第8章 电势

dV = dq 4πεo r
q 2π a
qdl
dl
a
r
P
x
x
=
8π 2ε o ar
q ⋅ 2π a V = dV = 2 dl = 2 8π ε o ar 8π ε o ar L
∫
q
∫
V=
q 4πεo r
=
q 4πεo x + a
2 2
标量积分的方便！ 标量积分的方便！
15
V=
q 4πεo r
=
q 4πεo x 2 + a 2
23
8.5 电势梯度
寻找
零势点
VP =
∫ E ⋅ dl
P
的逆变换
dWab = q0 [V − (V + dV )] = q0 E ⋅ d l
− dV = E cosθdl
en
El
a
b
θ dl
V V+dV
El dl = −dV
电场强度沿某 一方向的分量
E在 dl方向上的分量
E
dV El = − dl
电势差： 电势差：
Vab = ∫ E ⋅ dl
a
b
功、电势差、电势能之间的关系 电势差、
Wab = q ∫ E ⋅ dl = q(Va − Vb ) = E pa − E pb
a
9
b
电势参考点的选取： 电势参考点的选取： 理论上： 理论上： 有限大的带电体 电势参考点选在“ ”远处； 的带电体： 有限大的带电体：电势参考点选在“∞ 远处； “无限大”的带电体：电势参考点选在有限远 无限大”的带电体： 无限大 指定点. 处指定点. 工程上： 选地球为电势零点。 工程上： 选地球为电势零点。
=0， P点在环心，则 x =0，所以 点在环心，
V =
q 4πε 0 a q 4πε 0 x
>>a， P点远离环心，即 x >> ，则 点远离环心，
V =
场强为零的地方电势不一定为零！ 场强为零的地方电势不一定为零！ 电势为零的地方场强一定为零吗？ 电势为零的地方场强一定为零吗？
16
8.1） 例2:均匀带电球面பைடு நூலகம்电场中的电势 (P131例8.1） 2:均匀带电球面的电场中的电势 均匀带电球面 解：E 外 =
P′
P
E内 = 0
E
外
Q = 4 πε 0 r
这个结论很有用！ 这个结论很有用！
2
18
两均匀带电的同心球面， 例:两均匀带电的同心球面，如图， 两均匀带电的同心球面 如图， 半径分别为R 半径分别为 a ,Rb，内球面带电量为 ， Qa , 外球面带电量 b , 求电势分布。 外球面带电量-Q 求电势分布。 介绍一种简单重要的解法： 介绍一种简单重要的解法： 带电球面电势叠加法
∫
参考点
a
qo E ⋅ dl = ∫a
参考点
qo E cosθdl
结论：试验电荷 结论：试验电荷qo在空间某处的电势能在数值上就 等于将q 从该处移至势能的零点电场力所作的功。 等于将 o从该处移至势能的零点电场力所作的功。
6
注意：电势能的零点可以任意选取，但是在习惯上， 注意：电势能的零点可以任意选取，但是在习惯上， 当场源电荷为有限带电体时， 有限带电体时 当场源电荷为有限带电体时，通常把电势能的 零点选取在无穷远处 无穷远处。 E p∞ = 0 零点选取在无穷远处。即
电势和电势差
一、电势能
保守力作功等于势能的减少
b
E pa q0
E pb
F
a
b
静电场力对电荷所作的功等于电荷电势能的减少 静电场力对电荷所作的功等于电荷电势能的减少
Wab = qo ∫ E ⋅ dl = Epa − Epb
a
（任意路径） 任意路径）
点的势能为零（ 令b点的势能为零（Epb=0 ） 点的势能为零 a点的势能： Epa = 点的势能： 点的势能
沿该方向电势的 变化率的负值
结论： 结论：电场中给定点的电场强度沿某一方向的分 等于这一点电势沿该方向变化率的负值。 量，等于这一点电势沿该方向变化率的负值。
24
一般
V = V ( x, y, z )
∂V Ey = − ∂y
∂V Ez = − ∂z
∂V 所以 Ex = − ∂x
∴ E = E x i + E y j + Ez k
参考点
E pa =
∞
∫ q E ⋅ dl
0 a
（任意路径） 任意路径）
空间a点的电势能： 空间 点的电势能： 点的电势能
Epa = ∫ qo E ⋅ dl = Wa∞
a
电势能为电场和位于电场中的电荷这个系统所共有。 电势能为电场和位于电场中的电荷这个系统所共有。 电势能是标量，可正可负。 电势能是标量，可正可负。
13
1
4. 电势的计算 ① 定义式
E Pa Va = , q
② 场强与电势的积分关系式
参考点
Va =
③ 电势叠加原理
∫ E ⋅ dl
a
要特别注意两 个积分的区别 个积分的区别
dq VP = ∫ 4πε0 r 场源电荷
14
均匀带电圆环，带电量为q，半径为a， 例1. 均匀带电圆环，带电量为 ，半径为 ，求轴线 上任意一点的P电势 电势。 ） 上任意一点的 电势。 （P133 例8.3） 解： dq = λdl =
r
(r ≥ R)
(r ≤ R ) VP′ (r ) =
∫
∞
P'
∞
E ⋅ dl =
∫E
p'
R
内
⋅ dl
+
∞
∫E
R
外
⋅ dl
17
Q = ∫R E 外 d r = 4 πε 0 R
结论：均匀带电球面的电场中的电势、 结论：均匀带电球面的电场中的电势、场强 带电球面的电场中的电势
常数
Q V内 = r≤R 4πε0 R Q V外 (r ) = r>R 4πε0r
A
据电场叠加原理
B
E = E1 + E 2 + ⋯ + E n
B B A A
∴ W AB = q 0 ∫ E1 ⋅ dl + q 0 ∫ E 2 ⋅ dl + ⋯ + q 0 ∫ E n ⋅ dl
A
结论：给定试验电荷在静电场中移动时， 结论：给定试验电荷在静电场中移动时，电场力所作 的功只与试验电荷的起点和终点的位置有关， 的功只与试验电荷的起点和终点的位置有关，而与路 径无关。 即电场力是保守力。静电场是保守场。 径无关。 即电场力是保守力。静电场是保守场。
∂V ∂V ∂V = −( i + j+ k) ∂x ∂y ∂z
矢量式
V的梯度 gradV 或 的梯度: 的梯度
∇V
∴ E = − gradV = −∇V
场强与电势梯度等大而反向 电势梯度是一矢量 电势梯度是一矢量
4
2.静电场的环路定理 2.静电场的环路定理
W = q 0 ∫ E ⋅ dl = q 0 ∫ E ⋅ dl = 0
L A A
∴ ∫ E ⋅ dl = 0
L
则静电场力作功与路径无关的特征可等价表述为： 则静电场力作功与路径无关的特征可等价表述为： 的环流为零。 静电场中电场强度 E 的环流为零。
5
8.2
− Qb Qa Rb
− Qb
− Qb
Qa
Rb
Ra
Rb
Ra
1 2
3 =
1 2
3+
Qa Ra
1 2
3
19
带电球面电势叠加法
− Qb Rb
− Qb
Rb
Qa
Ra
1 2
3 =
1 2
3+
Qa
Ra
1 2
3
空间 1 空间 2 空间 3
V=
4πε 0 Ra
Qa
Qa
− Qb + 4πε 0 Rb
− Qb V= + 4πε 0 r 4πε 0 Rb − Qb Qa V= + 4πε 0 r 4πε 0 r
10
8.3 电势的计算
1．点电荷电场中的电势
VP = ∫
=∫
∞ r
∞
P
= ∫ E cos 00 dl E ⋅ dl
P
∞
r
q
P
1 q dr = 2 4πεo r 4πεo r
q
dl=dr
VP =
q 4πεo rP
孤立正点电荷周围的场电势为正 孤立正点电荷周围的场电势为正 离电荷越远，电势越低. 离电荷越远，电势越低. 孤立负点电荷周围的场电势为负 离电荷越远，电势越高. 离电荷越远，电势越高.
第8章 电 势
1
8.1
静电场的保守性
b
rb
q
1. 静电场力作功的特点
单个点电荷产生的电场
dW = qo E ⋅ dl
= qo E cosθ dl
r′
ra r
dr
E=
q 4πεo r
2
qo
θ
dl
E
a
2
qo q qo q dW = cosθ dl = dr 2 2 4πεo r 4πεo r
cosθdl = dr
7
二.电势 定义： 定义：Va =
参考点
Epa q0
= ∫ E ⋅ dl
a
∞
（ 无穷远处为电势零点 ）
Va =
∫ E ⋅ dl
a