奥数讲座 倍比问题更比法

应用题——倍比问题学习目标1、使学生在现实情境中，理解并掌握“先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数”的基本思考方法，并能正确解决相关的实际问题。

2、使学生在探索“先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数”方法的过程中，进一步加深对倍比问题的理解，增强自主探索和合作交流的意识，提高分析问题和解决问题的能力。

3、初步培养学生的数学应用意识，进一步感悟数学与生活的关系，提高对数学的应用价值。

4、培养和解决简单的实际问题的能力，体会数学来源于生活有服务于生活的意识。

5.使学生懂得解决倍比问题的基本方法.考点分析概念及特征：两种量成倍数关系的问题，叫做倍比问题。

这类应用题的条件与简单的归一应用题相同，它的特征是同类量中前后两个量成倍数关系。

解这类问题的方法叫做“倍比法”。

倍比法是归一法的特殊形式。

解题关键：在于首先求出两个同类量的倍数，再用求得的倍数来求解。

一般说来，凡可用归一法求解的问题均可用倍比法来求解，反之亦然。

典型例题例1（解决“在于首先求出两个同类量的倍数，再用求得的倍数来求解”的实际问题）一台拖拉机3小时可耕地40公亩，那么12小时可耕地多少公亩？分析：这个问题与归一问题的结构很类似。

要求12小时耕地多少公亩，只要求先求出每小时耕地多少公亩就可以了。

但是40公亩不能被3整除，因此，在整数范围内不能用“归一法”来解。

根据本题中的一种量——两个时间之间有整数倍数关系(12小时是3小时的4倍)，而拖拉机的工作效率是相同的，所以另一种量——两个耕地公亩数之间也必然有相同的倍数关系(即12小时耕地公亩数也应该是3小时耕地公亩数的4倍)。

可以利用这个倍数来求解。

解：①12小时是3小时的多少倍？12÷3=4②12小时可以耕地多少公亩？40×4=160(公亩)综合算式： 40×(12÷3)=160(公亩)答：12小时可以耕地160公亩。

点评：解题关键：在于首先求出两个同类量的倍数，再用求得的倍数来求解。

随堂练习2 哥哥、弟弟共种了52棵树．哥哥种的树是弟弟的3倍．问：兄弟两人各种多少棵树?【正确答案】弟弟13棵，哥哥39棵例3甲比乙多存140元.如果乙取出60元，甲存入60元，那么甲的存款为乙的3倍．问：甲、乙两人原有存款各是多少元？分析甲原来比乙多140元，如果乙取出60元，甲存入60元后，那么甲比乙多140-60+60=260（元）．这时，甲的存款为乙存款的3倍，问题化为差倍问题解乙原有存款（140+60+60)÷(3-1) +60=190（元），甲原有存款190 +140=330（元）．答：甲原来存款330元，乙原来存款190元.随堂练习3 某班级的同学参加活动小组．已知参加语义小组的人数比数学小组的多26，并且语文小组的人数比数学小组人数的3倍少14．问：参加两类兴趣小组的同学各有多少人？【正确答案】数学小组20人，语文小组46人例4小丽有铅笔与圆珠笔若干枝．铅笔数的4倍与圆珠笔的2倍相等，且圆珠笔比铅笔多10枝．问：小丽有多少枝铅笔？多少枝圆珠笔？分析如图，铅笔数的4倍等于圆珠笔数的2倍.观察下图就可以发现：圆珠笔数是铅笔数的2（=4÷2）倍.圆珠笔比铅笔多10枝.用差倍公式就可解得.解铅笔10 ÷（4÷2-1）=10（枝），圆珠笔10+10=20（枝）答：圆珠笔为20枝，铅笔为10枝.随堂练习4 一工场现在每月生产的机器是原来每月生产的4倍.现在比原来每月多做360台.问：这工厂原来和现在每月各生产多少台机器？【正确答案】原来每月120台，现在每月480台例5 甲、乙两人分别带150元、70元去买东西.两人买了同样的东西之后，剩下的钱数甲是乙的5倍.问：甲、乙两人身上各剩多少钱？每人花了多少钱？分析在没有买东西之前，甲比乙多150一70＝80(元)，两人买了同样的东西即花了同样多的钱之。

倍比问题知识点一、 概念及特征➢ 概念：两种量成倍数关系的问题，叫做倍比问题。

➢ 特征：这类应用题的条件与简单的归一应用题相同，它的特征是同类量中前后两个量成倍数关系。

求解这类问题的方法叫做“倍比法”。

倍比法是归一法的特殊形式。

➢ 解题关键：在于首先求出两个同类量的倍数，再用求得的倍数来求解。

➢ 知识点：✧ 凡可用归一法求解的问题均可用倍比法来求解，反之亦然。

✧ 一道应用题既可以用“归一法”解答，又可以用“倍比法”解答时，应根据题目中的数量关系选择其中的比较简便的一种解法。

二、 解题思路1) 找同类量2) 确定倍比法或归一法➢ 同类量可以整除，则用倍比法；➢ 同类量不可以整除，则用归一法；3) 求出倍数或1份数✧ 倍数=所占份数÷份数✧ 1份数=总量÷份数4) 求解问题✧ 另一类未知量=另一类已知量X 倍数✧ 另一类未知量=所占份数x1份数三、 题型分类1. 题型1 （常规题）一台拖拉机3小时可耕地40公亩，那么12小时可耕地多少公亩？100千克花生可以炸油38千克。

照这样计算，要炸出114千克花生油，需要花生多少千克？解析： 1. 找同类量：3小时与12小时是同类，40公亩是另一类； 2. 确定方法：由于40不能被3整除，所以在整数范围内不能用归一法。

但是12可以被3整除，则可以用倍比法。

3. 求倍数：12÷3=4；（相当于12小时是由4个3小时组成的） 4. 求解问题 另一类未知量=40x4=160公亩 40x （12÷3） =40x4 =160（公亩） 答：12小时可耕地160公亩。

解析： 1. 找同类量：炸油38千克与114千克同类，花生100千克另一类； 2. 确定方法：由于38不能被100整除，所以在整数范围内不能用归一法。

但是114可以被38整除，则可以用倍比法。

3. 求倍数：114÷38=3；（相当于114是由3个38组成的）4. 求解问题另一类未知量=100x3=300千克 100x （114÷38）=100x3=300（千克）答：要炸出114千克花生油，需要花生300千克。

奥数中的“比例问题”
（一）比例与和倍关系
（―）比例与差倍关系
（三）正比例、反比例的应用
应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否变化，然后再确定是
成正比例，还是成反比例．找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解题方法．
比例问题例题及答案分析1
比例问题例题及答案分析2
【例题】甲从A出发步行向B.同时，乙、丙两人从B地驾车出发，向A 行驶.甲乙两人相遇在离A地3千米的C地，乙到A地后立即调头，与丙在C地相遇.若开始出发时甲就跑步，速度提高到步行速度的2.5倍，则甲、丙相遇地点距A地7.5千米.求AB两地距离.
比例问题练习1
比例问题练习2
比例问题练习4
奥数中的“比例问题”
例题解析
一）比例与和倍关系
（二）比例与差倍关系
（三）正比例、反比例的应用
应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否变化，然后再确定是成正比例，还是成反比例.找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解题方法.
1、
2、【例题】甲从A出发步行向B.同时，乙、丙两人从B地驾车出发，向A 行驶.甲乙两人相遇在离A地3千米的C地，乙到A地后立即调头，与丙在C地相遇.若开始出发时甲就跑步，速度提高到步行速度的2.5倍，则甲、丙相遇地点距A地7.5千米.求AB两地距离.。

小学奥数：灵活多变的差倍问题，掌握思路和方法，比答案更重要差倍问题已知几个数的差与这几个数的倍数关系，求这个几个数分别是多少的应用题叫作差倍问题。

解决差倍问题的关键是要找准“差”与“倍”，并能借助画图来分析，找出隐藏的倍数关系。

寻找差别问题中的明差1、解放路小学购买的足球是排球的3倍还多3个，足球比排球多17个。

问：足球、排球各买了多少个？我们通过画图来进行分析：后面还附带了一个条件，足球比排球要多出17个，我们再次画图：从上图我们就可以非常明显的看出，把多余的3个足球去掉，另外的两份各占7，如图：那么通过画图其实我们已经能够求出最终的结果了，我们把计算过列出来：排球的数量：(17 - 3) ÷ (3 - 1) = 7（个）足球的数量：7 × 3 ＋3 = 24（个）这样我们就求出了最终结果，记住画图是非常重要的，解决这里问题的只要你可以清晰的把图完整画出来，并且综合题意来分析，并不需要去记住公式之类的。

寻找差倍问题中的暗差2、一班与二班一共有78人。

如果一班人数的3倍与二班人数的5倍之和是318，那么一班原有多少人？像这种类型的题目中就没有明确的告诉我们'差是多少'，我们需要通过仔细分析，来获得，同样的我们从画图来入手：接下来，题目说一班人数的3倍和二班人数的5倍之和是318，我们来画图看看：很显然这时候找不到任何线索，我们可以进行分析，当一班人数和二班人数都是原来的3倍的时候，那么总共有多少人，我们来继续画图：我们可以得到3倍的一班人数和3倍二班人数一共是234，因为题目一开始就告诉我们一班和二班共有78人，现在同时乘以3，就变成了234，接下来解题就非常容易了，我们继续看图：那么我们就可以得到二班平均一份是84 ÷ 2 = 42（人），一班和二班原来一共有78人，我们已经求出二班的人数了，所以一班的人数 = 78 - 42 = 36(人)思考题1、两筐苹果一样重。

【解析】列式：28(31)7÷+=（米）【巩固】小敏有14元，小花有10元，小花给小敏几元，小敏的钱数就是小花的【解析】小花现在的钱数：(1410)(12)+÷+【巩固】小华和爷爷今年共72岁，爷爷的岁数是小华的【解析】小华：72(17)9÷+=（岁），(2)从第二盘拿2个到第一盘里，第一盘就比第二盘多：4+(2+2)=8(个)或4+2×2=8(个)(3)第二盘拿走2个后剩下的苹果：8÷(2-1)= 8(个)(4)第一盘原有苹果：8×2-2=14(个)答：第一盘有苹果14个．【巩固】一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？【解析】先求出长方形长和宽的和：36÷2=18（厘米）把长方形的宽看作1份，长就是2份，长和宽的和对应的就是3份，所以长方形的宽是：18÷（2+1）=6（厘米）长是：6×2=12（厘米）这个长方形的面积是：12×6=72（平方厘米）【巩固】5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。

每箱苹果和每箱葡萄各重多少千克？【解析】5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，平均分成5份，1箱苹果与1箱葡萄重量和为：75÷5=15（千克）。

把1箱葡萄的重量看作一份，重量为：15÷（2+1）=5（千克）；每箱苹果重量为：5×2=10（千克）。

【例 3】师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件多少个？【解析】引导学生画图时，一定要注意“多5个”的画图方法，并找和与份数之间的关系．【详解】从线段图上可以看出，把徒弟加工的个数看作1份数，师傅加工的个数就比3份数还多5个，如果师傅少加工5个，两人加工的总数就少5个，总数变为(1055)-个，这样这道题就转化为例5类型的题目，就可以求出师傅和徒弟各加工多少个了.列式：如果师傅少做5个，师、徒共做： 1055100-=(个)，徒弟做了：100(31)25÷+=(个),师傅做了：253580⨯+=(个)．【巩固】实验小学共有学生956人，男生比女生2倍少4人.问：实验小学男学生和女学生各有多少人？【解析】女生：(9564)3320+÷=（人），男生：956320636⨯-=（人）-=（人）或32024636【巩固】两组学生参加义务劳动，甲组学生人数是乙组的3倍，而乙组的学生人数比甲组的3倍少40人，求参加义务劳动的学生共有多少人？【解析】把乙组学生人数看作1份，画出线段图如下：甲组学生人数是乙组学生人数的3倍，则甲组学生人数的3倍就是乙组人数的（3×3=）9倍。

教学目标：1、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题 知识点拨：比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：一、比和比例的性质性质1：若a : b =c ：d ，则(a + c )：(b + d )= a ：b =c ：d ； 性质2：若a : b =c ：d ，则(a - c )：(b - d )= a ：b =c ：d ；性质3：若a : b =c ：d ，则(a +x c )：(b +x d )=a ：b =c ：d ；(x 为常数) 性质4：若a : b =c ：d ，则a ×d = b ×c ；(即外项积等于内项积) 正比例：如果a ÷b =k (k 为常数)，则称a 、b 成正比； 反比例：如果a ×b =k (k 为常数)，则称a 、b 成反比． 二、主要比例转化实例① x a y b = ⇒ y b x a =； x ya b =； a b x y =；② x a y b = ⇒ mx a my b =； x ma y mb =(其中0m ≠)； ③ x a y b = ⇒ x a x y a b =++； x y a b x a --=； x y a b x y a b ++=-- ； ④ x a y b =，y c z d = ⇒ x ac z bd=；::::x y z ac bc bd =；⑤ x 的c a 等于y 的d b ，则x 是y 的ad bc ，y 是x 的bcad．三、按比例分配与和差关系 ⑴按比例分配例如：将x 个物体按照:a b 的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x的比分别为():a a b +和():b a b +，所以甲分配到ax a b +个，乙分配到bxa b+个.⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题例如：两个类别A 、B ，元素的数量比为:a b (这里a b >)，数量差为x ，那么A 的元素数量为axa b-，B 的元素数量为bxa b-，所以解题的关键是求出()a b -与a 或b 的比值．四、比例题目常用解题方式和思路解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l ”。

第八讲比和比例关系比和比例，是小学数学中的最后一个内容，也是学习更多数学知识的重要基础.有了“比”这个概念和表达方式，处理倍数、分数等问题，要方便灵活得多.我们希望，小学同学学完这一讲，对“除法、分数、比例实质上是一回事，但各有用处”有所理解.这一讲分三个内容：一、比和比的分配；二、倍数的变化；三、有比例关系的其他问题.8.1 比和比的分配最基本的比例问题是求比或比值.从已知一些比或者其他数量关系，求出新的比.例1甲、乙两个长方形，它们的周长相等.甲的长与宽之比是3∶2，乙的长与宽之比是7∶5.求甲与乙的面积之比.解：设甲的周长是2.甲与乙的面积之比是答：甲与乙的面积之比是864∶875.作为答数，求出的比最好都写成整数.例2 如右图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10∶7.求上底AB与下底CD的长度之比.解：因为E是中点，三角形CDE与三角形CEA面积相等.三角形ADC与三角形ABC高相等，它们的底边的比AB∶CD=三角形ABC的面积∶三角形ADC的面积=（10-7）∶（7×2）= 3∶14.答：AB∶CD=3∶14.两数之比，可以看作一个分数，处理时与分数计算几乎一样.三数之比，却与分数不一样，因此是这一节讲述的重点.例3 大、中、小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯.如果记号表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和，求与之比.解：大杯与中杯容量之比是5∶2=10∶4，中杯与小杯容量之比是4∶3，大杯、中杯与小杯容量之比是10∶4∶3.∶=（10×2+4×3+3×4）∶（10×5+4×4+3×3）=44∶75.答：两者容量之比是44∶75.把5∶2与4∶3这两个比合在一起，成为三样东西之比10∶4∶3，称为连比.例3中已告诉你连比的方法，再举一个更一般的例子.甲∶乙=3∶5，乙∶丙=7∶4，3∶5=3×7∶5×7=21∶35，7∶4=7×5∶4×5=35∶20，甲∶乙∶丙=21∶35∶20.花了多少钱？解：根据比例与乘法的关系，连比后是甲∶乙∶丙=2×16∶3×16∶3×2=32∶48∶63.答：甲、乙、丙三人共花了429元.例5有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？解：设甲的长度是6份.∶x=5∶4.乙与丙的长度之比是而甲与乙的长度之比是 6∶5=30∶25.甲∶乙∶丙=30∶25∶26.答：甲、乙、丙的长度之比是30∶25∶26.于利用已知条件6∶5，使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段.例6 甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？解一：设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是答：这些糖果每千克平均价是27.5元.上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有：事实上，有稍简捷的解题思路.解二：先求出这三种糖果所买数量之比.不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10.平均数是（15+11+10）÷3=12.单价33元的可买10份，要买12份，单价是下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量.例7 一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23，分母加32，解：新的分数，分子与分母之和是（10+23+32），而分子与分母之比2∶3.因此例8加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量.三人工作效率之比是他们分别需要完成的工作量是所需时间是700×3=2100分钟）=35小时 .答：甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时.这是三个数量按比例分配的典型例题.例9某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是：甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1，那么丙有多少名男会员？解：甲组的人数是100÷2=50（人）.乙、丙两组男会员人数是 56-24=32 （人）.答：丙组有12名男会员.上面解题的最后一段，实质上与“鸡兔同笼”解法一致，可以设想，“兔例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1∶2∶3.小龙走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6.已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米.问小龙走完全程用了多少时间？解一：通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.上坡、平路、下坡的速度之比是走完全程所用时间答：小龙走完全程用了10小时25分.上面是通常思路下解题.1∶2∶3计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事.事实上，灵活运用比例有简捷解法.解二：全程长是上坡这一段长的（1+2+3）=6（倍）.如果上坡用的时设小龙走完全程用x小时.可列出比例式8.2 比的变化已知两个数量的比，当这两个数量发生增减变化后，当然比也发生变化.通过变化的描述，如何求出原来的两个数量呢？这就是这一节的内容.例11 甲、乙两同学的分数比是5∶4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是5∶7.甲、乙原来各得多少分？解一：甲、乙两人的分数之和没有变化.原来要分成5+4=9份，变化后要分成5+7=12份.如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键.9与12的最小公倍数是36，我们让变化前后都按36份来算.5∶4=（5×4）∶（4×4）=20∶16.5∶7=（5×3）∶（7×3）=15∶21.甲少得22.5分，乙多得22.5分，相当于20-15=5份.因此原来甲得22.5÷5×20=90（分），乙得 22.5÷5×16=72（分）.答：原来甲得90分，乙得72分.我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程.解二：设原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根据得分变化，可列出比例式.（5x-22.5）∶（4x+22.5）=5∶7即 5（4x+22.5）=7（5x-22.5）15x=12×22.5x=18.甲原先得分18×5=90（分），乙得18×4=72（分）.解：其他球的数量没有改变.增加8个红球后，红球与其他球数量之比是5∶（14-5）=5∶9.在没有球增加时，红球与其他球数量之比是1∶（3-1）=1∶2=4.5∶9.因此8个红球是5-4.5=0.5（份）.现在总球数是答：现在共有球224个.本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变.把1∶2写成4.5∶9，就是充分利用这一特点.本题也可以列出如下方程求解：（x+8）∶2x=5∶9.例13 张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？解一：我们采用“假设”方法求解.如果他们开支的钱数之比也是8∶5，那么结余的钱数之比也应是8∶5.张家结余240元，李家应结余x元.有240∶x=8∶5，x=150（元）.实际上李家结余270元，比150元多120元.这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差，每份是120÷（5-3）=60.（元）.因此可求出答：张家收入720元，李家收入450元.解二：设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多.我们画出一个示意图：张家开支的3倍是（8份-240）×3.李家开支的8倍是（5份-270）×8.从图上可以看出5×8-8×3=16份，相当于270×8-240×3=1440（元）.因此每份是1440÷16=90（元）.张家收入是90×8=720（元），李家收入是90×5=450（元）.本题也可以列出比例式：（8x-240）∶（5x-270）=8∶3.然后求出x.事实上，解方程求x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些.例14 A和B两个数的比是8∶5，每一数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数.解：减少相同的数34，因此未减时，与减了以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点.8∶5，就是8份与5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是2∶1，两者相差1.将前项与后项都乘以3，即2∶1=6∶3，使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此，每份是34∶2=17.A数是17×8=136，B数是17×5=85.答：A，B两数分别是136与85.本题也可以用例13解一“假设”方法求解，不过要把减少后的2∶1，改写成8∶4.例15小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画纸？解一：充分利用已知数据的特殊性.4+3=7，5+2=7，15-8=7.原来总数分成7份，变化后总数仍分成7份，总数多了7张，因此，新的1份=原来1份+1原来4份，新的5份，5-4=1，因此新的1份有15-1×4=11（张）.小明原有图画纸11×5-15=40（张），小强原有图画纸11×2+8=30（张）.答：原来小明有40张，小强有30张图画纸.解二：我们也可采用例13解一的“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分）4∶3=20∶155∶2=20∶8.但现在是20∶8，因此这个比的每一份是当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法.解三：设原来小明有4“份”，小强有3“份”图画纸.把小明现有的图画纸张数乘2，小强现有的图画纸张数乘5，所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图：从图上可以看出，3×5-4×2=7（份）相当于图画纸15×2+8×5=70（张）.因此每份是10张，原来小明有40张，小强有30张.例11至15这五个例题是同一类型的问题.用比例式的方程求解没有多大差别.用算术方法，却可以充分利用已知数据的特殊性，找到较简捷的解法，也启示一些随机应变的解题思路.另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不容易熟练掌握.例13的解一，也是一种通用的方法.“假设”这一思路是很有用的，希望读者能很好掌握，灵活运用.从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性.因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维.例16粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时.同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍.问这两支蜡烛点了多少时间？我们把问题改变一下：设细蜡烛长度是2，每小时点等需要时间是答：这两支蜡烛点了3小时20分.把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2，使原来要考虑的“2倍”变成“相等”，思考就简捷了.解这类问题这是常用的技巧.再请看一个稍复杂的例子.例17箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只.每次从箱子里取出7只白球，15只红球，经过若干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？解：因为红球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以对3倍的白球，每次取15只，最后应剩51只.因为白球每次取7只，最后剩下3只，所以对3倍的白球，每次取 7×3＝21只，最后应剩 3×3＝ 9只.因此.共取了（51- 3×3）÷（7×3-15）＝ 7（次）.红球有 15×7＋ 53＝ 158（只）.白球有 7×7＋3＝52（只）.原来红球比白球多 158-52＝106（只）.答：箱子里原有红球数比白球数多106只.8.3 比例的其他问题，这里必须用分数来说，而不能用比.实际上它还是隐含着比例关系：（甲-7）∶乙= 2∶3.因此，有些分数问题，就是比例问题.加33张，他们两人取的画片一样多.问这些画片有多少张？答：这些画片有261张.解：设最初的水量是1，因此最后剩下的水是样重，就有因此原有水的重量是答：容器中原来有8.4千克水.例18和例19，通常在小学数学中，叫做分数应用题.“比”有前项和后项，当两项合在一起写成一个分数后，才便于与其他数进行加、减运算.这就是把比（或除法）写成分数的好处.下面一个例题却是要把分数写成比，计算就方便些.例20 有两堆棋子， A堆有黑子 350个和白子500个， B堆有黑子堆中拿到 A堆黑子、白子各多少个？子100个，使余下黑子与白子之比是（40-100）∶100＝3∶1.再要从 B堆拿出黑子与白子到A堆，拿出的黑子与白子数目也要保持3∶1的比.现在 A堆已有黑子 350＋ 100＝ 450个），与已有白子500个，相差从B堆再拿出黑子与白子，要相差50个，又要符合3∶1这个比，要拿出白子数是50÷（3-1）＝25（个）.再要拿出黑子数是 25×3＝ 75（个）.答：从B堆拿出黑子 175个，白子25个.人，问高、初中毕业生共有多少人？解一：先画出如下示意图：6-5＝1，相当于图中相差 17-12＝5（份），初中总人数是 5×6＝30份，因此，每份人数是520÷（30-17）= 40（人）.因此，高、初中毕业生共有40×（17＋12）＝ 1160（人）.答：高、初中毕业生共1160人.计算出每份是例21与例14是完全一样的问题，解一与例14的解法也是一样的.（你是否发现？）解二是通常分数应用题的解法，显然计算不如解一简便.例18，19，20，21四个例题说明分数与比例各有好处，你是否从中有所心得？当然关键还是在于灵活运用.下的钱共有多少元？解：设钢笔的价格是1.这样就可以求出，钢笔价格是张剩下的钱数是李剩下的钱数答：张、李两人剩下的钱共28元.题中有三个分数，但它们比的基准是不一样的.为了统一计算单位，设定钢笔的价格为1.每个人原有的钱和剩下的钱都可以通过“1”统一地折算.解分数应用题中，设定统一的计算单位是常用的解题技巧.作为这一讲最后的内容，我们通过两个例题，介绍一下“混合比”.用100个银币买了100头牲畜，问猪、山羊、绵羊各几头？这是十八世纪瑞士大数学家欧拉（1707～1783）提出的问题.们设1头猪和5头绵羊为A组，3头山羊和2头羊绵为B组.A表示A组的数，B表示B 组的数，要使（1＋ 5）× A＋（3＋ 2）× B＝100，或简写成 6A＋5B＝100.就恰好符合均价是1.类似于第三讲鸡兔同笼中例17，很明显，A必定是5的整数倍.A＝5， B＝ 4， 6×5＋ 5×4＝50，50是 100的约数，符合要求.A＝5，猪 5头，绵羊 25头，B=4，山羊12头，绵羊8头.猪∶山羊∶绵羊=5∶12∶（25＋8）.现在已把1∶5和3∶2两种比，组合在一起通常称为混合比.要注意，这样的问题常常有多种解答.A= 5， B＝14或 A＝15，B＝2才能产生解答，相应的猪、山羊、绵羊混合比是5∶42∶53或15∶6∶79.答：有三组解答.买猪、山羊、绵羊的头数是10，24，66；或者5，42，53；或者15，6，79.求混合比是一种很实用的方法，对数学有兴趣的小学同学，学会这种方法是有好处的，会增加灵活运用比例的技巧.通常求混合比可列下表：下面例题与例23是同一类型，但由于题目的条件，解法上稍有变化.例24某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件，买 1件按定价，买2件降价 10％，买 3件降价 20％.最后结算，平均每件恰好按原定价的 85％出售，那么买3件的顾客有多少人？解：题目已给出平均数 85％，可作比较的基准.1人买3件少 5％×3；1人买2件多 5％×2；1人买1件多 15％×1.1人买3件与1人买1件成A组，即按1∶1比例，2人买3件与3人买2件成B组，即按2∶3的比例.A组是2人买4件，每人平均买2件.B组是5人买12件，每人平均买2.4件.现在已建立了一个鸡兔同笼型问题：总脚数76，总头数33，兔脚数2.4，鸡脚数2.B组人数是（76-2×33）÷（24-2）＝ 25（人），A组人数是 33-25＝8（人），其中买 3件4人，买 1件4人.10＋ 4＝ 14（人）.答：买3件的顾客有14位.建立两种比的A组和B组，与例23的解题思路完全一致，只是后面解法稍有不同.因为对A组和B组，不仅要从人数考虑满足2A+5B＝33，还要从买的件数考虑满足 4A＋12B＝76.这已完全确定了A组和B组的数，不必再求混合比.。

第十讲：倍数问题专题分析：倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一，它是指已知几个数的和或者差以及几个数的倍数关系，求这几个数的应用题。

解答倍数问题，必须先确定一个数（通常选用较小的数）作为标准数，即1倍数，再根据其他几个数与这个数的关系，确定“和”或者“差”相当于这样的几倍。

最后用用除法求出1倍数。

和数÷（倍数＋1）＝较小数差数÷（倍数－1）＝较小数练习一：1、两根同样长的铁丝，第一根剪去18米，第二根剪去26米，余下的铁丝第一根是第二根的3倍。

原来两根铁丝各长多少米？思路：这两根铁丝的差保持不变，而剩下的铁丝的差依然是原来铁丝的差。

根据余下的铁丝第一根是第二根的3倍。

则余下的铁丝相差2倍。

这样很容易计算第二根余下的铁丝是：（26－18）÷（3－1）＝4（厘米）则原第二根铁丝长30厘米。

2、两个数的和是682，其中一个数的个位是0，如果把这个0去掉，就得到另一个数。

这两个数各是多少？思路：这两个数是十倍的关系。

3、两根绳子一样长，第一根用去6.5米，第二根用去0.9米，剩下部分第二根是第一根的3倍。

两根绳子原来各长多少米？4、一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉40个苹果和5个梨后，剩下的梨是苹果的6倍。

原来两筐水果一共有多少个？练习二：1、甲组有图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙组的5倍。

原来甲组有图书多少本？思路：甲组的图书是乙组的3倍，若乙组拿出6本，甲组相应的也拿出6×3＝18（本），则甲组仍是乙组的3倍，事实上甲组不但没有拿出18本，反而接受了乙组的6本，这样24本正好对应后来两组的（5－3＝2）倍。

因此后来乙组的图书是：（6×3＋6）÷（5－3）＝12（本）。

则原来乙组为18本，甲组就是18×3＝54（本）。

2、原来小明的画片是小红的3倍，后来二人个买了5张，这样小明的画片就是小红的2倍。

原来二人各有多少张画片？3、一个书架分上下两层，上层的书的本数是下层的4倍，从下层拿出5本放入上层后，上层的本数正好是下层的5倍。

奥数”是奥林匹克数学竞赛的简称，奥数变倍问题是小学奥数中的一类常见问题，通常需要通过画图来辅助理解，其解题思路可以总结为以下几点：
分析题目所给条件，确定题目中的数量关系。

根据数量关系，画出相应的线段图或其他图形，以便更好地理解问题。

在线段图或其他图形上标注已知数据和所求数据，找出它们之间的倍数关系。

根据倍数关系，列出相应的算式或方程式，求解所求数据。

检查答案是否符合题意，如有必要，进行验算。

需要注意的是，奥数变倍问题可能涉及到整数、小数、分数等不同的数值类型，解题时需要根据具体情况进行分析和处理。

此外，奥数题目通常需要灵活运用数学知识和方法，需要进行一定的练习和思考，才能掌握解题思路和方法。

和倍问题1. 定义：已知几个数的和以及几个数之间的倍数关系，求几个数的应用题，称之为和倍问题。

2. 公式：和倍问题是大数、小数、倍数以及大小数之和四者之间发生问题，所有的问题都离不开三个基本公式两数和÷（倍数1+）=小数（一倍数）小数⨯倍数=大数（几倍数） 两数和-小数=大数（几倍数）3. 解题技巧：解答和倍问题一般先确定较小的数为标准数（或称一倍数），再根据其他几个数与标准数之间的倍数关系确定总和相当于标准数的多少倍，然后利用除法求出标准数，再求出其他各数。

为了更好的弄清楚题意，通常可采用画线段图的方法。

4. 难点：和倍问题的难点在于正确找出：当两数之间刚好满足“整倍数”的关系的时候对应的“和”是多少，然后再根据基本公式计算。

例如：学校组织同学们去果园感受生活，小红帮果农叔叔们摘苹果，过了一阵子小花也过来帮忙，两个人一共摘了100个苹果，其中小红摘的苹果的数量是小花摘的苹果的数量的3倍，问小红和小花各摘了多少苹果？【分析】法一：很明显可以从题中看出小花摘得苹果比小红少，那么把小花摘的苹果数作为1倍数，小红摘的苹果数就是多倍数（3倍），可画线段图如下：从图中可以看出，小花摘的苹果数量为100÷（1+3）=25（个），那么小红摘得苹果数量为100-25=75（个）或25×3=75（个）。

法二：同样可知小花摘得苹果数为1倍数，和为100，倍数为3倍，那么根据和倍共100个苹果3倍数1倍数小红公式，小花摘得苹果数为100÷（3+1）=25（个），那么小红摘得苹果数量为100-25=75（个）或25×3=75（个）。

两人和倍1. 学校买来乒乓球和羽毛球共40个，乒乓球的个数是羽毛球的4倍。

买来乒乓球和羽毛球各多少个？【分析】 和倍问题。

羽毛球的个数看作1份数，乒乓球的个数就是4份数。

40个就相当于(4+1)份数，这样就可求出1份数，也就是羽毛球的个数；把羽毛球的个数乘以4就是乒乓球的个数。

第4讲倍数问题一.常见的倍数问题1.和倍问题:已知两数的和以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数。

2.差倍问题:已知两数的差以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数。

二．怎么解决倍数问题1．和倍问题的解决要点和÷（倍数+1）=小数小数×倍数=大数2．差倍问题的解决要点差÷（倍数－1）=小数小数×倍数=大数注意：此处的小数是指较小的数。

三．例题与解答例1：甲乙两人做机器零件，甲和乙共做800个零件，且甲做的零件个数是乙的3倍。

问：甲、乙两人各做多少个零件？分析：甲做的零件个数是乙做的3倍，所以两人所做零件个数的和是乙做的零件个数的（3+1）倍，即4倍。

从而乙做的零件个数是800÷4个。

解：乙做的零件个数是800÷（3+1）=800÷4=200甲做的零件个数是200×3=600答：甲做了600个零件，乙做了200个零件。

例2：甲乙两人做机器零件，甲比乙多做400个零件，且甲做的零件个数是乙的3倍。

问：甲、乙两人各做多少个零件？分析：甲做的零件个数是乙做的3倍，所以两人所做零件个数的差是乙做的零件个数的（3-1）倍，即2倍。

从而乙做的零件个数是400÷2个。

解：乙做的零件个数是400÷（3-1）=400÷2=200甲做的零件个数是200×3=600答：甲做了600个零件，乙做了200个零件。

练习1：哥哥、弟弟共种了52棵树，哥哥种的树是弟弟的3倍。

问：兄弟两人各种多少棵树？练习2：哥哥比弟弟多种了26棵树，哥哥种的树是弟弟的3倍。

问：兄弟两人各种多少棵树？例3：甲比乙多存140元。

如果乙取出60元，甲存入60元，那么甲的存款为乙的3倍。

问：甲、乙两人原有存款各是多少元？分析：甲原来比乙多140元，如果乙取出60元，甲存入60元后，那么甲比乙多140+60+60=260元。

这时，甲的存款为乙存款的3倍，问题转化为差倍问题。

六年级奥数倍比问题
问题描述
在奥数竞赛中，倍比问题是一个常见的数学问题类型。

下面是一个典型的六年级奥数倍比问题：
小明有若干个魔方，小红有小明魔方的2倍，小刚有小红魔方的3倍。

如果小明有9个魔方，请问小红和小刚各有多少个魔方？
解题步骤
解决这个问题，我们可以按照以下步骤进行：
1. 用一个变量表示小明魔方的数量，假设为x；
2. 根据问题描述，小红魔方的数量是小明魔方的2倍，即小红魔方的数量为2x；
3. 再根据问题描述，小刚魔方的数量是小红魔方的3倍，即小刚魔方的数量为3(2x)；
4. 根据问题描述，小明有9个魔方，所以x = 9；
5. 把x的值代入小红和小刚的魔方数量公式，可以得到小红有18个魔方，小刚有54个魔方。

结论
根据以上计算，小红有18个魔方，小刚有54个魔方。

这就是六年级奥数倍比问题的解答。

通过对问题的分析和代数运算，我们可以得到准确的答案。

奥数倍比问题可以帮助培养学生的逻辑思维和代数运算能力，提高他们解决实际问题的能力。

希望这个文档能对您解决该问题提供帮助！。

⼩学奥数各年级经典题解题技巧⼤全——倍⽐法（2）（⼆）⽤倍⽐法解⼯程问题⽤倍⽐法解⼯程问题，不⽤设总⼯作量为“1”，学⽣较易理解，尤其是解某些较复杂的⼯程问题，⽤倍⽐法解⽐较简捷。

例1：⼀项⼯程，由甲⼯程队修建，需要20天完成；由⼄⼯程队修建，需要30天完成。

两队合修需要多少天完成？（适于六年级程度）解：因为甲⼯程队修建20天的⼯作量相当于⼄⼯程队修建30天的⼯作在把⼄队30天的⼯作量看作总⼯作量时，⼄队⼀天修的⼯作量是1，则=12（天）答略。

例2：⼀件⼯作单独由⼀个⼈完成，甲要⽤8⼩时，⼄要⽤12⼩时。

若甲先单独做5⼩时，剩下的由⼄单独做完，则⼄需要做多少⼩时？（适于六年级程度）解：因为甲8⼩时的⼯作量相当于⼄12⼩时的⼯作量，所以，甲1⼩时作量，剩下的便是⼄单独做完这项⼯作所需要的时间：在把甲8⼩时的⼯作量看作⼯作总量时，甲1⼩时的⼯作量是1，则⼄答略。

例3：某⼯程由甲、⼄两队合做12天完成，现在两队合做4天后，余下的再由甲队单独做10天可以完成。

问甲队单独完成这项⼯程需要多少天？（适于六年级程度）解：甲、⼄两队合做4天后，再共同完成剩下的⼯作量，需要的天数是12-4=8（天）。

这8天的⼯作量是甲、⼄需合做8天才能完成的⼯作量。

这8天的⼯作量，甲单独做10天完成，就是说，甲、⼄合做1天的⼯作（天），再加上后来甲单独⼯作的10天，便可得到甲队单独完成这项⼯程需要的天数：答略。

例4：⼀项⼯程，甲单独做10天完成，⼄单独做15天完成。

现在先由⼄队做若⼲天后，甲再参加，4天就做完了。

那么⼄先单独做了多少天？（适于六年级程度）解：因为这项⼯程，甲单独做10天完成，⽽甲只做了4天，所以10-4=6（天），这6天的⼯作量是由⼄做的。

⽽⼄1天的⼯作量是甲1天⼯作量的去掉⼄后来与甲合做的4天，便得到⼄先头单独做的天数：答略。

*例5：甲、⼄两⼈同做⼀件⼯作，甲做4天的⼯作量，等于⼄做3天的⼯作量，若由甲单独做这项⼯作需要12天完成。