4，∴S△CMN＝×4×2＝4（cm2）；故答案为4cm2；（2）设经过x秒，根据题意得，（8﹣2x）•x＝3，解得x1＝1，x2＝3；即经过1秒或3秒，△MCN的面积是3cm2；（3）∵△MNC为直角三角形，∠C＝90°，∴MN为△MCN外接圆的直径，假设△MCN外接圆的半径为cm，则MN＝2cm，设M点运动的时间为t秒，则NC＝8﹣2t，CM＝t，根据题意得，（8﹣2t）2+t2＝（2）2，整理得5t2﹣32t+52＝0，∵△＝（﹣32）2﹣4×5×52＝﹣16＜0，∴原方程没有实数解，∴△MCN外接圆的半径不能是cm．。

1.(2007•上海)小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( )第1题图第2题图【解析】解：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长．2.(2012•南海区三模)如图，一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口A，B，C，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，这只花猫最好蹲守在△ABC的三边( )的交点处，即三角形的（）【解析】解：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。

猫蹲守在外心处，无论到哪个点的距离都相等。

3.(2005•锦州)如图，小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则该圆的半径为( )【解析】解：过点A作BC边上的垂线交BC于点D，过点B作AC边上的垂线交AD于点O，则O为圆心．设⊙O的半径为R，由等边三角形的性质知：∠OBC=30°，R，．∴==OB=R．∴BD=cos4. (2014•台湾) 如图，O为△ABC的外心，△OCP为正三角形，OP与AC相交于D点，连接OA．若∠BAC=70°，AB=AC，则∠ADP的度数为( )【解析】解：∵O为△ABC的外心，∠BAC=70°，AB=AC，∴∠OAC=35°，AO=CO，∴∠OAC=∠OCA=35°，∴∠AOC=110°，∵△OCP为正三角形，∴∠AOP=50°，∴∠ADP=∠OAD+∠AOD=85°．5. (2013·安徽）如图，P是等边三角形ABC外接圆0O上的点．下列判断中，正确的是( )．（填写数字序号）①当弦PB最长时，△APC是等腰三角形②当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC ③当PO⊥AC时，∠ACP=30°④当∠ACP=30°时，ABPC是直角三角形【解析】解：①当弦PB最长时，PB是⊙O的直径，所以根据等边三角形的性质，BP垂直平分AC，从而根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质得PA=PC，即ΔAPC是等腰三角形，正确；②当ΔAPC是等腰三角形时，根据垂径定理，得PO⊥AC，正确；③当PO⊥AC时，若点P在劣弧AC上，则∠ACP=30°，若点P在优弧AC上，则点P与点B重合，∠ACP=60°，C错误；④当∠ACP=30°时，∠ABP=∠ACP=30°，又∠ABC=60°，从而∠PBC=30°；又∠BPC=∠BAC=60°，所以，∠BCP=90°，ΔPBC是直角三角形，正确。

北师大版九年级数学下册《3.5确定圆的条件》同步达标测评（附答案）一．选择题（共10小题，满分40分）1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝60°，则∠AOC的大小是（）A．30°B．120°C．135°D．150°2．如图，△ADC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，若∠A＝66°，则∠BCD等于（）A．14°B．24°C．34°D．66°3．如图，△ABC中，∠A＝70°，O为△ABC的外心，则∠BOC的度数为（）A．110°B．125°C．135°D．140°4．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若AD＝8，∠B＝30°，则AC 的长度为（）A．3B．4C．4D．45．如图，△ABC内接于⊙O，射线AO交BC边于点D，AD平分∠BAC，若AD＝BC＝8，则⊙O的半径长为（）A．3B．4C．5D．66．△ABC的外心在三角形的内部，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OC、OB，∠BOC＝100°，则∠A的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠CAB＝30°，∠ACB＝105°，CD⊥AB于点D且CD ＝2，则⊙O的半径为（）A．2B．4C．4D．49．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点F．若OD＝3，AB＝8，则FC的长是（）A．10B．8C．6D．410．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠CBD的大小为（）A．20°B．21°C．23°D．25°二．填空题（共8小题，满分40分）11．如图，△ABC内接于圆O，∠A＝50°，则∠D等于．12．如图，△ABD内接于⊙O，∠ADB＝90°，∠ADB的角平分线DC交⊙O于C．若BD ＝8，BC＝，则AD的长为．13．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，BD为⊙O的直径，则⊙O的半径为．14．当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为．15．平面直角坐标系内的三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3），确定一个圆，（填“能”或“不能”）．16．如图，△ABC内接于半径为3cm的⊙O，且∠BAC＝30°，则BC的长为m．17．一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为．18．一个已知点P到圆周上的最长距离是7，最短距离是3，则此圆的半径是．三．解答题（共4小题，满分40分）19．如图所示，☉O是△ABC的外接圆，AB是☉O的直径，D为☉O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD．20．如图，AB是⊙O的直径，三角形ABC内接于⊙O，OE⊥AC，OE的延长线交⊙O于点D．（1）若AB＝6，BC＝2，求DE的长；（2）若OE＝DE，判断四边形OBCD的形状．21．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上．（1）判断△ABC的形状，并说明理由．（2）若△ABC的外接圆为⊙O，判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由．22．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD＝CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．参考答案一．选择题（共10小题，满分40分）1．解：∵∠AOC和∠ABC是同弧所对的圆心角和圆周角，∴∠AOC＝2∠ABC＝120°；故选：B．2．解：∵AB是直径，∴∠CDB＝90°，∵∠A＝∠DBC＝66°，∴∠BCD＝90°﹣66°＝24°．故选：B．3．解：∵△ABC中，∠A＝70°，O为△ABC的外心，∴∠BOC＝2∠A＝140°故选：D．4．解：连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，又∵∠B＝∠D＝30°，∴AC＝AD＝4，故选：B．5．解：如图，连接OB．∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝4，设半径为r，在Rt△ODB中，OD2+BD2＝OB2，即（8﹣r）2+42＝r2，解得r＝5故选：C．6．解：若外心在三角形的外部，则三角形是钝角三角形；若外心在三角形的内部，则三角形是锐角三角形；若外心在三角形的边上，则三角形是直角三角形，且这边是斜边．故选：A．7．解：∵，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，∴∠A＝∠BOC＝50°．故选：C．8．解：如图，连接OA，OC，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵∠CAB＝30°，CD＝2，∴AC＝2CD＝4，∵∠ACB＝105°，∠ACD＝60°，∴∠CBA＝45°，∵∠COA＝2∠CBA＝2×45°＝90°，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2＝OA2+OC2，∵OA＝OC，∴OA＝AC＝4，∴⊙O的半径为4，故选：B．9．解：由题知，AC为直径，∴∠ABC＝90°，∵OE⊥AB，∴OD∥BC，∵OA＝OC，∴OD为三角形ABC的中位线，∴AD＝AB＝×8＝4，又∵OD＝3，∴OA＝＝＝5，∴OE＝OA＝5，∵OE∥CF，点O是AC中点，∴OE是三角形ACF的中位线，∴CF＝2OE＝2×5＝10，故选：A．10．解：连接CD，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∠A＝50°，∴∠CDB+∠A＝180°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是边BC的中点，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠CBD＝∠BCD＝（180°﹣∠BDC）＝25°，故选：D．二．填空题（共8小题，满分40分）11．解：∵∠A与∠D所对的弧都是，∴∠A＝∠D＝50°，故答案为：50°．12．解：连接AC，∵∠ADB＝90°，∴AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD平分∠ADB，∴∠ADC＝∠BDC，∴＝，∴AC＝BC＝5，∴AB＝AC＝10，∵BD＝8，∴AD＝＝6，故答案为：6．13．解：连接AD，∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝30°，∴∠D＝∠C＝30°，∵BD是直径，∴∠BAD＝90°∴AB＝2AB＝8，∴⊙O的半径为4，故答案为：4．14．解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，∵A（1，2），B（3，﹣3），∴，解得：k＝﹣，b＝，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆时，∴点C不在直线AB上，∴n＝﹣×5+＝﹣8，∴当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为n≠﹣8，故答案为：n≠﹣8．15．解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），A（1，﹣3），∴点A、B、C共线，∴三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）不能确定一个圆．故答案为：不能．16．解：连接OB，OC．如图，∵∠BAC＝∠BOC，∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°．∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形．∴BC＝OB＝OC＝3（cm）＝0.03（m）．故答案为：0.03．17．解：x2﹣7x+12＝0，（x﹣3）（x﹣4）＝0，解得：x1＝3，x2＝4，①当直角边分别为3，4时，斜边为：＝5，此时直角三角形外接圆的直径为5，②当直角边为3，斜边为4时，此时直角三角形外接圆直径为4．故答案为4或5．18．解：①当点在圆外时，∵圆外一点和圆周的最短距离为3，最长距离为7，∴圆的直径为7﹣3＝4，∴该圆的半径是2；②当点在圆内时，∵点到圆周的最短距离为3，最长距离为7，∴圆的直径＝7+3＝10，∴圆的半径为5，故答案为2或5．三．解答题（共4小题，满分40分）19．证明：（1）∵AB是☉O的直径，OD⊥AC，∴＝，∴∠CBD＝∠ABD，即BD平分∠ABC；（2）连接AD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝30°，由圆周角定理得，∠DOA＝2∠ADB＝60°，∴△AOD为等边三角形，∴OD＝OA，∵∠DOA＝60°，∠C＝90°，∴BC＝AB＝OD．20．解：（1）∵OE⊥AC，∴AE＝EC，∵AO＝OB，∴OE＝BC＝×2＝1，∴DE＝OD﹣OE＝3﹣1＝2；（2）四边形OBCD的形状是菱形，理由如下：连接OC，∵OE＝DE，∴OE＝OA，∴∠OAE＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OBC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，∴OB＝BC，∴OD＝BC，∴AO＝OB，AE＝EC，∴OD∥BC，∴四边形OBCD为平行四边形，∵OB＝OD，∴平行四边形OBCD为菱形．21．解：（1）△ABC是等腰直角三角形，理由如下：根据网格可知：AB＝AC，∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形；（2）点D在⊙O上，理由如下：根据网格可知：△ABC的外接圆如图，∵OD＝OA，∴点D在⊙O上．则点D与⊙O的位置关系是：点D在⊙O上．22．（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴由垂径定理得：∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD＝CD．（2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由（1）知：，∴∠1＝∠2，又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴∠DBE＝∠3+∠4，∠DEB＝∠1+∠5，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠4＝∠5，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE．由（1）知：BD＝CD∴DB＝DE＝DC．∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．。

北师大版九年级下学期第三章 3.5 确定圆的条件A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________考试须知：1、请首先按要求在本卷的指定位置填写您的姓名、班级等信息。

2、请仔细阅读各种题目的回答要求，在指定区域内答题，否则不予评分。

一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分） (2017九上·吴兴期中) 现有下列四个命题：①同圆中等弧对等弦；②圆心角相等，它们所对的弧长也相等；③三点确定一个圆；④平分弦（不是直径）的直径必垂直于这条弦。

其中正确命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分） (2018九上·桥东月考) 下列语句中，正确的是（）A . 同一平面上三点确定一个圆B . 能够完全重合的弧是等弧C . 三角形的外心到三角形三边的距离相等D . 菱形的四个顶点在同一个圆上3. （2分） (2019九上·鄞州月考) 已知下列命题：①抛物线y=3x2+5x-1与两坐标轴交点的个数为2个；②相等的圆心角所对的弦相等；③任何正多边形都有且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；⑤圆内接四边形对角相等；真命题的个数有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个4. （2分） (2017九上·邯郸月考) 三角形的外心是（）A . 三条边中线的交点B . 三条边高的交点C . 三条边垂直平分线的交点D . 三条角平分线的交点5. （2分） (2018九上·太仓期末) 三角形两边的长分别是 8 和 6，第三边的长是方程 x2﹣12x+20＝0 的一个实数根，则三角形的外接圆半径是（）A . 4B . 5C . 6D . 86. （2分）(2019·衡水模拟) 如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC 的外部，判断下列叙述何者正确（）A . O是△AEB的外心，O是△AED的外心B . O是△AEB的外心，O不是△AED的外心C . O不是△AEB的外心，O是△AED的外心D . O不是△MEB的外心，0不是△MED的外心7. （2分）(2018·福田模拟) 下列命题错误的是（）A . 经过三个点一定可以作圆B . 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等C . 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等D . 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心8. （2分） (2018九上·江阴期中) 如图，已知AB=12，点C、D在AB上，且AC=DB=2，点P从点C沿线段CD 向点D运动（运动到点D停止），以AP、BP为斜边在AB的同侧画等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，连接EF，取EF的中点G，下列说法中正确的有（）①△EFP的外接圆的圆心为点G；②四边形AEFB的面积不变；③EF的中点G移动的路径长为4．A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个9. （2分）(2019·南浔模拟) 小明在学了尺规作图后，通过“三弧法”作了一个△ACD，其作法步骤是：①作线段AB，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧的交点为C；②以B为圆心，AB长为半径画弧交AB的延长线于点D；③连结AC，BC，CD.下列说法不正确的是（）A . ∠A=60°B . △ACD是直角三角形（第，爱画）C . BC= CDD . 点B是△ACD的外心二、填空题 (共2题；共2分)10. （1分）已知△ABC的三边长分别是6,8,10,则△ABC外接圆的直径是1 ．11. （1分） (2017八下·江津期末) 如图，在△ABC中，将△ABC沿DE折叠，使顶点C落在△AB C三边的垂直平分线的交点O处，若BE=BO，则∠BOE=________度．三、作图题 (共1题；共10分)12. （10分）(2019·白银) 已知：在中， .（1）求作：的外接圆.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)（2）若的外接圆的圆心到边的距离为4，，则 =________.参考答案一、单选题 (共9题；共18分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、二、填空题 (共2题；共2分)10-1、11-1、三、作图题 (共1题；共10分)12-1、12-2、。

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《确定圆的条件》分层练习◆基础题1．给出下列四个结论,其中正确的结论为（)A．三点确定一个圆B．同圆中直径是最长的弦C．圆周角是圆心角的一半D．长度相等的弧是等弧2．给定下列图形可以确定一个圆的是（）A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．不在同一直线上的三个点3．下列命题正确的个数有（)①过两点可以作无数个圆；②经过三点一定可以作圆；③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；④任意一个圆有且只有一个内接三角形．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，⊙O是△ABC的外接圆,∠BOC=120°，则∠BAC的度数是（）A．120°B．80°C．60°D．30°5．过四边形的任意三个顶点能画圆的个数最多为个．6．平面直角坐标系内的三个点A（1,0)、B（0，﹣3)、C（2，﹣3) 确定一个圆（填“能”或“不能"）．7．如图△ABC中外接圆的圆心坐标是．8．直角三角形的两直角边长分别为8和6，则此三角形的外接圆半径是．9．如图所示,破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24cm，CD=8cm．（1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹）；(2)求（1)中所作圆的半径．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在△ABC的高CD上，点E、F 分别是边AC和BC的中点,请你判断四边形CEDF的形状，并说明理由．◆能力题1．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（)A．第一块B．第二块C．第三块D．第四块2．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0)，点B的坐标是(3,0），在y轴的正半轴上取一点C,使A、B、C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径,则点C的坐标是( ）A．（0，3）B．3，0）C．（0，2）D．（2，0)3．如图，已知点平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C(0，4），⊙P经过点A、B、C,则点P的坐标为（）A．（6，8）B．（4，5) C．（4，318）D．（4，338）4．若A(1，2），B(3，﹣3)，C(x,y）三点可以确定一个圆，则x、y需要满足的条件是．5．已知直线l：y=x﹣4，点A（0，2），点B(2,0）,设点P为直线l上一动点，当P的坐标为时，过P,A,B三点不能作出一个圆．6．等边三角形的边长为4厘米,它的外接圆的面积为平方厘米．7．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．8．如图，AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E,连接BD，CD．（1）求证:BD=CD;(2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．◆提升题1．△ABC的三边长分别为6、8、10，则其外接圆的半径是（)A．3 B．4 C．5 D．102．如图,O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF=（）C．cosA：cosB：cosC D．sinA:sinB：A．a：b：c B．111::a b csinC3．如图所示:在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0,2）,∠OCB=60°,∠COB=45°，则OC= ．4．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．若在△ABC中,AB=5，AC=3，BC=4,则△ABC的最小覆盖圆的半径是；若在△ABC中,AB=AC,BC=6，∠BAC=120°,则△ABC的最小覆盖圆的半径是．5．已知:如图，在△ABC中,点D是∠BAC的角平分线上一点,BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．6．如图,四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E,延长DA、CB交于点F，且∠CAD=60°，DC=DE．求证:（1）AB=AF；(2)A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．答案和解析◆基础题1．【答案】B解：A、错误，不在同一直线上的三点确定一个圆；B、正确；C、错误，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；D、错误，能够重合的弧是等弧．2．【答案】D解:A、已知圆心只能确定圆的位置不能确定圆的大小,故错误；B、C、已知圆的半径和直径只能确定圆的大小并不能确定圆的位置，故错误;D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故正确．3．【答案】B解：①过两点可以作无数个圆,正确；②经过三点一定可以作圆，错误；③任意一个三角形有一个外接圆,而且只有一个外接圆,正确；④任意一个圆有且只有一个内接三角形，错误，正确的有2个．4．【答案】C解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=120°，∴∠BAC=12∠BOC=12×120°=60°．5．【答案】4解:过四边形的任意三个顶点能画圆的个数最多4个．6．【答案】能解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3)，∴BC∥x轴，而点A（1，0）在x轴上，∴点A、B、C不共线，∴三个点A（1,0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能确定一个圆．7．【答案】（6，2)解：分别做三角形的三边的垂直平分线，可知相交于点（6，2),即△ABC中外接圆的圆心坐标是（6,2）．8．【答案】5解:如图,∵AC=8，BC=6，∴AB=2268=10，∴外接圆半径为5．9．解:（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O 为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．（2）连接OA，设OA=x，AD=12cm,OD=（x﹣8）cm，则根据勾股定理列方程：x2=122+（x﹣8）2，解得:x=13．答：圆的半径为13cm．10．解：四边形CEDF为菱形．证明:∵AB为弦，CD为直径所在的直线且AB⊥CD，∴AD=BD，又∵CD=CD，∴△CAD≌△CBD,∴AC=BC；又∵E，F分别为AC,BC的中点，D为AB中点,∴DF=CE=12AC,DE=CF=12BC，∴DE=DF=CE=CF,∴四边形CEDF为菱形．◆能力题1．【答案】A解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦,作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．2．【答案】A解：如图,连结AC ，CB ．依相交弦定理的推论可得：OC 2=OA •OB ，即OC 2=1×3=3，解得:OC =3或﹣3（负数舍去），故C 点的坐标为（0，3）．3．【答案】C解：∵⊙P 经过点A 、B 、C ，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，∴点P 的横坐标为4,设点P 的坐标为(4，y ）,作PE ⊥OB 于E ，PF ⊥OC 与F ，由题意，得()2222441y y +-=+,解得，y =318．4．【答案】5x +2y ≠9解：设直线AB 的解析式为y =kx +b ，∵A （1，2），B （3，﹣3），∴2k b +=，33k b +=-，解得：k =﹣52，b =92，∴直线AB 的解析式为y =﹣52x +92,∵点A （1，2)，B （3，﹣3），C （x ,y ）三点可以确定一个圆时,∴点C 不在直线AB 上,∴5x +2y ≠9．5．【答案】（3，﹣1)解：设直线AB 的解析式为y =kx +b ,∵A （0，2），点B （2，0），∴220b k b =⎧⎨+=⎩，解得21b k =⎧⎨=-⎩，∴y =﹣x +2．解方程组24y x y x =-+⎧⎨=-⎩，得31x y =⎧⎨=-⎩，∴当P 的坐标为（3，﹣1）时，过P ，A ,B 三点不能作出一个圆．6．【答案】16 3π解：∵等边三角形的边长为4厘米，OD⊥AB，∴AD=2厘米,又∵∠DAO=1 2∠BAC=60°×12=30°，∴AO=cos30AD︒=433，∴S=π×(433）2=163π平方厘米．7．证明:如图所示,取BC的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE是△ABC的高，∴△BCD和△BCE都是直角三角形．∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，12 BC为半径的圆上．8．（1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC,∴由垂径定理得：BD CD=，∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD=CD．（2)解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由（1）知：BD CD=，∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，∵BE是∠ABC的平分线,∴∠4=∠5，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE．由（1）知：BD=CD，∴DB=DE=DC．∴B,E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．◆提升题1．【答案】C解：∵62+82=102，∴△ABC为直角三角形,∴△ABC的外接圆的半径=5．2．【答案】C解：如图，连接OA、OB、OC；∵∠BOC=2∠BAC=2∠BOD，∴∠BAC=∠BOD；同理可得：∠BOF=∠BCA，∠AOE=∠ABC;设⊙O的半径为R，则：OD=R•cos ∠BOD=R•cos∠BAC，OE=R•cos∠AOE=R•cos∠ABC,OF=R•cos∠BOF=R•cos ∠ACB，故OD:OE：OF=cos∠BAC:cos∠ABC：cos∠ACB．3．【答案】1+3解：连接AB,则AB为⊙M的直径．Rt△ABO中，∠BAO=∠OCB=60°，∴OB=3OA=3×2=6．过B作BD⊥OC于D．Rt△OBD中，∠COB=45°,则OD=BD=22OB=3．Rt△BCD中，∠OCB=60°，则CD=33BD=1．∴OC=CD+OD=1+3．4．【答案】2.5；3解：如图1，要求△ABC的最小覆盖圆的半径，即求其外接圆的半径．∵AB=5，AC=3，BC=4．∴△ABC是直角三角形．∴其外接圆的半径，即为斜边的一半,是2。

北师大版数学九年级下册第3章第5节确定圆的条件同步检测一、选择题1.下列命题中，正确的是（）A．平面上三个点确定一个圆B．等弧所对的圆周角相等C．平分弦的直径垂直于这条弦D．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线答案：B解析：解答：A．三个点不共线的点确定一个平面，故A不正确；B．由圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理可知：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，故选项B正确；C．平分弦的直径垂直于弦，被平分的弦不能是直径，故此选项错误；D．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线，错误，正确的应该是：一条直线垂直于圆的半径的外端，这条直线一定就是圆的切线．故此选项错误；故选：B．分析：根据在一条直线上的三点就不能确定一个圆可以判断A，再利用圆心角定理得出B 正确；由当弦为直径时不垂直也平分，以及利用切线的判定对D进行判定．2.下列说法错误的是（）A．直径是弦B．最长的弦是直径C．垂直弦的直径平分弦D．经过三点可以确定一个圆答案：D解析：解答：A．直径是弦，根据弦的定义是连接圆上两点的线段，∴故此选项正确，但不符合题意，B．最长的弦是直径，根据直径是圆中最长的弦，∴故此选项正确，但不符合题意，C．垂直弦的直径平分弦，利用垂径定理即可得出，故此选项正确，但不符合题意，D．经过三点可以确定一个圆，利用经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故此选项错误，符合题意，故选：D．分析：根据弦的定义，以及经过不在同一直线上的三点可以作一个圆可判断和垂径定理分别得出即可．3.下列命题中的假命题是（）A．三点确定一个圆B．三角形的内心到三角形各边的距离都相等C．同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等D．同圆中，相等的弧所对的弦相等答案：A解析：解答：A.应为不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；B.三角形的内心到三角形各边的距离都相等，是三角形的内心的性质，故本选项正确；C.同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，正确；D.同圆中，相等的弧所对的弦相等，正确．故选A．分析：根据确定圆的条件，三角形内心性质，以及圆心角、弧、弦的关系，对各选项分析判断后利用排除法求解．4.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4）、（5，4）、（1，-2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（2，3）B．（3，2）C．（1，3）D．（3，1）答案：D解析：解答：如图：根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）．故选D．分析：根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．5.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块答案：B解析：解答：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长．故选：B．分析：要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．6.到三角形各顶点的距离相等的点是三角形（）A．三边的垂直平分线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条中线的交点答案：A解析：解答：因为到三角形各顶点的距离相等的点，需要根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，只有分别作出三角形的两边的垂直平分线，交点才到三个顶点的距离相等．故选：A分析：根据三角形外心的作法，确定到三定点距离相等的点．7.小红的衣服被铁钉划了一个呈直角三角形的洞，其中三角形的两边长分别为1cm和2cm，若用同色圆形布将此洞全部覆盖，那么这块圆布的直径最小应等于（）A．2cm B．3cm C．2cm或3cm D．2cm或cm答案：A解析：解答：由题意，若圆布的直径最小，那么2cm必为直角三角形的斜边长；由于直角三角形的外接圆等于斜边的长，所以圆布的最小直径为2cm，故选A．分析：由于已知的三角形两边没有明确是直角边还是斜边，因此有两种情况：①1cm、2cm同为直角边，②1cm为直角边，2cm为斜边；由于直角三角形的外接圆直径等于斜边的长，若外接圆直径最小，那么直角三角形的斜边最小，显然①是不符合题意，因此直角三角形的斜边为2cm，即圆布的最小直径是2cm．8.下列说法中错误的是（）A．三角形的外心不一定在三角形的外部B．圆的两条非直径的弦不可能互相平分C．两个三角形可能有公共的外心D．任何梯形都没有外接圆答案：D解析：解答：A.根据三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，则三角形的外心的位置有三种情况．正确；B.根据垂径定理的推论可以运用反证法证明可知，该选项错误；C.因为一个圆有无数个内接三角形，所以两个三角形可能有公共的外心．正确；D.等腰梯形一定有外接圆．错误．故选D ．分析：本题根据三角形的外接圆与外心的位置及其性质特点，逐项进行分析即可求解．9.如图，已知△ABC 的外接圆⊙O 的半径为1，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则sin ∠BAC 的值等于线段（ ）A ．BC 的长B ．DE 的长C ．AD 的长 D ．AE 的长答案：B 解析：解答：如图：过B 作⊙O 的直径BF ，交⊙O 于F ，连接FC ，则∠BCF =90°，Rt △BCF 中，sinF =2BC BC BF = ∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，即DE =，∴sinA =sinF =2BC =DE ． 故选B ．分析：本题需将∠BAC 构建到直角三角形中求解，过B 作⊙O 的直径，交⊙O 于点F ，由圆周角定理，知∠F =∠A ；在Rt △BCF 中，易求得sinF =2BC BC BF =，而DE 是△ABC 的中位线，即DE =2BC ，由此得解． 10.如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，且AC =5，DC =3，AB =42 ，则⊙O 的直径AE =（ ）A ．52B ．5C ．42D ．32答案：A 解析：解答： 如图：连接BE ，则∠BEA =∠ACB ，且三角形ABE 是直角三角形．在Rt △ACD 中，AC =5，DC =3，则AD =2222534AC DC -=-= sin ∠BEA =sin ∠ACB =45AD AC = 故⊙O 的直径52sin AB AE BEA ==Ð 故选A ．分析：连接BE ．易知∠BEA =∠ACB ，解直角三角形ABE 即可求出AE ．11.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接OA 、OC ，⊙O 的半径R =2，sinB =4，则弦AC 的长为（ ）A ．3B ．C ．D ．答案：A解析：解答：延长AO 交圆于点D ，连接CD ，由圆周角定理，得：∠ACD=90°，∠D=∠B∴sinD=sinB=，Rt△ADC中，sinD=，AD=2R=4，∴AC=AD•sinD=3．故选A．分析：若想利用∠B的正弦值，需构建与它相等的圆周角，延长AO交⊙O于D，在Rt△ADC 中，由圆周角定理，易得∠D=∠B，即可根据∠D的正弦值和直径AD的长，求出AC的长．12.三角形的外心是三角形中（）A．三边垂直平分线的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交D．三条高的交点答案：A解析：解答：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．故选：A．分析：根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，解答即可．13、有下列四个命题，其中正确的有（）①圆的对称轴是直径；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．A．4个B．3个C．2个D．1个答案：C解析：解答：①圆的对称轴是直径所在的直线；故此选项错误；②当三点共线的时候，不能作圆，故此选项错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故此选项正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故此选项正确．故选：C．分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．14、若一个三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形答案：B解析：解答：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是其斜边的中点，钝角三角形的外心在其三角形的外部；由此可知若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是直角三角形．故选：B．分析：根据直径所对的圆周角是直角得该三角形是直角三角形．15.如图，△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的三边分别记为a，b，c，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF=（）A．a：b：c B．111::a b cC．cosA：cosB：cosC D．sinA：sinB：sinC答案：C解析：解答：设三角形的外接圆的半径是R．连接OB，OC．∵O是△ABC的外心，且OD⊥BC．∴∠BOD=∠COD=∠A在直角△OBD中，OD=OB•cos∠BOD=R•cosA．同理，OE=R•cosB，OF=R•cosC．∴OD：OE：OF=cosA：cosB：cosC．故选C．分析：设三角形的外接圆的半径是R，根据垂径定理，在直角△OBD中，利用三角函数即可用外接圆的半径表示出OD的长，同理可以表示出OE，OF的长，即可求解．二、填空题16.当点A（1，2），B（3，-3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件.答案：5m+2n≠9．解析：解答：设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（1，2），B（3，-3），∴解得：k=-2.5 ，b=4.5 ，∴直线AB的解析式为y=-2.5 x+4.5 ，∵点A（1，2），B（3，-3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，∴点C不在直线AB上，∴5m+2n≠9，故答案为：5m+2n≠9．分析：能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB的解析式，然后点C不满足求得的直线即可．17.平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）确定一个圆（填“能”或“不能”）．答案：能解析：解答：∵B（0，-3）、C（2，-3），∴BC∥x轴，而点A（1，0）在x轴上，∴点A、B、C不共线，∴三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）能确定一个圆．故答案为：能．分析：根据三个点的坐标特征得到它们不共线，于是根据确定圆的条件可判断它们能确定一个圆．18.如图△ABC中外接圆的圆心坐标是.答案：（6，2）．解析：解答：如图：分别做三角形的三边的垂直平分线，可知相交于点（6，2），即△ABC中外接圆的圆心坐标是（6，2）．故答案为：（6，2）．分析：本题可借助网格在网格中根据三角形三边的位置作出它们的垂直平分线，垂直平分线相交于一点，该点就是圆心，根据网格中的单位长度即可求解．19.已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，则∠A的度数是. 答案：30°或150°．解析：解答：如图：连接BO，CO，∵△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC=60°，∴∠A=30°．若点A在劣弧BC上时，∠A=150°．∴∠A=30°或150°．故答案为：30°或150°．分析：利用等边三角形的判定与性质得出∠BOC=60°，再利用圆周角定理得出答案．20.我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠ACB=∠ACD=90°，点D在边BC的延长线上，如果BC=DC=3，那么△ABC和△ACD的外心距是.答案：3解析：解答：∵∠ACB=∠ACD=90°，∴Rt△ABC和Rt△ACD分别是AB，AD的中点，∴两三角形的外心距为△ABD的中位线，即为12BD=3．故答案为：3．分析：利用直角三角形的性质得出两三角形的外心距为△ABD的中位线，即可得出答案．三、证明题21.如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．答案：见解析解析：解答：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE是△ABC的高，∴△BCD和△BCE都是直角三角形．∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，12BC为半径的圆上．分析：求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明F到BC的中点的距离等于BC的一半就可以．22.如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．答案：略解析：解答：（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴»»BD CD=∴BD=CD．（2）B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由（1）知：BD＝CD，∴∠BAD=∠CBD，又∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠CBE=∠ABE，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE．由（1）知：BD=CD∴DB=DE=DC．∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．分析：（1）利用等弧对等弦即可证明．（2）利用等弧所对的圆周角相等，∠BAD=∠CBD再等量代换得出∠DBE=∠DEB，从而证明DB=DE=DC，所以B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．23.如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE⊥AB交BC于点D，交⊙O于点E，F在DA的延长线上，且AF=AD．若AF=3，tan∠ABD=34，求⊙O的直径．答案：20 3解析：解答：如图，连接BE．∵AF=AD，AB⊥EF，∴BF=BD．是直径∵AB=AC，∴∠FBA=∠ABC=∠C=∠E．∵tan∠ABD=3 4，∴tanE=tan∠FBA=3 4．在Rt△ABF中，∠BAF=90°．∵tan∠FBA=AFAB=34，AF=3，∴AB=4．∵∠BAE=90°，∴BE是⊙O的直径．∵tanE=tan∠FBA=34，AB=4，∴设AB=3x，AE=4x，∴BE=5x，∵3x=4，∴BE=5x=203，即⊙O的直径是203．分析：如图，连接BE．利用等腰三角形“三线合一”的性质得到BF=BD；然后根据圆周角定理推知∠FBA=∠ABC=∠C=∠E，BE是⊙O的直径．利用锐角三角函数的定义可以来求BE的长度．24.已知在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，求△ABC外接圆的半径．答案：25 3解析：解答：过A作AD⊥BC于D，连接BO，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，则AD必过圆心O，Rt△ABD中，AB=10，BD=8∴AD=6，设⊙O的半径为x，Rt△OBD中，OB=x，OD=6-x根据勾股定理，得：，即：，解得：x=253，则△ABC外接圆的半径为：253．分析：已知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，若过A作底边BC的垂线，则AD必过圆心O，在Rt△OBD中，用半径表示出OD的长，即可用勾股定理求得半径的长．25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，过A，C，D三点的圆与斜边AB 交于点E，连接DE．（1）求证：AC=AE；（2）若AC=6，CB=8，求△ACD外接圆的直径．答案：(1)略；(2)35解析：解答：（1）证明：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AD为圆的直径，∴∠AED =90°，∵AD 是△BAC 的∠CAB 的角平分线，∴∠CAD =∠EAD ，Rt △ACD 与Rt △ADE 中，∠CAD =∠BAD ， ∠ACB =∠AED ，AD =AD ，∴Rt △ACD ≌Rt △ADE （AAS ），∴AC =AE ．（2）∵在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，CB =8，∴10AB = ∵由（1）知，AC =AE ，CD =DE ，∠ACD =∠AED =90°，∴设CD =x ，则BD =8-x ，BE =AB -AE =10-6=4，在Rt △BDE 中，222BE DE BD +=，即2224(8)x x +=-解得x =3．在Rt △ACD 中222AC CD AD +=即22263AD +=解得AD =分析：（1）由Rt △ABC 中，∠ACB =90°，可得AD 是直径，可得△ADE 为直角三角形，在两个直角三角形中，利用AAS 可得两三角形全等，得到答案；（2）先根据勾股定理求出AB 的长，由（1）知，AC =AE ，CD =DE ，设CD =x ，则BD =8-x ，在Rt △BDE 中，根据勾股定理求出x 的值，同理，在Rt ∠ACD 中求出AD 的长，进而可得出结论．。

2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 3.5确定圆的条件同步练习题A组(基础题)1．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A．点P B．点Q C．点R D．点M2．在同一平面上有A，B，C三点，若经过A，B，C这三点画圆，则可画( )A．0个 B．1个C．0个或1个D．无数个3．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F，则下列三角形中，外心不是点O的是( )A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( )A．第①块 B．第②块C．第③块D．第④块5．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A的度数．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆⊙O，连接OB，OC，如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A ＝65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是( )A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°B．淇淇说的不对，∠A就得65°C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D．两人都不对，∠A应有3个不同值6．若一个直角三角形的两条直角边长分别为7 cm 和24 cm ，则这个三角形的外接圆的直径长为_____cm.7．已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是_____．8．已知直线l ：y ＝x －4，点A(1，0)，点B(0，2)，设点P 为直线l 上一动点，则当点P 的坐标为_____时，过P ，A ，B 不能作出一个圆．9．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A ，B ，C ，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)若在△ABC 中，AB ＝8米，AC ＝6米，∠BAC ＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．B 组(中档题)10．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝5 cm.能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是_____11．(2020·成都树德中学二诊)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，CO 的延长线交AB 于点D.若BC ＝6，sin ∠BAC ＝35，则AC ＝_____，CD ＝_____12．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE ︵(可以是劣弧、优弧或半圆)上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE ︵为△ABC 的中内弧，例如，图中DE ︵是△ABC 其中的某一条中内弧．若在平面直角坐标系中，已知点F(0，4)，O(0，0)，H(4，0)，在△FOH 中，M ，N 分别是FO ，FH 的中点，则△FOH 的中内弧MN ︵所在圆的圆心P 的纵坐标m 的取值范围是_____13．如图，已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R.(1)求证：ACsinB＝2R；(2)若在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝3，求BC的长及sinC的值．14．已知：如图1，在△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.(1)求证：△ABD≌△CBE；(2)如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．C组(综合题)15．如图，在正方形ABCD中，AB＝42，E，F分别为BC，AD上的点，过点E，F的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分，过点A作AG⊥EF于点G，连接DG，则线段DG 的最小值为_____．参考答案2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 3.5确定圆的条件同步练习题A组(基础题)1．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(B)A．点P B．点Q C．点R D．点M2．在同一平面上有A，B，C三点，若经过A，B，C这三点画圆，则可画(C)A．0个 B．1个C．0个或1个D．无数个3．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F，则下列三角形中，外心不是点O的是(B)A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(B)A．第①块 B．第②块C．第③块D．第④块5．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A的度数．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆⊙O，连接OB，OC，如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A ＝65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是(A)A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°B．淇淇说的不对，∠A就得65°C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D．两人都不对，∠A应有3个不同值6．若一个直角三角形的两条直角边长分别为7 cm和24 cm，则这个三角形的外接圆的直径长为25cm.7．已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是8．已知直线l：y＝x－4，点A(1，0)，点B(0，2)，设点P为直线l上一动点，则当点P的坐标为(2，－2)时，过P，A，B不能作出一个圆．9．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)若在△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．解：(1)用尺规作出AB，AC的垂直平分线，交于O点，以O为圆心，OA长为半径作出⊙O，⊙O即为花坛的位置，如图．(2)∵∠BAC＝90°，AB＝8米，AC＝6米，∴BC＝10米．∴△ABC外接圆的半径为5米．∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米．B组(中档题)10．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5 cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片311．(2020·成都树德中学二诊)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，CO 的延长线交AB于点D.若BC ＝6，sin ∠BAC ＝35，则AC CD ＝9013．12．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE ︵(可以是劣弧、优弧或半圆)上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE ︵为△ABC 的中内弧，例如，图中DE ︵是△ABC 其中的某一条中内弧．若在平面直角坐标系中，已知点F(0，4)，O(0，0)，H(4，0)，在△FOH 中，M ，N 分别是FO ，FH 的中点，则△FOH 的中内弧MN ︵所在圆的圆心P 的纵坐标m 的取值范围是m ≤1或m ≥2．13．如图，已知锐角△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R. (1)求证：ACsinB＝2R ；(2)若在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，AC ＝3，求BC 的长及sinC 的值．解：(1)证明：连接AO 并延长交⊙O 于点D ，连接CD ， ∵AD 为直径， ∴∠ACD ＝90°.在Rt △ACD 中，sin ∠ADC ＝AC AD ＝AC2R ，∵∠B ＝∠ADC ，∴sinB ＝AC2R .∴ACsinB＝2R. (2)由(1)知AC sinB ＝2R ，同理可得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC＝2R. ∴2R ＝3sin60°＝2.∴BC ＝2R ·sin ∠BAC ＝2sin45°＝ 2. 作CE ⊥AB ，垂足为E ， ∴BE ＝BC ·cosB ＝2cos60°＝22， AE ＝AC ·cos ∠BAC ＝3cos45°＝62. ∴AB ＝AE ＋BE ＝62＋22. ∴sin ∠ACB ＝AB 2R ＝6＋24.14．已知：如图1，在△ABC 中，BA ＝BC ，D 是平面内不与A ，B ，C 重合的任意一点，∠ABC ＝∠DBE ，BD ＝BE.(1)求证：△ABD ≌△CBE ；(2)如图2，当点D 是△ABC 的外接圆圆心时，请判断四边形BECD 的形状，并证明你的结论．解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠DBE ， ∴∠ABD ＝∠CBE.又∵BA ＝BC ，BD ＝BE ， ∴△ABD ≌△CBE(SAS)． (2)四边形BECD 是菱形．证明：∵△ABD ≌△CBE ，∴AD ＝CE. ∵点D 是△ABC 的外接圆圆心， ∴AD ＝BD ＝CD.又∵BD ＝BE ，∴BD ＝BE ＝EC ＝CD. ∴四边形BECD 是菱形．C 组(综合题)15．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝42，E ，F 分别为BC ，AD 上的点，过点E ，F 的直线将正方形ABCD 的面积分为相等的两部分，过点A 作AG ⊥EF 于点G ，连接DG ，则线段DG的最小值为。

2020年春北师大版九年级数学下册第三章圆3.5确定圆的条件同步练习题一、选择题1.下列说法错误的是（）A. 一个三角形有一个内切圆B. 三角形的内心是三边垂直平分线交点C. 三角形内心到三边距离相等D. 等腰三角形的内心在底边的中线上2.在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P应是△ABC的哪三条线交点（）A. 高B. 角平分线C. 中线D. 边的垂直平分3.不在同一条直线上的三个点可以确定（）个圆.A. 1B. 2C. 3D. 44.钝角三角形的内心在这个三角形的（）A. 内部B. 外部C. 一条边上D. 以上都有可能5.如图，三角形ABC内接于圆O，AH BC于点H，若AC=8，AH=6，圆O的半径OC=5，则AB的值为（）.A. 5B.C. 7D.6.如图为5×5的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（）A. △ACD的外心B. △ABC的外心C. △ACD的内心D. △ABC的内心7.已知⊙O是△ABC的内切圆，那么点O一定是△ABC的（）A. 三边中线交点B. 三边高的交点C. 三个顶角的角平分线交点D. 三边的垂直平分线的交点8. 如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（）A. △ABEB. △ACFC. △ABDD. △ADE9.⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为( )A. B. C. 2 D. 210.如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点O是△ABC的外心，则∠BOC的度数为（）A. 40°B. 60°C. 70°D. 80°二、填空题11.过四边形的任意三个顶点能画圆的个数最多为________个．12.如图，⊙O是△ABC的内切圆，其切点分别为D、E、F，且BD=3，AE=2，则AB=________ 。

北师大版九年级数学下第三章5 确定圆的条件（含答案）一、选择题1．下列四个命题中，正确的有()①经过三角形顶点的圆是三角形的外接圆；②任何一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；③任何一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；④三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列关于三角形的外心的说法中，正确的是()A．到三角形三个顶点的距离相等B．到三角形三条边的距离相等C．是三角形三条角平分线的交点D．是三角形三条中线的交点3．如图1，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数是()图1A．1 B．2C．3 D．44．如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(2，1)，点C的坐标为(2，－3)，则经画图操作可知，△ABC的外心的坐标应是()图2A．(0，0) B．(1，0)C．(－2，－1) D．(2，0)5．如图3，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是()图3A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE6．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图4所示，利用三块碎片中的一块最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是()图4A．①B．②C．③D．均不可能7．若点O是△ABC的外心，且∠BOC＝70°，则∠BAC的度数为()A．35°B．110°C．35°或145°D．35°或140°二、填空题8．如图5，将△ABC放在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________．图59．如图6，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O 的半径为6，则点P到AC的距离的最大值是________．图610．若点O 是等腰三角形ABC 的外心，且∠BOC ＝60°，底边BC ＝2，则△ABC 的面积为________________________________________________．三、解答题11．如图7，已知圆弧上有三点A ，B ，C.(1)用尺规作图法，找出BAC ︵所在圆的圆心O(保留作图痕迹，不写作法)；链接听P34例1归纳总结 (2)若△ABC 为等腰三角形，底边BC ＝16 cm ，腰AB ＝10 cm ，求圆片的半径R.图712.如图8，O 为平面直角坐标系的原点，点A 的坐标为(6，8)，点B 的坐标为(12，0)． (1)求证：AO ＝AB ；(2)用直尺和圆规作出△AOB 的外心P ； (3)求点P 的坐标．图813．如图9①，在△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与点A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.(1)求证：△ABD≌△CBE；(2)如图②，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．图9附加题我们知道：过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆，那么我们来探究过四边形的四个顶点作圆的条件．(1)分别测量图10①②③中四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？图10(2)如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试写出图④⑤中∠B＋∠D与180°之间的关系；(3)由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．。

初中数学·北师大版·九年级下册——第三章圆5确定圆的条件测试时间:20分钟一、选择题1.下列条件中,能确定圆的是()A.以已知点O为圆心B.以1 cm长为半径C.经过已知点A,且半径为 2 cmD.以点O为圆心,1 cm长为半径2.下列命题正确的个数为()①过两点可以作无数个圆;②经过三点一定可以作圆;③任意一个三角形有一个外接圆,而且只有一个外接圆;④任意一个圆有且只有一个内接三角形.A.1B.2C.3D.43.如图所示,一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞,鼠洞只有三个出口A、B、C,要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞,这只花猫最好蹲守在()A.△ABC三条高线的交点处B.△ABC三条角平分线的交点处C.△ABC三条中线的交点处D.△ABC三边垂直平分线的交点处4.在下列三角形中,外心在它的一边上的三角形是()A.三角形的边长分别为 2 cm,2 cm,3 cmB.三角形的边长都等于 5 cmC.三角形的边长分别为 5 cm,12 cm,13 cmD.三角形的边长分别为 4 cm,6 cm,8 cm5.如图,已知平面直角坐标系内三点A(3,0)、B(5,0)、C(0,4),☉P经过点A、B、C,则点P的坐标为()A.(6,8)B.(4,5)C.(4,318) D.(4,338)二、填空题6.如图,△ABC是☉O的内接三角形,若∠BCA=60°,则∠ABO=.7.(2019江苏南通如东实验中学月考)如图,每个小正方形的边长都等于1,则△ABC的外心的坐标是.三、解答题8.如图是一个残破的圆轮,李师傅想要浇铸一个同样大小的圆轮,你能想办法帮帮李师傅吗?9.如图,等边三角形ABC为一花坛,现要将其改为圆形花坛覆盖在△ABC上,且使其占地面积最小.(1)请你帮忙设计方案,并画出该圆形花坛;(2)若等边三角形的边长为6,求(1)中圆的半径.10.如图,在?ABCD中,∠BAD为钝角,且AE⊥BC,AF⊥CD.(1)求证:A,E,C,F四点共圆;(2)设线段BD与(1)中的圆交于M,N,求证:BM=ND.5年中考3年模拟·初中数学·北师大版·九年级下册——第三章圆5确定圆的条件测试时间:20分钟一、选择题1.答案D∵圆心确定,半径确定后才可以确定圆,∴D选项正确,故选 D.2.答案B过两点可以作无数个圆,①正确;经过不在同一直线上的三点一定可以作圆,故②错误;任意一个三角形有一个外接圆,而且只有一个外接圆,③正确;任意一个圆都有无数个内接三角形,故④错误,故命题正确的有2个,故选B.3.答案D根据题意知,花猫最好蹲守在到三个洞口的距离相等的位置上,此位置就是三角形ABC三边垂直平分线的交点处.4.答案C根据不同形状的三角形的外心的位置知,直角三角形的外心在斜边的中点处,即只有直角三角形的外心在它的一边上.A是等腰三角形;B是等边三角形;C是直角三角形;D是钝角三角形.故选 C.5.答案C∵☉P经过点A、B、C,∴点P在线段AB的垂直平分线上,∴点P的横坐标为4,设点P的坐标为(4,y),作PE⊥x轴于E,PF⊥y轴于F,由题意得CP=PA,即√42+(y-4)2=√１2+??2,解得y=31,故选 C.8二、填空题6.答案30°解析由圆周角定理得∠AOB=2∠ACB=2×60°=120°.又OA=OB,所以∠ABO=30°.7.答案(-2,-1)解析如图所示,作AB、BC的垂直平分线,交于点P,则点P即为△ABC的外心,点P的坐标是(-2,-1).故答案为(-2,-1).三、解答题8.解析能,作法如下:(1)如图,在圆轮对应的弧上任取三点A,B,C,并且连接AB,BC;(2)分别作AB,BC 的垂直平分线DE,FG,且直线DE,FG 相交于点O;(3)以点O 为圆心,OA 长为半径作☉O,☉O 就是圆轮对应的圆.按上述步骤就能得到与原来同样大小的圆轮.9.解析(1)如图,☉O 即为所求.(2)如图,连接OB,∵OD 垂直平分AB,AB=6, ∴AD=BD=12AB=3,∠OBD=30°, ∴OB=????cos30°=3√32=2√3.∴圆的半径为2√3.10.证明(1)∵AE ⊥BC,AF ⊥CD,∴∠AEC=∠AFC=90°, ∴∠AEC+∠AFC=180°, ∴A,E,C,F 四点共圆.(2)如图,连接AC,由(1)可知,∠AEC=90°,则AC 是直径. 设AC,BD 相交于点O.∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴O 为圆心,OB=OD,∴OM=ON,∴OB-OM=OD-ON, ∴BM=DN.。

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课时作业（二十四）[第三章 5 确定圆的条件］一、选择题1．下列四个命题中正确的有( ）①经过三角形顶点的圆是三角形的外接圆；②任何一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；③任何一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形；④三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．A．1个B．2个C．3个D．4个2．三角形的外心具有的性质是（)A．到三个顶点的距离相等B．到三条边的距离相等C．是三角形三条角平分线的交点D．是三角形三条中线的交点图K－24－13．2017·市中区三模如图K－24－1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,3)，点B的坐标为（2，1)，点C的坐标为(2,－3）．则经画图操作可知:△ABC的外心坐标应是( ）A．(0，0) B．（1，0)C．（－2，－1) D．(2，0）4．如图K－24－2，AC，BE是⊙O的直径,弦AD与BE交于点F,下列三角形中，外心不是点O的是（）图K－24－2A．△ABE B．△ACFC．△ABD D．△ADE5．如图K－24－3，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC,垂足为E，BC＝5，AE＝6，则DE的长为( ）图K－24－3A．4 错误!B．3 错误!C．4 D.错误!6．若点O是△ABC的外心，且∠BOC＝70°,则∠BAC的度数为( ）A．35°B．110°C．35°或145°D．35°或140°二、填空题7．已知△ABC的三条边长分别为 6 cm,8 cm，10 cm，则这个三角形的外接圆的面积为________cm2。

3.5确定圆的条件同步测试题（满分120分；时间：90分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为6cm，则该圆的直径是（）A.1.5cmB.1.5cm或4.5cmC.4.5cmD.3cm或9cm2. 在一个三角形中，已知AB=AC=6cm，BC=8cm，D是BC的中点，以D为圆心作一个半径为5cm的圆，则下列说法正确的是（）A.点A在⊙D外B.点B在⊙D上C.点C在⊙D内D.无法确定3. 已知三角形ABC，若过点A、点B作圆，那么下面说法正确的是（）A.这样的圆只能作出一个B.这样的圆只能作出两个C.点C不在该圆的外部，就在该圆的内部D.圆心分布在AB的中垂线上4. 已知⊙O的半径为3cm，PO=5cm，则下列说法正确的是（）A.点P在⊙O上B.点P在⊙O外C.点P在⊙O内D.无法确定5. Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=5，BC=12，则这个三角形外接圆的半径为（）A.2.5B.6C.6.5D.8.56. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OB、OC，若⊙O的半径为2，∠BAC=60∘，则BC 的长为（）A.√3B.2√3C.4D.4√37. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，D是AB边的中点，OA＝6，∠ACB＝30∘，则OD＝（）A.6B.3√3C.3D.3√328. 下列给定的三点能确定一个圆的是（）A.线段AB的中点C及两个端点B.角的顶点及角的边上的两点C.三角形的三个顶点D.矩形的对角线交点及两个顶点9. 如图，△ABC内接于圆O，AD是圆O的直径，∠ABC=30∘，则∠CAD的度数等于（）A.45∘B.50∘C.55∘D.60∘10. 如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90∘，CD是AB上的高，AC=4，BC=3，如果圆C是以C为圆心，2.5长为半径的圆，那么下列说法正确的是（）A.点D在圆C上B.点D在圆C内，点A、B均在圆C外C.点A、B、D均在圆C外D.点B、D均在圆C内，点A在圆C外二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 若△ABC的三边长分别为8，15，17，则△ABC的外接圆半径为________．12. 已知等边△ABC的边长为4cm，AD，BE，CF是三条高，若以点A为圆心，以2√3cm为半径画圆，则A，B，C，D，E，F中，点________在⊙A上，点________在⊙A内，点________在⊙A外．13. 在△ABC，∠C=90∘，AC=3，BC=4，点O是△ABC的外心，现在以O为圆心，分别以2、2.5、3为半径作⊙O，则点C与⊙O的位置关系分别是________．14. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60∘，AB=AC=2，则弦BC=________．15. 我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠ACB＝∠ACD＝90∘，点D在边BC的延长线上，如果BC＝DC＝3，那么△ABC和△ACD的外心距是________．16. 有一长、宽分别为4cm，3cm的矩形ABCD，以A为圆心作圆，若B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙O的半径r的取值范围是________．17. △ABC中，∠C=90∘，AC=20，AB=25，以点C为圆心，r为半径画圆，使得点A在⊙C外，点B在⊙C内，则r的取值范围是________．18. 如图是一把T字型木工尺，已知AD垂直平分BC，AD=BC=40cm，则过A、B、C三点的圆的半径是________cm．19. 如图，在△ABC中，点O是△ABC的外心，过点O作OD⊥AC，交AC于点D，连接BO，过点A作AE⊥BC，垂足为E，若BO=7，OD=3，则cos∠BAE的值为________．20. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在圆O上，BD＝CD，AB＝10，AC＝6，连接OD交BC于点E，DE＝________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC＝4，∠A＝30∘，求⊙O的直径．22. 如图所示，CD是△ABC的中线，AB=2CD，∠B=60∘．求证：△ABC的外接圆的半径为CB．23. 已知：如图，△ABC的外接圆⊙O的直径为4，∠A=30∘，求BC的长．24. 如图，已知在△ABC中，∠ACB=90゜，AB=10，BC=8，CD⊥AB于D，O为AB的中点．（1）以C为圆心，6为半径作圆C，试判断点A、D、B与⊙C的位置关系；（2）⊙C的半径为多少时，点D在⊙C上？25. 如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点F，∠ABC的平分线交AD于点E．（1）求证：DE=DB：（2）若∠BAC=90∘，BD=4，求△ABC外接圆的半径；（3）若BD=6，DF=4，求AD的长26. 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．（1）如图，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90∘，则该损矩形的直径是线段________．（2）①在损矩形ABCD内是否存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一圆上？如果有，请指出点O的具体位置；②如图，直接写出符合损矩形ABCD的两个结论（不能再添加任何线段或点）．。

3.5 确定圆的条件同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. ⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点（）A.在⊙O内或⊙O上B.在⊙O外C.在⊙O上D.在⊙O外或⊙O上2. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，若以点A为圆心，以4为半径作⊙A，则下列各点中在⊙A外的是（）A.点AB.点BC.点CD.点D3. 下列命题中是真命题的是（）A.经过两点不一定能作一个圆B.经过三点不一定能作一个圆C.经过四点一定不能作一个圆D.一个三角形有无数个外接圆4. 下列命题中正确的为（）A.三点确定一个圆B.圆有且只有一个内接三角形C.三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点D.面积相等的三角形的外接圆是等圆5. 如图，△ABC内接于圆O，AD是圆O的直径，∠ABC=30∘，则∠CAD的度数等于（）A.45∘B.50∘C.55∘D.60∘6. 在数轴上，点A所表示的实数为2，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为3．若点B在⊙A外，则a的值可能是()A.−1B.0C.6D.57. 下列命题中，正确的命题是（）A.三点确定一个圆B.经过四点不能作一个圆C.三角形有一个且只有一个外接圆D.三角形外心在三角形的外面8. 设P为⊙O外一点，若点P到⊙O上的点的最短距离为3，最长距离为7，则⊙O的半径为（）A.1B.2C.4D.59. 平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为（）A.1个或3个B.3个或4个C.1个或3个或4个D.1个或2个或3个或4个10. 三角形外接圆的圆心为（）A.三条高的交点B.三条角平分线的交点C.三条垂直平分线的交点D.三条中线的交点二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 一个三角形的外心在这个三角形的边上，且有2边长分别为3厘米和4厘米，则这个三角形外接圆的半径是________．12. 若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角．已知△ABC是等径三角形，则等径角的度数为________．13. 已知⊙O的半径为5cm，线段OA=4cm，OB=6cm，OC=5cm．则点A在⊙O________，点B在⊙O________，点C在⊙O________．14. 一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为6cm，该圆的直径是________．15. 已知△ABC的外心为点O，且BO+AO=6，则CO的长为________．16. 已知在直角ABC中，∠C=90∘，AC=8，BC=6，则△ABC的外接圆半径长为________．17. 如图所示，在矩形ABCD的顶点A处拴了一只小羊，在B、C、D处各有一筐青草，要使小羊至少能吃到一筐子里的草，且至少有一个筐子里的草吃不到．如果AB=5，BC=12，则拴羊绳的长l的取值范围是________．18. 在同一平面内，一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这个圆的半径是________cm．19. 在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=2cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心，以√5cm长为半径画圆，则点M与⊙C的位置关系是________．20. 如图，在△ABC中，∠A=60∘，BC=5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是________cm．三、解答题（本题共计5 小题，共计60分，）21. 已知如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=2，BC=3，AB的中点为点M．（1）以点C为圆心，2为半径作⊙C，则点A、B、M分别与⊙C有怎样的位置关系？（2）若以C为圆心作⊙C，使A、B、M三点中至少有一点在⊙C内，且至少有一点在⊙C外，则⊙C的半径r的取值范围是什么？22. 如图，O是△ABC的外心，D是圆上一点，且OD⊥BC，AE是BC边上的高．试探索∠OAD与∠EAD的大小关系，并说明理由．23. 在Rt△ABC中，已知∠C=90∘，BC=3，AC=4，以点B为圆心，3为半径作圆B，则：（1）AB与AC的中点D，E与圆B有怎样的位置关系？（2）若要让点A和点C有且只有一个点在圆B内，则圆B的半径应满足什么条件？24. 已知：如图，△ABC的外接圆⊙O的直径为4，∠A=30∘，求BC的长．25. 如图：y轴上正半轴上一点O1为圆心的圆交两坐标轴与A、B、C、D四点，已知B(−3, 0)，AB=3√10（1）求O1的坐标；（2）过B作BH⊥AC于H交AO于E，求S△BDE；（3）作⊙O1的内接锐角△BKJ，作BM⊥KJ与M，作JN⊥BK与N，BM、JK交于H点，当锐角△BKJ的大小变化时，给出下列两个结论：①BK2+JH2的值不变；②|BK2−JH2|的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值．参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【解答】解：∵ d≥R，∵ 点P在⊙O上或点P在⊙O外．故选D．2.【答案】C【解答】解：连接AC，∵ AB=3cm，AD=4cm，∵ AC=5cm，∵ AB=3<4，AD=4=4，AC=5>4，∵ 点B在⊙A内，点D在⊙A上，点C在⊙A外．故选C．3.【答案】B【解答】解：A、经过两点可作无数个圆，所以A选项错误；B、经过三点不一定能作一个圆，所以B选项正确；C、经过四点可能作一个圆，如过矩形的四个顶点可作一个圆，所以C选项错误；D、一个三角形只有一个外接圆，所以D选项错误．故选B．4.【答案】C【解答】解：根据不在同一直线上的三点只能确定一个圆，所以：A不正确利用一个圆的图形，可以划出无数个内接三角形，所以：B不正确根据三角形的外心作法，可知：C正确面积相等的三角形不一定全等，所以外接圆有大有小，所以面积相等的三角形的外接圆不是等圆，所以：D不正确故选：C5.【答案】D【解答】解：∵ ∠ABC=30∘，∵ ∠ADC=30∘，∵ AD是⊙O的直径，∵ ∠ACD=90∘，∵ ∠CAD=90∘−30∘=60∘．故选D．6.【答案】C【解答】解：由于圆心A在数轴上的坐标为2，圆的半径为3，∵ 当d=r时，⊙A与数轴交于两点：−1，5，当d>r即当a<−1或a>5时，点B在⊙A外．只有C符合题意.故选C.7.【答案】C【解答】解：A、不共线的三点可以确定一个圆，故该选项错误；B、若四点共线就不能确定一个圆，故该选项错误；C、三角形有一个且只有一个外接圆，该选项正确；D、三角形外心不一定在三角形的外面，还可能在三角形上，故该选项错误；故选C．8.【答案】B【解答】解：如图，PA的长是P到⊙O的最长距离，PB的长是P到⊙O的最短距离，∵ 圆外一点P到⊙O的最长距离为7，最短距离为3，∵ 圆的直径是7−3=4，∵ 圆的半径是2．故选B．9.【答案】C【解答】解：(1)当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆；(2)当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定4个圆；(3)当四个点共圆时，只能确定一个圆．故选C．10.【答案】C【解答】解：A、三角形三条高的交点是三角形的垂心，故A错误；B、三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，故B错误；C、由于三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，故C正确；D、三角形三边中线的交点是三角形的重心，故D错误；故选C．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】5或22【解答】解：∵ 三角形的外心在这个三角形的边上，∵ 这个三角形为直角三角形，且斜边为它的外接圆的直径，；当3和4为直角边时，斜边=√32+42=5，这个三角形外接圆的半径为52当4为斜边时，这个三角形外接圆的半径为2，或2．∵ 这个三角形外接圆的半径为52或2．故答案为5212.【答案】30∘或150∘【解答】如图边AB与半径相等时，则∠AOB＝60∘，∠AOB＝30∘，当等径角顶点为C时，∠C=12当等径角顶点为D时，∠C+∠D＝180∘，∠D＝150∘，13.【答案】内,外,上【解答】解：∵ OA=4cm<5cm，OB=6cm>5cm，OC=5cm，∵ 点A在⊙O内，点B在⊙O外，点C在⊙O上．14.【答案】9cm或3cm【解答】解：分为两种情况：①当点在圆内时，如图1，∵ 点到圆上的最小距离MB=3cm，最大距离MA=6cm，∵ 直径AB=3cm+6cm=9cm；②当点在圆外时，如图2，∵ 点到圆上的最小距离MB=3cm，最大距离MA=6cm，∵ 直径AB=6cm−3cm=3cm；故答案为：9cm或3cm．15.【答案】3【解答】解：∵ 点O为△ABC的外心，∵ OA=OB=OC，∵ BO+AO=6，∵ CO=3，故答案为：3．16.【答案】5【解答】解：由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√82+62=10，∵ △ACB是直角三角形，∵ △ABC的外接圆半径长为斜边的一半，即是5，故答案为：5．17.【答案】5≤r<13【解答】解：根据题意画出图形如下所示：AB=CD=5，AD=BC=12，根据矩形的性质和勾股定理得到：AC=√52+122=13．∵ AB=5，BC=12，AC=13，而A，C，D中至少有一个点在⊙A内，且至少有一个点在⊙A外，∵ 点B在⊙A内，点C在⊙A外．∵ 要使小羊至少能吃到一筐子里的草，且至少有一个筐子里的草吃不到，拴羊绳的长l的取值范围是：5<r<13．故答案是：5≤r<13．18.【答案】6.5cm或2.5【解答】解：点P应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点P在圆内时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是4+9=13cm，因而半径是6.5cm；②当点P在圆外时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是9−4=5cm，因而半径是2.5cm．故答案为：6.5cm或2.5．19.【答案】M在⊙C上【解答】解：∵ ∠ACB=90∘，AC=2cm，BC=4cm，∵ AB=√22+42=2√5.∵ CM是中线，AB=√5，∵ CM=12∵ 点M在⊙C上．故答案为：M在⊙C上.20.【答案】【解答】此题暂无解答三、解答题（本题共计5 小题，每题10 分，共计50分）21.【答案】解：（1）∵ 在△ABC中，∠C=90∘，AC=2，BC=3，AB的中点为点M，∵ AB=√AC2+BC2=√22+32=√13，CM=12AB=√132，∵ 以点C为圆心，4为半径作⊙C，∵ AC=2，则A在圆上，CM=√132<2，则M在圆内，BC=2>2，则B在圆外；（2）以点C为圆心作⊙C，使A、B、M三点中至少有一点在⊙C内时，r>√132，当至少有一点在⊙C外时，r<3，故⊙C的半径r的取值范围为：√132<r<3．【解答】解：（1）∵ 在△ABC中，∠C=90∘，AC=2，BC=3，AB的中点为点M，∵ AB=2+BC2=√22+32=√13，CM=12AB=√132，∵ 以点C为圆心，4为半径作⊙C，∵ AC=2，则A在圆上，CM=√132<2，则M在圆内，BC=2>2，则B在圆外；（2）以点C为圆心作⊙C，使A、B、M三点中至少有一点在⊙C内时，r>√132，当至少有一点在⊙C外时，r<3，故⊙C的半径r的取值范围为：√132<r<3．22.【答案】解：∠OAD=∠EAD，理由是：∵ OD⊥BC，AE是BC边上的高，∵ OD // AE，∵ ∠EAD=∠ODA，∵ OA=OD，∵ ∠OAD=∠ODA，∵ ∠OAD=∠EAD．【解答】解：∠OAD=∠EAD，理由是：∵ OD⊥BC，AE是BC边上的高，∵ OD // AE，∵ ∠EAD=∠ODA，∵ OA=OD，∵ ∠OAD=∠ODA，∵ ∠OAD=∠EAD．23.【答案】解：（1）如图，∵ ∠C=90∘，BC=3，AC=4，∵ AB=√BC2+AC2=5，∵ D为AB的中点，∵ BD=2.5，∵ 点D在圆B内，∵ BE>BC，即BE>3，∵ 点D在圆B外；（2）设圆B的半径为r，当3<r<5时，点A和点C有且只有一个点在圆B内．【解答】解：（1）如图，∵ ∠C=90∘，BC=3，AC=4，∵ AB=√BC2+AC2=5，∵ D为AB的中点，∵ BD=2.5，∵ 点D在圆B内，∵ BE>BC，即BE>3，∵ 点D在圆B外；（2）设圆B的半径为r，当3<r<5时，点A和点C有且只有一个点在圆B内．24.【答案】BC的长为2．【解答】解：作直径CD，连接BD．∵ CD是直径，∵ ∠CBD=90∘．又∠D=∠A=30∘，CD=4，∵ BC=2，25.【答案】解：（1）∵ AD垂直平分BC，OB=3，AB=3√10，∵ OA=9；又∵ OA⋅OD=OB⋅OC，∵ OD=1，则AD=10，∵ O1D=5，∵ O1的坐标为(0, 4)．（2）连接BD，如图，∵ BH⊥AC，∵ ∠1=∠2，而∠1=∠3，∵ ∠2=∠3，∵ 直角△OBE∽直角△OAB，∵ OB2=OE⋅OA，而OB=3，OA=9，∵ OE=1，则DE=2；×3×2=3∵ S△BDE=12（3）结论①正确．证明如下：过B点作直径BE，连EJ，如图；∵ BE是直径，∵ ∠BJE=90∘，∵ BM⊥KJ，∵ ∠BMK=90∘；又∵ ∠K=∠E，∵ △BEJ∽△KBM，∵ BKBE =BMBJ，则BK2BE2=BM2BJ2；①∵ JN⊥BK，∵ ∠MHJ=∠K=∠E，∵ 直角△JHM∽直角△BEJ，∵ JHBE =JMBJ，则JH2BE2=JM2BJ2，②由①，②得BK 2+JH2BE2=BM2+JM2BJ2=1，而BE为直径等于10．∵ BK2+JH2=100．【解答】解：（1）∵ AD垂直平分BC，OB=3，AB=3√10，∵ OA=9；又∵ OA⋅OD=OB⋅OC，∵ OD=1，则AD=10，∵ O1D=5，∵ O1的坐标为(0, 4)．（2）连接BD，如图，∵ BH⊥AC，∵ ∠1=∠2，而∠1=∠3，∵ ∠2=∠3，∵ 直角△OBE∽直角△OAB，∵ OB2=OE⋅OA，而OB=3，OA=9，∵ OE=1，则DE=2；∵ S△BDE=12×3×2=3（3）结论①正确．证明如下：过B点作直径BE，连EJ，如图；∵ BE是直径，∵ ∠BJE=90∘，∵ BM⊥KJ，∵ ∠BMK=90∘；又∵ ∠K=∠E，∵ △BEJ∽△KBM，∵ BKBE =BMBJ，则BK2BE2=BM2BJ2；①∵ JN⊥BK，∵ ∠MHJ=∠K=∠E，∵ 直角△JHM∽直角△BEJ，∵ JHBE =JMBJ，则JH2BE2=JM2BJ2，②由①，②得BK 2+JH2BE2=BM2+JM2BJ2=1，而BE为直径等于10．∵ BK2+JH2=100．。

初中数学试卷 马鸣风萧萧3.5确定圆的条件一、选择题1．若△ABC 的外接圆的圆心在△ABC 的外部，则△ABC 是 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定2．可以作圆且只可以作一个圆的条件是 ( )A ．已知圆心B ．已知半径C ．过三个已知点D ．过不在同一条直线上的三个点3．半径为R 的圆内接正三角形的面积是 ( )A ．232RB ． πR 2C ．2332RD ．2334R 4．如图3－81所示，△ABC 内接于⊙O ，∠C ＝45°．AB ＝4，则⊙O 的半径为( )A ．22B ．4C ．23D ．55．（2014•山西，第8题3分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接OA 、OB ，∠OBA=50°，则∠C 的度数为（ ）A ． 30°B． 40°C． 50°D．80°6. （2014•丽水，第9题3分）如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC 的弦心距等于（ ）A．B．C．4 D．3二、填空题7．等腰三角形ABC内接于半径为5 cm的⊙O，若底边BC＝8 cm，则△ABC的面积是．8．若等边三角形的边长为4 cm，则它的外接圆的面积为．9．已知Rt△ABC的两条直角边长为a和b，且a，b是方程x2－3x＋1＝0的两根，则Rt△ABC的外接圆面积为．10. （2014•黑龙江龙东,第6题3分）直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是30°或150°．11. （2014•湖南衡阳,第17题3分）如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为65°．三、作图与解答题12．如图3－82所示，已知两点A，B及直线l，求作经过A，B两点，且圆心在直线l的圆．13．先阅读，再解答．我们在判断点(－7，20)是否在直线y＝2x＋6上时，常用的方法是：把x＝－7代入y＝2x＋6中，由2×(－7)＋6＝－8≠20，判断出点(－7，20)不在直线y＝2x＋6上．小明由此方法并根据“两点确定一条直线”，推断出点A(1，2)，B(3，4)，C(－1，6)三点可以确定一个圆，你认为他的推断正确吗?请你利用上述方法说明理由．14．如图3－83所示，等腰三角形ABC内接于半径为5的⊙O中，AB＝AC，且tan B＝13．(1)求BC的长；(2)求AB边上的高．参考答案1．C2．D［提示：D既固定了圆的位置，又固定了圆的大小，保证了所要求的唯一性．]3．D4．A[提示：连接OA，OB．∵∠C＝45°，∴∠AOB＝90°，∴在Rt△AOB中，OA＝OB＝22．故选A．]5.B6.D7．8 cm2或32 cm28．163πcm2 [提示：作弦心距，易求r＝433．]9．74π[提示：a＋b＝3，ab＝1，c2＝(a＋b)2－2ab＝7，2724cSππ⎛⎫==⎪⎝⎭．]10.解答：解：连接OA、OB，∵AB=OB=OA，∴∠AOB=60°，∴∠C=30°，∴∠D=180°﹣30°=150°．故答案为30°或150°．11.解答：解：∵AB为⊙O直径∴∠ADB=90°∵∠B=∠ACD=25°∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．故答案为：65°．点评：考查了圆周角定理的推论．构造直径所对的圆周角是圆中常见的辅助线之一．12．提示：连接AB，作线段AB的垂直平分线l′交直线l于O；以O为圆心，OA长为半径作圆，则⊙O就是所求作的圆．图略．13．分析判断A，B，C三点是否可以确定一个圆，只需求出过任意两点的直线，再看第三点是否在所求直线上，若不在，说明三点不在同一条直线上，可以确定一个圆．解：他的推断是正确的．因为“两点确定一条直线”，设经过A，B两点的直线的解析式为y＝kx＋b．由A(1，2)，B(3，4)，得2,34,k bk b+=⎧⎨+=⎩解得1,1,kb=⎧⎨=⎩∴经过A，B两点的直线的解析式为y＝x＋1．把x＝－1代入y＝x＋1中，由－1＋1≠6，可知点C(－1，6)不在直线AB上，即A，B，C三点不在同一条直线上．所以A，B，C三点可以确定一个圆．【解题策略】掌握“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”是解此题的关键．14．解：(1)连接OA交BC于D，连接OB，OC，则AO垂直平分线段BC．设AD＝x，∵tan B＝13，∴BD＝3x．在Rt△ODB中，(5－x)2＋(3x)2＝52，解得x＝1，∴BC＝2BD＝6．(2)过C作CE⊥AB交BA的延长线于E，∵tan B＝13，BC＝6，∴CE2＋(3CE)2＝62，∴CE＝3105．。